6 Κμάνσεις Κύμα ορισμός Είδη κμάνσεων Οδεύοντα και στάσιμα κύματα Μαρία Κατσικίνη katsiki@auth.gr users.auth.gr/katsiki Σχέση δύναμης - κίνησης Δύναμη σταθερή εφαρμόζεται σε σώμα Δύναμη ανάογη της αομάκρνσης (F -kx) εφαρμόζεται σε σώμα Το σώμα εκτεεί εθύγραμμη ομαά ειταχνόμενη κίνηση Το σώμα εκτεεί αρμονική ταάντωση Τααντώσεις ηγές κμάνσεων Κύμα Διαταραχή ο μεταφέρει ενέργεια αό το ένα σημείο το μέσο σε ένα άο χωρίς να μεταφέρει μάζα
Διάδοση ενέργειας Η μεταφορά ενέργειας σε ένα μέσο όο διαδίδεται ένα κύμα γίνεται με τη βοήθεια των αηειδράσεων μεταξύ των μορίων / ατόμων. Μηχανικά κύματα Διαδίδονται διαμέσο της ύης.χ. ο ήχος Ηεκτρομαγνητικά κύματα Διαδίδονται και στο κενό.χ. το φως Μηχανικά κύματα:. Πηγή ο ροκαεί τη διαταραχή / ταάντωση. Μέσο ο «διαταράσσεται». Αηείδραση μεταξύ των τμημάτων / μορίων το μέσο Η ταχύτητα διάδοσης στο μέσο είναι χαρακτηριστική το μέσο k Καθορίζεται αό την εαστικότητά το και την αδράνεια των ατόμων / μορίων Μηχανικά κύματα Κατά τη διάδοση μίας κύμανσης σε ένα μέσο τα σωμάτια της ύης δεν εκτεούν μεταφορική κίνηση αά τααντώσεις γύρω αό τη θέση ισορροίας Το είδος της ταάντωσης ο θα εκτεέσον καθορίζεται αό τη δύναμη η οοία αράγει το κύμα. Αρμονική δύναμη αράγει αρμονική ταάντωση. Η διαταραχή διαδίδεται όγω των δνάμεων εαναφοράς ο ασκούνται μεταξύ γειτονικών μορίων ο τείνον να τα εαναφέρον στη θέση ισορροίας
Εγκάρσια διαμήκη κύματα Εγκάρσιο κύμα Κάθε τμήμα της χορδής τααντώνεται κάθετα στη διεύθνση διάδοσης το κύματος Διάμηκες κύμα Κάθε τμήμα το εατηρίο τααντώνεται αράηα στη διεύθνση διάδοσης το κύματος Εγκάρσια διαμήκη κύματα Στα στερεά διαδίδονται και διαμήκη και εγκάρσια κύματα Η ταχύτητα διάδοσης των διαμηκών και εγκαρσίων κμάτων είναι διαφορετική στοίδιομέσο Στα γρά και τα αέρια διαδίδονται μόνο διαμήκη κύματα.χ. ήχος
Εγκάρσια διαμήκη κύματα Στα στερεά διαδίδονται και διαμήκη και εγκάρσια κύματα Σεισμικά κύματα secondary (4-5k/s) priary (7-8k/s) Στα γρά και τα αέρια διαδίδονται μόνο διαμήκη κύματα Διαφορά χρόνο σε διαφορετικούς τόος είκεντρο σεισμού Αότημεέτητωνσεισμικώνκμάτωναμβάνομεηροφορίεςγια τη δομή των ετρωμάτων και το εσωτερικό της Γης. www.astronoynotes.co Αρχή της εαηίας Όταν σε ένα μέσο διαδίδονται δύο ή ερισσότερα οδεύοντα κύματα, η οική διαταραχή είναι άθροισμα* τον εί μέρος διαταραχών... δηαδή το ένα κύμα διαερνάτοάοχωρίςνα διαταράσσεται * Ισχύει για κμάνσεις μικρού άτος
Αρμονικά οδεύοντα κύματα x0 x Το χέρι αναγκάζει ένα αρχικά τεντωμένο νήμα να κινηθεί (στο σημείο x0) αρμονικά y( 0) Acosωt y( 0, t) Acosωt θέση x χρονική στιγμή t Ποιά είναι η μετατόιση (y) το κάθε σημείο το νήματος (x) σε οοιαδήοτε χρονική στιγμή t; Αρμονικά οδεύοντα κύματα Εξίσωση κύματος P x P A δύο στιγμιότα x0 Θέση (x) το x σημείο P τη To κύμα οδεύει με ταχύτητα χρονική στιγμή t Θέση (x0) το σημείο P τη χρονική στιγμή t Σημείο της κματομορφής με σταθερή αομάκρνση (σταθερή φάση).χ. ya Η χρονική στιγμή t διαφέρει αό την t κατά x/ t t + x ( t ) y (0, t ) A cos ω
Αρμονικά οδεύοντα κύματα Εξίσωση κύματος P x P A x0 x ( t ) y (x, t) y(0, t ) A cos ω x y(0, t ) A cos ω t t t x y(x, ω k t) A cos ω ( t kx) y (x, t) Acos ω + k κματάριθμος (όγος δύο ταχτήτων) ( t kx) Διάδοση ρος τ αριστερά Αρμονικά οδεύοντα κύματα y Στιγμιότο το κύματος y Α άτος το κύματος Τ x Ταάντωση σγκεκριμένο σημείο γύρω αό τη θέση ισορροίας t ταχύτητα κύματος (ταχύτητα φάσης): ταχύτητα με την οοία κινούνται οι ειφάνειες ίσης φάσης.χ. όρη T Μήκος κύματος: αόσταση ο διανύει το κύμα σε χρόνο μιας εριόδο Περίοδος
Αρμονικά οδεύοντα κύματα Εξίσωση κύματος T k ω T Κματάριθμος: εκφράζει όσες φορές στη μονάδα το μήκος το κύμα έχει ίδια φάση [μονάδες rad/, -, c - ] Κκική σχνότητα: εκφράζει όσες φορές στη μονάδα το χρόνο το κύμα έχει ίδια φάση [μονάδες rad/sec, sec - ] ω k T T ω k Άσκηση Ένας ψαράς αρατηρεί ότι η βάρκα το κινείται άνω κάτω εριοδικά όγω των κμάτων στην ειφάνεια το νερού. Ααιτούνται sec ώστε η βάρκα να φτάσει αό το ανώτατο στο κατώτατο σημείο, μια οική αόσταση 0.8. Ο ψαράς βέει ότι οι κορφές των κμάτων αέχον 8. α) Πόσο γρήγορα ταξιδεύον τα κύματα; β) Πόσο είναι το άτος το κάθε κύματος; α) ω rad / s T k rad / 8 4 ω 4 k s 4 0.8 A 0. 4 β) 0.8 8
Θεμειώδης εξίσωση της κματικής T f T s f s (Hz) Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται αό το μέσο στο οοίο διαδίδεται Η σχνότητα το κύματος δεν εξαρτάται αό το μέσο Το μήκος κύματος εξαρτάται αό το μέσο στο οοίο διαδίδεται το κύμα ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΟΣ y( x, t) k Acos ω T ( ωt kx) f f T Μονάδες: k ω Τ f rad/ rad/s s Hz Άσκηση Αρμονικό ημιτονοειδές κύμα άτος Α και σχνότητας 6500Hz διαδίδεται κατά τη διεύθνση x με σταθερή ταχύτητα 0/s. Να γραφεί η εξίσωσή το αν για t0 και x0 είναι ya/. διάδοση κατά -x y( x, t) Acos kx ( ω t + +ϕ) ω f.4 6500 067rad / s k ω 6500 0 00 [ rad / ] Για t0 και x0: ya/ y(0,0) y(x, t) A Acosϕ cosϕ ϕ 60 A cos 067t + 4.6x + y(x, t) A cos 6500t + 50x + 6
Αρμονικά οδεύοντα κύματα y Εξίσωση κύματος x0 y(x, t) A cos ω ( t kx) y(x, t) Ταχύτητα φάσης: ταχύτητα διάδοσης ενός σημείο σταθερής φάσης (.χ. μιας κορφής) Ταχύτητα το κύματος Ταχύτητα ταάντωσης ενός σημείο γύρω αό τη θέση ισορροίας x φάση ( ω t +ϕ) A cos kx αρχική φάση Φάση Φ (x, t) ωt kx + ϕ σταθ Παράγωγος ως ρος το χρόνο: Φ t 0 ω k dx dt ω k dx dt σημεία σταθερής φάσης 0 Αρμονικά οδεύοντα κύματα y Εξίσωση κύματος x y(x, t) A cos ω ( t kx) Εγκάρσια ταχύτητα : ταχύτητα ταάντωσης ενός σημείο γύρω αό τη θέση ισορροίας y y t Aωsin ( ωt kx) ax y Aω σε σημεία y0 Εγκάρσια ειτάχνση : ειτάχνση ενός σημείο γύρω αό τη θέση ισορροίας α y t y Aω cos ( ωt kx) α ax y Aω σε σημεία yax±a
Άσκηση Αρμονικό ημιτονοειδές κύμα μήκος κύματος.00 και άτος 0.00 διαδίδεται σε χορδή με ταχύτητα.00/s ρος τα δεξιά. Για t0 το αριστερό άκρο της χορδής βρίσκεται σε y0. Να βρεθούν: (α) η σχνότητα και η κκική σχνότητα, (β) ο κματάριθμος, (γ) η κματοσνάρτηση (εξίσωση κύματος). Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης (δ) γιατοαριστερόάκροτηςχορδήςκαι(ε) για σημείο ο αέχει.5 δεξιά το αριστερού άκρο. Ποια είναι η μέγιστη ταχύτητα το κάθε σημείο της χορδής;.00 Σχνότητα: f f 0.500Hz.00 rad Κκική σχνότητα: ω 0.500.4 sec Κματάριθμος: k rad. 4 Κματοσνάρτηση: y(x, t) Asin ( ωt kx) y( x, t) [] 0.00sin(.4t[sec].4x[] ) Εξ. κίν. αριστερού άκρο: y( x, t) 0.00sin(. 4t) Εξ. κίν. αρ. άκρο+.5: y( x, t) 0.00sin(.4t.4.5) 0.00sin(.4t 4.7) Μέγιστη ταχύτητα: ax A ω 0.00.4 0.4 sec Είεδο σφαιρικό κύμα Μέτωο κύματος : γεωμετρικός τόος των σημείων ίσης φάσης ισοφασική ειφάνεια Φ (x, t) ωt kx + ϕ σταθ Όατασημείατης ισοφασικής ειφάνειας δέχονται την ίδια διαταραχή μια ορισμένη χρονική στιγμή ακτίνα Εθεία κάθετη στο μέτωο κύματος (για μέσο ισότροο και ομοιογενές) ακτίνα είεδο κύμα δείχνει τη διεύθνση διάδοσης το κύματος σφαιρικό κύμα
Άσκηση Τα ηχητικά κύματα αό ένα ηχείο διασκορίζονται σχεδόν ισότροα ρος όες τις κατεθύνσεις όταν τα μήκη κύματος είναι μεγάα σγκριτικά με τη διάμετρο το ηχείο. Όταν το μήκος κύματος είναι μικρό σχετικά με τη διάμετρο το ηχείο μεγάο μέρος της ηχητικής ενέργειας εκέμεται ρος τα μρος. Για ηχείο διαμέτρο 0c οογίστε τη σχνότητα για την οοία το μήκος κύματος των ηχητικών κμάτων στον αέρα (44/s ) είναι: α) 0 φορές μεγαύτερο αό τη διάσταση το ηχείο β) ίσο ρος τη διάμετρο το ηχείο γ) /0 της διαμέτρο το ηχείο 44 α) 0 0 00c f f 7Hz ~σφαιρικό κύμα 44 β) 0 c 0. f f 70Hz 0. 0 44 β) c 0. 0 f f 7. MHz 0 0.0 ~είεδο κύμα Άσκηση Κύμα έχει σχνότητα f500hz και ταχύτητα 0/s. α) Πόσο αέχον δύο σημεία με διαφορά φάσης 60 ο για σγκεκριμένη χρονική στιγμή; β) Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο αομακρύνσεων σ ένα ορισμένο σημείο σε στιγμές ο διαφέρον κατά 0 - sec; α) Φάση σημείο στη θέση : Φάση σημείο στη θέση : ω t kx +ϕ ω t kx +ϕ ΔΦ ωt kx x x + ϕ ( ωt kx + ϕ) k( x x ) f 0 500 0 000 0. β) Φάση σημείο τη χρονική στιγμή t : ω t kx + ϕ Φάση σημείο τη χρονική στιγμή t : ω kx + ϕ t x x k ( ωt kx + ϕ) ω( t t ) 500 ΔΦ ωt kx + ϕ 0
Διάδοση σε μέσο ο έχει όρια Ανάκαση σε εεύθερο άκρο - Παμός διαδίδεται σε τεντωμένη χορδή με εεύθερο άκρο (δεμένο σε δακτύιο ο κινείται χωρίς τριβές). Φτάνει στο εεύθερο άκρο Η χορδή ασκεί δύναμη στο δακτύιο ο δακτύιος ειταχύνεται Όταν αομακρνθεί ο δακτύιος σε αόσταση ίση με το άτος το αμού, κινείται ρος την αντίθετη κατεύθνση ό την είδραση της τάσης της χορδής Δημιοργείται αμός ο διαδίδεται ρος την αντίθετη κατεύθνση (ανάκαση κύματος) Ανακώμενο και διαδιδόμενο κύμα έχον διαφορά φάσης 0 ο στο εεύθερο άκρο Διάδοση σε μέσο ο έχει όρια Ανάκαση σε σταθερό άκρο - Παμός διαδίδεται σε τεντωμένη χορδή με ακτωμένο άκρο (έστω στερεωμένο με ένα καρφί). Φτάνει στο σταθερό άκρο (καρφί) το οοίο δεν μορεί να κινηθεί Γ νόμος Newton: ηχορδήασκείδύναμη στο καρφί το καρφί ασκεί ίση και αντίθετη δύναμη στη χορδή Δημιοργείται αμός ο διαδίδεται ρος την αντίθετη κατεύθνση (ανάκαση κύματος) Αρχή εαηίας ανακώμενο και διαδιδόμενο κύμα έχον διαφορά φάσης 80 ο στο σταθερό άκρο
Στάσιμα κύματα Ημιτονοειδής διαταραχή διαδίδεται σε χορδή με ακτωμένα άκρα Το κύμα σνεχώς ανακάται στα δύο άκρα Εαηία κμάτων y t) y ( t) + y ( ) ( t Α Α ανακώμενο y t) Asin ωt kx ( ( ) ροσίτον y t) Asin ωt + kx ( ( ) Ίδια σχνότητα Ίδιο άτος Ίδια ταχύτητα ω/k Διαφορά φάσης 80 ο για t0 και x0 y0 (ακτωμένο άκρο) Στάσιμα κύματα y ( t) Asin ω ( t kx) ( t kx) y t) Asin ω + ( y(t) + y (t) Asin( ωt + kx) Asin( ωt kx) [ ( ωt + kx) sin( ωt kx) ] ( ωt cos kx + cosωt sin kx sin ωt cos kx + cosωt sin kx) y(t) A sin A sin Asin kx cosωt Εξίσωση στάσιμο κύματος y(x, t) Asin kx cosωt Πάτος χωρική μεταβοή Φάση εξάρτηση μόνο αό το χρόνο ( A ± B) sin Acos B cos Asin B sin ±
Στάσιμα κύματα y( t) Asin kxcosωt αρμονική ταάντωση Θέσεις μέγιστο άτος: kx ( + ) x ( + ) x ( + ) 4 ΚΟΙΛΙΑ Θέσεις μηδενισμού το άτος: kx n x n x n ΔΕΣΜΟΣ Στάσιμα κύματα / δεσμός Α στάσιμο κύμα κοιία
Άσκηση Δύο κύματα διαδίδονται σε χορδή με ακτωμένα τα δύο άκρα. Ένα κινείται στην κατεύθνση +x με ταχύτητα 84.0/s, έχει άτος 5 και σχνότητα 0Hz. Το άο είναι ίδιο εκτός το ότι διαδίδεται στην κατεύθνση x. Το κύμα ο ροκύτει είναι εαηία των δύο ατών κμάτων. (α) Να βρεθούν τα σημεία της χορδής ο δεν κινούνται καθόο οθέτοντας ότι ένα εξ ατών είναι στο x0, (β) να βρείτε την κματοσνάρτηση (γ) να βρείτε το άτος στα σημεία μέγιστης ταάντωσης (α) σημεία ο δεν κινούνται καθόο δεσμοί x(/) 84 f 0.7 Θέσεις δεσμών: 0, 0.5, 0.7 f 0 (β) κματοσνάρτηση: y Asin( kx) cos( ωt) 6.8 k 0.7 y [] 0.0sin rad 8.97 ( 8.97x[] ) cos( 754t[sec] ) ω f 6.8 0 rad 754 sec (γ) άτος στα σημεία μέγιστης ταάντωσης: A 0.0 Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή Μήκος χορδής: L άκρα χορδής δεσμοί σνθήκη δημιοργίας στάσιμο κύματος σε χορδή μήκος L Σχνότητες ταάντωσης της χορδής: Θεμειώδης σχνότητα f f L Ανώτερες αρμονικές f f L (,,4 ) f L Ιδιοσχνότητες ταάντωσης της χορδής
Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή Μία χορδή μορεί να άεται τατόχρονα στη θεμειώδη σχνότητα και σε όες τις αρμονικές της L θεμειώδης η αρμονική η αρμονική 4 η αρμονική Σχνότητα f f f f f 4 f Μήκος κύματος L L L L L Στάσιμα κύματα σε τεντωμένη χορδή Ηχροιάτοήχοοαράγεταιαόδονούμενηχορδήκαθορίζεταιαότη σχετική ένταση των αρμονικών ως ρος τη θεμειώδη σχνότητα 5 0 6 f 440Hz άτος 5 0-5 άτος 4-0 -5 0 4 6 8 0 5 t (sec) 0 6 0.5.0.5.0 v(khz) 0 άτος 5 0-5 άτος 4-0 -5 0 4 6 8 0 t (sec) 0 0.5.0.5.0 v (khz)
Ταχύτητα κύματος σε χορδή ταχύτητα διάδοσης το ήχο σε χορδή F μ δύναμη με την οοία τείνεται η χορδή γραμμική κνότητα χορδής μάζα χορδής μ M L μήκος χορδής Άσκηση Η χαμηότερη σχνότητα ο μορεί να αράγει χορδή μήκος είναι 40Hz, όταν τείνεται με μια δύναμη 0Ν. Ποια είναι η μάζα της χορδής; Θεμειώδης σχνότητα: 40 Hz Μήκος κύματος θεμειώδος αρμονικής: Ταχύτητα διάδοσης: f 4 40 60 sec L L 4 Γραμμική κνότητα: F F μ μ 0 60 80 kgr Μάζα χορδής: M μ M μ L L 80 0.05kgr 5gr
Άσκηση Σώμα μάζας Μ, ο είναι δεμένο με μία χορδή, ισορροείάνωσεκεκιμένο είεδο κίσης θ. Το μήκος της χορδής είναι L και η μάζα της μορεί να θεωρηθεί ού μικρή σε σχέση με τη μάζα Μ. Πόσος χρόνος ααιτείται για να διαδοθεί ένα εγκάρσιο κύμα αό το ένα άκρο της χορδής στο άο; W Χρόνος ο ααιτείται για να διαδοθεί ένα κύμα: Ταχύτητα διάδοσης κύματος: F μ Mgsin L θ t L Άρα: t L L LMgsin θ L LMgsin θ L Mgsin θ Άσκηση Τα δύο άκρα εαφριάς χορδής μάζας 0gr και μήκος L είναι στερεωμένα σε δύο τοίχος ο αέχον αόσταση D. Δύο σώματα μάζας Μkg κρέμονται όως φαίνεται στο σχήμα. Πόσος χρόνος ααιτείται ώστε ένας αμός να διαδοθεί αό το σημείο Α στο Β; (g9.8 /s )