1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για τον πολλαπλασιασμό και την πρόσθεση ισχύουν οι ιδιότητες που αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα, οι οποίες αποτελούν την άση του αλγερικού λογισμού. Ιδιότητες Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός αντιμεταθετική α+ = +α α = α προσεταιριστική α+( +γ ) = ( α+ )+γ α. (. γ ) = ( α. ). γ επιμεριστική α. ( + γ ) = α. + α. γ ουδέτερο α + 0 = α α. 1 = α αντίθετο α + (-α ) = 0 α. 1 α = 1, α 0 Ο αριθμός 0 λέγεται και ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, ενώ ο αριθμός 1 λέγεται ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Οι αριθμοί α και α, που έχουν άθροισμα 0, λέγονται αντίθετοι αριθμοί, ενώ ο α και 1/α, με α 0, που έχουν γινόμενο την μονάδα, λέγονται αντίστροφοι αριθμοί. Η αντιμεταθετική και προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης έχουν σαν συνέπεια, κάθε άθροισμα με περισσότερους από δύο προσθετέους, να ισούται με οποιοδήποτε άλλο άθροισμα, που σχηματίζεται από τους ίδιους αριθμούς, με οποιαδήποτε σειρά και αν τους πάρουμε. Η αφαίρεση και η διαίρεση ορίζονται, με τη οήθεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, ως εξής : α - = α+(-) και α : = α / = α 1 /, όπου 0 1
2 Για τις τέσσερις πράξεις ισχύουν και οι ακόλουθες ιδιότητες : 1. Αν α = και γ = δ τότε: α + γ = + δ και αγ = δ Δηλαδή: Δύο ισότητες μπορούμε να τις προσθέσουμε και να τις πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. 2. Αν α = τότε : α + γ = + δ και α γ = γ Δηλαδή: Μπορούμε και στα δύο μέλη μίας ισότητας να προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό. Μπορούμε και τα δύο μέλη μίας ισότητας να πολλαπλασιάσουμε με τον ίδιο αριθμό. 3. Αν α + γ = + γ, τότε α = Αν αγ = γ και γ 0, τότε α = Δηλαδή : Μπορούμε και από τα δύο μέλη μιας ισότητας να διαγράψουμε τον ίδιο προσθετέο ή τον ίδιο μ η μ η δ ε ν ι κ ό παράγοντα. Βλέπουμε ότι, αν ισχύει μία από τις ισότητες α =, α+γ = +γ, τότε ισχύει και η άλλη. Γι αυτό λέμε ότι οι ισότητες αυτές είναι ισοδύναμες και γράφουμε : α = => α+γ = +γ Συμολικά πλέον οι προηγούμενες δύο ιδιότητες γράφονται: α = => α+γ = +γ Αν γ 0, τότε : α = => αγ = γ 2
3 4. α 0 = 0 Αν α = 0, τότε α = 0 ή = 0 Δηλαδή : Άμεση συνέπεια της ιδιότητας αυτής είναι η ακόλουθη : α 0<-> α 0 και 0 5.( -1 ) α = - α ( - α) = - α ( -α )(- )= α ( Κανόνας των προσήμων) 6. -( α + ) = -α- (1/α) = 1/α 1/ (Κανόνας απαλοιφής παρενθέσεων) Δηλαδή : Ο αντίθετος ενός αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των αντίθετων των προσθετέων. Ο αντίστροφος ενός γινομένου ισούται με το γινόμενο των αντίστροφων των παραγόντων. Οι ιδιότητες αυτές ισχύουν και για περισσότερους από δύο προσθετέους ή παράγοντες αντίστοιχα. Ας θυμηθούμε ότι: α α + = + (1) γ γ γ α γ αγ δ = δ (2) α γ αδ+ γ + = δ δ α :γ α δ = δ γ = αδ (4) γ (3) 3
4 και α γ = αδ=γ (5) δ α γ α = ± δ = γ± δ (6) δ α γ = α δ γ = δ ( 7) α γ = δ τοτε α γ α+γ = δ = +δ (8) Όταν έχουμε ισότητα κλασμάτων π.χ. αυτό λ έχουμε: a x α = χ = ψ γ = ω = γ = ψ ω λ α = λ χ λ = λ ψ λ γ = λ ω τότε ονομάζοντας το λόγο Με την αντικατάσταση αυτή μειώνουμε το πλήθος των μεταλητών, πράγμα χρήσιμο στην αντιμετώπιση πολλών σχετικών προλημάτων. Σχόλια : Συγκεκριμένος αριθμός χωρίς πρόσημο: σημαίνει ότι είναι θετικός, δηλαδή έχει πρόσημο +. Τυχαίος αριθμός α χωρίς πρόσημο: Δε σημαίνει ότι είναι θετικός, αφού μπορεί να έχει μέσα του το. Ακόμη και αν γράψουμε + α, δε σημαίνει ότι ο α είναι θετικός. Οι δύο σημασίες του συμόλου «+» : i) Μπροστά από αριθμό σημαίνει ότι ο αριθμός είναι θετικός + 4, + 7, 6 ii) Μεταξύ δύο αριθμών σημαίνει την πράξη της πρόσθεσης 6 + 2, 5 + 1, 5 + ( 4), 3 + ( 5) Οι δύο σημασίες του συμόλου : i) Μπροστά από αριθμό σημαίνει ότι ο αριθμός είναι αρνητικός 3, 1 ii) Μεταξύ δύο αριθμών σημαίνει την πράξη της αφαίρεσης 5 1, 5 1, 5 ( 3), 4 ( 1) 4
5 Η πράξη της πρόσθεσης i) Πρόσθεση ομοσήμων (+2) + (+5) = + 7 = 7 2 + 5 = 7 ( 2) + ( 5) = 7 ii) Πρόσθεση ετεροσήμων ( 2) + (+5) = +3 = 3 2 + (+5) = +3 = 3 2 + 5 = +3 = 3 2 + ( 5) = 3 Η πράξη της αφαίρεσης 5 2 = 3 3-5 = 3 + (-5) = 2 3-(-5) = 3+ 5 = 8 Θέτουμε το κοινό πρόσημό τους και προσθέτουμε τους αριθμούς Θέτουμε το πρόσημο του μεγαλύτερου και αφαιρούμε τους αριθμούς Αν το αποτέλεσμα δεν είναι προφανές, μετατρέπουμε την αφαίρεση σε πρόσθεση αλλάζοντας το πρόσημο του δεύτερου Η επιμεριστική ιδιότητα αντίστροφα Μας δίνει κοινό παράγοντα : α. + α.γ = α.( + γ) 2 χ + 2 ψ = 2 ( χ + ψ ) 4α 4 = 4(α + ) 4α 4 = 4(α ) Η διαίρεση με το 0 είναι αδύνατη. Επειδή κάθε κλάσμα δηλώνει διαίρεση, πρέπει κάθε παρανομαστής να είναι 0, ώστε το κλάσμα να έχει νόημα πραγματικού αριθμού. Ένας άρτιος γράφεται με τη μορφή α=2κ Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι ένας αριθμός είναι άρτιος, αποδεικνύουμε ότι γράφεται με τη μορφή 2κ 5
6 Ένας περιττός γράφεται με τη μορφή α=2κ+1 Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι ένας αριθμός είναι περιττός, αποδεικνύουμε ότι γράφεται με τη μορφή 2κ+1 Διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς τους γράφουμε κ, κ+1, κ+2,... Δυνάμεις α ν =α α α α α (ν παράγοντες) Ορίζουμε : α 1 =α για α R και α -ν = 1 α ν, α0 =1 με α 0 Αν είναι α = τότε για κ Ζ είναι α κ = κ (1) Το αντίστροφο ισχύει μόνο όταν α, 0 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ α κ α λ =α κ+λ κ α α λ = ακ-λ α κ κ =(α) κ κ κ α = a κ (α κ ) λ =α κλ α κ = α κ α 0 0 α, 0 α 0 = 1 α -ν = 1 α ν 6
7 ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Παρατηρείστε: (α+) 2 = (α+)(α+) = (α+)α+(α+) = α 2 +α+α+ 2 = α 2 +2α+ 2 δύναμη με εκθέτη 2 επιμεριστική ιδιότητα επιμεριστική ιδιότητα α=α Κάντε το ίδιο για τα γινόμενα: (α-) 2 =...=α 2-2α+ 2 (α-)(α+)=...=α 2-2 (α+) 3 =...=α 3 +3α 2 +3α 2 + 3 (α-) 3 =...=α 3-3α 2 +3α 2-3 (α-)(α 2 +α+ 2 )=...=α 3-3 (α+)(α 2 -α+ 2 )=...=α 3 + 3 (χ+α)(χ+)=...χ 2 +(α+)χ+α (α-)(α ν-1 +α ν-2 +...+α ν-2 + ν-1 ) =...=α ν - ν Παρατηρείστε : (α+) 0 = 1 Αριθμοτρίγωνο 1 (α+) 1 = 1α+1 1 1 (α+) 2 = 1α 2 +2α+1 2 1 2 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 κ.λ.π. Προσέξτε τα παρακάτω: α 2 + 2 =(α+) 2-2α ή α 2 + 2 =(α-) 2 +2α α 3 + 3 =(α+) 3-3α(α+) ή α 3-3 =(α-) 3 +3α(α-) (α++γ) 2 =α 2 + 2 +γ 2 +2(α+γ+γα) (α++γ+δ) 2 =α 2 + 2 +γ 2 +δ 2 +2(α+αγ+αδ+γ+δ+γδ) 7
8 α 3 + 3 +γ 3-3αγ= 1 2 (α++γ)[(α-)2 +(-γ) 2 +(γ-α) 2 ] Ταυτότητα Euler αν α + + γ = 0 ή α = = γ τότε είναι α 3 + 3 +γ 3 = 3αγ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ αχ+=0 ΔΙΑΒΑΣΕ ΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ α, ΟΧΙ είναι α=0 ; ΝΑΙ ΝΑΙ είναι =0 ; ΟΧΙ Η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε χ R Η εξίσωση είναι ΑΔΥΝΑΤΗ Μοναδική λύση ΤΕΛΟΣ χ= - α 8
9 Σημείωση: Όταν ο συντελεστής του χ, καθώς και ο γνωστός όρος δίνονται συναρτήσει παραμέτρων, κάνουμε διερεύνηση. Η κάθε παράμετρος διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών εκτός αν δίνεται περιορισμός. Ο άγνωστος σε μια εξίσωση δεν είναι κατ ανάγκη πάντα μία απλή μεταλητή χ, ψ, ω, κ.λ.π. Π.χ. στην εξίσωση: 2f(0) 2 = 6, ο άγνωστος είναι το f(0), στην εξίσωση : 4 5χ-2 = 1-3χ-2 +6 ο άγνωστος είναι 5χ-2 κ.λ.π. 9
10 Μέθοδοι απόδειξης Α) Ευθεία Απόδειξη 1 o ) Έστω ότι για τρεις πραγματικούς αριθμούς α, και γ ισχύει η συνθήκη α + + γ = 0 και θέλουμε να αποδείξουμε ότι α 3 + 3 + γ 3 = 3αγ. Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τη συνεπαγωγή:«αν α + + γ = 0, τότε α 3 + 3 + γ 3 = 3αγ». Επειδή α + + γ = 0, είναι α = -( + γ), οπότε θα έχουμε: α 3 + 3 + γ 3 = [-( + γ)] 3 + 3 + γ 3 = - ( + γ ) 3 + 3 + γ 3 = - 3-3 2 γ - 3γ 2 - γ 3 + 3 + γ 3 = - 3 2 γ-3γ 2 = -3γ(+γ) = -3γα 2 o ) Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός είναι αληθής, μερικές φορές με διαδοχικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε σε έναν λογικά ισοδύναμο ισχυρισμό που είναι αληθής. Έτσι συμπεραίνουμε ότι και ο αρχικός ισχυρισμός είναι αληθής. Π.χ : Έστω ότι για τους πραγματικούς αριθμούς α,, x, y θέλουμε να αποδείξουμε την ταυτότητα : (α 2 + 2 )(x 2 + y 2 ) = (αx + y) 2 + (y - x) 2 Έχουμε διαδοχικά: (α 2 + 2 )( x 2 + y 2 ) = (αx + y) 2 + (αy - x) 2 α 2 x 2 + α 2 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2 = α 2 x 2 + 2αxy + 2 y 2 + α 2 y 2-2αxy + 2 x 2 α 2 x 2 + α 2 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2 = α 2 x 2 + α 2 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2, που ισχύει. 3 ο ) Για να αποδείξουμε ότι ένας ισχυρισμός δεν είναι πάντα αληθής, αρκεί να ρούμε ένα παράδειγμα για το οποίο ο συγκεκριμένος ισχυρισμός δεν ισχύει ή, όπως λέμε, αρκεί να ρούμε ένα αντιπαράδειγμα. Έτσι ο ισχυρισμός «για κάθε α>0 ισχύει 1 1 α = α 2 = α 2 >α» δεν είναι αληθής, αφού για 2 έχουμε 4, δηλαδή α 2 <α. Β) Μέθοδος της Απαγωγής σε Άτοπο Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε τον ισχυρισμό: «Αν το τετράγωνο ενός ακεραίου αριθμού είναι άρτιος, τότε και ο αριθμός αυτός είναι άρτιος», δηλαδή «Αν ο α 2 είναι άρτιος αριθμός, τότε και ο α είναι άρτιος αριθμός» Για την απόδειξη του ισχυρισμού αυτού σκεπτόμαστε ως εξής: Έστω ότι ο α δεν είναι άρτιος. Τότε ο α θα είναι περιττός, δηλαδή θα έχει τη μορφή α = 2κ + 1, όπου κ ακέραιος, οπότε θα έχουμε:α 2 = ( 2κ + 1) 2 = 4κ 2 + 4κ + 1 =2(2κ 2 + 2κ) + 1 = 2λ + 1 (όπου λ = 2κ 2 + 2κ). Δηλαδή α 2 = 2λ + 1, λ Ζ, που σημαίνει ότι ο α 2 είναι περιττός. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι ο α 2 είναι άρτιος. Επομένως, η παραδοχή ότι α δεν είναι άρτιος είναι λανθασμένη. Άρα ο α είναι άρτιος. Οδηγηθήκαμε όπως λέμε σε άτοπο. 10