Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22 Ιανουαριου 2013

2 Περιεχόµενα Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση 4 Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 33 Μέρος 3. Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 59 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα 202 Ι. Θεωρία Οµάδων 202 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας 202 1.2. ιαµερίσεις 203 1.3. ιαµερίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας 204 1.4. Απεικονίσεις και Σχέσεις Ισοδυναµίας 205 1.5. Πράξεις 207 1.6. Πράξεις συµβιβαστές µε σχέσεις ισοδυναµίας 207 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange 210 2.1. Βασικές ιδιότητες υποοµάδων 211 2.2. Οµάδες προερχόµενες από την οµάδα Z των ακεραίων 212 2.3. Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας 213 2.4. Το Θεώρηµα του Lagrange 216 2.5. Οι Υποοµάδες της S 3 217 2.6. Το αντίστροφο του Θεωρήµατος του Lagrange και η Εναλλάσσουσα Οµάδα A 4 217 2.7. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange (I) 219 3. Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες 222 3.1. ύναµη Στοιχείου 222 3.2. Κυκλικές Οµάδες 224 3.3. Τάξη στοιχείου 225 3.4. Τάξη Γινοµένου Στοιχείων µιας Οµάδας 228 3.5. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Lagrange (II) 230 4. Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων 233 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους 236 5.1. Υποοµάδες και Γεννήτορες Άπειρων Κυκλικών Οµάδων 236 5.2. Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων 239 5.3. Η Οµάδα των n-οστών ϱιζών της µονάδας 242 5.4. Κυκλικές Οµάδες - Ευθέα Γινόµενα 243 5.5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων 244 6. Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί 246 6.1. Οµάδες τάξης 2p 246 6.2. Οµάδες τάξης pq 248 7. Οµάδες µεταθέσεων (µετατάξεων) 250 7.1. Οι πρώτες έννοιες 250 7.2. Τροχιές και ανάλυση σε κύκλους 253 7.3. Εκτιµώντας τις τάξεις των µεταθέσεων (µετατάξεων) της (S n, ). ιαµερίσεις του n 263 7.4. Άρτιες και περιττές µεταθέσεις (µετατάξεις) 265 8. ιεδρικές Οµάδες και Οµάδες Συµµετρίας* 270

3 9. Οµάδες Παραγόµενες από Υποσύνολα και ιαγράµµατα Hasse* 271 10. Κανονικές (Ορθόθετες) Υποοµάδες 272 10.1. Κανονικές Υποοµάδες 272 10.2. Κανονικές Υποοµάδες και Σχέσεις Ισοδυναµίας 275 10.3. Παραδείγµατα Κανονικών Υποοµάδων 276 11. Τρία Χαρακτηριστικά (Αντι-)Παραδείγµατα 281 11.1. Οµάδες Hamilton 281 11.2. Μεταβατική ιδιότητα κανονικότητας υποοµάδων 282 12. Οµάδες-πηλίκα 284 13. Οµοµορφισµοί Οµάδων 287 13.1. Βασικές ιδιότητες και Παραδείγµατα 287 13.2. Οµοµορφισµοί και Υποοµάδες 290 13.3. οµικές Ιδιότητες Οµάδων - Κριτήρια (Μη)-Ισοµορφίας 294 13.4. Οµοµορφισµοί και Κανονικές Υποοµάδες 296 13.5. Το Θεώρηµα του Cayley 297 14. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και Οµάδες Αυτοµορφισµών 302 14.1. Ταξινόµηση Άπειρων Κυκλικών Οµάδων 302 14.2. Ταξινόµηση Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων 303 14.3. Κριτήριο Ισοµορφίας Κυκλικών Οµάδων 304 14.4. Οµάδες Οµοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων 304 14.5. Οµάδες Αυτοµορφισµών Κυκλικών Οµάδων 312 15. Τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών και οι Εφαρµογές τους 315 16. Ευθέα Γινόµενα και Πεπερασµένες Αβελιανές Οµάδες 316 17. Απλές Οµάδες 317 18. Οµάδες Μικρής Τάξης 318 ΙΙ. Θεωρία ακτυλίων 319 19. Βιβλιογραφία 320

4 Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών R ορίζουµε µια σχέση R R R ως εξής : x R y x y Q Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο R, και να περιγράψετε το σύνολο πηλίκο R/R. Ασκηση 2. Στο σύνολο των ϱητών αριθµών Q ορίζουµε µια σχέση R Q Q ως εξής : x R y x y Z Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Q, και υπάρχει µια 1-1 και επί επεικόνιση f : Q/R Q [0, 1) Ασκηση 3. Θεωρούµε το υποσύνολο S = { z C z = 1 } του συνόλου C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Στο C ορίζουµε µια σχέση R ως εξής : z R w zw 1 S 1. Να δείξετε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο C, και ακολούθως να περιγραφεί το σύνολοπηλίκο C /R. 2. Είναι το υποσύνολο S κλειστό ως προς την πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C ; 3. Είναι η πράξη πολλαπλασιασµού στο σύνολο C συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R; Ασκηση 4. Να εξεταστεί, ποια από τα ακόλουθα υποσύνολα τού καρτεσιανού γινοµένου Z Z ορίζουν µια σχέση ισοδυναµίας φ επί του συνόλου των ακεραίων αριθµών Z και για κάθε φ να προσδιοριστούν οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας καθώς και η προκύπτουσα διαµέριση του συνόλου Z: (1) g 1 = {(z, z) z Z}, (2) g 2 = {(z, z + 1) z Z}, (3) g 3 = {(z + 1, z) z Z}, (4) g 4 = g 1 g 2, (5) g 5 = g 1 g 2 g 3 (6) g 6 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}, (7) g 7 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (2, 1), (3, 2), (3, 1)}, (8) g 8 = g 1 g 7, (9) g 9 = g 1 g 7 {(7, 8), (8, 7)}, (10) g 10 = g 1 g 7 {(3, 4), (4, 3)}.

5 Ασκηση 5. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και {R i } i I µια οικογένεια σχέσεων ισοδυναµίας επί του X. 1. Να δείξετε ότι η τοµή R = i I R i είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί του X. 2. Να εξετάσετε αν η ένωση R = i I R i είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X. Ασκηση 6. Θεωρούµε το σύνολο X = { 1, 2, 3, 4}. 1. Εστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3), (4, 1), (2, 3) } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. 2. Εστω η σχέση R = { (1, 1), (2, 3), (4, 1) } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. Ασκηση 7. Να περιγραφούν όλες οι πιθανές σχέσεις ισοδυναµίας επί ενός συνόλου X µε 1, 2, 3, και 4 στοιχεία. Ασκηση 8. 1. Στο σύνολο N N, όπου N = { 0, 1, 2, 3, }, ορίζουµε την ακόλουθη σχέση R: (a, b), (c, d) N N : (a, b) R (c, d) a + d = b + c είξτε ότι η R είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο N N και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (N N)/R. 2. Στο σύνολο Z Z ορίζουµε την ακόλουθη σχέση S: (x, y), (a, b) Z Z : (x, y) R (a, b) xb = ya είξτε ότι η S είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο Z Z και περιγράψτε το σύνολο πηλίκο (Z Z )/S. Ασκηση 9. Εξετάστε στις παρακάτω περιπτώσεις αν η διµελής πράξη επί του συνόλου G είναι προσεται- ϱιστική, µεταθετική, υπάρχει ουδέτερο στοιχείο, και αν κάθε στοιχείο έχει αντίστροφο. (1) G = Z και a b = ab. (2) G = Z και a b = a b. (3) G = R + και a b = ab. (4) G = Q και a b = ab. (5) G = R και a b = ab. (6) G = Z + και a b = 2 ab. (7) G = Z + και a b = a b. (8) G = C και a b = a + b. Ασκηση 10. Εστω G = R \ { 1} (δηλαδή G είναι το σύνολο όλων των πραγµατικών αριθµών εκτός από το 1), και ορίζουµε x, y G : x y = x + y + xy Να δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι µια πράξη επί του G. Να εξετασθεί αν η πράξη είναι προσεταιριστική ή µεταθετική. Να εξετασθεί αν υπάρχει στοιχείο e G έτσι ώστε : x e = x = e x, x G. Αν ένα τέτοιο στοιχείο υπάρχει, είναι µοναδικό ; Σ αυτή την περίπτωση να εξετασθεί αν για κάθε x G, υπάρχει y G έτσι ώστε : x y = e = y x. Τέλος να εξετασθεί αν η εξίσωση : έχει (µοναδική) λύση στο σύνολο G. a x = b

6 Ασκηση 11. Εστω ότι K συµβολίζει ένα από τα ακόλουθα σώµατα Q, R, C, και έστω M m n (K) το σύνολο των m n πινάκων µε στοιχεία από το K. Υπενθυµίζουµε ότι δύο πίνακες A, B M m n (K) καλούνται ισοδύναµοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος n n πίνακας P και αντιστρέψιµος m m πίνακας Q έτσι ώστε : είξτε ότι ορίζοντας : Q A P = B A B ο πίνακας A είναι ισοδύναµος µε τον B αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M m n (K). Είναι η πρόσθεση, και ο πολλαπλασιασµός πινάκων (όταν m = n), συµβιβαστή πράξη µε την σχέση ισοδυναµίας πινάκων ;

7 Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 12. Εστω (G, ) µια οµάδα και υποθέτουµε ότι : είναι το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας. Να δείξετε ότι : b c a = e a b c = e για κάποια a, b, c G, όπου e Ασκηση 13. Εστω (G, ) µια οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Αν το σύνολο G έχει άρτιο πλήθος στοιχείων, να δείξετε ότι υπάρχει ένα στοιχείο a e στην G τέτοιο ώστε a a = e. Ασκηση 14. Εστω R το σύνολο των µη-µηδενικών πραγµατικών αριθµών. Ορίζουµε διµελή πράξη στο R, ως εξής : a b = a b (1) είξτε ότι η είναι µια προσεταιριστική διµελής πράξη. (2) είξτε ότι υπάρχει ένα αριστερό ταυτοτικό στοιχείο και ένα δεξιό αντίστροφο στοιχείο για την πράξη. (3) Είναι το Ϲεύγος (R, ) οµάδα ; (4) Ποιά είναι η σηµασία της άσκησης ; Ασκηση 15. Εστω (G, ) µια οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Αν ισχύει δείξτε ότι η G είναι αβελιανή. x x = e, x G Ασκηση 16. Να δείξετε ότι το ανοιχτό διάστηµα ( 1, 1) := { x R 1 < x < 1 } αποτελεί οµάδα µε πράξη : x y = x + y 1 + xy Ασκηση 17. Εστω (G, ) µια οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Αν το σύνολο G έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων, να δείξετε ότι για κάθε a G, υπάρχει ακέραιος n Z +, ο οποίος γενικά εξαρτάται από το a, έτσι ώστε : a n := a a a = e (το a εµφανίζεται σαν παράγοντας n ϕορές). Επιπλέον να δείξετε ότι υπάρχει N Z + : a N = e, a G. Ασκηση 18. Εστω (G, ) µια οµάδα και a, b G. Να δείξετε ότι (a b) = a b αν και µόνον αν a b = b a. Να συµπεράνετε ότι η G είναι αβελιανή αν και µόνον αν (a b) = a b, a, b G.

8 Ασκηση 19. είξτε µε ένα παράδειγµα, ότι είναι δυνατόν η εξίσωση x x = e να έχει περισσότερες από δυο λύσεις, σε κάποια οµάδα (G, ) µε ταυτοτικό στοιχείο e. Ασκηση 20. Θεωρούµε τους ακόλουθους αντιστρέψιµους πίνακες πραγµατικών αριθµών : 0 0 1 0 0 0 0 1 A = 0 0 0 1 1 0 0 0, B = 0 0 1 0 1 0 0 0 GL n(r) 0 1 0 0 0 1 0 0 και έστω G = { A n GL n (R) n Z } και G = { B n GL n (R) n Z } Να δείξετε ότι τα Ϲεύγη (G, ) και (G, ), όπου είναι ο πολλαπλασιασµός πινάκων, είναι αβελιανές οµάδες. Πόσα στοιχεία έχουν οι οµάδες G και G ; Ασκηση 21. Μελετήστε τη δοµή της οµάδας (Z 6, +), και συµπληρώστε το παρακάτω πίνακα + [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] Ασκηση 22. Θεωρούµε το σύνολο απεικονίσεων G = { α 0, α 1, α 2, β 1, β 2, β 3 : Q \ {0, 1} Q \ {0, 1} } όπου : α 0 (x) = x, α 1 (x) = 1 1 x, α 2(x) = x 1 x β 1 (x) = 1 x, β 2(x) = 1 x, β 3 (x) = x x 1 Να δείξετε ότι το Ϲεύγος (G, ), όπου είναι πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων, αποτελεί µια µη-αβελιανή οµάδα. Να συµπληρώσετε τον αντίστοιχο πίνακα της οµάδας G. Ασκηση 23. Εστω µια προσεταιριστική πράξη επί του µη-κενού συνόλου G. Υποθέτουµε ότι : (1) Υπάρχει ένα στοιχείο e G: e x = x, x G. (2) Για κάθε x G, υπάρχει ένα στοιχείο x G: x x = e. Να δείξετε ότι το Ϲεύγος (G, ) είνα οµάδα. Ασκηση 24. Γνωρίζουµε ότι αν (G, ) είναι µια οµάδα, τότε οι εξισώσεις a x = b και x a = b έχουν (µοναδική) λύση για κάθε a, b G. Αντίστροφα: να δείξετε ότι αν είναι µια προσεταιριστική πράξη επί του µη-κενού συνόλου G και οι παραπάνω εξισώσεις έχουν λύση για κάθε a, b G, τότε υπάρχει ταυτοτικό στοιχείο e G για την πράξη και το Ϲεύγος (G, ) είναι µια οµάδα.

9 Ασκηση 25. 1. Στο σύνολο G = R R ορίζουµε µια πράξη ως εξής : : G G G, (a, b) (c, d) = (ac, ad + b) Να δείξετε ότι το Ϲεύγος (G, ) είναι οµάδα. 2. Να δείξετε ότι το σύνολο G = { f : R R f(x) = ax + b, a, b R, a 0 } εφοδιασµένο µε την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων είναι οµάδα. 3. Παρατηρείτε κάποια σχέση µεταξύ των οµάδων, G και G ;

10 Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 26 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 26. (1) Ας είναι E το σύνολο των µιγαδικών αριθµών µε µέτρο ίσο µε 1, δηλαδή E = {z C z = 1}. Να δειχθεί ότι το E αποτελεί υποοµάδα τής οµάδας (C, ). (2) Ας είναι E N το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z µε z n = 1, για κάποιο n N, δηλαδή E N = {z C n N, τέτοιο ώστε z n = 1}. Να δειχθεί ότι το E N αποτελεί υποοµάδα τής (E, ). (3) Ας είναι E n το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z µε z n = 1, για κάποιο πάγιο ϕυσικό αριθµό n N, δηλαδή E n = {z C όπου n N, είναι ένας πάγιος αριθµός µε z n = 1}. Να δειχθεί ότι το E n αποτελεί υποοµάδα τής (E N, ). Ασκηση 27. σύνολο (1) είξτε ότι αν H και K είναι δύο υποοµάδες µιας αβελιανής οµάδας (G, ), τότε το HK = {hk G h H, k K} είναι µια υποοµάδα της G. (2) Να αποδείξετε µε τη ϐοήθεια ενός αντιπαραδείγµατος ότι αυτό δεν αληθεύει όταν η οµάδα (G, ) δεν είναι αβελιανή. Ασκηση 28. Εστω (G, ) µια αβελιανή οµάδα µε ταυτοτικό στοιχείο e. Ας είναι n N ένας πάγιος 1 ϕυσικός αριθµός. Να δειχθεί ότι το υποσύνολο H της G που αποτελείται από τα στοιχεία g G µε g n = e είναι µια υποοµάδα της G. Ασκηση 29. Σηµειώστε αν είναι σωστό ή λάθος. (1) Ο προσεταιριστικός νόµος ισχύει σε κάθε οµάδα. (2) Είναι δυνατόν να υπάρξει οµάδα στην οποία να µην ισχύει ο νόµος της διαγραφής. (3) Κάθε οµάδα είναι υποοµάδα του εαυτού της. (4) Κάθε οµάδα έχει ακριβώς δυο µη γνήσιες υποοµάδες. (5) Στο µάθηµα, δεν έχουµε δώσει ακόµα παράδειγµα οµάδας που να µην είναι αβελιανή. (6) Κάθε σύνολο αριθµών που είναι οµάδα µε πράξη την πρόσθεση είναι και οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό. (7) Μπορούµε να ορίσουµε την υποοµάδα ως «υποσύνολο µιας οµάδας». (8) Κάθε υποσύνολο οποιασδήποτε οµάδας είναι υποοµάδα µε την επαγόµενη πράξη. Ασκηση 30. Θεωρούµε τα ακόλουθα στοιχεία της (S 6, ): ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 σ =, τ =, µ = 3 1 4 5 6 2 2 4 1 3 6 5 1 σταθερά δοσµένος ( ) 1 2 3 4 5 6. 5 2 4 3 1 6

11 (1) Να υπολογιστούν τα : (α ) τ σ (ϐ ) τ 2 σ (γ ) µ σ 2 (δ ) σ 2 τ (ε ) σ 1 τ σ (2) Επίσης να υπολογιστούν : (α ) η τάξη της σ. (ϐ ) η τάξη της τ 2. (γ ) η δύναµη σ 100 (δ ) η δύναµη µ 100 (3) Να επιλυθούν ως προς x οι εξισώσεις : (α ) τ 2 x µ = σ 100 (ϐ ) µ x τ 2 = µ 100 (γ ) τ 2 x = µ x Ασκηση 31. Εστω ότι (G 1, 1 ) και (G 2, 2 ) είναι δύο οµάδες. Να δειχθεί ότι το καρτεσιανό γινόµενο G 1 G 2 εφοδιασµένο µε την πράξη : (G 1 G 2 ) (G 1 G 2 ) G 1 G 2, ((a 1, a 2 ), (b 1, b 2 )) (a 1 1 b 1, a 2 2 b 2 ) αποτελεί µια οµάδα. (Η συγκεκριµένη οµάδα ονοµάζεται το ευθύ γινόµενο των οµάδων G 1 και G 2.) Ασκηση 32. Θεωρούµε την οµάδα (Z 2, +) και το ευθύ γινόµενο Z 2 Z 2 της Z 2 µε τον εαυτό της. Να σχηµατιστεί ο πίνακας πράξης της Z 2 Z 2 και να αποδειχτεί ότι δεν πρόκειται για κυκλική οµάδα. Ασκηση 33. Θεωρούµε τις οµάδες (Z 2, +), (Z 3, +) και το ευθύ γινόµενό τους Z 2 Z 3. Να σχηµατιστεί ο πίνακας πράξης της Z 2 Z 3 και να αποδειχτεί ότι πρόκειται για κυκλική οµάδα. Ακολούθως να εξετάσετε, αν ο ισχυρισµός είναι αληθής ή όχι. «Σε κάθε κυκλική οµάδα, κάθε στοιχείο είναι γεννήτορας» Ασκηση 34. Να προσδιοριστεί η τάξη κάθε στοιχείου της κυκλικής οµάδας (Z 10, +) και ακολούθως να προσδιοριστούν όλοι οι γεννήτορες. Ασκηση 35. Αποδείξτε ότι κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή. Ασκηση 36. είξτε ότι µια οµάδα που δεν έχει γνήσιες µη τετριµµένες υποοµάδες είναι κυκλική. Ασκηση 37. Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα και ότι H, K είναι δύο υποοµάδες της. Να δειχθεί ότι η ένωση H K είναι µια υποοµάδα τής (G, ), αν και µόνο αν, είτε H K είτε K H.

12 Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 2012 Ασκηση 38. Θεωρούµε τα ακόλουθα στοιχεία της (S 6, ): ( ) ( ) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 σ =, τ =, µ = 3 1 4 5 6 2 2 4 1 3 6 5 ( ) 1 2 3 4 5 6. 5 2 4 3 1 6 (1) Να προσδιοριστούν οι χ τροχιές στις οποίες διαµερίζεται το σύνολο {1, 2, 3, 4, 5, 6}, όταν χ = σ, τ, µ. (2) Να προσδιοριστούν οι τάξεις (σ), (τ), (µ). (3) Να προσδιοριστεί η ανάλυση σε αποσυνδετούς (ξένους) κύκλους των σ, σ 2, σ 3, σ 4, σ 5, σ 6 (Τι παρατηρείτε;). (4) Να υπολογιστούν τα : σ τ σ 1, σ 1 τ σ, τ σ τ 1, µ τ µ 1, µ 3 τ 7 µ 3. (5) Να επιλυθεί ως προς x η εξίσωση : x σ x 1 = (1 2 3 4 5 6). (6) Να δειχθεί ότι η ως προς x εξίσωση : x σ x 1 = τ δεν διαθέτει λύση. Ασκηση 39. (1) Να υπολογιστεί ο πίνακας πράξης της εναλλάσσουσας υποοµάδας A 4 της (S 4, ). (2) Να δειχθεί ότι n, n 4, η εναλλάσσουσα υποοµάδα A n της (S n, ) δεν είναι αβελιανή (µεταθετική). Ασκηση 40. Ποια µπορεί να είναι η µέγιστη τάξη ενός στοιχείου της εναλλάσσουσας υποοµάδας A n της (S n, ), όταν n = 2, 3, 4, 5, 6, 7; Ασκηση 41. Να δειχθεί ότι το πλήθος των άρτιων µεταθέσεων (µετατάξεων) µιας υποοµάδας H της (S n, ) ισούται ή µε (H) ή µε (H)/2. Ασκηση 42. Να δειχθεί ότι το πρόσηµο ɛ(σ) µιας µετάθεσης (µετάταξης ) σ της (S n, ) ισούται πάντοτε µε το πρόσηµο της ɛ(σ 1 ) της σ 1. Ασκηση 43. Εστω ότι σ και τ είναι δύο στοιχεία της (S n, ), n 2. Να δειχθεί ότι (1) το στοιχείο στσ 1 τ 1 είναι πάντοτε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποοµάδας A n, (2) το στοιχείο στσ 1 ανήκει στην A n, αν και µόνο αν, το στοιχείο τ ανήκει στην A n. Ασκηση 44. (1) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (S n, ), n 2 είναι γινόµενο αντιµεταθέσεων της µορφής (1i). (2) Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της εναλλάσσουσας υποοµάδας A n, n 3 είναι γινόµενο κύκλων µήκους 3.

13 Ασκηση 45. Να δειχθεί ότι κάθε στοιχείο της (S n, ) µε τάξη 2 είναι γινόµενο αντιµεταθέσεων ανά δύο αποσυνδετών (ξένων). Ασκηση 46. Να υπολογιστεί η οµάδα συµµετριών του ϱόµβου: 1 4 2 3

14 Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 1 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 14 Νοεµβρίου 2012 Ασκηση 47. (1) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύµπλοκα) της υποοµάδας 5 στην οµάδα (Z, +). (2) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύµπλοκα) της υποοµάδας 9 στην οµάδα (Z, +) και της 9 στην (υπο)οµάδα 3 της (Z, +). (3) Να ευρεθούν οι πλευρικές κλάσεις (τα σύµπλοκα) της υποοµάδας [6] στην οµάδα (Z 12, +) και της [6] στην (υπο)οµάδα [2] της (Z 12, +). Ασκηση 48. Θεωρούµε τη διεδρική οµάδα (D 4, ) και ας είναι τ οποιαδήποτε στερεά κίνηση που προκύπτει από ανάκλαση ως προς άξονα συµµετρίας που κείται επί του επιπέδου του τετραγώνου. Να υπολογιστούν οι αριστερές πλευρικές κλάσεις (τα αριστερά σύµπλοκα) της τ στην D 4. Ασκηση 49. Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα και ότι H G είναι µια υποοµάδα της. Για κάθε a G ϑεωρούµε το σύνολο Ha = {h a h H}. Κάθε σύνολο της µορφής Ha ονοµάζεται δεξιό σύµπλοκο (δεξιά πλευρική κλάση) της H στην G. (1) Να δειχθεί ότι το πλήθος των αριστερών συµπλόκων της H στην G ισούται µε το πλήθος των δεξιών συµπλόκων της H στην G. (2) Να δοθεί παράδειγµα οµάδας (G, ) και υποοµάδας της H, όπου υπάρχει a G µε ah Ha. (3) Να δειχθεί ότι αν µια οµάδα (G, ) είναι αβελιανή, τότε για κάθε a G ισχύει : ah = Ha. Ασκηση 50. Να σχηµατιστεί το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της διεδρικής οµάδας (D 5, ). Ασκηση 51. Θεωρούµε την οµάδα (U 20, ) 2 των αντιστρέψιµων κλάσεων ισοδυναµίας των ακεραίων Z κατά µόδιο (mod) 20 µε πράξη τον πολλαπλασιασµό των κλάσεων κατά µόδιο (mod) 20. (1) Να δειχθεί ότι U 20 = { [1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19] } (2) Να δειχθεί ότι για κάθε στοιχείο u U 20 ισχύει u 8 = [1]. (3) Να λυθεί ως προς x εξίσωση [17] ( 108) x [7] 333 = [3] ( 1). Ασκηση 52. Αν (G, ) είναι µια οµάδα µε τάξη (G) < 300, η οποία έχει δύο υποοµάδες H, K µε τάξεις αντιστοίχως (H) = 24 και (K) = 54, τότε ποια είναι η (G);. 2 Η οµάδα U20 συµβολίζεται και ως U(Z n)

15 Ασκηση 53. Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα και ότι a, b είναι δύο στοιχεία της µε a b = b a. Αν οι τάξεις (a), (b) είναι πεπερασµένες και Μ.Κ..( (a), (b)) = 1, τότε η τάξη του στοιχείου a b ισούται µε (a) (b). Ασκηση 54. (1) Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα µε τάξη pq, όπου οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Να δειχθεί ότι κάθε γνήσια υποοµάδα H της G είναι κυκλική. (2) Εστω ότι (G, ) είναι µια αβελιανή οµάδα µε τάξη pq και ότι οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί µε p q. Να δειχθεί ότι η G είναι µια κυκλική οµάδα. (3) Να δειχθεί ότι υπάρχουν αβελιανές οµάδες τάξης p 2, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός, οι οποίες δεν είναι κυκλικές. Ασκηση 55. Να δειχθεί ότι µια οµάδα που δεν διαθέτει άλλες υποοµάδες παρά µόνο τις τετριµµένες είναι κυκλική τάξης 1 ή p, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός. Ασκηση 56. Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα και ότι H G, K G είναι δύο υποοµάδες της. Θεωρούµε το υποσύνολο R G G που ορίζεται ως (a, b) R a = h b k, h H, k K. Να δειχθεί ότι το υποσύνολο R ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί της G και ακολούθως να περιγραφούν οι κλάσεις ισοδυναµίας.

16 Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 Νοεµβρίου 2012 Ασκηση 57. Εστω G µια οµάδα. (1) x, a G: o(x 1 ax) = o(a) = o(xax 1 ). (2) a, b G: o(ab) = o(ba). (3) Αν H είναι µια υποοµάδα της G, τότε x G, το σύνολο x 1 Hx είναι µια υποοµάδα της G µε τάξη o(x 1 Hx) = o(h). Ασκηση 58. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων µιας κυκλικής οµάδας µε τάξη : (α ) 5, (ϐ ) 8, (γ ) 12, (δ ) 60 Ασκηση 59. Οι γεννήτορες της κυκλικής πολλαπλασιαστικής οµάδας U n όλων των n-στών ϱιζών της µονάδας στο C καλούνται πρωταρχικές n-οστές ϱίζες της µονάδας. Βρείτε τις πρωταρχικές n-οστές ϱίζες της µονάδας για n = 4. Ασκηση 60. (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας [25] 30 της οµάδας (Z 30, +). (2) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας [30] 42 της οµάδας (Z 42, +). (3) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας i της οµάδας C των µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών µε πράξη τον πολλαπλασιασµό. (4) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων της κυκλικής υποοµάδας 1 + i της οµάδας C των µη µηδενικών µιγαδικών αριθµών µε πράξη τον πολλαπλασιασµό. Ασκηση 61. Ποιες είναι οι δυνατές τάξεις για τις υποοµάδες των επόµενων κυκλικών οµάδων; (α ) (Z 6, +), (ϐ ) (Z 8, +), (γ ) (Z 12, +), (δ ) (Z 60, +), (ε ) (Z 17, +) Ασκηση 62. Βρείτε όλες τις υποοµάδες των παρακάτω οµάδων και σχεδιάστε το διάγραµµα Hasse από τις υποοµάδες τους. (α ) (Z 12, +), (ϐ ) (Z 36, +), (γ ) (Z 8, +) Ασκηση 63. Εστω (G, ) µια πεπερασµένη οµάδα η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη : 3 Αν H, K είναι οποιεσδήποτε υποοµάδες της G, τότε : είτε H K ή K H Να δειχθεί ότι η G είναι κυκλική οµάδα που η τάξη της ισούται µε τη δύναµη ενός πρώτου αριθµού. 3 µια τέτοια οµάδα καλείται µονοσειριακή (uniserial)

Ασκηση 64. Θεωρούµε την οµάδα (U(Z 20 ), ) των αντιστρέψιµων κλάσεων ισοδυναµίας των ακεραίων Z κατά µόδιο (mod) 20 µε πράξη τον πολλαπλασιασµό των κλάσεων κατά µόδιο (mod) 20. (1) Να δειχθεί ότι U(Z 20 ) = { [1], [3], [7], [9], [11], [13], [17], [19] } (2) Να δειχθεί ότι για κάθε στοιχείο u U(Z 20 ) ισχύει u 8 = [1]. (3) Να λυθεί ως προς x εξίσωση [17] ( 108) x [7] 333 = [3] ( 1). 17 Ασκηση 65. (1) Να δειχθεί ότι µια οµάδα που δεν διαθέτει άλλες υποοµάδες παρά µόνο τις τετριµ- µένες είναι κυκλική µε τάξη 1 ή p, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός. (2) Να δειχθεί ότι κάθε οµάδα µε τάξη έναν πρώτο αριθµό είναι κυκλική. Ασκηση 66. Εστω ότι G είναι µια οµάδα και ότι a, b είναι δύο στοιχεία της µε ab = ba. Αν οι τάξεις o(a), o(b) είναι πεπερασµένες και (o(a), o(b)) = 1, τότε η τάξη του στοιχείου ab ισούται µε o(a) o(b). Ασκηση 67. Εστω G = { g 1 = e, g 2,, g n } µια πεπερασµένη αβελιανή οµάδα. (1) (g 1 g 2 g n ) 2 = e. (2) Τι συµβαίνει αν η τάξη της G είναι περιττός αριθµός ; Ασκηση 68. Εστω G µια κυκλική οµάδα τάξης n. Για κάθε διαιρέτη m n, να προσδιορισθεί το πλήθος των στοιχείων της G µε τάξη m. Ασκηση 69. (1) Εστω ότι G είναι µια οµάδα µε τάξη pq, όπου οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί. Να δειχθεί ότι κάθε γνήσια υποοµάδα H της G είναι κυκλική. (2) Εστω ότι G είναι µια αβελιανή οµάδα µε τάξη pq και ότι οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί µε p q. Να δειχθεί ότι η G είναι µια κυκλική οµάδα. (3) Να δειχθεί ότι υπάρχουν αβελιανές οµάδες τάξης p 2, όπου ο p είναι πρώτος αριθµός, οι οποίες δεν είναι κυκλικές. Ασκηση 70. (1) Εστω p και q πρώτοι αριθµοί. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της κυκλικής οµάδας Z pq καθώς και το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της. (2) Εστω p ένας πρώτος αριθµός. Βρείτε το πλήθος των γεννητόρων της κυκλικής οµάδας Z p r, όπου r 1, καθώς και το διάγραµµα Hasse των υποοµάδων της. Ασκηση 71. (1) Να δειχθεί ότι ότι η οµάδα (Q, +) των ϱητών αριθµών µε πράξη την συνήθη πρόσθεση δεν είναι κυκλική οµάδα. (2) Να δειχθεί ότι η οµάδα των πραγµατικών αριθµών (R, +) µε πράξη την συνήθη πρόσθεση δεν είναι κυκλική οµάδα. Ασκηση 72. Σηµειώστε αν είναι σωστό ή λάθος. (1) Κάθε κυκλική οµάδα είναι αβελιανή. (2) Κάθε αβελιανή οµάδα είναι κυκλική (3) Κάθε στοιχείο µιας κυκλικής οµάδας παράγει την οµάδα.

18 (4) Για κάθε n N, υπάρχει τουλάχιστον µια αβελιανή οµάδα µε τάξη n. (5) Κάθε οµάδα τάξης 4 είναι κυκλική. (6) Για κάθε στοιχείο [a] 20 της Z 20 που είναι γεννήτορας, υπάρχει ένα στοιχείο b [a] 20, το οποίο είναι πρώτος αριθµός. (7) Η S 3 είναι κυκλική οµάδα. (8) Η A 3 είναι κυκλική οµάδα. (9) Κάθε κυκλική οµάδα τάξης > 2 έχει τουλάχιστον δυο διαφορετικούς γεννήτορες. Ασκηση 73. Στις παρακάτω προτάσεις, δώστε παράδειγµα οµάδας µε την ιδιότητα που περιγράφεται ή εξηγήστε γιατί δεν υπάρχει τέτοιο παράδειγµα. (1) Μια πεπερασµένη οµάδα που δεν είναι κυκλική. (2) Μια άπειρη οµάδα που δεν είναι κυκλική. (3) Μια κυκλική οµάδα που έχει µόνο έναν γεννήτορα. (4) Μια άπειρη κυκλική οµάδα που έχει τέσσερις γεννήτορες. (5) Μια πεπερασµένη κυκλική οµάδα που έχει τέσσερις γεννήτορες. Ασκηση 74. (1) είξτε ότι µια οµάδα που έχει πεπερασµένο µόνο πλήθος υποοµάδων πρέπει να είναι πεπερασµένη οµάδα. (2) είξτε ότι δεν µπορεί µια οµάδα να γραφεί ως ένωση δύο γνήσιων υποοµάδων της. (3) Μπορεί µια οµάδα να γραφεί ως ένωση τριών γνησίων υποοµάδων της ; Ασκηση 75. Εστω ότι (G, ) είναι µια οµάδα και ότι H G, K G είναι δύο υποοµάδες της. Θεωρούµε το υποσύνολο R G G που ορίζεται ως (a, b) R a = h b k, h H, k K. Να δειχθεί ότι το υποσύνολο R ορίζει µια σχέση ισοδυναµίας επί της G και ακολούθως να περιγραφούν οι κλάσεις ισοδυναµίας.

19 Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 4 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 76. Βρείτε όλα τα σύµπλοκα ( πλευρικές κλάσεις) της υποοµάδας H G της οµάδας G και περιγράψτε την οµάδα πηλίκο στις ακόλουθες περιπτώσεις : (1) H = 4Z Z. (2) H = 4Z 2Z. (3) H = [18] 36 Z 36. Ασκηση 77. Εστω η διεδρική οµάδα D 4 τάξης 8, την οποία ϑεωρούµε ως υποοµάδα της S 4 : D 4 = { Id 4, ρ, ρ 2, ρ 3, σ, σρ, σρ 2, σρ 3, }, όπου ρ = ( 1 2 3 4 ) και σ = ( 2 4 ) και έστω η υποοµάδα H = { Id 4, σρ } της D 4. (1) Βρείτε όλα τα αριστερά σύµπλοκα (αριστερές πλευρικές κλάσεις) της υποοµάδας H στην D 4. (2) Βρείτε όλα τα δεξιά σύµπλοκα (δεξιές πλευρικές κλάσεις) της υποοµάδας H στην D 4. (3) Είναι H κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της D 4 ; Ασκηση 78. Να ϐρεθεί ο δείκτης της υποοµάδας H στην οµάδα G στις ακόλουθες περιπτώσεις : (1) H = [3] 24 Z 24. (2) H = (23) S 3. (3) H = (13) D 4. Σε ποιές από τις παραπάνω περιπτώσεις η υποοµάδα H είναι κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της G; Ασκηση 79. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα GL 2 (R) των αντιστρέψιµων πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς. (1) Να δείξετε ότι το υποσύνολο G = {( ) a b 0 d M2 2 (R) ad 0 } είναι υποοµάδα της GL 2 (R). (2) Να δείξετε ότι το υποσύνολο H = {( 1 b 0 1 ) M2 2 (R) b R } είναι κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της G. (3) Να δειχθεί ότι η οµάδα πηλίκο G/H είναι αβελιανή.

20 Ασκηση 80. Θεωρούµε το σύνολο απεικονίσεων G = { τ a,b : R R τ a,b (x) = ax + b, a, b R, a 0 } το οποίο είναι οµάδα µε πράξη την σύνθεση απεικονίσεων. (1) Να δείξετε ότι το υποσύνολο είναι κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα της G. (2) Να προσδιορίσετε την οµάδα πηλίκο G/H. H = { τ 1,b G b R } Ασκηση 81. Εστω η πολλαπλασιαστική οµάδα C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. (1) Αν U = {z C z = 1} C, να δειχθεί ότι η οµάδα-πηλίκο C /U είναι ισόµορφη µε την πολλαπλασιαστική οµάδα R + των ϑετικών πραγµατικών αριθµών. (2) Να δείξετε ότι το σύνολο G = {( ) a b M2 2 (R) (a, b) (0, 0) } b a εφοδιασµένο µε την πράξη πολλαπλασιασµού πινάκων είναι οµάδα και υπάρχει ισοµορφισµός : G = C Ασκηση 82. (1) Πόσοι οµοµορφισµοί οµάδων Z Z υπάρχουν ; (2) Πόσοι µονοµορφισµοί οµάδων Z Z υπάρχουν ; (3) Πόσοι επιµορφισµοί οµάδων Z Z υπάρχουν ; (4) Πόσοι οµοµορφισµοί οµάδων Z Z 2 υπάρχουν ; (5) Πόσοι οµοµορφισµοί οµάδων Z 2 Z υπάρχουν ; Ασκηση 83. ώστε παράδειγµα µη-τετριµµένου οµοµορφισµού, η δικαιολογήστε γιατί δεν υπάρχει µητετριµµένος οµοµορφισµός, f : G H, όπου : (1) f : Z 12 Z 5. (2) f : Z 12 Z 4. (3) f : Z 2 Z 4 Z 2 Z 5. (4) f : Z 3 Z. (5) f : Z 3 S 3. (6) f : Z S 3. (7) f : Z Z 2Z. (8) f : 2Z Z Z. (9) f : D 4 S 3. (10) f : S 3 S 4. (11) f : S 4 S 3. Ασκηση 84. Να δείξετε ότι : (1) Υπάρχουν µονοµορφισµοί οµάδων f : G G οι οποίοι δεν είναι ισοµορφισµοί. (2) Υπάρχουν επιµορφισµοί οµάδων f : G G οι οποίοι δεν είναι ισοµορφισµοί. Ασκηση 85. Θεωρούµε την κανονική (ορθόθετη) υποοµάδα Z της προσθετικής οµάδας R. Να ϐρεθούν όλα τα στοιχεία πεπερασµένης τάξης της οµάδας πηλίκο R/Z. Ασκηση 86. Εστω η προσθετική οµάδα Z των ακεραίων την οποία ϑεωρούµε ως υποοµάδα της προσθετικής οµάδας R των πραγµατικών αριθµών, και έστω U = { z C z = 1 } η (πολλαπλασιαστική) οµάδα του κύκλου.

21 (1) Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός R/Z = (2) είξτε ότι οι οµάδες U = {z C z = 1} και R δεν είναι ισόµορφες. U Ασκηση 87. Εστω G µια άπειρη οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η G είναι κυκλική. (2) Κάθε υποοµάδα H {e} της G είναι ισόµορφη µε την G. Ασκηση 88. Εστω G µια οµάδα. Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Η G είναι αβελιανή. (2) Η απεικόνιση f : G G, f(x) = x 1 είναι οµοµορφισµός. (3) Η απεικόνιση g : G G, f(x) = x 2 είναι οµοµορφισµός. (4) Η απεικόνιση h : G G G, h(x, y) = xy είναι οµοµορφισµός. Ασκηση 89. Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα και H µια υποοµάδα της G µε την ιδιότητα ότι η H είναι η µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη o(h). Να δείξετε ότι η G είναι κανονική (ορθόθετη). Ασκηση 90. Εστω G µια πεπερασµένη οµάδα και H µια κανονική υποοµάδα της G. Αν ( [G : H], o(h) ) = 1 τότε να δείξετε ότι : x G : x o(h) = e = x H

22 Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 12 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 91. Βρείτε την τάξη της δοθείσας οµάδας πηλίκου : (1) Z 6 / [3]6 (2) (Z 4 Z 12 ) / ( [2] 4 [2] 12 ) (3) (Z 4 Z 2 ) / ([2] 4, [1] 2 ) (4) (Z 3 Z 5 ) / ({0} Z 5 ) (5) (Z 2 S 3 ) / ([1] 2, (123)) Ασκηση 92. Βρείτε την τάξη του στοιχείου : (1) [5] 12 + [4] 12 στην οµάδα πηλίκο Z 12 / [4]12 (2) [26] 60 + [12] 60 στην οµάδα πηλίκο Z 60 / [12]60 (3) ([2] 3, [1] 6 ) + ([1] 3, [1] 6 ) στην οµάδα πηλίκο (Z 3 Z 6 ) / ([1] 3, [1] 6 ) (4) ([2] 6, [0] 8 ) + ([4] 6, [4] 8 ) στην οµάδα πηλίκο (Z 6 Z 8 ) / (4, 4) Ασκηση 93. Αποδείξτε τους παρακάτω ισοµορφισµούς : (1) (Z 2 Z 4 )/ ([0] 2, [1] 4 ) = Z 2 (2) (Z 2 Z 4 )/ ([0] 2, [2] 4 ) = Z 2 Z 2 (3) (Z 2 Z 4 )/ ([1] 2, [2] 4 ) = Z 4 (4) (Z Z Z 8 )/ (0, 4, [0] 8 ) = Z Z 4 Z 8 (5) (Z Z)/ (2, 2) = Z Z 2 Ασκηση 94. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα GL 2 (R) των αντιστρέψιµων 2 2 πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς, και την υποοµάδα της G = {( ) a b 0 d M2 2 (R) ad 0 } (1) Να κατασκευάσετε έναν ισοµορφισµό G / H = R R όπου H = {( ) 1 b 0 1 M2 2 (R) b R } (2) Να κατασκευάσετε έναν ισοµορφισµό H = R Ασκηση 95. Να εξετασθεί αν η οµάδα ευθύ γινόµενο G 1 G 2 δύο κυκλικών οµάδων G 1 και G 2 είναι επίσης κυκλική.

23 Ασκηση 96. (1) είξτε ότι το σύνολο Aut(G) όλων των αυτοµορφισµών µιας οµάδας G είναι οµάδα µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων. (2) Να προσδιορισθεί η οµάδα αυτοµορφισµών Aut(G), όταν : (α ) G είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα. (ϐ ) G είναι µια πεπερασµένη κυκλική οµάδα. Ασκηση 97. Να ϐρεθεί η αριστερή κανονική αναπαράσταση της οµάδας του Klein. Ασκηση 98. Εστω GL n (R) η οµάδα των αντιστρεψίµων n n πινάκων πραγµατικών αριθµών. Αν SL n (R) = { A GL n (R) det(a) = 1 }, να δείξετε ότι το σύνολο SL n (R) είναι µια κανονική υποοµάδα της GL n (R), και ακολούθως να περιγράψετε την οµάδα πηλίκο : GL n (R) / SL n (R) Ασκηση 99. Εστω f : G G ένας οµοµορφισµός οµάδων. (1) Αν H είναι µια κανονική υποοµάδα της G, να δείξετε ότι η f(h) είναι µια κανονική υποοµάδα της Im(f) = f(g). (2) Αν K είναι µια κανονική υποοµάδα της G, να δείξετε ότι η f 1 (K) είναι κανονική υποοµάδα της G. Ασκηση 100. ( ευτερο Θεωρηµα Ισοµορφισµων) Εστω G µια οµάδα, H G µια υποοµάδα της G, και N G µια κανονική υποοµάδα της G. Να δείξετε ότι : (1) Το υποσύνολο HN = {hn G h H & n N} είναι µια υποοµάδα της G και N HN. (2) H N H. (3) Υπάρχει ένας ισοµορφισµός οµάδων : HN / N = H / (H N) Αν η οµάδα G είναι προσθετική, τότε ο παραπάνω ισοµορφισµός έχει την ακόλουθη µορφή : H + N / N = H / (H N) Ως εφαρµογή να δείξετε ότι, αν G = Z, H = 3Z, N = 4Z, τότε υπάρχει ισοµορφσιµός : 3Z / 12Z = Z 4 Ασκηση 101. (1) Εστω G µια οµάδα και g G. Να δείξετε ότι η απεικόνιση i g : G G, x i g (x) = gxg 1 είναι αυτοµορφισµός, ο οποίος καλείται ο εσωτερικός αυτοµορφισµός της G µέσω του g. (2) Υπολογίστε τις υποοµάδες i (123) (H) και i (23) (K) για τις υποοµάδες H = (12) και K = (132) της οµάδας S 3. Ασκηση 102. Εστω G µια πολλαπλασιαστική οµάδα και S G ένα µη-κενό υποσύνολο της G.

24 (1) Το υποσύνολο S = { H G S H } είναι η µικρότερη υποοµάδα της G η οποία περιέχει το S. Η υποοµάδα S καλείται η υποοµάδα της G η οποία παράγεται από το S. (2) Να δείξετε ότι : S = { s a 1 1 sa 2 2 san n G n 0, a i Z, s i S } Αν η οµάδα G είναι προσθετική, τότε η παραπάνω ισότητα έχει την ακόλουθη µορφή : S = { a 1 s 1 + a 2 s 2 + + a n s n G n 0, a i Z, s i S } Ασκηση 103. (1) Εστω S ένα πεπερασµένο σύνολο στοιχείων της προσθετικής αβελιανής οµάδας Q. Να δείξετε ότι η υποοµάδα S η οποία παράγεται από το S είναι άπειρη κυκλική. (2) Εστω S ένα πεπερασµένο σύνολο στοιχείων της προσθετικής αβελιανής οµάδας Q/Z. Να δείξετε ότι η υποοµάδα S η οποία παράγεται από το S είναι πεπερασµένη κυκλική. Ασκηση 104. Να δοθούν παραδείγµατα : (1) Απειρης οµάδας G, όλα τα στοιχεία της οποίας έχουν πεπερασµένη τάξη. (2) Οµάδας G η οποία να µην έχει στοιχεία πεπερασµένης τάξης > 1 αλλά να έχει µια οµάδα-πηλίκο G/H, της οποίας όλα τα στοιχεία να έχουν πεπερασµένη τάξη. (3) Απειρης οµάδας G η οποία να έχει µια κανονική υποοµάδα H όλα τα στοιχεία της οποίας έχουν πεπερασµένη τάξη, και η οµάδα πηλίκο G/H να µην έχει στοιχεία πεπερασµένης τάξης.

25 Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 21 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 105. Εστω (R, +, ) µια τριάδα η οποία ικανοποιεί όλα τα αξιώµατα του ορισµού δακτυλίου µε µονάδα, εκτός από την µεταθετικότητα της πρόσθεσης. Να δείξετε οτι ισχύει η µεταθετικότητα της πρόσθεσης και η τριάδα (R, +, ) είναι ένας δακτύλιος. Ασκηση 106. Ποια από τα επόµενα σύνολα µαζί µε τις αναφερόµενες πράξεις αποτελούν δακτύλιους; (1) R = {a + b 3 a, b Z} µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πραγµατικών αριθµών (2) R = {a + bi a, b Q}, όπου i 2 = 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού {( µιγαδικών ) αριθµών } a b (3) R = a, b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων 0 a {( ) } a b (4) R = a, b R µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων b a (5) R = {A M 2 2 (R) det A = 0} µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων (6) R = {m/n Q n περιττός } µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού ϱητών αριθµών (7) R = {ri r R}, όπου i 2 = 1, µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού µιγαδικών αριθµών {( ) } u v Ασκηση 107. Να δειχθεί ότι το σύνολο H = u, v C M v u 2 2 (C) µαζί µε τις συνήθεις πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού πινάκων αποτελεί έναν δακτύλιο διαίρεσης. Ο δακτύλιος H καλείται δακτύλιος διαίρεσης των τετρανίων του Hamilton. Ασκηση 108. Εστω ότι (R, +, ) είναι ένας δακτύλιος και ότι Z(R) είναι το υποσύνολο {r R r x = x r, x R}. Να δειχθεί ότι το Z(R) αποτελεί έναν υποδακτύλιο του R. Ο υποδακτύλιος Z(R) καλείται κέντρο του δακτυλίου R. Ασκηση 109. Να υπολογιστεί το κέντρο Z(H) του δακτυλίου των τετρανίων του Hamilton. Ασκηση 110. Να προσδιοριστούν όλοι οι διαιρέτες του µηδενός των επόµενων δακτυλίων : (1). Z 4, (2). Z 8, (3). Z 11, (4). Z 2 Z 2.

26 Ασκηση 111. (1) Αν R είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και για κάθε r R ισχύει r 2 = r, να δείξετε ότι ο R είναι µεταθετικός. ( Ενας δακτύλιος για τον οποίο ισχύει r 2 = r για κάθε r R, καλείται δακτύλιος του Boole) (2) Αν R είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και για κάθε r R ισχύει r 3 = r, να δείξετε ότι ο R είναι µεταθετικός. Ασκηση 112. Εστω (R, +, ) ένας δακτύλιος µε τουλάχιστον δύο στοιχεία και ο οποίος ικανοποιεί την επιπλέον ιδιότητα ότι για κάθε a R, a 0, υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο b R έτσι ώστε aba = a. Να δειχθεί ότι : (1) ο R δεν διαθέτει διαιρέτες του µηδενός. (2) bab = b. (3) ο R διαθέτει µοναδιαίο στοιχείο. (4) ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης. Ασκηση 113. Να προσδιοριστούν τα αντιστρέψιµα στοιχεία των επόµενων δακτυλίων: (1). Z 10, (2). Z 2 Z 4, (3). Z[i], όπου i 2 = 1, (4). Z Z, (5). H. Ασκηση 114. Ποιοι από τους επόµενους δακτύλιους είναι σώµατα; (1). Z[i], (2). Q Q, (3.) Z 13. Ασκηση 115. Ποια είναι η χαρακτηριστική των επόµενων δακτυλίων; (1). Z 10 Z 8, (2). C, (3.) Z Z, (4). H, (5). Z 2 Z Z 3. Ασκηση 116. Να προσδιοριστούν όλοι οι οµοµορφισµοί δακτυλίων φ: R 1 R 2, όπου: (1). R 1 = Z, R 2 = Z 3, (2). R 1 = 3Z, R 2 = Z, (3). R 1 = Z 4, R 2 = Z 6, (4.) R 1 = Z 6, R 2 = Z 10, (5.) R 1 = Z 12, R 2 = Z 6, (6.) R 1 = Q, R 2 = Q. Ασκηση 117. Εστω R ένας δακτύλιος, όχι απαραίτητα µε µονάδα. Να δείξετε ότι το σύνολο Z R = { (n, r) n Z & r R } εφοδιασµένο µε τις πράξεις : (n, r) + (m, s) = (n + m, r + s) και (n, r) (m, s) = (nm, ns + rm + rs) είναι ένας δακτύλιος µε µονάδα και η απεικόνιση είναι ένας µονοµορφισµός δακτυλίων. f : R Z R, f(r) = (0, r) Ασκηση 118. Θεωρούµε τον δακτύλιο πινάκων M 2 (Z 2 ). (1) Βρείτε το πλήθος των στοιχείων του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (2) Βρείτε όλα τα αντιστρέψιµα στοιχεία του δακτυλίου M 2 (Z 2 ). (3) Να ϐρεθεί η χαρακτηριστική του δακτυλίου M 2 (Z 2 ).

27 Ασκηση 119. Εστω R ένας πεπερασµένος δακτύλιος µε µονάδα. Να δείξετε ότι ο R είναι δακτύλιος διαίρεσης αν και µόνον ο R δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Ασκηση 120. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα. Αν ένα στοιχείο a R έχει περισσότερα από ένα δεξιά αντίστροφα στοιχεία (δηλαδή στοιχεία a R έτσι ώστε aa = 1 R ) τότε να δείξετε ότι το a έχει άπειρα δεξιά αντίστροφα στοιχεία. Ασκηση 121. Εστω R µια ακέραια περιοχή και υποθέτουµε ότι : nr = 0, για κάποιο r R, r 0 και κάποιο n Z +, n 0. Να δείξετε ότι : char(r) = p για κάποιον πρώτο διαιρέτη p του n. Ασκηση 122. Εστω R ένας δακτύλιος µε περισσότερα από ένα στοιχεία. Υποθέτουµε ότι η εξίσωση ax = b έχει λύση για κάθε 0 a R και για κάθε b R. Να δείξετε ότι ο δακτύλιος R είναι δακτύλιος διαίρεσης.

28 Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 11 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση 123. Να δώσετε παράδειγµα οµοµορφισµού δακτυλίων f : R S, όπου R και S είναι δακτύλιοι µε µονάδα, έτσι ώστε : (1) f(1 R ) 1 S. (2) ο δακτύλιος R να περιέχει αντιστρέψιµο στοιχείο x και το στοιχείο f(x) S να µην είναι αντιστρέψιµο. Ασκηση 124. Εστω R και S δακτύλιοι µε µονάδα και έστω f : R S ένας µη-µηδενικός οµοµορφισµός δακτυλίων. Να δείξετε ότι f(1 R ) = 1 S, σε κάθε µια από τις ακόλουθες περιπτώσεις : (1) Ο οµοµορφισµός f είναι επιµορφισµός. (2) Ο δακτύλιος S είναι δακτύλιος διαίρεσης. (3) Ο δακτύλιος S δεν έχει διαιρέτες του µηδενός. Αν ισχύει f(1 R ) = 1 S, τότε να δείξετε ότι : (α) για κάθε αντιστρέψιµο στοιχείο x R, το στοιχείο f(x) S είναι αντιστρέψιµο και f(x) 1 = f(x 1 ), και (β) ο οµοµορφισµός δακτυλίων f : R S επάγει έναν οµοµορφισµό οµάδων f : U(R) U(S) µεταξύ των (πολλαπλασιαστικών) οµάδων των δακτυλίων R και S αντίστοιχα. Ασκηση 125. (1) Να δοθεί παράδειγµα µη-µεταθετικού δακτυλίου R, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να είναι µεταθετικός. (2) Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου R χωρίς µονάδα, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να έχει µονάδα. (3) Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου R µε διαιρέτες του µηδενός, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να µη έχει διαιρέτες του µηδενός. (4) Να δοθεί παράδειγµα δακτυλίου R χωρίς διαιρέτες του µηδενός, ο οποίος περιέχει ένα ιδεώδες I έτσι ώστε ο δακτύλιος πηλίκο R/I να έχει διαιρέτες του µηδενός. (5) Βρείτε έναν υποδακτύλιο του του δακτυλίου Z Z, ο οποίος να µην είναι ιδεώδες του Z Z. Ασκηση 126. Εστω ο δακτύλιος πολυωνύµων R[t] υπεράνω του R. Εστω τα κύρια ιδεώδη του R[t] I = (t 2 + 1) και J = (t 2 4) τα οποία παράγονται από τα πολυώνυµα t 2 + 1 και t 2 4. Να περιγραφούν οι δακτύλιοι πηλίκα R[t]/I και R[t]/J. Τι παρατηρείτε ;

29 Ασκηση 127. (1) είξτε ότι η απεικόνιση ( ) a b f : C M 2 (R), f(a + bi) = b a είναι µονοµορφισµός δακτυλίων. (2) Θεωρούµε τον υποδακτύλιο Q[ 5] = { a + b 5 R a, b Q } του σώµατος R. Να δείξετε ότι το υποσύνολο Q[ 5] είναι σώµα και η απεικόνιση είναι ισοµορφισµός δακτυλίων. f : Q[ 5] Q[ 5], f(a + b 5) = a b 5 Ασκηση 128. Να ϐρεθούν όλα τα ιδεώδη του υποδακτυλίου { ( ) } a b R = M 0 c 2 (R) a, b, c R M 2 (R) Ασκηση 129. Εστω K ένα σώµα. Να δείξετε ότι τα µόνα ιδεώδη του δακτυλίου πινάκων M 2 (K) είναι το µηδενικό ιδεώδες και ο ίδιος ο δακτύλιος. Εξετάστε αν αυτός ο ισχυρισµός ισχύει όταν n > 2. Ασκηση 130. Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα. Να δείξετε ότι ένα υποσύνολο A του δακτυλίου πινάκων M n (R) είναι ιδεώδες του M n (R) αν και µόνον αν υπάρχει ιδεώδες I του R έτσι ώστε : { } A = I n := A = (a ij ) M n (R) a ij I, 1 i, j n και η απεικόνιση είναι 1-1 και επί. Φ : { ιδεώδη I του R } { ιδεώδη A του M n (R) }, Φ(I) = I n Ασκηση 131. Εστω f : R S ένας επιµορφισµός δακτυλίων και έστω N = Ker(f). Να δειχθεί ότι η απεικόνιση Φ : { ιδεώδη I του R έτσι ώστε : N I } { ιδεώδη K του S }, είναι 1-1 και επί, και επιπλέον : I 1 I 2 αν και µόνον αν Φ(I 1 ) Φ(I 2 ). Φ(I) = f(i) Ασκηση 132. Εστω N ένα ιδεώδες του δακτυλίου R. Τότε τα ιδεώδη του δακτυλίου πηλίκο R/N είναι της µορφής : I/N = { x + N R/N x I } όπου I είναι ένα ιδεώδες του R έτσι ώστε N I. Ασκηση 133. (1) Βρείτε όλα τα ιδεώδη N του δακτυλίου Z 12. Σε κάθε περίπτωση να περιγράψετε τον δακτύλιο πηλίκο Z 12 /N, δηλαδή ϐρείτε γνωστό δακτύλιο µε τον οποίο είναι ισόµορφος ο δακτύλιος-πηλίκο Z 12 /N. (2) Να δείξετε ότι το υποσύνολο 8Z είναι ιδεώδες του δακτυλίου 2Z, και να συµπληρώσετε τους πίνακες πρόσθεσης και πολλαπλασιασµού του δακτύλιου πηλίκο 2Z/8Z. Είναι οι δακτύλιοι 2Z/8Z και Z 4 ισόµορφοι ;

30 Ασκηση 134. ( εύτερο Θεώρηµα Ισοµορφισµών ακτυλίων) Εστω I και J δύο ιδεώδη του δακτυλίου R. (1) Να δειχθεί ότι το σύνολο I +J = { x+y R x I & y J } είναι ιδεώδες του R, και το υποσύλο J είναι ένα ιδεώδες του υποδακτυλίου I + J. (2) Να δειχθεί οτι το συνολο I J = { z R z I & z J } είναι ιδεώδες του R και του υποδακτυλίου I. (3) Να δειχθεί ότι οι δακτύλιοι πηλίκα (I + J)/J και I/I J είναι ισόµορφοι : (I + J)/J = I/I J Ασκηση 135. Εστω I 1, I 2,, I n ιδεώδη ενός δακτυλίου R, και υποθέτουµε ότι : I i + I j = R, 1 i j n Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων / n = R I k R/I1 R/I 2 R/I n k=1 Ασκηση 136. ( Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων για ακτυλίους) I 1, I 2,, I n ιδεώδη του R, έτσι ώστε : I i + I j = R, 1 i j n Να δείξετε ότι αν x 1, x 2,, x n R, τότε υπάρχει ένα στοιχείο x R έτσι ώστε : x x k I k, 1 k n Εστω R ένας δακτύλιος µε µονάδα και Να συνάγετε το Κινέζικο Θεώρηµα Υπολοίπων της Θεωρίας Αριθµών : Εστω m 1, m 2,, m n ϑετικοί ακέραιοι έτσι ώστε (m i, m j ) = 1, 1 i j n. Εστω a 1, a 2,, a n τυχόντες ακέραιοι. Τότε το σύστηµα ισοτιµιών x a i mod(m i ) 1 i n έχει λύση, και δύο τυχούσες λύσεις του συστήµατος είναι ισότιµες modulo m 1 m 2 m n. Ασκηση 137. Εστω n = p a 1 1 pa 2 2 pa k k η πρωτογενής ανάλυση του ϕυσικού αριθµού n 1 σε γινόµενο δυνάµεων διακεκριµµένων πρώτων αριθµών p 1, p 2,, p k. Να δείξετε ότι υπάρχει ένας ισοµορφισµός δακτυλίων Z n = Zp a 1 1 Z p a 2 2 Z p a k k

31 Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση 138. (1) Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z 12. (2) Βρείτε όλα τα πρώτα ιδεώδη και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου Z 2 Z 2. (3) Βρείτε ένα µέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου Z Z. (4) Βρείτε ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Z Z το οποίο να µην είναι µέγιστο. (5) Βρείτε ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου Z[t] το οποίο να µην είναι µέγιστο. (6) Βρείτε ένα µη τετριµµένο γνήσιο ιδεώδες του δακτυλίου Z Z το οποίο να µην είναι πρώτο. Ασκηση 139. Να ϐρεθούν όλα τα πρώτα (µέγιστα) ιδεώδη του δακτυλίου Z n. Ασκηση 140. Να δείξετε ότι κάθε ακέραια περιοχή µε πεπερασµένο πλήθος (κύριων) ιδεωδών είναι σώµα. Ασκηση 141. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. είξτε ότι κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο ιδεώδες, αν ισχύει µια από τις ακόλουθες συνθήκες : (1) Ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος στοιχείων. (2) Ο δακτύλιος R έχει πεπερασµένο πλήθος ιδεωδών. Ασκηση 142. είξτε ότι το N είναι µέγιστο ιδεώδες ενός δακτυλίου R αν και µόνο αν ο R/N είναι απλός δακτύλιος, δηλαδή δεν έχει γνήσια µη τετριµµένα ιδεώδη. Ασκηση 143. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, και υποθέτουµε ότι κάθε ιδεώδες του R είναι πρώτο ιδέωδες. Να δείξετε ότι ο R είναι σώµα. Ασκηση 144. Να ϐρεθούν όλα τα πρώτα και όλα τα µέγιστα ιδεώδη του δακτυλίου { ( ) } a b R = M 0 c 2 (R) a, b, c R Ασκηση 145. Εστω R ένας δακτύλιος του Boole, και έστω P ένα γνήσιο ιδεώδες του R. Αποδείξτε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το ιδεώδες P είναι πρώτο. (2) x, y R: είτε x P ή y P ή x + y P. (3) Το ιδεώδες P είναι µέγιστο.

32 (4) Ο δακτύλιος πηλίκο R/P είναι ισόµορφος µε το σώµα Z 2. Ασκηση 146. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα, και P ένα πρώτο ιδεώδες του R. Υπο- ϑέτουµε ότι το P δεν περιέχει διαιρέτες του µηδενός. Να δείξετε οτι ο δακτύλιος R είναι ακέραια περιοχή. Ασκηση 147. Εστω f : R S ένας οµοµορφισµός µεταξύ µεταθετικών δακτυλίων µε µονάδα. (1) Να δείξετε ότι για κάθε πρώτο ιδεώδες J του S, το ιδεώδες f 1 (J) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. (2) Να δείξετε ότι αν η f είναι επιµορφισµός, τότε για κάθε µέγιστο ιδεώδες J του S, το ιδεώδες f 1 (J) είναι ένα µέγιστο ιδεώδες του R. (3) Να δείξετε µε ένα παράδειγµα ότι αν η f δεν είναι επιµορφισµός, τότε ο ισχυρισµός στο (2) δεν είναι αληθής. Ασκηση 148. Εστω R ένας µεταθετικός δακτύλιος µε µονάδα. Υποθέτουµε ότι : x R, n 2 : x n = x Να δείξετε ότι κάθε πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο. Ασκηση 149. Εστω R µια ακέραια περιοχή, και υποθέτουµε ότι κάθε ιδεώδες του R είναι κύριο. Να δείξετε οτι κάθε µη-µηδενικό πρώτο ιδεώδες του R είναι µέγιστο. Ασκηση 150. (1) Να δείξετε ότι το κύριο ιδεώδες (t) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t του δακτυλίου πολυωνύµων F[t], F είναι σώµα, είναι µέγιστο. (2) Να δείξετε ότι το κύριο ιδεώδες (t) το οποίο παράγεται από το πολυώνυµο t του δακτυλίου πολυωνύµων Z[t], είναι πρώτο αλλά όχι µέγιστο. (3) Να δείξετε ότι το ιδεώδες (2, t) := { 2P (t) + tq(t) Z[t] P (t), Q(t) Z[t] } του δακτυλίου Z[t] είναι µέγιστο. Ασκηση 151. 4 Εστω C([0, 1]) ο δακτύλιος των συνεχών συναρτήσεων f : [0, 1] R. Για ένα υποσύνολο M C([0, 1]), να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Το M είναι µέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου C([0, 1]). (2) Υπάρχει r [0, 1]: M = M r := { f C([0, 1]) f(r) = 0 }. Επιπλέον να δείξετε ότι η απεικόνιση είναι 1-1 και επί. [0, 1] { µέγιστα ιδεώδη του C([0, 1]) }, r M r 4Άσκηση αυξηµένης δυσκολίας

33 Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 152. Να εξεταστεί ποια από τα επόµενα σύνολα ορίζουν σχέση ισοδυναµίας και στην περίπτωση που η απάντηση είναι καταφατική να προσδιοριστούν οι κλάσεις ισοδυναµίας : (1) f 1 = {(n, m) Z Z nm > 0} Z Z, (2) f 2 = {(x, y) R R x y} R R, (3) f 3 = {(x, y) R R x = y} R R, (4) f 4 = {(n, m) N N 2/n m} N N. Ασκηση 153. Στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών C ορίζουµε δύο σχέσεις R και S ως εξής : z R w z w R z S w z w C \ R Να εξετάσετε αν οι σχέσεις R και S είναι σχέσεις ισοδυναµίας στο C, και, στην περίπτωση κατά την οποία είναι σχέσεις ισοδυναµίας, να περιγράψετε τα σύνολα πηλίκα C/R και C/S. Ασκηση 154. Εστω X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} και έστω η σχέση R = { (1, 1), (1, 2), (5, 8), (7, 4), } X X Να ϐρεθεί η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας R επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. Ασκηση 155. Εστω ότι K συµβολίζει ένα από τα ακόλυθα σώµατα Q, R, C, και έστω M n (K) το σύνολο των n n πινάκων µε στοιχεία από το K. Υπενθυµίζουµε ότι δύο πίνακες A, B M n (K) καλούνται όµοιοι αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : είξτε ότι ορίζοντας : P 1 A P = B A B ο πίνακας A είναι όµοιος µε τον B αποκτούµε µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο M n (K). Είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασµός πινάκων συµβατή πράξη µε την σχέση οµοιότητας ;

34 Ασκηση 156. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και R µια σχέση επί του X, δηλαδή ένα υποσύνολο του X X. Να δείξετε ότι η σχέση R = { S X X S είναι σχέση ισοδυναµίας επί του X και R S } είναι η µικρότερη σχέση ισοδυναµίας επί του X η οποία περιέχει τη σχέση R. Επιπλέον να δείξετε ότι : a, b X : a R b n 0 και x 1, x 2,, x n+1 X : a = x 1 & b = x n+1, και : (x i, x i+1 ) R, 1 i n ή (x i+1, x i ) R, 1 i n Ασκηση 157. Πόσες σχέσεις ισοδυναµίας ορίζονται επί ενός συνόλου X µε 5 στοιχεία ; Ασκηση 158. Εστω το σύνολο A = {0, 1} Z. Να εξεταστεί, αν η αντιστοιχία ορίζει πράξη επί του A. + : A A A, (a, b) a + b (η πρόσθεση των ακεραίων) Ασκηση 159. Εστω το σύνολο Q = Q \ {0}. Να εξεταστεί, αν η αντιστοιχία : Q Q Q, (a, b) a b = a b ορίζει πράξη επί του Q, και να εξεταστεί, αν πρόκειται για προσεταιριστική ή µεταθετική πράξη. Ασκηση 160. Εστω X ένα συνόλο και P(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Υπενθυµίζουµε ότι, αν A, B είναι δύο υποσύνολα του X, δηλαδή A, B P(X), τότε η συµµετρική διαφορά τους A B ορίζεται να είναι το ακόλουθο υποσύνολο A B := (A \ B) (B \ A) του X. Να εξετάσετε αν το σύνολο P(X) εφοδιασµένο µε την πράξη της συµµετρικής διαφοράς ικανοποιέι τις παρακάτω ιδιότητες : : P(X) P(X) P(X), (A, B) A B (1) Προσεταιριστικότητα. (2) Μεταθετικότητα. (3) Υπάρχει στοιχείο E P(X) έτσι ώστε : E A = A = A E; Αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο E είναι µοναδικό ; (4) Υπάρχει, για κάθε στοιχείο A P(X), ένα στοιχείο A P(X) έτσι ώστε : A A = E = A A; Αν υπάρχει τέτοιο στοιχείο A, είναι µοναδικό ; (5) Ορίζουµε στο P(X) µια σχέση ισοδυναµίας R ως εξής : A, B (X) : A R B A = B δηλαδή τα υποσύνολα A, B έχουν το ίδιο πλήθος στοιχείων. Είναι η πράξη συµβιβαστή µε την σχέση ισοδυναµίας R; (6) Να εξετασθεί αν η εξίσωση A X = B έχει µοναδική λύση στο P(X).

35 Ασκηση 161. Εστω A = { f : N C f τυχούσα απεικόνιση }. Να δείξετε ότι ορίζοντας f, g A : (f g)(n) = ab=n f(a)g(b) (δηλαδή αθροίζουµε όλα τα δυνατά γινόµενα f(a)g(b), όπου οι ϕυσικοί αριθµοί a, b ικανοποιούν τη σχέση : ab = n), αποκτούµε µια διµελή πράξη : A A A. (1) Να δείξετε ότι η πράξη είναι προσεταιριστική. (2) Να δείξετε ότι η πράξη είναι µεταθετική. (3) Να δείξετε ότι υπάρχει µοναδική απεικόνιση ε A έτσι ώστε : ε f = f = f ε

36 Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 162. Να εξετάσετε αν το σύνολο G = { a Q το b είναι περιττός} b εφοδιασµένο µε την συνήθη πρόσθεση ϱητών αριθµών αποτελεί οµάδα. Ασκηση 163. Να δείξετε ότι αν σε µια οµάδα (G, ) ισχύει x = x, x G, τότε η G είναι αβελιανή. Ασκηση 164. Εστω (G, ) µια οµάδα και έστω a G. Να δείξετε ότι οι απεικονίσεις f a : G G, f a (x) = a x g a : G G, g a (x) = x a είναι 1-1 και επί. Ασκηση 165. Να ϐρεθεί µια διµελής πράξη στο ανοιχτο διάστηµα (0, 1) = { x R 0 < x < 1 } µε την οποία το σύνολο (0, 1) να αποτελεί οµάδα έτσι ώστε το αντίστροφο του x να είναι το 1 x. Ασκηση 166. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο και έστω P(X) το σύνολο όλων των υποσυνόλων του X (δυνα- µοσύνολο του X). Να δείξετε ότι το P(X) αποτελεί οµάδα µε πράξη την συµµετρική διαφορά υποσυνόλων του X: A B := (A B) (B A), A, B P(X) όπου A B := {x A x / B}. Πότε η οµάδα (P(X), ) είναι πεπερασµένη ; Πόσα στοιχεία έχει ; Είναι η οµάδα (P(X), ) αβελιανή ; Σχηµατίστε τον πίνακα της οµάδας (P(X), ) όταν το σύνολο X έχει τρία στοιχεία. Ασκηση 167. Εστω S το σύνολο των σηµείων στο µιγαδικό επίπεδο τα οποία απέχουν απόσταση ίση µε 1 από την αρχή των αξόνων. Με άλλα λόγια : S = { z C z = 1 } Να δείξετε ότι το S αποτελεί αβελιανή οµάδα µε πράξη τον πολλαπλασιασµό µιγαδικών αριθµών. Ασκηση 168. Εστω S ένα σύνολο και : S S S, µια διµελής πράξη επί του S. Υποθέτουµε ότι : (a, b) a b