64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από την συνάρτηση ( ) η επιφάνεια z f (, σηµείο z f (, y ) = βρίσκεται σ αυτόν τον χώρο και ότι θέλουµε να βρούµε το = αυτού του χώρου όπου η θερµοκρασία είναι µέγιστη (ή ελάχιστη) Με άλλα λόγια ποια είναι η µέγιστη ( ή η ελάχιστη) τιµή της Τ κάτω από z = f, y και που αυτή η µέγιστη τιµή την συνθήκη ( ή περιορισµό) ( ) επιτυγχάνεται; Ο σκοπός µας σ αυτήν την παράγραφο είναι να συζητήσουµε µεθόδους που να αντιµετωπίζουν προβλήµατα αυτού του τύπου Μια πολύ κοµψή και χρήσιµη µέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβληµάτων αναπτύχθηκε από τον Lagrage 5 Θεώρηµα ( των πολλαπλασιαστών του Lagrage) Έστω U R ανοικτό και f : U R C συνάρτηση Έστω ακόµη g : U R C συνάρτηση, U, g( ) = c και S η επιφάνεια στάθµης που ορίζεται από την g = c S = U : g = c g εξίσωση ( ) { } ( δηλαδή ( ) ) Υποθέτουµε ότι ( ) Αν η f S, δηλαδή ο περιορισµός της f στο S, έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο f = λ g, τότε υπάρχει πραγµατικός λ ώστε ( ) ( ) Απόδειξη: Ας υποθέσουµε για λόγους απλότητας ότι = 3 Έστω ότι το = (, y, z) είναι τοπικό µέγιστο για την f S, εποµένως υπάρχει δ > και µια Β, δ U Β, δ S f f Μπορούµε να σφαίρα ( ) ώστε αν ( ) τότε ( ) ( ) υποθέσουµε, εν ανάγκη περιορίζοντας τις f και g στη σφαίρα (, δ ) U (, δ ) ορίζεται από την εξίσωση (, y y, z z) g( ) = () Β ότι =Β Όπως γνωρίζουµε το εφαπτόµενο επίπεδο Ε της επιφάνειας S στο Ο ορισµός αυτός δικαιολογείται, όπως είδαµε στην σχετική παράγραφο, από το γ : a, b S γ = ( a b γ ' γεγονός ότι αν [ ] είναι το εφαπτόµενο διάνυσµα της γ στο g( ) ( '( ) g( ) C καµπύλη της S µε ( ) < < ) και ( ) t = τότε το γ '( ) είναι κάθετο στο η foγ :[ a, b] S έχει γ ) Επειδή η f S έχει µέγιστο µέγιστο στο t =, άρα από το θεώρηµα του Fermat του Λογισµού της µιας d µεταβλητής ( foγ ) t= = dt Από την άλλη µεριά ο κανόνας της αλυσίδας δίνει ότι d = ( foγ ) t= = f ( ) γ '( ) dt Συµπεραίνουµε από τις παραπάνω παρατηρήσεις ότι το διάνυσµα f ( ) είναι κάθετο στο εφαπτόµενο διάνυσµα ( ) ' γ της γ, το οποίο είναι βέβαια παράλληλο µε το επίπεδο Ε που ορίζεται από την εξίσωση ()
65 Ισχυριζόµαστε ότι το f ( ) είναι κάθετο στο Ε και συνεπώς παράλληλο µε το διάνυσµα g( ) Πράγµατι, έστω v τυχόν µη µηδενικό διάνυσµα παράλληλο µε το Ε, εποµένως υπάρχει (, y, = Ε ώστε v= Είναι αρκετό να δείξουµε ότι το v είναι το εφαπτόµενο διάνυσµα καµπύλης σ της S στο ( ) σ = Όπως είναι γνωστό, από µια εφαρµογή του θεωρήµατος πεπλεγµένης συνάρτησης ( σελίδα 5 ), g η επιφάνεια S πλησίον του είναι το γράφηµα µιας εφόσον ( ) ανοικτό, συνάρτησης δύο µεταβλητών έστω z = h(,, ( δηλαδή υπάρχουν V R Ι R ανοικτό διάστηµα µε V Ι U,(, V και µοναδική h : V Ι R ώστε h(, = z και g(, y, h(, ) = c για κάθε (, Θεωρούµε την καµπύλη που ορίζεται µε τον τύπο ( όπου = (, y, Ε v= ) ( ( )) ε > αρκετά µικρό η σ ορίζεται στο ( ε, ε) ( t) t( ), y t( y y ), h t( ), y t( y y ) σ = + + + + Πρέπει να είναι σαφές ότι για C συνάρτηση V ) ώστε και είναι µια C καµπύλη της S Παρατηρούµε ότι σ =, y, h, y =, y, z = ( ) ( ) ( ) ( ) Από τον κανόνα αλυσίδας έπεται ότι dσ σ '( ) = t= =, y y, (, ( ) + (, ( y () dt Η συνάρτηση h : V R R είναι C εποµένως το γράφηµά της έχει εφαπτόµενο =, y, z το οποίο έχει εξίσωση της µορφής επίπεδο στο ( ) z = z + (, ( ) + (, ( y (3) Το επίπεδο που ορίζεται από την (3) ταυτίζεται όµως µε το επίπεδο Ε που ορίζεται =, y, z από την (), αφού η S και το γράφηµα της h πλησίον του ( ) ταυτίζονται Με περισσότερη ακρίβεια έχουµε ( όπως προκύπτει από τους υπολογισµούς που κάναµε στην εφαρµογή του θεωρήµατος πεπλεγµένης συνάρτησης g g ( ) ( ) της σελίδας 5 ) ότι (, = g ( ) και ( ), y = g ( ) z z Αντικαθιστώντας αυτές τις δύο ισότητες στην (3) παίρνουµε την () Από την (3) και την () έπεται αµέσως ότι το εφαπτόµενο διάνυσµα της σ στο t = είναι το σ ' =, y y, z z = v Έπεται, εφόσον η σ είναι καµπύλη της S, ότι ( ) ( ) ( ) f v Ουσιαστικά αποδείξαµε ότι το διάνυσµα f ( ) είναι κάθετο σε οποιοδήποτε ( µη µηδενικό ) διάνυσµα παράλληλο του επιπέδου Ε, συνεπώς το f ( ) είναι πράγµατι κάθετο στο Ε
66 Εφόσον τα διανύσµατα f ( ) και g( ) είναι κάθετα στο ίδιο επίπεδο, είναι µεταξύ τους παράλληλα και άρα αφού g( ) συµπεραίνουµε ότι το f ( ) είναι πολλαπλάσιο του g( ), που είναι και το συµπέρασµα του θεωρήµατος Έπεται προφανώς από το προηγούµενο θεώρηµα το ακόλουθο αποτέλεσµα γεωµετρικού χαρακτήρα 5 Πόρισµα Αν η συνάρτηση f περιορισµένη σε µια επιφάνεια S έχει τοπικό ακρότατο στο f είναι κάθετο στην S στο τότε το ( ) Παρατηρήσεις ) Τα προηγούµενα αποτελέσµατα µας υποδεικνύουν ότι για να βρούµε τα ακρότατα µιας συνάρτησης υπό συνθήκη ( περιορισµό ) πρέπει να ψάξουµε ανάµεσα σε εκείνα τα που ικανοποιούν τα συµπεράσµατα του θεωρήµατος ή του πορίσµατος Το αν αυτά είναι πράγµατι µέγιστα ή ελάχιστα ή τίποτα από τα δύο, πρέπει να ελεγχθεί µε άλλους τρόπους, πχ µε γεωµετρικά επιχειρήµατα ) Ο αριθµός λ που εµφανίζεται στην απόδειξη του προηγούµενου θεωρήµατος ονοµάζεται πολλαπλασιαστής του Lagrage Το θεώρηµα των πολλαπλασιαστών του Lagrage γενικεύεται µε τον ακόλουθο τρόπο 53 Θεώρηµα Έστω ακόµη g,, : gk U R, k το πλήθος U R ανοικτό και : f U R C συνάρτηση Έστω C συναρτήσεις όπου k < και S η επιφάνεια που ορίζεται από τις εξισώσεις g(,, ) = c,, (,, ) δηλαδή S (,, ) U : g (,, ) c,,,, k S { λ λ λ } g = c, ( k k = = = ) Έστω ώστε τα g,, gk είναι γραµµικά ανεξάρτητα Αν η f περιορισµένη διανύσµατα ( ) ( ) στην S ( δηλαδή η f S ) έχει τοπικό ακρότατο τότε υπάρχουν σταθερές λ,, λk R f = λ g + + λk gk ώστε ( ) ( ) ( ) Η απόδειξη αυτού του αποτελέσµατος είναι ανάλογη µε την απόδειξη του θεωρήµατος των πολλαπλασιαστών του Lagrage και έτσι παραλείπεται Παρατήρηση Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε ότι για να βρούµε τις θέσεις ακροτάτων τιµών µιας συνάρτησης πάνω σε µια επιφάνεια ( ή τοµή επιφανειών ) πρέπει να επιλύσουµε ένα σύστηµα εξισώσεων, πχ στην περίπτωση του θεωρήµατος
67 5 πρέπει να επιλύσουµε το σύστηµα f f f f = g(,, ) = c (,, ) = λ (,, ) (,, ) λ (,, ),, και λ Παραδείγµατα ) Να βρεθεί σηµείο πάνω στην επιφάνεια z ως προς y = το οποίο είναι πλησιέστερα στο Ο= (,,) Λύση Αυτό που ζητάµε είναι να ελαχιστοποιήσουµε την συνάρτηση y z f, y, z = + y + z πάνω στην + +, ισοδύναµα την συνάρτηση ( ) επιφάνεια S που ορίζεται από την εξίσωση g(, y, z ) =, όπου (,, ) g y z = z y Έχουµε ότι f f f =, = y, = z z g g g = y, =, = z z Θα επιλύσουµε σύµφωνα µε το θεώρηµα των πολλαπλασιαστών του Lagrage, το f g f g f g σύστηµα: = λ, = λ, = λ, g (, y, z ) = ως προς, y, z και λ z z Αντικαθιστώντας τις µερικές παραγώγους βρίσκουµε το σύστηµα { λ(, y λ( ), z λ( και z y } = = = = Η τρίτη εξίσωση του συστήµατος µας δίνει λ = υπό την προϋπόθεση ότι z = y Έτσι οι δύο πρώτες εξισώσεις ( για λ = ) δίνουν και το σύστηµα αυτό y = έχει την µηδενική λύση, = y= Θέτοντας = y = στην τέταρτη εξίσωση βρίσκουµε z =± Έτσι για,,,,, λ = έχουµε τις λύσεις: ( ) ( ) Υποθέτουµε τώρα ότι z = τότε η τέταρτη εξίσωση γίνεται y =, εποµένως τα και y είναι και τα δύο διαφορετικά του µηδενός και ετερόσηµα Το σύστηµα των δύο + λ y = πρώτων εξισώσεων γράφεται, λ+ y = Αν το δούµε ως γραµµικό σύστηµα των και y τότε η ορίζουσα των συντελεστών των αγνώστων είναι η 4 λ Αν λ, τότε = y = και αυτό αποκλείεται, 4 εποµένως 4 λ = λ =± Η τιµή λ = αποκλείεται αφού τότε η εξίσωση λ y = y = y, συνεπώς = y ( τα και y οφείλουν να = ( ) γίνεται ( ) είναι ετερόσηµα) Έτσι αποµένει να εξετάσουµε την τιµή λ = Στην περίπτωση λ y = y = y, οπότε αντικαθιστώντας αυτή η εξίσωση = ( ) γίνεται ( ) στην εξίσωση y = βρίσκουµε ότι = = =± Συνοψίζοντας
68 έχουµε ότι στην περίπτωση που z = οι λύσεις του αρχικού συστήµατος είναι οι,,,, ( Παρατηρείστε ότι για όλες τις λύσεις που βρήκατε λ = και ( ) και ( ) ισχύει, g(, y, ) Οι τιµές της συνάρτησης f στις λύσεις (, y, z ) που βρήκαµε είναι οι ακόλουθες: f (,, ) = f (,, ) = και f (,, ± ) = Έτσι συµπεραίνουµε ότι τα σηµεία (,, ) και (,, ) της επιφάνειας z y = είναι πλησιέστερα στο (,, ) Για να ολοκληρώσουµε την απόδειξη αρκεί να παρατηρήσουµε ότι z y = + y + z = f (,, ± ) ( ) Πράγµατι, αν z y = τότε + y + z = + y + y+ αφού + y + y για κάθε, y R ( Η τελευταία ανισότητα είναι προφανής συνέπεια της ταυτότητας ( )( ) 3 3 y y y y = + + ) )Να βρεθούν τα σηµεία της ευθείας + y = στα οποία η συνάρτηση (, ) f y = y παίρνει την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή υπό την προϋπόθεση ότι και y Λύση Η καταρχήν συνθήκη είναι η y + =, έτσι θέτοµε (, ) g y = + y Η επί πλέον υπόθεση και y σηµαίνει ότι αναζητούµε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της f στο τµήµα εκείνο της ευθείας g(, y ) = που συνδέει τα σηµεία a = (,) και b= (,) Επειδή η f είναι συνεχής και το ευθύγραµµο τµήµα [ a, b] R συµπαγές σύνολο η f επιτυγχάνει µέγιστη και ελάχιστη τιµή σε σηµεία του [ a, b ] Θα χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrage Παρατηρούµε ότι f, f y, g g = = = και = = λ = λ Έτσι έχουµε να επιλύσουµε το σύστηµα y = λ = λ η µόνη λύση αυτού του + y = συστήµατος είναι = y = και λ = Παρατηρούµε ότι ( ) ( ) f, = = Οι τιµές στα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος [ a, b ] f ( a) = f (, ) = = f ( b) = f (,) = = είναι Έτσι συµπεραίνουµε ότι η µέγιστη τιµή της f περιορισµένης στο [ a, b ] είναι στο, και η ελάχιστη στα σηµεία (, ) και (, ), αφού ( ) f y y για κάθε (, [ a, b], =
69 Σηµειώνουµε ότι στα παραπάνω συµπεράσµατα µπορούµε να καταλήξουµε και γεωµετρικά, όπως φαίνεται και από το σχήµα (,)=b y M (,)=α O 3) Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f (, y, = + y+ z υπό τις συνθήκες + y = και + z = g, y, z = + y = και Λύση Εδώ έχουµε δύο περιορισµούς ( ) g ( y = + z =,, Η πρώτη εξίσωση είναι η εξίσωση µιας κυλινδρικής επιφάνειας µε βάση τον κύκλο + y = του y επιπέδου και άξονα τον άξονα των z Η δεύτερη είναι η εξίσωση ενός επιπέδου που είναι κάθετο στο zεπίπεδο και διέρχεται από τα σηµεία (,, ) και (,, ) Αναζητούµε τα ακρότατα της f στην τοµή αυτών των δύο επιφανειών Πρέπει να βρούµε, y, z, λ και λ τέτοια ώστε f (, y, = λ g(, y, + λ g(, y, και g(, y, = () g(, y, = Παρατηρούµε ότι, f = (,,), g = (, y,) και g (,,) ότι τα διανύσµατα g = (, y,) και g = (,,) εφόσον το (, y, z ) ανήκει στην τοµή των δύο επιφανειών = και επισηµαίνουµε είναι γραµµικά ανεξάρτητα, Αντικαθιστώντας τις κλίσεις στην πρώτη από τις εξισώσεις του συστήµατος () καταλήγουµε στο σύστηµα πέντε εξισώσεων µε πέντε αγνώστους ( τους, y, z, λ, λ ) λ λ = + = λ y+ λ λ λ = + + y = + z = Από την τρίτη εξίσωση έπεται ότι λ =, άρα οι δύο πρώτες γίνονται λ = και yλ = Αφού από την δεύτερη πρέπει να είναι λ έπεται ότι = Άρα από τις δύο τελευταίες εξισώσεις του συστήµατος () συνάγοµε ότι z = και y =± ()
7 Συνεπώς τα ακρότατα που ζητάµε πρέπει να είναι τα (,, ) και (,,) Υπολογίζοντας τις τιµές της f έχουµε f (,,) = + = < και f (,,) = + + = + > Άρα το µεν (,,) δίνει την ελάχιστη τιµή και το (,, ) την µέγιστη τιµή Σηµειώνουµε ότι το σύνολο ( ) 3 {,, : και } S = y z R + y + z =, δηλαδή η τοµή των δύο επιφανειών είναι, όπως εύκολα µπορεί να αποδειχθεί, κλειστό και φραγµένο σύνολο, άρα συµπαγές Έτσι η συνεχής συνάρτηση f επιτυγχάνει µέγιστη και ελάχιστη τιµή στην S )Βρείτε την µέγιστη τιµή της ( ) )Βρείτε την ελάχιστη τιµή της ( ) Ασκήσεις f, y = y υπό την συνθήκη + y = 5 f, y = + y υπό την συνθήκη y = 3)Βρείτε την ελάχιστη τιµή της ( ) f, y = y υπό την συνθήκη + y = 4 4)Βρείτε την µέγιστη τιµή της f (, log( y ) για > = υπό την συνθήκη + 3y = 8 f, y, z = y z είξτε ότι η µέγιστη τιµή της f στην σφαίρα 5)Έστω ( ) + y + z = R είναι 6 R 7 6)Βρείτε την ελάχιστη τιµή της ( ) και y+ z = 6 f, y, z = + y + z υπό τις συνθήκες + y = 4 7)Βρείτε την µέγιστη τιµή της f (, y, = yz υπό τις συνθήκες y = z + y = 3 και 8)Βρείτε την µέγιστη τιµή της f (, y, y z y = 4 = + υπό τις συνθήκες + 3z = 5 και