Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # 5: Πολυστοχαστικός Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

Σκοποί ενότητας Να γίνουν κατανοητές με παραδείγματα οι Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού 4

Περιεχόμενα ενότητας Βασικες Αρχές του Πολυκριτήριου Γραμμικού Προγραμματισμού Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων 5

Αναφορές - Βιβλιογραφία Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. Μ. Zeleny, Linear MultiObjective Programming, Springer Verlag, 1977. 6

Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (α) Ένα πολυκριτήριο πρόγραμμα μεγιστοποίησης γράφεται: Να Βελτιστοποιηθούν (max, min) οι αντικειμενικές συναρτήσεις: g1 ( x ) = c11x1 + c12x2 + + c1lxl g2 ( x ) = c21x1 + c22x2 + + c2lxl.. gn ( x ) = cn1x1 + cn2x2 + + cnlxl υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις που θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε Τα περισσότερα προβλήματα είναι πολυκριτήρια (Μεγιστοποίηση Κέρδους και Ελαχιστοποίηση Κόστους) 7

Πολυκριτήριος Γραμμικός Προγραμματισμός (β) ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΛΥΣΗ Οι αντικειμενικές συναρτήσεις λειτουργούν ανταγωνιστικά. Ελαχιστοποίηση του κόστους προκαλεί και μείωση των κερδών. Δεν υπάρχει ποτέ σχεδόν μια λύση που να είναι βέλτιστη με όλες τις αντικειμενικές συναρτήσεις ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΛΗ ΛΥΣΗ που προκύπτει μέσα από διαλόγους με τον αποφασίζοντα. Στόχος η προσέγγιση λύσης που να εναρμονίζεται με τις συνθήκες του προβλήματος ή τις προτιμήσεις του αποφασίζοντος 8

Βήματα Πολυστοχικός Γρ. Πρ/σμός Μοντελοποίηση του Προβλήματος Επίλυση Γρ. Προβλημάτων Αντικειμενικές Συναρτήσεις (Βελτιστοποίηση ) Περιορισμοί Λύνουμε τόσα Γρ. Πρ. Όσα και οι αντ. Συναρτήσεις. Σε κάθε Γρ. Πρ. Έχουμε και μια από τις αντ. συν. Α) Επιπεδα Ικανοποίησης στις Αντικειμενικές. Συν/σεις Β) ιεράρχηση αντ. Συν. Ως προς την ικανοποίηση Κατασκευάζουμε Πίνακα Πληρωμών Ορισμός των επιπέδων ικανοποποίησης στις αντ. συνάρτήσεις Περιλαμβάνει α) τιμές των μεταβλητώναπό τις λύσεις του πρ. Βήματος και β) τις αντίστοιχες τιμές των αντ. συναρτήσεων. Περιλαμβάνει Διαδραστικές διαδικασίες που κάθε φορά ορίζει ο Αποφασίζων τιμές που μπορεί να παραχωρήσει σε μια αντ. Συν. για βελτίωση σε άλλη. Επίλυση Γρ. Πρ. Βελτ/σης κριτηρίου με την μικρότερη ικανοποίηση Ανάλυση Παραχωρήσεων 9

Βήματα του Π.Π. Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών 1. Λύνουμε τόσα Γραμμικά Προβλήματα όσες και οι αντικειμενικές συναρτήσεις με τη μέθοδο SIMPLEX Σε κάθε γραμμμικό πρόβλημα εχουμε και μια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις και τους περιορισμούς. Γ.Π. 1 Max (Min) (g 1 ( x ) = c 11 x 1 + c 12 x 2 + + c 1l x l ) υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Γ.Π.2 Max (Min) (g 2 ( x ) = c 21 x 1 + c 22 x 2 + + c 2l x l ) υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Γ.Π.Ν. Max (Min) (g n ( x ) = c n1 x 1 + c n2 x 2 + + c nl x l ) υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} 10

Βήμα 2: Πίνακας Πληρωμών Βήμα 2: Κατασκευάζουμε τον Πίνακα Πληρωμών Οι τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων gi για τη λύση που μεγιστοποιεί την συνάρτηση gi, gii* βέλτιστη τιμή Οι τιμές των μεταβλητών για κάθε μαι από τις λύσεις που μεγιστοποιούν και μια από τις αντ. Συναρτ. Λύση g1 g2 gn x1 x2 xk Maxg1 g11* g12 g1n X11 x12.. x1k maxg1 g21 g12* g2n X21 x22.. x2k maxgn gn1 gn2* gnn* Xn1 x2n.. xnk 11

Παράδειγμα (Σίσκος 1998) Αναζητείται το μενού ενός ανθρώπου από 6 τροφές (γάλα, βοδινό κρέας, αυγά, ψωμί, μαρουλοσαλάτα και χυμός πορτοκαλιού) ώστε να πληρείται η συνταγή γιατρού, να πάρει δηλαδή ημερησίως τουλάχιστον 5.000 βιταμίνες Α, τουλάχιστον 2.500 θερμίδες, τουλάχιστον 63 gr πρωτεΐνης και τουλάχιστον 12,5 mg σι δήρου, με τριπλό στόχο: 1) την ελαχιστοποίηση της ποσότητας χοληστερόλης, 2) την ελαχιστοποίηση της ποσότητας υδατανθράκων και 3) την ελαχιστοποίηση του ημερήσιου κόστους διατροφής. Στον επόμενο πίνακα δίνονται οι περιεκτικότητες σε θρεπτικά συστατικά των 6 τροφών όπως επίσης και πληροφορίες που αφορούν τους τρεις στόχους (περιεκτικότητες σε βλαβερές ουσίες και μοναδιαία κόστη). Το παράδειγμα περιλαμβάνεται στο βιβλίο Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών, 1998. 12

Δεδομένα παραδείγματος Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδε ς) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσα λάτα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Ελάχιστη ημερήσια ποσότη τα ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μέγιστες Επιτρεπετές Ποσότητες 3,4 0,454 0,25 0,284 0,284 2,3 ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Βιταμίνες Α 1268 236 7080 0 4727 1761 5000 θερμίδες 606 1014 1040 2646 614 423 2500 Πρωτεΐνες (gr) 32 333 78 88 7 7 63 Σίδηρος (mg) 0,4 22,3 13,2 26,5 5 2,1 12,5 ΠΕΡΙΕΚΤΙΚΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΟΣΤΟΣ ΑΝΑ ΜΟΝΑΔΑ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Κόστος (δρχ.) 1,5 15,0 3,0 10,0 5,0 1,5 Χοληστερόλη (μονάδες) 18,0 44,0 120,0 0,0 0,0 0,0 Υδατάνθρακες 42,0 60,0 0,0 529,0 39,0 92,0 13

Μοντελοποίηση (α) Άγνωστες Μεταβλητές: x1, x2, x6 : οι ποσότητες που πρέπει να λάβει ημερήσια από τις 6 τροφές. Αντικειμενικές συναρτήσεις Ελαχιστοποίηση Κόστους g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6 Ελαχιστοποίηση χοληστερόλης g2 ( x ) = 18x1 + 44x2 + 120x3 Ελαχιστοποίηση υδατανθράκων g3 ( x ) = 42x1 + 60x2 + 529x4 + 39x5 + 92x6 14

Συνθήκες Μοντελοποίηση (β) 1268x1 + 236x2 + 7080x3 +4727x5 + 1761x6 5000 (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x1 + 1014x2 + 1040x3+ 2646x4 + 614x5 + 423x6 2500 (θερμίδες) 32x1 + 333x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 15

Επίλυση 1ου Γ.Π Ελαχιστοποίηση Κόστους Min(g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6) Με Συνθήκες 1268x1 + 236x2 + 7080x3 +4727x5 + 1761x6 5000 (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x1 + 1014x2 + 1040x3+ 2646x4 + 614x5 + 423x6 2500 (θερμίδες) 32x1 + 333x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Γάλα (lt) Βοδινό κρέας (kg) Αυγά (12δες) Ψωμί (kg) Μαρουλοσαλάτα Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 Χυμός πορτοκάλι (πίντες) 2,191249 0 0,25 0,284 0 0,37976219 Η Λύση Κριτήριο Τιμή Κόστος 7,446516 Χοληστερόλη 69,44247 Υδατάνθρακες 277,2066 16

Επίλυση 2ου Γ.Π Ελαχιστοποίηση χοληστερόλης g2 ( x ) = 18x1 + 44x2 + 120x3 Με Συνθήκες 1268x1 + 236x2 + 7080x3 +4727x5 + 1761x6 5000 (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x1 + 1014x2 + 1040x3+ 2646x4 + 614x5 + 423x6 2500 (θερμίδες) 32x1 + 333x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Η Λύση Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδες) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσαλάτ α Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 0,992178 0 0 0,284 0,284 2,3 Κριτήριο Τιμή Κόστος 9,198267 Χοληστερόλη 17,85921 Υδατάνθρακες 414,5835

Επίλυση 3ου Γ.Π Ελαχιστοποίηση υδατανθράκων g3 ( x ) = 42x1 + 60x2 + 529x4 + 39x5 + 92x6 Με Συνθήκες 1268x1 + 236x2 + 7080x3 +4727x5 + 1761x6 5000 (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x1 + 1014x2 + 1040x3+ 2646x4 + 614x5 + 423x6 2500 (θερμίδες) 32x1 + 333x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Η Λύση Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδες ) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσαλά τα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Κριτήριο Τιμή Κόστος 12,95344 Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 2,648957 0,454 0,25 0 0,284 0 Χοληστερόλη 97,65723 Υδατάνθρακες 149,5722

Κατασκευή Πίνακα Πληρωμών Τύπος Λύσης Κόστος ( ) Χοληστερόλη (μονάδες) Υδατάνθρ. (γραμ μ.) x1 x2 x3 x4 x5 x6 [min] g1 7,45 69,44 277,21 0,99 0,00 0,00 0,28 0,28 2,30 [min] g2 9,20 17,86 414,58 2,65 0,45 0,25 0,00 0,28 0,00 [min] g3 12,95 97,66 149,57 2,19 0,00 0,25 0,28 0,00 0,38 Ανταγωνιστικές οι τιμές των αντ. συναρτήσεων Οι τιμές των αγνώστων από την επίλυση των γρ. Προβλημάτων 19

Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 1 Συνεχίζουμε με τον Πίνακα Πληρωμών Ζητάμε από τον αποφασίζοντα να θέσει πάνω ή κάτω όρια (ανάλογα) στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων. O αποφασίζων θεωρεί ως ανεκτούς στόχους για το κόστος διατροφής και τις δόσεις χοληστερόλης και υδατανθράκων αντίστοιχα, τις τιμές: 10., 60 μονάδες και 300 gr, δηλαδή L1=(10, 60, 300)t και q=1. 10 60 μον. 300γρ Τύπος Λύσης Κόστος ( ) Χοληστερόλη (μονάδες) Υδατάνθρ. (γραμμ.) x1 x2 x3 x4 x5 x6 [min] g1 7,45 69,44 277,21 0,99 0,00 0,00 0,28 0,28 2,30 [min] g2 9,20 17,86 414,58 2,65 0,45 0,25 0,00 0,28 0,00 [min] g3 12,95 97,66 149,57 2,19 0,00 0,25 0,28 0,00 0,38 20

Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 2 (1) Ζητάμε από τον αποφασίζοντα να προσδιορίσει την αντικειμενική συνάρτηση στην οποία είναι λιγότερο ικανοποιημένος από την τιμή της. Λύνουμε το Γραμμικό Πρόβλημα το οποιο ικανοποιεί του στόχους (πάνω ή κάτω όρια) και μεγιστοποιεί την τιμη της αντικειμενικής συνάρτησης που είμαστε λιγότερο ικανοποιημένοι. 21

Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Στο παράδειγμα μας ο αποφασίζων ορίζει ως λιγότερο ικανοποιηθέν το κριτήριο κόστους: g1. Κατασκευάζουμε το Γ.Π. min(g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6) g2 ( x ) = 18x1 + 44x2 + 120x3 60 g3 ( x ) = 42x1 + 60x2 + 529x4 + 39x5 + 92x6 300 1268x1 + 236x2 + 7080x3 +4727x5 + 1761x6 5000 (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x1 + 1014x2 + 1040x3+ 2646x4 + 614x5 + 423x6 2500 (θερμίδες) 32x1 + 333x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Βήμα 2 (2) Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδες ) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσαλά τα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) 297 Τιμή Αντικ. Συνάρτηση 1 7,82 Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 2,12 0,02 0,17 0,28 0,00 0,61 Αντικ. Συνάρτηση 2 60 Αντικ. Συνάρτηση 3 297,18

Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 2 (3) Ακολουθεί διάλογος με τον αποφασίζοντα όσον αφορά την ικανοποίηση ή οχι των αντικειμειμενικών συναρτήσεων. Σε περίπτωση μη ικανοποίησης του αποφασίζοντα τότε εφαρμόζουμε την ανάλυση παραχωρήσεων. Προσπαθούμε να προσεγγίσουμε μια τιμή (μεγαλύτερη ή μικρότερη από την εκτιμημένη ανάλογα) στην αντικειμενική συνάρτηση που βελτιστοποιήσαμε (παραχώρηση) έτσι να βελτιωθούν οι τιμές στις άλλες αντικειμενικές συναρτήσεις. Στην περίπτωση αυτή λύνουμε το Γρ. Πρόβλημα που ακολουθεί. 23

Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Ο Αποφασίζων κρίνει ότι η τιμή 7,68 για το κόστος είναι πολύ ικανοποιητική και θα μπορούσε να δώσει ακόμη 1 προκειμένου να βελτιώσει τις τιμές όσον αφορά στους υδατάνθρακες. Συνεπώς έχουμε: Min(g3 ( x ) = 42x1 + 60x2 + 529x4 + 39x5 + 92x6) g1 ( x ) = 1,5x1 + 15x2 + 3x3 + 10x4 + 5x5 + 1,5x6 8,68 g2 ( x ) = 18x1 + 44x2 + 120x3 60 1268x1 + 236x2 + 7080x3 +4727x5 + 1761x6 5000 (βιταμ. Α) 0,4x1 + 22,3x2 + 13,2x3 + 26,5x4 + 5x5 + 2,1x6 12,5 (mg σιδήρου) 606x1 + 1014x2 + 1040x3+ 2646x4 + 614x5 + 423x6 2500 (θερμίδες) 32x1 + 333x2 + 78x3+ 88x4 + 7x5 + 7x6 63 (gr πρωτεΐνης) x1 3,4 (λίτρα γάλα) x2 0,45 (κιλά κρέας) x3 0,25 (δωδεκ. αυγά) x4 0,28 (κιλά ψωμί) x5 0,28 (κιλά σαλάτα) x6 2,3 (λίτρα πορτοκάλι) x1 0, x2 0, x3 0, x4 0, x5 0, x6 0, x7 0 Βήμα 2 (4) Γάλα (Λίτρα) Βοδινό κρέας (κιλά) Αυγά (δωδεκάδ ες) Ψωμί (κιλά) Μαρουλοσα λάτα Χυμός πορτοκάλι (πίντες) Χ1 Χ2 Χ3 Χ4 Χ5 Χ6 2,33 0,05 0,13 0,27 0,28 0,00 Κριτήριο Τιμή Αντικ. Συνάρτηση 1 8,82 Αντικ. Συνάρτηση 2 60 Αντικ. Συνάρτηση 3 256,94

Μέθοδος των Ικανοποιητικών Στόχων: Βήμα 2 (5) Συνεχίζουμε τη διαδικασία μέχρι να φτάσουμε στην ικανοποιητική για τον αποφασίζοντα λύση.. 25

Ασκήσεις Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, 23000 και 35000 και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4 έως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 26

Μοντελοποίηση ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x 1 + 70x 2 + 160x 3 ) Min(15000x 1 +23000x 2 +35000x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 +90x 2 +150x 3 1950 27

Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (ελ. Κόστους) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Min(15000x 1 +23000x 2 +35000x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 +90x 2 +150x 3 1950 28

ΒΗΜΑ 2 ελαχ. κόστους ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες 5 7 4 Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x1+70x2+160x3 1330 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ3 376000 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1530 <= 1950 29

Βήμα 1 Λύνουμε το Γ.Π. (Μεγιστ. Φοιτητών) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x 1 Μεσαίες αίθουσες: x 2 Μεγάλες αίθουσες: x 3 Max(40x 1 + 70x 2 + 160x 3 ) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 +90x 2 +150x 3 1950 30

ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες 5 8 6 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x1+70x2+160x3 1720 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ3 ΣΥΝΘΗΚΕΣ 46900 0 χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 6 >= 4 χ3<=5 6 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1920 <= 1950 31

Πίνακας Πληρωμών Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ3 1720 469000 5 8 6 ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ 1500 420000 1330 376000 5 7 4 32

ΒΗΜΑ 1 Μεγ(Επιφάνειας) ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες 6 7 5 Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ 40*x1+70x2+160 x3 1530 1500 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ3 426000 420000 ΜΙΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 6 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1740 <= 1950 Επιπρόσθετη Συνθ 1530 >= 1500 33

ΒΗΜΑ 3 Ανάδραση 1 ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Αίθουσες 5 8 5 Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΕΠΙΠΕΔΑ ΣΤΟΧΟΥ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών 40*x1+70x2+160x3 1560 1500 ΜΑΧ Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ3 434000 440000 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 5 >= 5 χ2>=7 8 >= 7 Χ3>=4 5 >= 4 χ3<=5 5 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1770 <= 1950 Επιπρ. Συνθ 434000 <= 440000 34

Πολυστοχικός Προγραμματισμός Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων

Μέθοδος των Επιθυμητών Στόχων Να Βελτιστοποιηθούν (max, min) οι αντικειμενικές συναρτήσεις: g1 ( x ) = c11x1 + c12x2 + + c1lxl g2 ( x ) = c21x1 + c22x2 + + c2lxl.. gn ( x ) = cn1x1 + cn2x2 + + cnlxl υπό τους περιορισμούς: x A = {x Rl / Ax b, x 0} Βασική Ιδέα: Μετατροπή του Πολυκριτήριου Προβλήματος σε Μονοκριτήριο Τεχνική που εξασφαλίζει αποτελεσματικά την λύση του προβλήματος 36

Βήματα Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Εστω Κ 1, Κ 2, Κ n τα όρια των επιθυμητών τιμών (Αυτό μπορεί να γίνει και μετά την εκτίμηση του Πίνακα Πληρωμών) B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1+, d 1-, d 2+, d 2-, d n+, d n- ώστε c11x1 + c12x2 + + c1lxl + d 1 + - d 1 - = Κ1 c21x1 + c22x2 + + c2lxl + d 2 + - d 2 - = Κ2... cn1x1 + cn2x2 + + cnlxl + d n + - d n - = Κ1 Κανονικοποιούμε στο διάστημα [0,1] Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d 1 + + d 1 - + d 2 + - d 2 -.+ d n + - d n - 37

Μοντελοποίηση Προβλήματος Το Γραμμικό Πρόβλημα γίνεται: n Min (Σ( d i + + d i - ) ι=1 Υπό περιορισμούς n Σc ij x j + d i + - d i - = K i, j=1 l i=1 x A = {x Rl / Ax b, x 0} 38

Παράδειγμα (Προηγούμενη Άσκηση) ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Max(40x1 + 70x2 + 160x3) Min(15000x1+23000x2+35000x3) ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ Χ1 5 Χ2 7 Χ3 4 Χ3 8 60*x1+90x2+150x3 1950 Το ΤΕΙ Πειραιά θέλει να επεκτείνει τις εγκαταστάσεις του με νέες άιθουσες διδασκαλίας, προκειμένου να καλύψει τις διδακτικές του Ανάγκες. Χρησιμοποιούνται τριων τύπων αίθουσσες διδασκαλίας: α) μικρές 60 τ.μ. Β) Μεσαίες 90 τ.μ. και γ) οι μεγάλες των 150 τ.μ. που η κατασκευή τους κοστίζει αντίστοιχα 15000, 23000 και 35000 και μπορούν να φιλοξενήσουν 40, 70 και 160 φοιτητές αντίστοιχα. Απαιτούνται τουλάχιστον 5 μικρές, 7 μεσαίες και από 4έ ως 8 μεγάλες αίθουσες. Η συνολική επιφάνεια των αιθουσών δεν πρέπει να ξεπερνά τα 1950 τ.μ. Να υπολογισθεί ο αριθμός των αιθουσών ανά κατηγορία που πρέπει να κατασκευαστεί ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής και να μεγιστοποιηθεί ο αριθμός των φοιτητών που μπορουν να φιλοξενηθούν ταυτόχρονα. 39

Βήμα 1 Επιφάνεια Κόστος χ1 χ2 χ3 1720 469000 5 8 6 1330 376000 5 7 4 ΕΠΙΘΥΜΗΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ 1500 420000 Ο Αποφασίζων εκφράζει τα επιθυμητά επίπεδα στις τιμές των αντικειμενικών συναρτήσεων (κριτήρια). Ό Πίνακας Πληρωμών δίνει ένδειξη των τιμών (ρεαλιστικών) στις αντικειμενικές συναρτήσεις. Στη περίπτωση ο Αποφασίζων δίνει τις επιθυμητές τιμές 1500 και 420000 για τα κριτήρια επιφάνεια και κόστος. 40

Βήματα 1 & 2 Α. Ζητείται από τον αποφασίζοντα να προσδιορίζει επιθυμητά επιπεδα τιμών στα κριτήρια (αντικειμενικές συναρτήσεις) Ο Αποφασίζων δίνει 1500 τ.μ.για την επιφάνεια και 420000 για το κόστος B. Εισάγουμε νέες μεταβλητές (μη αρνητικές) d 1+, d 1-, d 2+, d 2- ώστε οι αντικειμενικές συναρτήσεις να μορφοποιηθούν σε : 40x 1 + 70x 2 + 160x 3 + d 1 + - d 1 - = 15000 15000x 1 +23000x 2 +35000x 3 + d 2 + - d 2 - = 420000 Γ. Στόχος: Eλαχιστοποίηση του αθροίσματος των νέων μεταβλητών d 1 + + d 1 - + d 2 + - d 2 -.+ d n + - d n - 41

Κατασκευάζουμε το Γραμμικό Πρόβλημα ΑΓΝΩΣΤΟΙ Μικρές αίθουσες: x1 Μεσαίες αίθουσες: x2 Μεγάλες αίθουσες: x3 Τεχνητές Μεταβήτές: d1+, d1-, d2+, d2- (ένα ζεύγος για κάθε αντικειμενική) Αντικειμενική Συνάρτηση 2 Min (Σ( d i + + d i - ) ι=1 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ 40x 1 + 70x2 + 160x 3 + d 1 + - d 1 - = 15000 15000x 1 +23000x 2 +35000x 3 + d 2 + - d 2 - = 420000 Χ 1 5 Χ 2 7 Χ 3 4 Χ 3 8 60*x 1 +90x 2 +150x 3 1950 42

ΑΓΝΩΣΤΟΙ χ1 χ2 χ3 Αίθουσες 8 7 4 Μεγ. ΕΠιτρ ΤΙμές Επιφάνειια 60 90 150 1950 Κόστος 15000 23000 35000 Ελ. Αριθμ. Αιθουσών 5 7 4 Μέγιστος 8 Φοιτητές /αίθ 40 70 160 ΝΕΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Μεγιστοποίηση Αριθμούς Αιθουσών ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΕΣ Αγνωστοι D+ Αγνωστοι D- Επίλυση Νέα Συνθήκης Τιμές Στόχου 40*x1+70x2+ 160x3 1450 50 0 1500 1500 Ελαχιστοποίηση Κόστους αχ1+βχ2+γχ3 421000 0 1000 420000 420000 Αθροισμα D+, D- 1050 ΣΥΝΘΗΚΕΣ χ1 >=5 8 >= 5 χ2>=7 7 >= 7 Χ3>=4 4 >= 4 χ3<=5 4 <= 8 Επιφάνεια,=1000 1710 <= 1950 43

Τέλος Ενότητας