Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Β Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας Κριτήριο Routh... 4 3.1 Το Κριτήριο Routh μέσω ενός παραδείγματος... 4 3.1.1 Παράδειγμα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh... 5 3.2 Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh... 10 3.3 Ιδιαίτερες περιπτώσεις συστημάτων... 13 3.3.1 Συστήματα που εμφανίζουν πλήρως μηδενική σειρά στη Διάταξη Routh 13 3.3.2 Συστήματα που εμφανίζουν ένα μηδενικό πρώτο όρο σειράς στη Διάταξη Routh... 17 3.4 Το Κριτήριο Routh σε συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση... 22 3.4.1 Συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση και ευστάθεια... 22 3.4.2 Παράδειγμα συστήματος με παράμετρο ελεύθερη προς ρύθμιση... 23 3.4.3 Εύρεση της συνθήκης ευστάθειας μέσω του Κριτηρίου Routh... 25 3.4.4 Κρίσιμες Τιμές και Οριακή Ευστάθεια... 28 3.5 Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh σε συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση... 29 3.5.1 Παράδειγμα 1 ο... 29 3.5.2 Παράδειγμα 2 ο... 36 3.5.3 Παράδειγμα 3 ο... 39 3.6 Άλλα αλγεβρικά Kριτήρια Το Κριτήριο Hurwitz... 42 3.6.1 Παράδειγμα 1 ο... 43 3.6.2 Παράδειγμα 2 ο... 46 3.6.3 Παράδειγμα 3 ο... 48 3

1. Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι να μελετήσουμε μια σημαντική προϋπόθεση για την ομαλή λειτουργία των συστημάτων: την ευστάθεια τους. 2. Περιεχόμενα ενότητας Στην (υπο)ενότητα αυτή θα μελετήσουμε: Αλγεβρικά κριτήρια ευστάθειας και ιδιαίτερα το κριτήριο Routh. Ιδιαίτερες περιπτώσεις ευστάθειας. Το Κριτήριο Routh σε συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh σε συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση 3. Αλγεβρικά Κριτήρια Ευστάθειας Κριτήριο Routh 3.1 Το Κριτήριο Routh μέσω ενός παραδείγματος Το Κριτήριο Routh απαντά στο ερώτημα περί ευστάθειας δεδομένου συστήματος (γνωστής συνάρτησης μεταφοράς), παρακάμπτοντας την εύρεση των ριζών του Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου και στηριζόμενο αποκλειστικά στους συντελεστές του πολυωνύμου αυτού. Το Κριτήριο Routh προτάθηκε το 1876 από τον άγγλο μαθηματικό Edward J. Routh, (1831 1907), ο οποίος εργάστηκε στα Πανεπιστήμια του Λονδίνου και του Cambridge. Είναι το αποτέλεσμα της προσπάθειάς του να βρει μια μέθοδο που αποφασίζει πόσες από τις ρίζες ενός πολυωνύμου ανήκουν στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο, χωρίς να υπολογιστούν όμως οι ίδιες οι ρίζες. Είναι αλγεβρικό κριτήριο και μεταξύ των αλγεβρικών κριτηρίων είναι αυτό με την μεγαλύτερη πρακτική αξία. Άλλα αλγεβρικά Κριτήρια, όπως το Κριτήριο Hurwitz, αποδεικνύεται ότι είναι ισοδύναμα με το Routh, αλλά περισσότερο απαιτητικά σε μαθηματικές πράξεις. 4

Εδώ δεν θα αναφερθεί η μαθηματική απόδειξη της ορθότητας του Κριτηρίου Routh αλλά (i) θα αναπτυχθεί μέσα από παραδείγματα η τεχνική εφαρμογής του και (ii) θα δοθεί έμφαση στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων του. Η εφαρμογή του Κριτηρίου Routh προχωρά με τα εξής βήματα: I. Σχηματίζεται η Διάταξη Routh, σε μορφή πίνακα πεπερασμένων διαστάσεων, τα στοιχεία του οποίου συμπληρώνονται σταδιακά, σειρά-σειρά, από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου και από (απλές) πράξεις μεταξύ τους. II. Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh. III. Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh που λέει τα εξής για τα στοιχεία της 1 ης στήλης της Διάταξης Routh: 1. Αν όλα τα στοιχεία είναι ομόσημα και μη μηδενικά, το σύστημα είναι ευσταθές. 2. Αν ένα τουλάχιστον στοιχείο είναι μηδενικό και τα υπόλοιπα ομόσημα, το σύστημα είναι οριακά ευσταθές. 3. Αν υπάρχει εναλλαγή προσήμου μεταξύ των στοιχείων, το σύστημα είναι ασταθές. Στην περίπτωση αυτή, το πλήθος των εναλλαγών προσήμου μας δίνει τον αριθμό «ασταθών» πόλων, δηλαδή πόλων στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. Στη συνέχεια θα περιγραφεί το καθένα από τα τρία βήματα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh μέσω ενός παραδείγματος. 3.1.1 Παράδειγμα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του ΓΧΑ συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς H(s) πού δίνεται από τον εξής τύπο: B( s) B( s) H() s A s s s s s s 5 4 3 2 ( ) 8 25 40 34 12 (Β2.1) 5 4 3 2 Διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο s 8s 25s 40s 34s 12 είναι 5 ου βαθμού, συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 5 πόλους. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Η διάταξη Routh είναι ένα πίνακας με (Ν+1) γραμμές και (Ν+1)/2 ή (Ν+2)/2 στήλες όποιο από τα δύο είναι ακέραιος. Στο παράδειγμα είναι N = 5, οπότε η διάταξη θα έχει 6 γραμμές και 3 στήλες. Οι γραμμές χαρακτηρίζονται από τις δυνάμεις της μεταβλητής (s): 5

s 5 s 4 s 3 s 2 s 1 Συμπλήρωση δύο πρώτων γραμμών Οι δύο πρώτες γραμμές γεμίζουν απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, χωρίς πράξεις. Η 1 η γραμμή γεμίζει με τους συντελεστές που λαμβάνονται ένας παρά ένας, ξεκινώντας από το συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου. Στο παράδειγμα ο μεγιστοβάθμιος όρος είναι ο s 5 και οι συντελεστές ξεκινώντας από αυτόν εναλλάξ είναι οι [1, 25, 34]. Η 2 η γραμμή γεμίζει με τους υπόλοιπους συντελεστές που δεν χρησιμοποιήθηκαν στην 1 η γραμμή και οι οποίοι επίσης λαμβάνονται ένας παρά ένας. Στο παράδειγμα είναι οι συντελεστές [8, 40, 12]. s 5 1 25 34 s 4 8 40 12 s 3 s 2 s 1 Στο σημείο αυτό επισημαίνεται ότι μπορούν να απλοποιηθούν οι όροι μιας γραμμής, αρκεί η απλοποίηση να γίνει με θετικό αριθμό ώστε να μην αλλάξουν τα πρόσημα. Η απλοποίηση οδηγεί σε πράξεις με μικρότερους αριθμούς. Εδώ π.χ. στη δεύτερη γραμμή μπορούν όλοι οι όροι να απλοποιηθούν με το +4, οπότε θα έχουμε: 6

s 5 1 25 34 s 4 2 10 3 s 3 s 2 s 1 Οι υπόλοιπες γραμμές γεμίζουν προοδευτικά. Η καθεμία προκύπτει από πράξεις μεταξύ των στοιχείων των δύο (2) ακριβώς προηγουμένων γραμμών. Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η σειρά γεμίζει από τις 1 η και 2 η ως εξής: Κάθε όρος της τρέχουσας γραμμής έχει τη μορφή πηλίκου με αρνητικό πρόσημο, ορίζουσα 2 x 2 στον αριθμητή και τον όρο pivot στον παρονομαστή: a b c d ad bc pivot pivot Ο όρος pivot είναι ο πρώτος όρος της ακριβώς προηγούμενης γραμμής και γίνεται παρονομαστής σε όλους τους όρους της τρέχουσας γραμμής. Στο παράδειγμα, όλοι οι όροι της 3 ης γραμμής θα έχουν παρονομαστή το 2: s 5 1 25 34 s 4 2 10 3 s 3 a b c d 2 a b c d 2 a b c d 2 s 2 s 1 Οι ορίζουσες έχουν όλες ως αριστερή στήλη το αριστερότερο ζεύγος αριθμών των δύο προηγούμενων γραμμών. Στο παράδειγμα, [ a, c] = [1, 2] και στις τρεις ορίζουσες. 7

Οι δεξιές στήλες των οριζουσών γεμίζουν με τη σειρά από τα επόμενα ζεύγη αριθμών των δύο προηγούμενων σειρών, κι αν δεν υπάρχουν άλλοι όροι γεμίζουν με μηδενικά. Στο παράδειγμα, κατά σειράν θα χρησιμοποιηθούν ως δεξιές στήλες μέσα στις τρεις ορίζουσες τα ζεύγη [25, 10], [34, 3 ] και [ 0, 0 ]: s 5 1 25 34 s 4 2 10 3 s 3 1 25 2 10 10 50 20 2 2 s 2 s 1 1 34 2 3 3 68 32.5 2 2 2 0 0 0 2 2 Με την συμπλήρωση μίας γραμμής, ορίζεται ο νέος pivot και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Στο παράδειγμα η 4 η γραμμή θα γεμίσει από τους όρους των 2 ης και 3 ης και ο νέος pivot είναι το 20. Αριστερή στήλη σε όλες τις ορίζουσες θα γίνουν οι αριθμοί [2, 20] και δεξιές στήλες κατά σειράν οι [10, 32.5], [3, 0]: s 5 1 25 34 s 4 2 10 3 s 3 1 25 2 10 10 50 20 2 2 s 2 2 10 20 32.5 65 200 6.75 20 20 s 1 1 34 2 3 3 68 32.5 2 2 2 3 20 0 0 60 3 20 20 2 0 0 0 2 2 2 0 20 0 0 0 20 20 8

Συμπλήρωση 5 ης γραμμής Στο παράδειγμα η 5 η γραμμή θα γεμίσει από τους όρους των 3 ης και 4 ης και ο νέος pivot είναι το 6.75. Αριστερή στήλη σε όλες τις ορίζουσες θα γίνουν οι αριθμοί [20, 6.75] και δεξιές στήλες κατά σειράν οι [32.5, 3], [0, 0] και [0, 0]: s 5 1 25 34 s 4 2 10 3 s 3 1 25 2 10 10 50 20 2 2 1 34 2 3 3 68 2 0 0 32.5 0 2 2 2 2 s 2 2 10 20 32.5 65 200 6.75 20 20 s 1 20 32.5 6.75 3 60 219.375 23.611 6.75 6.75 2 3 20 0 0 60 3 20 20 20 0 6.75 0 0 6.75 2 0 20 0 0 0 20 20 20 0 6.75 0 0 6.75 Συμπλήρωση 6 ης γραμμής Τέλος, στο παράδειγμα η 6 η γραμμή θα γεμίσει από τους όρους των 4 ης και 5 ης και ο νέος pivot είναι το 23.611. Αριστερή στήλη σε όλες τις ορίζουσες θα γίνουν οι αριθμοί [6.75, 23.611] και δεξιές στήλες κατά σειράν οι [3, 0], [0, 0] και [0, 0]: s 5 1 25 34 s 4 2 10 3 s 3 1 25 2 10 10 50 20 2 2 1 34 2 3 3 68 32.5 2 2 2 0 0 0 2 2 s 2 2 10 20 32.5 65 200 6.75 20 20 2 3 20 0 0 60 3 20 20 2 0 20 0 0 0 20 20 9

s 1 20 32.5 6.75 3 60 219.375 23.611 6.75 6.75 20 0 6.75 0 0 6.75 20 0 6.75 0 0 6.75 6.75 3 23.61 323.611 3 23.611 23.611 6.75 0 23.61 0 23.611 6.75 0 23.61 0 23.611 Παρατηρούμε ότι καθώς η συμπλήρωση προχωρά από την 1 η προς την τελευταία γραμμή, οι μη μηδενικές στήλες μειώνονται, με αποτέλεσμα στην τελευταία γραμμή να έχουμε πάντα έναν μόνο μη μηδενικό όρο. ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη, στο παράδειγμα η s 5 1 s 4 2 s 3 20 s 2 6.75 s 1 23.611 3 ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Εξετάζουμε τους όρους της 1 ης στήλης και διαπιστώνουμε ότι είναι όλοι ομόσημοι και μη μηδενικοί (γνησίως θετικοί), άρα με βάση το Κριτήριο το σύστημα είναι ευσταθές. 3.2 Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh Παράδειγμα 1 ο Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του ΓΧΑ συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς H(s) πού δίνεται από τον εξής τύπο: B( s) B( s) H() s A s s s s s 4 3 2 1 ( ) 4 0.2 4 2 (Β2.2) 4 3 2 1 Διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο s 4s 0.2s 4s 2 είναι 4 ου βαθμού, συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 4 πόλους. 10

ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 5 γραμμές και (N+2)/2 = 3 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s 4.2 2 s 3 4 4 0 s 2 s 1 Η δεύτερη γραμμή απλοποιείται με το +4 και γίνεται: s 4.2 2 s 3 1 s 2 s 1 Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 1. s 4.2 2 s 3 1 s 3.2 1 1 1 0.2 0.8 1 1 s 1 1 1 2 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 11

Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το (-0.8). s 4.2 2 s 3 1 s 2.2 1 1 1 0.2 0.8 1 1 1 1 2 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 s 1 1 1 0.8 2 2 0.8 3.5 ( 0.8) ( 0.8) 0.8 0 ( 0.8) 0 0.8 0 ( 0.8) 0 Συμπλήρωση 5 ης γραμμής Η 5 η γραμμή γεμίζει από τις 3 η και 4 η και με pivot το 3.5. s 4.2 2 s 3 1 s 2.2 1 1 1 0.2 0.8 1 1 1 1 2 0 0 2 2 1 1 0 0 1 1 s 1 1 1 0.8 2 2 0.8 3.5 ( 0.8) ( 0.8) 0.8 0 ( 0.8) 0 0.8 0 ( 0.8) 0 0.8 2 3.5 0 0 7 2 3.5 3.5 0.8 0 3.5 0 0 3.5 0.8 0 3.5 0 0 3.5 ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης, και έχει δύο εναλλαγές προσήμου (από +1 σε -0.8 και από -0.8 σε +3.5). 12

πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 4 1 + 0 s 3 1 + 0 s 2 0.8-1 s 1 3.5 + 1 2 + 0 ΣΥΝΟΛΟ 2 ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Εξετάζουμε τους όρους της 1 ης στήλης και διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν ετερόσημοι αριθμοί και συγκεκριμένα υπάρχουν συνολικά δύο (2) εναλλαγές προσήμου. Άρα με βάση το Κριτήριο το σύστημα είναι ασταθές και μάλιστα δύο (2) από τους τέσσερις (4) συνολικά πόλους του είναι «ασταθείς» δηλαδή βρίσκονται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. 3.3 Ιδιαίτερες περιπτώσεις συστημάτων 3.3.1 Συστήματα που εμφανίζουν πλήρως μηδενική σειρά στη Διάταξη Routh Αποδεικνύεται ότι όταν το υπό εξέταση σύστημα έχει είτε ζεύγος συζυγών καθαρά φανταστικών πόλων της μορφής j είτε ζεύγος καθαρά πραγματικών αλλά συμμετρικών πόλων, της μορφής, τότε σε κάποιο σημείο συμπλήρωσης της Διάταξης Routh εμφανίζεται μία πλήρως μηδενική σειρά (όλοι οι συντελεστές της σειράς αυτής είναι ίσοι με μηδέν). Στην περίπτωση αυτή, η διαδικασία συμπλήρωσης της Διάταξης δεν μπορεί να συνεχιστεί κατά τα γνωστά βήματα και πρέπει να τροποποιηθεί. Αποδεικνύεται ότι ισοδύναμο αποτέλεσμα (απάντηση περί της ευστάθειας του εξεταζόμενου συστήματος) λαμβάνεται τότε με την εξής τροποποιημένη διαδικασία: (1) Λαμβάνεται η πλέον πρόσφατη ήδη υπολογισμένη και μη πλήρως μηδενική σειρά της διάταξης Routh. (2) Με βάση τον επικεφαλής όρο - εκθέτη του s της σειράς αυτής, γράφεται το πολυώνυμο δυνάμεων του s. (3) Το πολυώνυμο παραγωγίζεται μία φορά ως προς s. (4) Οι συντελεστές του παραγώγου πολυωνύμου χρησιμοποιούνται ως όροι για να συμπληρωθεί η πλήρως μηδενική σειρά. (5) Η διαδικασία ανάπτυξης της Διάταξης Routh συνεχίζεται κατά τα γνωστά. 13

Παράδειγμα συστήματος που εμφανίζει πλήρως μηδενική σειρά στη Διάταξη Routh Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του ΓΧΑ συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς H(s) πού δίνεται από τον εξής τύπο: B( s) B( s) H() s A s s s s s 4 3 2 ( ) 6 10 6 9 (Β2.3) 4 3 2 Διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο s 6s 10s 6s 9 είναι 4 ου βαθμού, συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 4 πόλους. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 5 γραμμές και (N+2)/2 = 3 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s 4 1 10 9 s 3-6 -6 0 s 2 s 1 Η δεύτερη γραμμή απλοποιείται με το +6 και γίνεται: s 4 1 10 9 s 3-1 - s 2 s 1 14

Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το (-1). s 4 1 10 9 s 3-1 - s 2 1 10 1 1 1 ( 10) 9 1 1 s 1 1 9 0 ( 9) 9 1 1 0 0 1 1 Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το 9. s 4 1 10 9 s 3-1 - s 2 1 10 1 1 1 ( 10) 9 1 1 s 1 1 1 9 9 9 ( 9) 0 9 9 1 9 0 ( 9) 9 1 1 9 0 0 9 0 0 1 1 9 0 0 9 Εδώ διαπιστώνουμε ότι εμφανίζεται μία πλήρως μηδενική γραμμή, οπότε ακολουθούμε την τροποποιημένη διαδικασία: (1) Λαμβάνεται η 3 η γραμμή (η πλέον πρόσφατη ήδη υπολογισμένη όχι πλήρως μηδενική γραμμή). s 2 1 10 1 1 1 ( 10) 9 1 1 1 9 0 ( 9) 9 1 1 0 0 1 1 15

(2) Με βάση τον επικεφαλής όρο s 2 της γραμμής αυτής, γράφουμε το αντίστοιχο πολυώνυμο, όπου οι δυνάμεις του s μειώνονται κατά δύο σε κάθε όρο του 2 0 πολυωνύμου: 9s 9s. (3) Παραγωγίζεται αυτό το πολυώνυμο μία φορά ως προς s, οπότε προκύπτει το 2 0 / (9 9 ) 18 s s s. (4) Η μηδενική (4 η ) γραμμή συμπληρώνεται με τους συντελεστές του παραγώγου πολυωνύμου, δηλαδή εδώ με [18 0 0 ]: s 4 1 10 9 s 3-1 - s 2 1 10 1 1 1 ( 10) 9 1 1 1 9 0 ( 9) 9 1 1 0 0 1 1 s 1 18 0 0 (5) Συνεχίζεται η συμπλήρωση της 5 ης γραμμής κατά τα γνωστά. Συμπλήρωση 5 ης γραμμής Η 5 η γραμμή γεμίζει από τις 3 η και 4 η με pivot το 18. Προηγουμένως όμως απλοποιούμε την 4 η γραμμή με το 18, ώστε να προκύψει η απλούστερη [ 0 ], οπότε pivot είναι πλέον το 1. s 4 1 10 9 s 3-1 - s 2 1 10 1 1 1 ( 10) 9 1 1 1 9 0 ( 9) 9 1 1 0 0 1 1 s 1 0 9 9 0 9 9 1 1 0 0 16

ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης, και έχει δύο εναλλαγές προσήμου (από 1 σε -1 και από -1 σε 9). πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 4 1 + 0 s 3 1 1 s 2 9 + 1 s 1 1 + 0 9 + 0 ΣΥΝΟΛΟ 2 ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Εξετάζουμε τους όρους της 1 ης στήλης και διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν ετερόσημοι αριθμοί και συγκεκριμένα υπάρχουν συνολικά δύο (2) εναλλαγές προσήμου. Άρα με βάση το Κριτήριο το σύστημα είναι ασταθές και μάλιστα δύο (2) από τους τέσσερις (4) συνολικά πόλους του είναι «ασταθείς» δηλαδή βρίσκονται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. 3.3.2 Συστήματα που εμφανίζουν ένα μηδενικό πρώτο όρο σειράς στη Διάταξη Routh Αν σε κάποιο σημείο συμπλήρωσης της Διάταξης Routh εμφανίζεται μηδενικός όρος στην 1 η στήλη (αλλά όχι πλήρως μηδενική σειρά), η διαδικασία συμπλήρωσης της Διάταξης δεν μπορεί να συνεχιστεί κατά τα γνωστά βήματα διότι για την επόμενη γραμμή θα είναι pivot = 0, οπότε θα πρέπει να τροποποιηθεί. Αποδεικνύεται ότι ισοδύναμο αποτέλεσμα (απάντηση περί της ευστάθειας του εξεταζόμενου συστήματος) λαμβάνεται τότε αν αντικατασταθεί το μηδενικό στοιχείο με μικρή θετική ποσότητα έστω δ > 0, και συνεχιστεί η διαδικασία κατά τα γνωστά. Ο έλεγχος αν οι συντελεστές της 1 ης στήλης είναι ομόσημοι γίνεται θεωρώντας το όριο κάθε ποσότητας, όταν το δ τείνει στο μηδέν. Παράδειγμα συστήματος που εμφανίζει ένα μηδενικό πρώτο όρο στη Διάταξη Routh Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του ΓΧΑ συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς H(s) πού δίνεται από τον εξής τύπο: 17

B( s) B( s) H() s A s s s s s s 5 4 3 2 ( ) 2 2 4 3 0 (Β2.4) 5 4 3 2 Διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο s 2s 2s 4s 3s 0 είναι 5 ου βαθμού, συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 5 πόλους. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 6 γραμμές και (N+1)/2 = 3 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s 5 1 2 3 s 4 2 4 0 s 3 s 2 s 1 Απλοποιούμε τη 2 η γραμμή με το 2 και έχουμε: s 5 1 2 3 s 4 1 2 0 s 3 s 2 s 1 18

Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 1. s 5 1 2 3 s 4 1 2 0 s 3 1 2 1 2 0 1 s 2 s 1 1 3 0 3 3 1 1 0 1 Εδώ παρατηρούμε ότι ο όρος στην 1 η στήλη είναι μηδέν, με αποτέλεσμα να μην μπορούμε να συνεχίσουμε, διότι για τη συμπλήρωση της 4 ης γραμμής ο pivot = 0. Ακολουθούμε την τροποποιημένη διαδικασία και αντικαθιστούμε το μηδέν με μικρή ποσότητα δ>0. s 5 1 2 3 s 4 1 2 0 s 3 0 1 3 0 3 3 1 1 0 1 s 2 s 1 Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το δ>0. s 5 1 2 3 s 4 1 2 0 s 3 δ 3 0 19

s 2 1 2 3 3 2 3 2 s 1 0 0 0 Η ποσότητα (2 3/δ) καθώς το δ τείνει στο μηδέν γίνεται αρνητική: 3 lim 0 (2 ). Συμπλήρωση 5 ης γραμμής Η 5 η γραμμή γεμίζει από τις 3 η και 4 η με pivot το (2 3/δ). s 5 1 2 3 s 4 1 2 0 s 3 δ 3 0 s 2 2 3/δ 0 0 s 1 3 (2 3 / ) 0 0 3(2 3 / ) 3 (2 3 / ) (2 3 / ) 0 0 0 Συμπλήρωση 6 ης γραμμής Η 6 η γραμμή γεμίζει από τις 4 η και 5 η με pivot το 3. 20

s 5 1 2 3 s 4 1 2 0 s 3 δ 3 0 s 2 2 3/δ 0 0 s 1 3 0 0 (2 3 / ) 0 3 0 (2 3 / ) 0 ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης, και έχει δύο εναλλαγές προσήμου και έναν μηδενικό όρο (τον τελευταίο). πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 5 1 + s 4 1 + 0 s 3 δ > 0 + 0 s 2 2 3/δ < 0 1 s 1 3 + 1 0 0 0 ΣΥΝΟΛΟ 2 ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Εξετάζουμε τους όρους της 1 ης στήλης και διαπιστώνουμε ότι υπάρχουν ετερόσημοι αριθμοί και συγκεκριμένα υπάρχουν συνολικά δύο (2) εναλλαγές προσήμου. Άρα με βάση το Κριτήριο το σύστημα είναι ασταθές και μάλιστα δύο (2) από τους πέντε (5) συνολικά πόλους του είναι «ασταθείς» δηλαδή βρίσκονται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. Επιπλέον λόγω του μηδενικού που εμφανίζεται στην τελευταία θέση της 1 ης στήλης (και το οποίο δεν προσμετράται ως εναλλαγή προσήμου), υπάρχει ένας πόλος στο μηδέν. 21

3.4 Το Κριτήριο Routh σε συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση 3.4.1 Συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση και ευστάθεια Η σχεδίαση του ελεγκτή που θα ελέγχει τη λειτουργία ενός δεδομένου συστήματος είναι διαδικασία που προχωρά σε βήματα οργανωμένα ιεραρχικά, με βάση το δεδομένο πρόβλημα και τις υπάρχουσες εναλλακτικές λύσεις. Συγκεκριμένα, πρέπει ο σχεδιαστής να λάβει τις εξής αποφάσεις κατά σειράν: 1. Ποια θα είναι η θέση της βαθμίδας του ελεγκτή μέσα στο διάγραμμα βαθμίδων του δεδομένου προς έλεγχο συστήματος (πχ. στον ευθύ κλάδο του συστήματος, στον κλάδο ανάδρασης, κλπ.) 2. Ποιο ακριβώς ηλεκτρονικό κύκλωμα θα περιέχει η βαθμίδα του ελεγκτή, αρχικά ως συνάρτηση μεταφοράς (πχ. βαθυπερατό σύστημα 1 ου βαθμού) και τελικά ως ηλεκτρονικό κύκλωμα (πχ. ενισχυτική βαθμίδα με τελεστικό ενισχυτή σε αναστρέφουσα συνδεσμολογία). 3. Ποιες ακριβώς θα είναι οι αριθμητικές τιμές των κυκλωματικών στοιχείων, ώστε το κύκλωμα να πληροί τις δεδομένες προδιαγραφές (πχ. χαρακτηριστικά τελεστικού ενισχυτή, τιμές αντιστάσεων και πυκνωτών που θα συνδεσμολογηθούν γύρω από τον τελεστικό στο κύκλωμα, κλπ.). Όταν ολοκληρωθούν αυτά τα βήματα της σχεδίασης, ο σχεδιαστής είναι σε θέση είτε να σχεδιάσει το όλο κύκλωμα (σύστημα και ελεγκτής) σε περιβάλλον προσομοίωσης, όπως πχ. το περιβάλλον Matlab/Simulink (The Mathworks) και να μελετήσει την ευστάθεια και τη λειτουργία του, είτε να προμηθευτεί τα εξαρτήματα και να κατασκευάσει πρωτότυπο για το κύκλωμα του ελεγκτή. Το τελευταίο στάδιο στη σχεδίαση είναι ο ακριβής υπολογισμός των αριθμητικών τιμών των κυκλωματικών στοιχείων. Τα κυκλωματικά στοιχεία εμπλέκονται στις τιμές των συντελεστών των πολυωνύμων αριθμητή και παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς H(s) του τελικού συστήματος κλειστού βρόχου, οπότε αναπόφευκτα επηρεάζουν και τη θέση πόλων και μηδενικών, άρα τη χρονική απόκριση και την ευστάθεια του τελικού συστήματος. Ονομάζονται παράμετροι του συστήματος και το τελευταίο βήμα της σχεδίασης (αυτό του προσδιορισμού των αριθμητικών τιμών των παραμέτρων) ονομάζεται ρύθμιση παραμέτρων. Επιθυμητό είναι για κάθε παράμετρο να καθοριστούν τιμές ή περιθώρια (περιοχές) τιμών, ώστε να τελικό σύστημα κλειστού βρόχου (α) να είναι ευσταθές, και (β) η χρονική του απόκριση για δεδομένες εισόδους να είναι εντός προδιαγραφών. Πρακτικά λοιπόν σε ένα ενδιάμεσο στάδιο της σχεδίασης, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος περιέχει ακόμη παραμέτρους, δηλαδή μεταβλητές ποσότητες που αντιστοιχούν σε κυκλωματικά στοιχεία και δεν έχουν λάβει ακόμη τις οριστικές τους τιμές. 22

Στις περιπτώσεις αυτές, το ερώτημα αν το τελικό σύστημα είναι ευσταθές δεν έχει δυαδική απάντηση του τύπου «Ναι, είναι ευσταθές» / «Όχι, δεν είναι ευσταθές», αλλά έχει απάντηση υπό συνθήκη, του τύπου «Ναι, μπορεί να γίνει ευσταθές, εφόσον η παράμετρος λάβει τιμές μεταξύ των εξής ορίων» / «Ναι, μπορεί να γίνει ευσταθές, ανεξαρτήτως της τιμής της παραμέτρου» / «Όχι, δεν μπορεί να γίνει ευσταθές, για καμμία τιμή της παραμέτρου». Τα αντίστοιχα ισχύουν και για συστήματα με περισσότερες από μία παραμέτρους προς ρύθμιση. Άρα η μελέτη της ευστάθειας ενός συστήματος με παραμέτρους ελεύθερες προς ρύθμιση στοχεύει όχι να διαπιστώσει αν το σύστημα είναι ή δεν είναι ευσταθές αλλά να προσδιορίσει τη συνθήκη ή τις συνθήκες υπό τις οποίες το σύστημα μπορεί να γίνει ευσταθές. Οι συνθήκες αφορούν τις περιοχές τιμών που μπορούν να λάβουν οι παράμετροι, και τυπικά είναι ανισώσεις ή συστήματα ανισώσεων που περιέχουν τις παραμέτρους ως αγνώστους. 3.4.2 Παράδειγμα συστήματος με παράμετρο ελεύθερη προς ρύθμιση Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε την ευστάθεια συστήματος με το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων, όπου η απολαβή (gain) του ενισχυτή k είναι παράμετρος ακόμη ελεύθερη προς ρύθμιση, ο ευθύς κλάδος έχει τριπλό πόλο στο s = -1, δηλαδή είναι G(s) = 1/(s+1) 3, ενώ περιλαμβάνεται και μοναδιαία αρνητική ανάδραση H(s) = 1. X(s) k G(s) Y(s) - H(s) = 1 Σημειώνεται ότι, όπως θα περιγραφεί αναλυτικότερα στο σχετικό κεφάλαιο, αυτό το διάγραμμα βαθμίδων μπορεί να θεωρηθεί ως ένα κλειστό σύστημα με τον ενισχυτή k να έχει το ρόλο του ελεγκτή (controller) και όλο το υπόλοιπο διάγραμμα πλην του ελεγκτή να είναι το δεδομένο προς έλεγχο σύστημα. Πρόκειται για το απλούστερο είδος ελεγκτή, στην πραγματικότητα είναι μία υποπερίπτωση του πλήρους Ελεγκτή Τριών Σημείων (PID Controller) στην οποία χρησιμοποιείται μόνο ο όρος P (P controller). Όπως προαναφέρθηκε, ο ελεγκτής πρέπει να σχεδιαστεί ώστε το όλο κλειστό σύστημα μαζί με τον ελεγκτή (α) να είναι ευσταθές και (β) η χρονική απόκρισή του να είναι εντός δεδομένων προδιαγραφών. Σύμφωνα με τα βήματα σχεδίασης που προαναφέρθηκαν, εδώ έχει ήδη αποφασιστεί η θέση του ελεγκτή (σε σειρά με τον 23

ευθύ κλάδο G(s) του προς έλεγχο συστήματος) και το ηλεκτρονικό κύκλωμα του ελεγκτή (ενισχυτής με σταθερή ενίσχυση k), οπότε απομένει το τρίτο βήμα, δηλαδή να ρυθμιστεί η παράμετρος k της απολαβής του. Ο ευθύς κλάδος του συστήματος με τον ελεγκτή είναι πλέον k G(s), οπότε η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου του τελικού συστήματος, έστω F(s), δίνεται από τη σχέση: 1 k Fs () 3 k G() s ( s 1) k k 3 3 2 1 1 k G( s) H ( s) 1 1 k 1 ( s 1) k s 3s 3 s (1 k) 3 ( s 1) (B2.5) Η τιμή που θα λάβει η παράμετρος k εμφανίζεται στον αριθμητή αλλά και στον παρονομαστή της συνάρτησης μεταφοράς, οπότε μεταβάλλει τους συντελεστές που Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου και συνεπώς και τις ρίζες του, δηλαδή τους πόλους του συστήματος, από τους οποίους κρίνεται η ευστάθειά του. Συνεπώς, είναι λογικό το σύστημα για άλλες τιμές του k να προκύπτει ευσταθές και για άλλες όχι. Παραδείγματος χάριν, υπολογίζουμε ότι για k = 9 το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο γίνεται 3 2 1 s 3s 3s 10 οπότε οι τρεις ρίζες της Χαρακτηριστικής Εξίσωσης είναι οι 3.08 p1 3 2 1 s s s s p2 j 3 3 10 0 0.04 1.8 sp3 0.04 j1.8 s Παρατηρούμε ότι οι δύο τελευταίοι από τους 3 πόλους έχουν θετικό πραγματικό μέρος, άρα βρίσκονται στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο του επιπέδου της μεταβλητής s = σ + j ω του Laplace. Άρα για απολαβή k = 9, σύμφωνα με τον 3 ο ορισμό της ευστάθειας, το σύστημα είναι ασταθές. Αντίθετα, υπολογίζουμε ότι για k = 1 το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο γίνεται 3 2 1 s 3s 3s 2 οπότε οι τρεις ρίζες της Χαρακτηριστικής Εξίσωσης είναι οι 24

2.00 p1 3 2 1 s s s s p2 j 3 3 2 0 0.50 0.86 sp3 0.50 j0.86 s Παρατηρούμε ότι όλοι οι πόλοι έχουν αρνητικό πραγματικό μέρος, άρα βρίσκονται στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο του επιπέδου της μεταβλητής s = σ + j ω του Laplace. Άρα για απολαβή k = 1, σύμφωνα με τον 3 ο ορισμό της ευστάθειας, το σύστημα είναι ευσταθές. 3.4.3 Εύρεση της συνθήκης ευστάθειας μέσω του Κριτηρίου Routh Εναλλακτικά, αντί να καταφύγουμε στον 3 ο ορισμό της ευστάθειας, εφαρμόζουμε το Κριτήριο Routh στο Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο του ίδιου συστήματος 3 2 1 s s s k 3 3 (1 ), όπου το k παραμένει παράμετρος ελεύθερη προς ρύθμιση. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 4 γραμμές και (N+1)/2 = 2 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: s 3 1 3 s 2 3 (1+k) s 1 25

Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 3. s 3 1 3 s 2 3 (1+k) s 1 1 3 3 1 k (1 k) 9 8 k 3 3 3 3 0 0 3 Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το (8-k)/3. s 3 1 3 s 2 3 (1+k) s 1 1 3 3 1 k (1 k) 9 8 k 3 3 3 3 0 0 3 3 1 k 8 k 0 3 8 k 3 1 k ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης, και διαπιστώνουμε ότι το πρόσημο των στοιχείων της εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου k. 26

πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 3 1 + 0 s 2 3 + 0 s 1 (8-k)/3?? 1+k?? ΣΥΝΟΛΟ? ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει όλοι οι όροι της 1 ης στήλης να είναι ομόσημοι. Δεδομένου ότι οι δύο πρώτοι είναι ήδη θετικοί, η μόνη περίπτωση ομοσημίας είναι να είναι και οι υπόλοιποι θετικοί. Έτσι προκύπτει σύστημα ανισώσεων, με άγνωστο την παράμετρο k. Ανάλογα με το σύνολο λύσεων του συστήματος ανισώσεων, διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Εάν υπάρχει λύση του συστήματος ανισώσεων ως προς k, αυτή δίνει και την περιοχή τιμών του k για τις οποίες το σύστημα μπορεί να γίνει ευσταθές, δηλαδή τη Συνθήκη Ευστάθειας. Στην περίπτωση αυτή το κλειστό σύστημα χαρακτηρίζεται ως Ευσταθές Υπό Συνθήκη. 2. Εάν το σύστημα ανισώσεων δεν έχει λύση, τότε το κλειστό σύστημα δεν μπορεί να γίνει ευσταθές για καμμία τιμή του k οπότε χρειάζεται ανασχεδίαση. Στην περίπτωση αυτή το κλειστό σύστημα χαρακτηρίζεται ως Ασταθές (χωρίς συνθήκη). 3. Εάν τέλος το σύστημα ανισώσεων ικανοποιείται (οι ανισώσεις του συναληθεύουν) για οποιαδήποτε τιμή της παραμέτρου k, τότε η παράμετρος k δεν επηρεάζει την ευστάθεια του συστήματος. Στην περίπτωση αυτή το κλειστό σύστημα χαρακτηρίζεται ως Ευσταθές (χωρίς συνθήκη). Στο ανωτέρω παράδειγμα, το σύστημα ανισώσεων που προκύπτει διαπιστώνουμε ότι έχει λύση, διότι οι δύο ανισώσεις του συναληθεύουν για ορισμένη περιοχή τιμών του k: 8 k 0 3(8 k) 0 8 k 0 k 8 3 1 k 8 1 k 0 1 k 0 k 1 1k 0 (B2.6) Άρα το σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη και η Συνθήκη Ευστάθειας είναι η 1 k 8. Φυσικά στο τελευταίο αυτό βήμα λαμβάνονται υπόψη επιπλέον πρακτικοί περιορισμοί, που προκύπτουν από τη φύση της κάθε παραμέτρου. Άρα η μαθηματικά προσδιοριζόμενη Συνθήκη Ευστάθειας, όπως προκύπτει από το Κριτήριο Routh, μπορεί να περιορίζεται περαιτέρω λόγω των περιορισμών αυτών. Αν 27

παραδείγματος χάριν η παράμετρος είναι σταθερά χρόνου του τύπου T = R C, δεν μπορεί να λάβει αρνητικές τιμές. Παρομοίως, στο ανωτέρω παράδειγμα συστήματος, αν η απολαβή k προκύπτει από τελεστικό ενισχυτή σε μη αναστρέφουσα συνδεσμολογία, είναι γνωστό ότι τότε k > 0 και μάλιστα k = 1 + (R 2 /R 1 ) > 1, οπότε η Συνθήκη Ευστάθειας θα περιοριστεί ανάλογα και θα γίνει: 1 k 8 1 k 8 k 1 (Β2.7) Αξίζει να σημειωθεί ότι οι ανισώσεις που προκύπτουν από την εφαρμογή του Κριτηρίου Routh σε συστήματα με παράμετρο είναι όλες γνήσιες ανισώσεις (δεν περιλαμβάνουν την ισότητα). Αυτό προκύπτει από τον 3 ο ορισμό της ευστάθειας που ζητά να είναι οι πόλοι στο Αριστερό Μιγαδικό Ημιεπίπεδο, δηλαδή να έχουν πραγματικό μέρος γνησίως αρνητικό και όχι <= 0. Συνοψίζοντας, το πλεονέκτημα του Κριτηρίου Routh είναι σημαντικό στην περίπτωση που το σύστημα περιέχει παραμέτρους προς ρύθμιση, διότι μας δίνει απευθείας τη συνθήκη ευστάθειας, δηλαδή την επιτρεπτή περιοχή τιμών της παραμέτρου, οδηγώντας έτσι τον σχεδιαστή στην επιλογή των τιμών των κυκλωματικών του στοιχείων για την προσομοίωση και κατασκευή πρωτοτύπου του ελεγκτή. Αντίθετα, μέσω του 3 ου ορισμού της ευστάθειας, ο σχεδιαστής θα έπρεπε να ελέγξει διαδοχικά πλήθος τιμών της παραμέτρου για να αποκτήσει μια αδρή εικόνα της ευστάθειας του συστήματος. 3.4.4 Κρίσιμες Τιμές και Οριακή Ευστάθεια Τα όρια της Συνθήκης Ευστάθειας, όπως είναι στο ανωτέρω παράδειγμα οι τιμές -1 και 8, είναι τιμές της παραμέτρου που κάνουν το σύστημα Οριακά Ευσταθές, δηλαδή φέρνουν τους «δεξιότερους» πόλους του κλειστού συστήματος πάνω στον κατακόρυφο άξονα (jω) του μιγαδικού επιπέδου. Οι πόλοι αυτοί που βρίσκονται πάνω στον κατακόρυφο άξονα, έχουν καθαρά φανταστικές τιμές του τύπου j0 (με πραγματικό μέρος σ = 0) και συνεισφέρουν στην χρονική απόκριση του συστήματος κατά το Μεταβατικό Φαινόμενο (Transient Response) συνιστώσες που είναι ημίτονα ή συνημίτονα αμείωτου πλάτους και συχνότητας ( rad / sec). 0 Αποτέλεσμα είναι το Μεταβατικό Φαινόμενο ενός Οριακά Ευσταθούς συστήματος να μην φθίνει με το χρόνο (ούτε και να αυξάνει βέβαια) αλλά να διατηρεί αμείωτο πλάτος. Η κατάσταση αυτή είναι ανεπιθύμητη στα ΣΑΕ. Πράγματι, σε ένα ΣΑΕ συνήθως είναι επιθυμητό η έξοδος να ακολουθεί πιστά τις μεταβολές της κυματομορφής εισόδου, και όχι να εμφανίζει ημίτονα αμείωτου πλάτους. (Αν η επιθυμητή έξοδος είναι ημίτονο αμείωτου πλάτους, τότε συζητάμε για ένα άλλο πρόβλημα, που είναι η σχεδίαση αρμονικών ταλαντωτών ή γεννητριών ημιτονικών συναρτήσεων, για το οποίο υπάρχουν πολλές και δοκιμασμένες σχεδιαστικές λύσεις). 28

Οι οριακές τιμές των παραμέτρων, που φέρνουν το σύστημα σε Οριακή Ευστάθεια, ονομάζονται και Κρίσιμες Τιμές (Critical Values) των παραμέτρων και ενδιαφέρουν ιδιαίτερα το σχεδιαστή ενός ΣΑΕ. Πρέπει να τις υπολογίσει, όχι για να ρυθμίσει κάθε παράμετρο στην κρίσιμη τιμή της, αλλά αντίθετα για να τη ρυθμίσει όσο πιο μακριά από την κρίσιμη τιμή είναι δυνατόν, διότι έτσι θα αυξήσει το Περιθώριο Ευστάθειας του συστήματος. Το περιθώριο αυτό αναφέρεται εδώ ποιοτικά ως η απόσταση της παραμέτρου από την κρίσιμη τιμή της, αλλά θα οριστεί με ακρίβεια σε επόμενο κεφάλαιο. Στο ανωτέρω παράδειγμα η μαθηματικά υπολογιζόμενη μέσω Κριτηρίου Routh Συνθήκη Ευστάθειας είναι η 1 k 8(χωρίς να ληφθούν υπόψη οι πρακτικοί περιορισμοί από τη φύση του k). Οι κρίσιμες τιμές για την παράμετρο απολαβής k είναι οι kcritical 1 και kcritical 8 και η βέλτιστη ρύθμιση της παραμέτρου k, δηλαδή αυτή που μεγιστοποιεί το Περιθώριο Ευστάθειας του συστήματος, είναι η θέση που απέχει όσο το δυνατόν περισσότερο από τις δύο κρίσιμες τιμές, δηλαδή ο μέσος 8 ( 1) όρος τους, k 4.5. 2 3.5 Παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Routh σε συστήματα με παραμέτρους προς ρύθμιση 3.5.1 Παράδειγμα 1 ο Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του κλειστού συστήματος με το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων: X(s) k Gp(s) Y(s) - H(s) = 1 Το σύστημα κλειστού βρόχου περιέχει το προς έλεγχο σύστημα (plant) G p (s) σε σειρά με τον ελεγκτή (controller) που είναι μια ελεύθερη προς ρύθμιση απολαβή k > 0, σε βρόχο μοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Η συνάρτηση μεταφοράς του προς 1 έλεγχο συστήματος είναι Gp () s. Παρατηρούμε ότι το κλειστό 2 s( s 4)( s 4s 8) σύστημα περιέχει την ελεύθερη προς ρύθμιση παράμετρο k, άρα από τη συνθήκη ευστάθειάς του αναμένεται να προκύψει περιοχή τιμών της παραμέτρου. 29

Προκειμένου να εφαρμοστεί το Κριτήριο Ευστάθειας Routh, υπολογίζεται η Συνάρτηση Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου του συστήματος, έστω F(s): k Gs k G () s s s s s Fs () 1 G( s) H ( s) 1 k Gp ( s) k 1 s s s s 2 () p ( 4)( 4 8) k 2 ( 4)( 4 8) 2 4 3 2 s( s 4)( s 4s 8) k s 8s 24s 32s k k (Β2.8) 4 3 2 Διαπιστώνουμε ότι το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο s 8s 24s 32s k είναι 4 ου βαθμού, συνεπώς το κλειστό αυτό σύστημα έχει Ν = 4 πόλους, οι τιμές των οποίων εξαρτώνται από την παράμετρο k. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 5 γραμμές και (N+2)/2 = 3 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου: s 4 1 24 k s 3 8 32 0 s 2 s 1 Η δεύτερη γραμμή απλοποιείται με το +8 και γίνεται: s 4 1 24 k s 3 1 4 0 s 2 s 1 30

Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 1. s 4 1 24 k s 3 1 4 0 s 2 1 24 1 4 20 1 s 1 1 k k 1 0 0 1 1 Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το 20. s 4 1 24 k s 3 1 4 0 s 2 1 24 1 4 20 1 s 1 1 4 20 k 80 k 20 20 1 k k 1 20 0 0 20 0 0 1 1 Συμπλήρωση 5 ης γραμμής Η 5 η γραμμή γεμίζει από τις 3 η και 4 η και με pivot το (80 k)/20. 31

s 4 1 24 k s 3 1 4 0 s 2 1 24 1 4 20 1 s 1 1 4 20 k 80 k 20 20 1 k k 1 20 0 0 20 0 0 1 1 20 80 k 20 80 k 20 k 0 k ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης και διαπιστώνουμε ότι το πρόσημο των στοιχείων της εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου k: πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 4 1 + s 3 1 + 0 s 2 20 + 0 s 1 80 k?? 20 k?? ΣΥΝΟΛΟ? 32

ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει όλοι οι όροι της 1 ης στήλης να είναι ομόσημοι. Δεδομένου ότι oι τρεις πρώτοι όροι είναι ήδη θετικοί (1 > 0, 1 > 0, και 20 > 0), η μόνη περίπτωση ομοσημίας είναι να είναι και οι υπόλοιποι δύο όροι θετικοί. Έτσι προκύπτει σύστημα ανισώσεων, με άγνωστο την παράμετρο k, το οποίο και επιλύεται: 80 k 0 20 (80 k) 0 80 k 0 k 80 20 0 k 80. (Β2.9) k 0 k 0 k 0 k 0 Διαπιστώνουμε ότι το σύστημα ανισώσεων έχει λύση, διότι οι δύο ανισώσεις που αφορούν τον ίδιο άγνωστο k συναληθεύουν για ορισμένη περιοχή τιμών του k. Άρα το σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη και η Συνθήκη Ευστάθειας είναι η 0 k 80. Οι κρίσιμες τιμές του k προκύπτουν άμεσα από τα όρια της Συνθήκης Ευστάθειας. Εδώ είναι οι εξής: k_critical_1 = 0, k_critical_2 = 80. Όπως έχει αναλυθεί στη σχετική παράγραφο, η κρίσιμη τιμή k_critical_1 = 0 δεν έχει φυσική σημασία, οπότε απομένει μία μόνο κρίσιμη τιμή απολαβής, η k_critical_2 = 80. Ολοκληρώνοντας την μελέτη ευστάθειας του κλειστού συστήματος του παρόντος παραδείγματος, καταλήγουμε ότι είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη, η Συνθήκη Ευστάθειας είναι 0 < k < 80, η κρίσιμη τιμή της απολαβής k είναι 80 και το κλειστό σύστημα γίνεται 1. Ευσταθές, για 0 < k < 80 (εντός της Συνθήκης Ευστάθειας), 2. Οριακά Ευσταθές, για k = k_critical_2 = 80 (στο όριο της Συνθήκης Ευστάθειας), 3. Ασταθές, για k > 80 (εκτός της Συνθήκης Ευστάθειας). Υπολογισμός της κρίσιμης (κυκλικής) συχνότητας ω_critical Για τον υπολογισμό της κρίσιμης συχνότητας critical (rad/sec) επιστρέφουμε στη Διάταξη Routh, όπου όμως η απολαβή k έχει αντικατασταθεί από την κρίσιμη τιμή της, k_critical_2 = 80, οπότε δεν υπάρχει παράμετρος. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 5 γραμμές και (N+2)/2 = 3 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου: 33

s 4 1 24 80 s 3 8 32 0 s 2 s 1 Η δεύτερη γραμμή απλοποιείται με το +8 και γίνεται: s 4 1 24 80 s 3 1 4 0 s 2 s 1 Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 1. s 4 1 24 80 s 3 1 4 0 s 2 1 24 1 4 20 1 s 1 1 80 80 1 0 0 1 1 34

Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το 20. s 4 1 24 80 s 3 1 4 0 s 2 1 24 1 4 20 1 s 1 1 4 20 80 0 20 1 80 80 1 20 0 0 20 0 0 1 1 Η 4 η γραμμή είναι πλήρως μηδενική γραμμή, οπότε διακόπτεται η συμπλήρωση των υπολοίπων γραμμών της Διάταξης Routh και λαμβάνεται το πολυώνυμο της ακριβώς προηγούμενης, δηλαδή της 3 ης γραμμής: s 4 1 24 80 s 3 1 4 0 s 2 1 24 1 4 20 1 s 1 1 4 20 80 0 20 1 80 80 1 20 0 0 20 0 0 1 1 Το αντίστοιχο πολυώνυμο που προκύπτει από την 3 η 2 0 γραμμή είναι το 20s 80s, όπου αντικαθιστούμε το s = j critical, λύνουμε την εξίσωση ως προς το μοναδικό άγνωστο critical και έχουμε: 2 0 2 2 20( j critical ) 80( j critical ) 0 20critical 80 0 critical 4 critical 4 2 (B2.10) 35

Δεκτή γίνεται μόνο η θετική ρίζα, διότι η κυκλική συχνότητα σε (rad/sec) δεν μπορεί να έχει αρνητική τιμή. Άρα critical 2 (rad/sec). Τέλος η κρίσιμη συχνότητα f critical (Hz) μπορεί να υπολογιστεί εύκολα ως critical ( rad / sec) 1 fcritical ( Hz) ( Hz) 2 (Β2.11) 3.5.2 Παράδειγμα 2 ο Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του κλειστού συστήματος με το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων: X(s) k Gp(s) Y(s) - H(s) = 1 Το σύστημα κλειστού βρόχου περιέχει το προς έλεγχο σύστημα (plant) G p (s) σε σειρά με τον ελεγκτή (controller) που είναι μια ελεύθερη προς ρύθμιση απολαβή k > 0, σε βρόχο μοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Η συνάρτηση μεταφοράς του προς s 1 έλεγχο συστήματος είναι Gp() s. Παρατηρούμε ότι το κλειστό σύστημα 2 s 2s 4 περιέχει την ελεύθερη προς ρύθμιση παράμετρο k, άρα από τη συνθήκη ευστάθειάς του αναμένεται να προκύψει περιοχή τιμών της παραμέτρου. Προκειμένου να εφαρμοστεί το Κριτήριο Ευστάθειας Routh, υπολογίζεται η Συνάρτηση Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου του συστήματος, έστω F(s): ks ( 1) Gs k G () s s s Fs () 1 G( s) H ( s) 1 k G ( s) ks ( 1) 2 () p ( 2 4) 1 ( 2 s 2 s 4) k( s 1) k( s 1) 2 2 ( s 2s 4) k( s 1) s ( k 2) s (4 k) p (Β2.12) Διαπιστώνουμε ότι το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο 2 s k s k ( 2) (4 ) είναι 2 ου βαθμού, συνεπώς το κλειστό αυτό σύστημα έχει Ν = 2 πόλους, οι τιμές των οποίων εξαρτώνται από την παράμετρο k. 36

ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η διάταξη Routh έχει (N+1) = 3 γραμμές και (N+2)/2 = 2 στήλες. Οι δύο πρώτες γραμμές συμπληρώνονται χωρίς πράξεις, απευθείας από τους συντελεστές του Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου: s 2 1 4 - k s 1 k - 2 0 Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το (k-2). s 2 1 4 - k s 1 k - 2 0 1 4 k k 2 0 k 2 4 k ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης και διαπιστώνουμε ότι το πρόσημο των στοιχείων της εξαρτάται από την τιμή της παραμέτρου k: πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 2 1 + s 1 k 2?? 4 k?? ΣΥΝΟΛΟ? ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει όλοι οι όροι της 1 ης στήλης να είναι ομόσημοι. Δεδομένου ότι ο πρώτος όρος είναι ήδη θετικός (1 > 0), η μόνη περίπτωση 37

ομοσημίας είναι να είναι και οι υπόλοιποι δύο όροι θετικοί. Έτσι προκύπτει σύστημα ανισώσεων, με άγνωστο την παράμετρο k, το οποίο και επιλύεται: k 2 0 k 2 2 k 4. (Β2.13) 4 k 0 k 4 Διαπιστώνουμε ότι το σύστημα ανισώσεων έχει λύση, διότι οι δύο ανισώσεις που αφορούν τον ίδιο άγνωστο k συναληθεύουν για ορισμένη περιοχή τιμών του k. Άρα το σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη και η Συνθήκη Ευστάθειας είναι η 2k 4. Οι κρίσιμες τιμές του k προκύπτουν άμεσα από τα όρια της Συνθήκης Ευστάθειας. Εδώ είναι οι εξής: k_critical_1 = 2, k_critical_2 = 4, που έχουν και οι δύο φυσική σημασία διότι δεν είναι μηδενικές. Ολοκληρώνοντας την μελέτη ευστάθειας του κλειστού συστήματος του παρόντος παραδείγματος, καταλήγουμε ότι είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη, η Συνθήκη Ευστάθειας είναι 2 < k < 4, οι κρίσιμες τιμές της απολαβής k είναι 2 και 4 και το κλειστό σύστημα γίνεται 1. Ευσταθές, για 2 < k < 4 (εντός της Συνθήκης Ευστάθειας), 2. Οριακά Ευσταθές, για k_critical_1 = 2 ή k_critical_2 = 4 (στα όρια της Συνθήκης Ευστάθειας), 3. Ασταθές, για k < 2 ή k > 4 (εκτός της Συνθήκης Ευστάθειας). Υπολογισμός της κρίσιμης (κυκλικής) συχνότητας ω_critical Για τον υπολογισμό της κρίσιμης συχνότητας critical (rad/sec) επιστρέφουμε στη Διάταξη Routh, και αντικαθιστούμε την παράμετρο k με τις κρίσιμες τιμές της, k_critical_1 = 2 ή k_critical_2 = 4, διαδοχικά: (i) k_critical_1 = 2: s 2 1 4 2 = 2 s 1 2 2 = 0 0 Η 2 η γραμμή είναι πλήρως μηδενική γραμμή, οπότε διακόπτεται η συμπλήρωση των υπολοίπων γραμμών της Διάταξης Routh και λαμβάνεται το πολυώνυμο της ακριβώς προηγούμενης, δηλαδή της 1 ης 2 0 γραμμής: s 2s, όπου αντικαθιστούμε το s = j critical, λύνουμε την εξίσωση ως προς το μοναδικό άγνωστο critical και έχουμε: 38

2 0 2 2 ( j critical ) 2( j critical ) 0 critical 2 0 critical 2 critical 2 1.41 (B2.14) Δεκτή γίνεται μόνο η θετική ρίζα, διότι η κυκλική συχνότητα σε (rad/sec) δεν μπορεί να έχει αρνητική τιμή. Άρα critical,1 1.41(rad/sec). (ii) k_critical_1 = 4: s 2 1 4 4 = 0 s 1 4 2 = 2 0 4 4 = 0 Η 3 η γραμμή είναι πλήρως μηδενική γραμμή, οπότε διακόπτεται η συμπλήρωση των υπολοίπων γραμμών της Διάταξης Routh και λαμβάνεται το πολυώνυμο της ακριβώς προηγούμενης, δηλαδή της 2 ης 1 γραμμής: 2s 0, όπου αντικαθιστούμε το s = j critical, λύνουμε την εξίσωση ως προς το μοναδικό άγνωστο critical και έχουμε: Άρα critical,2 0 (rad/sec). 2( j ) 0 0 (B2.15) critical critical 3.5.3 Παράδειγμα 3 ο Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του κλειστού συστήματος με το ακόλουθο διάγραμμα βαθμίδων: X(s) Gc(s) Gp(s) Y(s) - H(s) = 1 Το σύστημα κλειστού βρόχου περιέχει το προς έλεγχο σύστημα (plant) εδώ είναι ένας σερβοκινητήρας Gp() s σε σειρά με τον ελεγκτή (controller) G () s, σε βρόχο μοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Η συνάρτηση μεταφοράς του σερβοκινητήρα είναι c 39

Gp () s s 2 1 ( T s 1) p όπου T p είναι η σταθερά χρόνου του, ενώ η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή είναι G ( s) k ( T s 1), όπου k είναι η ενίσχυση και T c η c σταθερά χρόνου του. Παρατηρούμε ότι το κλειστό σύστημα περιέχει συνολικά τρεις παραμέτρους ελεύθερες προς ρύθμιση, τις k, T c και T p, άρα η συνθήκη ευστάθειάς του θα πρέπει να δώσει περιοριστικές σχέσεις για τις τρεις αυτές παραμέτρους. c Προκειμένου να εφαρμοστεί το Κριτήριο Ευστάθειας Routh, υπολογίζεται η Συνάρτηση Μεταφοράς Κλειστού Βρόχου του συστήματος, έστω F(s): k( Tc s 1) 2 Gs () Gc ( s) Gp ( s) s ( Tps 1) Fs () 1 G( s) H ( s) 1 G ( ) ( ) k( Tc s 1) c s Gp s 1 2 s ( T s 1) k( T s 1) k( T s 1) s T s k T s T s s kt s k c c 2 3 2 ( p 1) ( c 1) p c p (Β2.16) Διαπιστώνουμε ότι το Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο βαθμού, συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 3 πόλους. 3 2 Tps s ktcs k είναι 3 ου ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Routh Η διάταξη Routh έχει Ν+1 = 4 γραμμές και (Ν+1)/2 = 2 στήλες. Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Η 1 η γραμμή γεμίζει απευθείας από τους συντελεστές του Χαρακτηριστικού Πολυωνύμου. s 3 Τ p kt c s 2 1 k s 1 Συμπλήρωση 3 ης γραμμής Η 3 η γραμμή γεμίζει από τις 1 η και 2 η και με pivot το 1. s 3 Τ p kt c s 2 1 k 40

s 1 Tp ktc 1 k ktp ktc k( Tc Tp) 1 1 T p 0 0 1 Συμπλήρωση 4 ης γραμμής Η 4 η γραμμή γεμίζει από τις 2 η και 3 η και με pivot το k(t c T p ). s 3 Τ p kt c s 2 1 k s 1 Tp ktc 1 k ktp ktc k( Tc Tp) 1 1 T p 0 0 1 1 k k( Tc Tp) 0 k( T T ) c p k ΒΗΜΑ ΙΙ: Απομονώνεται η 1 η στήλη της Διάταξης Routh Η πρώτη στήλη είναι η αριστερότερη της διάταξης, και διαπιστώνουμε ότι το πρόσημο των στοιχείων της εξαρτάται από τις τιμές όλων των ελεύθερων προς ρύθμιση παραμέτρων: πρόσημο εναλλαγές προσήμου s 3 T p? s 2 1 +? s 1 k(t c T p )?? k?? ΣΥΝΟΛΟ? 41

ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Routh στην 1 η στήλη της Διάταξης Routh Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει όλοι οι όροι της 1 ης στήλης να είναι ομόσημοι. Δεδομένου ότι o δεύτερος όρος είναι ήδη θετικός, 1 > 0, η μόνη περίπτωση ομοσημίας είναι να είναι και οι υπόλοιποι θετικοί. Έτσι προκύπτει σύστημα ανισώσεων, με αγνώστους τις τρεις ελεύθερες παραμέτρους k, Τ c και Τ p, το οποίο και επιλύεται: Tp 0 Tp 0 Tp 0 k ( Tc Tp ) 0 Tc Tp 0 Tc Tp k 0 k 0 k 0 (B2.17) Στην τελευταία μορφή του συστήματος, η κάθε ανίσωση είναι λυμένη ως προς μία από τις τρεις παραμέτρους, άρα δεν μπορεί να επιλυθεί περαιτέρω, ούτε απαιτείται και συναλήθευση ανισώσεων που να αφορούν την ίδια παράμετρο. Άρα το σύστημα είναι Ευσταθές Υπό Συνθήκη και η Συνθήκη Ευστάθειας είναι η k 0, T 0, T T. Στην πράξη αυτή η Συνθήκη εξασφαλίζει ότι το κλειστό p c p σύστημα θα είναι ευσταθές αν επιλέξουμε οποιαδήποτε θετική ενίσχυση k, οποιαδήποτε θετική σταθερά χρόνου του σερβοκινητήρα T p και σταθερά χρόνου του ελεγκτή T c μεγαλύτερη εκείνης του σερβοκινητήρα. Φυσικά, αν υπάρχουν και άλλες προδιαγραφές λειτουργίας πέραν της ευστάθειας, από αυτές ενδέχεται να προκύψουν και σαφέστεροι περιορισμοί για τις τιμές των παραμέτρων. Επιπλέον διαπιστώνουμε ότι από την Συνθήκη Ευστάθειας δεν προκύπτουν κρίσιμες τιμές (τουλάχιστον δεν προκύπτουν κρίσιμες τιμές διάφορες του μηδενός), οπότε το σύστημα αυτό δεν περνά σε οριακή ευστάθεια. 3.6 Άλλα αλγεβρικά Kριτήρια Το Κριτήριο Hurwitz Όπως έχει ήδη αναφερθεί, το Κριτήριο Routh δεν είναι το μόνο αλγεβρικό Κριτήριο Ευστάθειας. Άλλα αλγεβρικά Κριτήρια είναι το Κριτήριο Hurwitz και το Κριτήριο Συνεχών Κλασμάτων. Στη συνέχεια παρουσιάζεται το Κριτήριο Hurwitz. Το Κριτήριο Ευστάθειας Hurwitz προτάθηκε to 1895 από τον γερμανό μαθηματικό Adolf Hurwitz, (1859 1919), o οποίος σπούδασε στα Πανεπιστήμια του Μονάχου και της Λειψίας και εργάστηκε ως καθηγητής στο Πολυτεχνείο της Ζυρίχης (ETH Zurich). Το Κριτήριο που ανέπτυξε είναι ουσιαστικά ισοδύναμο με το Κριτήριο Routh, αν και ο καθένας από τους δύο επιστήμονες εργάστηκε ανεξάρτητα και έφτασε στην ίδια ουσιαστικά λύση αλλά με διαφορετική μέθοδο. Σήμερα συχνά οι δύο λύσεις αναφέρονται από κοινού ως Κριτήριο Routh Hurwitz. Η εφαρμογή του Κριτηρίου Hurwitz προχωρά με τα εξής βήματα: 42

I. Σχηματίζεται η Διάταξη Hurwitz, σε μορφή πίνακα πεπερασμένων διαστάσεων, τα στοιχεία του οποίου συμπληρώνονται σταδιακά, σειρά-σειρά, από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου με διαδοχικές μεταθέσεις, χωρίς πράξεις. II. Απομονώνεται από τη Διάταξη Hurwitz μία ακολουθία N το πλήθος τετραγωνικών πινάκων, διαστάσεων που μεγαλώνουν προοδευτικά από 1 x 1 έως N x N. Για κάθε πίνακα υπολογίζεται η αντίστοιχη ορίζουσα. III. Εφαρμόζεται το Κριτήριο Hurwitz που λέει τα εξής για την ακολουθία των N οριζουσών: 1. Αν όλες οι ορίζουσες είναι ομόσημες και μη μηδενικές, το σύστημα είναι ευσταθές. 2. Αν μία τουλάχιστον ορίζουσα είναι μηδενική και οι υπόλοιπες ομόσημες, το σύστημα είναι οριακά ευσταθές. 3. Αν υπάρχει εναλλαγή προσήμου μεταξύ των οριζουσών, το σύστημα είναι ασταθές. Στην περίπτωση αυτή, το πλήθος των εναλλαγών προσήμου μας δίνει τον αριθμό «ασταθών» πόλων, δηλαδή πόλων στο Δεξί Μιγαδικό Ημιεπίπεδο. Στη συνέχεια εφαρμόζεται το Κριτήριο Hurwitz, μέσω του ιδίου παραδείγματος που χρησιμοποιήθηκε και για την παρουσίαση του Κριτηρίου Routh, ώστε να διευκολυνθεί η σύγκρισή τους. 3.6.1 Παράδειγμα 1 ο Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του ΓΧΑ συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς G(s) που δίνεται από τον εξής τύπο: B( s) B( s) Gs () A s s s s s s 5 4 3 2 ( ) 8 25 40 34 12 (Β2.18) 5 4 3 2 Διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο s 8s 25s 40s 34s 12 είναι 5 ου βαθμού, συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 5 πόλους. ΒΗΜΑ Ι: Διάταξη Hurwitz Η διάταξη Hurwitz είναι ένας τετραγωνικός πίνακας με ίσο αριθμό γραμμών και στηλών, είτε N (αν Ν άρτιος) είτε Ν+1 (αν Ν περιττός). Στο παράδειγμα είναι N = 5, οπότε η διάταξη θα έχει 6 γραμμές και 6 στήλες. Συμπλήρωση 1 ης και 2 ης γραμμής Οι δύο πρώτες γραμμές γεμίζουν απευθείας από τους συντελεστές του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, χωρίς πράξεις, όπως ακριβώς στη Διάταξη Routh, με τη διαφορά ότι αφού συμπληρωθούν οι γραμμές, εδώ αλλάζουν θέση μεταξύ τους. 43

Η 1 η γραμμή γεμίζει με τους συντελεστές που λαμβάνονται ένας παρά ένας, ξεκινώντας από το συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου του πολυωνύμου. Στο παράδειγμα ο μεγιστοβάθμιος όρος είναι ο s 5 και οι συντελεστές ξεκινώντας από αυτόν εναλλάξ είναι οι [1, 25, 34]. Η 2 η γραμμή γεμίζει με τους υπόλοιπους συντελεστές που δεν χρησιμοποιήθηκαν στην 1 η γραμμή και οι οποίοι επίσης λαμβάνονται ένας παρά ένας. Στο παράδειγμα είναι οι συντελεστές [8, 40, 12]. Οι υπόλοιπες κενές θέσεις δεξιότερα, γεμίζουν με μηδενικά. Στο τέλος οι δύο γραμμές αντιμετατίθενται, οπότε η 1 η γραμμή γίνεται [8, 40, 12, 0, 0, 0] και η 2 η γίνεται [1, 25, 34, 0, 0, 0]. 8 40 12 0 0 0 1 25 34 0 0 0 Στο σημείο αυτό επισημαίνεται ότι μπορούν να απλοποιηθούν οι όροι μιας γραμμής, αρκεί η απλοποίηση να γίνει με θετικό αριθμό ώστε να μην αλλάξουν τα πρόσημα. Η απλοποίηση οδηγεί σε πράξεις με μικρότερους αριθμούς. Εδώ π.χ. στην 1 η (πλέον) γραμμή, μπορούν όλοι οι όροι να απλοποιηθούν με το +4, οπότε θα έχουμε: 2 10 3 0 0 0 1 25 34 0 0 0 Οι υπόλοιπες γραμμές γεμίζουν σε ζεύγη, προοδευτικά. Το κάθε επόμενο ζεύγος γραμμών προκύπτει από το προηγούμενο ζεύγος, μετακινώντας τους όρους μία θέση δεξιότερα και γεμίζοντας το κενό που δημιουργείται στην αρχή με μηδενικά. 44

Συμπλήρωση 3 ης και 4 ης γραμμής Η 3 η και η 4 η γραμμή γεμίζουν ως εξής: 2 10 3 0 0 0 1 25 34 0 0 0 0 2 10 3 0 0 0 1 25 34 0 0 Συμπλήρωση 5 ης και 6 ης γραμμής Η 5 η και η 6 η γραμμή γεμίζουν ως εξής: 2 10 3 0 0 0 1 25 34 0 0 0 0 2 10 3 0 0 0 1 25 34 0 0 0 0 2 10 3 0 0 0 1 25 34 0 ΒΗΜΑ ΙΙ: Υπολογίζονται οι Ν ορίζουσες που προκύπτουν από τη Διάταξη Hurwitz Επί της συμπληρωμένης Διάταξης Hurwitz, έστω Η, και με βάση πάντα τον όρο της άνω αριστερής γωνίας (εδώ είναι ο αριθμός Η(1,1) = 2), απομονώνουμε την ακολουθία των Ν κυρίων τετραγωνικών υπο-πινάκων του H, με διαστάσεις 1 x 1 έως και N x N, και για κάθε τετραγωνικό πίνακα υπολογίζουμε την αντίστοιχη ορίζουσα D i, i = 1, 2,, N: D1 H(1,1) 2 2 H(1,1) H(1, 2) 2 10 D 2 50 10 40 H(2,1) H(2, 2) 1 25 45

3 H (1,1) H (1, 2) H (1,3) 2 10 3 D H (2,1) H (2, 2) H (2,3) 1 25 34 270 H (3,1) H (3, 2) H (3,3) 0 2 10 D 4 H (1,1) H (1, 2) H (1,3) H (1, 4) 2 10 3 0 H (2,1) H (2, 2) H (2,3) H (2, 4) 1 25 34 0 6375 H (3,1) H (3, 2) H (3,3) H (3, 4) 0 2 10 3 H (4,1) H (4, 2) H (4,3) H (4, 4) 0 1 25 34 5 H (1,1) H (1, 2) H (1,3) H (1, 4) H (1,5) 2 10 3 0 0 H (2,1) H (2, 2) H (2,3) H (2, 4) H (2,5) 1 25 34 0 0 D H (3,1) H (3, 2) H (3,3) H (3, 4) H (3,5) 0 2 10 3 0 19125 H (4,1) H (4, 2) H (4,3) H (4, 4) H (4,5) 0 1 25 34 0 H (5,1) H (5, 2) H (5,3) H (5, 4) H (5,5) 0 0 2 10 3 ΒΗΜΑ ΙΙΙ: Εφαρμόζεται το Κριτήριο Hurwitz στην ακολουθία των N οριζουσών Διαπιστώνουμε ότι όλες οι ορίζουσες είναι ομόσημες (εδώ θετικές), D 0, i 1,2,,5, άρα το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές. i Συγκρίνοντας τα δύο αλγεβρικά Κριτήρια Routh και Hurwitz, τα οποία όπως προαναφέρθηκε αποδεικνύεται ότι είναι ισοδύναμα, διαπιστώνουμε ότι η μορφή του Routh πλεονεκτεί πρακτικά, διότι υπολογίζει ορίζουσες διαστάσεων μόνο 2 x 2, ενώ η μορφή του Hurwitz απαιτεί τον υπολογισμό οριζουσών με προοδευτικά όλο και μεγαλύτερες διαστάσεις. Γνωρίζοντας ότι ο υπολογισμός μίας ορίζουσας N x N καταλήγει στον υπολογισμό Ν οριζουσών διάστασης (Ν-1) x (N-1), καθεμία από τις οποίες καταλήγει στον υπολογισμό (Ν-1) οριζουσών (Ν-2) x (N-2), κ.ο.κ., αντιλαμβανόμαστε ότι για τιμές του Ν άνω του 3 ή 4, ο υπολογιστικός φόρτος της μορφής Hurwitz γίνεται υπερβολικός. Στη συνέχεια παρουσιάζονται δύο ακόμη παραδείγματα εφαρμογής του Κριτηρίου Hurwitz, σε συστήματα που περιέχουν παράμετρο ελεύθερη προς ρύθμιση. 3.6.2 Παράδειγμα 2 ο Ζητείται να εξεταστεί η ευστάθεια του ΓΧΑ συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς G(s) που δίνεται από τον εξής τύπο: B( s) B( s) Gs () A s s ks k 2 ( ) (2 1) (Β2.19) Διαπιστώνουμε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο συνεπώς το σύστημα αυτό έχει Ν = 2 πόλους. 2 s ks k (2 1) είναι 2 ου βαθμού, 46