ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Transcript

1 ΣΤΑΥΡΟΣ ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Σηµειώσεις για το µάθηµα Λογισµοί Πιθαοτήτω και Στατιστικής της Κατεύθυσης Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕΙ Κετρικής Μακεδοίας ΣΕΡΡΕΣ 06

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τεύχη αυτά πρωτογράφτηκα το 996. Από το 003 και µετά, οπότε ο συγγραφέας δε χρειάστηκε α διδάξει Στατιστική ή Πιθαότητες, παρέµεια ξεχασµέα. Από το 04 και µετά, µε τη αάληψη του ατίστοιχου µαθήµατος στη κατεύθυση Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής του ΤΕΙ Κετρικής Μακεδοίας, βελτιώθηκα και συµπληρώθηκα, φθάοτας στη σηµεριή τους µορφή. Στη συέχεια, ακολουθεί η Εισαγωγή της αρχικής έκδοσης. Μάιος του 98 στη Γαλλία. Όλες οι ηµοσκοπήσεις που έχου γίει για α προβλεφθεί το αποτέλεσµα τω Προεδρικώ εκλογώ, δείχου πως το εκλογικό σώµα είαι µοιρασµέο αάµεσα στους δύο υποψηφίους, το συτηρητικό Valery Giscard D'Estaing και το Σοσιαλιστή Francois Mitterand. Η εκλογική βραδιά προβλέπεται δύσκολη. Στις ειδήσεις τω 6 (µ.µ.) του ου Κρατικού κααλιού της Γαλλικής τηλεόρασης και εώ οι κάλπες κλείου για τους ψηφοφόρους στις 8 µ.µ., ο παρουσιαστής δηλώει: Η εταιρεία Sofres, που έχει ααλάβει τη Στατιστική αάλυση για το Καάλι µας, µε έρευα που έκαε έξω από κάποια εκλογικά τµήµατα, προσεκτικά επιλεγµέα από τη εταιρεία, έχει καταλήξει στη πρόβλεψή της! Εποµέως εµείς ξέρουµε το όοµα του εποµέου Προέδρου της ηµοκρατίας, δε µπορούµε όµως α σας το αακοιώσουµε πρι από το κλείσιµο και της τελευταίας κάλπης! Στο δελτίο τω 8 θα σας αακοιώσουµε το όοµά του. Πράγµατι στο δελτίο τω 8, λίγα δευτερόλεπτα µετά το κλείσιµο τω εκλογικώ κέτρω, η Γαλλική τηλεόραση αακοιώει τη πρόβλεψή της: Πρόεδρος εκλέγεται ο Francois Mitterand µε ποσοστό 50.5 %!!! Περίπου µια ώρα αργότερα κι εώ ελάχιστα επίσηµα αποτελέσµατα έχου φθάσει στο Υπουργείο, ο Valery Giscard D'Estaing µε επίσηµη δήλωσή του, συγχαίρει το ατίπαλό του για τη εκλογή του, βασιζόµεος στη πρόβλεψη της εταιρείας. Το τελικό αποτέλεσµα ήτα πολύ κοτά στη πρόβλεψη... Το πιο πάω γεγοός δε είαι παρά έα µικρό παράδειγµα τω "θαυµάτω" που µπορού α επιτευχθού από τη Επιστήµη της Στατιστικής, σα προϊό της συεργασίας της µε άλλες Επιστήµες όπως η Πληροφορική, η Αριθµητική Αάλυση, η Κοιωιολογία, η Ιατρική κ.λ.π..

3 Η Ιστορία της Στατιστικής όµως ξεκιά από τη Αρχαιότητα, σα καταγραφή πληθυσµώ. Μια τέτοια απογραφή ήτα απαραίτητη στους ηγεµόες τω εθώ έτσι ώστε α είαι δυατή η διοίκηση τω πληθυσµώ τους, αλλά και η αφαίµαξή τους από τις φορολογικές και τις στρατολογικές υπηρεσίες. Βέβαια, η Στατιστική χρησιµοποιείτο και χρησιµοποιείται, συειδητά ή ασυείδητα, απ όλους µας, κάθε φορά που προσπαθούµε α προβλέψουµε κάποιο γεγοός, βασιζόµεοι στη προηγούµεη εµπειρία µας. Για παράδειγµα προσπαθούµε α προβλέψουµε τη αλλαγή του καιρού, από τα τρέχοτα µετεωρολογικά φαιόµεα, ή από τη συµπεριφορά τω πουλιώ και τω ετόµω, ή από τις εοχλήσεις εός παλαιού τραύµατος κ.ο.κ.. Για πάρα πολλά χρόια η Στατιστική είχε απογραφικό χαρακτήρα, ή χαρακτήρα συστηµατοποίησης και συοπτικής παρουσίασης πληροφοριώ. Από τα µέσα όµως του 8ου αιώα εξελίσσεται σε Επιστήµη, µε τη δηµιουργία Θεωρίας, η οποία προσπαθεί, πέρα από τη καταγραφή και συστηµατοποίηση πληροφοριώ, α καταοήσει και α ερµηεύσει Φυσικά, Βιολογικά, Κοιωικά ή Οικοοµικά φαιόµεα, χρησιµοποιώτας τη Επαγωγική και τη Ααγωγική µέθοδο. Πρόκειται για τις µεθόδους συαγωγής συµπερασµάτω από το µερικό στο γεικό και από το γεικό στο µερικό, οι οποίες βέβαια χρησιµοποιούται από το καθέα µας καθηµεριά. Έτσι για παράδειγµα ότα το αυτοκίητο που αγοράσαµε εµφαίζει πολλά και σηµατικά ελαττώµατα, πιστεύουµε πως τα αυτοκίητα της ε λόγω εταιρείας είαι ε γέει προβληµατικά (από το µερικό στο γεικό). Από τη άλλη, µε βάση τη ατίληψη που κυριαρχεί, σύµφωα µε τη οποία τα αυτοκίητα της τάδε εταιρείας είαι αξιόπιστα, πιστεύουµε πως και το δικό µας αυτοκίητο (της ίδιας εταιρείας) δε πρόκειται α µας αφήσει στο δρόµο (από το γεικό στο µερικό). Ταυτόχροα η αάπτυξη της θεωρίας τω Πιθαοτήτω έδωσε µια σηµατική ώθηση στη Στατιστική, που γώρισε µια σηµατική άθιση κατά το 9ο αιώα, για α λάβει τις διαστάσεις της Επιστήµης-κλειδί για όλες τις άλλες Επιστήµες, Θετικές και Θεωρητικές. Σήµερα πλέο δε οούται σπουδές σε τριτοβάθµιο Ίδρυµα που α µη περιλαµβάου και τη εκτεταµέη µελέτη της Στατιστικής, τουλάχιστο στη εφαρµοσµέη της µορφή. Το βιβλίο αυτό ξεκίησε αρχικά α γράφεται για α υποστηρίξει τα µαθήµατα της Στατιστικής Ι και ΙΙ τω ηµόσιω Ι.Ε.Κ., µε τη µορφή σηµειώσεω, και α διαπραγµατεύεται κατά βάση τα ατικείµεα του ααλυτικού τους προγράµµατος. Στη συέχεια όµως θελήσαµε α εξελιχθεί σε βιβλίο Στατιστικής, που απευθύεται σ αυτούς που χρειάζοται τη Στατιστική σα εργαλείο, χωρίς όµως α έχου τις Μαθηµατικές γώσεις που απαιτούται για µια πληρέστερη προσέγγιση µ αυτή. Έτσι λοιπό θα µπορούσε ο τίτλος του συγγράµµατος αυτού α είαι: «Μαθαίοτας Στατιστική». Η λογική αυτή µας επέτρεψε α ξεπεράσουµε σε έα βαθµό τη απόλυτη Μαθηµατική τεκµηρίωση, επιµέοτας ιδιαίτερα στο α γίοται καταοητές οι βασικές έοιες που διαπραγµατευόµαστε, µε τη βοήθεια απλώ πρακτικώ παραδειγµάτω. 3

4 Στα πλαίσια του πρώτου τεύχους θα κάουµε µια πρώτη γωριµία µε το απογραφικό τµήµα της Στατιστικής, µε εκείο δηλαδή το τµήµα που καταγράφει, συστηµατοποιεί και συοψίζει πληροφορίες και δεδοµέα. Αξίζει τέλος α τοισθεί πως οι Μαθηµατικές γώσεις που απαιτούται για τη παρακολούθηση του µαθήµατος αυτού είαι ελάχιστες. Θα µπορούσαµε µάλιστα α πούµε πως οι γώσεις τω Μαθηµατικώ του Γυµασίου είαι κατά βάση αρκετές. Θεσσαλοίκη 996 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α Συδυαστική Αάλυση Η συδυαστική αάλυση αποτελεί έα πολύ χρήσιµο εργαλείο στα χέρια όποιου προσπαθεί α ασχοληθεί µε προβλήµατα πιθαοτήτω. Επί πλέο επιτρέπει τη λύση φαιοµεικά δύσκολω προβληµάτω µε τρόπο συστηµατικό. Μη επιχειρήσετε α αποστηθίσετε τις έοιες που θα ααφερθού στη συέχεια, µια και η καταόησή τους είαι ευκολότερη αλλά και απαραίτητη στα προβλήµατα τω πιθαοτήτω. Για το λόγο αυτό άλλωστε παρουσιάζοται µε τρόπο πολύ απλό, χωρίς τη παρεµβολή τω Μαθηµατικώ αποδείξεω στο κυρίως κείµεο. Συχά όµως οι αποδείξεις βοηθού ιδιαίτερα στη καταόηση τω εοιώ στις οποίες ααφέροται. Γι αυτό στο τέλος του κεφαλαίου παρατίθεται οι αποδείξεις αρκετώ από τους τύπους που θα ααφερθού. Α... Μεταθέσεις τω στοιχείω. Ας υποθέσουµε πως έχουµε 3 στοιχεία, τα Α,Β και Γ. Η τοποθέτησή τους σε µια ευθεία, µε µία συγκεκριµέη σειρά, λέγεται µετάθεση τω 3 αυτώ στοιχείω. Για παράδειγµα µία µετάθεσή τους είαι και η: Α-Γ-Β. Α ααζητήσουµε όλες τις διαφορετικές µεταθέσεις τω στοιχείω Α, Β και Γ, θα βρούµε τις εξής 6: Α-Β-Γ Α-Γ-Β Β-Α-Γ Β-Γ-Α Γ-Α-Β Γ-Β-Α Το γεικότερο πρόβληµα που θα ατιµετωπίσουµε στη παράγραφο αυτή είαι ο υπολογισµός όλω τω διαφορετικώ τρόπω µε τους οποίους είαι δυατό α τοποθετηθού σε µία σειρά στοιχεία. Ορισµός Α.. Μεταθέσεις τω στοιχείω οοµάζουµε το πλήθος τω διαφορετικώ τρόπω µε τους οποίους µπορούµε α βάλουµε σε µια σειρά τα αυτά στοιχεία. Συµβολισµός και τύπος Α.: Αποδεικύεται πως ο αριθµός τω µεταθέσεω τω στοιχείω δίεται από τη σχέση: []() Μ =! (Α.) όπου το! συµβολίζει το πολλαπλό πολλαπλασιασµό:! =..3...(-). και λέγεται παραγοτικό. Όπως θα δούµε στη συέχεια, δεχόµαστε εξ ορισµού ότι 0!=. Η αρίθµηση αυτή (µέσα σε αγκύλες) ατιστοιχεί στις Μαθηµατικές αποδείξεις που υπάρχου στο τέλος του Κεφαλαίου. 5

6 Παραδείγµατα: ο) Να υπολογισθού οι µεταθέσεις τω 3 στοιχείω Α,Β και Γ. Λύση: Οι µεταθέσεις τω 3 στοιχείω: 3! = **3 = 6 (). Αξίζει α ααφερθεί πως οι περισσότεροι υπολογιστές τσέπης (κοµπιουτεράκια) δίου τη τιµή του! ότα τους δοθεί το. οκιµάστε το δικό σας! ο) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί α φωτογραφηθεί η βασική πετάδα µιας οµάδας Μπάσκετ; Λύση: Οι πέτε παίκτες τοποθετούται σε µία σειρά. Όλοι οι διαφορετικοί τρόποι τοποθέτησής τους δίοται από τις µεταθέσεις τω 5 στοιχείω: Μ 5 = 5! = *3*4*5 = 0 3ο) έκα σπουδαστές µπαίου σε µία αίθουσα µε 0 ακριβώς θραία. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορού α καθίσου; Λύση: Το α καταλάβει ο κάθε σπουδαστής έα θραίο ισοδυαµεί µε το α επιχειρήσου α τοποθετηθού οι 0 σπουδαστές σε µία ευθεία. Άλλωστε θα µπορούσαµε α θεωρήσουµε πως τα θραία είαι τοποθετηµέα σε µία ευθεία. Άρα οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορού α καθίσου οι 0 σπουδαστές δίοται από τις µεταθέσεις τω 0 στοιχείω: Μ 0 = 0! = **3*...*8*9*0 = ο) Γωρίζουµε πως το τηλέφωο κάποιου περιέχει τα ψηφία,3,5,7,8,9. Πόσα διαφορετικά τηλεφωήµατα θα κάουµε -το πολύ- για α επικοιωήσουµε µαζί του; Πόσα τηλεφωήµατα θα κάουµε εά επί πλέο γωρίζουµε πως διαµέει στη κετρική Θεσσαλοίκη (τα ούµερα του τηλεφώου αρχίζου µε το ); Λύση: Κάθε τηλεφωικό ούµερο δε είαι παρά µία µετάθεση τω 6 ψηφίω (τοποθέτηση τω 6 ψηφίω σε σειρά). Εποµέως το πλήθος τω διαφορετικώ τηλεφωικώ αριθµώ που αποτελούται από αυτά τα ψηφία θα είαι ίσο µε το πλήθος τω µεταθέσεω τω 6 στοιχείω. Θα κάουµε λοιπό το πολύ: Μ 6 = 6! = 70 τηλεφωήµατα. Εά γωρίζουµε πως το ε λόγω άτοµο διαµέει στο Κέτρο, τα τηλεφωήµατά µας θα ξεκιού µε το και θα συµπληρώοται απ'όλες τις µεταθέσεις τω υπόλοιπω 5 ψηφίω (τω 3,5,7,8,9). Άρα θα γίου, το πολύ: Μ 5 = 5! = 0 τηλεφωήµατα. Το σύµβολο "*" συµβολίζει τη πράξη του πολλαπλασιασµού. 6

7 5o) Να βρεθού όλοι οι δυατοί εξαψήφιοι τηλεφωικοί αριθµοί που δηµιουργούται από τα ψηφία,, 3, 4, 5 και 6. Λύση: Το πρόβληµα τώρα γίεται πιο περίπλοκο, επειδή το ψηφίο δε µπορεί α τοποθετηθεί στη πρώτη θέση (το ίδιο θα συέβαιε κι α είχαµε και το 0). ιακρίουµε δύο τρόπους σκέψης: ος) Εά όλα τα ψηφία µπορούσα α τοποθετηθού σε όλες τις θέσεις, τότε θα µπορούσαµε α δηµιουργήσουµε 6!=70 τηλεφωικά ούµερα. Στα 70 ούµερα εποµέως συµπεριλαµβάοται και αυτά που αρχίζου από και είαι µή αποδεκτά. Το πλήθος τω µή αποδεκτώ αριθµώ δίεται από το 5! (τοποθετούµε το µπροστά και κάουµε όλες τις µεταθέσεις τω υπολοίπω 5 ψηφίω). Άρα το πλήθος τω αποδεκτώ αριθµώ είαι ίσο µε: Μ 6 - Μ 5 = 6! - 5! = 5!(6-) = 5!*5 ος) Ο κάθε τηλεφωικός αριθµός αποτελείται από το ο ψηφίο και από τα υπόλοιπα 5. Εφ όσο επιλέξουµε το πρώτο, το πλήθος τω αριθµώ που δηµιουργούται µε τη εαλλαγή τω υπολοίπω 5 στις 5 θέσεις που αποµέου, δίεται από το Μ 5 =5!. Το πρώτο όµως ψηφίο έχουµε 5 διαφορετικούς τρόπους για α το επιλέξουµε. Εποµέως το πλήθος τω διαφορετικώ αριθµώ είαι ίσο µε: 5*Μ 5 = 5*5! Άσκηση: Να υπολογισθεί το πλήθος τω τηλεφωικώ αριθµώ που δηµιουργείται από τα ψηφία: 0,,, 3, 4 και 5. Α... Επααληπτικές µεταθέσεις τω στοιχείω. Στο 4ο, από τα προηγούµεα παραδείγµατα, είαι δυατό το ίδιο ψηφίο α υπαρχει περισσότερες από µία φορές στο εσωτερικό του τηλεφωικού αριθµού. Έτσι µας ζητού το πλήθος τω διαφορετικώ τηλεφωικώ αριθµώ που δηµιουργούται από τα ψηφία 6,7,7,7,8 και 9. Παρατηρούµε πως εά σε µία µετάθεση (τοποθέτηση) τω ψηφίω αυτώ, µεταθέσουµε µεταξύ τους κάποια από τα όµοια ψηφία µόο, ο τηλεφωικός αριθµός που θα προκύψει θα είαι ίδιος µε το αρχικό. Άρα, ο αριθµός τω µεταθέσεω στη περίπτωση αυτή είαι σαφώς µικρότερος του: Μ 6 =6!=70. Ορισµός Α.. Έστω στοιχεία από τα οποία τα µ [µ ] είαι όµοια µεταξύ τους, εώ τα εαποµέοτα -µ είαι όλα διαφορετικά µεταξύ τους. Με το όρο επααληπτικές µεταθέσεις τω στοιχείω, ότα τα µ από αυτά είαι όµοια µεταξύ τους, εοούµε το αριθµό όλω τω διαφορετικώ τρόπω µε τους οποίους µπορού τα αυτά στοιχεία α τοποθετηθού σε σειρά, ότα (προφαώς) από οποιαδήποτε ατιµετάθεση δύο όµοιω στοιχείω δε προκύπτει έα µετάθεση. 7

8 Συµβολισµός και τύπος Α.: Ο αριθµός τω επααληπτικώ µεταθέσεω τω στοιχείω, από τα οποία τα µ είαι όµοια µεταξύ τους, δίεται από τη σχέση [] : Μ µ! = µε µ (Α.) µ! Με όµοιο τρόπο ορίζουµε τις µεταθέσεις τω στοιχείω, ότα τα κ,λ,µ (κ.ο.κ.) στοιχεία απ' αυτά είαι όµοια µεταξύ τους. Βέβαια είαι όµοια τα κ στοιχεία µεταξύ τους αλλά διαφορετικά από τα λ ή τα µ. Προφαώς ισχύει πως: κ+λ+µ. Συµβολισµός και τύπος Α.3: Ο αριθµός τω επααληπτικώ µεταθέσεω τω στοιχείω, από τα οποία τα κ,λ,µ είαι όµοια µεταξύ τους, δίεται από τη σχέση: Μ κ,λ, µ! κ!λ!µ! = (Α.3) Παραδείγµατα: ο) Να υπολογισθεί το πλήθος τω τηλεφωικώ αριθµώ που δηµιουργούται από τα ψηφία 6,7,7,7,8 και 8, ότα (i) δε γωρίζουµε τη περιοχή του αριθµού, (ii) το τηλέφωο είαι στη περιοχή της Νέας Εγατίας [αρχίζει από 8], (iii) το τηλέφωο είαι στη περιοχή της Ξηροκρήης [αρχίζει από 7]. Λύση: (i) Στη πρώτη περίπτωση έχω α υπολογίσω τις επααληπτικές µεταθέσεις τω 6 ψηφίω, από τα οποία τα 3 [τα 7/άρια] και τα [τα 8/άρια] είαι όµοια µεταξύ τους. Το πλήθος λοιπό τω τηλεφωικώ αριθµώ δίεται από τη σχέση: 6! * * 3* 4* 5* 6 4* 5* 6 Μ 6 3 = = = = 60, 3!! * * 3* * (ii) Στη δεύτερη περίπτωση ξεχωρίζουµε το έα από τα δύο 8 και µεταθέτουµε µε όλους τους δυατούς τρόπους τα υπόλοιπα 5 ψηφία από τα οποία τα 3 [7/άρια] είαι όµοια µεταξύ τους. 5! * 3* 4* 5 Μ 5 3 = = = 4* 5= 0 3! * 3 (iii) Σκεπτόµεοι όπως προηγούµεα, έχουµε για τη τρίτη περίπτωση: 5! * 3* 4* 5 Μ 5 = = = 3* * 5= 30,!! * 8

9 ο) Η καφετζού της πολυκατοικίας µας προβλέπει πως στο επόµεο δελτίο του ΠΡΟ- ΠΟ θα εµφαισθού 4 άσσοι, 6 χι και 3 δυάρια. Εµείς τη πιστεύουµε και ααρωτιόµαστε για το πόσες στήλες πρέπει α παίξουµε για α κερδίσουµε σίγουρα το δεκατριάρι. Λύση: Μία στήλη 3 σηµείω θα τη ατιµετωπίσουµε σα µία τοποθέτηση πάω σε µία ευθεία 3 στοιχείω, από τα οποία τα 6, 4 και 3 είαι όµοια µεταξύ τους. Κάθε διαφορετική στήλη εποµέως µπορεί α θεωρηθεί σα µία µετάθεση τω στοιχείω αυτώ. Άρα το πλήθος τω στηλώ που θά'χου 6 χι, 4 άσσους και 3 δυάρια, δίεται από τη σχέση: 3! 7* 8* 9* 0* * * 3 Μ = = = 7* 0* * 6* 3= 60060,, 6! 4! 3! * 3* 4* * 3 Παρατήρηση: Πολλές φορές είαι υποχρεωτικό το α υπολογίσουµε τα µεγέθη της Συδυαστικής Αάλυσης µε τη βοήθεια απλοποιήσεω, µια και οι τιµές του παραγοτικού (!) γίοται ιδιαίτερα µεγάλες ότα αυξάεται το. Για παράδειγµα ο υπολογιστής τσέπης δε δίει τη τιµή! ότα το ξεπεράει το 69 (69!=,745*0 98 ). Έτσι έχουµε τη τιµή: 50! Μ = = 46* 47* 48* 49* 50= ! Α..3. ιατάξεις. Σε µία ιπποδροµία ξεκιού 5 άλογα. Εµείς επιχειρούµε α προβλέψουµε τη ικήτρια δυάδα. Είαι προφαές βέβαια πως στη περίπτωση αυτή η πρόβλεψη περιλαµβάει και τη σειρά µε τη οποία θα τερµατίσου τα άλογα της ικήτριας δυάδας. Προηγούµεα όµως ζητούµε το αριθµό όλω τω δυατώ αποτελεσµάτω, όλω δηλαδή τω διαφορετικώ δυάδω που φτιάχοται από τα 5 άλογα, ότα θεωρούµε διαφορετικές τις δυάδες που αποτελούται από τα ίδια στοιχεία, τοποθετηµέα όµως µε διαφορετική σειρά. Ορισµός Α.3. Καλούµε διατάξεις τω πραγµάτω αά µ, το πλήθος όλω τω διαφορετικώ τρόπω µε τους οποίους µπορούµε α εκλέξουµε µία µ-άδα από έα σύολο στοιχείω, ότα µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία εκλέχτηκα τα στοιχεία της µ-άδας. Συµβολισµός και τύπος Α.4.: Εύκολα αποδεικύουµε το τύπο τω διατάξεω τω πραγµάτω αά µ [3] :! ( µ)! Ρ µ = µ = µε µ (Α.4) Παράδειγµα: Σε µία ιπποδροµία ξεκιού 5 άλογα. Πόσες είαι οι δυατές ικήτριες δυάδες; 9

10 Λύση: Ζητούµε όλες τις δυατές δυάδες που δηµιουργούται από 5 στοιχεία ότα µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία εκλέγεται η δυάδα. Έχουµε λοιπό διατάξεις τω 5 στοιχείω αά : 5! 5! Ρ = = = = 4* 5= 0 (5 )! 3! 5 5 [ικήτριες δυάδες] Α..4. Συδυασµοί. Σε πολλά προβλήµατα που εκλέγοται µ-άδες από στοιχεία, δε µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία επιλέχτηκα τα στοιχεία της µ-άδας. Για παράδειγµα µία οµάδα µπάσκετ κατεβαίει σ'έα αγώα µε 0 παίκτες, που έχου στη φαέλα τους αριθµούς 4,5,6,7,8,9,0,, και 3. Από αυτούς οι πέτε θα ξεκιήσου το αγώα. Ζητάµε α υπολογίσουµε το αριθµό όλω τω διαφορετικώ αρχικώ πετάδω (3). Όπως είαι φαερό δύο πετάδες που αποτελούται από τους ίδιους παίκτες, επιλεγµέους µε διαφορετική σειρά, ουσιαστικά ταυτίζοται. Γίεται λοιπό φαερή η αάγκη συστηµατοποίησης τω προβληµάτω αυτού του είδους, η οποία θα µας επιτρέψει α φθάσουµε σ' έα γεικό τύπο που α τα λύει. Ορισµός Α.4. Το πλήθος τω διαφορετικώ τρόπω µε τους οποίους µπορούµε α εκλέξουµε µία µ- άδα από έα σύολο στοιχείω (µ ), ότα δε µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία εκλέχτηκα τα στοιχεία της µ-άδας, οοµάζοται συδυασµοί τω πραγµάτω αά µ. Ο παραπάω ορισµός µπορεί α διατυπωθεί και διαφορετικά: Συδυασµοί τω πραγµάτω αά µ είαι ο αριθµός όλω τω υποσυόλω πληθικού αριθµού µ, τα οποία µπορού α δηµιουργηθού από έα σύολο στοιχείω (4). Συµβολισµός και τύπος Α.5.: Με τη βοήθεια του τύπου τω διατάξεω, εύκολα αποδεικύεται πως οι συδυασµοί τω πραγµάτω αά µ δίοται από τη σχέση (4) : C! = C = = µε µ µ µ!( µ )! µ µ (A.5) 3 Η πρώτη απάτηση που µας έρχεται αυθόρµητα στο µυαλό είαι πως οι 0 παίκτες µπορού α φτιάξου ακριβώς πετάδες. Πρόκειται βέβαια για λαθασµέη απάτηση. Το λάθος µας αυτό µάλιστα θα το ατιλαµβαόµαστα γρηγορότερα εά ο συολικός αριθµός τω παικτώ ήτα 9. Εά κάποιος έχει το κουράγιο α καταγράψει όλες τις δυατές πετάδες θα φθάσει στο αριθµό 5! 4 Θυµίζουµε: (i) πως ο πληθικός αριθµός εός συόλου είαι το πλήθος τω στοιχείω του και (ii) πως τα στοιχεία στο εσωτερικό εός συόλου δε έχου µία συγκεκριµέη σειρά. Άρα δύο σύολα που έχου τα ίδια ακριβώς στοιχεία ταυτίζοται, αεξάρτητα από τη σειρά εµφάισης τω στοιχείω τους στο εσωτερικό του κάθε συόλου. 0

11 Παράδειγµα: εξής: Ο συολικός αριθµός τω πετάδω από παίκτες δίεται από το τύπο Α.5. ως! * 3* 4* 5* 6* 7* 8* 9* 0* * 8* 9* 0* * = = = = 5 5!( 5 )! * 3* 4* 5 * 3* 4* 5* 6* 7 * 3* 4* 5 ( )( ) = * 3* * = 79 Παρατηρούµε πως κατά το υπολογισµό τω συδυασµώ, κάουµε απλοποίηση εός τµήµατος του αριθµητή µε το µεγαλύτερο από τα µ! και (-µ)!. (i) Ιδιότητες τω συδυασµώ: = Πράγµατι, από στοιχεία µπορούµε α δηµιουργήσουµε µία µόο -άδα. Εφαρµόζοτας το τύπο Α.5 στη περίπτωση αυτή έχουµε:! = = =!! 0! ( ) Από τη σχέση αυτή προκύπτει η επόµεη ιδιότητα: (ii) 0! = και = 0 (iii) = κ λ εφ'όσο ισχύει πως κ+λ= Παρατηρήσεις: η) εχόµαστε εξ' ορισµού τη σχέση 0!=. Παρ' όλο ότι δε δικαιολογείται από τη σχέση ορισµού του παραγοτικού, η ααγκαιότητά της προκύπτει από τα αποτελέσµατα που θέλουµε α έχει ο συδυασµός τω στοιχείω αά (ή αά 0). η) Η ιδιότητα (iii) µπορεί εύκολα α δειχθεί µε έα παράδειγµα:

12 0 0! 0! = = 8 8! ( 0 8)! 8!! 0 0! 0! = =! ( 0 )!! 8! Τα τελευταία µέλη µας δείχου πως και τα πρώτα είαι ίσα µεταξύ τους, εώ η τιµή τους: 9*0/ = 45 Η επόµεη ισότητα τεκµηριώει και θεωρητικά τη ιδιότητα αυτή, αρκεί α θυµηθούµε πως: κ+λ= κ=λ!!! = = = = κ κ! κ! κ! κ! λ! λ! λ ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα: ο) Στο παιχίδι «Lotto» υπάρχου στη κληρωτίδα 49 αριθµοί (από το έως το 49). Απ' αυτούς κληρώοται οι 6. Πόσες είαι οι διαφορετικές εξάδες που µπορού α κληρωθού; Λύση: Είαι γωστό πως η σειρά µε τη οποία κληρώοται οι 6 τυχαίοι αριθµοί δε µας εδιαφέρει. Όλες λοιπό οι διαφορετικές εξάδες του Lotto δίοται από τους συδυασµούς τω 49 πραγµάτω αά 6: 49 49! 44* 45* 46* 47* 48* 49 = = = ! 49 6! * 3* 4* 5* 6 ( ) ο) Η αστρολόγος της πολυκατοικίας µας προβλέπει πως στη επόµεη κλήρωση του Lotto, όλοι οι αριθµοί που θα κληρωθού θα προέρχοται από τη η και τη 4η δεκάδα (0-9 και 30-39). Εµείς τη πιστεύουµε και θέλουµε α υπολογίσουµε το αριθµό τω στηλώ που πρέπει α παίξουµε για α κερδίσουµε, εφ'όσο η πρόβλεψη επαληθευτεί. Λύση: Ουσιαστικά ζητούµε το αριθµό τω εξάδω που δηµιουργούται από τους 0 αριθµούς που πρόβλεψε η Αστρολόγος και είαι βέβαια οι συδυασµοί τω 0 πραγµάτω αά 6: 0 0! 5* 6* 7* 8* 9* 0 = = = ! 0 6! * 3* 4* 5* 6 ( ) 3ο) Η χαρτορρίχτρα του ορόφου µας "βελτιώει" τη προηγούµεη πρόβλεψη, προσθέτοτας το δεδοµέο πως από τους αριθµούς που θα κληρωθού, οι 4 θά'αι περιττοί και οι άρτιοι. Πόσες είαι οι στήλες που θα χρειαστεί α συµπληρώσουµε για α κερδίσουµε, εφ'όσο ισχύσου και οι δύο περιορισµοί;

13 Λύση: Οι 0 αριθµοί που προήλθα από το πρώτο περιορισµό αποτελούται από 0 µοούς και 0 ζυγούς αριθµούς. Από τους πρώτους (περιττούς) πρέπει α δηµιουργήσουµε όλες τις δυατές τετράδες, εώ από τους δεύτερους (άρτιους), όλες τις δυατές δυάδες: πλήθος τετράδω :!! = = = 0 6 4! 0 4! 4! 6! πλήθος δυάδω : ( ) 0 0! 0! = = = 45! 0!! 8! ( ) ε ξεχούµε όµως πως ζητούµε το αριθµό τω διαφορετικώ εξάδω που δηµιουργούται µε τη σύθεση της κάθε µιας τετράδας (από τις 0) µε κάθε µια δυάδα (από τις 45). Με κάθε µία τετράδα µπορούµε α δηµιουργήσουµε 45 εξάδες (τόσες είαι οι διαφορετικές δυάδες που συδυάζοται µε τη κάθε τετράδα). Όλες οι εξάδες εποµέως θα είαι: πλήθος εξάδω : 0*45 = 9450 Παρατήρηση: Ο τρόπος µε το οποίο σκεφθήκαµε στο προηγούµεο παράδειγµα αξίζει α προσεχθεί ιδιαίτερα από το ααγώστη, γιατί εφαρµόζεται σε πολλά είδη προβληµάτω. Α..5. Επααληπτικές διατάξεις. Σκεφθείτε τώρα τη περίπτωση κατά τη οποία από στοιχεία εός συόλου εκλέγουµε µία µ-άδα ως εξής: ιαλέγουµε το πρώτο στοιχείο της µ-άδας, το καταγράφουµε (άρα κρατούµε τη σειρά µε τη οποία εµφαίστηκε) και το επαατοποθετούµε µέσα στο σύολο από το οποίο θα επαεκλέξουµε το δεύτερο στοιχείο της µ-άδας. Η διαδικασία αυτή επααλαµβάεται µέχρι α εκλέξουµε και το τελευταίο (µ-οστό) στοιχείο. Παρατηρούµε πως: (i) Το ίδιο στοιχείο µπορεί α εµφαιστεί περισσότερες από µία φορές στη µ-άδα (µέχρι και µ-φορές). (ii) Για πρώτη φορά το µ έχει τη δυατότητα α είαι µεγαλύτερο του (5). 5 Πράγµατι από τα δύο στοιχεία (α,β), µπορώ µε επαεκλογή (επαάθεση), α δηµιουργήσω µία πετάδα, π.χ. τη (α,β,α,α,β). 3

14 Ορισµός Α.5. Όλοι οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορούµε α εκλέξουµε µία µ-άδα από έα σύολο στοιχείω, ότα: (i) µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία εκλέχτηκα τα στοιχεία της µ-άδας, και (ii) µπορεί έα στοιχείο α επαεκλεγεί περισσότερες από µία φορές στη µ-άδα, οοµάζοται επααληπτικές διατάξεις τω πραγµάτω αά µ (*6). Συµβολισµός και τύπος Α.6.: Αποδεικύεται πως οι επααληπτικές διατάξεις τω πραγµάτω αά µ δίοται από τη σχέση: ε = µ µ Παραδείγµατα: ο) Μία στήλη του ΠΡΟ-ΠΟ είαι µία δεκατριάδα που δηµιουργείται από τα τρία στοιχεία,χ και. Ααρωτιόµαστε για το πόσες τέτοιες στήλες υπαρχου. Λύση: Είαι φαερό πως έχουµε έα πρόβληµα επααληπτικώ διατάξεω τω τριώ στοιχείω αά δεκατρία, διότι δηµιουργούµε δεκατριάδες από τρία στοιχεία, προφαώς, µε επαάθεση. Είαι προφαώς µας εδιαφέρει και η σειρά µε τη οποία εκλέγοται τα στοιχεία της δεκατριάδας, µια και η στήλη που ξεκιάει µε τα στοιχεία,, είαι ετελώς διαφορετική από τη,,! Ο συολικός τους αριθµός δίεται από το τύπο Α.5: 3 3 ε 3 = 3 = στήλες. ο) Ρίχουµε πέτε ζάρια. Ζητούµε α υπολογίσουµε το πλήθος τω διαφορετικώ αποτελεσµάτω. Λύση: Το καθέα από τα αποτελέσµατα δε είαι τίποτε άλλο παρά µία πετάδα που αποτελείται από τα ψηφία,,3,4,5 και 6. Στη συέχεια πρέπει α απατήσουµε στη ερώτηση: Μας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία θα εµφαισθού τα ε λόγω ψηφία στη πετάδα; Ας υποθέσουµε πως δε γωρίζουµε µε βεβαιότητα τη απάτηση στη ερώτηση αυτή (7). Προχωρούµε λοιπό στη επόµεη ερώτηση: 6 Το ότι εδιαφερόµαστε για τη σειρά εκλογής στη µ-άδα κατά τις επααληπτικές διατάξεις είαι αυτοόητο και συήθως παραλείπεται από το ορισµό, µια και επαάθεση σηµαίει καταγραφή του κάθε στοιχείου, άρα και καταγραφή της σειράς του στη µ-άδα. Άµεση συέπεια αυτού είαι η µή χρήση επααληπτικώ συδυασµώ. 7 Είαι πολύ πιθαό α µη µπορούµε α απατήσουµε µε σιγουριά στη πιο πάω ερώτηση. Α για παράδειγµα ρωτήσουµε έα παίκτη του τάβλι, εά έχει σηµασία στη ζαριά [6,5], το ποιό ζάρι έφερε 6 και ποιό 5, είαι πιθαό α µας απατήσει, όχι, παρ' όλο που ξέρει πως υπάρχου 36 διαφορετικές ζαριές. 4

15 Είαι δυατό, στη ίδια πετάδα, α εµφαιστεί κάποιο από τα ψηφία του ζαριού περισσότερες από µία φορές; Εδώ η απάτηση είαι προφαής: Έα ψηφίο µπορεί α εµφαιστεί µέχρι και πέτε φορές [για παράδειγµα η σπάια µα δυατή ζαριά (6,6,6,6,6)]. Πρόκειται λοιπό για επαεκλογή (επαάθεση) και εποµέως έχουµε επααληπτικές διατάξεις! Ο συολικός τους αριθµός δίεται και πάλι από το τύπο Α.6: ε 5 6 = 6 5 = 7776 ζαριές. 3 ο ) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε α βάλουµε 0 διαφορετικά βιβλία σε 3 ράφια βιβλιοθήκης, όπου στο κάθε ράφι µπορού α χωρέσου και τα είκοσι. Υπόδειξη: Σκεφτείτε το ατίστροφα. Σκεφτείτε σα α επιλέγετε 0 φορές κάποιο ράφι από τα τρία Λύση: Σκεπτόµαστε σύµφωα µε τη υπόδειξη: Κάθε φορά που τοποθετούµε έα συγκεκριµέο βιβλίο σε κάποιο ράφι, θεωρούµε πως λειτουργούµε ατίστροφα, δηλαδή επιλέγουµε έα ράφι. Τη επιλογή αυτή θα τη επααλάβουµε 0 φορές. Εποµέως, από τρία ράφια κάουµε εικοσάδες. Προφαώς µας εδιαφέρει η σειρά, εώ έχουµε και επαάθεση (αλλιώς θα ήτα αδύατο α κάουµε εικοσάδες µε τρία ατικείµεα). Άρα το ζητούµεο πλήθος προκύπτει από τις Επααληπτικές ιατάξεις: Πλήθος τω διαφορετικώ τρόπω τοποθέτησης 0 βιβλίω σε 3 ράφια = 3 0 ε 0 = 3 = Παρατήρηση: Το επόµεο "σχεδιάγραµµα" συστηµατοποιεί τις ερωτήσεις τις οποίες θέτουµε στο εαυτό µας, προκειµέου α καταλήξουµε στη έοια που ατιστοιχεί στο πρόβληµα που µας απασχολεί. 5

16 Εά φθάσουµε στα ερωτηµατικά (??) µπορεί α συµβαίου δύο πράγµατα: Ή δε απατήσαµε σωστά στις ερωτήσεις, ή η εκφώηση του προβλήµατος δε είαι πλήρης. A..7. Επααληπτικοί Συδυασµοί. Παρ όλο ότι είπαµε πως δε υπάρχου Επααληπτικοί Συδυασµοί, στη πραγµατικότητα µπορούµε α υπολογίσουµε το πλήθος τω δυατώ µ-άδω οι οποίες δηµιουργούται από στοιχεία, ότα υπάρχει η δυατότητα επαάληψης του κάθε στοιχείου στη µ-άδα εώ είµαστε βέβαιοι πως η σειρά εκλογής της µ-άδας δε µας εδιαφέρει. Ο τύπος τω Επααληπτικώ Συδυασµώ: ( ) µ!( )! +µ +µ ε C µ = = µ! Παρατήρηση: Στους Επααληπτικούς Συδυασµούς είαι δυατό το µ α είαι µεγαλύτερο του (όπως και στις Επααληπτικές ιατάξεις). Παράδειγµα ο : Ρίχουµε δύο ζάρια. Να βρεθεί το πλήθος τω διαφορετικώ ζαριώ, ότα θεωρούµε πως οι ζαριές της µορφής (α,β) και (β,α) ταυτίζοται. Λύση: Με βάση τα δεδοµέα του προβλήµατος, δηµιουργούµε δυάδες από τα στοιχεία,, 3, 4, 5, 6, ότα έα στοιχείο µπορεί α επααληφθεί στη επιλεγόµεη δυάδα, εώ δε µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία επιλέγοται τα στοιχεία της δυάδας. Άρα θα χρησιµοποιήσουµε τους επααληπτικούς συδυασµούς: Πλήθος ζαριώ: ! 7! 6* 7 ε C= = = = = =! 7!! 5! ( ) 6

17 πράγµα που επαληθεύεται από το πίακα: Οι δυατές ζαριές Πλήθος (,), (,), (,3), (,4), (,5), (,6) 6 (,), (,3), (,4), (,5), (,6) 5 (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) 4 (4,4), (4,5), (4,6) 3 (5,5), (5,6) (6,6) Συολικό πλήθος Όµως, αξίζει α παρατηρήσουµε πως η ατιµετώπιση αυτή του προβλήµατος είαι λαθασµέη, επί της ουσίας, µια και στη πραγµατικότητα η ζαριά (6,5) είαι δύο φορές πιο πιθαή από τη (6,6). Το γεγοός αυτό δείχει πως το πρόβληµα του υπολογισµού τω διαφορετικώ ζαριώ, µε τρόπο που α βοηθά σηµατικά κάποιο που παίζει µε ζάρια (π.χ. τάβλι), επιλύεται µέσω τω Επααληπτικώ ιατάξεω. Παράδειγµα ο : Έας καθηγητής πηγαίει α αγοράσει 0 µαρκαδόρους για α γράφει σε λευκό πίακα. Βρίσκει µαύρους, µπλε και κόκκιους µαρκαδόρους. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορεί α επιλέξει τους δέκα µαρκαδόρους που χρειάζεται; Λύση: Στο πρόβληµα αυτό δε υπάρχει καέας ουσιαστικός λόγος α καταγράφεται η σειρά επιλογής τω µαρκαδόρω της δεκάδας. Τώρα, η κάθε µία από τις δυατές λύσεις του προβλήµατος είαι µία δεκάδα που δηµιουργείται από 3 στοιχεία (εδώ, χρώµατα), το µαύρο, το µπλε και το κόκκιο. Άρα το πλήθος τω διαφορετικώ δεκάδω δίεται από τους επααληπτικούς συδυασµούς τω τριώ πραγµάτω αά δέκα: !! * ε C0= = = = = = ! 0! 0!! ( ) Παρατήρηση: Το παράδειγµα αυτό είαι έα από τα σπάια παραδείγµατα στα οποία χρησιµοποιούται οι Επααληπτικοί Συδυασµοί. 7

18 A..7. Η αρχή της απαρίθµησης. Η αρχή της απαρίθµησης συχά µας βοηθά α επιλύουµε τα προβλήµατα της Συδυαστικής αάλυσης µε µία διαφορετική προσέγγιση και συστηµατοποίηση, η οποία συχά καθιστά ευκολότερη τη λύση τους. Πρόκειται για έα συµπληρωµατικό τρόπο σκέψης, σε σχέση µε το τρόπο που µάθαµε ως τώρα (µε τη βοήθεια τω εοιώ της Συδυαστικής Αάλυσης) και ο οποίος µπορεί α εφαρµοσθεί στα προβλήµατα στα οποία η Συδυαστική Αάλυση θα χρησιµοποιούσε τις ιατάξεις (απλές ή επααληπτικές). Ορισµός Α.7. Έστω πως δηµιουργούµε δείγµατα τω µ στοιχείω, εώ µας εδιαφέρει η σειρά εκλογής τω στοιχείω της µ-αδας (8). Έστω επίσης ότι έχουµε κ διαφορετικούς τρόπους συµπλήρωσης της πρώτης θέσης της µ-αδας, κ διαφορετικούς τρόπους συµπλήρωσης της δεύτερης θέσης, κ 3 της τρίτης, κ.ο.κ.. ιαφορετικοί τρόποι συµπλήρωσης της κάθε κ κ κ 3 κ µ θέσης της µ-αδας.... µ-αδα Τότε, το πλήθος Μ όλω τω διαφορετικώ µ-αδω δίεται από το γιόµεο: Μ = κ *κ *κ 3 *...*κ µ Παραδείγµατα: ο) Ρίχουµε 5 ζάρια και ζητούµε το πλήθος Ν, τω διαφορετικώ αποτελεσµάτω (ζαριώ). Λύση: Ξεκιάµε µε έα παράδειγµα το οποίο έχει ήδη λυθεί στο κεφάλαιο της συδυαστικής αάλυσης, µε τη βοήθεια τω επααληπτικώ ιατάξεω (Ν=6 5 ). Το τυχαίο αποτέλεσµα είαι µία πετάδα αριθµώ (από το έως το 6), µία πετάδα θέσεω, από τις οποίες η κάθε µία µπορεί α συµπληρωθεί µε 6 διαφορετικούς τρόπους. Άρα το πλήθος Μ τω διαφορετικώ πετάδω δίεται από το γιόµεο: Μ = 6*6*6*6*6 = 6 5 ο) Σε έα κάδο έχουµε 5 µπάλες του µπιλιάρδου, από τις οποίες οι 0 είαι κόκκιες, οι 3 άσπρες και οι µαύρες. Τραβώ, χωρίς επαάθεση, 4 µπάλες, καταγράφοτας τη σειρά εκλογής στη τετράδα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορώ α βγάλω τετράδες που α περιέχου ακριβώς κόκκιες µπάλες; 8 Είµαστε δηλαδή στη περίπτωση κατά τη οποία χρησιµοποιούµε τους τύπους τω ιατάξεω (απλώ ή επααληπτικώ). 8

19 Λύση: Παίρω µία τετράδα στη οποία οι πρώτες δύο µπάλες είαι κόκκιες εώ οι 3η και 4η άλλου χρώµατος. Για τη η θέση υπάρχου 0 δυατοί τρόποι πλήρωσής της µε κόκκιη µπάλα. Για τη δεύτερη υπάρχου 9 δυατοί τρόποι, µια και η δέκατη τοποθετήθηκε στη πρώτη θέση. Για τη τρίτη θέση έχουµε 5 δυατούς τρόπους πλήρωσης, εώ για τη τέταρτη 4 (και πάλι η µία από τις 5 -µη κόκκιες- τοποθετήθηκε στη τρίτη θέση) η κόκκιη η κόκκιη 3η 4η Άρα το πλήθος τω διαφορετικώ τετράδω (µε τις δύο κόκκιες στις πρώτες θέσεις) δίεται από το γιόµεο: L = 0*9*5*4 = 800 Όµως, εκτός από τη τετράδα της µορφής (Κ,Κ,-,-), έχουµε συολικά τις εξής µορφές τετράδω: (Κ,-,Κ,-), (Κ,-,-,Κ), (-,Κ,Κ,-), (-,Κ,-,Κ) και (-,-,Κ,Κ) έχουµε δηλαδή 6 µορφές τετράδω, (το πλήθος τους δίεται και από το πληθος τω επααληπτικώ µεταθέσεω τω 4 στοιχείω (Κ,Κ,-,-), από τα οποία τα δύο (Κ) είαι όµοια, όπως επίσης και τα άλλα δύο (-). Το πλήθος τους εποµέως δίεται από τη σχέση: r = ε 4, = 4!/(!*!) = 6 Εποµέως το συολικό πλήθος τω τετράδω είαι ίσο µε: Ν = r*l = 6*800 = 0800 Λύση µέσω τω ιατάξεω: Α θέλαµε α δουλέψουµε µόο µε τη βοήθεια τω εοιώ της συδυαστικής αάλυσης, θα σκεφτόµαστε ως εξής: Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους κάω δυάδες (µε σειρά) από τις 0 κόκκιες µπάλες, δίοται από τη σχέση: L = 0 = 0!/(0-)! = 90 Οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους κάω δυάδες (µε σειρά) από τις 5 µη κόκκιες µπάλες, δίοται από τη σχέση: L = 5 = 5!/(5-)! = 0 Τέλος, οι διαφορετικοί τρόποι µε τους οποίους µπορού α τοποθετηθού οι δύο κόκκιες και οι δύο µη κόκκιες µπάλες στη τετράδα, δίοται από τη σχέση: r = εμ4, = 4!/(!*!) = 6 Έτσι, φθάουµε και πάλι στο συολικό πλήθος τω τετράδω: Ν = r*l *L = 6*90*0 =

20 3 ο ) Α εφαρµόζαµε τη αρχή της απαρίθµησης στο πλήθος τω δυατώ αποτελεσµάτω του Lotto θα είχαµε το πλήθος τω δυατώ εξάδω: πλήθος εξάδω = 49*48*47*46*45*44 = το οποίο είαι 70 φορές µεγαλύτερο από το πραγµατικό. Μπορείτε α απατήσετε γιατί; Παρατήρηση: Η εασχόληση µε τα προβλήµατα της Συδυαστικής Αάλυσης δείχει πως σε κάποια από αυτά η προσέγγιση µέσω της αρχής της απαρίθµησης διευκολύει τη επίλυση του προβλήµατος, εώ σε κάποια άλλα η χρήση της έοιας τω ιατάξεω βοηθά περισσότερο στη επίλυση και συστηµατοποίησή τους. Α..8. Ασκήσεις επαάληψης Άσκηση : Έχουµε άλογα µιας ιπποδροµίας, 7 αρσεικά και 5 θηλυκά. Εά δε θεωρούµε όλα τα αρσεικά (όπως και τα θηλυκά) άλογα ίδια, ζητούται:. Το πλήθος τω διαφορετικώ ικητήριω δυάδω.. Το πλήθος τω δυάδω όπου εµφαίζοται θηλυκά άλογα. 3. Το πλήθος τω δυάδω όπου εµφαίζοται έα αρσεικό και έα θηλυκό άλογο. Άσκηση : Από τις 3 κούπες µιας τράπουλας (3 φιγούρες και 9 αριθµοί) επιλέγουµε, εδιαφερόµεοι για τη σειρά επιλογής, φύλλα. Ζητούται:. Το πλήθος τω διαφορετικώ δυάδω.. Το πλήθος τω διαφορετικώ δυάδω που απαρτίζοται από φιγούρες. Άσκηση 3: Έα λεωφορείο µε 5 επιβάτες, από τους οποίους οι 5 είαι άτρες και οι 0 είαι γυαίκες, σταµατάει σε µια στάση και κατεβαίου 5 επιβάτες. Πόσες πετάδες αποτελούται από 3 άδρες και γυαίκες (α δε εδιαφέρει η σειρά στη πετάδα); Άσκηση 4: Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούµε α βάλουµε 0 διαφορετικά βιβλία σε 4 ράφια βιβλιοθήκης, όπου στο κάθε ράφι µπορού α χωρέσου και τα δέκα. Άσκηση 5: Ορίζουµε έα καιούριο παιχίδι, το ιπλό Joker. Επιλέγουµε: 5 αριθµούς από το -30, χωρίς α µας εδιαφέρει η σειρά κλήρωσης αριθµούς Joker από το -5, δηλώοτας το ο σα το Joker και το ο σα το Joker. Ζητείται το πλήθος τω στηλώ του παιχιδιού αυτού. 0

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Β Βασικές έοιες της Στατιστικής Β... Πληθυσµός και τυχαίες µεταβλητές. Συχά εξετάζουµε τα στοιχεία εός συόλου ως προς µία ιδιότητά τους και ζητούµε α προσδιορίσουµε το βαθµό στο οποίο ισχύει, ή δε ισχύει η ε λόγω ιδιότητα σε κάθε έα απ' αυτά. Για παράδειγµα µας εδιαφέρει: (i) το ύψος τω ατόµω εός συόλου, (ii) η πολιτική προτίµηση τω ψηφοφόρω µιας εκλογικής περιφέρειας, (iii) ο τελικός βαθµός που πέτυχα σ' έα µάθηµα οι σπουδαστές εός τµήµατος, (iv) η χάρις και η καλαισθησία µε τη οποία διακόσµησε το σπίτι του, καθέας από τους φίλους µας, (v) το α υγιαίει ή ασθεεί το κάθε άτοµο µίας πληθυσµιακής οµάδας, (vi) το ποσοστό ευστοχίας σε προσπάθειες τω δύο πότω του κάθε παίκτη µπάσκετ της Α κατηγορίας, (vii) το χρώµα τω µαλλιώ ή τω µατιώ µιας οµάδας αθρώπω, (iix) το α είαι ελαττωµατικό ή όχι το κάθε αυτοκίητο µιας εταιρείας, κ.λ.π. Παρατηρήσεις: η) Στα παραπάω παραδείγµατα παρατηρούµε πως υπάρχου ιδιότητες, οι οποίες: που µπορού α καταµετρηθού και που συχά αποκαλούται καταµετρήσιµες (όπως το ύψος, το ποσοστό ευστοχίας κλπ.), που έχου µόο δύο δυατές εκδοχές (υγιής-ασθεής), άλλες που δίοται µόο µε ποιοτικούς χαρακτηρισµούς (π.χ. χρώµα οφθαλµώ), εώ τέλος υπάρχου και κάποιες που περιγράφοται µε ποιοτικούς χαρακτηρισµούς, αλλά µε τρόπο υποκειµεικό (οµορφιά, χάρις, καλαισθησία κ.λ.π.). η) Όλες οι παραπάω ιδιότητες ααφέροται στα στοιχεία εός συόλου, το οποίο οοµάζεται σύολο ααφοράς ή πιο συχά πληθυσµός. Αξίζει όµως εδώ α παρατηρήσουµε πως συχά η διατύπωση της χαρακτηριστικής ιδιότητας για τη οποία εδιαφερόµαστε καθορίζει και το γεικό αυτό σύολο. Έας πολιτευτής της Α' εκλογικής περιφέρειας της Θεσσαλοίκης, για παράδειγµα, εδιαφέρεται για τις πολιτικές προτιµήσεις τω ψηφοφόρω της περιφέρειας αυτής και όχι για το σύολο τω Ελλήω ψηφοφόρω. Εά µάλιστα εδιαφέρεται πρώτιστα για τη δική του εκλογή, τότε ο πληθυσµός στο οποίο ααφέρεται είαι το σύολο τω ψηφοφόρω της παράταξής του, µια και απ' αυτούς θα σταυροδοτηθεί. Εποµέως αυτοί αποτελού το σύολο ααφοράς του.

22 Όµοια εά κάποιος επιχειρηµατίας εδιαφέρεται α διαφηµισθεί από τη τηλεόραση στο κοιό της Θεσσαλοίκης, τότε θα διαλέξει το τηλεοπτικό καάλι µε τη µεγαλύτερη θεαµατικότητα στο κοιό της Θεσσαλοίκης, αδιαφορώτας για το ποσοστό της θεαµατικότητάς του παελλήια. 3η) Είαι φαερό πως στο ίδιο γεικό σύολο (πληθυσµό) είαι δυατό α µας εδιαφέρου περισσότερες από µία χαρακτηριστικές ιδιότητες. Για παράδειγµα, σε έα σύολο ατόµω µπορούµε α µελετήσουµε ταυτόχροα: το βάρος, το ύψος, το χρώµα τω µαλλιώ, το δείκτη ευφυΐας κ.λ.π. του κάθε ατόµου του πληθυσµού. 4η) Στη συέχεια και εφ'όσο δε γίεται ιδιαίτερη ααφορά, θα ααφερόµαστε σε καταµετρήσιµες τυχαίες µεταβλητές. Ορισµός Β.. Μία χαρακτηριστική ιδιότητα της οποίας τα ποσοτικά ή τα ποιοτικά χαρακτηριστικά µεταβάλλοται από στοιχείο σε στοιχείο εός γεικού συόλου λέγεται τυχαία µεταβλητή. Το γεικό σύολο στο οποίο µας εδιαφέρει η µελέτη τω χαρακτηριστικώ µιας τυχαίας µεταβλητής το αποκαλούµε πληθυσµό. Παράδειγµα: Μία τυχαία µεταβλητή συµβολίζεται συήθως µε κεφαλαία γράµµατα, συοδευόµεα από έα δείκτη: Χ i, Y j κ.λ.π. Έτσι µε το X i συµβολίζεται η τιµή που παίρει η τυχαία µεταβλητή Χ στο i-οστό άτοµο του πληθυσµού. Εά υποθέσουµε λοιπό πως επιλέγουµε σα τυχαία µεταβλητή το ύψος του κάθε ατόµου εός πληθυσµού, γράφοτας πως: Χ = 73 cm, δηλώουµε πως το ύψος του δωδεκάτου ατόµου είαι.73 m. Β... Έρευα απογραφής και έρευα δειγµατοληψίας. Με το όρο απογραφή καθορίζουµε τη καταγραφή τω τιµώ µιας τυχαίας µεταβλητής σε όλα τα στοιχεία (άτοµα) εός πληθυσµού. Η απογραφή είαι ο ασφαλέστερος τρόπος για α µάθουµε µε ακρίβεια τη συµπεριφορά του πληθυσµού, ως προς τη συγκεκριµέη τυχαία µεταβλητή. Όµως παρουσιάζει µία σειρά από µειοεκτήµατα, όπως το ότι: είαι δαπαηρή και χροοβόρα διαδικασία, ιδιαίτερα στη περίπτωση που ο πληθυσµός της Στατιστικής έρευας είαι µεγάλος. απαιτεί τη ύπαρξη εός µεγάλου επιτελείου συεργατώ, µε αποτέλεσµα έα µέρος της ακρίβειάς της α "δαπαάται" στα διάφορα λάθη που µοιραία θα συµβού σε µια τόσο εκτεταµέη διαδικασία.

23 Θυµίζουµε πως σε Εθικό επίπεδο έχουµε τη απογραφή πληθυσµού κάθε 0 χρόια και τη απογραφή τω πολιτικώ προτιµήσεω τω εήλικω πολιτώ κάθε 4 χρόια, συήθως, µε τη µορφή τω Βουλευτικώ Εκλογώ. Αποφασίζουµε λοιπό α µη διεξάγουµε µια έρευα απογραφής ότα: i) δε υπάρχου τα απαιτούµεα χροικά µας περιθώρια, ii) δε υπάρχου οι ααγκαίοι οικοοµικοί πόροι, iii) δε υπάρχου τα απαραίτητα τεχικά δεδοµέα (συεργεία κ.λ.π.), iv) δε είαι απαραίτητη η µεγάλη ακρίβεια τω αποτελεσµάτω. Ας υποθέσουµε τώρα πως δε έχουµε τις τεχικές και οικοοµικές δυατότητες για τη πραγµατοποίηση µιας απογραφικής έρευας, εώ συεχίζουµε α θέλουµε α ξέρουµε τη συµπεριφορά της τυχ. µεταβλητής στα άτοµα εός πληθυσµού. Τότε αποφασίζουµε α µελετήσουµε τη συµπεριφορά της τυχαίας µεταβλητής που µας εδιαφέρει, σε έα τµήµα του πληθυσµού, το οποίο οοµάζουµε δείγµα. Στη συέχεια, βασιζόµεοι στα αποτελέσµατα που πετύχαµε κατά τη µελέτη του δείγµατος, προσπαθούµε α εκτιµήσουµε τη συµπεριφορά της τυχαίας µεταβλητής σ' ολόκληρο το πληθυσµό. Προσπαθούµε δηλαδή, προβάλλοτας τα αποτελέσµατα του επιλεγµέου δείγµατος πάω στο πληθυσµό, α γεικεύσουµε τα συµπεράσµατα. Ορισµός Β.. Κάθε υποσύολο του πληθυσµού µίας Στατιστικής µελέτης, λέγεται δείγµα. Η διαδικασία επιλογής τω στοιχείω εός δείγµατος οοµάζεται δειγµατοληψία, εώ οι µέθοδοι µε τις οποίες επιλέγοται τα στοιχεία εός δείγµατος λέγοται µέθοδοι δειγµατοληψίας. Το πρόβληµα όµως της ααγωγής στο γεικό (πληθυσµό) από το µερικό (δείγµα), δε είαι καθόλου απλό. Ατίθετα, αποτελεί έα από τα κυριότερα προβλήµατα µε τα οποία ασχολείται η Στατιστική. Με κάποιες όψεις του θέµατος αυτού, θα ασχοληθούµε σε επόµεα κεφάλαια. Ακόµη έα σηµατικό και σύθετο πρόβληµα είαι κι'αυτό που αφορά στις µεθόδους της δειγµατοληψίας. Στις επόµεες παραγράφους θα θίξουµε τηλεγραφικά το πρόβληµα αυτό. Ο ααγώστης βέβαια που θα θελήσει κάποια στιγµή α ασχοληθεί σοβαρά µε τη Στατιστική θα πρέπει α συµβουλευτεί κάποια από τα πολλά βιβλία που διαπραγµατεύοται τις µεθόδους δειγµατοληψίας, τους τρόπους τυχαιοποίησης, διαστρωµάτωσης του πληθυσµού, τη κατάστρωση ερωτηµατολογίω κ.λ.π.. Β..3. Καθορισµός του πληθυσµού και της δειγµατικής µοάδας. Όπως ααφέρθηκε στη αρχή του ου κεφαλαίου, έα από τα κετρικά προβλήµατα στη διερεύηση της συµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής στα άτοµα εός πληθυσµού, είαι ο σωστός καθορισµός αυτού ακριβώς του πληθυσµού. Οι πρακτικές δυσκολίες του προβλήµατος αυτού είαι πολύ µεγάλες. 3

24 Για παράδειγµα θα ααφερθούµε στο κύριο Χ, που είαι υποψήφιος ήµαρχος Θεσσαλοίκης. Εδιαφέρεται για τη καταµέτρηση της πολιτικής του επιρροής στους ψηφοφόρους της πόλης του. Είαι όµως δύσκολο α βρεί έα ολοκληρωµέο και εηµερωµέο κατάλογό τους. Πολλές φορές επίσης είαι ιδιαίτερα δύσκολο α καθορίσουµε, ακόµη και θεωρητικά, το πληθυσµό της έρευάς µας. Σα παράδειγµα µπορούµε α ααφέρουµε τη έρευα που έκαε στα τέλη της δεκαετίας του '80 το Υπουργείο Παιδείας σε κάποια Τ.Ε.Ι., προκειµέου α διαπιστώσει τη γεική απόδοση τω σπουδαστώ, αλλά και α συγκρίει τις επιδόσεις τω σπουδαστώ που προέρχοται από τα Τεχικά Λύκεια (χωρίς α περάσου τη διαδικασία τω εισαγωγικώ), µ'αυτή τω αποφοίτω τω Γεικώ Λυκείω. Ο προσδιορισµός του πληθυσµού για τη έρευα αυτή µπορεί α γίει κατά πολλούς τρόπους. Αρχικά θα πρέπει α αποφασίσουµε για το εά η ε λόγω έρευα θα περιλάβει όλους τους σπουδαστές, αεξάρτητα από το εξάµηο στο οποίο βρίσκοται, ή εά ο πληθυσµός της θα περιέχει τους σπουδαστές που επέτυχα στα Τ.Ε.Ι. έα συγκεκριµέο σχολικό έτος (π.χ. το έτος ). Αλλά και στη περίπτωση που αποφασίσουµε α "παρακολουθήσουµε" τη πορεία τω σπουδαστώ εός σπουδαστικού έτους, έχουµε επίσης πολλούς τρόπους α ορίσουµε το πληθυσµό της έρευάς µας. Ας ααφέρουµε µερικούς: i. Να θεωρήσουµε πως αήκου στο πληθυσµό όλοι οι σπουδαστές που είχα δικαίωµα εγγραφής, αεξάρτητα από το εά γράφτηκα ή, ακόµη περισσότερο, από το εά φοίτησα καοικά, µηδείζοτάς τους σε όσες εξετάσεις δε προσήλθα. ii. Να συµπεριλάβουµε στη έρευά µας µόο τους σπουδαστές που συέχισα α ααεώου καοικά τη εγγραφή τους µέχρι τη ηµέρα της έρευας, εκτός βέβαια κι' εά αποφοίτησα παίροτας το πτυχίο τους. iii. Να συµπεριλάβουµε στο πληθυσµό µόο όσους συµµετέχου καοικά στις προόδους και στις τελικές εξετάσεις (και όσους βέβαια πήρα πτυχίο). Είαι προφαές πως τα τελικά συµπεράσµατα επηρεάζοται σηµατικά από το τρόπο ορισµού του πληθυσµού της έρευας. Για το λόγο αυτό η τελική επιλογή πρέπει α γίει µε ιδιαίτερη προσοχή. Παράλληλα κατά τη διατύπωση τω τελικώ συµπερασµάτω θα πρέπει α "αποδεικύεται" η ορθότητα της επιλογής που έκαε ο ερευητής σχετικά µε τη ορισµό του πληθυσµού. Συχά, µάλιστα, σε Στατιστικές έρευες ααφέροται και κάποια αποτελέσµατα µε διαφορετικούς πληθυσµούς, έτσι ώστε α µπορεί ο ααγώστης α εξάγει τα συµπεράσµατά του, ειδικά όσο αφορά στη αµεροληψία της Στατιστικής Έρευας. Ας υποθέσουµε τώρα πως έχουµε κάει τη επιλογή του πληθυσµού. Έχουµε δηλαδή ορίσει το γεικό σύολο της έρευάς µας. Τα στοιχεία αυτού του συόλου τα οοµάζουµε δειγµατικές µοάδες και αποτελού το βασικό λιθαράκι της Στατιστικής µας. 4

25 Ορισµός Β.3. Τα στοιχεία του πληθυσµού, τα µικρότερα δηλαδή κοµµάτια που αποτελού το πληθυσµό, τα οοµάζουµε δειγµατικές µοάδες. Βέβαια σε αρκετές Στατιστικές έρευες οι δειγµατικές µοάδες δε είαι απλά στοιχεία, αλλά σύολα στοιχείω. Εά για παράδειγµα ερευούµε τη ααλογία αυτοκιήτω αά οικογέεια, τότε η δειγµατική µοάδα είαι η οικογέεια. Θα πρέπει όµως στη περίπτωση αυτή α αποφευχθεί η επικάλυψη αάµεσα στις διάφορες δειγµατικές µοάδες. ε θα πρέπει δηλαδή α αήκει το ίδιο άτοµο σε δύο διαφορετικές οικογέειες. Β..4. Mέθοδοι δειγµατοληψίας. Το πρόβληµα που ατιµετωπίζει η κάθε µέθοδος δειγµατοληψίας είαι η εκλογή εός δείγµατος µ-στοιχείω από έα πληθυσµό -στοιχείω. Οι διάφορες µέθοδοι δειγµατοληψίας, οι διαφορετικοί τρόποι δηλαδή µε τους οποίους µπορούµε α εκλέξουµε έα δείγµα µ- στοιχείω, από τα του πληθυσµού, στηρίζοται στις ατίστοιχες µεθόδους της Συδυαστικής Αάλυσης. Έτσι ξεχωρίζουµε τη δειγµατοληψία µε επαάθεση και τη δειγµατοληψία χωρίς επαάθεση. Μάλιστα, η δειγµατοληψία χωρίς επαάθεση χωρίζεται σε δύο έες κατηγορίες: σ'αυτή όπου µας εδιαφέρει η σειρά µε τη οποία εκλέγοται τα στοιχεία του δείγµατος, και σ'αυτή όπου η σειρά εκλογής δε µας εδιαφέρει. ειγµατοληψία ειγµατοληψία µε επαάθεση ειγµατοληψία χωρίς επαάθεση Εκλογή τω στοιχείω του δείγµατος µε σειρά Εκλογή τω στοιχείω του δείγµατος χωρίς σειρά Πρόκειται για µεθόδους που έχου σα σηµείο εκκίησης τις έοιες της Συδυαστικής Αάλυσης, τους Συδυασµούς, τις ιατάξεις και τις επααληπτικές ιατάξεις, οι οποίες ααφέροται στο κεφάλαιο της Συδυαστικής Αάλυσης. Στη συέχεια τω σηµειώσεω αυτώ, για α διευκολύουµε το ααγώστη, θα συµβολίζεται, όπου αυτό είαι δυατό, µε το το πλήθος τω στοιχείω του πληθυσµού και µε το µ το πλήθος τω στοιχείω εός δείγµατος. 5

26 α) ειγµατοληψία µε επαάθεση. Κατά τη δειγµατοληψία µε επαάθεση επιλέγουµε έα στοιχείο του πληθυσµού, το καταγράφουµε και το επαατοποθετούµε στο πληθυσµό. Έτσι είαι δυατό α επαεκλέξουµε στο δείγµα δύο ή και περισσότερες φορές το ίδιο στοιχείο. Ο τρόπος αυτός δειγµατοληψίας συδέεται άµεσα µε τις επααληπτικές διατάξεις (Συδυαστική Αάλυση). Εδώ θα δεχθούµε πως το πλήθος τω διαφορετικώ δειγµάτω τω µ στοιχείω, τα οποία δηµιουργούται κατά τη περίπτωση αυτή από έα πληθυσµό στοιχείω, δίεται από τη σχέση (τύπος τω επααληπτικώ ιατάξεω τω στοιχείω αά µ): Πλήθος δειγµάτω = µ (= ε µ ) Η πρώτη επαφή µε τη έοια της δειγµατοληψίας αυτής, συχά ξείζει το ααγώστη, ο οποίος θεωρεί πως η εξέταση του ίδιου στοιχείου του πληθυσµού (της ίδιας δειγµατικής µοάδας) για περισσότερες από µία φορές είαι περιττή. Όµως πρόκειται για µία ιδιαίτερα χρήσιµη µέθοδο δειγµατοληψίας, µια και παρουσιάζει ευκολίες στη Μαθηµατική της συστηµατοποίηση, αλλά και ευκολία στη υλοποίησή της. Έτσι λοιπό εργάζοται πολλές διαφηµιστικές εταιρείες, που χρησιµοποιού το τηλεφωικό κατάλογο κατά τρόπο ετελώς τυχαίο, µε αποτέλεσµα α υπάρχει η πιθαότητα α τηλεφωήσου στο ίδιο άτοµο περισσότερες από µια φορές. Βέβαια το πλήθος τω συδροµητώ είαι τέτοιο, που η περίπτωση διπλού τηλεφωήµατος στο ίδιο άτοµο είαι αρκετά απίθαη. β) ειγµατοληψία χωρίς επαάθεση. Κατά τη δειγµατοληψία χωρίς επαάθεση επιλέγουµε έα δείγµα στο οποίο δε είαι δυατό α εµφαιστεί δύο φορές το ίδιο στοιχείο του πληθυσµού. Το ερώτηµα που τίθεται τώρα είαι εά θα ληφθεί υπ'όψη η σειρά µε τη οποία εκλέγοται στο δείγµα τα µ στοιχεία του, ή εά θα αγοηθεί. Για το λόγο αυτό διακρίουµε τις παρακάτω δύο υποπεριπτώσεις: (i) ειγµατοληψία έα προς έα χωρίς επαάθεση. Πρόκειται για τη δειγµατοληψία κατά τη οποία εδιαφερόµαστε για τη σειρά µε τη οποία θα επιλεγού τα µ στοιχεία του δείγµατος (βέβαια δε είαι δυατό α εµφαισθεί στο δείγµα δύο φορές το ίδιο στοιχείο, µια και µιλάµε για δειγµατοληψία χωρίς επαάθεση). Ο τρόπος αυτός δειγµατοληψίας συδέεται άµεσα µε τις διατάξεις. Θα δεχθούµε και πάλι πως το πλήθος τω διαφορετικώ δειγµάτω τω µ στοιχείω, τα οποία δηµιουργούται κατά τη περίπτωση αυτή από έα πληθυσµό στοιχείω, δίεται από τη σχέση (που είαι γωστή σα τύπος τω ιατάξεω τω στοιχείω αά µ): Πλήθος δειγµάτω µ! = Pµ = = ( µ+ )( µ+ )...( )( )! ( µ ) όπου το σύµβολο (!), όπως είδαµε, οοµάζεται παραγοτικό, µπορεί α ακολουθεί έα Φυσικό αριθµό και συµβολίζει το παρακάτω πολλαπλό πολλαπλασιασµό:! = **3*...*(-)* 6

27 (ii) ειγµατοληψία χωρίς σειρά επιλογής τω στοιχείω του δείγµατος. Πρόκειται για τη δειγµατοληψία κατά τη οποία δε εδιαφερόµα-στε για τη σειρά µε τη οποία θα επιλεγού τα µ στοιχεία του δείγµατος. Για άλλη µια φορά θα δεχθούµε πως το πλήθος τω διαφορετικώ δειγµάτω τω µ στοιχείω, που δηµιουργούται στη περίπτωση αυτή, από έα πληθυσµό στοιχείω, δίεται από το τύπο τω συδυασµώ τω στοιχείω αά µ: Πλήθος δειγµάτω = C µ! = = µ! ( µ )! Β..5. Παράδειγµα: Θέλουµε α υπολογίσουµε το πλήθος L τω δειγµάτω τω 4 στοιχείω που δηµιουργούται από έα πληθυσµό 0 στοιχείω, ότα: (i) δε µας εδιαφέρει η σειρά εκλογής του δείγµατος, (ii) µας εδιαφέρει η σειρά εκλογής και (iii) η δειγµατοληψία γίεται µε επαάθεση. i) το πλήθος L δίεται από το τύπο τω συδυασµώ: L = C 0 4 = 0 = 4 0 = 4 0! = 4!(0 4)! * 3* 4 * 5* 6* 7 * 8* 9 * 0 ( * 3* 4)( * 3* 4 * 5* 6) = 7 * 8 * 9 * 0 * 3* 4 = 0 ii) το πλήθος L δίεται από το τύπο τω διατάξεω: L = 0 4 = 0! 0! * 3* 4 * 5* 6 * 7 * 8 * 9 * 0 = = = 7*8*9*0 = 5040 ( 0 4)! 6! * 3* 4 * 5* 6 iii) το πλήθος L δίεται από το τύπο τω επααληπτικώ διατάξεω: L = ε 0 4 = 0 4 = 0000 Παρατήρηση: Οι περισσότεροι σύγχροοι υπολογιστές τσέπης (κοµπιουτεράκια) υπολογίζου το!, µέχρι κάποιες τιµές του (συήθως µέχρι το =69). Μάλιστα κάποια απ'αυτά υπολογίζου κατ'ευθεία τους Συδυασµούς και τις ιατάξεις. Τα πλήκτρα που συµβολίζου τις πράξεις αυτές είαι τα: ncr... για τους Συδυασµούς τω n στοιχείω αά r και npr... για τις ιατάξεις τω n στοιχείω αά r 7

28 Β..6. Οργάωση της δειγµατοληψίας. (i) Τυχαία απλή δειγµατοληψία. Έας πολύ σηµατικός παράγοτας στη δειγµατοληψία είαι η εκλογή τω στοιχείω του δείγµατος κατά τρόπο τυχαίο, έτσι ώστε όλα τα στοιχεία του πληθυσµού ά χου τη ίδια πιθαότητα (9) επιλογής τους στο δείγµα. Συχά επιδιώκεται α απαλοιφθεί, όσο είαι δυατό, η επίδραση τω απόψεω του ερευητή, στη επιλογή του δείγµατος. Τότε επιχειρείται η εκλογή τω στοιχείω του δείγµατος µε τρόπο ετελώς τυχαίο. Η δειγµατοληψία αυτή λέγεται τυχαία. Η τυχαία δειγµατοληψία επιτυγχάεται µε τη βοήθεια τω πιάκω τυχαίω αριθµώ. Πολύ συχά όµως χρησιµοποιούµε τις συαρτήσεις παραγωγής τυχαίω αριθµώ που υπάρχου σ'όλες τις γλώσσες προγραµµατισµού Ηλεκτρ. Υπολογιστώ. Οι συαρτήσεις αυτές παράγου ψευδοτυχαίους αριθµούς, οι οποίοι όµως επαρκού για τη κάλυψη τω συηθισµέω προβληµάτω της Στατιστικής. Όµως και σε πολλούς από τους υπολογιστές τσέπης υπάρχει εσωµατωµέη µία συάρτηση ψευδοτυχαίω αριθµώ (random-function), που συµβολίζεται συήθως µε τα αρχικά RND#. Η συάρτηση αυτή δίει τριψήφιους δεκαδικούς αριθµούς από το έως το (ii) Μή τυχαία δειγµατοληψία. Συχά η δειγµατοληψία καθοδηγείται, ε µέρει ή εξ ολοκλήρου, από το ερευητή, ο οποίος αποφασίζει για το ποια άτοµα του πληθυσµού θα συµπεριληφθού στο δείγµα. Μία Στατιστική έρευα που στηρίζεται σε µη τυχαία δειγµατοληψία δε µπορεί α διεκδικεί δάφες αµεροληψίας. Συχά όµως, εφ'όσο ο ερευητής έχει καλή γώση του προβλήµατος που ατιµετωπίζει, και έχει τη διάθεση α παραµείει ατικειµεικός, τότε η µη τυχαία δειγµατοληψία µπορεί α δώσει ακριβέστερα αποτελέσµατα από τη τυχαία. (iii) ειγµατοληψία κατά στρώµατα. Κατά τη έρευα της συµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής στα στοιχεία εός πληθυσµού, είαι πολύ συχός ο χωρισµός του πληθυσµού σε στρώµατα. Η διαίρεση αυτή του πληθυσµού γίεται µε βάση τη πεποίθεσή του ερευητή πως η συµπεριφορά της τυχαίας µεταβλητής στα άτοµα του κάθε στρώµατος (στο εσωτερικό του κάθε στρώµατος) είαι ιδιαίτερα οµογεής. Η οµοιογεής συµπεριφορά µιας τυχ. µεταβλητής στο εσωτερικό τω στρωµάτω εός πληθυσµού, είαι έα σηµατικότατο ζήτηµα και αξίζει α το εξετάσουµε µε τη βοήθεια κάποιω παραδειγµάτω. ο) Ερευώτας τη αξιοπιστία τω αυτοκιήτω κάποιω µεγάλω εργοστασίω, θα πρέπει α χωρίσουµε το συολικό στόλο τω αυτοκιήτω σε στρώµατα αάλογα µε το ύψος της τιµής αγοράς τους. Βέβαια, συχότερος είαι ο διαχωρισµός τους στις γωστές 9 Ο όρος «Πιθαότητα» χρησιµοποιείται εδώ µε τη καθηµεριή του σηµασία. 8

29 κατηγορίες: µίι, σούπερ-µίι, µεσαία, µεγάλα, πολυτελή και σπορ. Προφαώς θεωρούµε πως η συχότητα αλλά και σηµατικότητα τω εµφαιζόµεω βλαβώ εξαρτάται ιδιαίτερα από τη κατηγορία κάθε αυτοκιήτου. Όµως, η εµπειρία δείχει πως σωστότερος είαι ο διαχωρισµός σε στρώµατα µε βάση µόο τη τιµή, µια και στη ίδια κατηγορία (π.χ. στα µεσαία) συατά καείς και φθηά και ακριβά αυτοκίητα. ο) Συχά, στις πολιτικές ηµοσκοπήσεις ο πληθυσµός χωρίζεται σε στρώµατα, µε βάση το είδος της εργασίας τω ατόµω του πληθυσµού και τη οικοοµική τους άεση. Αυτός ο διαχωρισµός δε υποοεί πως τα εργατικά στρώµατα ψηφίζου αποκλειστικά τη Αριστερά, εώ το στρώµα τω οικοοµικά προοµιούχω αποκλειστικά τη εξιά (0). Απλώς αποδέχεται πως το ποσοστό της Αριστεράς στις διάφορες εργατικές συοικίες είαι αρκετά παραπλήσιο, και ποιοτικά διαφορετικό µε το ατίστοιχο ποσοστό στα πλούσια προάστια... 3ο) Η µελέτη του ύψους τω εηλίκω µιας πόλης, προφαώς στηρίζεται στη διάκριση δύο βασικώ στρωµάτω, τω γυαικώ και τω αδρώ. 4ο) Ερευώτας το πρόβληµα της κοιωικής προέλευσης τω παιδιώ, που πέτυχα στις Παελλήιες εξετάσεις για τη τριτοβάθµια εκπαίδευση, διαπιστώουµε πως ο διαχωρισµός τους σε στρώµατα µε βάση τη οικοοµική επιφάεια τω γοέω τους, δε είαι ο καλύτερος δυατός. Ατίθετα, ορθότερος φαίεται ο διαχωρισµός τους σε στρώµατα µε βάση το µορφωτικό επίπεδο τω γοέω, µια και παρατηρήθηκε πως το κοιωικό στρώµα, του οποίου τα παιδιά έχου τη µεγαλύτερη επιτυχία στις εξετάσεις, είαι αυτό τω διαοουµέω. Ο χωρισµός του πληθυσµού µιας Στατιστικής µελέτης σε στρώµατα είαι σχεδό υποχρεωτικός στις περισσότερες περιπτώσεις, εά θέλουµε τα αποτελέσµατα µιας δειγµατοληπτικής έρευας α αι αξιόπιστα. Προϋποθέτει όµως µια σηµατική προεργασία και τη καλή γώση του προβλήµατος που µας απασχολεί. Τέλος πρέπει α προσέξουµε µια και τα στρώµατα που θα δηµιουργήσουµε πρέπει: α) α µη αλληλεπικαλύπτοται, β) η έωσή τους α δίει το σύολο του πληθυσµού. Κατά το διαχωρισµό, φροτίζουµε α σχηµατίσουµε στρώµατα όσο το δυατό πιο οµογεή ως προς τη τυχαία µεταβλητή που εξετάζουµε. Στη συέχεια εκλέγουµε έα µέρος του δείγµατος από το κάθε στρώµα, προσπαθώτας α διατηρήσουµε τη ααλογία: µε στόχο δηλαδή α διατηρείται η ααλογία τω στρωµάτω του πληθυσµού και στο εσωτερικό του δείγµατος. 0 Ας µας συγχωρεθεί η χρήση τω αδόκιµω όρω εξιά και Αριστερά, στο πρόχειρο αυτό παράδειγµα. 9