. Διανυσματικός Λογισμός Επανάληψη (ecto Clculus) Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη (scl nd vecto quntities) Η διανυσματική ανάλυση είναι μαθηματικό εγαλείο με το οποίο οι ηλεκτομαγνητικές έννοιες εκάζονται πιο βολικά και κατανοούνται καλύτεα. Πέπει πώτα να μάθουμε τους κανόνες και τις τεχνικές της ποτού να μποέσουμε με βεβαιότητα να την εαμόσουμε. Πιο κάτω εισάγουμε τις βασικές έννοιες του διανυσματικού λογισμού στα κατεσιανά και άλλα ισότιμα συστήματα. Βαθμωτό λέγεται κάθε υσικό μέγεθος που καθοίζεται τελείως όταν είναι γνωστή η αιθμητική του τιμή και η μονάδα μετήσεως (μάζα, απόσταση, θεμοκασία). Διανυσματικό λέγεται το υσικό μέγεθος που για τον καθοισμό του χειάζονται εκτός από το μέτο δύο επιπλέον στοιχεία, η κατεύθυνση και η οά (ταχύτητα, μετατόπιση, ένταση ηλεκτικών πεδίων). Μοναδιαίο διάνυσμα: λέγεται το διάνυσμα του οποίου το μέτο είναι ίσον με ένα (π.χ. ) και η κατεύθυνσή του είναι κατά μήκος του Α. Το μέτο του Α δίνεται από το τύπο A A A A
Πόσθεση και ααίεση διανυσμάτων Δύο διανύσματα Α και Β μποούν να ποστεθούν και να δώσουν ένα άλλο διάνυσμα Γ όπου ΓΑ Β. Η πάξη γίνεται συνιστώσα με συνιστώσα π.χ. αν Α(Α χ,α,a ) και Β(Β χ,β,b ) τότε Γ (Α χ Β χ ) (Α B ) (A B ). Η ίδια διαδικασία ισχύει και για την ααίεση διανυσμάτων. Πόσθεση Πολλαπλασιασμός - ΑΒΒΑ - καακ - Α(ΒΓ)(ΑΒ)Γ - κ(α)(κ)α - κ(αβ)κακβ όπου κ και είναι βαθμωτά μεγέθη. B A C A C B Πόσθεση Ααίεση
Διάνυσμα θέσης και απόστασης (Position nd Distnce ectos) Διάνυσμα θέσης: Ένα σημείο Ρ στις κατεσιανές συντεταγμένες μποεί να αντιποσωπευθεί με (,,). Το διάνυσμα θέσης οίζεται ως η κατευθείαν απόσταση από το σημείο αναοάς στο σημείο Ρ το οποίο είναι p OP Το σημείο (3,4,5), για παάδειγμα, και το διάνυσμα θέσης του 3 χ 4 5 αίνονται στο πιο κάτω σχήμα. Διάνυσμα Απόστασης: Αν έχουμε δύο σημεία, Ρ ( p, p, p ) και Q ( Q, Q, Q ), το διάνυσμα απόστασης είναι η απόσταση από το Ρ στο Q όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. P P PQ Q Ο Q 3
Παάδειγμα. Αν Α 0 4 6 και Β, υπολογίστε (α) τη συνιστώσα του Α στη κατεύθυνση του (β) το μέτο του 3Α Β (γ) ένα μοναδιαίο διάνυσμα στη κατεύθυνση του Α Β. (sd. p9) 4
Παάδειγμα. Τα σημεία Ρ και Q βίσκονται στο (0,,4) και (-3,,5) αντίστοιχα. Υπολογίστε (α) Το διάνυσμα θέσης του P (β) Το διάνυσμα απόστασης απó το Ρ στο Q (γ) Την απόσταση μεταξύ Ρ και Q (δ) Ένα διάνυσμα παάλληλο του ΡQ με μέτο 0. (sd. p 0) 5
Πολλαπλασιασμός διανυσμάτων (ecto multipliction) Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο διανύσματα Α και Β το αποτέλεσμα είναι είτε βαθμωτό είτε διάνυσμα, εξατώμενο πάντα από τον τόπο που γίνεται ο πολλαπλασιασμός. Οι δύο τόποι για πολλαπλασιασμό διανυσμάτων είναι: (α) Εσωτεικό γινόμενο (dot poduct) A B AB cos( θ AB ) Επίσης ισχύουν τα εξής: Α. Β Β. Α Α. (Β Γ) Α. Β Α. Γ (β) Εξωτεικό γινόμενο (coss poduct) A B ABsin( θ AB ) A B όπου k είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο που πειλαμβάνει τα σημεία Α, Β και το σημείο αναοάς όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. A B A B A B k 6
Επίσης Α B B A A B -B A A (B Γ) (A B) Γ Α (B Γ) Α B A Γ Α A 0 Τιπλό εσωτεικό γινόμενο (scl tiple poduct) A. (B Γ) Β. (Γ A) Γ. (A B) όπου Α. (Β Γ) A B A B A B Γ Γ Γ Τιπλό εξωτεικό γινόμενο (vecto tiple poduct) A (B Γ) B (A. Γ) Γ (A. B) 7
Παάδειγμα.3 Δίνονται τα διανύσματα Α 3 4 και Β 5. Υπολογίστε τη γωνία μεταξύ Α και Β. (sd.5 p8) 8
Παάδειγμα.4 Δίνονται τία μεγέθη πεδίων Ρ - Σ T 3 Υπολογίστε (α) (Ρ Σ) (Ρ Σ) (β) Σ. Τ Ρ (γ) Ρ. Σ Τ (δ) sin(θ ΣΤ ) (ε) Ρ (Σ Τ) (στ) ένα μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στο Σ και στο Τ (ζ) τη συνιστώσα του Ρ στη κατεύθυνση του Σ. (s.d.6 p9) 9
0
Συστήματα Συντεταγμένων και μετασχηματισμός (Coodinte Sstems nd Tnsfomtion) Γενικά, τα υσικά μεγέθη που θα εξετάζουμε στον ηλεκτομαγνητισμό, είναι συνατήσεις του διαστήματος και του χόνου. Ποκειμένου να πειγαούν οι μεταβολές των μεγεθών στο χώο, πέπει να είμαστε σε θέση να καθοίσουμε όλα τα σημεία μεμονωμένα στο διάστημα κατά τόπο κατάλληλο. Αυτό απαιτεί ένα κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων. Παακάτω θα πειοιστούμε στα τία πιό γνωστά συστήματα συντεταγμένων: κατεσιανό (Ctesin), κυκλικό κυλινδικό (cicul clindicl) και το σαιικό (spheicl). Κατεσιανές συντεταγμένες (Ctesin Coodintes) Ένα σημείο Ρ μποούμε να το παουσιάσουμε ως (,,). Ένα διάνυσμα Α, σε κατεσιανές συντεταγμένες, μποεί να γατεί ως (Α,A,A ) ή A A A Κυκλικές κυλινδικές συντεταγμένες (Cicul Clindicl Coodintes) Το κυκλικό κυλινδικό σύστημα συντεταγμένων είναι πολύ βολικό όταν έχουμε να κάνουμε με ποβλήματα που έχουν κυλινδική συμμετία. Ένα σημείο Ρ σε κυλινδικές συντεταγμένες γάεται ως (,,) και αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Από το σχήμα μποούμε να δούμε ότι το είναι η ακτίνα του κυλίνδου, το είναι η γωνία που μετιέται από τον άξονα στο επίπεδο και το είναι το ίδιο όπως στις κατεσιανές συντεταγμένες. Ένα διάνυσμα Α μποεί να γατεί ως (Α,Α,Α ) ή Α Α Α
Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών (,,,) του κατεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του κυλινδικού συστήματος (,,) είναι: tn,, cos, sin ή,
Σαιικές συντεταγμένες (Spheicl Coodintes) Το σύστημα σαιικών συντεταγμένων είναι πιο βολικό όταν έχουμε να κάνουμε με ποβλήματα που έχουν κάποιο βαθμό σαιικής συμμετίας. Ένα σημείο Ρ μποεί να γατεί ως (,θ,) όπως αίνεται πιο κάτω σχήμα. Από το σχήμα βλέπουμε ότι το είναι η απόσταση από το σημείο αναοάς στο σημείο Ρ, το θ είναι η γωνία μεταξύ του άξονα και το διάνυσμα θέσης του Ρ και το είναι η γωνία που μετιέται από τον άξονα στο επίπεδο. Ένα διάνυσμα Α μποεί να γατεί ως (Α,Α θ,α ) ή Α Α θ θ Α Η σχέση μεταξύ των μεταβλητών (,,,) του κατεσιανού συστήματος συντεταγμένων και του σαιικού συστήματος (,θ,) είναι: ή, θ tn, tn sinθ cos, sin θ sin, cosθ 3
4
Παάδειγμα.5 Δίνεται το σημείο Ρ (-,6,3). Εκάστε το Ρ σε κυλινδικές και σαιικές συντεταγμένες. (sd. p40) 5
Παάδειγμα.6 Εκάστε το διάνυσμα 0 B cosθ σε κατεσιανές και κυλινδικές συντεταγμένες. Υπολογίστε το Β(-3,4,0) και το Β(5, π,-). (sd. p43) θ 6
Διανυσματικός Λογισμός (ecto clculus) Οι έννοιες που εισάγονται πιο κάτω παέχουν την κατάλληλη γλώσσα για να εκάσουν οισμένες θεμελιώδεις ιδέες στην ηλεκτομαγνητική ή τα μαθηματικά γενικά. Διαοικό μήκος, εμβαδόν και όγκος (Diffeentil length, e, nd volume) Διαοικό μήκος, εμβαδόν και όγκος είναι χήσιμα στο διανυσματικό λογισμό. Καθοίζονται στα κατεσιανά, κυλινδικά, και σαιικά συστήματα συντεταγμένων. Κατεσιανές συντεταγμένες (Ctesin Coodintes) Το διαοικό μήκος είναι dl d d d Το διαοικό κάθετο εμβαδόν είναι ds ds ds dd dd dd Ο διαοικός όγκος είναι dv ddd Σημείωση: dl και ds είναι διανύσματα όμως το dv είναι βαθμωτό όπως βλέπουμε στο πιο κάτω σχήμα. 7
8
Kυλινδικές συντεταγμένες (Clindicl coodintes) Το διαοικό μήκος είναι dl d d d Το διαοικό κάθετο εμβαδόν είναι ds ds ds dd dd dd Ο διαοικός όγκος είναι dv dd d 9
Σαιικές συντεταγμένες (spheicl coodintes) Το διαοικό μήκος είναι dl d dθ θ sinθd ds sinθdθd Το διαοικό κάθετο εμβαδόν είναι ds ds sinθdd ddθ θ Ο διαοικός όγκος είναι dv sinθddθd 0
Ολοκληώματα επικαμπύλια, επιάνειας και όγκου (Line, sufce, nd volume integls). Επικαμπύλιο Ολοκλήωμα (Line Integl) Δίνεται το διανυσματικό πεδίο Α και η καμπύλη L, καθοίζουμε το ολοκλήωμα L A. dl b A cosθdl ως το επικαμπύλιο ολοκλήωμα (line integl) του Α γύω από την L. Αν η ποεία του ολοκληώματος είναι μία κλειστή καμπύλη η πιο πάνω εξίσωση γίνεται L A.dl όπου ονομάζεται η κυκλοοία (cicultion) του Α γύω από την L.
Ολοκλήωμα Επιάνειας (Sufce Integl) Δίνεται το διανυσματικό πεδίο Α, σε μια πειοχή που πειέχει την επιάνεια S. Καθοίζουμε το ολοκλήωμα επιάνειας (sufce integl) ως Ψ S A cosθ ds S A. n ds ή πιο απλά Ψ S A. ds Ολοκλήωμα Όγκου (olume Integl) Επίσης καθοίζουμε το ολοκλήωμα vdv v ως το ολοκλήωμα όγκου (volume integl) του βαθμωτού v γύω από τον όγκο.
Παάδειγμα.7 Δίνεται F - -. Υπολογίστε την κυκλοοία (cicultion) του F γύω από την (κλειστή) ποεία όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. (sd 3. p67) 3
4
5 Τελεστής Ανάδελτα (Del opeto) Γάεται και είναι διανυσματικός διαοικός τελεστής (vecto diffeentil opeto) Σε κατεσιανές συντεταγμένες γάεται Αυτός ο διανυσματικός διαοικός τελεστής δεν είναι ένα διάνυσμα, αλλά όταν λειτουγεί σε μια βαθμωτή συνάτηση το αποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα. Η κλίση ενός βαθμωτού, γάεται Σε κυλινδικές συντεταγμένες ο τελεστής Ανάδελτα (Del opeto) γάεται α Σε σαιικές συντεταγμένες ο τελεστής Ανάδελτα (Del opeto) γάεται θ θ sin θ
6 Κλίση ενός βαθμωτού πεδίου (Gdient of scl) Εξ οισμού, η κλίση ενός βαθμωτού πεδίου είναι ένα διάνυσμα που αντιποσωπεύει και το μέγεθος και την κατεύθυνση του μέγιστου ποσοστού αύξησης του στο χώο. Σε κατεσιανές συντεταγμένες gd Σε κυλινδικές συντεταγμένες Σε σαιικές συντεταγμένες θ θ θ sin
Παάδειγμα.8 Υπολογίστε την κλίση (gd) των πιο κάτω βαθμωτών πεδίων: (α) e sin cosh (β) U cos (γ) W 0 sin θ cos (sd 3.3 p73) 7
Απόκλιση ενός διανύσματος και θεώημα απόκλισης (Divegence of vecto nd divegence theoem) Από ποηγουμένως έχουμε παατηήσει ότι η καθαή εκοή της οής ενός διανυσματικού πεδίου Α από μια κλειστή επιάνεια S λαμβάνεται από το ολοκλήωμα A. ds Τώα καθοίζουμε την απόκλιση του Α (div A) ως την καθαή εκοή πος τα έξω για κάθε μονάδα όγκου όταν ο όγκος τείνει στο 0. diva. A lim Δ 0 S A. ds Δ όπου Δ είναι ο εσωκλειόμενος όγκος από την κλειστή επιάνεια S. Η απόκλιση του Α σε ένα σημείο Ρ( o, o, o ) σε κατεσιανές συντεταγμένες είναι:. A A A A Σε κυλινδικές συντεταγμένες είναι:.a ( Α ) A A Σε σαιικές συντεταγμένες είναι:. A ( A ) ( Αθ sinθ ) sinθ θ Α sinθ 8
Θεώημα απόκλισης S A. ds. Adv Ιδιότητες της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου.το αποτέλεσμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτό πεδίο..η απόκλιση ενός βαθμωτού δεν έχει νόημα. 3..( A B). A. B 9
Παάδειγμα.9 Υπολογίστε την απόκλιση των πιο κάτω διανυσματικών πεδίων: (α) Ρ (β) Q sin cos (γ) Τ cosθ sin θ cos θ cosθ. (sd 3.6 p79) 30
Παάδειγμα.0 Αν G()0e - ( ), υπολογίστε τη οή του G έξω από ολόκληη την επιάνεια του κυλίνδου, 0. Επιβεβαιώστε το αποτέλεσμα χησιμοποιώντας το θεώημα της απόκλισης. (Βλέπετε πιο κάτω σχήμα) (sd 3.7 p80) Ψ G ds Ψt Ψb Ψs Για Ψt, ds dd( ) Ψ t Για Ψ b Για Ψ s t G ds π 0 0 0e dd Ψb 0, ds d d ) s G ds b π 0 0 ( 0 0 0e dd Ψ, ds dd ) Ψ G ds s π 0 0 G ds Ψ 0e t Ψ b ( dd Ψ s 0e 0 0 0πe (π ) d 0e (π ) 0(π ) d 0(π ) 0e 0 0 0πe 0π e () (π ) d 0(π ) 0π 0π ( e ) 0 0 0π ( e ) 3
Χησιμοποιώντας το θεώημα της απόκλισης (αού έχουμε κλειστή επιάνεια) Ψ G ds ( G)d Όμως G Το G δεν έχει πηγή Ψ G d ( G ) ( G ) ( G ) ( 0e ) ( 0e ) 0e 0e 0 ( ) 0 3
Πειστοή ενός διανύσματος και το θεώημα του Stoke (Cul of vecto nd Stoke s Theoem) Καθοίζουμε την πειστοή (Cul) του Α ως αξονικό διάνυσμα του οποίου το μέγεθος είναι η μέγιστη κυκλοοία του Α ανά μονάδα εμβαδού καθώς το εμβαδόν τείνει στο μηδέν και η κατεύθυνση του είναι η κάθετη κατεύθυνση του εμβαδού όταν το εμβαδόν είναι ποσανατολισμένο έτσι ώστε να γίνει η κυκλοοία μέγιστη. cula A lim ΔS 0 L A. dl ΔS α n όπου ΔS είναι το εμβαδόν που καθοίζεται από την καμπύλη L και n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο στην επιάνεια ΔS. Σε κατεσιανές συντεταγμένες το cul του Α μποούμε εύκολα να το βούμε χησιμοποιώντας A A A Σε κυλινδικές συντεταγμένες το cul του Α μποούμε εύκολα να το βούμε χησιμοποιώντας A A A A A 33
Σε σαιικές συντεταγμένες το cul του Α μποούμε εύκολα να το βούμε χησιμοποιώντας A sinθ θ θ θ sinθ A A sinθa Ιδιότητες του cul:. Το cul ενός διανυσματικού πεδίου έχει ως αποτέλεσμα ένα άλλο διανυσματικό πεδίο.. Το cul ενός βαθμωτού πεδίου δεν έχει νόημα 3. ( A B) A B 4. ( A B) A(. B) B(. A) ( B. A) ( A. ) B 5..( A ) 0 6. 0 Θεώημα του Stoke. dl ( L A A). ds S 34
35 Παάδειγμα. Υπολογίστε το cul των πιο κάτω διανυσματικών πεδίων: (α) Ρ (β) Q sin cos (γ) Τ θ θ θ θ cos cos sin cos. (sd 3.8 p87) (α) P P P P P P P ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( ) (β) ( ) Q Q Q Q Q Q Q ( ) ( ) cos 3 0 0 sin ( ) ( ) 3 cos 3 sin (γ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T T sin sin sin ( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos cos cos sin sin cos sin cos sin ( ) ( ) sin sin cos cos 0 sin sin cos sin
cos sin cos sin sinθcos 3 36
Παάδειγμα. Αν Αcos sin, υπολογίστε το A. dl γύω από την ποεία της καμπύλης, όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Επιβεβαιώστε την απάντηση σας χησιμοποιώντας το θεώημα του Stoke. (sd 3.9 p89) 37
38
39 Το Λαπλασιανό ενός βαθμωτού (The Lplcin of scl) Το Λαπλασιανό ενός βαθμωτού πεδίου, το οποίο γάεται ως, οίζεται ως η απόκλιση της κλίσης του (the divegence of the gdient of ). Σε κατεσιανές συντεταγμένες γάεται ως Σε κυλινδικές συντεταγμένες γάεται ως Σε σαιικές συντεταγμένες γάεται ως sin sin sin θ θ θ θ θ
Εξίσωση του Λαπλάς (Lplce s eqution) 0 Έχουμε εξετάσει μόνο το Lplcin ενός βαθμωτού. Μποούμε επίσης να καθοίσουμε το Λαπλασιανό ενός διανύσματος, το οποίο γάεται A. A ( A) A 40
Παάδειγμα.3 Υπολογίστε τα Λαπλασιανά των πιο κάτω βαθμωτών πεδίων: (α) e sin cosh (β) U cos (γ) W 0 sin θ cos. (sd 3. p93) 4
Ταξινόμηση διανυσματικών πεδίων (ecto field clssifiction) Ένα διανυσματικό πεδίο χαακτηίζεται από την απόκλισή του (divegence) και την πειστοή του (cul), για αυτό όλα τα διανυσματικά πεδία μποούν να ταξινομηθούν σε σχέση με το αν μηδενίζεται ή όχι η απόκλιση τους ή το cul τους. Π.χ. (α). A 0, A 0 (β). A 0, A 0 (γ). A 0, A 0 (δ). A 0, A 0 Σωληνοειδές (solenoidl) : για ένα συγκεκιμένο διανυσματικό πεδίο Α, αν το. A 0 (η απόκλιση είναι ίση με μηδέν) τότε το Α ονομάζεται σωληνοειδές και οι γαμμές οής (flu lines) του Α που μπαίνουν σε μια κλειστή επιάνεια πέπει και να βγουν όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Αστόβιλο ή συντηητικό (iottionl o consevtive): για ένα συγκεκιμένο διανυσματικό πεδίο Α, αν το A 0 (το cul του είναι ίσο με μηδέν) τότε το Α ονομάζεται αστόβιλο (iottionl) όπως αίνεται στο πιο κάτω σχήμα. Eπίσης το επικαμπύλιο ολοκλήωμα του Α είναι ανεξάτητο από την ποεία (independent of pth).. A 0 A 0 A k. A 0 A 0 A k. A 3k A 0. A 0 A 0 A k. A 0 A k. A 0 A 0 A k c. A 3c A k 4
Παάδειγμα.4 Να αποδείξετε ότι το διανυσματικό πεδίο Α είναι συντηητικό (consevtive) αν το Α έχει μία από τις δύο πιο κάτω ιδιότητες: (α) Το επικαμπύλιο ολοκλήωμα της εαπτόμενης συνιστώσας του Α σε μία ποεία που ξεκινά από το σημείο Ρ και καταλήγει στο Q είναι ανεξάτητο της ποείας που ακολουθείται. (β) Το επικαμπύλιο ολοκλήωμα της εαπτόμενης συνιστώσας του Α γύω από όποια κλειστή ποεία είναι 0. (sd 3. p96) 43