ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Δρ. Κων/νος Αλαφοδήμος Καθηγητής Πειραιάς, Δεκέμβριος 2010

Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 2

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο έλεγχος διεργασιών και ειδικότερα ο έλεγχος διεργασίας χημικών υγρών, αναφέρεται στον έλεγχο μονάδων που παρασκευάζουν ομογενή υλικά όπως χημικά, χαρτί, μέταλλα, τσιμέντα, ενέργεια κ.λπ. Λόγω της ιδιότητας των προϊόντων, ο έλεγχος γίνεται με απλές βαλβίδες ή ενεργοποιητές. Η κατάσταση του υλικού υπό επεξεργασία μπορεί να υπολογιστεί από μετρήσεις αναλογικών στοιχείων. Οι περισσότερες ελεγχόμενες μεταβλητές έχουν φυσικούς περιορισμούς και επίσης έχουν ιδιότητες αυτοευστάθειας, σε αντίθεση με άλλες κατηγορίες ελέγχου (π.χ. έλεγχος αεροπλάνου). Οι διεργασίες είναι ομαλές μη γραμμικές, με μεγάλη αβεβαιότητα, και υψηλού βαθμού, οι οποίες μοντελοποιούνται με μεικτούς εμπειρικούς τρόπους. Μερικές μονάδες (plants) μπορεί να έχουν χιλιάδες μετρητές και ενεργοποιητές και εκατοντάδες βρόγχους ελέγχου, τα οποία ανήκουν στην ευθύνη δύο ή τριών χειριστών (operators) ενώ μερικές εγκαταστάσεις καταλαμβάνουν χώρο εκτάσεως που ανέρχεται σε Km 2 γης. Ο αυτόματος έλεγχος και η ρύθμιση διεργασιών είναι ένας από τους πλέον κρίσιμους τομείς στην βιομηχανία. Η διαρκώς αυξανόμενη ανάγκη για καλύτερη διαχείρηση και εξοικονόμηση φυσικών πόρων (πρώτων υλών και ενέργειας) αφ' ενός και προστασίας του περιβάλλοντος αφ' ετέρου, έχει αυξήσει τα τελευταία χρόνια την πολυπλοκότητα των βιομηχανιών και αντίστοιχα τις απαιτήσεις από τα άλλα συστήματα αυτομάτου ελέγχου. Ένα σωστό σύστημα ελέγχου πρέπει να εξασφαλίζει, ιδιαίτερα για την βιομηχανία, ασφάλεια, προστασία του περιβάλλοντος, προϊόντα εντός προδιαγραφών και οικονομικότητα λειτουργίας. Παράλληλα, πρέπει να είναι εύχρηστο και "φιλικό" προς τους χειριστές παρέχοντας ταχεία διάγνωση λειτουργικών προβλημάτων, μειωμένη πιθανότητα ανθρώπινων λαθών, ευκολία στην αλλαγή λειτουργικών συνθηκών και την ελάχιστη δυνατή καταπόνηση κατά την διάρκεια της εργασίας τους. Τέλος, το σύστημα πρέπει να είναι αξιόπιστο, χωρίς λειτουργικές αστοχίες και χωρίς μεγάλες απαιτήσεις συντήρησης, παρέχοντας τη μεγαλύτερη δυνατή διαθεσιμότητα. Τα συστήματα αυτόματου ελέγχου στην πραγματικότητα είναι πολύπλοκα, μη γραμμικά και υψηλού βαθμού. Επομένως, ο έλεγχος είναι μια ευρεία δραστηριότητα στη βιομηχανία, πολύ μεγαλύτερη από ότι υποδηλώνεται στην γραμμική θεωρία και εφαρμόζεται σε διεργασίες μη γραμμικές που λειτουργούν με πολλές διαταραχές. Πρακτικά μοντέλα υπάρχουν μόνο για συνήθεις εφαρμογές. Η βιομηχανία ενδιαφέρεται πιο πολύ σε οικονομικό όφελος από το σχεδιασμό και την λειτουργία ενός συστήματος. Πρέπει να επισημανθεί ότι οι βιομηχανικοί αυτοματισμοί σχεδιάζονται για να χρησιμοποιηθούν από απλούς ανθρώπους (τεχνίτες) με ελάχιστες βασικές γνώσεις. Η εμπειρία στη βιομηχανία είναι ένα θέμα που σχετίζεται με το μεγάλο και το ολοκληρωμένο και όχι με το τέλειο αλλά μικρό και μερικής χρήσης. Υπάρχουν διαφορές μεταξύ των βιομηχανιών. Κάθε βιομηχανία έχει τη δική της εφαρμόσιμη τεχνολογία αυτοματισμού με διαφορετική κατάσταση και λεπτομέρειες ανάπτυξης. Οι βιομηχανίες χρησιμοποιούν τον έλεγχο με διαφορετικούς τρόπους Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 3

(ενδεικτικά) : σαν μέρος ποσότητας προϊόντος αποκρυπτόμενου από τον χρήστη. σαν ένα προϊόν που θα χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο του συστήματος κάποιου άλλου μηχανισμού. σαν μέσον για τον έλεγχο παραγωγικών μονάδων. Οι μέθοδοι ελέγχου και οι στόχοι λειτουργίας μιας επιχείρησης μπορεί να είναι διαφορετικοί: οικονομικός, ασφάλεια ή βέλτιστος έλεγχος. Επίσης με την ίδια λογική, οι παράμετροι της διεργασίας (γραμμικής ή μη γραμμικής), μπορούν να είναι διαφορετικοί (με χρονική καθυστέρηση ή υπερύψωση). Οι παραπάνω αναφερόμενες διεργασίες κατανέμονται σε δυο κύριες κατηγορίες: α) Διεργασίες κατά παρτίδες (BATCH) : Παράγονται προϊόντα διαδοχικά στο ίδιο δοχείο. Ο έλεγχος γίνεται με πρόγραμμα ηλεκτρονικού υπολογιστή και η ποσότητα παραγωγής είναι σχετικά μικρή. β) Συνεχείς διεργασίες : Γίνεται παράλληλη και συνεχόμενη παραγωγή σε διαφορετικά δοχεία (καζάνια). Χρησιμοποιείται ανάδραση για πολλαπλό έλεγχο, και υπάρχει μεγάλη παραγωγή σε ποσότητα (όγκο). Στο βιβλίο αυτό δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην παρουσίαση συστημάτων ελέγχου που εφαρμόζονται στους τομείς της βιομηχανίας χημικών, τροφίμων και παραγωγής ηλεκτρικής ενέργειας. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 4

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 1.1 Εισαγωγή Οι βασικοί τρόποι ελέγχου των βιομηχανικών διεργασιών περιγράφονται γενικά με τη μορφή περιγραμμάτων. Στο Σχ.1.1 περιγράφονται όλες οι μεταβλητές που σχετίζονται με μία χημική διεργασία. Οι μεταβλητές (ροή, θερμοκρασία, πίεση, σύνθεση κ.λπ.) που σχετίζονται με την διεργασία, κατατάσσονται σε δύο ομάδες: 1. Μεταβλητές εισόδου: συμβολίζουν την επίδραση του περιβάλλοντος στην διεργασία. 2. Μεταβλητές εξόδου: συμβολίζουν την επίδραση της διεργασίας στον περίγυρο. Οι μεταβλητές εισόδου, επίσης, διαχωρίζονται παραπέρα σε δύο κατηγορίες: α. Μεταβαλλόμενες μεταβλητές (manipulated). Οι τιμές τους μπορούν να μεταβληθούν από τον χειριστή ή τον μηχανισμό ελέγχου. β. Διαταραχές. Οι τιμές τους δεν προκαλούνται από ενέργειες του χειριστή ή του συστήματος ελέγχου αλλά από εξωτερικές πηγές και ονομάζονται διαταραχές. Οι μεταβλητές εξόδου κατατάσσονται στις κατηγορίες: α. Μετρούμενες μεταβλητές εξόδου. Οι τιμές τους γίνονται γνωστές με απ' ευθείας μέτρηση. β. Μη μετρούμενες μεταβλητές εξόδου. Οι τιμές τους δεν μπορούν να μετρηθούν άμεσα αλλά μόνο με έμμεσο τρόπο. Υπάρχουν τρία γενικά περιγράμματα ελέγχου διεργασιών. 1. Περίγραμμα αναδραστικού ελέγχου: Χρησιμοποιεί άμεσες μετρήσεις, των ελεγχόμενων μεταβλητών εξόδου, για να προσαρμόσει τις τιμές των μεταβαλλόμενων μεταβλητών εισόδου της διεργασίας (Σχ.1.2). Στόχος είναι να διατηρήσει τις ελεγχόμενες μεταβλητές στο επιθυμητό επίπεδο (set points). 2. Περίγραμμα προσωτροφοδοτικού ελέγχου: Χρησιμοποιεί απ' ευθείας μετρήσεις των διαταραχών, για να προσαρμόσει τις τιμές των μεταβαλλόμενων μεταβλητών εισόδου Σχ.1.3. Στόχος είναι να διατηρηθούν οι τιμές των ελεγχόμενων μεταβλητών, στην Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 5

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ έξοδο, σε επιθυμητά επίπεδα. 3. Περίγραμμα συμπερασματικού ελέγχου: Χρησιμοποιεί βοηθητικές μετρήσεις (αφού οι κύριες μεταβλητές εξόδου δεν μπορούν να μετρηθούν) για να γίνει προσαρμογή στις τιμές των μεταβαλλόμενων μεταβλητών, στην είσοδο της διεργασίας Σχ.1.4. Στόχος είναι να διατηρηθούν οι μεταβλητές εξόδου, σε αρμονία με τις επιθυμητές τιμές (set points). Ο εκτιμητής (estimator) χρησιμοποιεί τις τιμές των μεταβλητών που μπορούν να μετρηθούν, σε συνδυασμό με τις εξισώσεις ισορροπίας μάζας και ενέργειας της διεργασίας, για να υπολογισθούν με μαθηματικούς υπολογισμούς (εκτίμηση) οι τιμές των μεταβλητών που δεν μπορούν να μετρηθούν. Στη συνέχεια, οι εκτιμήσεις χρησιμοποιούνται από τον ελεγκτή για την προσαρμογή των τιμών των μεταβαλλόμενων μεταβλητών στην είσοδο της διεργασίας. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 6

Εξωτερικές διαταραχές Μετρούμενες (d) Μη μετρούμενες (d) Μετρούμενες (d) Ελεγχόμενες μεταβλητές Σύστημα διεργασίας (Processing system) Μετρούμενες μεταβλητές Ελεγχόμενες μεταβλητές Διεργασία Process Μετρούμενες έξοδοι (ελεγχόμενες μεταβλητές) Μη μετρούμενες έξοδοι Μη μετρούμενες μεταβλητές Σχ.1.1 Μεταβλητές εισόδου/εξόδου διεργασίας Ελεγκτή Διαταραχές Σχ. 1.2 Γενικό περίγραμμα αναδραστικού ελέγχου Διαταραχές Επιθυμητές τιμές Ελεγχόμενες μεταβλητές Διεργασία (Process) Μετρούμενες μεταβλητές Ελεγχόμενες μεταβλητές Διεργασία (Process) Μετρούμενες έξοδοι Μη μετρούμενες μεταβλητές Επιθυμητές τιμές Ελεγκτής Μη μετρούμενες έξοδοι (ελεγχόμενες μεταβλητές) Εκτιμητής Εκτιμήσεις των μη μετρούμενων ελεγχόμενων μεταβλητών Σχ.1.3 Γενικό περίγραμμα πρωσοδοτροφικού ελέγχου Σχ.1.4 Γενικό περίγραμμα συμπερασματικού ελέγχου 1.2 Αναδραστικός έλεγχος (Feedback Control) Το μοντέλο μιας διεργασίας, πρώτου ή δευτέρου βαθμού, αποτελείται από την είσοδο m δηλ. την ρυθμιζόμενη μεταβλητή, την έξοδο y και πιθανώς μία διαταραχή L (Σχ. 1.5). Η διαταραχή L που ονομάζεται και φορτίο, μεταβάλλεται ανεξέλεγκτα και ο αντικειμενικός στόχος του ελέγχου είναι να διατηρηθεί η τιμή της εξόδου y σε επιθυμητό επίπεδο. Στο Σχ.1.5 δίδονται τυπικές αποκρίσεις στο διάστημα του χρόνου της y σε μεταβολή της εισόδου Δm. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 7

M(s) Μοντέλο 1 ου βαθμού Y(s) y Νέα τιμή απόκριση ΔY P =k ρ Δm θ d Μ(s) Μοντέλο 2 ου βαθμού Y(s) y Παλαιά τιμή 2 ου βαθμού 1 ου βαθμού θ d Σχ.1.5 Αποκρίσεις συστημάτων t Στα Σχ.1.6(α) και Σχ.1.6(β) δίδονται αντίστοιχα τα μπλοκ διαγράμματα αναλογικού και ψηφιακού αναδραστικού ελέγχου με τις απαραίτητες βαθμίδες. L (s) G L (s) Διαταραχή R(s) + set-point - Controller G(s) G p (s) + + C(s) Μέτρηση Υπολογιστής (α) set point Ψηφιακό ΕΞΙΣΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ D/A ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΑΛΒΙΔΑΣ Διεργασία Έξοδος A/D ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΗ (β) ΤΙΜΗ ΕΛΕΓΧΟΜΕΝΗ Μετρητής ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Σχ. 1.6 (α) Αναλογικό σύστημα ελέγχου (β) ψηφιακό σύστημα ελέγχου Τα βασικά στοιχεία (hardware) που χρησιμοποιούνται σε ένα απλό βιομηχανικό σύστημα, όπως αναδραστικός έλεγχος θερμοκρασίας και στάθμης δοχείου με υγρό, περιγράφονται στο Σχ.1.7. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 8

Σχ.1.7 Στοιχεία αναδραστικού ελέγχου θερμοκρασίας υγρού. Σε ένα τέτοιο σύστημα ελέγχου με ανάδραση διακρίνουμε τα παρακάτω στοιχεία : 1. Χημική διεργασία : Είναι το υλικό, καθώς και οι διεργασίες, φυσικές ή χημικές που συμβαίνουν. 2. Αισθητήρες ή στοιχεία μέτρησης : Χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση διαταραχών, μεταβλητών ή δευτερεύουσων μεταβλητών στην έξοδο, και είναι οι κύριες πηγές πληροφοριών σχετικά με την διεργασία. Στον Πίνακα 1.1 δίνονται τα πιο γνωστά στοιχεία ανίχνευσης ή μέτρησης. Οι αξιόπιστες μετρήσεις είναι πολύ σημαντικές για εύρωστο έλεγχο, έτσι τα στοιχεία μέτρησης πρέπει να είναι ανθεκτικά και αξιόπιστα στις συνθήκες που επικρατούν στο εργοστάσιο. 3. Μετατροπείς : Πολλές μετρήσεις για να χρησιμοποιηθούν σε έλεγχο πρέπει να μετατραπούν σε άλλη μορφή για εύκολη εκπομπή (όπως ηλεκτρική τάση, ρεύμα ή ένα πνευματικό σήμα π.χ. πεπιεσμένος αέρας). 4. Γραμμές μεταφοράς : Χρησιμοποιούνται για την μεταφορά του σήματος μετρήσεων από τα στοιχεία στον Ελεγκτή. Αρχικά ήταν πνευματικά (ατμός υπό πίεση ή υγρά υπό πίεση), αλλά με την πάροδο του χρόνου και την χρήση υπολογιστών για έλεγχο, η μεταφορά γίνεται με ηλεκτρικά σήματα. Πολλές φορές τα σήματα μετρήσεων είναι ασθενή και για να μεταφερθούν στο κέντρο ελέγχου για επεξεργασία που βρίσκεται σε μεγάλη σχετικά απόσταση χρειάζεται να ενισχυθούν μέσω ενισχυτικών διατάξεων. 5. Ελεγκτής : Είναι το στοιχείο που διαθέτει εξυπνάδα. Δέχεται πληροφορίες από τα αισθητήρια και αποφασίζει για την δράση που πρέπει να ληφθεί. Η πρόοδος των υπολογιστών, τα τελευταία χρόνια, είχε σαν αποτέλεσμα τη χρήση πολύπλοκων κανόνων ελέγχου. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 9

Πίνακας 1.1 Στοιχεία μέτρησης για έλεγχο διεργασιών Μετρούμενη μεταβλητή διεργασίας Θερμοκρασία Συσκευή μέτρησης Θερμοζεύγη Θερμομετρικές αντιστάσεις Θερμόμετρα (Filled) Διμεταλλικά θερμόμετρα Οπτικά Κρύσταλλος παλμικός qartz } Παρατηρήσεις Πιο συνήθη για σχετικά μικρές θερμοκρασίες Xρησιμοποιούνται για σχετικά υψηλές θερμοκρασίες Πίεση Ροή Μανόμετρα Στοιχεία τύπου Bourdon Στοιχείο Bellows Διαφράγματα Δυναμογέφυρες Πιεζοηλεκτρικά στοιχεία Δίσκοι orifice Διάφραγμα Venturi Σωλήνας ροής Dahl Διάφραγμα Kennison Ροόμετρο τύπου τουρμπίνας Υπερηχητικά Ηλεκτρομαγνητικά ροόμετρα Ροόμετρα Vortex Ανεμόμετρα } } } With float or displacers Βασίζονται στην ελαστική παραμόρφωση των υλικά Χρησιμοποιούνται για μετατροπή της πίεσης σε ηλεκτρικό σήμα. Μετρούν την πτώση πίεσης μεταξύ δύο σημείων στη ροή Για μεγάλη ακρίβεια Στάθμη υγρών Συσκευές τύπου πλωτήρα Συσκευές τύπου Displacer Συσκευές μέτρησης πίεσης υγρού Μέτρηση διηλεκτρική Μέτρηση αγωγιμότητας Ακουστική μέτρηση } } Μαζί με διάφορους τύπους ενδεικτικών Για συστήματα με δύο φάσεις Σύσταση Χρωματογραφικοί αναλυτές Αναλυτές θολότητας Αναλυτές παραμαγνητισμού Πολαρογραφικοί αναλυτές PH-μετρα Κουλόμετρα Σπεκτρόμετρα Αγωγιμότητα Αναλυτές υπερύθρων, υπεριωδών. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 10

6. Το τελικό στοιχείο ελέγχου (ενεργοποιητής) : Είναι το στοιχείο που υλοποιεί τις εντολές του ελεγκτή και οδηγεί το σήμα στην είσοδο της διεργασίας. Για παράδειγμα, αν ο ελεγκτής αποφασίσει πως η ποσότητα του υγρού πρέπει να αυξηθεί ή να μειωθεί για να διατηρηθεί η στάθμη του στο δοχείο σε επιθυμητό επίπεδο, η βαλβίδα αυτή θα εκτελέσει την απόφαση (άνοιγμα ή κλείσιμο), σύμφωνα με την προκαθορισμένη ποσότητα. Η ελεγχόμενη βαλβίδα είναι το πιο γνωστό στοιχείο, όχι όμως και το μοναδικό. Άλλα στοιχεία είναι: Διακόπτες (relays) για on-off έλεγχο Αντλίες μεταβαλλόμενης ταχύτητας Συμπιεστές μεταβαλλόμενης πίεσης (compressors). 7. Καταγραφικά : Χρησιμοποιούνται για καταγραφή και οπτική παρακολούθηση της συμπεριφοράς της διεργασίας. Συνήθως, οι μετρούμενες τιμές είναι αυτές που καταγράφονται. Υπάρχουν διάφοροι τύποι καταγραφικών (θερμοκρασίας, πίεσης, ποσότητας ροής, περιεκτικότητας κ.λπ.) στο χώρο ελέγχου του εργοστασίου για συνεχή καταγραφή της συμπεριφοράς της διεργασίας. Η χρήση των υπολογιστών στον έλεγχο των διεργασιών έχει αυξήσει τις δυνατότητες παρακολούθησης και καταγραφής με νέους τρόπους, όπως οθόνες απεικόνισης (monitors), σε αρχεία Η/Υ. Στους παρακάτω πίνακες δίδονται τα φυσικά ανάλογα διαφόρων μεγεθών (ηλεκτρικά, ρευστά, μηχανικά κ.λπ.) για καλύτερη κατανόηση των ομοιοτήτων που υπάρχουν μεταξύ τους. Πίνακας 1.2 Φυσικά μεγέθη Ηλεκτρικά Ροή Ροή Υγρών Μεγέθη Θερμοκρασίας Ποσότητα Q, charge Q (Btu) Volume (m3) Ροή I q (Btu/min) Q (m3/s) Δυναμικό V ΔT (of) h, head (ft) Αντίσταση R 1/UA (of/btu) h/q Χωρητικότητα C Cp (of/btu) Volume/h=A for (=q/δτ) constant cross section Σταθερά χρόνου RC Cp/UA =A/Cu for small Δh Πίνακας 1.3 Γραμμικά και περιστροφικά ανάλογα μηχανικών συστημάτων Translational Rotational Δύναμη (Force), f Torque, τ Επιτάχυνση (Acceleration), a Angular acceleration, α Ταχύτητα (Velocity), u Angular velocity, Ω Θέση (Displacement), x Angular displacement, θ Μάζα (Mass), M Moment of inertia, Iθ Συντελεστής απόσβεσης, D Rotation damping coefficient, Dθ Σταθερά, K Torional compliance, Kθ Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 11

Πίνακας 1.4 Ανάλογα δύναμης και τάσης Μηχανικό σύστημα Ηλεκτρικό σύστημα Δύναμη, f Τάση, v Ταχύτητα, u Ρεύμα, i Μετατόπιση, x Φορτίο, q Μάζα, M Πηνίο, L Συντελεστής απόσβεσης, D Αντίσταση, R Σταθερά, K Χωρητικότητα, C 1.3 Εξουδετέρωση των εξωτερικών διαταραχών Ο πιο συνήθης λειτουργικός στόχος του ελεγκτή είναι η εξουδετέρωση της επίδρασης των εξωτερικών διαταραχών σε μια διεργασία. Τέτοιες διαταραχές, που συμβολίζουν την επίδραση του περιβλήματος σε ένα αντιδραστήρα, διαχωριστή, συμπιεστή, κ.λπ. είναι συνήθως πέρα από τον έλεγχο του χειριστή. Έτσι, χρειάζεται ο μηχανισμός ελέγχου που θα κάνει τις απαιτούμενες αλλαγές στην διεργασία προκειμένου να εξουδετερώσει τις αρνητικές επιδράσεις στην ομαλή λειτουργία της μονάδος. 1.3.1 Παράδειγμα : Έλεγχος λειτουργίας μίξης υγρών Η μίξη παχύρευστων υγρών υλοποιείται σε ειδικά θερμαινόμενα δοχεία. Στο Σχ.1.8(α) δίδονται τα βασικά στοιχεία του συστήματος όπου Τ είναι η θερμοκρασία, F είναι η ροή, h είναι η στάθμη του υγρού, F st είναι η ροή του ατμού που χρησιμοποιείται για τη θέρμανση του περιεχομένου του βυτίου και Q είναι η προστιθέμενη θερμοκρασία. Ο λειτουργικός αντικειμενικός στόχος είναι : 1. Να διατηρηθεί η θερμοκρασία Τ στην επιθυμητή τιμή Τ s. 2. Να διατηρηθεί η ποσότητα του υγρού στο δοχείο στην επιθυμητή τιμή V s. Η ομαλή λειτουργία διαταράσσεται από εξωτερικούς παράγοντες όπως αλλαγές στην ποσότητα τροφοδοσίας F i και θερμοκρασία T i. Αν δεν υπάρχει καμιά μεταβολή, τότε μετά την επίτευξη T=T s και V=V s θα μπορούσαμε να αφήσουμε το σύστημα χωρίς επίβλεψη και έλεγχο. Είναι όμως φανερό πως αυτό δεν μπορεί να συμβεί. Έτσι απαιτείται κάποιος έλεγχος για να διατηρηθούν τα T και V στις επιθυμητές τιμές. Στα Σχ.1.8(β) και Σχ.1.8 (γ) δίδονται οι συνδεσμολογίες που πρέπει να προστεθούν για έλεγχο στάθμης υγρού h και θερμοκρασίας Τ για το σύστημα του Σχ.1.8(α). Στο Σχ.1.8(ε) δίνεται η απαιτούμενη συνδεσμολογία για ταυτόχρονο έλεγχο θερμοκρασίας και στάθμης (δύο βρόγχοι). Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο αντικειμενικός στόχος ελέγχου δεν είναι οι μετρούμενες ποσότητες διότι ανήκουν στην κατηγορία μη μετρούμενων μεταβλητών (εξόδων). Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιείται έμμεσος τρόπος δηλ. γίνεται μέτρηση άλλων μεταβλητών που μπορούν εύκολα να μετρηθούν και ονομάζονται δευτερεύουσες ή βοηθητικές μετρήσεις. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 12

(α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχ.1.8 Διάφορες συνδεσμολογίες για έλεγχο θερμοκρασίας και στάθμης υγρού θερμαινόμενου δοχείου με αναδευτήρα. (α) Βασικό σύστημα (β) Αναδραστικός έλεγχος στάθμης (γ) Έλεγχος θερμοκρασίας (δ) Εναλλακτικός τρόπος ελέγχου στάθμης (ε) Έλεγχος θερμοκρασίας και στάθμης Στη συνέχεια, αναπτύσσονται μαθηματικές σχέσεις μεταξύ αυτών, της μορφής: μη μετρούμενη έξοδος = f (δευτερεύουσες μετρήσεις) οι οποίες μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τις τιμές των αγνώστων μεταβλητών. Αργότερα θα μελετήσουμε περισσότερο την περίπτωση αυτή εμπειρικά, πειραματικά ή θεωρητικά. Σαν παράδειγμα στο Σχ.1.9 δίνεται το σύστημα ελέγχου σωλήνα αποστάξεως (διαχωρισμός δύο προϊόντων). Στο Σχ.1.9(α) ο αναδραστικός έλεγχος στο Σχ.1.9(β) ο προσωτροφοδοτικός και στο Σχ.1.9(γ) ο συμπερασματικός έλεγχος. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 13

Σχ.1.9 Έλεγχος περιεκτικότητας σωλήνα αποστάξεως (α) αναδραστικός (β) προσωτροφοδοτικός (γ) συμπερασματικός. Έχουμε λοιπόν έναν απλό σωλήνα αποστάξεως για τον διαχωρισμό δύο υγρών πεντάνιο και εξάνιο σε δύο ρευστά προϊόντα πεντάνιο (απόσταξη) και εξάνιο (κατακάθισμα). Ο αντικειμενικός μας στόχος είναι να παράγεται σταθερά αποσταγμένο υγρό με 95% μόρια πεντάνιο, ανεξάρτητα από τις μεταβολές στην τροφοδοσία. Είναι φανερό πως πρώτα πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένας αναλυτής περιεκτικότητας, για να μετρηθεί η περιεκτικότητα σε πεντάνιο του αποστάγματος και μετά χρησιμοποιώντας αναδραστικό έλεγχο, να ελέγχεται η ποσότητα αναρροής, ώστε να διατηρηθεί το απόσταγμα σε 95% πεντάνιο. Αυτή η διάταξη ελέγχου φαίνεται στο Σχ.1.9(α). Ένας εναλλακτικός τρόπος ελέγχου είναι να χρησιμοποιηθεί μια συσκευή ανάλυσης για παρακολούθηση της περιεκτικότητας της τροφοδοσίας σε πεντάνιο. Μετά σε διάταξη προσωτροφοδότησης μπορούμε να μεταβάλουμε την ποσότητα της επιστροφής (Reflux) για να επιτευχθεί ο στόχος μας Σχ.1.9(β). Οι δύο παραπάνω συνδεσμολογίες στηρίζονται στην συσκευή αναλύσεως περιεκτικότητας. Είναι όμως δυνατόν οι συσκευές αυτές να είναι είτε υψηλού κόστους ή χαμηλής αξιοπιστίας για το βιομηχανικό περιβάλλον (συχνές βλάβες ή λανθασμένες μετρήσεις). Σε αυτές τις περιπτώσεις μπορούμε να μετρήσουμε την θερμοκρασία του υγρού Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 14

στα διάφορα πιάτα (δίσκους) κατά μήκος του σωλήνα με μεγάλη αξιοπιστία, χρησιμοποιώντας μαθηματικές σχέσεις ύλης και ενέργειας μπορούμε να υπολογίσουμε την περιεκτικότητα του σωλήνα αν γνωρίζουμε τις θερμοκρασίες στους διάφορους δίσκους. Στο Σχ.1.9(γ) δίνεται ένα τέτοιο διάγραμμα ελέγχου που χρησιμοποιεί δευτερεύουσες μετρήσεις (θερμοκρασίες) προκειμένου να εκτιμηθεί ή συμπεραστεί η περιεκτικότητα σε πεντάνιο του σωλήνα (δηλαδή η τιμή αντικειμενικού ελέγχου). Στα σχήματα 1.10 δίνονται διατάξεις σωλήνα αποστάξεως όπου στο διάγραμμα του Σχ. 1.10(α) δίνεται η βασική διάταξη σωλήνα αποστάξεως και στο διάγραμμα του Σχ.1.10(β) έχει προστεθεί αναδραστικός έλεγχος τριών βρόγχων. 1.4 Είδη Δυναμικών μοντέλων διεργασίας Οι διεργασίες ανήκουν σε μία από τις παρακάτω κατηγορίες : σταθερή κατάσταση (Steady state) Υστέρηση 1 ου βαθμού (1 st - order Lag) Υστέρηση 2 ου βαθμού (2 nd - order Lad) Βραδυπορία ή χρονική καθυστέρηση (Dead-time or transport Lag) Φυσικά, μερικές διεργασίες είναι υψηλότερου βαθμού, αλλά όπως θα δούμε στη συνέχεια, η συμπεριφορά τους συχνά μπορεί να προσομοιωθεί σαν συνάρτηση 1 ου ή 2 ου βαθμού με υστέρηση και χρονική καθυστέρηση. (α) Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 15

(β) Σχ.1.10 Αναδραστικός έλεγχος σωλήνα αποστάξεως. (α) Απλή διάταξη (β)αναδραστικός έλεγχος τριών βρόγχων 1.4.1 Σταθερή κατάσταση Στην κατηγορία αυτή η έξοδος ακολουθεί τις μεταβολές στην είσοδο με μεγάλη ταχύτητα ώστε η διεργασία να παραμένει πάντα σε σταθερή κατάσταση. Η παράσταση αυτής της διεργασίας δίνεται στο παρακάτω σχήμα. X K Y Μοντέλο : Y(t)=K X(t) Συνάρτηση μεταφοράς : G(s) = Y(s) X(s) μεταβολή εξόδου Κέρδος διεργασίας Κ = μεταβολή εισόδου Σαν παράδειγμα, θεωρούμε την λειτουργία βαλβίδας ελέγχου με γραμμική χαρακτηριστική Σχ.1.11. Στην περίπτωση αυτή : Η είσοδος είναι το στέλεχος θέσεως της βαλβίδας Χ ο από 0% μέχρι 100% και η έξοδος είναι η ροή Q από 0 μέχρι Q max X 0 (α) Ροή Q Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 16

είσοδος ΔΧ 0 έξοδος t o t ΔQ=KΔΧ 0 t o t (β) Σχ.1.11 (α) Διάγραμμα βαλβίδας (β) Απόκριση της εξόδου σε βηματική αλλαγή της εισόδου Επομένως: K = ΔQ ΔX0 gpm = % 1.4.2 Σύστημα 1 ου βαθμού : Η έξοδος διεργασίας 1 ου βαθμού ακολουθεί την βηματική αλλαγή της εισόδου με εκθετική ανύψωση. Το μοντέλο, οι παράμετροι και η συνάρτηση μεταφοράς είναι : dy Μοντέλο διεργασίας τ + y = K * x dt όπου x = είσοδος διεργασίας y = έξοδος διεργασίας K= κέρδος σταθερής κατάστασης της διεργασίας Τ= σταθερά χρόνου Συνάρτηση μεταφοράς : Y(s) G(s) = X(s) K = τ s + 1 Block διάγραμμα X(s) K τ s+1 Y(s) Δυναμικές παράμετροι κέρδος στην αποκατάσταση: K = τελική σταθερή μεταβολή στην έξοδο μεταβολή της εισόδου Χ ΔΧ 0 t Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 17

Y 98% 86% 63,2% K ΔX τ 2τ 4τ Σχ.1.12 Χρονική απόκριση διεργασίας 1 ου βαθμού. t Παρατηρούμε, σε σταθερή μεταβολή (step) της εισόδου, ότι σε δύο σταθερές χρόνου (2τ) έχει καληφθεί το 86% της τελικής τιμής της εξόδου Y. Στη χρονική απόκριση (Σχ.1.12) φαίνεται ότι η έξοδος y(t) σταθεροποιείται μετά από πέντε σταθερές χρόνου (5τ). Παράδειγμα: Ένα απλό παράδειγμα της κατηγορίας αυτής είναι το δοχείο με αναδευτήρα όπου η ροή εισόδου είναι ίση με την ροή εξόδου, όπως φαίνεται στο Σχ.1.13. θερμό υγρό Κρύο υγρό Q T i i είσοδος H A Σχ.1.13 Διεργασία 1ου βαθμού Έξοδος Q T o o Είσοδος: Η θερμοκρασία εισερχόμενου υγρού Τ i Εξοδος: Η θερμοκρασία του εκρέοντος υγρού Τ ο Συνάρτηση μεταφοράς: To (s) = T (s) i 1 τs +1 όπου: Τ = Χρόνος παραμονής του υγρού στο δοχείο = Α = εμβαδόν οριζόντιας τομής του δοχείου Η = σταθερό ύψος υγρού στο δοχείο 1.4.3 Σύστημα Δευτέρου Βαθμού όγκος δοχείου ΗΑ = ογκομετρική ροή Q O Μερικές φορές η διεργασία είναι δευτέρου βαθμού διότι αποτελείται από σύστημα Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 18

ελατήριο/μάζα, πηνίο/πυκνωτής, μανόμετρο κ.λπ. Αυτές οι διεργασίες έχουν τα παρακάτω χαρακτηριστικά: 2 2 d y dy Μοντέλο: τ + 2ζτ + y = K X 2 dt dt όπου τ = σταθερά χρόνου διεργασίας δευτέρου βαθμού 1 ω n = = φυσική συχνότητα της διεργασίας τ ζ= συντελεστής απόσβεσης Κ= κέρδος σταθερής κατάστασης Y(s) Συνάρτηση μεταφοράς: (s) = = 2 X(s) τ s G 2 K + 2ζτs + 1 Block διάγραμμα: X(s) K τ 2 s 2 + 2ζτs + 1 Y(s) Πολλές φορές χρησιμοποιούνται δύο συναρτήσεις 1 ου βαθμού σε σειρά, όπου η έξοδος της πρώτης είναι η είσοδος στη δεύτερη, για να περιγραφεί μία διεργασία με μοντέλο 2 ου βαθμού με τα παρακάτω χαρακτηριστικά: Block διάγραμμα: X(s) K 1 τ 1 s K 2 τ 2 s 1 Y(s) Η βηματική απόκριση διεργασίας 2 ου βαθμού δίνεται στο παρακάτω σχήμα: Σχ.1.14 Χρονικές Αποκρίσεις 2 ου Βαθμού Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 19

Μοντέλο: 2 d y dy τ1 τ 2 + (τ1 + τ 2 ) + y = K1K 2x 2 dt dt Μια σύγκριση της εξίσωσης με την παραπάνω εξίσωση δίδει τις παρακάτω αντιστοιχίες, για ισοδυναμία: τ = σταθερά χρόνου = τ τ 1 2, 1 2 τ 1 2 ζ = 1.0 τ 1 + τ + τ 2 K= Κέρδος = Κ 1 Κ 2 1.4.4 Απλή Βραδυπορία: Όταν στην είσοδο διεργασίας εμφανισθεί βραδυπορία, επαναλαμβάνεται στην έξοδο t d μονάδες χρόνου αργότερα, όπου t d είναι ο χρόνος καθυστέρησης. Για παράδειγμα, ας μελετήσουμε την ροή υγρού διαμέσου μονωμένου σωλήνα με κάθετη επιφάνεια Α και μήκος L για ογκομετρική ποσότητα ροής q. Στη σταθερή κατάσταση η θερμοκρασία του υγρού στην είσοδο Χ θα έχει την ίδια τιμή με την θερμοκρασία του υγρού στην είσοδο του σωλήνα. Αν η θερμοκρασία στην είσοδο μεταβληθεί, η μεταβολή θα εντοπισθεί στην έξοδο t 1 δευτερόλεπτα αργότερα. Αυτή η χρονική καθυστέρηση είναι απλά ο χρόνος που απαιτείται για το υγρό να μεταφερθεί από την είσοδο στην έξοδο και δίδεται από τη σχέση: t d = ποσότητα σωλήνα (m 3 ) = LA ογκομετρική ποσότητα ροής (m 3 / sec) Q Το μοντέλο διεργασίας με χρονική καθυστέρηση δίδεται από τη σχέση: y(t)=x(t-t d ), όπου y είναι η θερμοκρασία εξόδου. Στη σταθερά κατάσταση y s= x s Οι δύο τελευταίες εξισώσεις δίδουν το μοντέλο: Y(s) = y(t)-y s = x(t- t d )-x s =X(t- t d ) Με το μετασχηματισμό Laplace βρίσκουμε: G(s) = Y(s) X(s) -tds = e 1.5 Υπολογισμός μοντέλου αγνώστου διεργασίας Οι πιο πολλές διεργασίες έχουν πολλά δυναμικά στοιχεία το κάθε ένα με διαφορετική σταθερά χρόνου. Έτσι το ακριβές μαθηματικό μοντέλο είναι υψηλού βαθμού πράγμα που δημιουργεί μεγάλα προβλήματα στην μαθηματική ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς της διεργασίας. Ευτυχώς, είναι δυνατό να εξομοιωθεί η συμπεριφορά εισόδου-εξόδου μαθηματικού μοντέλου Ν τάξεως, πολύπλοκης δυναμικής διεργασίας με ένα Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 20

απλό μοντέλο 1 ης ή 2 ης τάξης (δηλ. με μία ή δύο σταθερές χρόνου) χρονική καθυστέρηση και τις καμπύλες χρονικής απόκρισης (Σχ.1.15). Πολλές φορές το μοντέλο της διεργασίας είναι άγνωστο αλλά είναι γνωστή (ή μπορεί να βρεθεί με την μέθοδο εισαγωγής παλμού στην είσοδο της διεργασίας) η απόκριση της κυματομορφής εξόδου της διεργασίας στο διάγραμμα του χρόνου, από την οποία στην συνέχεια μπορούμε να υπολογίσουμε το μοντέλο G(s) της διεργασίας. Η μέθοδος αυτή, γνωστή και ως προσεγγιστική μέθοδος τριών παραμέτρων, είναι εμπειρική και χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Cohen-Coon και Ziegler-Nichols. Χρησιμοποιείται η καμπύλη απόκρισης για τον υπολογισμό των παραμέτρων συνάρτησης μεταφοράς διεργασίας 1 oυ βαθμού με χρονική καθυστέρηση. Στα παρακάτω σχήματα δίδεται παραστατικά ο τρόπος υπολογισμού της G(s) με τις δύο μεθόδους. έξοδος στην αποκατάσταση (steady rate) K = είσοδος στην αποκατάσταση (steady rate) τ = Β/S, όπου S είναι η κλίση της απόκρισης. t d = χρόνος καθυστέρησης μέχρι η έξοδος του συστήματος να αρχίσει να αντιδρά. Σε περίπτωση που χρησιμοποιηθεί εξίσωση 2 ου βαθμού η μέθοδος αναφέρεται ως προσεγγιστική μέθοδος τεσσάρων όρων. = B A Υ = Χ Cohen - Coon Ziegler - Nichols B B T 2 T 1 K t d S G(s) ( t s) Ke d (τ s + 1) t t d S G(s) ( st Ke 1) (T2s + 1) t Σχ.1.15 Υπολογισμός μοντέλου (α) Cohen-Coon και (β) Ziegler-Nichols Η παραπάνω μέθοδος εφαρμόζεται όταν οι παράμετροι του μοντέλου δεν μεταβάλλονται σε όλη την διάρκεια λειτουργίας της διεργασίας. Σε αντίθετη περίπτωση χρησιμοποιείται στατιστική μέθοδος που ονομάζεται και στοχαστική μέθοδος, η παρουσίαση της οποίας γίνεται στο κεφάλαιο πέντε. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 21

1.6 Αναλογικός Ελεγκτής PID Ένα πλήρες μπλοκ διάγραμμα αναδραστικού ελέγχου ΣΑΕ, όπου περιλαμβάνονται οι βαθμίδες με τις συναρτήσεις μεταφοράς τους, δίνεται στο Σχ. 1.16. L G LN (s) { Ν (s) Διαταραχές φορτίου G L1 (s) L 1 (s) Ελεγκτής Ενεργοποιητής Διεργασία R(s) M(s) D(s) G a (s) G(s) + - Στοιχείο μέτρησης μετρούμενη μεταβλητή G m (s) Σχ.1.16 Πλήρες Block Διάγραμμα Διεργασίας + + + C(s) ή Y(s) Ελεγχόμενη μεταβλητή Η βασική στρατηγική ελέγχου είναι να συγκριθεί η μετρούμενη μεταβλητή με την επιθυμητή τιμή της μεταβλητής εισόδου και αν υπάρχει διαφορά (σφάλμα) να προσαρμόσει την έξοδο του ελεγκτή ώστε το σφάλμα να γίνει μηδέν. Το στοιχείο που εκτελεί αυτή τη λειτουργία είναι ο ελεγκτής PID και η λειτουργία του περιγράφεται από την παρακάτω εξίσωση : t 1 de(t) m(t) = K c [e(t) + e(t)dt + τd ] + ms τi dt 0 Η συνάρτηση μεταφοράς της ιδανικής εξίσωσης του ελεγκτή είναι : M(s) 1 D(s) = ή G(s) = D(s) = K [1 tds] K c K i/s K ds E(s) c + + = + τis + Όπου : K c = αναλογικό κέρδος (proportional) e(t)=σφάλμα τ i =σταθερά ολοκλήρωσης (reset time) τ d =σταθερά χρόνου διαφόρισης (sec/min) m s = η έξοδος του ελεγκτή στην αποκατάσταση που μηδενίζει το σφάλμα. Παρατηρούμε πως ο ελεγκτής μπορεί να περιέχει έναν όρο (P) ή δύο (ΡΙ)ή και τρεις (PID). Συνήθως η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή που χρησιμοποιείται στην πράξη έχει τη μορφή : 1 τds + 1 Gc (s) = K c[1 + ][ ] όπου β(σταθερά) <<1, συνήθως 0.01-0.1 τis βτds + 1 Πολλοί βιομηχανικοί ελεγκτέs χρησιμοποιούν τους όρους proportional band (PB) και Reset (R i ). Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 22

PB = 100/K c σε ποσοστό επί τοις % (συνήθως 1 ΡΒ 500) R i = 1/τ i, επαναλήψεις ανά λεπτό (Reset). Η συμπεριφορά του ΣΑΕ καταγράφεται από τον τρόπο αντίδρασης του, σε μεταβολές της εισόδου (setpoint) ή του φορτίου ΔL. Στο Σχ.1.17 δίνεται η χρονική απόκριση συστήματος 2 ου βαθμού, σε βηματική μεταβολή του φορτίου (ΔL) προκειμένου να μελετηθούν οι επιδράσεις των ελεγκτών P, PI, και PID στην συμπεριφορά του συστήματος. Από τις κυματομορφές παρατηρούμε τα εξής: Κυματομορφή 1. Xωρίς ελεγκτή: ΔCss = K LΔL Η διαταραχή επιδρά στη διεργασία και έχουμε μετακίνηση της απόκρισης C(s) κατά K L ΔL. Σχ.1.17Απόκριση συστήματος με βραδυπορία 1 Κυματομορφή 2. Ελεγκτής (P): ΔCss = K LΔL[ ] 1 + KK c παρατηρείται μία ταλάντωση και αύξηση της απόκλισης στην αποκατάσταση. Κυματομορφή 3. Ελεγκτής PI: Εξουδετερώνει τις διαταραχές αλλά έχουμε μεγαλύτερη υπερύψωση και μεγαλύτερη περίοδο ταλάντωσης σε σύγκριση με την κυματομορφή 2. Κυματομορφή 4. Ελεγκτής PID: Επιτυγχάνεται καλύτερη απόκριση σε σύγκριση με τις άλλες. Πρέπει όμως να επισημανθεί πως ο όρος διαφόρισης (derivation mode) είναι ευαίσθητος στους θορύβους που προέρχονται από τη διεργασία ή τις μετρήσεις, σε αλλαγές παραμέτρων της διεργασίας, και γενικά είναι πιο δύσκολος στο συντονισμό. Για το λόγο αυτό σε βιομηχανικές εφαρμογές χαμηλών συχνοτήτων χρησιμοποιείται πιο συχνά ο ελεγκτής ΡΙ. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 23

1.6.1 Συντονισμός Αναλογικού PID Ελεγκτή α) Μέθοδος Ziegler - Nichols Ο ελεγκτής τοποθετείται στη θέση «Aυτόματος». Τα ποτενσιόμετρα ολοκλήρωσης και διαφόρησης τοποθετούνται στη χαμηλότερη δυνατή τιμή (τ i, τ d ). Οπότε, σταδιακά αυξάνεται το ποτενσιόμετρο κέρδους Κ c μέχρι να παρατηρηθεί ταλάντωση σταθερού εύρους στην κυματομορφή εξόδου. Το κέρδος σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται Κ κρισ. και υπολογίζεται από την ένδειξη του ποτενσιόμετρου ενώ η περίοδος Τ 0 από την κυματομορφή απόκρισης με τη βοήθεια παλμογράφου. Στον Πίνακα 1.5 δίδονται οι εξισώσεις του Ziegler- Nichols για τον υπολογισμό των παραμέτρων του ελεγκτή. Λόγος κέρδους Α Κ κρισ = A 1 2π Τ 0 = ωc0 ω Γωνία φάσης φ -180 ω c0 ω (rad/sec) Συχνότητα θλάσης Σχ.1.18 Απόκριση για υπολογισμό των Κ κρισ. και Τ ο. Ο υπολογισμός των παραμέτρων επίσης, μπορεί να γίνει και από τα διαγράμματα απόκρισης συχνότητας ανοικτού βρόγχου, δηλαδή τα διαγράμματα BODE (Σχ.1.18). Υπολογίζεται το Α που αντιστοιχεί στο ω co, όπου ω co είναι η συχνότητα θλάσης δηλαδή η συχνότητα που το διάγραμμα φάσης τέμνει ή προσεγγίζει -180 0. Στη συνέχεια υπολογίζονται τα Κ κρισ. =1/Α και Τ ο =2π/ω co (min/περίοδο) και από τις εξισώσεις του Ziegler-Nichols του Πίνακα 1.5 υπολογίζονται οι παράμετροι του PID. Η μέθοδος Ziegler-Nichols επίσης χρησιμοποιείται στον αλγεβρικό τρόπο υπολογισμού των παραμέτρων ως εξής G(јω) = -180,επιλέγονται τιμές του ω μέχρι που η συνολική γωνία φάσης είναι ίση με -180. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε την τιμή του ω στην εξίσωση κερδών 20logA = 20 log G(јω). Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 24

β) Μέθοδος Cohen - Coon: Εναλλακτικά, οι παράμετροι του PID μπορούν να υπολογιστούν από τις εξισώσεις των Cohen-Coon. Υποθέτουμε πως η διεργασία αποτελείται από μοντέλο 1 ου βαθμού με βραδυπορία. Ke tds G(s) = τs + 1 Ο ελεγκτής τίθεται στη θέση χειροκίνητο και προκαλείται βηματική μεταβολή στην είσοδο της διεργασίας Δm με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται αντίστοιχα η έξοδός της κατά ΔC. Τελική τιμή 0.632 C ss C 0.28 C ss ΔC ss t o.28 t o.632 Σχ.1.19 Καμπύλη απόκρισης σε βηματική μεταβολή εισόδου. t Από την καμπύλη βηματικής απόκρισης στο πεδίο του χρόνου (Σχ.1.19) βρίσκονται οι παράμετροι της διεργασίας κάνοντας χρήση των εξισώσεων: K = ΔC ss /Δm=Β/Α t d = 1.5 ( t 0.28-1/3 t 0.63 ) τ = 1.5 ( t 0.63 - t 0.28 ) α = t d /τ Στη συνέχεια από τις εξισώσεις Cohen-Coon του Πίνακα 1.5 βρίσκονται οι παράμετροι του αναλογικού PID ελεγκτή. Ο Πίνακας 1.5 περιλαμβάνει εξισώσεις για τον υπολογισμό των παραμέτρων του ελεγκτή και για τις δύο μεθόδους δηλ. των Zeigler-Nichols και Cohen-Coon. Επισημαίνουμε ότι δεν υπάρχει υπεροχή της μίας μεθόδου έναντι της άλλης, ως προς την ακρίβεια τιμών των παραμέτρων, όμως παρατηρείται ότι οι εξισώσεις των Zeigler-Nichols είναι πιό εύχρηστες. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 25

Τύπος του Ελεγκτή Πίνακας 1.5 Υπολογισμός Παραμέτρων PID Μέθοδος Μέθοδος Ziegler-Nichols Cohen-Coon Αναλογίας (P) Αναλογίας + ολοκλήρωσης (PI) Αναλογίας + ολοκλήρωσης + διαφόρισης (PID) K c =0.5Kκρ K c =0.50K κρ τ i =Τ ο /1.2(min) K c =0.6K κρ τ ι =Τ ο /2(min) τ d =Τ ο /8(min) (1/α+0.333) K c = K (0.9/α+0.082) K c = K 3.33α+0.333α 2 τ i =τ 1+2.2α (1.35/α+0.27) K c = K 2.5α+0.5α 2 τ i =τ 1+0.6α 0.37α τ d = τ 1+0.2α Παράδειγμα: Υπολογισμός Παραμέτρων Ελεγκτή PID. Για το διάγραμμα του Σχ. 1.16 δίνεται διεργασία με συνάρτηση μεταφοράς 1 1 G(s) =, στοιχείο μέτρησης με G m (s) = και βάνα με G f (s) = 1. (5s +1)(2s +1) 10s +1 Να υπολογιστούν οι παράμετροι των ελεγκτών P, PI, PID με τη μέθοδο της καμπύλης απόκρισης στο διάστημα του χρόνου (χρονική απόκριση εξόδου) και με τις δύο μεθόδους: Η συνάρτηση ανοιχτού βρόγχου 1 G (s) = G f (s)g(s)g m (s) = (5s +1)(2s +1)(10s + 1)(1) Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 26

α) Μέθοδος Cohen-Coon Από την καμπύλη του Σχ. 1.20 βρίσκουμε τις τιμές των t d, τ, K και α ως εξής: t 0.28 = 10 t 0.63 = 24 t d = 1.5 ( 10-24/3 ) = 3.0 τ = 1.5 ( 24 10 ) = 21 Κ = 1 α = 3/21 = 0.1428 1 ης τάξεως Σχ.1.20 Καμπύλες απόκρισης Επομένως το άγνωστο μοντέλο της διεργασίας έχει τη μορφή 3s 1.0e G(s) = 21s + 1 Στη συνέχεια από τις εξισώσεις Cohen-Coon του Πίνακα 1.5 υπολογίζονται οι παράμετροι του PID ελεγκτή. i) Για Ρ: (1/ α) + 0.333 1/0.1428 + 0.333 Κ c = = = 7.33 Κ 1 ii) Για ΡΙ: (0.9/0.1428) + 0.082 Κ c = = 6.30 + 0. 082 = 6.38 1 2 3.33(0.1428) + 0.333(0.1428) (0.475) + 0.006 τ i = 21 = 21 1+ 2.2(0.1428) 1.314 iii) Για PID: Κ c = 1.35/ 0.142 + 0. 27 = 9.70 2.5(0.1428) + 0.5(0.1428) τ i = 21 1+ 0.6(0.1428) 0.37(0.1428) Τ d = 21 = 1.07 1+ 0.2(0.1428) 2 = 7.10 = 7.68 Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 27

β) Μέθοδος Zeigler-Nichols Στη περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται αναλυτικός τρόπος για τον υπολογισμό των παραμέτρων του ελεγκτή. Βρίσκεται η εξίσωση φάσεως της G (s): -180 ο = tan -1 (-5ω co ) + tan -1 (-2ω co ) + tan -1 (-10ω co ) Επιλέγονται διάφορες τιμές για ω μέχρι η τιμή να ικανοποιεί πλήρως την εξίσωση και η συχνότητα ονομάζεται κρίσιμη ω co.για το παράδειγμα βρίσκουμε ω co =0.415 rad/min. Στη συνέχεια βρίσκεται το κέρδος για ω co =0.415 rad/min από την εξίσωση κέρδους : 1 1 1 log A = log + log + log (5ω ) 2 + 1 (2ω ) 2 + 1 (10ω ) 2 co co co + 1 log A =-1.0969 A = log -1 (-1.0969)= 0.08 Επομένως: Κ κρισ. =1/Α=1/0.08=12.6, Τ ο =2π/ω co =15.14 min/cycle Από τις εξισώσεις του Πίνακα 1.5 βρίσκουμε: i) Για Ρ: Κ c =12.6/2=6.3 ii) Για ΡΙ: Κ c =0.45*12.6/2= 5.67 τ i =15.14/1.2=12.62 iii) Για PID: K c =0.6*12.6=7.6 τ i =15.14/2=7.57 τ d =15.14/8=1.89 Στο Σχ.1.21 δίνονται οι καμπύλες απόκρισης κλειστού βρόγχου, σε βηματική μεταβολή της εισόδου (set point) και του φορτίου (διαταραχή) με PID ελεγκτή Zeigler-Nichols (Z-N) και Cohen-Coon (C-C). Παρατηρούμε πως οι τιμές των παραμέτρων του PID είναι αποδεκτές και με τις δύο μεθόδους αφού επιτυγχάνουν βελτίωση της συμπεριφοράς του συστήματος. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 28

Σχ.1.21 Έλεγχος με PID με Cohen-Coon και Ziegler-Nichols: (α) μεταβολή του set point (β) μεταβολή φορτίου. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 29

Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 2.1 Ψηφιακό Σύστημα Ελέγχου Σε ένα συνηθισμένο βρόγχο ελέγχου όλα τα σήματα είναι αναλογικά. Οι πνευματικοί βρόγχοι ελέγχου χρησιμοποιούν πνευματικά σήματα (π.χ. ατμός) για μετάδοση των σημάτων, ενώ οι ηλεκτρονικοί βρόγχοι ελέγχου χρησιμοποιούν σήματα τάσεως ή ρεύματος (4-20mA). Το στοιχείο μέτρησης εντοπίζει την τιμή της ελεγχόμενης μεταβλητής και την μεταδίδει στον ελεγκτή. Η τιμή αυτή συγκρίνεται με την επιθυμητή ή set point για να παραχθεί ένα σήμα απόκλισης, το οποίο ονομάζεται σφάλμα. Ο ελεγκτής ενεργοποιείται από το σήμα του σφάλματος και παράγει ένα σήμα ελέγχου. Το σήμα ελέγχου μεταφέρεται στο τελικό στοιχείο ελέγχου, το οποίο πολλές φορές είναι μια αυτόματη βαλβίδα θέσεως, για να εκλείψει το σφάλμα. Σε αντίθεση με τα αναλογικά συστήματα ελέγχου, το ψηφιακό σύστημα ελέγχου κάνει χρήση ψηφιακών σημάτων (διακριτών σημάτων ή παλμών) δηλ. το σήμα είναι μια παλμοσειρά στενού εύρους και ομοιόμορφου ύψους. Το Block διάγραμμα δίνεται στο Σχ.2.1. Η ελεγχόμενη μεταβλητή μετριέται όπως πριν, και το συνεχές ηλεκτρικό σήμα της μεταβλητής εξόδου στέλνεται στη βαθμίδα μετατροπής (A/D) για να μετατραπεί σε ψηφιακό σε συγκεκριμένη προϋπολογισμένη συχνότητα. Η περίοδος δειγματοληψίας (Sampling period), που είναι ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών δειγμάτων, είναι συνήθως σταθερός σε εφορμογή ελέγχου διεργασιών. Η τιμή του ψηφιακού συστήματος που παράγεται από τη βαθμίδα Α/D συγκρίνεται μετά με το επιθυμητό ψηφιακό (set point) στον υπολογιστή και παράγεται το σφάλμα. Ένα κατάλληλο πρόγραμμα στον υπολογιστή αντιπροσωπευτικό του ελεγκτή ονομαζόμενο αλγόριθμος ελέγχου, εκτελείται και παράγει ένα ψηφιακό σήμα στην έξοδο του ελεγκτή. Το ψηφιακό σήμα ξαναμετατρέπεται σε συνεχές ηλεκτρικό σήμα από τη βαθμίδα (συσκευή) που ονομάζεται μετατροπέας (D/Α) και τελικά στέλνεται στο τελικό στοιχείο ελέγχου (π.χ. βαλβίδα). Ο τρόπος αυτός ελέγχου επαναλαμβάνεται σε προκαθορισμένη συχνότητα για να επιτευχθεί ο έλεγχος κλειστού βρόγχου της διεργασίας. Αυτή η μέθοδος ελέγχου ονομάζεται απευθείας έλεγχος με Η/Υ (Direct Digital Control), και είναι ένας από τους τρόπους που εφαρμόζεται στην βιομηχανία και θα αποτελέσει ένα από τα θέματα προς μελέτη σε αυτό το βιβλίο. Σε πολλές βιομηχανικές εφαρμογές τα σήματα στην έξοδο της συσκευής μετρήσεως και την είσοδο της συσκευής τελικού ελέγχου είναι πνευματικά. Επειδή όμως ο Η/Υ επεξεργάζεται ηλεκτρικά σήματα απαιτείται η χρήση μετατροπέων ηλεκτρικών σημάτων σε πνευματικά και αντιθέτως. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 31

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε πως ο αναλογικός ελεγκτής σε ένα συνηθισμένο σύστημα ελέγχου αντικαθίσταται από ηλεκτρονικό υπολογιστή (Η/Υ), και η ενέργεια ελέγχου που παράγεται από τον αναλογικό ελεγκτή αντικαθίσταται από ένα πρόγραμμα του Η/Υ για ψηφιακό έλεγχο. Επομένως ένα στοιχείο που πρέπει να ληφθεί υπ' όψη σε κάποια εφαρμογή είναι ο αριθμός των αναλογικών ελεγκτών που θα αντικατασταθούν από τον Η/Υ. Επισημαίνεται πως αυτό είναι ένα μόνο στοιχείο για το υπολογισμό του συνολικού κόστους για έλεγχο με Η/Υ τα άλλα στοιχεία που θα πρέπει να ληφθούν υπ' όψη θα αναφερθούν αναλυτικά σε επόμενο κεφάλαιο. Η/Υ set point - Εξίσωση ελεγκτή D/A Βαλβίδα ελέγχου Διεργασία Έξοδος A/D Στοιχείο Μετρήσεως Σχ.2.1 Σύστημα επεξεργασίας ψηφιακών σημάτων (Φίλτρο) Τα πλεονεκτήματα που επιτυγχάνονται με τον ψηφιακό έλεγχο είναι αρκετά και ενδεικτικά αναφέρονται παρακάτω: 1. Ικανότητα για επεξεργασία αλγορίθμων με λογισμικό αντί για hardware. 2. Αλλαγή του σχεδιασμού χωρίς αλλαγές στο hardware. 3. Μείωση μεγέθους, βάρους, ισχύος καθώς και χαμηλό κόστος. 4. Μεγαλύτερη αξιοπιστία, συντήρηση και δοκιμαστική ικανότητα. 5. Μεγαλύτερη ανοχή σε θορύβους. Η μονάδα που χρησιμοποιείται στον ψηφιακό έλεγχο, μπορεί να είναι ένα PLC ή ψηφιακός ελεγκτής τύπου PID ή ψηφιακό φίλτρο (DSP). Ο σχεδιασμός των ψηφιακών ελεγκτών γίνεται με τέσσερις τρόπους που περιγράφονται στο διάγραμμα του Σχ.2.2. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 32

ΑΝΑΛΟΓΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΑΛΟΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΨΗΦΙΑΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΚΤΙΜΟΥΜΕΝΗ ΕΚΤΙΜΟΥΜΕΝΗ ΕΚΤΙΜΟΥΜΕΝΗ ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ (ZIEGLER-NICHOLS) G(s) S Z Z W' G(z) ΜΕΘΟΔΟΣ ΖΟΗ G(w) ΕΛΕΓΚΤΗΣ D(s) ΨΗΦΙΑΚΟΣ ΕΛΕΓΚΤΗΣ S Z D(z) Z W' ΕΛΕΓΚΤΗΣ D(w) Σχ.2.2 Tρόποι Σχεδιασμού Ψηφιακού Ελεγκτή D(z) 2.2 Σχεδιασμός Ψηφιακών Συναρτήσεων (Φίλτρων) Ο σχεδιασμός των ψηφιακών φίλτρων από το αντίστοιχο αναλογικό γίνεται με τους τρόπους που αναφέρονται στη συνέχεια. 2.2.1 Μετατροπή αναλογικού σε ψηφιακό Σχεδιάζεται το αναλογικό φίλτρο δηλ. ο αντισταθμιστής και στη συνέχεια μετατρέπεται στην αντίστοιχη ψηφιακή μορφή του ως εξής: α) Αντιστοίχηση πόλων και μηδενικών (matched Z-transform) Χρησιμοποιείται η σχέση z = e st όπου T = περίοδος δειγματοληψίας Αρχικά ελέγχεται ο αριθμός πόλων και μηδέν στην συνάρτηση G(s). Στην περίπτωση που υπάρχουν περισσότεροι πόλοι από μηδέν τότε προστίθενται ένα μηδενικό στο z = -1. Στη συνέχεια ρυθμίζεται το κέρδος του ψηφιακού φίλτρου για να ταιριάσει με το κέρδος του αντίστοιχου αναλογικού σε κάποια κρίσιμη συχνότητα δηλ. G(s=0)=KG(z=1). Η μέθοδος αυτή δεν μας δίνει πάντα τα προσδοκώμενα αποτελέσματα. Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 33

β) Μετασχηματιστής Tustin (Bilinear) Είναι μια προσεγγιστική μέθοδος και χρησιμοποιείται η σχέση: 2 (z-1) s = T (z+1) Εδώ γίνεται αντικατάσταση χαμηλών αναλογικών συχνοτήτων με αντίστοιχες ψηφιακές, όμως παράγεται παραμόρφωση στις υψηλές συχνότητες λόγω μη γραμμικότητας. Για τη διόρθωση της παραμόρφωσης, πριν την μετατροπή, γίνεται ταίριασμα της κρίσιμης συχνότητας μεταξύ αναλογικών και ψηφιακών. Έτσι αντικαθίστανται όλα τα s στην αναλογική συνάρτηση μεταφοράς με s =s(ω ο /ω p ), όπου ω ο είναι η συχνότητα που πρέπει να ταιριασθεί το ψηφιακό φίλτρο και 2 ω ο Τ ω p = εφ Τ 2 Τέλος γίνεται προσαρμογή του κέρδους της συνάρτησης G(z) από τη σχέση G(s=0)=K G(z=1), δηλαδή γίνεται προσαρμογή του κέρδους. Η μέθοδος Tustin είναι η πιο γνωστή με ευρύτατη χρήση. 2.2.2. Μέθοδος ZOH Με την παρούσα μέθοδο εξετάζεται μια διαφορετική μεθοδολογία για τον σχεδιασμό ψηφιακών ελεγκτών ανάδρασης από τη γνωστή μέθοδο των PID ελεγκτών. Επίσης για την υλοποίησή τους γίνεται χρήση ευέλικτων υπολογισμών με τη βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Το μπλοκ διάγραμμα ελέγχου κλειστού βρόγχου, δίνεται στο Σχ.2.3 : L (s) G L (s) R(z) set point E(z) ΕΛΕΓΚΤΗΣ Διεργασία U(z) D(z) G G(s) T ΖΟΗ (s) - + + C(s) T Σχ.2.3 Ψηφιακό σύστημα ελέγχου Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 34

Ακολουθείται και εδώ η διαδικασία του αναλογικού ελέγχου πλην όμως έχουμε συνδυασμό ψηφιακών και αναλογικών σημάτων και επομένως απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στην απλοποίηση των συναρτήσεων μεταφοράς. Επίσης υπάρχουν και εδώ δύο είσοδοι: η επιθυμητή τιμή (set point) και η μεταβολή φορτίου L(s). α) Μεταβολή επιθυμητής τιμής (set point) Στην περίπτωση αυτή έχουμε: C(z) D(z) G ZOHG p (z) = R(z) 1+ D(z) G ZOHG p (z) Όπου : -st G (z)=i {G 1 e ZOH (s) G(s)} και G ZOH(s) = s D(z) G (z) = 1+ D(z) G (z) Αν οι τιμές των C(z) και R(z) είναι γνωστές, μπορεί να υπολογιστεί η άγνωστος D(z) από C(z) την σχέση. Η εξίσωση για τον υπολογισμό της D(z) δίνεται από τη σχέση : R(z) 1 C(z)/R(z) D(z) = G (z) 1 C(z)/R(z) Πρέπει λοιπόν να επιλέξουμε την μορφή του set point (step, κ.λπ.) και να προσδιορίσουμε την δυναμική επιθυμητή απόκριση (δηλαδή, η μεταβλητή εξόδου να ταυτίζεται με τη νέα τιμή του set point σε μια περίοδο δειγματοληψίας) για να υπολογισθεί ο λόγος C(z)/R(z). Μετά, μπορούμε να υπολογίσουμε το D(z) από την παρακάτω εξίσωση η οποία αποτελείται από το λόγο δύο πολυωνύμων σε z -1. D ( z) U(z) = E(z) β 0 + β z + β = 1+ α + α -1 1-1 1z z +...+β z +...+ α -2 2-2 2z -κ κ -m m z Το σήμα ελέγχου στην έξοδο του ελεγκτή την n th στιγμή βρίσκεται από την εξίσωση που ακολουθεί η οποία ονομάζεται αλγόριθμος ελέγχου: u n =β ο ε n +β 1 ε n-1 +β 2 ε n-2 +...+β κ ε n-κ -α 1 u n-1 -...-α m u n-m β) Μεταβολή φορτίου L(s) Σε μεταβολές του φορτίου η έξοδος C(z) υπολογίζεται από τη σχέση G LL(z) G' L (z) C (z) = = 1+ D(z) G ZOH G(z) 1+ D(z) G (z) Όπου : G L(z)=I {G L (s) L(s)}, G (z)= I {G ZOH (s) G(s)} Η τιμή του ελεγκτή D(z) υπολογίζεται από τη σχέση G L(z) - C(z) G L L (z) - C(z) D( z) = = G G(z) C(z) G (z) C(z) ZOH Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 35

Επιλέγουμε την μεταβολή του φορτίου L(s), ορίζουμε την επιθυμητή χαρακτηριστική της απόκρισης και μετά υπολογίζουμε την D(z). Επισημαίνεται ότι η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται όταν είναι δυνατή η μέτρηση και ο προσδιορισμός του τύπου των διαταραχών που οφείλονται σε μεταβολές του φορτίου. Πρέπει να δίδεται προσοχή στην επιλογή του τρόπου σχεδιασμού του ελεγκτή D(z) διότι ο ελεγκτής χρησιμοποιείται ταυτόχρονα για την εξουδετέρωση των μεταβολών που προέρχονται από μεταβολές του set point ή/και του φορτίου. Σε πολλές περιπτώσεις ο υπολογισμός της D(z) για μεταβολή του set point είναι ικανοποιητικός και για την απόρριψη μεταβολών φορτίου. Παράδειγμα: 1 Δίνεται διεργασία με G(s) = και T=1sec 0,4s +1 Υποθέτουμε βηματική είσοδο στο setpoint : R(t)=u(t) R(z)=1/(1-z -1 )= z/(z-1). Επίσης, επιθυμούμε η C(z) να είναι ίση με το νέο set point εντός μίας περιόδου T, άρα έχουμε C(z)=0+z -1 +z -2 +...=z -1 /(1-z -1 ). Επομένως: -1-1 C(z) z 1 - z -1 = = z R(z) -1 1 - z 1 & -1 1 z D(z) = G -1 ZOHGp (z) 1 - z στη συνέχεια βρίσκουμε 1 e GZOH G( z) = I[ GZOH ( s) G( s)] = I[ s 1 = I z 0,4s 1 + 1 = (1 z ) ( z 1)( z e 1 2,5T 1 e = ) z e 2,5T 2,5T st 1 I = (1 z s(0,4s 1) + -2,5T -1 1 1 * 0,4s + ) I s 1 (0,4 st 1 e ] = I 1 0,4s 1 I = + s(0,4s + 1) 1 2,5 = (1 z ) I = s + 1) s( s 2,5) + z - e z (z - 0,0882)z 1-0,082z Οπότε D(z) = = = -2,5T -1-1 -1 1 - e 1 - z 0,918(1- z ) 0,918(1- z ) -1 M(z) 1-0,082z ή D(z) = = επομένως έχουμε την εξίσωση ελέγχου E(z) -1 0,918(1- z ) 0,918M(z)-0,918z -1 M(z) = E(z)-0,082z -1 E(z) -1-1 Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 36

Η εξίσωση του αλγόριθμου ελέγχου στο διακριτό επίπεδο έχει τη μορφή m n =m n-1 + 1,09 e n - 0,089 e n-1 όπου: m n = έξοδος του ελεγκτή την n th στιγμή. m n-1 = έξοδος του ελεγκτή την (n-1) th στιγμή. e n = σφάλμα (set point-μετρούμενη) την n th στιγμή. e n-1 = σφάλμα (set point-μετρούμενη) την (n-1) th στιγμή. 2.3 Ψηφιακός Ελεγκτής PID Η λειτουργία του αναλογικού PID ελεγκτή περιγράφεται από την εξίσωση : t 1 de(t) y = y 0 + K c e(t) + e(t)dt + Τd Τi dt 0 Η προσομοίωση της εξίσωσης γίνεται από πνευματικά στοιχεία ή αναλογικούς ενισχυτές, ολοκληρωτές και αθροιστές. Σε εφαρμογές ψηφιακού ελέγχου, χρησιμοποιείται το ψηφιακό ισοδύναμο της παραπάνω εξίσωσης. Ο έλεγχος με Η/Υ που περιέχει τον αλγόριθμο ελέγχου του PID, προσαρμόζει τις σταθερές, ώστε να ελαχιστοποιηθεί η τιμή σύμφωνα με τα παρακάτω κριτήρια: 1. Το ολοκλήρωμα του τετραγώνου του σφάλματος. I1 = 2 e 0 dt 2. Το ολοκλήρωμα της απόλυτης τιμής του σφάλματος. I = 2 e ( t) 0 Το κριτήριο που επιλέγεται, εξαρτάται από την απόκριση που επιθυμούμε. Χρησιμοποιώντας προσεγγιστικές αριθμητικές μεθόδους βρίσκεται η εξίσωση διακριτού χρόνου την n στιγμή. n T Τd yn = K c en + ek + ( en en 1 + y0 (1) Τi k= 0 T y n = έξοδος ελεγκτή την n στιγμή e n = σφάλμα (set point-measurement) την n στιγμή y o = steady state, τιμή στην έξοδο του ελεγκτή για μηδενικό σφάλμα (δηλαδή αρχική θέση βαλβίδας ). Η εξίσωση (1) μπορεί να γραφτεί και με την παρακάτω μορφή: n T K cτd y nt = K cent + K c ekt + (ent e(n 1)T ) + y 0 Τi k= 0 Τ Επίσης για τη n-1 στιγμή η εξίσωση έχει τη μορφή k 1 T Τ d yn 1 = K c en 1 + ek + ( en 1 en 2) + y0 Τ (2) i k= 0 T αφαιρώντας την (2) από την (1) έχουμε: dt Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 37

T Τ d y n = yn 1 + K c ( en en 1) + en + ( en 2en 1 + en 2 ) (3) Τi T Η (3) γράφεται και με την παρακάτω μορφή: T Τd 2Τd Τd y n = yn yn 1 = K c ( 1+ + ) en K c (1 + ) en 1 + K c en 2 (4) Τi T T T Η εξίσωση (1) ονομάζεται PID "θέσης" και η (4) PID "ταχύτητας" διότι υπολογίζεται η μεταβολή στην έξοδο του ελεγκτή αντί της πραγματικής τιμής του ελεγκτή. Η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή στο επίπεδο Ζ έχει την παρακάτω μορφή : PID: U(z) D(z) = = K E(z) c T Τ (1 + + Τi T d 2Τ ) (1 + T Τ + T 1 2 T 1 Τd 1 2z + z = K c (1 + + + 1 1 Τi 1 z T 1 z T 1 K c T 1 PI: D( z) = K c (1 + ) z = (1 + ) z 1 Τi 1 z Τi Ο αλγόριθμος ταχύτητας έχει τα παρακάτω πλεονεκτήματα: 1. Δεν χρειάζεται τοποθέτηση στην αρχική τιμή, δηλαδή δεν απαιτείται η αρχική τιμή y o όπως στον αλγόριθμο θέσης. Η τιμή y o δεν είναι συνήθως γνωστή. 2. Προστασία από εμπλοκή λόγω επαναλήψεων (reset windup) διότι δεν συμπεριλαμβάνει το άθροισμα σειράς σφάλματος που οδηγεί σε κορεσμό του σήματος ελέγχου. 3. Προστατεύει την διεργασία από βλάβες του υπολογιστή. Οι συσκευές σημάτων, βηματικοί κινητήρες κ.λπ. διατηρούν την τελευταία υπολογισμένη τιμή της βαλβίδας ελέγχου στην περίπτωση που υπάρχει βλάβη στον υπολογιστή, οπότε αποφεύγεται συνολική απώλεια ελέγχου της διεργασίας. Ο συντονισμός των σταθερών του ψηφιακού ελεγκτή γίνεται με την ίδια διαδικασία όπως στον αναλογικό, θα πρέπει όμως να ληφθεί υπόψη και η επίδραση της συχνότητας δειγματοληψίας Τ. Παράδειγμα: Έλεγχος βρόγχου ροής με ελεγκτή PI α) Αναλογικός έλεγχος Στο σημείο αυτό είμαστε σε θέση να χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο με Η/Υ σε διεργασία απλού βρόγχου. Δίδεται ένα αναλογικό σύστημα ελέγχου ροής με ΡΙ ελεγκτή (Σχ.2.4) και επιθυμούμε να σχεδιασθεί ο ισοδύναμος ψηφιακός ΡΙ. Ο μεταδότης πίεσης μετρά την πίεση με το ροόμετρο και το μετατρέπει σε 3-15 psig πνευματικό σήμα. Ο ελεγκτής το συγκρίνει με την επιθυμητή τιμή του set point και αν χρειασθεί, στέλνει σήμα (3-15 psig) προς την βαλβίδα αναλογίας, ώστε να μηδενισθεί το σφάλμα. d )z 1 d z 2 = Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 38

Σχ.2.4 Έλεγχος βρόγχου ροής Η λειτουργία του ελεγκτή PI περιγράφεται από την εξίσωση : t 100 1 1 y = y0 + e + e(t)dt ή Dc (s) = K c 1 + PB τ I 0 τ I y = σήμα στην έξοδο του ελεγκτή τη χρονική στιγμή t, σε ποσοστό % y o = σήμα στην έξοδο την t=0 (τη στιγμή που ο ελεγκτή μεταφέρεται στη θέση "automatic") σε ποσοστό πλήρης κλίμακας. e = σφάλμα (R-Cm) σε ποσοστό πλήρης κλίμακας, όπου Cm η μετρούμενη μεταβλητή και R είναι το set point (%). PB = εύρος ζώνης του proportional ελεγκτή σε % τ i = χρόνος ολοκλήρωσης (min). Πολλές φορές χρησιμοποιείται η εξίσωση: t y = y0 + K c e + TI e(t)dt 0 Oι σχέσεις των K c, PB, τ Ι, Τ Ι δίδονται: Κ c = 100/ΡΒ και Τ Ι = 1/ τ Ι επαναλήψεις ανά λεπτό Αν ΡΒ = 50% και τ Ι = 2 min, τότε : Κ c = 100/50 = 2 και Τ Ι = 1/2 = 0.5 επαναλήψεις/λεπτό. Έστω πως επιθυμούμε η τιμή ροής να είναι 3.78 γαλόνια/min (gpm). Τα R και y o υπολογίζονται ως εξής (calibrations) : Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 39

α) Από τον Πίνακα 2.1 και για 3.78 gpm η τιμή σήματος του μεταδότη ροής (F.T. Flow Transmitter) είναι 7.26 psig (π.χ. 35% της πλήρους κλίμακας 3 15 psig). Άρα R = 35.5. β) Από την χαρακτηριστική της βαλβίδας του πίνακα για 3.78 gpm, το σήμα της βαλβίδας πρέπει να είναι 8.9 psig (π.χ. 49.27% της πλήρους κλίμακας 3 15 psig). γ) y o = 49.27(στον Πίνακα 2.1 αυτό αντιστοιχεί στην τιμή 6 στον κατα-γραφέα ροής του ελεγκτή). Υποθέτουμε πως οι δοκιμές έγιναν στην επιθυμητή τιμή λειτουργίας (3.78 gpm) και πως οι παρακάτω τιμές του ελεγκτή είναι ικανοποιητικές. ΡΒ = 50%, τ Ι = 1 λεπτό Πίνακας 2.1 Προσαρμογές μεταδότη ροής και χαρακτηριστικά βαλβίδας Ροή (gpm) Δείκτης ροής στον ελεγκτή ροής (arbitary units) Σήμα εξόδου του μεταδότη ροής (% πλήρους κλίμακας) Σήμα στην βαλβίδα (% πλήρους κλίμακος) 0 0 0 (=3 psig) 0 (=3 psig) 0.79 1 1 14.58 1.29 2 3 21.67 1.92 3 8 29.17 2.54 4 15 34.2 3.20 5 24 40.5 3.78 6 35.5 (=7.26 psig) 49.2 (=8.9) 4.44 7 49 59.2 4.92 8 64 65.8 5.61 9 82.5 79.6 6.31 10 100 (=15 psig) 100 (=15 psig) Για την εκκίνηση και λειτουργία του βρόγχου πρέπει να ακολουθεί η παρακάτω διαδικασία: α) Ανοίγουμε τον αέρα και την τροφοδοσία νερού. β) Τίθεται ο διακόπτης του ελεγκτή στη χειροκίνητη θέση (manual). γ) Τοποθετείται το ΡΒ στο 50 και ο reset δείκτης στο 1. δ) Μετακινείται ο δείκτης (δηλαδή το set point) στην τιμή 6 του ελεγκτή ροής FC (δηλ. 35.5% της πλήρους κλίμακας εισόδου). ε) Προσαρμόζεται η έξοδος του ελεγκτή στο 49.17% (δηλαδή 8.9 psig) του σήματος εξόδου. Αυτό επιτυγχάνεται αν το set point και η μετρούμενη τιμή του ελεγκτή ροής (δείκτης του FC) ταυτισθούν. στ) Μετακινείται ο ελεγκτής ροής (FC) στην αυτόματη θέση (automatic). Έλεγχος Παραγωγικών Διεργασιών 40