5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει καµία σχέση ανάµεσα στο διάνυσµα x και στο διάνυσµα Ax Αν όµως το x είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα τέτοιο ώστε το Ax να είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του x, τότε υπάρχει µία γεωµετρική σχέση ανάµεσα στα x και Ax Για παράδειγµα, αν ο A είναι ένας 2 2 πίνακας και το x είναι ένα µη µηδενικό διάνυσµα στον R 2 τέτοιο ώστε το Ax να είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του x, τότε για κάθε διάνυσµα y που ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων την οποία ορίζει το x, το Ay ανήκει στην ευθεία αυτή Ορισµός Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, τότε ένα µη µηδενικό διάνυσµα x στον R n ονοµάζεται ιδιοδιάνυσµα του A αν το Ax είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του x, δηλαδή αν Ax = λx για κάποιο ϐαθµωτό λ Το ϐαθµωτό λ ονοµάζεται ιδιοτιµή του A και λέµε ότι το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παράδειγµα Το διάνυσµα x = [ 2 A = είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του [ 3 8 το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 3, εφόσον Ax = [ 3 8 [ 2 [ 3 = 6 = 3x 367

368 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για να ϐρούµε τις ιδιοτιµές του n n πίνακα A ξαναγράφουµε την Ax = λx στη µορφή Ax = λix ή ισοδύναµα (λi A)x = () Για να είναι το λ µία ιδιοτιµή του A, πρέπει να υπάρχει µια µη τετριµµένη λύση αυτού του οµογενούς συστήµατος Γνωρίζουµε ότι το οµογενές σύστηµα () έχει µη τετριµµένες λύσεις αν και µόνο αν de(λi A) = ΧΑΡΑΚΤΗ- ΡΙΣΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗ- ΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ Η εξίσωση de(λi A) = ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του A Τα ϐαθµωτά τα οποία ικανοποιούν αυτή την εξίσωση είναι οι ιδιοτιµές του A Αν την αναπτύξουµε η de(λi A) είναι ένα πολυώνυµο του λ το οποίο ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A Μπορούµε να δείξουµε ότι αν ο A είναι ένας n n πίνακας, τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι ϐαθµού n µε πραγµατικούς συντελεστές και ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου λ n είναι Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός n n πίνακα έχει τη µορφή p(λ) = λ n + α n λ n + + α λ + α, µε α, α,, α n πραγµατικούς αριθµούς Από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας η χαρακτηριστική εξίσωση λ n + α n λ n + + α λ + α = έχει n ϱίζες Άρα ένας n n πίνακας έχει n ιδιοτιµές Προσέξτε ότι κάποιες από αυτές τις ιδιοτιµές µπορεί να είναι µιγαδικές καθώς και ότι κάποιες µπορεί να είναι πολλαπλές Εφόσον οι συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι πραγµατικοί αριθµοί, αν ο πίνακας A έχει µιγαδικές ιδιοτιµές (δηλαδή αν η χαρακτηριστική εξίσωση του A έχει µιγαδικές ϱίζες), τότε αυτές ϑα εµφανίζονται σε συζυγή Ϲεύγη, δηλαδή αν η α + i β είναι ιδιοτιµή του A, τότε και η α i β είναι ιδιοτιµή του A

5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 369 Παράδειγµα 2 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα [ A = 3 2 Λύση Εφόσον [ λi A = λ [ 3 2 = [ λ 3 2 λ, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι de(λi A) = de [ λ 3 2 λ = λ 2 3λ + 2 και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ 2 3λ + 2 = Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι λ =, λ 2 = 2 Άρα οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ =, λ 2 = 2 Παράδειγµα 3 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα A = [ 2 5 2 Λύση Εφόσον [ λi A = λ [ 2 5 2 = [ λ + 2 5 λ 2, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι de(λi A) = de [ λ + 2 5 λ 2 = λ 2 + και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ 2 + = Εφόσον οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι οι ϕανταστικοί αριθµοί λ = i, λ 2 = i, οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ = i, λ 2 = i Παράδειγµα 4 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα A = 4 7 8

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Λύση Εφόσον λi A = λ το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι de(λi A) = de 4 7 8 λ λ 4 7 λ 8 και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι = λ λ 4 7 λ 8 = λ 3 8λ 2 + 7λ 4, λ 3 8λ 2 + 7λ 4 = (2) Για να λύσουµε αυτή την τριτοβάθµια εξίσωση ϑα ξεκινήσουµε ψάχνοντας για ακέραιες λύσεις Ολες οι ακέραιες λύσεις της (2) (αν υπάρχουν) είναι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή του 4 Άρα οι µόνες πιθανές ακέραιες λύσεις της (2) είναι οι ±, ±2, ±4 Αν αντικαταστήσουµε διαδοχικά αυτές τις τιµές στη (2), παίρνουµε ότι η λ = 4 είναι µία ακέραια λύση Αν διαιρέσουµε το λ 3 8λ 2 + 7λ 4 µε το λ 4 παίρνουµε λ 3 8λ 2 + 7λ 4 = (λ 4)(λ 2 4λ + ) Εποµένως η (2) ξαναγράφεται στη µορφή (λ 4)(λ 2 4λ + ) = Άρα οι υπόλοιπες λύσεις της (2) ικανοποιούν τη δευτεροβάθµια εξίσωση λ 2 4λ + = Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής είναι λ = 2 ± 3 Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ = 4, λ 2 = 2 + 3, λ 3 = 2 3 Παράδειγµα 5 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα A = 2 2 3 Λύση Εφόσον λi A = λ 2 2 3 = λ 2 λ 2 λ 3,

5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 37 το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A είναι λ 2 de(λi A) = de λ 2 = λ 3 5λ 2 + 8λ 4 λ 3 και η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ 3 5λ 2 + 8λ 4 = (3) Για να λύσουµε αυτή την τριτοβάθµια εξίσωση ϑα ξεκινήσουµε ψάχνοντας για ακέραιες λύσεις Ολες οι ακέραιες λύσεις της (3) (αν υπάρχουν) είναι διαιρέτες του σταθερού όρου, δηλαδή του 4 Άρα οι µόνες πιθανές ακέραιες λύσεις της (3) είναι οι ±, ±2, ±4 Αν αντικαταστήσουµε διαδοχικά αυτές τις τιµές στην (3), παίρνουµε ότι η λ = είναι µία ακέραια λύση Αν διαιρέσουµε το λ 3 5λ 2 + 8λ 4 µε το λ παίρνουµε λ 3 5λ 2 + 8λ 4 = (λ )(λ 2 4λ + 4) Εποµένως η (3) ξαναγράφεται στη µορφή (λ )(λ 2 4λ + 4) = Άρα οι υπόλοιπες λύσεις της (3) ικανοποιούν τη δευτεροβάθµια εξίσωση λ 2 4λ + 4 = Η εξίσωση αυτή έχει µία διπλή ϱίζα την λ = 2 Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ =, λ 2,3 = 2 Παράδειγµα 6 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του άνω τριγωνικού πίνακα a a 2 a 3 a 4 A = a 22 a 23 a 24 a 33 a 34 a 44 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΤΡΙΓΩΝΙΚΩΝ ΠΙΝΑΚΩΝ Λύση Εφόσον η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση µε το γινόµενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου, παίρνουµε ότι de(λi A) = de Άρα η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι λ a a 2 a 3 a 4 λ a 22 a 23 a 24 λ a 33 a 34 λ a 44 = (λ a )(λ a 22 )(λ a 33 )(λ a 44 ) (λ a )(λ a 22 )(λ a 33 )(λ a 44 ) =

372 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι λ = a, λ 2 = a 22, λ 3 = a 33, λ 4 = a 44 που είναι ακριβώς τα στοιχεία της διαγωνίου του A Το επόµενο ϑεώρηµα γενικεύει το αποτέλεσµα του παραπάνω παραδείγµατος Θεώρηµα 5 Αν ο A είναι ένας τριγωνικός πίνακας, τότε οι ιδιοτιµές του A είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του A Παράδειγµα 7 Χωρίς να κάνουµε υπολογισµούς παίρνουµε ότι οι ιδιοτιµές του κάτω τριγωνικού πίνακα A = 2 2 3 5 8 4 είναι οι λ = 2, λ 2 = 2 3, λ 3 = 4 Τώρα που γνωρίζουµε πώς να ϐρίσκουµε ιδιοτιµές περνάµε στο πρόβληµα του πώς ϐρίσκουµε τα ιδιοδιανύσµατα Τα ιδιοδιανύσµατα του A τα οποία αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ είναι τα µη µηδενικά διανύσµατα x τα οποία ικανοποιούν την εξίσωση Ax = λx ή ισοδύναµα τα µη µηδενικά διανύσµατα x στο χώρο των λύσεων του οµογενούς συστήµατος (λi A)x = Ονοµάζουµε το χώρο των λύσεων του (λi A)x = ιδιόχωρο του A που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Παράδειγµα 8 Να ϐρεθούν ϐάσεις για τους ιδιόχωρους του A = 2 2 3 Λύση Οπως είδαµε στο Παράδειγµα 5 οι ιδιοτιµές του A είναι λ =, λ 2,3 = 2 και άρα υπάρχουν δύο ιδιόχωροι του A

5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 373 Από όσα είπαµε παραπάνω το x = x x 2 x 3 είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ αν και µόνο αν το x είναι µία µη τετριµµένη λύση του συστήµατος (λi A)x = ή λ 2 λ 2 λ 3 Για λ = το (4) γίνεται 2 2 x x 2 x 3 x x 2 x 3 = = (4) Η λύση του συστήµατος αυτού είναι x = 2s, x 2 = s, x 3 = s, s στο R Άρα τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ = είναι τα µη µηδενικά διανύσµατα της µορφής 2s s s, s στο R, και ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ = αποτελείται από όλα τα διανύσµατα της µορφής Εφόσον, για s στο R, το διάνυσµα 2s s s 2s s s, s στο R = s 2 2 παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ = Εφόσον το διάνυσµα 2 είναι µη µηδενικό, είναι γραµµικά ανεξάρτητο και άρα µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην λ = αποτελείται από αυτό το διάνυσµα,

374 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Για λ = 2 το (4) γίνεται 2 2 Η λύση του συστήµατος αυτού είναι x x 2 x 3 = x = s, x 2 =, x 3 = s,, s στο R Άρα τα ιδιοδιανύσµατα του A τα οποία αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ 2,3 = 2 είναι τα µη µηδενικά διανύσµατα της µορφής s s,, s στο R, και ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 2,3 = 2 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα της µορφής s s,, s στο R Εφόσον, για, s στο R, s s = s s + = s +, τα διανύσµατα, παράγουν τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 2,3 = 2 Εφόσον τα διανύσµατα, είναι γραµµικά ανεξάρτητα (γιατί κανένα από τα δύο δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου), σχηµατίζουν µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην λ 2,3 = 2 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΤΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ Αν έχουµε ϐρει τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός πίνακα A, τότε είναι εύκολο να ϐρούµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα οποιασδήποτε δύναµης του A µε εκθέτη κάποιον ϑετικό ακέραιο Για παράδειγµα αν η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σ αυτή, τότε A 2 x = A(Ax) = A(λx) = λ(ax) = λ(λx) = λ 2 x Αυτό µας λέει ότι λ 2 είναι µία ιδιοτιµή του A 2 µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x Γενικότερα έχουµε το παρακάτω αποτέλεσµα

5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 375 Θεώρηµα 52 Αν ο k είναι ένας ϑετικός ακέραιος, η λ είναι µία ιδιοτιµή του A και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτή, τότε η λ k είναι µία ιδιοτιµή του A k και το x είναι ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί σε αυτή Παράδειγµα 9 Στο Παράδειγµα 5 δείξαµε ότι οι ιδιοτιµές του A = 2 2 3 είναι οι λ =, λ 2,3 = 2 Εποµένως από το Θεώρηµα 52 οι ιδιοτιµές του A 7 είναι οι λ = 7 =, λ 2,3 = 2 7 = 28 Στο Παράδειγµα 8 δείξαµε ότι το 2 είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A που αντιστοιχεί στην λ = και τα, είναι ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στην λ 2,3 = 2 Άρα από το Θεώρηµα 52 το 2 είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A 7 που αντιστοιχεί στην λ = και τα, είναι ιδιοδιανύσµατα του A 7 που αντιστοιχούν στην λ 2,3 = 28

376 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 52 ιαγωνοποίηση Στην ενότητα αυτή ϑα ασχοληθούµε µε το πρόβληµα της εύρεσης µίας ϐάσης του R n η οποία να αποτελείται απο ιδιοδιανύσµατα ενός n n πίνακα A Τέτοιες ϐάσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να µελετήσουµε γεωµετρικές ιδιότητες του A και για να απλοποιήσουµε υπολογισµούς που περιέχουν τον A ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΙΑΓΩΝΟ- ΠΟΙΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Ο πρώτος µας σκοπός σε αυτή την ενότητα είναι να αποδείξουµε ότι τα δύο παρα- κάτω προβλήµατα, τα οποία αρχικά ϕαίνονται τελείως διαφορετικά, είναι στην πραγ- µατικότητα ισοδύναµα Το Πρόβληµα των Ιδιοδιανυσµάτων Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, υπάρχει µία ϐάση του R n η οποία να αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του A; Το Πρόβληµα της ιαγωνοποίησης Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος ; Το δεύτερο πρόβληµα µας οδηγεί στην εισαγωγή της ακόλουθης ορολογίας Ορισµός Ενας τετραγωνικός πίνακας A ϑα ονοµάζεται διαγωνοποιήσιµος αν υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος Θα λέµε ότι ο πίνακας P διαγωνοποιεί τον A Στο επόµενο ϑεώρηµα ϑα αποδείξουµε ότι το πρόβληµα των ιδιοδιανυσµάτων και το πρόβληµα της διαγωνοποίησης είναι ισοδύναµα Θεώρηµα 52 Αν ο A είναι ένας n n πίνακας, τότε τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : (α) Ο A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐ) Ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Απόδειξη (α) (ϐ): Εφόσον έχουµε υποθέσει ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος, υπάρχει ένας αντιστρέψιµος πίνακας P = p p 2 p n p 2 p 22 p 2n p n p n2 p nn τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος Εστω P AP = D, όπου λ λ 2 D = λ n

52 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ 377 Εφόσον ισχύει P AP = D, ϑα ισχύει και AP = P D, δηλαδή AP = p p 2 p n p 2 p 22 p 2n λ λ 2 = p n p n2 p nn λ n λ p λ 2 p 2 λ n p n λ p 2 λ 2 p 22 λ n p 2n () λ p n λ 2 p n2 λ n p nn Αν ονοµάσουµε p, p 2,, p n τα διανύσµατα στήλες του P, τότε από την () οι στήλες του AP είναι λ p, λ 2 p 2,, λ n p n Οµως από το Παράδειγµα 9 της Ενότητας 4 οι στήλες του AP είναι ίσες µε Ap, Ap 2,, Ap n Εποµένως πρέπει να έχουµε Ap = λ p, Ap 2 = λ 2 p 2,, Ap n = λ n p n (2) Εφόσον ο P είναι αντιστρέψιµος, τα διανύσµατα στήλες του είναι όλα µη µηδενικά Εποµένως παίρνουµε από την (2) ότι οι λ, λ 2,, λ n είναι ιδιοτιµές του A και τα p, p 2,, p n είναι αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα Εφόσον ο P είναι αντιστρέψιµος, τα p, p 2,, p n είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα (ϐ) (α): Ας υποθέσουµε ότι ο A έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα p, p 2,, p n, µε αντίστοιχες ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n και έστω P = p p 2 p n p 2 p 22 p 2n p n p n2 p nn ο πίνακας του οποίου τα διανύσµατα στήλες είναι τα p, p 2,, p n Από το Παράδειγµα 9 της Ενότητας 4 οι στήλες του γινοµένου AP είναι Ap, Ap 2,, Ap n Οµως Ap = λ p, Ap 2 = λ 2 p 2,, Ap n = λ n p n

378 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ και άρα AP = [ Ap Ap 2 Ap n = [ λ p λ 2 p 2 λ n p n = = λ p λ 2 p 2 λ n p n λ p 2 λ 2 p 22 λ n p 2n λ p n λ 2 p n2 λ n p nn p p 2 p n λ p 2 p 22 p 2n λ 2 (3) = P D p n p n2 p nn λ n όπου ο D είναι ο διαγώνιος πίνακας ο οποίος έχει τις ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n στην κύρια διαγώνιο Εφόσον τα διανύσµατα στήλες του P είναι γραµµικά ανεξάρτητα, ο P είναι αντιστρέψιµος και άρα η (3) µπορεί να ξαναγραφτεί στη µορφή P AP = D Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΓΩΝΟ- ΠΟΙΗΣΗΣ ΠΙΝΑΚΑ Από την προηγούµενη απόδειξη παίρνουµε την ακόλουθη διαδικασία διαγωνοποίησης ενός διαγωνοποιήσιµου n n πίνακα A Βήµα Βρίσκουµε n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα του A, τα οποία ονοµά- Ϲουµε p, p 2,, p n Βήµα 2 Σχηµατίζουµε τον πίνακα P µε διανύσµατα στήλες τα p, p 2,, p n Βήµα 3 Ο P AP ϑα είναι διαγώνιος µε στοιχεία της διαγωνίου τα λ, λ 2,, λ n, όπου η λ i είναι η ιδιοτιµή που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσµα p i, i =, 2,, n Παράδειγµα Να ϐρεθεί ένας πίνακας P ο οποίος να διαγωνοποιεί τον A = 2 2 3 Λύση Από το Παράδειγµα 5 της προηγούµενης ενότητας οι ιδιοτιµές του A είναι λ = και λ 2,3 = 2 Από το Παράδειγµα 8 της προηγούµενης ενότητας το διάνυσµα 2 p = σχηµατίζει µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην λ = και τα διανύσµατα p 2 =, p 3 =

52 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ 379 σχηµατίζουν µία ϐάση για τον ιδιόχωρο που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 2,3 = 2 Είναι εύκολο να δείξουµε ότι το {p, p 2, p 3 } είναι γραµµικά ανεξάρτητο και άρα ο P = 2 διαγωνοποιεί τον A Για να ελέγξετε την ορθότητα της διαδικασίας επιβεβαιώστε ότι P AP = 2 2 εν υπάρχει κάποια συγκεκριµένη σειρά µε την οποία παίρνουµε τις στήλες του P Εφόσον το i στοιχείο της διαγωνίου του P AP είναι ιδιοτιµή για το i διάνυσµα στήλη του P, η µόνη αλλαγή που επιφέρει η αλλαγή της σειράς των στηλών του P είναι η αλλαγή της σειράς των ιδιοτιµών στη διαγώνιο του P AP Ετσι αν στο Παράδειγµα είχαµε γράψει ϑα παίρναµε P = P AP = 2 2 2 Παράδειγµα 2 Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A = [ 3 2 2 είναι de(λi A) = [ λ + 3 2 2 λ = (λ + ) 2 και άρα η χαρακτηριστική εξίσωση του A είναι (λ + ) 2 = Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι λ,2 = Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην λ,2 = είναι οι µη τετριµµένες λύσεις του ( I A)x =, δηλαδή του Η λύση αυτού του συστήµατος είναι 2x 2x 2 = 2x 2x 2 = x =, x 2 =, στο R

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Άρα ο ιδιόχωρος αποτελείται από όλα τα διανύσµατα της µορφής [, στο R Εφόσον για όλα τα στο R, [ [ =, το διάνυσµα [ παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2 = Άρα ο A δεν έχει δύο γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και άρα δεν είναι διαγωνοποιήσιµος Σε πολλές εφαρµογές δεν ενδιαφερόµαστε για τον υπολογισµό ενός πίνακα P ο οποίος να διαγωνοποιεί έναν πίνακα A, αλλά ενδιαφερόµαστε µόνο για το αν ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Κάποιες ϕορές µπορούµε να πάρουµε αυτή την πληροφορία από τις ιδιοτιµές χωρίς να υπολογίσουµε τα ιδιοδιανύσµατα Για να δούµε γιατί συµβαίνει αυτό ϑα χρειαστούµε το επόµενο ϑεώρηµα του οποίου την απόδειξη παραλείπουµε Θεώρηµα 522 Αν τα v, v 2,, v k είναι ιδιοδιανύσµατα του A τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ k του A, τότε το {v, v 2,, v k } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Σαν συνέπεια του ϑεωρήµατος αυτού παίρνουµε το επόµενο αποτέλεσµα, η απόδειξη του οποίου αφήνεται σαν άσκηση Θεώρηµα 523 Αν ένας n n πίνακας A έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές, τότε ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Παράδειγµα 3 Είδαµε στο Παράδειγµα 4 της προηγούµενης ενότητας ότι ο A = 4 7 8 έχει τρεις διαφορετικές ιδιοτιµές, τις λ = 4, λ 2 = 2 + 3, λ 3 = 2 3 Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και P AP = 4 2 + 3 2 3 για κάποιον αντιστρέψιµο πίνακα P Αν ϑέλουµε µπορούµε να ϐρούµε τον P χρησι- µοποιώντας την µέθοδο του Παραδείγµατος

52 ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ 38 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Το Θεώρηµα 522 είναι ειδική περίπτωση του επόµενου γενικότερου αποτελέσµατος : Εστω ότι οι λ, λ 2,, λ k είναι διαφορετικές ιδιοτιµές του πίνακα A και για κάθε µία επιλέγουµε ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο από ιδιοδιανύσµατα Αν πάρουµε το σύνολο που αποτελείται από όλα αυτά τα διανύσµατα, τότε αυτό το σύνολο είναι γραµµικά ανεξάρτητο Παραλείπουµε την απόδειξη αυτού του αποτελέσµατος Παράδειγµα 4 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 523 δεν ισχύει, δηλάδή ένας n n πίνακας A µπορεί να είναι διαγωνοποιήσιµος ακόµα και αν δεν έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές Για παράδειγµα, η µοναδική ιδιοτιµή του διαγώνιου πίνακα A = [ 3 3 είναι η λ,2 = 3 Παρόλα αυτά ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Συγκεκριµένα διαγωνοποιείται από τον P = I, εφόσον P AP = I AI = A = [ 3 3 Στα εφαρµοσµένα µαθηµατικά υπάρχουν πολλά προβλήµατα τα οποία απαιτούν τον υπολογισµό µεγάλων δυνάµεων ενός τετραγωνικού πίνακα Θα τελειώσουµε αυτή την ενότητα δείχνοντας µε ποιον τρόπο µπορεί να χρησιµοποιηθεί η διαγωνοποίηση ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΥΝΑΜΕΩΝ ΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑ για να απλουστεθούν τέτοιοι υπολογισµοί για διαγωνοποιήσιµους πίνακες Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και ο P είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας, τότε (P AP ) 2 = (P AP )(P AP ) = P AIAP = P A 2 P Γενικότερα, για οποιονδήποτε ϑετικό ακέραιο k, (P AP ) k = P A k P Άρα αν ο A είναι διαγωνοποιήσιµος και P AP = D, τότε P A k P = (P AP ) k = D k και εποµένως A k = P D k P (4)

382 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Η τελευταία εξίσωση εκφράζει την k δύναµη του A συναρτήσει της k δύναµης του διαγώνιου πίνακα D Οµως ο D k είναι εύκολο να υπολογιστεί Για παράδειγµα, αν D = d d 2 d n, τότε D k = d k d k 2 d k n Παράδειγµα 5 Χρησιµοποιήστε την (4) για να ϐρείτε τον A 3 αν A = 2 2 3 Λύση Είδαµε στο Παράδειγµα ότι ο A διαγωνοποιείται από τον P = 2 και ότι P AP = 2 2 = D Ετσι από την (4) έχουµε A 3 = P D 3 P 2 = 3 2 3 2 3 89 6382 = 89 892 89 89 6383 2 2

53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 383 53 Λυµένες Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 5 Εστω (α) Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A A = 2 3 2 (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση για τον ιδιόχωρο κάθε ιδιοτιµής και η διάσταση του ιδιόχωρου κάθε ιδιοτιµής (γ) Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; (α) Εφόσον ο A είναι άνω τριγωνικός, οι ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του Εποµένως οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ,2 = 2 και λ 3 = 3 (ϐ) Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (2I A)x = Εχουµε και άρα 2I A = 2 2 2 (2I A)x = 2 3 2 = x x 2 x 3 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο = Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε προσθέτουµε ϕορά την η γραµ- µή στη 2η Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x 2 x 3 =

384 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ή x + x 2 + x 3 = ίνοντας στις ελέυθερες µεταβλητές x και x 3 τις αυθαίρετες τιµές και s αντίστοιχα παίρνουµε ότι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος x + x 2 + x 3 = είναι x =, x 2 =, x 3 = s,, s στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής s,, s στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής Εφόσον, για όλα τα, s στο R, s s =,, s στο R + s, τα διανύσµατα, παράγουν τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2 = 2 Εφόσον κανένα από τα, δεν είναι ϐαθµωτό πολλαπλάσιο του άλλου, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Άρα το σύνολο, είναι µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2 = 2 Εφόσον µία ϐάση του ι- διόχωρου της ιδιοτιµής λ,2 = 2 αποτελείται από δύο διανύσµατα, η διάσταση του ιδιόχωρου της ιδιοτιµής λ,2 = 2 είναι 2

53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 385 Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (3I A)x = Εχουµε και άρα 3I A = 3 3 3 (3I A)x = 2 3 2 = x x 2 x 3 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο = Ο πίνακας αυτός είναι σε ανηγµένη κλιµακωτή µορφή Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x x 2 = x 3 = Λύνοντας ως προς τις ϐασικές µεταβλητές x και x 3 παίρνουµε ότι x = x 2 x 3 = ίνοντας στην ελέυθερη µεταβλητή x 2 την αυθαίρετη τιµή παίρνουµε ότι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος είναι x x 2 = x 3 = x =, x 2 =, x 3 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής, στο R

386 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εφόσον, για όλα τα στο R, το διάνυσµα = παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 3 = 3 Εφόσον, το σύνολο είναι µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 3 = 3 Εφόσον µία ϐάση του ιδιόχωρου της ιδιοτιµής λ 3 = 3 αποτελείται από ένα διάνυσµα, η διάσταση του ιδιόχωρου της ιδιοτιµής λ 3 = 3 είναι (γ) Γνωρίζουµε ότι ένας n n πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µόνο αν έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Από το (ϐ), τα διανύσµατα, είναι 2 γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ,2 = 2 και το διάνυσµα είναι γραµµικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 3 = 3 Αν τα v, v 2,, v m είναι γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ ενός πίνακα B, τα u, u 2,, u l είναι γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ 2 του B και λ λ 2, τότε τα διανύσµατα v, v 2,, v m, u, u 2,, u l είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως τα διανύσµατα,, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Άρα ο πίνακας A είναι ένας 3 3 πίνακας µε 3 γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος, 2 Εστω A = 3 3 3

53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 387 (α) Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση για τον ιδιόχωρο κάθε ιδιοτιµής (γ) Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; (α) Εφόσον ο A είναι άνω τριγωνικός, οι ιδιοτιµές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του Εποµένως ο A έχει µία τριπλή ιδιοτιµή την λ,2,3 = 3 (ϐ) Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (( 3)I A)x = Εχουµε ( 3)I A = 3 3 3 3 3 3 = και άρα (( 3)I A)x = x x 2 x 3 = Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο Χρησιµοποιούµε απαλοιφή Gauss-Jordan για να ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του : πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε πολλαπλασιάζουµε τη 2η γραµµή µε Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος x 2 = x 3 = ίνοντας την αυθαίρετη τιµή στην ελέυθερη µεταβλητή x παίρνουµε ότι η γενική λύση του οµογενούς συστήµατος x 2 = x 3 =

388 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ είναι x =, x 2 =, x 3 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 3 της µορφής Εφόσον, για όλα τα στο R,, στο R το διάνυσµα = παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 Εφόσον,, το σύνολο είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εποµένως µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ,2,3 = 3 είναι η (γ) Γνωρίζουµε ότι ένας n n πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µόνο αν έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Ο πίνακας A είναι ένας 3 3 πίνακας και, από το (ϐ), έχει γραµµικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσµα Εποµένως δεν είναι διαγωνοποιήσιµος 3 Εστω A = [ (α) Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A (ϐ) Να ϐρεθεί µία ϐάση για τον ιδιόχωρο κάθε ιδιοτιµής

53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 389 (γ) Είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ; Αν ναι, να ϐρεθούν ένας αντιστρέψιµος πίνακας P και ένας διαγώνιος πίνακας D µε P AP = D (α) Οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης του A de(λi A) = Εχουµε ( [ de(λi A) = de λ ([ de λ [ ) = λ ) = λ 2 = λ = ± και άρα οι ιδιοτιµές του A είναι οι λ = και λ 2 = (ϐ) Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ = αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (I A)x = Εχουµε [ I A = [ [ = και άρα (I A)x = [ [ [ x = x 2 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο [ Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϑα ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Εχου- µε [ [ Προσθέτουµε ϕο- ϱά την η γραµµή στη 2η Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το x x 2 =

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Λύνοντας ως προς την ϐασική µεταβλητή x και δίνοντας στην ελεύθερη µεταβλητή x 2 την αυθαίρετη τιµή παίρνουµε ότι η γενική του λύση είναι x =, x 2 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ = αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εφόσον, για όλα τα στο R, [ [ =, το διάνυσµα [ παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ = Εφόσον [ [, το σύνολο {[ } είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εποµένως µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ = είναι η Ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 2 {[ } = αποτελείται από τις λύσεις του οµογενούς συστήµατος (( )I A)x = Εχουµε ( )I A = [ [ [ = και άρα (( )I A)x = [ [ [ x = x 2

53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 39 Ο πίνακας συντελεστών του τελευταίου συστήµατος είναι ο [ Με απαλοιφή Gauss-Jordan ϑα ϐρούµε την ανηγµένη κλιµακωτή µορφή του Εχου- µε [ [ Πολλαπλασιάζουµε την η γραµµή µε [ Προσθέτουµε ϕο- ϱά την η γραµµή στη 2η Το αντίστοιχο σύστηµα είναι το x + x 2 = Λύνοντας ως προς την ϐασική µεταβλητή x και δίνοντας στην ελεύθερη µεταβλητή x 2 την αυθαίρετη τιµή παίρνουµε ότι η γενική του λύση είναι x =, x 2 =, στο R και άρα το σύνολο των λύσεών του αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εποµένως ο ιδιόχωρος της ιδιοτιµής λ 2 = αποτελείται από όλα τα διανύσµατα στον R 2 της µορφής [, στο R Εφόσον, για όλα τα στο R, [ [ =, το διάνυσµα [ παράγει τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 2 = Εφόσον [ [, το σύνολο {[ }

392 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ είναι γραµµικά ανεξάρτητο Εποµένως µία ϐάση για τον ιδιόχωρο της ιδιοτιµής λ 2 = είναι η {[ } (γ) Γνωρίζουµε ότι ένας n n πίνακας είναι διαγωνοποιήσιµος αν και µόνο αν έχει n γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα Από το (ϐ), ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = είναι το [ και ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 2 = είναι το [ Εφόσον αυτά τα δύο ιδιοδιανύσµατα αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές, είναι γραµµικά ανεξάρτητα Εποµένως ο πίνακας A είναι ένας 2 2 πίνακας µε 2 γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα και άρα είναι διαγωνοποιήσιµος Εναλλακτικά : Γνωρίζουµε ότι αν ένας n n πίνακας έχει n διαφορετικές ιδιοτιµές, τότε είναι διαγωνοποιήσιµος Ο πίνακας A είναι ένας 2 2 πίνακας και, από το (α), έχει 2 διαφορετικές ιδιοτιµές, τις λ = και λ 2 = Εποµένως ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Γνωρίζουµε ότι αν ένας n n πίνακας T είναι διαγωνοποιήσιµος µε ιδιοτιµές λ, λ 2,, λ n και v, v 2,, v n αντίστοιχα γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα, τότε για και λ λ 2 D = λ n P = [ v v 2 v n ο P είναι αντιστρέψιµος και ισχύει P T P = D Άρα, από όσα είπαµε παραπάνω, για [ D = και P = [ ή για D = [ και P = [

53 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 393 ο P είναι αντιστρέψιµος και ισχύει P AP = D

394 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ι ΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ Ι ΙΟ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ