. Πώς απαριθμούμε Πρι υιοθετηθεί και καθιερωθεί ως τρόπος ταυτοποίησης το δακτυλικό αποτύπωμα, ο Γάλλος εγκληματολόγος Alphonse Bertillon (853-94) είχε προτείει μια μέθοδο ταυτοποίησης που, μεταξύ άλλω, βασιζότα σε έτεκα αατομικά χαρακτηριστικά (ύψος, περίμετρος κεφαλής, μήκος αυτιού, κ.ά.). Σύμφωα με το σύστημα Bertillon (έτσι οομάζεται αυτή η μέθοδος), η τιμή κάθε χαρακτηριστικού κατατάσσεται/ ταξιομείται σε μια από τρεις κλάσεις τιμώ, small (s), medium (m), large (l) και έτσι σε κάθε άτομο ατιστοιχίζεται μια -άδα συμβόλω, s, m και l. Σε κάθε θέση μιας τέτοιας -άδας, ατιστοιχεί έα αατομικό χαρακτηριστικό. Για παράδειγμα, θα μπορούσε στη η θέση α ατιστοιχεί το ύψος, στη η η περίμετρος της κεφαλής, στη 3 η το μήκος του αυτιού, κ.ο.κ.. Συεπώς, για κάθε τέτοια -άδα συμβόλω, π.χ. s, s, m, s, l, m, s, l, m, s, s έχει σημασία όχι μόο ποια σύμβολα και πόσες φορές το καθέα εμφαίσθηκε αλλά και σε ποιες θέσεις αυτά εμφαίσθηκα. Παρότι το σύστημα Bertillon εθεωρείτο αξιόπιστο σύστημα ταυτοποίησης/ααγώρισης και γι αυτό υιοθετήθηκε και χρησιμοποιήθηκε από πολλές χώρες για τουλάχιστο δύο δεκαετίες, έα θέμα για το οποίο είχε δεχθεί κριτική αφορούσε το πόσο πιθαό είαι α βρεθού δύο τουλάχιστο άθρωποι με κοιά και τα έτεκα αυτά αατομικά χαρακτηριστικά. Άραγε, πόσες είαι οι διαφορετικές -άδες συμβόλω που είαι δυατό α προκύψου από το σύστημα Bertillon και επομέως πόσο πληθυσμό αρκεί α έχει μια περιοχή ώστε α είαι βέβαιο ότι τουλάχιστο δύο άτομα από αυτή τη περιοχή θα έχου ίδια -άδα συμβόλω; Για α απατήσουμε στα προηγούμεα ερωτήματα πρέπει προφαώς, α μπορέσουμε με κάποιο τρόπο α απαριθμήσουμε όλες τις διαφορετικές διατεταγμέες -άδες, ( α, α,..., α), που μπορού α δημιουργηθού από στοιχεία του συόλου { s, m, l}. Παρατηρείστε ότι δε εδιαφέρει και δε ζητείται ποιες είαι όλες αυτές οι διατεταγμέες -άδες αλλά μόο πόσες είαι. Στη συέχεια, ότα θα μάθουμε πώς α υπολογίζουμε πιθαότητες, θα διαπιστώσουμε ότι κατά τη αάλυση πιθαοθεωρητικώ προβλημάτω, συχά εμφαίζοται διάφορα προβλήματα απαρίθμησης που πρέπει α ατιμετωπίσουμε. Σκεφθείτε το πολύ απλό παράδειγμα όπου κάποιος μας ρωτάει «ποια είαι η πιθαότητα α έρθει κεφαλή α ρίξω έα αμερόληπτο όμισμα μια φορά». Αβίαστα απατάμε ότι αυτή η πιθαότητα είαι και ουσιαστικά αυτό που κάουμε (διαισθητικά και χωρίς α απαιτείται α έχουμε παρακολουθήσει κάποια μαθήματα πιθαοτήτω) είαι α απαριθμήσουμε πόσα είαι τα δυατά αποτελέσματα κατά τη ρίψη εός αμερόληπτου ομίσματος, δηλαδή, α απαριθμήσουμε το πλήθος τω στοιχείω του συόλου 3 Ω = { Κ, Γ} και επίσης α απαριθμήσουμε το πλήθος τω στοιχείω του συόλου τω ευοϊκώ αποτελεσμάτω, δηλαδή του υποσυόλου A = {Κ} του Ω. Αάλογα σκεπτόμεοι, υπολογίζουμε ότι κατά τη ρίψη εός αμερόληπτου ζαριού η πιθαότητα α έρθει, για παράδειγμα, 5 ή 6 είαι 6. Αυτό που πάλι χρειάσθηκε α κάουμε ήτα α απαριθμήσουμε το πλήθος τω στοιχείω δύο συόλω, του συόλου Ω = {,, 3, 4, 5, 6} και του υποσυόλου του, A = {5, 6}. Η μέθοδος Bertillon είαι «τριπλή», με τη έοια ότι το τελικό αποτέλεσμα προκύπτει από τρεις συιστώσες. Τα έτεκα αατομικά στοιχεία αποτελού τη μια από αυτές. Στις αρχές του εικοστού αιώα. 3 Με «Κ» συμβολίζουμε το αποτέλεσμα «Κεφαλή» και με «Γ» το αποτέλεσμα «Γράμματα». Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 5
Είαι επομέως χρήσιμο α μάθουμε πώς α απαριθμούμε! Βέβαια, θα μπορούσε κάποιος α σκεφθεί ότι το πρόβλημα της απαρίθμησης του πλήθους τω στοιχείω εός (πεπερασμέου) συόλου είαι πολύ απλό αφού θα μπορούσαμε, με έα συστηματικό τρόπο, α καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του και στη συέχεια α μετρήσουμε πόσα είαι, δηλαδή, α κάουμε αυτό που κάαμε προηγουμέως στα παραδείγματα με το όμισμα και το ζάρι. Όμως, αυτός ο τρόπος προσέγγισης τω προβλημάτω απαρίθμησης θα ήτα πρακτικά εφικτός μόο για σύολα που πρακτικά μπορεί α γίει πλήρης καταγραφή τω στοιχείω τους δηλαδή για σύολα με λίγα στοιχεία. Για παράδειγμα, όπως θα δούμε στη συέχεια, η απάτηση στη ερώτηση «πόσες είαι οι διαφορετικές -άδες συμβόλω που είαι δυατό α προκύψου από το σύστημα Bertillon», είαι 7747. Συμφωείτε, ομίζω, ότι δε καταγράφοται εύκολα, και σε λογικό χρόο, όλες αυτές οι -άδες! Τα προβλήματα απαρίθμησης απαιτού επομέως διαφορετικές (από τη πλήρη καταγραφή) προσεγγίσεις. Για το σκοπό αυτό έχει ααπτυχθεί μια ιδιαιτέρως εδιαφέρουσα (και γοητευτική) περιοχή τω Μαθηματικώ, η Συδυαστική (Combinatorics) ή Συδυαστική Αάλυση (Combinatorial Analysis) που ως κύριο ατικείμεο έχει αυτό ακριβώς, τη αάπτυξη μεθόδω απαρίθμησης (enumeration methods/counting rules), δηλαδή, τεχικώ υπολογισμού του πλήθους τω στοιχείω πεπερασμέω συόλω ή υποσυόλω τους που έχου συγκεκριμέες ιδιότητες, χωρίς α απαιτείται η πλήρης καταγραφή τω στοιχείω τους. Στη συέχεια του κεφαλαίου θα γωρίσουμε κάποια πολύ βασικά εργαλεία και αποτελέσματα της Συδυαστικής που μας είαι απαραίτητα για α καταοήσουμε τα θέματα Πιθαοτήτω που εξετάζουμε στο κεφάλαιο που ακολουθεί. Ειδικότερα, θα μάθουμε πώς μπορούμε α απαριθμούμε εφαρμόζοτας τη πολλαπλασιαστική αρχή και πώς μπορούμε α ααγωρίζουμε και α απαριθμούμε ειδικούς σχηματισμούς στοιχείω όπως, μεταθέσεις, διατάξεις και συδυασμούς.. Η Πολλαπλασιαστική αρχή (Multiplication Principle) Πρόκειται α φυτέψετε σε μια σειρά μια ελιά (Ε), μια ερατζιά (Ν), μια πορτοκαλιά (Π) και μια λεμοιά (Λ) ώστε α δημιουργήσετε μια δεδροστοιχία τεσσάρω δέδρω. Άραγε, πόσες διαφορετικές επιλογές έχετε για τη δημιουργία της δεδροστοιχίας (για α αποφασίσετε, δηλαδή, τη σειρά με τη οποία θα φυτέψετε τα δέδρα). Ας σκεφτούμε απλά: για τη η θέση της δεδροστοιχίας έχουμε 4 διαφορετικές επιλογές (μπορεί α φυτευτεί οποιοδήποτε από τα τέσσερα δέδρα, Ε, Ν, Π και Λ). Οποιαδήποτε και α είαι η επιλογή μας για τη η θέση, για τη η έχουμε 3 διαφορετικές επιλογές αφού το έα από τα τέσσερα δέδρα έχει ήδη φυτευτεί στη η θέση). Επομέως, για τις δύο πρώτες θέσεις έχουμε 4 3 = διαφορετικές επιλογές. Οποιαδήποτε (από τις ) και α είαι η επιλογή μας για τις δύο πρώτες θέσεις, για τη 3 η θέση προφαώς έχουμε διαφορετικές επιλογές, άρα για τις τρεις πρώτες θέσεις έχουμε = 4 διαφορετικές επιλογές. Τέλος, οποιαδήποτε (από τις 4) και α είαι η επιλογή μας για τις τρεις πρώτες θέσεις, για τη 4 η θέση προφαώς έχουμε μόο επιλογή, επομέως η δεδροστοιχία μπορεί α δημιουργηθεί με 4 = 4 διαφορετικούς τρόπους. Οδηγηθήκαμε στη σωστή απάτηση σκεπτόμεοι απλά και με επίκληση της κοιής λογικής μόο. Στη πραγματικότητα, εργαζόμεοι με αυτό το προφαή/απλό τρόπο, εφαρμόσαμε μια βασική αρχή της Συδυαστικής, τη πολλαπλασιαστική αρχή! Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 6
Α κατά τη απαρίθμηση τω στοιχείω εός συόλου, α) η διαδικασία της απαρίθμησης μπορεί α χωρισθεί σε κ διαφορετικά βήματα τα οποία πρέπει α εκτελεσθού διαδοχικά το έα μετά το άλλο και β) το πλήθος τω δυατώ επιλογώ σε κάθε βήμα είαι πλήρως καθορισμέο ότα είαι γωστά τα αποτελέσματα όλω τω προηγούμεω βημάτω, τότε η απαρίθμηση μπορεί α γίει με χρήση της πολλαπλασιαστικής αρχής η οποία διατυπώεται ως εξής: «Α το στοιχείο α μπορεί α επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή του α, το στοιχείο α μπορεί α επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους,, και για κάθε επιλογή τω στοιχείω α, α,..., α, το στοιχείο α κ μπορεί α επιλεγεί με κ διαφορετικούς τρόπους, τότε όλα τα στοιχεία α, α,..., α μπορού α επιλεγού διαδοχικά και με αυτή τη συγκεκριμέη σειρά, κατά... κ τρόπους.» Ας δούμε τώρα πώς, χρησιμοποιώτας τη πολλαπλασιαστική αρχή, μπορούμε α απατήσουμε στο εισαγωγικό πρόβλημα (αριθμός -άδω που δημιουργούται με το σύστημα ταυτοποίησης Bertillon). Σκεπτόμαστε και πάλι απλά: για τη η θέση της διατεταγμέης -άδας ( α, α,..., α), δηλαδή για το στοιχείο α, έχουμε 3 διαφορετικές επιλογές (αφού μπορεί α είαι οποιοδήποτε από τα στοιχεία του συόλου { s, m, l} ). Για κάθε επιλογή που κάουμε για το α, προφαώς οι διαφορετικές επιλογές για τη η θέση, δηλαδή για το α, είαι και πάλι 3 (και το ο στοιχείο μπορεί α είαι οποιοδήποτε από τα στοιχεία του συόλου { s, m, l} ). Ομοίως σκεπτόμεοι, για κάθε επιλογή τω δύο πρώτω στοιχείω, α, α, υπάρχου και πάλι 3 διαφορετικές επιλογές για το α 3, κ.ο.κ.. Επομέως, σύμφωα με τη πολλαπλασιαστική αρχή, όλες οι διαφορετικές -άδες ( α, α,..., α) που μπορού α δημιουργηθού από στοιχεία του συόλου { s, m, l} είαι 3 4 3... 43 3 = 3, δηλαδή, 7747. Άρα, α μια περιοχή έχει 7748 κατοίκους είαι βέβαιο ότι θα υπάρχου τουλάχιστο δύο κάτοικοι με ίδιες -άδες συμβόλω s, m και l του συστήματος ταυτοποίησης Bertillon. H απάτηση στο πρόβλημα που ακολουθεί, είαι 0000. Σκεφθείτε γιατί. Παράδειγμα.: Για α εεργοποιηθού/απεεργοποιηθού κάποιες ηλεκτροικές συσκευές και κάρτες (κιητά τηλέφωα, συστήματα συαγερμού, κάρτες ΑΤΜ τραπεζώ, κ.ά.), πρέπει α πληκτρολογηθεί έας τετραψήφιος κωδικός, δηλαδή, πρέπει α πληκτρολογηθού, με συγκεκριμέη σειρά, τέσσερα ψηφία. Πόσοι διαφορετικοί τετραψήφιοι κωδικοί μπορού α σχηματισθού από τα δέκα ψηφία, 0,,,...,9; Σχόλιο.: Στο πρόβλημα με τις δεδροστοιχίες θα μπορούσαμε α απατήσουμε καταγράφοτας (και μετρώτας) όλες τις δυατές περιπτώσεις. Στο Σχήμα. φαίεται έας τέτοιος συστηματικός τρόπος πλήρους καταγραφής. Μετρείστε στη τελευταία στήλη όλες τις δεδροστοιχίες. Είαι πράγματι 4, όσες υπολογίσαμε εφαρμόζοτας τη πολλαπλασιαστική αρχή. Βέβαια, η πλήρης καταγραφή είαι πρακτικά εφικτή γιατί οι διαφορετικές δεδροστοιχίες είαι λίγες, μόλις 4. Σκεφθείτε α έπρεπε α καταγράψουμε τις διαφορετικές δεδροστοιχίες που είαι δυατό α δημιουργηθού από 0 διαφορετικά δέδρα, δηλαδή, α έπρεπε α καταγράψουμε 0 9 8... 3 = 368800 δεδροστοιχίες!! Όσο συστηματικοί και α είμαστε Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 7
μάλλο θα δυσκολευόμαστα α τις καταγράψουμε όλες και στη συέχεια α τις καταμετρήσουμε. Εφαρμόζοτας τη πολλαπλασιαστική αρχή, υπολογίσαμε πόσες είαι πολύ πιο εύκολα! Παρατηρείστε, τέλος, ότι ο τρόπος καταγραφής που φαίεται στο Σχήμα. (δεδροδιάγραμμα), ουσιαστικά αποτελεί σχηματική ααπαράσταση της πολλαπλασιαστικής αρχής! ο Δέδρο ο Δέδρο 3 ο Δέδρο 4 ο Δέδρο Δεδροστοιχία ΕΝΠΛ Σχήμα. ΕΝΛΠ ΕΠΝΛ ΕΠΛΝ ΕΛΝΠ ΕΛΠΝ ΝΕΠΛ ΝΕΛΠ ΝΠΕΛ ΝΠΛΕ ΝΛΕΠ ΝΛΠΕ ΠΝΕΛ ΠΝΛΕ ΠΕΝΛ ΠΕΛΝ ΠΛΝΕ ΠΛΕΝ ΛΝΠΕ ΛΝΕΠ ΛΠΝΕ ΛΠΕΝ ΛΕΝΠ ΛΕΠΝ Επισημαίουμε ότι η πολλαπλασιαστική αρχή βρίσκει εφαρμογή σε προβλήματα απαρίθμησης -άδω ( α, α, K, α ) που είαι διατεταγμέες, ή αλλιώς, στη απαρίθμηση ακολουθιώ στοιχείω (εεργειώ, λειτουργιώ, κτλ.), α, α, K, α, που διατάσσοται σε μια σειρά, ο, ο, 3 o,, o. Και στα τρία παραδείγματα που Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 8
είδαμε προηγουμέως, αυτό ακριβώς κάαμε. Διατεταγμέες -άδες απαριθμήσαμε. Στο πρόβλημα με το σύστημα ταυτοποίησης Bertillon, υπολογίσαμε πόσες διαφορετικές διατεταγμέες -άδες ( α, α,..., α) μπορού α δημιουργηθού από στοιχεία του συόλου { s, m, l}, στο πρόβλημα με τις δεδροστοιχίες, πόσες διαφορετικές διατεταγμέες 4-άδες ( α, α, α 3, α 4 ) από στοιχεία του συόλου { E, N, Π, Λ} και στο πρόβλημα με τους τετραψήφιους κωδικούς ηλεκτροικώ συσκευώ και καρτώ, πόσες διαφορετικές διατεταγμέες 4-άδες ( α, α, α 3, α 4 ) από στοιχεία του συόλου { 0,,...,9}. Παρατηρείστε ότι στο πρόβλημα με τις -άδες ταυτοποίησης Bertillon, για τη δημιουργία μιας -άδας, υπάρχει η δυατότητα οποιοδήποτε από τα στοιχεία του συόλου { s, m, l} α μπορεί α επιλεγεί περισσότερες από μία φορές. Το ίδιο συμβαίει και στο πρόβλημα με τους τετραψήφιους κωδικούς. Στο πρόβλημα με τις δεδροστοιχίες δε υπάρχει αυτή η δυατότητα. Για τη δημιουργία μιας διατεταγμέης τετράδας (δεδροστοιχίας) υπάρχει ο περιορισμός ότι έα δέδρο που ήδη έχει επιλεγεί σε κάποιο βήμα, δε μπορεί α επιλεγεί και πάλι σε επόμεο βήμα. Διευκριίζουμε, τέλος, ότι για α εφαρμόσουμε τη πολλαπλασιαστική αρχή, τα στοιχεία, α, α,..., α, τω διατεταγμέω -άδω ( α, α,..., α ), δε είαι απαραίτητο α επιλέγοται από το ίδιο σύολο (με ή χωρίς περιορισμούς). Ας δούμε έα τέτοιο παράδειγμα. Παράδειγμα.: Για α δημιουργήσουμε έα κρυπτογραφημέο μήυμα που α αποτελείται από τρία γράμματα του ελληικού αλφαβήτου και έα ψηφίο, αποφασίσαμε στη πρώτη και τη τέταρτη θέση α χρησιμοποιήσουμε σύμφωα (όχι απαραιτήτως διαφορετικά), στη δεύτερη θέση ψηφίο (εκτός από το μηδέ) και στη τρίτη φωήε. Δηλαδή, το μήυμα α είαι της μορφής, (Σύμφωο, Ψηφίο, Φωήε, Σύμφωο). Για παράδειγμα, Τ4ΕΠ. Πόσα διαφορετικά μηύματα αυτής της μορφής μπορούμε α δημιουργήσουμε. Απάτηση: Είαι προφαές ότι μας ζητείται α απαριθμήσουμε 4-άδες και μάλιστα διατεταγμέες. Η διαδικασία της απαρίθμησης διακρίεται σε 4 διαφορετικά βήματα. Στο ο βήμα, για α αποφασίσουμε ποιο σύμφωο θα επιλέξουμε, έχουμε 7 διαφορετικές επιλογές, όσα τα στοιχεία του συόλου όλω τω συμφώω του ελληικού αλφαβήτου, { Β, Γ,Δ,..., Χ, Ψ}. Στο ο βήμα έχουμε προφαώς 9 διαφορετικές επιλογές, όσα τα στοιχεία του συόλου {,,..., 9}, στο 3 ο βήμα έχουμε 7 διαφορετικές επιλογές όσα τα στοιχεία του συόλου όλω τω φωηέτω του ελληικού αλφαβήτου, { Α, Ε, Η, Ι, Ο, Υ, Ω} και στο 4 ο βήμα έχουμε και πάλι 7 διαφορετικές επιλογές. Άρα, εφαρμόζοτας τη πολλαπλασιαστική αρχή, συμπεραίουμε ότι τα διαφορετικά μηύματα της μορφής (Σύμφωο, Ψηφίο, Φωήε, Σύμφωο) που μπορούμε α δημιουργήσουμε είαι 7 9 7 7 = 807, δηλαδή, περισσότερα από 8 χιλιάδες! Στη συέχεια θα ασχοληθούμε με τη απαρίθμηση σχηματισμώ που δημιουργούται με τη επιλογή συγκεκριμέου αριθμού στοιχείω από το ίδιο σύολο με ή χωρίς κάποιους περιορισμούς. Οι σχηματισμοί αυτοί ταξιομούται σε δύο γεικές κατηγορίες, στις διατάξεις και τους συδυασμούς. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 9
. Διατάξεις (-permutations) και Μεταθέσεις (permutations) Ας δούμε πάλι το πρόβλημα με τις δεδροστοιχίες, με μια διαφοροποίηση στο τελικό ερώτημα: πόσες διαφορετικές επιλογές έχετε για α δημιουργήσετε μια δεδροστοιχία τω δύο δέδρω που θα επιλέξετε από έα σύολο τεσσάρω δέδρω { E, N, Π, Λ} (από μια ελιά (Ε), μια ερατζιά (Ν), μια πορτοκαλιά (Π) και μια λεμοιά (Λ)). Ζητείται και πάλι α απαριθμήσουμε διατεταγμέες -άδες, ειδικότερα, ζητείται α απαριθμήσουμε όλες τις διατεταγμέες -άδες που μπορού α δημιουργηθού από διαφορετικά στοιχεία του συόλου { E, N, Π, Λ}. Δηλαδή τις -άδες, ΕΝ, ΝΕ, ΕΠ, Κάθε τέτοιος σχηματισμός, δηλαδή κάθε διατεταγμέη -άδα που δημιουργείται από διαφορετικά στοιχεία του συόλου { E, N, Π, Λ}, οομάζεται διάταξη τω 4 αά. Η απαρίθμηση μπορεί α γίει σε διακριτά διαδοχικά βήματα με καθορισμέο το πλήθος τω επιλογώ μας σε κάθε βήμα, επομέως, εφαρμόζοτας τη πολλαπλασιαστική αρχή, εύκολα προκύπτει ότι ο αριθμός τω διαφορετικώ διατεταγμέω -άδω που μπορού α δημιουργηθού από διαφορετικά στοιχεία του συόλου { E, N, Π, Λ} είαι 4 3 =. Παρατηρείστε ότι στο ο βήμα έχουμε 4 επιλογές εώ στο ο έχουμε 4 = 3 επιλογές, αφού το δέδρο (όποιο και α είαι) που επελέγη για α φυτευτεί στο ο βήμα, δε μπορεί α επιλεγεί και πάλι στο ο βήμα! Οι δώδεκα αυτοί σχηματισμοί, δηλαδή, όλες οι διαφορετικές διατεταγμέες -άδες που δημιουργούται από διαφορετικά στοιχεία του συόλου { E, N, Π, Λ}, ή αλλιώς, όλες οι διατάξεις τω 4 αά στοιχείω του συόλου { E, N, Π, Λ}, φαίοται στο Σχήμα.. Ορισμός: Έστω X έα πεπερασμέο σύολο στοιχείω και έας θετικός ακέραιος αριθμός με. Διάταξη τω στοιχείω του Χ αά ή απλούστερα, διάταξη τω αά, οομάζεται κάθε διατεταγμέη -άδα ( α, α,..., α ) που αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία του X. Ότα =, η διάταξη τω στοιχείω αά οομάζεται μετάθεση τω στοιχείω. Θυμηθείτε το αρχικό πρόβλημα με τις δεδροστοιχίες τω τεσσάρω δέδρω. Κάθε τέτοια δεδροστοιχία, αποτελεί μια μετάθεση τω 4 στοιχείω του συόλου { E, N, Π, Λ}. Ο αριθμός (τo πλήθος) τω διατάξεω τω στοιχείω αά, διεθώς συμβολίζεται (συήθως) με ( ), ή με P ή με P. Για τη συέχεια επιλέξαμε α χρησιμοποιούμε το συμβολισμό, ( ). Εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι ( ) = ( )( ) K ( + ), (Η απόδειξη προκύπτει άμεσα με εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής. Η απαρίθμηση ολοκληρώεται σε διαφορετικά βήματα, όπου, στο ο έχουμε διαφορετικές επιλογές, στο ο διαφορετικές επιλογές και στο o έχουμε ( ) = + διαφορετικές επιλογές.) Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 30
Έτσι, για το αριθμό (το πλήθος) ( ) τω διαφορετικώ μεταθέσεω στοιχείω προφαώς ισχύει, ( ) = ( )( ) K ( + ), ή ( ) =... ( ) =!, Σημείωση.: Η ποσότητα! που ορίζεται ως το γιόμεο... ( ), διαβάζεται «παραγοτικό». Χαρακτηριστικό του! είαι ότι αυξαομέου του, αυξάεται πολύ γρήγορα. Επαληθεύστε, για παράδειγμα, ότι εώ το! είαι ίσο με, το 5! είαι ίσο με 0, το 6! ίσο με 70 και το 0! ίσο με 368800. Κατά μια εκδοχή μάλιστα, το θαυμαστικό (!) επελέγη στο συμβολισμό του παραγοτικού ακριβώς για α δηλώει τη έκπληξη/θαυμασμό για αυτή τη ραγδαία αύξηση. Σημειώουμε, τέλος, ότι ως 0! ορίζεται η μοάδα, δηλαδή, 0! =. Εύκολα μπορείτε α επαληθεύσετε ότι το πλήθος τω διατάξεω τω στοιχείω αά, μπορεί με χρήση παραγοτικώ α γραφεί ως εξής:! ( ) =, ( )! ο Δέδρο ο Δέδρο Δεδροστοιχία Σχήμα. Το παράδειγμα που ακολουθεί, το επιλέξαμε για α δούμε πώς μπορούμε α ερμηεύουμε και α ατιλαμβαόμαστε υπό έα ευρύτερο πρίσμα τη έοια της διάταξης στοιχείω αά και γεικότερα τη έοια της διατεταγμέης -άδας. Παράδειγμα.3: Το πλήρωμα μιας επαδρωμέης διαστημικής αποστολής που προγραμματίζεται α πραγματοποιηθεί, θα αποτελείται από το κυβερήτη και το ΕΝ ΕΠ ΕΛ ΝΕ ΝΠ ΝΛ ΠΝ ΠΕ ΠΛ ΛΝ ΛΠ ΛΕ Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3
συγκυβερήτη. Θεωρείστε ότι τη εκπαίδευση για αυτές τις δύο θέσεις τη έχου ολοκληρώσει με επιτυχία 9 άτομα. Από πόσες διαφορετικές δυατές συθέσεις πληρώματος έχου τη δυατότητα οι υπεύθυοι α επιλέξου τη σύθεση που πληρώματος. Απάτηση: Μας ζητείται α υπολογίσουμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε α επιλέξουμε άτομα από 9 ή μήπως μας ζητείται α υπολογίσουμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε α επιλέξουμε άτομα από 9 και α τα καταγράψουμε/α τα τοποθετήσουμε/α τα διατάξουμε σε μια σειρά; Η απάτηση είαι το δεύτερο. Για παράδειγμα, άλλη σύθεση πληρώματος είαι αυτή που φαίεται στο Σχήμα.3(a) και άλλη αυτή που φαίεται στο Σχήμα.3(β), παρότι και στις δύο περιπτώσεις έχου επιλεγεί τα ίδια δύο άτομα από τα 9. Δηλαδή, κάθε σύθεση του πληρώματος αποτελεί μια διατεταγμέη -άδα, με τη έοια ότι «ος στη σειρά» σημαίει κυβερήτης και «ος στη σειρά» σημαίει συγκυβερήτης (θα μπορούσε και ατίστροφα!). (α) Σχήμα.3 (β) Η απάτηση στο ερώτημα είαι πλέο πολύ απλή. Ζητάμε το πλήθος τω διατάξεω τω 9 αά, επομέως, οι ζητούμεες διαφορετικές συθέσεις είαι, ( 9) = 9 8 = 7. Παράδειγμα.4: Από διαφορετικά αμιοξέα, πόσες διαφορετικές πολυπεπτιδικές αλυσίδες, αποτελούμεες από 5 διαφορετικά αμιοξέα η κάθε μια, είαι δυατό α δημιουργηθού; Απάτηση: Α σκεφθούμε ότι τα αμιοξέα που κάθε φορά συμμετέχου στη δημιουργία της αλυσίδας πρέπει α είαι διαφορετικά και ότι έχει σημασία όχι μόο ποια αμιοξέα συμμετέχου, αλλά και με ποια σειρά, είαι προφαές ότι η απάτηση είαι, ( ) 5 = 0 9 8 = 95040..3 Επααληπτικές διατάξεις (-permutations with repetitions) Στο ορισμό της διάταξης τω στοιχείω (εός συόλου Χ) αά, αλλά και στα σχετικά παραδείγματα που δώσαμε, επισημάαμε ότι στη δημιουργία μιας διάταξης στοιχείω αά, δε υπάρχει δυατότητα (δε επιτρέπεται) α επιλέξουμε κάποιο στοιχείο (του συόλου Χ) περισσότερες από μια φορές. Στη περίπτωση που υπάρχει αυτή η δυατότητα, η διάταξη τω στοιχείω αά που δημιουργείται οομάζεται επααληπτική διάταξη τω στοιχείω αά. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 3
Μπορούμε έτσι, α δημιουργήσουμε διατεταγμέες -άδες από τα στοιχεία εός συόλου που έχει λιγότερα από στοιχεία αφού οποιοδήποτε στοιχείο επιτρέπεται α χρησιμοποιηθεί περισσότερες από μία φορές. Αυτό, για παράδειγμα, κάουμε ότα συμπληρώουμε έα δελτίο ΠΡΟΠΟ. Δημιουργούμε διατεταγμέες 3-άδες από τα στοιχεία του συόλου, {, X, } τα οποία μπορού α επααληφθού μέχρι και 3 φορές το καθέα. Επομέως, με εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής, εύκολα 3 προκύπτει ότι μπορού α δημιουργηθού 3 4 3... 43 3 = 3 = 59433 διαφορετικές στήλες ΠΡΟΠΟ (τω δεκατριώ αγώω). Γεικά, εύκολα μπορεί α αποδειχθεί ότι ο αριθμός (το πλήθος) τω επααληπτικώ διατάξεω τω στοιχείω αά είαι (Η απόδειξη προκύπτει άμεσα με εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής. Η απαρίθμηση ολοκληρώεται σε διαφορετικά βήματα, όπου, στο ο έχουμε διαφορετικές επιλογές, στο ο έχουμε επίσης διαφορετικές επιλογές καθώς και σε καθέα από τα επόμεα βήματα (μέχρι και το βήμα ) έχουμε επίσης επιλογές, αφού όποιο στοιχείο έχει ήδη χρησιμοποιηθεί σε κάποιο βήμα μπορεί και πάλι α χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε επόμεο.) Τέτοιους σχηματισμούς, δηλαδή, επααληπτικές διατάξεις τω στοιχείω αά, έχουμε ήδη απαριθμήσει (χωρίς α τους οοματίσουμε) ότα μιλήσαμε για τη πολλαπλασιαστική αρχή. Δείτε πάλι το πρόβλημα με τις διατεταγμέες -άδες του συστήματος ταυτοποίησης Bertillon που δημιουργούται από στοιχεία του συόλου { s, m, l} και θυμηθείτε ότι καθέα από αυτά τα στοιχεία επιτρέπεται α επιλέγεται για τη δημιουργία διατεταγμέης -άδας περισσότερες από μια φορές. Σκεφθείτε επίσης πάλι, το πρόβλημα με τους τετραψήφιους κωδικούς ηλεκτροικώ συσκευώ και καρτώ που δημιουργούται από στοιχεία του συόλου { 0,,,...,9}. Ας δούμε έα ακόμη παράδειγμα: Παράδειγμα.5: Πόσες διαφορετικές τριπλέτες ουκλεοτιδίω είαι δυατό α δημιουργηθού από τις τέσσερις βάσεις Αδείη (Α), Κυτοσίη (C), Γουαίη (G) και Θυμίη (T); Απάτηση: Ζητείται α απαριθμήσουμε διατεταγμέες 3-άδες που δημιουργούται από στοιχεία του συόλου { A, C, G, T}, με τη δυατότητα, οποιοδήποτε από αυτά α μπορεί α χρησιμοποιηθεί περισσότερες από μια φορές. Δηλαδή, α απαριθμήσουμε διατεταγμέες 3-άδες της μορφής, AAA, AAC, AAG, AAT, ACA, ACC, ACG, κτλ. Πρόκειται επομέως για επααληπτικές διατάξεις 4 στοιχείω αά 3, άρα είαι δυατό α δημιουργηθού 4 4 4 = 4 3 = 64 διαφορετικές τέτοιες τριπλέτες ουκλεοτιδίω..4 Μεταθέσεις τω ειδώ στοιχείω (permutations with Categories) Οι διαφορετικές διατεταγμέες 4-άδες που δημιουργούται από τα 4 γράμματα Α, Λ, Λ και Ο, της λέξης ΑΛΛΟ, δηλαδή, οι διαφορετικοί ααγραμματισμοί της, είαι οι εξής: ΑΛΛΟ, ΑΛΟΛ, ΛΑΛΟ, ΛΑΟΛ, ΟΑΛΛ, ΛΛΑΟ, ΛΛΟΑ, ΑΟΛΛ, ΛΟΑΛ, ΛΟΛΑ, ΟΛΛΑ, ΟΛΑΛ. Συολικά δηλαδή, είαι και όχι όσες οι μεταθέσεις 4 στοιχείω, 4! = 4, που ίσως περιμέαμε. Παρατηρείστε ότι αυτό συμβαίει γιατί τα 4 στοιχεία που 3 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 33
χρησιμοποιούμε για τη δημιουργία αυτώ τω διατεταγμέω 4-άδω δε είαι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, με συέπεια κάποιες 4-άδες (από τις 4) α είαι ίδιες. Συγκεκριμέα, α ατιμεταθέσουμε τα δύο ίδια στοιχεία οποιασδήποτε 4-άδας, προφαώς, δε προκύπτει κάτι καιούργιο (κάποια έα-διαφορετική 4-άδα) αλλά ααπαράγεται η ίδια τη οποία φυσικά δε (πρέπει α) καταμετράμε ως έα. Ασφαλώς, αυτοί οι σχηματισμοί δε οομάζοται μεταθέσεις τω 4 στοιχείω (γιατί δε είαι, αφού οι μεταθέσεις στοιχείω δημιουργούται από διαφορετικά μεταξύ τους στοιχεία) αλλά οομάζοται μεταθέσεις τω 3 ειδώ στοιχείω, με τη έοια ότι δημιουργούται όχι από διαφορετικά στοιχεία αλλά από διαφορετικά είδη στοιχείω, ε προκειμέω από 3 είδη, το Α, το Λ και το Ο, με το περιορισμό ότι το Α χρησιμοποιείται φορά, το Λ φορές και το Ο φορά. Τέτοια προβλήματα απαρίθμησης συατώται αρκετά συχά σε διάφορες πρακτικές εφαρμογές (κάποιες, εδεικτικά, θα δούμε στη συέχεια). Συμβαίει, δηλαδή, α εδιαφέρει η απαρίθμηση τω μεταθέσεω στοιχείω που αήκου σε διαφορετικά είδη. Τέτοιοι σχηματισμοί, οομάζοται μεταθέσεις τω ειδώ στοιχείω. Ας δούμε και μια άλλη διατύπωση του ορισμού αυτώ τω σχηματισμώ. Ορισμός: Έστω έα πεπερασμέο σύολο X = { x, x,..., x }, (διαφορετικώ) στοιχείω (με ). Κάθε διατεταγμέη -άδα, που δημιουργείται α χρησιμοποιηθεί το στοιχείο x συολικά φορές το στοιχείο x συολικά φορές το στοιχείο x συολικά φορές όπου, = + +... +, οομάζεται μετάθεση τω ειδώ στοιχείω. Ο αριθμός τω διαφορετικώ μεταθέσεω τω ειδώ στοιχείω, από τα οποία, τα είαι είδους, τα είαι είδους,, τα είαι είδους, συμβολίζεται με,,..., και δίεται από το τύπο:!,..., =, όπου, = + +... +!!...!,. Σημείωση.: Για τη απόδειξη, μπορούμε α σκεφθούμε ως εξής: έστω x ο συολικός αριθμός τω μεταθέσεω τω ειδώ στοιχείω που θέλουμε α υπολογίσουμε. Από κάθε τέτοια μετάθεση, α διαφοροποιήσουμε με κάποιο τρόπο τα στοιχεία κάθε είδους (π.χ. α τα αριθμήσουμε) παίρουμε!!...! μεταθέσεις διαφορετικώ στοιχείω (σκεφτείτε γιατί). Αυτό σημαίει ότι το γιόμεο x (!!...!) εκφράζει το αριθμό όλω τω μεταθέσεω διαφορετικώ στοιχείω. Όμως, ο αριθμός αυτός είαι γωστός και ίσος με!. Δηλαδή, x!!...!) =! άρα x = (!!...!). ( v! Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 34
Α εφαρμόσουμε αυτό το τύπο για α υπολογίσουμε πόσοι είαι οι διαφορετικοί 4! ααγραμματισμοί της λέξης ΑΛΛΟ, βρίσκουμε ότι πράγματι είαι =,!!! δηλαδή, όσοι καταγράψαμε. Παρατήρηση.: Προσέξτε ότι οι μεταθέσεις τω ειδώ στοιχείω, όπως και οι επααληπτικές διατάξεις τω αά (που είδαμε στα προηγούμεα), είαι διατεταγμέοι σχηματισμοί στοιχείω καθέα από τα οποία επιτρέπεται α επααλαμβάεται. Όμως, στις μεταθέσεις τω ειδώ στοιχείω υπάρχει περιορισμός στο μέγιστο αριθμό φορώ που επααλαμβάεται καθέα στοιχείο κάτι το οποίο δε συμβαίει στις επααληπτικές διατάξεις τω αά, όπου δε υπάρχει κάποιος τέτοιος περιορισμός (εκτός, φυσικά, από το προφαή ότι ο μέγιστος αριθμός φορώ δε μπορεί α ξεπερά το ). Ας δούμε κάποια παραδείγματα απαρίθμησης μεταθέσεω τω ειδώ στοιχείω. Παράδειγμα.6: τμήμα αλυσίδας του DNA: Έα τμήμα της αλυσίδας του DNA παριστάεται ως μια σειρά με στοιχεία A, C, G, T που συμβολίζου τις 4 βάσεις Αδείη, Κυτοσίη, Γουαίη και Θυμίη ατίστοιχα. Εδιαφερόμαστε α υπολογίσουμε, πόσες διαφορετικές συθέσεις μπορού α προκύψου για έα τμήμα μήκους 4, α σε αυτό υπάρχου 3 στοιχεία ίσα με Α, 4 στοιχεία ίσα με C, στοιχεία ίσα με G και 5 ίσα με Τ. Απάτηση: Ζητείται α απαριθμήσουμε διατεταγμέες (προφαώς) 4-άδες που δημιουργούται από τα στοιχεία του συόλου { A, C, G, T}, καθέα από τα οποία επιτρέπεται α επααλαμβάεται, με το περιορισμό όμως, ότι το A επααλαμβάεται 3 φορές, το C 4 φορές, το G φορές και το T 5 φορές. Για παράδειγμα, 4-άδες όπως, ΑCTΑΑCTCGCGTTT, CTΑCTCGGTATCAT, ΑΑΑTTTΤΤCCCCGG, κτλ. Πρόκειται, επομέως, για πρόβλημα απαρίθμησης μεταθέσεω 4 ειδώ στοιχείω, από τα οποία, τα = 3 είαι είδους Α, τα = 4 είαι είδους C, τα 3 = είαι είδους G και τα = 4 5 είαι είδους Τ. Άρα, οι διαφορετικές συθέσεις μήκους 4 που μπορού α προκύψου από 3 στοιχεία ίσα με Α, 4 στοιχεία ίσα με C, στοιχεία ίσα με G και 5 ίσα με Τ είαι 4! = 550. 3!4!! 5! Έα ακόμη ερώτημα: Σε πόσα από αυτά τα τμήματα της αλυσίδας του DNA τα στοιχεία που ατιστοιχού σε κάθε μια από τις 4 βάσεις είαι συγκετρωμέα όλα μαζί; Από τα 550 διαφορετικά τμήματα DNA μήκους 4, που μπορού α προκύψου από 3 στοιχεία ίσα με Α, 4 στοιχεία ίσα με C, στοιχεία ίσα με G και 5 ίσα με Τ, ζητείται α απαριθμήσουμε εκεία που είαι της μορφής, ΑΑΑCCCCGGTTTTT, CCCCGGΑΑΑTTTTT, ΑΑΑGGTTTTTCCCC, κ.ο.κ. Α συμβολίσουμε τη ομάδα AAA με Α*, τη ομάδα CCCC με C*, τη ομάδα GG με G* και τέλος, τη ομάδα TTTTT με T*, είαι προφαές ότι ζητάμε το αριθμό τω μεταθέσεω τω τεσσάρω στοιχείω, Α*, C*, G* και T*. Η απάτηση επομέως είαι, 4! = 4. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 35
Παράδειγμα.7: διαδρομές σε κιγκλιδώματα: Πόσες διαφορετικές διαδρομές υπάρχου από το σημείο Χ στο σημείο Ζ (Σχήμα.4), α σε κάθε μετακίηση, επιτρέπεται έα βήμα αατολικά (δεξιά) ή έα βήμα 4 βόρια (πάω). Σχήμα.4 Απάτηση: Παρατηρείστε ότι, κάθε επιτρεπτή διαδρομή από το Χ στο Ζ ορίζεται από μια διατεταγμέη αλληλουχία 6 «βημάτω» από τα οποία τα 0 αατολικά (Α) (προς τα δεξιά) και τα 6 βόρια (Β) (προς τα πάω). Για παράδειγμα, η διαδρομή που έχει σημειωθεί στο σχήμα με διακεκομμέα βέλη ορίζεται από τη διατεταγμέη 6-άδα B B A A A A A A A A B A A B B B εώ η διαδρομή που έχει σημειωθεί με μη διακεκομμέα βέλη ορίζεται από τη διατεταγμέη 6-άδα A A B A A A B B A A B A A B B A. Παρατηρείστε ότι και στις δύο 6-άδες, το σύμβολο Α εμφαίζεται 0 φορές και το σύμβολο Β, 6 φορές. Η απάτηση πλέο είαι απλή. Πρόκειται για απαρίθμηση τω μεταθέσεω ειδώ στοιχείω από τα οποία τα = 0 είαι είδους Α και τα = 6 είαι είδους Β. Άρα υπάρχου! 6! = = 8008 διαφορετικές διαδρομές!!! 0! 6! Ας δούμε μια ακόμη παραλλαγή του προβλήματος με τις δεδροστοιχίες. Παράδειγμα.8: δεδροστοιχίες: Πόσες διαφορετικές επιλογές έχετε για α δημιουργήσετε μια δεδροστοιχία που θα αποτελείται από 5 όμοιες ελιές (Ε), 3 όμοιες ερατζιές (Ν), 5 όμοιες πορτοκαλιές (Π) και 7 όμοιες 5 λεμοιές (Λ). Απάτηση: Οι σχηματισμοί (δεδροστοιχίες) που μας ζητείται α απαριθμήσουμε, αποτελούται ο καθέας από = 0 διατεταγμέα (προφαώς) στοιχεία (δέδρα, ε προκειμέω), τα οποία δε είαι όλα διαφορετικά μεταξύ τους, αλλά = 5 από αυτά είαι είδους Ε, = 3 είαι είδους Ν, 3 = 5 είαι είδους Π και = 4 7 είαι είδους Λ. Έας τέτοιος σχηματισμός, είαι για παράδειγμα, ο σχηματισμός ΕΛΛΕΠΕΝΛΝΠΛΕΛΠΛΠΕΠΝΛ. 4 Ως βήμα ορίζεται έα οριζότιο ή έα κατακόρυφο τμήμα μεταξύ δύο διαδοχικώ σημείω 5 Δέδρα του ιδίου είδους τα θεωρούμε όμοια ότα έχου ίδιο ύψος και ίδια κόμη Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 36
Πρόκειται επομέως, για απαρίθμηση τω μεταθέσεω 4 ειδώ στοιχείω από τα οποία, = 5 είαι είδους Ε, = 3 είαι είδους Ν, 3 = 5 είαι είδους Π και = 4 7 είαι είδους Λ. Άρα για τη δημιουργία της δεδροστοιχίας υπάρχου! 0! = = 55870440 διαφορετικές επιλογές!!!! 5!3!5!7! 3 4 Πολυωυμικοί συτελεστές (multinomial coefficients): Τα κλάσματα της μορφής,!,!!...! όπου,,,,..., φυσικοί αριθμοί με = + +... +, οομάζοται πολυωυμικοί συτελεστές γιατί εμφαίζοται στο γεικό όρο! x x x,!!...! του ααπτύγματος, του ( x + x +... + x ). Δηλαδή, ο αριθμός τω μεταθέσεω ειδώ στοιχείω συδέεται με έα πολυωυμικό αάπτυγμα! Πρόκειται για πολύ εδιαφέρουσα σχέση, αλλά δε θα επεκταθούμε. Ως μια τελευταία εφαρμογή (μάλλο κατηγορία εφαρμογώ) τω πολυωυμικώ συτελεστώ ααφέρουμε τη διαίρεση συόλου. Διαίρεση συόλου: Έα σύολο διαφορετικώ στοιχείω μπορεί α διαιρεθεί/χωρισθεί σε διακριτά/ξέα αά δύο υποσύολά του, A, A,..., A,! μεγέθους,,,...,, ατίστοιχα, κατά τρόπους.!!...! Σημειώουμε ότι ααφερόμαστε σε διαίρεση συόλου σε υποσύολα που εμφαίζοται με συγκεκριμέη σειρά A, A,..., A, δηλαδή, που είαι διατεταγμέα, γι αυτό και αποφύγαμε, όπως ίσως παρατηρήσατε, το όρο διαμέριση συόλου, όπου εκεί τα υποσύολα δε είαι διατεταγμέα. Ως έα σχετικό παράδειγμα, δείτε το Πρόβλημα.3 στο τέλος του κεφαλαίου..5 Συδυασμοί (Combinations) Σε όλες τις περιπτώσεις σχηματισμώ στοιχείω που μελετήσαμε στα προηγούμεα, μας εδιέφερε, όπως είδαμε, η διάταξη τω στοιχείω τους. Υπάρχου όμως προβλήματα απαρίθμησης σχηματισμώ όπου η διάταξη τω στοιχείω τους δε εδιαφέρει. Για παράδειγμα, ας δούμε πάλι το πρόβλημα της επιλογής δέδρω από έα σύολο τεσσάρω δέδρω { E, N, Π, Λ} (μια ελιά (Ε), μια ερατζιά (Ν), μια πορτοκαλιά (Π) και μια λεμοιά (Λ)) που συζητήσαμε ότα μιλήσαμε για τη απαρίθμηση διατάξεω. Θεωρείστε όμως τώρα, ότι θέλουμε α επιλέξουμε δέδρα από τα τέσσερα του συόλου { E, N, Π, Λ}, όχι για α δημιουργήσουμε μια δεδροστοιχία τω δέδρω, αλλά για α τα χρησιμοποιήσουμε σε μια πρακτική άσκηση τω φοιτητώ στο θερμοκήπιο του παεπιστημίου. Παρατηρείστε ότι πλέο δε προκύπτει από κάπου ότι για τη -άδα τω δέδρω που επιλέγουμε εδιαφέρει οποιουδήποτε είδους διάταξη. Αυτό θα συέβαιε όπως είδαμε, α για παράδειγμα, επιλέγαμε τα δύο δέδρα για α δημιουργήσουμε μια δεδροστοιχία ή για α χρησιμοποιούσαμε το έα σε έα πείραμα (έστω Π) και το Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 37
άλλο σε έα άλλο πείραμα (έστω Π). Κάτι τέτοιο όμως δε φαίεται α συμβαίει. Έτσι, ο σχηματισμός π.χ. ΕΝ δε διαφοροποιείται από το σχηματισμό ΝΕ. Τέτοιες περιπτώσεις σχηματισμώ στοιχείω, όπου δε εδιαφέρει η διάταξη τω στοιχείω τους οομάζοται συδυασμοί. Ορισμός: Έστω X έα πεπερασμέο σύολο στοιχείω και έας θετικός ακέραιος αριθμός με. Συδυασμός τω στοιχείω του Χ αά ή απλούστερα, συδυασμός τω αά, οομάζεται κάθε υποσύολο του X που έχει στοιχεία, ή αλλιώς, κάθε μη διατεταγμέη συλλογή διαφορετικώ μεταξύ τους στοιχείω του X. Οι σχηματισμοί του παραδείγματός μας οομάζοται συδυασμοί τω 4 στοιχείω του συόλου {Ε, Ν, Π, Λ} αά, ή συδυασμοί τω 4 αά. Ασφαλώς, το πρώτο ερώτημα που γεάται αφορά το αριθμό (το πλήθος) τω συδυασμώ τω αά. Ο αριθμός τω συδυασμώ τω στοιχείω αά συμβολίζεται με και δίεται από το τύπο: ( ) =!! =,!( )! Ας δούμε τη απόδειξη αυτού του τύπου ως μια άσκηση (παρουσιάζει εδιαφέρο). Στο παράδειγμά μας, εύκολα μπορούμε α καταγράψουμε τους συδυασμούς τω 4 στοιχείω του συόλου { E, N, Π, Λ} αά. Είαι προφαώς οι εξής έξι: ΕΝ, ΕΠ, ΕΛ, ΝΠ, ΝΛ, ΠΛ. Για α δούμε πώς μπορούμε α υπολογίσουμε το πλήθος τους, 4, χωρίς α χρειασθεί α τους καταγράψουμε και α τους καταμετρήσουμε. Ως πολύ καλά εξοικειωμέοι με τη πολλαπλασιαστική αρχή (αυτό ουσιαστικά κάαμε μέχρι τώρα, δε μάθαμε α κάουμε κάτι άλλο), ας τη χρησιμοποιήσουμε και πάλι. Υπάρχου 4 διαφορετικές επιλογές για το ο δέδρο και για κάθε μια από αυτές υπάρχου 3 διαφορετικές επιλογές για το ο, επομέως, σύμφωα με τη πολλαπλασιαστική αρχή, μπορού α δημιουργηθού 4 3 = διαφορετικές -άδες, οι οποίες όμως είαι διατεταγμέες. Αυτό σημαίει ότι η -άδα που δημιουργείται π.χ. από τα στοιχεία Ε και Ν, έχει μετρηθεί (στις ) και ως ΕΝ και ως ΝΕ. Δηλαδή, κάθε -άδα στοιχείω του συόλου { E, N, Π, Λ}, έχει μετρηθεί φορές, όσες είαι οι μεταθέσεις στοιχείω (! = = ). Άρα, το πλήθος τω διαφορετικώ -άδω που δε εδιαφέρει η σειρά καταγραφής τω στοιχείω τους, δηλαδή, το πλήθος τω διαφορετικώ συδυασμώ τω 4 αά, είαι 4 3 (4) = = 6.! Είαι φαερό, ότι ο αριθμός τω συδυασμώ συδέεται με το αριθμό τω ατίστοιχω διατάξεω. Για α αιχεύσουμε καλύτερα αυτή τη σχέση ώστε α τη καταοήσουμε και καλύτερα, ας δούμε τη παραπάω διαδικασία και ατίστροφα. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 38
Παρατηρείστε στο Πίακα. πώς/με ποια διαδικασία προκύπτου οι διατάξεις από τους συδυασμούς. Οι Συδυασμοί τω 4 στοιχείω του συόλου {Ε, Ν, Π, Λ} αά. {Ε, Ν} {Ε, Π} {Ε, Λ} {Ν, Π} {Ν, Λ} {Π, Λ} Οι Μεταθέσεις που προκύπτου από κάθε συδυασμό στοιχείω {Ε, Ν} {Ν, Ε} {Ε, Π} {Π, Ε} {Ε, Λ} {Λ, Ε} {Ν, Π} {Π, Ν} {Ν, Λ} {Λ. Ν} {Π, Λ} {Λ. Π} 6 Συδυασμοί Μεταθέσεις αά Συδυασμό = Διατάξεις Πίακας. Οι Διατάξεις τω 4 στοιχείω του συόλου {Ε, Ν, Π, Λ} αά {Ε, Ν} {Ν, Ε} {Ε, Π} {Π, Ε} {Ε, Λ} {Λ, Ε} {Ν, Π} {Π, Ν} {Ν, Λ} {Λ. Ν} {Π, Λ} {Λ. Π} Είαι πλέο φαερό ότι: από κάθε συδυασμό αά, δημιουργούται! μεταθέσεις τω στοιχείω του, που είαι διατάξεις τω αά. Επομέως, ο αριθμός,, τω συδυασμώ τω αά, συδέεται με το αριθμό, ( ), τω διατάξεω τω αά, με τη σχέση:! = ( ) Δηλαδή, ( ) =! και επειδή ο αριθμός ( ) τω διατάξεω αά μας είαι γωστός, έχουμε ( ) ( ) K( + )! = = =.!!!( )! Σημείωση.3: α) Επαληθεύστε ότι, =, = και ότι =. κ β) Συμβατικά (γιατί συδυαστική ερμηεία δε έχει), ορίζουμε, 0 =. γ) Μπορείτε α αποδείξετε τη σχέση = με συλλογισμούς κ συδυαστικής και μόο, δηλαδή, χωρίς πράξεις και τύπους; Ας δούμε μερικά παραδείγματα απαρίθμησης συδυασμώ. Παράδειγμα.9: Από 8 άτομα, θέλουμε α επιλέξουμε τρία για α σχηματίσουμε μια τριμελή επιτροπή. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί α γίει αυτό; Απάτηση: Εφόσο δε προκύπτει από κάπου ότι σε αυτούς τους σχηματισμούς τω 3 στοιχείω (τριμελείς επιτροπές) μας εδιαφέρει κάποιου είδους διάταξη, είαι Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 39
προφαές ότι πρόκειται για απαρίθμηση τω συδυασμώ τω 8 αά 3. Επομέως, η απάτηση είαι 8 8! 8! 6 7 8 = = = = 56. 3 3!(8 3)! 3!5! 3! Δηλαδή, έχουμε 56 διαφορετικές επιλογές για α σχηματίσουμε μια τριμελή επιτροπή από μια ομάδα 8 ατόμω. Ερώτηση: Ας αλλάξουμε λίγο τη διατύπωση στο προηγούμεο παράδειγμα: από 8 άτομα, θέλουμε α επιλέξουμε τρία για α σχηματίσουμε μια τριμελή επιτροπή στη οποία έα από τα τρία άτομα ορίζεται πρόεδρος, έα ατιπρόεδρος και έα γραμματέας. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί α γίει αυτό; Τώρα οι σχηματισμοί που μας ζητείται α απαριθμήσουμε είαι διατεταγμέοι αφού με τη αποομή διαφορετικώ «τίτλω» στα τρία άτομα, προφαώς προκύπτει μια σχέση διάταξης μεταξύ τους (θυμηθείτε και το παράδειγμα με το πλήρωμα της διαστημικής αποστολής ότα μιλήσαμε για διατάξεις). Συεπώς, η απάτηση τώρα είαι ( 8) 3 = 8 7 6 = 336. Η μικρή αλλαγή στη διατύπωση είχε σοβαρές μάλλο συέπειες. Απλά, ορίσθηκε άλλο πρόβλημα! Παράδειγμα.0: Στο πλαίσιο εός μεταπτυχιακού μαθήματος που παρακολουθείτε, ο καθηγητής σας δίει 9 δημοσιευμέες εργασίες (papers) σχετικές με κάποιο θέμα που συζητήθηκε στο μάθημα και σας αακοιώει ότι πρέπει α τις μελετήσετε και ότι θα εξετασθείτε σε 5 από αυτές. Πόσες είαι οι δυατές 5-άδες εργασιώ, σε μια από τις οποίες θα εξεταστείτε; Απάτηση: Είαι προφαές, ότι αυτό που εδιαφέρει είαι μόο σε ποιες 5 από τις 9 εργασίες θα εξετασθείτε και όχι με ποια σειρά. Επομέως κάθε 5-άδα εργασιώ από τις 9 είαι έας συδυασμός τω 9 αά 5, και άρα η απάτηση στο ερώτημα είαι 9 9! 6 7 8 9 304 = = = = 6. 5 5!4! 4! 4 Παράδειγμα.: Έας κοιωιολόγος ερευητής, στο πλαίσιο μιας μελέτης, πρόκειται α επιλέξει, με βάση έα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, 6 άτομα από μια ομάδα 0 ατόμω, από τα οποία τα 0 είαι άδρες και τα υπόλοιπα 0 γυαίκες. α) Πόσες ομάδες τω 6 ατόμω είαι δυατό α σχηματισθού. β) Πόσες ομάδες τω 6 ατόμω που αποτελούται i) μόο από άδρες ii) μόο από γυαίκες iii) από 3 άδρες και 3 γυαίκες είαι δυατό α σχηματισθού. Απάτηση: α) Πρόκειται προφαώς για το αριθμό (το πλήθος) τω διαφορετικώ συδυασμώ τω 0 αά 6, επομέως η απάτηση είαι 0 0! 5 6 7 8 9 0 790700 = = = = 38760. 6 6!4! 6! 70 β i ) Η απάτηση είαι: με όσους τρόπους μπορούμε α επιλέξουμε 6 άδρες από 0 0 και δε μας εδιαφέρει κάποιου είδους διάταξη, δηλαδή, με =... = 0 τρόπους. 6 0 β ii ) Όπως στο (β i ) ερώτημα, με =... = 0 τρόπους. 6 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 40
β iii ) Σκεπτόμεοι όπως στα προηγούμεα ερωτήματα, 3 άδρες από 0, μπορού α 0 επιλέγου με =... = 0 τρόπους. Το ίδιο και 3 γυαίκες από 0, μπορού α 3 0 επιλεγού με =... = 0 τρόπους. Επομέως (σκεφθείτε γιατί) τρεις άδρες και 3 τρεις γυαίκες μπορού α επιλεγού με 0 0 = 0 0 = 4400 τρόπους. 3 3 Διωυμικοί συτελεστές (Binomial coefficients): Οι αριθμοί οομάζοται διωυμικοί συτελεστές γιατί εμφαίζοται ως συτελεστές στο αάπτυγμα της - οστής δύαμης του διωύμου, ( x + y). Πιο συγκεκριμέα, μπορεί α αποδειχθεί ότι ( x + y) = x y, όπου x, y R. = 0 Ο τύπος αυτός είαι γωστός ως τύπος του διωύμου του Νεύτωα, γιατί αποδείχθηκε για πρώτη φορά από το Isaac Newton. Ο τύπος του διωύμου του Νεύτωα αξιοποιείται σε πολλά και ποικίλα προβλήματα και εφαρμογές. Όμως δε θα επεκταθούμε. Ως έα μόο παράδειγμα, δείτε πώς, εφαρμόζοτας το τύπο του Νεύτωα για x = y =, μπορεί α αποδειχθεί η σχέση, = = + + +... +. = 0 0 Ερώτηση: Ότα μιλήσαμε για τους πολυωυμικούς συτελεστές!, = + +... +,!!...! ααφέραμε, μεταξύ άλλω, ότι: έα σύολο διαφορετικώ στοιχείω μπορεί α διαιρεθεί/χωρισθεί σε διακριτά/ξέα αά δύο υποσύολά του, A, A,..., A, μεγέθους,,,...,, ατίστοιχα, κατά! τρόπους.!!...! Τι λέτε, για τους διωυμικούς συτελεστές! =!( )! ισχύει κάτι αάλογο; Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4
.6 Επααληπτικοί συδυασμοί (Combinations with repetition) Από το ορισμό του συδυασμού στοιχείω (εός συόλου Χ) αά, είαι φαερό ότι για το σχηματισμό εός συδυασμού στοιχείω αά, δε επιτρέπεται α επιλέξουμε κάποιο στοιχείο (του συόλου Χ) περισσότερες από μια φορές. Στη περίπτωση που υπάρχει αυτή η δυατότητα, ο συδυασμός στοιχείω αά που δημιουργείται λέγεται επααληπτικός συδυασμός στοιχείω αά ή συδυασμός με επαάληψη στοιχείω αά Μπορούμε, έτσι, α δημιουργήσουμε συδυασμούς στοιχείω από τα στοιχεία εός συόλου που έχει λιγότερα από στοιχεία, αφού οποιοδήποτε στοιχείο επιτρέπεται α χρησιμοποιηθεί περισσότερες από μία φορές. Για παράδειγμα, οι επααληπτικοί συδυασμοί τω στοιχείω του συόλου { α, β} αά 4, είαι οι εξής: αααα, αααβ, ααββ, αβββ, ββββ. Είαι προφαές, αλλά το επισημαίουμε, ότι η σειρά καταγραφής τω στοιχείω δε εδιαφέρει (αφού πρόκειται για συδυασμούς), δηλαδή, για παράδειγμα, ο σχηματισμός αααβ είαι ίδιος με το σχηματισμό αβαα ή με το σχηματισμό βααα, κ.ο.κ. Κάθε τέτοιος σχηματισμός καθορίζεται μόο από το ποια στοιχεία και πόσες φορές το καθέα εμφαίζοται. Ορισμός: Έστω X έα πεπερασμέο σύολο στοιχείω και έας θετικός ακέραιος αριθμός. Επααληπτικός συδυασμός τω στοιχείω του Χ αά ή συδυασμός τω στοιχείω του Χ αά με επαάληψη ή απλούστερα, επααληπτικός συδυασμός τω αά, οομάζεται κάθε μη διατεταγμέη συλογή στοιχείω του Χ, όπου επιτρέπεται κάποιο ή κάποια από τα στοιχεία του α χρησιμοποιηθού περισσότερες από μια φορές. Ο αριθμός (το πλήθος) τω επααληπτικώ συδυασμώ στοιχείω αά συμβολίζεται με και δίεται από το τύπο: + = = ( + )! ( + )... ( + ) =,,!( )!! Για το παράδειγμά μας, ο τύπος αυτός δίει ότι ο αριθμός τω επααληπτικώ συδυασμώ τω στοιχείω του συόλου { α, β} αά 4 είαι, + 4 5 = = 5 4 =, δηλαδή, πράγματι, όσοι καταγράψαμε. 4 4 Ας δούμε έα ακόμη παράδειγμα: Παράδειγμα.: Το ζαχαροπλαστείο της γειτοιάς σας, φτιάχει σοκολατάκια γάλακτος, υγείας και άσπρης σοκολάτας. Α ζητήσετε από το υπάλληλο α σας συσκευάσει σε έα σακουλάκι 5 σοκολατάκια, πόσες διαφορετικές επιλογές έχετε για α του υποδείξετε πόσα από το κάθε είδος α βάλει στο σακουλάκι. Απάτηση: Πρόκειται για απαρίθμηση τω επααληπτικώ συδυασμώ τω 3 στοιχείω του συόλου {γάλακτος, υγείας, άσπρης} αά 5, αφού δε εδιαφέρει Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 4
κάποιου είδους διάταξη και η επαάληψη επιτρέπεται (επιβάλλεται, μάλλο). Η απάτηση επομέως είαι 3 3 + 5 7 = = 36 5 =. 5 5 Οι εφαρμογές τω επααληπτικώ συδυασμώ είαι ποικίλες και εδιαφέρουσες. Όμως, δε θα επεκταθούμε. Ααφέρουμε μόο μια ακόμη: το πρόβλημα με τις διαδρομές σε κιγκλιδώματα που συζητήσαμε και στα προηγούμεα. Παράδειγμα.3: Διαδρομές σε κιγκλιδώματα: Ας θεωρήσουμε έα κιγκλίδωμα που αποτελείται από οριζότια και κάθετα σύρματα (Σχήμα.5). Πόσες διαφορετικές διαδρομές υπάρχου από το σημείο Χ στο σημείο Ζ, α σε κάθε μετακίηση, επιτρέπεται έα βήμα αατολικά (δεξιά) ή έα βήμα 6 βόρια ( πάω). Σχήμα.5 Θα δείξουμε ότι ο αριθμός τω διαδρομώ είαι + =. Σκεπτόμαστε ως εξής: τα κατακόρυφα σύρματα ορίζου τμήματα επί τω οριζότιω διαδρομώ. Το σημείο κλειδί σε αυτή τη απόδειξη είαι α παρατηρήσουμε ότι ο αριθμός τω οριζότιω τμημάτω κάθε δυατής διαδρομής είαι ακριβώς και ότι η επιλογή αυτώ τω οριζότιω τμημάτω επί τω οριζότιω συρμάτω καθορίζει μοοσήματα τη κάθε διαδρομή. Καθέα από τα οριζότια σύρματα μπορεί α επιλεγεί μέχρι και φορές. Άρα, ο συολικός αριθμός τω δυατώ διαδρομώ είαι όσοι οι επααληπτικοί συδυασμοί τω αά, δηλαδή + + = =. Έτσι, για το κιγκλίδωμα που φαίεται παραπάω, όπου = 7 και =, οι δυατές επιτρεπτές διαδρομές είαι 7 7 + 6 = = 8008 0 =. 0 Το αποτέλεσμα είαι πράγματι αυτό που περιμέαμε, δηλαδή, το ίδιο με αυτό που προέκυψε ότα προσεγγίσαμε το πρόβλημα χρησιμοποιώτας πολυωυμικούς συτελεστές! 6 Ως βήμα ορίζεται έα οριζότιο ή έα κατακόρυφο τμήμα μεταξύ δύο διαδοχικώ σημείω Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 43
Στο Πίακα. που ακολουθεί συοψίζουμε, σε μορφή τυπολογίου (χρήσιμου πιστεύουμε), κάποιες βασικές πληροφορίες για τους σχηματισμούς που παρουσιάσαμε. Στη τελευταία στήλη του πίακα δίουμε τη ερμηεία τω ατίστοιχω σχηματισμώ με όρους Δειγματοληψίας. Επ αυτού, σε αυτό το σημείο, δε θα επεκταθούμε. Διευκριίζουμε μόο ότι δειγματοληψία με επαάθεση σημαίει, έα στοιχείο που επιλέγεται, επαατοποθετείται στο πληθυσμό πρι τη επιλογή του επόμεου και έτσι υπάρχει η δυατότητα α επιλεγεί και πάλι εώ δειγματοληψία χωρίς επαάθεση σημαίει ότι έα στοιχείο που επιλέγεται δε επαατοποθετείται στο πληθυσμό. Εδιαφέρει η σειρά καταγραφής; ΝΑΙ ΟΧΙ Κριτήρια Επιτρέπεται η χρήση εός στοιχείου περισσότερες από μια φορές; ΟΧΙ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΑΙ Σχηματισμός Διάταξη τω αά κ ( ) Επααληπτική Διάταξη τω αά κ (, ) Μετάθεση τω ειδώ στοιχείω με i, i =,,..., στοιχεία από κάθε είδος. Αριθμός (πλήθος) Σχηματισμώ ( ) = = ( )...( + ),,..., =! =!!...! Όπου, = + +... + Συδυασμός! τω αά κ = ( )!( )! Επααληπτικός συδυασμός τω αά κ (, ) + = Ερμηεία με όρους Δειγματοληψίας Διατεταγμέα δείγματα μεγέθους σε δειγματοληψία χωρίς επαάθεση Διατεταγμέα δείγματα μεγέθους σε δειγματοληψία με επαάθεση Μη διατεταγμέα δείγματα μεγέθους σε δειγματοληψία χωρίς επαάθεση Mη διατεταγμέα δείγματα μεγέθους σε δειγματοληψία με επαάθεση Α δε υπάρχει περιορισμός στο μέγιστο αριθμό φορώ που μπορεί α χρησιμοποιηθεί το κάθε στοιχείο Α υπάρχει περιορισμός στο μέγιστο αριθμό φορώ που μπορεί α χρησιμοποιηθεί το κάθε στοιχείο Πίακας. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 44
.7 Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Α το στοιχείο α μπορεί α επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους και για κάθε επιλογή του α, το στοιχείο α μπορεί α επιλεγεί με διαφορετικούς τρόπους,, και για κάθε επιλογή τω στοιχείω Η πολλαπλασιαστική αρχή α, α,..., α, το στοιχείο α κ μπορεί α επιλεγεί με κ διαφορετικούς τρόπους, τότε όλα τα στοιχεία α, α,..., α μπορού α επιλεγού διαδοχικά και με αυτή τη συγκεκριμέη σειρά, κατά... κ τρόπους. Διάταξη τω στοιχείω Κάθε διατεταγμέη -άδα που αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ αά τους στοιχεία που επιλέγοται από στοιχεία. Πλήθος διατάξεω τω! ( ) = ( )( ) K ( + ) =, στοιχείω αά ( )! Μετάθεση τω στοιχείω Διάταξη τω στοιχείω αά Πλήθος μεταθέσεω τω ( ) =!, στοιχείω Επααληπτική διάταξη τω στοιχείω αά Πλήθος επααληπτικώ διατάξεω τω στοιχείω αά Μετάθεση τω ειδώ στοιχείω Κάθε διατεταγμέη -άδα που αποτελείται από στοιχεία που επιλέγοται από στοιχεία.,, Κάθε μετάθεση στοιχείω που αήκου σε διαφορετικά είδη. Πλήθος μεταθέσεω τω! ειδώ στοιχείω,,..., =, = + +... +!!...! Συδυασμός τω Κάθε μη διατεταγμέη συλλογή διαφορετικώ μεταξύ τους στοιχείω αά στοιχείω που επιλέγοται από στοιχεία. Πλήθος συδυασμώ τω! =, στοιχείω αά!( )! Επααληπτικός συδυασμός Κάθε μη διατεταγμέη συλλογή στοιχείω που επιλέγοται από τω στοιχείω αά στοιχεία. Πλήθος επααληπτικώ + ( + )! ( + )... ( + ), συδυασμώ τω = = =,!( )!! στοιχείω αά Τύπος του διωύμου του x y x y Νεύτωα = ( + ) =, όπου x, y R και 0. 0 Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 45
.8 Προβλήματα και Ασκήσεις. Η πόλη Α συδέεται με τη πόλη Β μέσω τριώ δρόμω, η πόλη Β συδέεται με τη πόλη Γ μέσω πέτε δρόμω και, τέλος, η πόλη Γ συδέεται με τη πόλη Δ μέσω οκτώ δρόμω. Από πόσες διαφορετικές διαδρομές μπορεί α επιλέξει κάποιος για α ταξιδεύσει: α) από τη πόλη Α στη πόλη Γ β) από τη πόλη Β στη πόλη Δ γ) από τη πόλη Α στη πόλη Δ και δ) από τη πόλη Α στη πόλη Δ και στη συέχεια α επιστρέψει στη πόλη Β.. Έας γεωπόος του Οργαισμού Ελληικώ Γεωργικώ Ασφαλίσεω (ΕΛ.Γ.Α.) πρέπει α επισκεφθεί 6 περιοχές για α εκτιμήσει τις ζημιές που έγια σε καλλιέργειες αυτώ τω περιοχώ από πρόσφατη πλημμύρα. Η συολική απόσταση που πρέπει α διαύσει (και το συολικό κόστος) εξαρτάται από τη σειρά με τη οποία θα επισκεφθεί τις 6 περιοχές. Πόσες διαφορετικές επιλογές έχει ο γεωπόος για α αποφασίσει τη σειρά με τη οποία θα επισκεφθεί τις 6 περιοχές; 3. Έας φοιτητής, στο πλαίσιο της πτυχιακής εργασίας του, εδιαφέρεται α μελετήσει το αποτέλεσμα μιας χημικής ατίδρασης σε διαφορετικές (και ελεγχόμεες) συθήκες θερμοκρασίας, πίεσης και συγκέτρωσης καταλύτη. Α εδιαφέρεται α διερευήσει το αποτέλεσμα της χημικής ατίδρασης για δύο (διαφορετικές) τιμές θερμοκρασίας, τρεις (διαφορετικές) τιμές πίεσης και δύο (διαφορετικά) επίπεδα συγκέτρωσης καταλύτη, άραγε, πόσες φορές πρέπει α εκτελέσει τη χημική ατίδραση ώστε α καλύψει όλες τις διαφορετικές περιπτώσεις θερμοκρασίας-πίεσης-καταλύτη και μάλιστα από τρεις φορές τη κάθε μια; 4. Οι αριθμοί κυκλοφορίας τω αυτοκιήτω δημιουργούται από τρία γράμματα και έα τετραψήφιο αριθμό. Για το πρώτο τμήμα του αριθμού χρησιμοποιούται τα 4 γράμματα του ελληικού αλφαβήτου τα οποία συμπίπτου με λατιικούς χαρακτήρες (Α, Β, Ε, Ζ, Η, Ι, Κ, Μ, Ν, Ο, Ρ, Τ, Υ, Χ) εώ στη πρώτη θέση του δεύτερου τμήματος δε χρησιμοποιείται ο αριθμός 0. α) Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί κυκλοφορίας μπορού α δημιουργηθού. β) Πόσοι από τους διαφορετικούς αριθμούς που μπορού α δημιουργηθού: i) έχου και τα τρία γράμματα του πρώτου τμήματος διαφορετικά μεταξύ τους ii) έχου ως πρώτο γράμμα φωήε iii) έχου στη πρώτη και στη τρίτη θέση φωήετα και iv) δε περιέχου στο δεύτερο τμήμα τους ίδια ψηφία. 5. Έα σύολο στοιχείω, πόσα υποσύολα έχει; 6. Μια τράπεζα διαθέτει 3 διαφορετικά ταμεία. Α στα ταμεία αυτά μπορού α εργασθού 8 διαφορετικοί υπάλληλοι της τράπεζας, με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορού α συμπληρωθού τα 3 ταμεία; Ποια θα ήτα η απάτηση α η τράπεζα διέθετε 8 ταμεία. 7. Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί με διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία υπάρχου. 8. Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί υπάρχου και πόσοι από αυτούς δε περιέχου το 0. 9. Πόσοι άρτιοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορού α σχηματισθού από τα ψηφία,, 5, 6, 8, 9. Πόσοι από αυτούς έχου όλα τα ψηφία τους διαφορετικά. Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 46
0. Πόσοι ακέραιοι με διαφορετικά ψηφία μεταξύ 3000 και 4000 σχηματίζοται από τα ψηφία,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.. Κτηίατρος πρόκειται α εξετάσει δέκα ζώα (το έα μετά το άλλο). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί α γίει αυτό.. Έα τμήμα της αλυσίδας του DNA παριστάεται ως μια σειρά με στοιχεία A, C, G, T που συμβολίζου τις 4 βάσεις Αδείη, Κυτοσίη, Γουαίη και Θυμίη ατίστοιχα. Πόσες διαφορετικές συθέσεις μπορού α προκύψου για έα τμήμα μήκους r α σε αυτό υπάρχου r στοιχεία ίσα με Α, r στοιχεία ίσα G, r 3 στοιχεία ίσα με C και r 4 ίσα με Τ (r = r + r + r 3 + r 4 ). Σε πόσα από τα τμήματα αυτά, τα στοιχεία που ατιστοιχού σε κάθε μια από τις 4 βάσεις είαι συγκετρωμέα όλα μαζί (π.χ. ΑΑ ΑCC CTT TGG G ή ΤΤ ΤΑΑ AGG GCC C). 3. Πόσοι διαφορετικοί αριθμοί προκύπτου από όλες τις μεταθέσεις τω ψηφίω του αριθμού, 434433; 4. Α σε έα οργαισμό κάθε διπλοειδές κύτταρο έχει 3 ζεύγη χρωμοσωμάτω (όπως, για παράδειγμα, στο αθρώπιο), πόσοι διαφορετικοί γαμέτες είαι δυατό α δημιουργηθού; (κάθε γαμέτης σε αυτό το οργαισμό, έχει 3 χρωμοσώματα, έα από κάθε ζεύγος χρωμοσωμάτω του διπλοειδούς κυττάρου). 5. Χρησιμοποιώτας και τα επτά ψηφία,,,, 3, 3, 4, πόσους αριθμούς μπορούμε α σχηματίσουμε. 6. Χρησιμοποιώτας και τα επτά ψηφία 0,,, 3, 3, 3, 4, πόσους αριθμούς μεγαλύτερους του.000.000 μπορούμε α σχηματίσουμε. 7. Ότα δε εκδίδοτα επιστημοικά περιοδικά (πρι το 7 ο αιώα), οι επιστήμοες ατιμετώπιζα προβλήματα στη κατοχύρωση τω επιστημοικώ εργασιώ τους. Έπρεπε, ή α περιμέου α συγκετρώσου αρκετό υλικό για α το εκδώσου σε βιβλίο ή α στείλου ατίγραφο της εργασίας σε κάποιο συάδελφό τους, διακιδυεύοτας όμως, α τη διεκδικήσει ο συάδελφός τους ως δική του. Έτσι, σα μια εδιάμεση λύση, συήθιζα α αταλλάσσου επιστολές με ααγραμματισμέες μια ή δύο προτάσεις στις οποίες συόψιζα το βασικό αποτέλεσμα της εργασίας τους. Ότα ο Ολλαδός επιστήμοας (φυσικός, αστροόμος και μαθηματικός) Christiaan Huygens (69-695) αακάλυψε το δακτύλιο γύρω από το Κρόο, συέταξε για τη φράση, «Annulo cingitur tenui, plano, nusquam cohaerente, ad ecplicticam inclinato», το εξής ααγραμματισμό: aaaaaaa, ccccc, d, eeeee, g, h, iiiiiii, llll, mm, nnnnnnnnn, oooo, pp, q, rr, s, ttttt, uuuuu. Τι λέτε, διακιδύευσε ο Huygens α αποκρυπτογραφηθεί ο ααγραμματισμός; 8. Έα δελτίο ΠΡΟΠΟ περιλαμβάει 3 αγώες καταχωρημέους σε μία στήλη και δίπλα σε κάθε αγώα σημειώεται, Χ ή. α) Πόσες διαφορετικές στήλες μπορού α σχηματισθού β) Α για 6 συγκεκριμέους αγώες χρησιμοποιήσουμε σύμβολο, για 5 άλλους συγκεκριμέους αγώες σύμβολα και για τους υπόλοιπους αγώες 3 σύμβολα, πόσες διαφορετικές στήλες θα προκύψου. 9. Στις εκλογές για τη αάδειξη εός Δ.Σ. έχου θέσει υποψηφιότητα 5 άτομα για το αξίωμα του προέδρου, 3 άτομα για το αξίωμα του ατιπροέδρου και 7 άτομα Γεωποικό Παεπιστήμιο Αθηώ/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) 47