TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ας θεωρήσουμε το σύστημα ανοικτού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης (.) και (.2): x Ax+ Bu (.) y Cx + Du (.2) Το διάνυσμα μεταβητών κατάστασης διαστάσεων x είναι το x, u είναι το διάνυσμα εισόδου x και y είναι το διάνυσμα εξόδου mx. Αυτό το μέρος του συστήματος θεωρείται ως αμετάβητο. Τα συστήματα ανατροφοδότησης των μεταβητών κατάστασης και των μεταβητών εξόδου φαίνονται στα Σχήματα. και.2 αντίστοιχα. D v w u F B + + - + x x C + + y A Σχήμα. Σύστημα ανατροφοδότησης μεταβητών κατάστασης. D v F' + w u x x y B C + + + - + A Σχήμα.2 Σύστημα ανατροφοδότησης εξόδου.
Οι πίνακες ανατροφοδότησης και είναι διαστάσεων x και xm και θεωρούνται σταθεροί. Οι είσοδοι v και v θεωρούνται ως διανύσματα lx. Έτσι οι πίνακες ευθείας τροφοδότησης F και F επίσης θεωρούνται ότι είναι σταθεροί και διαστάσεων xl. Θα μπορούσε να υποστηριχθεί ότι η ανατροφοδότηση των μεταβητών κατάστασης είναι μόνο ακαδημαϊκού ενδιαφέροντος επειδή, εξ ορισμού, οι έξοδοι είναι τα μόνα σήματα που μετρούνται σε πραγματικό χρόνο. Η ανατροφοδότηση όμως των μεταβητών κατάστασης είναι εξαιρετικά χρήσιμη για τους ακόουθους όγους:. Το διάνυσμα των μεταβητών κατάστασης x περιέχει όες τις απαραίτητες πηροφορίες για το σύστημα σε κάθε χρονική στιγμή. 2. Υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες όες οι μεταβητές κατάστασης είναι μετρήσιμες, δηαδή αποτεούν μεταβητές εξόδου. Σε αυτή την περίπτωση ισχύουν: CI και D[]. 3. Υπάρχουν αποτεεσματικοί τρόποι για την εκτίμηση ή την ανακατασκευή των μεταβητών κατάστασης από τις διαθέσιμες εισόδους και εξόδους (παρατηρητές) Οι εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβημα ανατροφοδότησης μεταβητών κατάστασης είναι οι (.) και (.2), μαζί με την σχέση: () t () t ( ) u Fv x t (.3) Ο συνδυασμός τους δίνει: ( ) x v x A-B + BF (.4) και y ( C-D)x + DF v (.5) Οι εξισώσεις (.4) και (.5) έχουν την ίδια μορφή με τις εξισώσεις (.) και (.2). Το ερώτημα που προκύπτει είναι το εξής: «Ποιες μεταβοές μπορούν να επιτευχθούν στα συνοικά χαρακτηριστικά του συστήματος με την κατάηη επιογή των και F;». Η ευστάθεια του συστήματος ανατροφοδότησης μεταβητών κατάστασης καθώς και οι θέσεις των πόων του εξαρτάται από τις ιδιοτιμές του πίνακα A-ΒΚ. Η ρυθμιστικότητα εξαρτάται από τους πίνακες A-ΒΚ και BF. Η παρατηρησιμότητα εξαρτάται από τους πίνακες A-ΒΚ και C-D. Το σύστημα ανατροφοδότησης των μεταβητών εξόδου περιγράφεται από τις εξισώσεις (.) και () (.2), μαζί με την u t Fv y. Για τον όγο αυτό: () y t Cx+ DFv D y ή
() t ( + ) ( + ) y I D Cx DF v m Χρησιμοποιώντας την σχέση αυτή αμβάνουμε: x A B I m + D C x+ B F Im + D DF v. Βάσει της ταυτότητας για την αντιστροφή πίνακα: σχέση αποποιείται και γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m I I + D D I + D, η προηγούμενη x m + + + A B I D C x B I D Fv (.6) Πάι, οι σχέσεις (.7) και (.6) έχουν την ίδια μορφή με τις εξισώσεις (.) και (.2). Οι ιδιότητες της ευστάθειας, ρυθμιστικότητας και παρατηρητικότητας καθορίζονται τώρα από τους πίνακες: A B ( I + D ) C ( ) B I + D F και ( I + D ) C. m, Το πρόβημα που θα αντιμετωπίσουμε στη συνέχεια είναι το εξής: Αν δοθεί ένα σύστημα της μορφής που περιγράφεται από τις εξισώσεις (.), (.2) να υποογίσουμε πίνακα ανατροφοδότησης όων των μεταβητών κατάστασης ώστε στο σύστημα κειστού βρόχου που περιγράφεται από τις εξισώσεις (.4), (.5) οι πόοι να τοποθετηθούν σε σημεία δικής μας επιογής. Δηαδή το πρόβημα διατυπώνεται ως εξής: Υποόγισε πίνακα Κ ώστε οι ιδιοτιμές του πίνακα A-Bνα είναι Λ { },,..., m.2 ος ΤΡΟΠΟΣ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ Ο τρόπος αυτός εφαρμόζεται εύκοα σε συστήματα που περιαμβάνουν μόνο μια μεταβητή εκ χειρισμού. Βρίσκουμε την επιθυμητή χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος κειστού βρόχου, δηαδή qs ( ) ( s )( s )...( s ) s a s... aκαι τη χαρακτηριστική 2 + + + ορ( si ) εξίσωση που αντιστοιχεί στο σύστημα κειστού βρόχου (.4), (.5), δη. συνέχεια εξισώνουμε έναν προς ένα τους όρους των δύο πουωνύμων. Α - ΒΚ. Στη Παράδειγμα : Ας θεωρήσουμε το σύστημα:
x Ax+ Bu x+ u 2 3 5 { 4 i, 4 i, } Λ + Η επιθυμητή χαρακτηριστική εξίσωση είναι: qs s i s i s s s s 3 2 ( ) ( + 4 3)( + 4+ 3)( + ) + 8 + 5 + 25 Αν ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι [ 2 3] τότε A-B [ ] 3 2 3 5 2 32 5 s 3 2 ορ( si Α+ ΒΚ) ορ s s + (5 + 3) s + ( 3+ 2) s+ ( 2+ ) 2+ 3+ 2 s+ 5+ 3 3 Εξισώνοντας τους όρους των δύο πουωνύμων που έχουν προκύψει, έχουμε: (5 + ) 8 3 ( ) ( ) 3 3 3+ 5 2 2 2 2 + 25 248.3 2 ος ΤΡΟΠΟΣ: ΜΕΘΟΔΟΣ ACERMANN Ο τρόπος αυτός εφαρμόζεται μόνο σε συστήματα που περιαμβάνουν μόνο μια μεταβητή εκ χειρισμού και είναι απή εφαρμογή του παρακάτω τύπου: P A [... ] q C ( ) Όπου ο πίνακας ρυθμισιμότητας του συστήματος. P C Παράδειγμα 2:
Θα επαναάβουμε το παραπάνω παράδειγμα με χρήση της μεθοδοογίας Ackema. 2 3 3 [ ] q( ) [ ] 5 B AB A B A ( A + 8A + 5A+ 25I3 ) 5 22 [ 248 2 3].4 3 ος ΤΡΟΠΟΣ: ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ Η εξίσωση (.4) υποδεικνύει ότι οι ιδιοτιμές του συστήματος κειστού βρόχου είναι ρίζες της αγεβρικής εξίσωσης ( Ι Α ΒΚ) Δ'( ) ορ + (.8) Λ { } Έχει αποδειχθεί ότι οποιοδήποτε σύνοο επιθυμητών ιδιοτιμών,,..., 2 μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας έναν σταθερό πίνακα ανατροφοδότησης Κ (του οποίου τα στοιχεία είναι πραγματικοί αριθμοί) αν και μόνο αν το σύστημα ανοικτού βρόχου (Α,Β) είναι ρυθμίσιμο. Η μέθοδος που παρουσιάζεται για τον υποογισμό του Κ αποτεεί μια κατασκευαστική απόδειξη του ότι η ρυθμισιμότητα αποτεεί ικανή συνθήκη για την αυθαίρετη τοποθέτηση των πόων. Το πρόβημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Να προσδιοριστεί ο πίνακας Κ έτσι ώστε η εξίσωση (.8) να ικανοποιείται για κάθε i Λ. Η εξίσωση (.8) επαναδιατυπώνεται ως εξής: ( Ι Α Ι Ι Α ΒΚ ) ( Ι Α) ( Ι Ι Α ΒΚ) Δ'( ) ορ ( )[ + ( ) ] ορ ορ + ( ) Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του συστήματος ανοικτού βρόχου είναι Δ ( ) ορ ( Ι Α). Εφόσον το ( ) Ι Α είναι της ίδιας μορφής με τον μετασχηματισμό Laplace του πίνακα μετάβασης ανοικτού βρόχου, αυτός ο όρος συμβοίζεται με Φ(). σχέση Τα χαρακτηριστικά πουώνυμα ανοικτού και κειστού βρόχου συνδέονται οιπόν με τη ( Ι Φ ΒΚ) ( Ι ΚΦ Β ) Δ '( ) Δ ( ) ορ + ( ) Δ ( ) ορ + ( ) (.9)
Ο πίνακας Κ πρέπει να επιεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε επιθυμητή τιμή i είναι επίσης ρίζα του Δ '( i ) Δ '( ), η ορίζουσα του πίνακα για κάθε i Λ. Αν μια Ι + ΚΦ( ) Β θα πρέπει i είναι μηδέν. Αυτό μπορεί να συμβεί με το να μηδενίσουμε μια οποιαδήποτε γραμμή ή στήη του παραπάνω πίνακα. Η μέθοδος που παρουσιάζεται στο υποκεφάαιο αυτό μηδενίζει μια στήη του πίνακα. Συγκεκριμένα, ορίζουμε τη j στήη του I ως e j και την j στήη του πίνακα Ψ( i ) Φ( i )Β ως ψ j. Τότε το i είναι ρίζα του Δ '( ) αν ο Κ έχει επιεγεί έτσι ώστε να ικανοποιεί την εξίσωση e j + ψ j ( i ), αφού με τον τρόπο αυτό η στήη j του πίνακα Ι + ΚΦ( ) Βμηδενίζεται. Έτσι i ψ j ( i ) - e j (.) Από μόνη της η εξίσωση (.) δεν είναι ικανή να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του. Ωστόσο αν μπορεί βρεθεί μια ανεξάρτητη εξίσωση αυτής της μορφής για κάθε μπορεί να υποογιστεί με ακρίβεια. Αν οι επιθυμητές ιδιοτιμές Λ { } ) j ( ψ ), j ( 2 2),..., ψ j ( i Λ, τότε ο Κ,,..., είναι διακριτές (δηαδή δεν υπάρχει ιδιοτιμή με ποαπότητα μεγαύτερη του ) θα είναι πάντα δυνατό να βρεθούν γραμμικά ανεξάρτητες στήες ψ. Τότε [ ψ ( ) ψ ( )... ψ ( ) ] - [ e e... e ] j j2 2 j j j2 j ή - [ e e... e ][ ψ ( ) ψ ( )... ψ ( ) ] j j2 j j j 2 2 j (.) Παράδειγμα 3: Ας θεωρήσουμε το σύστημα: x 2 Ax + Bu + 3 x u το οποίο είναι ρυθμίσιμο και ας υποογίσουμε τον πίνακα ανατροφοδότησης που θα τοποθετήσει τους πόους Λ { 3, 4} κειστού βρόχου στα σημεία Υποογίζουμε αρχικά τον πίνακα Φ() και στη συνέχεια τον πίνακα Ψ(): 3 2 2 Φ( ) 3 ( 3) 3 2 2 Ψ( ) Φ( ) Β ( 3) ( 3)
Ο πίνακας Ψ ( ) έχει μία μόνο στήη και άρα υπάρχει μια μόνο δυνατότητα επιογής στήης για κάθε ιδιοτιμή στο σύνοο Λ 2 ψ ( ) ( 3) Υποογίζουμε την τιμή του ( ) ψ στα σημεία 3, 4 : /9 /4 ψ( ), ( 2) /6 ψ /7 Από την εξίσωση. υποογίζουμε τον πίνακα ανατροφοδότησης /9 /4 - [ ] 6 /6 /7 [ ] Παράδειγμα 4: Ας θεωρήσουμε το σύστημα: x 2 Ax + Bu + 3 x u Το οποίο είναι ρυθμίσιμο και ας υποογίσουμε τον πίνακα ανατροφοδότησης που θα τοποθετήσει τους πόους κειστού βρόχου στα σημεία Λ { 3, 2 4} : Υποογίζουμε αρχικά τον πίνακα Φ() και στη συνέχεια τον πίνακα Ψ(): 3 2 2 Φ( ) 3 ( 3) 3 2 3 2 Ψ( ) Φ( ) Β ( 3) ( 3) Ο πίνακας Ψ ( ) έχει δύο στήες και άρα υπάρχουν δύο δυνατότητες επιογής στήης για κάθε ιδιοτιμή στο σύνοο Λ / ( ), 2( ) ψ ψ ( 3)
Υποογίζουμε την τιμή των ψ ( ), ψ ( ) στα σημεία 3, 2 4 : /3 /4 ψ( ), ( 2) ψ /9 /4 ψ2( ), 2( 2) /6 ψ /7 Έχουμε οιπόν τις εξής δυνατότητες για τον υποογισμό του πίνακα ανατροφοδότησης: ) Επιογή της πρώτης στήης του πίνακα Ψ ( ) για την πρώτη ιδιοτιμή και της δεύτερης στήης του πίνακα Ψ ( ) για τη δεύτερη ιδιοτιμή. Τότε ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι: /3 /4 3.5 - /7 7 2) Επιογή της πρώτης στήης του πίνακα Ψ ( ) για την πρώτη ιδιοτιμή και της πρώτης στήης του πίνακα Ψ ( ) για τη δεύτερη ιδιοτιμή. Τότε ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι: /3 /4 - Ο παραπάνω πίνακας δεν μπορεί να υποογιστεί αφού απαιτεί την αντιστροφή πίνακα με ορίζουσα μηδέν. 3) Επιογή της δεύτερης στήης του πίνακα Ψ ( ) για την πρώτη ιδιοτιμή και της πρώτης στήης του πίνακα Ψ ( ) για τη δεύτερη ιδιοτιμή. Τότε ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι: /9 /4 4 8/3 - /6 6 4) Επιογή της δεύτερης στήης του πίνακα Ψ ( ) για την πρώτη ιδιοτιμή και της δεύτερης στήης του πίνακα Ψ ( ) για τη δεύτερη ιδιοτιμή. Τότε ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι: /9 /4 - /6 /7 6 Θα δούμε στη συνέχεια τι συμβαίνει όταν θέουμε να τοποθετήσουμε μια ιδιοτιμή στο σύστημα κειστού βρόχου με ποαπότητα μεγαύτερη του. Αν ο αριθμός των μεταβητών εισόδου είναι
αρκετός τότε δε χρειάζεται να κάνουμε καμία μετατροπή στη μεθοδοογία που έχουμε παρουσιάσει ως τώρα. Παράδειγμα 5: Ας θεωρήσουμε το σύστημα: x 2 Ax + Bu + 3 x u Το οποίο είναι ρυθμίσιμο και ας υποογίσουμε τον πίνακα ανατροφοδότησης που θα τοποθετήσει τους πόους Λ { 4, 4} κειστού βρόχου στα σημεία Το σύστημα είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό του παραδείγματος και επομένως ο αντίστοιχος πίνακας Ψ( ) 3 2 Ψ ( ) ( 3) είναι Στον οποίο αντιστοιχούν οι στήες / ( ), 2( ) ψ ψ ( 3) Υποογίζουμε την τιμή των ψ ( ), ψ ( ) στα σημεία 4, 2 4 : /4 /4 ψ( ), ( 2) ψ /4 /4 ψ2( ), 2( 2) /7 ψ /7 Είναι προφανές ότι στην περίπτωση αυτή δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ίδια στήη του πίνακα Ψ( ) για τις δύο ιδιοτιμές αφού θα απαιτηθεί στη συνέχεια η αντιστροφή πίνακα με μηδενική ορίζουσα. Έχουμε οιπόν δύο επιογές: ) Επιογή της πρώτης στήης του πίνακα Ψ ( ) για την πρώτη ιδιοτιμή και της δεύτερης στήης του πίνακα Ψ ( ) για τη δεύτερη ιδιοτιμή. Τότε ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι:
/4 /4 4 2 - /7 7 2) Επιογή της δεύτερης στήης του πίνακα Ψ ( ) για την πρώτη ιδιοτιμή και της πρώτης στήης του πίνακα Ψ ( ) για τη δεύτερη ιδιοτιμή. Τότε ο πίνακας ανατροφοδότησης είναι: /4 /4 4 2 - /7 7 Παρατηρούμε μάιστα ότι και οι δύο επιογές οδήγησαν στον υποογισμό του ίδιου ακριβώς πίνακα ανατροφοδότησης. Παράδειγμα 6: Ας θεωρήσουμε το σύστημα: x 2 Ax + Bu + 3 x u Το οποίο είναι ρυθμίσιμο και ας υποογίσουμε τον πίνακα ανατροφοδότησης που θα τοποθετήσει τους πόους Λ { 4, 4} κειστού βρόχου στα σημεία Το σύστημα είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό του παραδείγματος και επομένως ο αντίστοιχος πίνακας Ψ( ) 2 Ψ ( ) ( 3) Με μοναδική στήη την είναι 2 ψ ( ) ( 3) Επομένως έχουμε: /4 /4 ψ( ), ( 2) /7 ψ /7
Είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μοναδική στήη για τοποθέτηση δύο ίδιων ιδιοτιμών με τη μέθοδο που έχει παρουσιαστεί ως τώρα αφού απαιτείται η αντιστροφή πίνακα που έχει μηδενική ορίζουσα. Μπορούμε μόνο να γράψουμε: /4 Κψ( ) Κ /7 Στην περίπτωση αυτή χρειάζεται μια τροποποίηση της μεθοδοογίας. Αν επιθυμούμε το i να έχει αγεβρική ποαπότητα m i, τότε παραγώγισης μιας ορίζουσας d Δ '() d i για v, 2,, m i -. Σύμφωνα με τον κανόνα dδ'( ) dδ( ) dψ Ι + ΚΦ( ) Β + Κ e2 + Κψ2 e + Κψ Δ( ) d d d dψ 2 + e+ Κψ Κ e + Κψ Δ( ) + d dψ e+ Κψ e2 + Κψ2 Κ Δ( ) (.2) d Υποθέτουμε ότι ψ ( ) j i e j. Τότε όοι οι όροι της (.2) έχουν μια μηδενική στήη, εκτός από αυτόν που περιέχει το dψ /d. Έτσι μια επιπέον ανεξάρτητη εξίσωση για να αναγκάζει το Δ '( i ) είναι η j dψ j d i (.3) Αν είναι απαραίτητο μπορούν να χρησιμοποιηθούν και παράγωγοι μεγαύτερης τάξης. Με τον τρόπο αυτό μπορούν πάντα να βρεθεί ένα σύνοο από γραμμικά ανεξάρτητες στήες, είτε ψ ( ), είτε παραγώγους. ji i Συνέχεια παραδείγματος 6:
Από την μέχρι τώρα πορεία έχει προκύψει: /4 Κ /7 Άρα χρειαζόμαστε μια ακόμη ανεξάρτητη αγεβρική εξίσωση για τον υποογισμό του Κ. Αυτή προκύπτει από την εξίσωση.3: 4 + 6 2 2 ( 3 ) dψ( ) 22 / 784 d 2 6 / 784 2 2 ( 3 ) 4 /4 22 / 784 /4 22 / 784 [ ] [ ] [8 ] / 7 6 / 784 / 7 6 / 784