ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος )

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Προπτυχιακό Μάθημα - Ακαδημαϊκό έτος 00-) Καθηγητές: Σ. Πνευματικός - Α. Μπούντης η ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: * ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Πρέπει να αντιμετωπίζουμε την παρούσα κατάσταση του σύμπαντος ως αποτέλεσμα της προηγούμενης κατάστασής του και ως αιτία της επόμενης. Μια διάνοια που, σε μια δεδομένη στιγμή, θα γνώριζε όλες τις δυνάμεις που κινούν τη φύση και την αντίστοιχη κατάσταση των όντων που την αποτελούν, ενώ ταυτόχρονα θα ήταν τόσο ευρεία ώστε να μπορεί να αναλύει όλα τα δεδομένα, θα είχε τη δυνατότητα να συμπεριλάβει σε ένα σχήμα τόσο τις κινήσεις των μεγαλύτερων σωμάτων του σύμπαντος όσο και εκείνες των ελάχιστων ατόμων. Τίποτε δεν θα ήταν αβέβαιο για αυτήν, το μέλλον και το παρελθόν θα ήταν πάντα παρόντα στα μάτια της.. Pierre Simn Laplace (749-87) Οι δυνατότητες της ανθρώπινης σκέψης είναι περιορισμένες μπροστά στο εύρος των πολύπλοκων ζητημάτων που πρέπει να αντιμετωπίσει προκειμένου να υιοθετήσει μια ορθολογική συμπεριφορά. Πάντα υπάρχει μια ελάχιστη συνθήκη που μας διαφεύγει και ανατρέπει κάθε ανθρώπινη πρόβλεψη, μια μικρή ξεχασμένη αιτία που εκπλήσσει με τις απρόβλεπτες συνέπειές της. Ποιος μπορεί να προβλέψει το μέλλον; Κανείς, γιατί κανείς δεν είναι σε θέση να έχει πλήρη αντίληψη των δεδομένων. Όταν ο Heisenberg αποδεικνύει ότι ο παρατηρητής δεν μπορεί να γνωρίζει ακριβώς τη θέση ενός ηλεκτρονίου στο χώρο και το χρόνο τότε πώς είναι δυνατή η πρόβλεψη; Το παρόν δεν ορίζει μονοσήμαντα το μέλλον αφού στα μάτια μας αποκαλύπτονται περισσότερες από μια ενδεχόμενες εξελίξεις του ίδιου παρόντος. Σε αυτό ακριβώς έγκειται η αντιπαράθεση προς τη ντετερμινιστική αντίληψη του Laplace. * Κείμενα Διδακτικών Σημειώσεων: Σπύρος Ν. Πνευματικός Καθηγητής Γεωμετρίας & Μηχανικής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστημίου Πατρών spn@eduscience.gr

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο όρος δυναμικό σύστημα δηλώνει κάθε σύστημα, φυσικό, χημικό, βιολογικό, οικονομικό, οικολογικό, κλπ, που εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου. Η κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος χαρακτηρίζεται, κάθε χρονική στιγμή, από ένα πεπερασμένο ή άπειρο πλήθος παραμέτρων και το σύνολο των εφικτών καταστάσεων ορίζει τον πεπερασμένης ή άπειρης διάστασης χώρο καταστάσεων. Π.χ. Η διάδοση των κυμάτων στην ακουστική και την οπτική, οι κινήσεις των ρευστών, οι ταλαντώσεις μιας χορδής ή μιας μεμβράνης, έχουν απειροδιάστατους χώρους καταστάσεων, αφού δεν αρκεί ένα πεπερασμένο πλήθος παραμέτρων για την περιγραφή κάθε στιγμιαίας κατάστασής τους. Αν σε κάποια χρονική στιγμή, π.χ. την αρχική στιγμή της παρατήρησης, η κατάσταση ενός δυναμικού συστήματος ορίζει μονοσήμαντα την εξέλιξή του στο χώρο των καταστάσεων, μελλοντική και παρελθούσα, λέμε ότι πρόκειται για ντετερμινιστικό σύστημα. Στην Κλασική Μηχανική, η αρχή του ντετερμινισμού του Νεύτωνα δηλώνει ότι η κατάσταση ενός συστήματος ορίζεται, κάθε χρονική στιγμή, από τη θέση και την ταχύτητά του. Έτσι, ο χώρος των καταστάσεων είναι το σύνολο των εφικτών θέσεων και ταχυτήτων του συστήματος και η παρούσα κατάστασή του ορίζει μονοσήμαντα το μέλλον και το παρελθόν της εξέλιξής του. Στη Θερμοδυναμική, η παρούσα κατάσταση ενός συστήματος ορίζει μονοσήμαντα το μέλλον αλλά όχι το παρελθόν της θερμοδυναμικής του εξέλιξης. Στην Κβαντική Μηχανική, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg, η παρούσα κατάσταση δεν ορίζει μονοσήμαντα ούτε το μέλλον ούτε το παρελθόν της εξέλιξης. Βιβλιογραφία: Vladimir Arnld, Ordinary Differenia l Equa ins, Cambridge MIT Press, 973. Lawrence Perk, Differenial Equains & Dynamical Sysems, Springer-Verlag, 99. David Beunes, Differenia l Equains, Springer-Verlag, 00. M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney, Differenial Equains & Dynamical Sysems, Els.Ac.Pr., 003. Α. Μπούντης, Μη Γραμμικές Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστήμιο Πατρών, 997. Ν. Αλικάκος, Γ. Καλογερόπουλος, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Πανεπιστήμιο Αθηνών, 003. Σ. Πνευματικός, Θεμελιώδεις έννοιες της Γενικής Τοπολογίας, Αθήνα 000. Σ. Πνευματικός, Κλασική Μηχανική, Αθήνα 006. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Αναζητώντας το μέλλον και το παρελθόν μιας κίνησης Στο επόμενο σχήμα φαίνεται, σε σμίκρυνση 0:, η τροχιά που διέγραψε ένα σωματίδιο μοναδιαίας μάζας, με τη φορά που υποδεικνύει το βέλος, από το μεσημέρι έως τα μεσάνυχτα μιας μέρας. Δεν γνωρίζουμε το νόμο που διέπει την κίνηση, αλλά ξέρουμε ότι η τροχιά εξελίσσεται σε ένα επίπεδο και ότι η γωνιακή ταχύτητα του σωματιδίου είναι σταθερή και η ακτινική ταχύτητά του είναι ανάλογη προς την απόστασή του από ένα συγκεκριμένο άγνωστο σε μας σημείο του επιπέδου της κίνησης. Θέλουμε να μάθουμε το μέλλον και το παρελθόν αυτής της κίνησης. Με ποιο επιχείρημα θα πείσετε ότι το μέλλον και το παρελθόν της είναι μονοσήμαντα ορισμένα; Αν κάνετε ακριβείς μετρήσεις στο σχήμα και χρησιμοποιήσετε σωστά τα δεδομένα θα μπορέσετε να ανακαλύψετε το νόμο της κίνησης και να προσδιορίστε την προέκταση της τροχιάς στο μέλλον και στο παρελθόν. Κατόπιν, σχεδιάστε το διάνυσμα της ταχύτητας και το διάνυσμα της επιτάχυνσης στις διαδοχικές ωριαίες θέσεις και την αποσύνθεσή της σε επιτρόχια και κεντρομόλο επιτάχυνση. Ποιο είναι το μήκος της τροχιάς στο συγκεκριμένο ωρο και ποια η καμπυλότητά της. Σχεδιάστε τις τροχιές και άλλων σωματιδίων μοναδιαίας μάζας που κινούνται στο ίδιο επίπεδο υπακούοντας στον ίδιο νόμο κίνησης και έχουν ίδια γωνιακή και ακτινική ταχύτητα με το αρχικό σωματίδιο. Τι διαφορετικό θα συμβεί αν η μάζα αυτών των σωματιδίων δεν είναι μοναδιαία; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα n χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται από την αριθμητική τιμή της συγκέντρωσής της, άρα η στιγμιαία κατάσταση του συστήματος δηλώνεται με ένα σημείο στον ευκλείδειο χώρο n : n ( ) = ( ( ),..., ( )). Τα πειραματικά δεδομένα οδηγούν στον υπολογισμό του ρυθμού μεταβολής των συγκεντρώσεων των αλληλεπιδρώντων χημικών ουσιών και εκφράζονται με n συναρτήσεις που ορίζονται σε ένα χωρίο του ευκλείδειου χώρου n : n f : U, i =,..., n. i Η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών στο χώρο των καταστάσεων διέπεται λοιπόν από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων: n di d = f (,..., ) i n, i =,..., n. Αν ο ρυθμός μεταβολής των συγκεντρώσεων είναι αρκετά ομαλός, π.χ. αν οι συναρτήσεις που τον εκφράζουν διαθέτουν συνεχείς παραγώγους, με τοπική επίλυση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων προσδιορίζονται οι διαδοχικές καταστάσεις από τις οποίες θα διέλθει το σύστημα των χημικών ουσιών γνωρίζοντας απλά και μόνο την κατάστασή του την αρχική στιγμή της αντίδρασης. Συγκεκριμένα, το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων δηλώνει ότι, αν τη στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση U, η εξέλιξή του στο χώρο των καταστάσεων, μελλοντική και παρελθούσα, ορίζεται μονοσήμαντα στο χρονικό διάστημα της διάρκειάς της από τη λύση του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων: φ :I U n, φ ( ) =. Η εξέλιξη του συστήματος, για κάθε δεδομένη αρχική κατάσταση, αναπαρίσταται με την προσανατολισμένη καμπύλη που ορίζεται από την εικόνα της αντίστοιχης λύσης και καλείται τροχιά της εξέλιξης στο χώρο των καταστάσεων: { } = φ () / I U, U. Οι σημειακές τροχιές αποτελούν τις καταστάσεις ισορροπίας του συστήματος: φ () =., Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 Από γεωμετρική άποψη, τα πειραματικά δεδομένα ορίζουν στο χώρο των καταστάσεων ένα πεδίο διανυσμάτων που σε κάθε κατάσταση προσαρτά ένα διάνυσμα το οποίο δηλώνει την κατεύθυνση και το ρυθμό μεταβολής των συγκεντρώσεων: n n : U, ( ) = ( f ( ),..., f ( ) ), n και το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων εκφράζεται διανυσματικά ως εξής: d ( ) d =, U. Για κάθε δεδομένη αρχική κατάσταση, η καμπύλη που ορίζεται από την εικόνα της λύσης, σε κάθε σημείο της, εφάπτεται στο αντίστοιχο διάνυσμα του διανυσματικού πεδίου, ενώ οι καταστάσεις ισορροπίας αντιστοιχούν στα σημεία μηδενισμού του διανυσματικού πεδίου: ( ) = 0 φ () =,. Διανυσματικό πεδίο και τροχιές σε δισδιάστατο χώρο καταστάσεων: ( ) ( ) =, Η εξελικτική ροή στο χώρο των καταστάσεων είναι ένα μαθηματικό πρότυπο των ντετερμινιστικών διαδικασιών που σε κάθε αρχική κατάσταση προσαρτά την κατάσταση στην οποία θα βρεθεί το σύστημα οποιαδήποτε δεδομένη χρονική στιγμή. Συγκεκριμένα, όταν οι λύσεις του συστήματος των διαφορικών εξισώσεων ορίζονται σε όλο το χρονικό άξονα, προκύπτουν οι μετασχηματισμοί ροής: g : U U, g ( ): = φ ( ),, και πληρούται η συνθήκη: * + g =g g,,. * Ερώτημα : Ποια πιστεύετε ότι είναι η σχέση αυτής της συνθήκης με την αρχή του ντετερμινισμού; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 Η συνθήκη αυτή υποδεικνύει ότι το σύνολο των μετασχηματισμών ροής, εφοδιασμένο με την πράξη της σύνθεσης, διαθέτει δομή αντιμεταθετικής ομάδας με ουδέτερο στοιχείο τον ταυτοτικό μετασχηματισμό που ορίζεται τη στιγμή = 0 : = 0 g ( ) =, U. Η αντιμεταθετική αυτή ομάδα καλείται μονοπαραμετρική ομάδα και τα στοιχεία της είναι αμφιδιαφορικοί μετασχηματισμοί του χώρου των καταστάσεων. * Έτσι, ορίζεται ένας ομομορφισμός της προσθετικής ομάδας του χρονικού άξονα στην ομάδα των αμφιδιαφορισμών του χώρου των καταστάσεων: (, + ) (, ) Diff(U), g. Μια άποψη δυναμικής εξέλιξης σε δισδιάστατο χώρο καταστάσεων: ( ) ( ) = ( )( ), sin( + ). Η εξελικτική ροή ορίζεται στο διευρυμένο χώρο καταστάσεων, δηλαδή το καρτεσιανό γινόμενο του χρονικού άξονα με το χώρο των καταστάσεων, ως εξής: g: U U, g(, ): = g ( ). Πρόκειται για διαφορίσιμη απεικόνιση η οποία επαληθεύει τη σχέση: ( g ) (, ) = ( ), U. g = * Αν οι λύσεις δεν ορίζονται σε όλο το χρονικό άξονα προκύπτει μια ψευδο-ομάδα που τα στοιχεία της δρουν στα συμπαγή υποσύνολα του χώρου των καταστάσεων. Ερώτημα : Ποιος πιστεύετε ότι είναι ο λόγος που διασφαλίζει την αμφιαφορισιμότητα των στοιχείων της μονοπαραμετρικής ομάδας; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 Η τροχιά που ορίζεται από κάθε δεδομένη κατάσταση εκφράζεται τώρα ως εξής: { ( ) / } = g, U, U, και τα σταθερά σημεία της εξελικτικής ροής δίνουν τις καταστάσεις ισορροπίας: ( ) = 0 g (, ) =,. Από κάθε σημείο του χώρου των καταστάσεων διέρχεται μια μόνο τροχιά και από κάθε σημείο του διευρυμένου χώρου καταστάσεων διέρχεται μια μόνο ολοκληρωτική καμπύλη που ορίζεται ως γράφημα της αντίστοιχης λύσης. Σύμφωνα με το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των διαφορικών εξισώσεων, κάθε αρχική συνθήκη ορίζει μονοσήμαντα την αντίστοιχη τροχιά στο χώρο των καταστάσεων και σε αυτή προσαρτάται η χρονική ομάδα: { / (, ) } T = g =, U. Πρόκειται για τοπολογικά κλειστή υποομάδα της προσθετικής ομάδας (, + ), άρα έχει μια από τις ακόλουθες τρεις μορφές: = { 0} T, = T, = T : = { T / } T. k k T > 0 Η τοπολογική φύση κάθε τροχιάς υποδεικνύεται από τη φύση της χρονικής της ομάδας και ισχύουν τα εξής κριτήρια: * T = σημειακή τροχιά, T = T = { 0} περιοδική τροχιά, T απεριοδική τροχιά. Η ταξινόμηση των εξελικτικών ροών των δυναμικών συστημάτων και η αναγωγή τους σε συγκεκριμένα αντιπροσωπευτικά πρότυπα αποτελεί κεντρικό ζητούμενο. Λέμε ότι δυο δυναμικά συστήματα με μονοπαραμετρικές ομάδες: { g : U U A } και { g : U U B } έχουν ταυτόσημες εξελικτικές ροές όταν υπάρχει αντιστρέψιμος μετασχηματισμός: h : U U * Ερώτημα 3: Ποιες είναι οι υποομάδες της προσθετικής ομάδας (, + ) και ποιος πιστεύετε είναι ο λόγος που απαιτούμε από τη χρονική ομάδα κάθε τροχιάς να είναι τοπολογικά κλειστή; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 τέτοιος ώστε: δηλαδή: h g ( ) = g h ( ), U,, A B ( g (, A ) ) = g B(, ( ) ) h h, U,. Η συνθήκη αυτή εκφράζεται με τη μεταθετικότητα των ακόλουθων διαγραμμάτων: A g U U h h U U B g και δηλώνει ότι κάθε τροχιά του ενός δυναμικού συστήματος μετασχηματίζεται σε τροχιά του άλλου δυναμικού συστήματος: ( ) h ( ) h =, U. Έτσι, ορίζεται μια σχέση ισοδυναμίας, αφού πληρούνται τα αξιώματα της ανακλαστικότητας, της συμμετρίας, της μεταβατικότητας, και προκύπτει ένας διαμερισμός σε κλάσεις ισοδυναμίας των εξελικτικών ροών στο χώρο καταστάσεων U n. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις ισοδυναμίας που αφορούν στην τοπολογική, στη διαφορική και στην αλγεβρική φύση των εξελικτικών ροών: n Τοπολογική ισοδυναμία: h Hm ( ) Ομάδα ομοιομορφισμών του n Διαφορική ισοδυναμία: h Diff ( ) Ομάδα διαφομορφισμών του n Γραμμική ισοδυναμία: h GL( ) Ομάδα ισομορφισμών του n. n, n, Προφανώς * n n n h GL( ) h Diff ( ) h Hm ( ). Σχόλιο. Η γραμμική ισοδυναμία είναι πολύ απαιτητική συνθήκη ώστε να χρησιμοποιηθεί ως κριτήριο ταξινόμησης των εξελικτικών ροών των δυναμικών συστημάτων, ενώ η τοπολογική ισοδυναμία είναι αυτή που κατά κανόνα χρησιμοποιείται στη θεωρία των Δυναμικών Συστημάτων. Η τοπολογική ταξινόμηση των εξελικτικών ροών της γραμμικής δυναμικής είναι εξολοκλήρου γνωστή, όμως όταν η εξέλιξη ορίζεται από μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πολλά ερωτήματα μένουν ακόμη αναπάντητα σε ερευνητικό επίπεδο.. * Ερώτημα 4: Αποδείξτε αυτή τη διαδοχή των συνεπαγωγών. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Τα παραδείγματα που ακολουθούν αφορούν μονοδιάστατους χώρους καταστάσεων όπου ο νόμος εξέλιξης εκφράζεται με μια διαφορική εξίσωση της μορφής: d f( ) d =, U. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική. * Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική ορίζεται με τη γραμμική διαφορική εξίσωση: = α, U =, α, και κάθε αρχική κατάσταση U ορίζει σε όλο το χρονικό άξονα τη λύση: φ : U, α φ () = e. α< 0 α> 0 Γραφήματα λύσεων της διαφορικής εξίσωσης = α,. Η μονοπαραμετρική ομάδα αποτελείται από τις ομοθεσίες της πραγματικής ευθείας: α g : U U, g ( ) = e,, και η εξελικτική ροή στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων ορίζεται ως εξής: α g: U U, g(, ) = e. * Στο πρότυπο αυτό υπάγονται τα προβλήματα αναπαραγωγής βακτηριδίων (α>0) και διάσπασης ραδιενεργών ουσιών (α<0), όπου κάθε κατάσταση ορίζεται αντίστοιχα από το πλήθος των βακτηριδίων ή την ποσότητα της ραδιενεργού ουσίας και ο χώρος των καταστάσεων είναι η θετική πραγματική ημιευθεία. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 0 Προφανώς πληρούται η συνθήκη: g ( ) =g g( ), U,,. + Οι τροχιές στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων ορίζονται ως εξής: α { U } = e / Αν α 0 μόνο μια τροχιά είναι σημειακή και ορίζει την κατάσταση ισορροπίας = 0. Στην περίπτωση αυτή εμφανίζονται δυο τύποι χρονικής ομάδας: = = { g = } = και = { / (, ) = } = { 0} T / (,0) 0 0 T g. 0 Αν α= 0 τότε όλες οι τροχιές είναι σημειακές και κάθε σημείο του μονοδιάστατου χώρου καταστάσεων αποτελεί κατάσταση ισορροπίας. Στην περίπτωση αυτή η χρονική ομάδα κάθε κατάστασης ταυτίζεται με τη προσθετική ομάδα: { / (, ) } T = g = =. Αν α<0 τότε η κατάσταση ισορροπίας είναι ελκτική αφού με την πάροδο του χρόνου όλες οι άλλες τροχιές πλησιάζουν προς αυτήν, ενώ αν α>0 τότε η κατάσταση ισορροπίας είναι απωστική αφού με την πάροδο του χρόνου όλες οι άλλες τροχιές απομακρύνονται από αυτήν. Η φύση της κατάστασης ισορροπίας καθορίζει την τοπολογική φύση της εξελικτικής ροής στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων. Συγκεκριμένα, οι εξελικτικές ροές της μονοδιάστατης γραμμικής δυναμικής ταξινομούνται σε τρεις τοπολογικές κλάσεις ισοδυναμίας. Προβληματισμός: Ταξινόμηση των τροχιών της γραμμικής δυναμικής. Σύμφωνα με τον ορισμό της τοπολογικής ισοδυναμίας των εξελικτικών ροών, δυο μονοδιάστατα γραμμικά δυναμικά συστήματα: = α, U=, α i, i =,, έχουν τοπολογικά ταυτόσημες εξελικτικές ροές: g : U U i i, αν και μόνο αν υπάρχει ομοιομορφισμός: αi g (, ) = i e, i =,, τέτοιος ώστε: h : U U ( g (, A ) ) = g B(, ( ) ) h h, U,. Δεν είναι δύσκολο να αποδειχθεί ότι δυο μονοδιάστατα γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν τοπολογικά ταυτόσημες εξελικτικές ροές αν και μόνο αν αα> 0. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Προφανώς, αν αα< 0 τότε δεν υπάρχει ομοιομορφισμός h : U U που ταυτίζει τις εξελικτικές ροές αφού πρέπει να ισχύει: h (0) = +. Αν αα> 0, η τοπολογική ταύτιση των εξελικτικών ροών πραγματοποιείται με τον ομοιομορφισμό: Διαπιστώνουμε ότι: h : U U, + h ( ) = α/ α, 0 α/ α, 0 α / 0 ( ) ( ) ( ) / (, ) α α α α α = h g e = e = g h, ( ), α / 0 ( ) ( ) ( ) / (, ) α α α α α = h g - e = - e = g, h( ). Άρα, ο ομοιομορφισμός αυτός ταυτίζει τοπολογικά κάθε τροχιά του ενός δυναμικού συστήματος με την αντίστοιχη τροχιά του άλλου δυναμικού συστήματος: ( ) h ( ) h =, U. α <α < 0 0 <α <α α <α < 0 0 <α <α Ο ομοιομορφισμός της τοπολογικής ταύτισης των ροών της μονοδιάστατης γραμμικής δυναμικής. * * Ερώτημα 5: Τι θα μπορούσατε να πείτε για τη διαφορική ή τη γραμμική ταξινόμηση αυτών των ροών; Σχόλιο. Ο ομοιομορφισμός h δεν είναι παντού παραγωγίσιμος όταν 0 <α <α ή α <α < 0 και ο ομοιομορφισμός h δεν είναι παντού παραγωγίσιμος όταν 0 <α <α ή α <α < 0, άρα η τοπολογική ταύτιση των ροών δεν είναι αμφιδιαφορική παρά μόνο στην τετριμμένη περίπτωση α =α. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ. Μη μονοσήμαντη μονοδιάστατη εξέλιξη. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση: /3, U. = Κάθε αρχική κατάσταση U ορίζει σε όλο το χρονικό άξονα τη λύση: φ : /3 3 U, φ ( ) = ( + /3), όμως στην περίπτωση = 0 υπάρχει επιπλέον η μηδενική λύση () = 0,. /3 Γράφημα των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης =,. Αν 0, το σύστημα δεν έχει άλλη επιλογή από το να εξελιχθεί με συγκεκριμένη ταχύτητα, προκαθορισμένη από το νόμο εξέλιξης, στην τροχιά: /3 3 {( /3) / } = + U. Στην αρχική κατάσταση = 0 ο ρυθμός μεταβολής είναι μηδενικός και, με την πάροδο του χρόνου, είτε θα παραμείνει σταθερά μηδενικός, είτε θα έχει την μεταβαλλόμενη τιμή ( ) = /9; Άρα, το σύστημα, είτε θα παραμείνει για πάντα στην κατάσταση ισορροπίας () 0,, είτε θα ακολουθήσει την ευθύγραμμη τροχιά 3 ( ) = / 7,, και στην περίπτωση αυτή δεν διασφαλίζεται η μονοσήμαντη ντετερμινιστική εξέλιξη στο χώρο των καταστάσεων. Ποιος είναι ο λόγος; * * Ερώτημα 6: Άραγε, ισχύει το ίδιο για όλες τις διαφορικές εξισώσεις της μορφής: α, 0 = <α<. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Στο καρτεσιανό γινόμενο του χρονικού άξονα με το χώρο καταστάσεων ορίζεται το πεδίο κλίσης που σε κάθε σημείο (, ) U προσαρτά την ευθεία της οποίας η κλίση δίνεται από την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης του ρυθμού μεταβολής. Το γράφημα κάθε λύσης, σε κάθε σημείο του, οφείλει να συναντά εφαπτομενικά το πεδίο κλίσης που ορίζεται από τη συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής. Εδώ, σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα, η συνάρτηση που ορίζει το ρυθμό μεταβολής στο χώρο των καταστάσεων δεν είναι παντού παραγωγίσιμη: f( ) /3 =,. Γράφημα της συνάρτησης που ορίζει το ρυθμό μεταβολής της εξέλιξης. Προβληματισμός: Προϋποθέσεις μονοσήμαντης μονοδιάστατης εξέλιξης. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U θεωρούμε το δυναμικό σύστημα του οποίου η εξέλιξη διέπεται από τη διαφορική εξίσωση: = f( ), U, όπου ο ρυθμός μεταβολής ορίζεται από μια παραγωγίσιμη συνάρτηση: f : U. Θα επιχειρήσουμε να αποδείξουμε ότι αν τη στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση U τότε η τροχιά της εξέλιξής του είναι μονοσήμαντα ορισμένη, δηλαδή υπάρχει μια μοναδική λύση της διαφορικής εξίσωσης που το γράφημά της διέρχεται από το σημείο (, ) U : φ:i U, φ ( ) =. Επιπλέον, η μοναδική αυτή λύση ορίζεται τοπικά από τις σχέσεις: αν f( ) = 0 τότε φ () =, I, αν f( ) 0 τότε φ() = dξ f ( ξ ), I. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 Άσκηση. Αποφανθείτε για την ορθότητα ή όχι της προτεινόμενης απόδειξης : * Αν f( ) = 0 τότε προφανώς φ() είναι λύση που πληροί τη συνθήκη φ ( ) = και ορίζει κατάσταση ισορροπίας. Αν f( ) 0 και υποθέσουμε ότι = φ () είναι λύση με φ ( ) =, συλλογιζόμαστε ως εξής : Ο μη μηδενισμός της παραγώγου φ ( ) 0 διασφαλίζει, στην περιοχή του, την αντιστρεψιμότητα και παραγωγισιμότητα της συνάρτησης = φ (). Στην περιοχή του U ορίζεται λοιπόν η αντίστροφη συνάρτηση = ψ ( ) με ψ ( ) = και ψ ( ) f( ) = οπότε, αφού η συνάρτηση / f( ) είναι συνε-χής, το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού υποδεικνύει μονοσήμαντα ότι: ψ ( ) = ψ ( ) + dξ. f ( ξ) Αφού ψ ( ) 0, στην περιοχή του = ψ ( ), ορίζεται μονοσήμαντα η αντίστροφη συνάρτηση φ () όπου φ ( ) =. Έτσι, κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης που πληροί τη δεδομένη αρχική συνθήκη επαληθεύει, σε μια περιοχή του, τη σχέση: φ() dξ f ( ξ ) =. Άρα, αν η συνάρτηση = φ (), αντίστροφη της ψ ( ), είναι πράγματι λύση με φ ( ) = τότε είναι η μοναδική λύση που πληροί αυτή τη συνθήκη. Το ότι είναι πράγματι λύση για τη δεδομένη αρχική συνθήκη προκύπτει απευθείας από το ότι: ( ) φ () = ψ ( φ ()) = f( φ ()), φ ( ) =. Σχόλιο. Ποιος είναι ο λόγος που προκαλεί άρση της ντετερμινιστικής εξέλιξης; Στην προτεινόμενη απόδειξη δεν χρησιμοποιήθηκε πουθενά η υπόθεση της παραγωγισιμότητας της συνάρτησης που ορίζει το ρυθμό μεταβολής. Αλλά αν η υπόθεση αυτή πλεονάζει και αρκεί μόνο η συνέχεια, τότε το προηγούμενο παράδειγμα, όπου στη μηδενική κατάσταση έχουμε συνέχεια χωρίς παραγωγισιμότητα, αναδεικνύει το ενδεχόμενο μη μονοσήμαντης εξέλιξης. Άρα, η προτεινόμενη απόδειξη δεν είναι ορθή. Που βρίσκεται όμως το λάθος; Στην πραγματικότητα η μοναδικότητα αποδείχτηκε μόνο στα σημεία μη μηδενισμού του ρυθμού μεταβολής. Στο σημείο μηδενισμού, η μοναδικότητα της λύσης εξαρτάται από τη συμπεριφορά του ρυθμού μεταβολής, δηλαδή τη φύση του πεδίου κλίσης, στην περιοχή αυτού του σημείου. Στο προηγούμενο παράδειγμα, η μη μοναδικότητα οφείλεται στο ότι πλησιάζοντας τη μηδενική κατάσταση η κλίση δεν μειώνεται αρκετά γρήγορα και έτσι οι τροχιές έχουν τη δυνατότητα διείσδυσης σε αυτή σε πεπερασμένο χρόνο. Στη γραμμική δυναμική και γενικότερα όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι παραγωγίσιμος, πλησιάζοντας τη μηδενική κατάσταση η κλίση μειώνεται γρήγορα και απαιτείται άπειρος χρόνος προκειμένου οι τροχιές φτάσουν σε αυτή, οπότε διασφαλίζεται η μοναδικότητα της μηδενικής λύσης. *.3 Ερώτημα 7: Δοκιμάστε να εφαρμόσετε αυτό το σκεπτικό σε ένα παράδειγμα: =,. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 Προβληματισμός: Η συνθήκη διασφάλισης της μονοσήμαντης εξέλιξης. Θεωρούμε μια διαφορική εξίσωση: = f( ), U, όπου ο ρυθμός μεταβολής ορίζεται από μια συνάρτηση: f : U. Αν σε κάποιο σημείο U, π.χ. = 0, ισχύει f (0) = 0, ελέγχουμε το κατά πόσο στην περιοχή του ο ρυθμός μεταβολής είναι ασθενέστερος του ρυθμού μεταβολής της μονοδιάστατης γραμμικής δυναμικής που ορίζεται από τη διαφορική εξίσωση: = α,. Συγκεκριμένα, αυτός ο συσχετισμός διασφαλίζεται όταν υπάρχει σταθερά κ >0 τέτοια ώστε, για κάθε 0, αρκετά γειτονικό του = 0, ισχύει η συνθήκη: f( ) κ. Σε ένα οποιοδήποτε σημείο U η συνθήκη αυτή διατυπώνεται ως εξής: f( ) f( ) κ. Πρόκειται για τη συνθήκη Lipschiz και πληρούται πάντα όταν η συνάρτηση που ορίζει το ρυθμό μεταβολής είναι παραγωγίσιμη. Προφανώς δεν πληρούται στην περίπτωση της διαφορικής εξίσωσης του προηγούμενου παραδείγματος όπου η εξέλιξη δεν είναι μονοσήμαντη. Όταν η συνθήκη αυτή πληρούται και το σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας τότε δεν υπάρχει άλλη επιλογή από το να πα-ραμείνει για πάντα σε αυτή. Η σαφής απάντηση στον προβληματισμό της μονοσήμαντης εξέλιξης στο χώρο των καταστάσεων, δίνεται από το θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων. Η συνθήκη Lipschiz δεν πληρούται στο σημείο =0. Η συνθήκη Lipschiz πληρούται στο σημείο =0. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3. Η πιο απλή μη γραμμική διαφορική εξίσωση. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων Από τον περιορισμό της συνάρτησης: U θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση:, U. = () = c, c, στα διαστήματα < c και > c του χρονικού άξονα προκύπτουν δυο διαφορετικές λύσεις της διαφορικής εξίσωσης. Συγκεκριμένα, αν το εξελισσόμενο σύστημα βρίσκεται τη στιγμή = 0 στην κατάσταση U, τότε η εξέλιξή του στο χώρο των καταστάσεων καθορίζεται μονοσήμαντα από τη λύση: φ :I U, φ () =, και στην έκφραση αυτή συμπεριλαμβάνεται η κατάσταση ισορροπίας = 0 : φ () 0 =,. * Γραφήματα λύσεων της διαφορικής εξίσωσης,. = Εδώ εμφανίζεται ένα αξιοσημείωτο φαινόμενο μη ύπαρξης πλήρους εξελικτικής ροής σε όλο το χρονικό άξονα. Συγκεκριμένα, η εξέλιξη εμφανίζει μια εκρηκτική συμπεριφορά αφού σε πεπερασμένο χρόνο οι τροχιές διαφεύγουν στο άπειρο! Ο λόγος βρίσκεται στη μη αμφιδιαφορικότητα των μετασχηματισμών ροής που θα την όριζαν κάθε στιγμή στο χώρο των καταστάσεων: g : U U, g ( ): = φ ( ),. * Οι λύσεις δεν θα είχαν δυνατότητα διαφυγής στο άπειρο αν ο χώρος καταστάσεων ήταν συμπαγής. Ερώτημα 8: Τι θα μπορούσατε να πείτε για τη φύση αυτής της κατάστασης ισορροπίας; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 Προβληματισμός: Η κατασκευή της μονοδιάστατης εξελικτικής ροής. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U = θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση: = f( ), U, όπου η συνάρτηση η οποία ορίζει το ρυθμό μεταβολής δέχεται συνεχή παράγωγο. Η διαδικασία χωρισμού των μεταβλητών οδηγεί στην τυπική σχέση: d k f( ) = +, k. Αν ο ρυθμός μεταβολής έχει πεπερασμένο πλήθος σημείων μηδενισμού, c,..., c p, τότε σε κάθε ένα από τα ανοιχτά διαστήματα = j ] cj, cj[, j =,..., p+, με c =, c + =+, είναι γνήσια μονότονος. Αν m j j, j =,..., p+, ορίζεται η συνάρτηση: p dξ H j : j, H j ( ) =, j =,..., p+, m j f ( ξ) η οποία είναι γνήσια μονότονη αφού το θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού υποδεικνύει ότι: H ( ) = / f( ), j, j =,..., p+. j Εξαιρώντας από το χώρο των καταστάσεων τα σημεία μηδενισμού του ρυθμού μεταβολής, προκύπτει η ακόλουθη συνάρτηση με τιμές στο χρονικό άξονα: H c c p : U {,..., }, H( ) = H ( ), j, j =,..., p+. j Γράφημα της συνάρτησης y = / f( ξ ) και κατασκευή της συνάρτησης H : U { c,..., c p }. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 Στη συνάρτηση αυτή στηρίζεται η κατασκευή των λύσεων στο μέγιστο χρονικό διάστημα της ύπαρξής τους. Αν η αρχική συνθήκη (0) = ορίζει μια κατάσταση ισορροπίας, δηλαδή αν = ci, j =,..., p+, τότε η λύση φ () υπάρχει σε όλο το χρονικό άξονα. Αν δεν πρόκειται για κατάσταση ισορροπίας τότε, για κάποιο j =,..., p+, ισχύει = c j. Θεωρούμε τη συνάρτηση: H :, H ( ) = H ( ) H ( c), c j c j j η οποία προφανώς μηδενίζεται στο σημείο = c και είναι γνήσια μονότονη άρα αντιστρέψιμη, αφού με παράλληλη μεταφορά το γράφημά της ταυτίζεται με εκεί-νο της H. Το πεδίο ορισμού της H είναι το χρονικό διάστημα ] a, b [ όπου: j j = { ( )/ } και bj sup{ H j( )/ j} a inf H j j j =, άρα το πεδίο ορισμού της H c είναι το χρονικό διάστημα ] a j, b j[ όπου: a = a Hc () και b = b Hc (). j j j j j j Γραφήματα των συναρτήσεων H : και H :. j j c j Εξετάζοντας το καταχρηστικό ολοκλήρωμα: c j m j dξ f ( ξ) παρατηρούμε ότι αν αποκλίνει τότε το γράφημα της H c, όπως το γράφημα της H j, έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο σημείο = cj άρα b j = ±, διαφορετικά bj και τότε το γράφημα της H έχει κατακόρυφη εφαπτομένη στο σημείο = c. c j Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Η λύση που τη στιγμή = 0 διέρχεται από την κατάσταση = c j ορίζεται στο μέγιστο χρονικό διάστημα ύπαρξης ως εξής: φ :], [ a b U, φ =. () H () c Πράγματι, το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης * διασφαλίζει όχι μόνο την ύπαρξη αυτής της συνάρτησης αλλά και τη διαφορισιμότητά της στο πεδίο ορισμού της και επιπλέον πληρούται η αρχική συνθήκη: φ = =. (0) H (0) c Το ότι επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση προκύπτει από τον υπολογισμό: () c = c c = = c = φ φ = ( ) ( ) ( ) H () H H () f H () f (), ] a, b [. f ( Hc () ) Τέλος, το ότι πρόκειται για μέγιστη λύση αποδεικνύεται με εις άτοπο απαγωγή. Αν υπάρχει λύση σε κάποιο μεγαλύτερο χρονικό διάστημα ] a, b [ ] a, b [ και τη στιγμή = 0 διέρχεται από την κατάσταση = c: τότε ψ :], [ a b U, ψ (0) =, ψ () = f( ψ ()), d H ( ψ ()) = H ( ψ ()) ψ () = ψ () =, ] a, b [. d f c c ( ψ ( )) Έτσι, θα υπάρχει σταθερά k τέτοια ώστε: οπότε άρα Αλλά άρα και έτσι Hc( ψ ( )) = + k, ] a, b [ : Hc( ψ (0)) = H ( c ) = k H ( ψ ( )) H( ) =, ] a, b [. c ] a, b [ { H( ) H( )/ j}. { j} { j} inf H( ) H( )/ = a H( ) sup H( ) H( )/ = b H( ) ] a H( ), b H( )[ = ] a, b [ j j a = a, b = b. j j * Ερώτημα 9: Το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης, όπως συνήθως εκφράζεται, έχει τοπική ισχύ. Στη μονοδιάστατη περίπτωση, διασφαλίζει την τοπική αντιστρεψιμότητα κάθε συνάρτησης της οποίας η παράγωγος δεν μηδενίζεται σε ένα δεδομένο σημείο και την παραγωγισιμότητα της αντί-στροφης συνάρτησης. Πώς εδώ εξάγουμε ένα ολικό συμπέρασμα σε όλο το πεδίο ορισμού; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4. Το λογιστικό πρότυπο της πληθυσμιακής εξέλιξης. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση: = ( -), U. * Κάθε αρχική κατάσταση U ορίζει τη λύση στο μέγιστο χρονικό διάστημα της ύπαρξής της ως εξής: φ :I U, e φ () = e, + και στην έκφραση αυτή συμπεριλαμβάνονται οι καταστάσεις ισορροπίας: = 0 = φ () = 0,, (απωστική ισορροπία), φ () =,, (ελκτική ισορροπία). Πεδίο κλίσης και γραφήματα λύσεων της διαφορικής εξίσωσης. Το μέγιστο χρονικό διάστημα εξέλιξης κάθε λύσης καθορίζεται από τις χρονικές στιγμές στις οποίες το γράφημά της δέχεται κατακόρυφη ασύμπτωτη, δηλαδή από τις ρίζες της εξίσωσης: + e = 0. Έτσι, το πεδίο ύπαρξης της εξελικτικής ροής περιορίζεται ως εξής: D = {(, ) U / U, I } όπου [0, ] I =, < I = ], ln( ( ) / )[, 0 I = ] ln ( ) /, + [. > ( ) * Πρόκειται για απλουστευμένη εκδοχή του λογιστικού πληθυσμιακού προτύπου στο οποίο υπάγονται τα προβλήματα εξέλιξης πληθυσμών με σταθερή εξωτερική διαταραχή, (Λογιστικό μοντέλο Verhuls) Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Προσδιορισμός του μέγιστου χρονικού διαστήματος ορισμού των λύσεων και του περιορισμένου πεδίου ύπαρξης της εξελικτικής ροής της διαφορικής εξίσωσης = ( -), U =. Η αρχική κατάσταση U, στην οποία βρίσκεται το σύστημα τη στιγμή = 0, καθορίζει τη χρονική διάρκεια της εξελικτικής ροής: e g (, ) = + e, I. Η εξελικτική ροή δεν ορίζεται λοιπόν σε όλο το χρονικό άξονα και ο λόγος βρίσκεται στη μη αμφιδιαφορικότητα των μετασχηματισμών που θα την όριζαν κάθε στιγμή στο χώρο των καταστάσεων: g ( ): = φ ( ),. * * Ερώτημα 0: Αποφανθείτε για την αλήθεια ή αναλήθεια της σχέσης: όπου g ( ) =g g ( ),,, + e g ( ) = + e, U Εξετάστε την εγκυρότητα του ακόλουθου υπολογισμού: g g ( ) e = = g ( ) + g ( ) e ( g ( )) e e + e = = e e + e + e + e ee e + = = = + + ee + e + g ( ). Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Προβληματισμός: Η φύση των καταστάσεων ισορροπίας. Θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση: = f( ), U. Διακρίνουμε τις ακόλουθες εκδοχές μιας κατάστασης ισορροπίας U : Κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας: ε> 0, ρ> 0: U, <ρ φ () φ () <ε, 0. Κατάσταση ασυμπτωτικά ευσταθούς ισορροπίας: * ευσταθής ισορροπία & <ρ lim φ () =. + Κατάσταση ασταθούς ισορροπίας: Μη ευσταθής ισορροπία. Θεώρημα. Αν η συνάρτηση που ορίζει το ρυθμό μεταβολής y = f( ) δέχεται συνεχή παράγωγο στην κατάσταση ισορροπίας U και f ( ) 0, τότε ισχύει: f f ( ) < 0 ( ) > 0 ασυμπτωτικά ευσταθής κατάσταση ισορροπίας, ασταθής κατάσταση ισορροπίας. Πριν περάσουμε στην απόδειξη του θεωρήματος ας δούμε στο παράδειγμα 4 ότι: f ( ) = α f (0) 0 α = > f () = < 0 α = 0 απωστικήασταθής ισορροπία = ελκτικήασυµπτωτικάευσταθής ισορροπία Γράφημα της συνάρτησης που ορίζει το ρυθμό μεταβολής: y= ( -), U =. * Η ευστάθεια σημαίνει ότι οι λύσεις με αρχικές συνθήκες κοντά στην ελκτική κατάσταση ισορροπίας παραμένουν κοντά της για αυθαίρετα μεγάλο χρόνο, ενώ η ασυμπτωτική ευστάθεια σημαίνει επιπλέον ότι με την πάροδο του χρόνου οι λύσεις αυτές τείνουν στην ελκτική κατάσταση ισορροπίας. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Λήμμα. Η ευστάθεια, η ασυμπτωτική ευστάθεια και η αστάθεια της κατάστασης ισορροπίας U εκτιμώνται αντίστοιχα με τα ακόλουθα κριτήρια: () δ > 0: U, < δ ( ) f( ) 0, () δ > 0: U, 0 < < δ ( ) f( ) < 0, δ> 0: U, δ< < 0 0 < <δ ( ) f( ) > 0. (3) Απόδειξη. Έστω U μια κατάσταση ισορροπίας: f( ) = 0. () Λαμβάνοντας υπόψη την υπόθεση () και τη σχέση: d d () = ( () ) = ( () ) f( ) d d προκύπτει ότι αν η αρχική συνθήκη (0) ληφθεί έτσι ώστε 0 < (0) <δ τότε: d () 0 d <. Η ανισότητα αυτή ισχύει κατ αρχήν κοντά στο = 0, γιατί η λύση είναι συνεχής συνάρτηση του, άρα για αυτά τα η απόσταση () είναι φθίνουσα συνάρτηση του. Εφόσον βρισκόμαστε στο διάστημα όπου αληθεύει αυτή η ανισότητα, η απόσταση αυτή παραμένει διαρκώς φθίνουσα, άρα () <δ για κάθε 0. Έτσι, αρκεί να θέσουμε στον ορισμό της ευστάθειας ρ=ε, αποδεικνύεται η ευστάθεια της κατάστασης ισορροπίας: <ρ φ () φ () <ε, 0.. () Έχοντας διαπιστώσει ότι η απόσταση () είναι φθίνουσα συνάρτηση του, διασφαλίζεται η ύπαρξη του ορίου lim () =. Αν υποθέσουμε ότι το όριο είναι + γνήσια θετικό > 0 θα καταλήξουμε σε άτοπο. Πράγματι, θέτουμε: = ma{ ( ( ) ) ( )} όπου Σ= { : δ} M f Σ Λαμβάνοντας υπόψη την υπόθεση () και τη σχέση: προκύπτει () 0 0 d () = ( () ) f ( ) M < 0 d d s ds M ds d άρα. ( s) (0) + M που οδηγεί σε άτοπο όταν το τείνει στο μηδέν, άρα = 0 και έτσι αποδεικνύεται η ασυμπτωτική ευστάθεια της κατάστασης ισορροπίας. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 4 (3) Η αστάθεια μπορεί να προκληθεί από δεξιά ή αριστερά της κατάστασης ισορροπίας. Έστω ότι: ( ) f( ) > 0, 0 < -<δ. Αν υποθέσουμε ότι η κατάσταση ισορροπίας είναι ευσταθής θα οδηγηθούμε σε άτοπο. Πράγματι, επιλέγουμε την αρχική κατάσταση έτσι ώστε: 0 < (0) <ρ και, δοθέντος ε=δ /, θα πρέπει για κατάλληλο ρ να ισχύει: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για ρ<δ ισχύει: 0 < (0) <ρ () <ε, 0. Θέτουμε: d () () f ( ) 0 d = ( ) > άρα ( ) (0). = min{ ( ( ) ) ( )} όπου Σ= { : (0) ( ) δ } m f Σ και παρατηρούμε ότι m > 0 και () Σ για 0. Συνεπώς: d s ds mds d () 0 0 άρα ( s) (0) + m που οδηγεί σε άτοπο όταν το τείνει στο + και συμπεραίνουμε την αστάθεια της κατάστασης ισορροπίας. Ανάλογο είναι το αποδεικτικό σκεπτικό στην περίπτωση όπου -δ< -< 0. Θεώρημα. Αν η συνάρτηση που ορίζει το ρυθμό μεταβολής y = f( ) δέχεται συνεχή παράγωγο στην κατάσταση ισορροπίας U και f ( ) 0, τότε ισχύει: f f ( ) < 0 ( ) > 0 ασυμπτωτικά ευσταθής κατάσταση ισορροπίας, ασταθής κατάσταση ισορροπίας. Απόδειξη. Έστω U μια κατάσταση ισορροπίας και ας υποθέσουμε f ( ) < 0. Η συνέχεια της παραγώγου υποδεικνύει ότι σε μια περιοχή του U ισχύει: ] δ, +δ[ f ( ) < 0 και το θεώρημα μέσης τιμής δηλώνει την ύπαρξη μεταξύ και έτσι ώστε: f( ) f( ) = f ( )( ). Άρα, ] δ, +δ [ και κατά συνέπεια f ( ) < 0, οπότε: και ], [ δ +δ ( ) ( - ) f( ) f( ) = f ( )( - ) < 0 ] δ, +δ [ ( ) f( ) < 0. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 5 Από το Λήμμα προκύπτει η ασυμπτωτική ευστάθεια της κατάστασης ισορροπίας και με ανάλογο σκεπτικό αποδεικνύεται η περίπτωση της αστάθειας. Άσκηση. Προσδιορίστε τη φύση των καταστάσεων ισορροπίας της εξίσωσης: όπου = f( ), U, 3 sin/ όταν 0 f( ) = 0 όταν = 0 Γράφημα της συνάρτησης του ρυθμού μεταβολής. Η κατάσταση ισορροπίας = 0 είναι ευσταθής αλλά όχι ασυμπτωτικά ευσταθής. * * Υπόδειξη. Η συνάρτηση που ορίζει το ρυθμό μεταβολής δέχεται παντού συνεχή παράγωγο και έτσι διασφαλίζεται η ύπαρξη και η μοναδικότητα των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης. Οι καταστάσεις ισορροπίας είναι = 0 και k = / kπ, k, και, εκτός από το σημείο = 0 όπου μηδενίζεται η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε απευθείας τα κριτήρια ευστάθειας και αστάθειας στα σημεία k = / kπ, k. Για το σημείο = 0, με δεδομένο ε>0, επιλέγουμε το μικρότερο n τέτοιο ώστε / nπ<ε και θέτοντας ρ= / nπ, προκύπτει: <ρ g ( ) [ / n π,/ n π], 0 g ( ) <ε, 0, και αυτό ισχύει γιατί τα άκρα του διαστήματος [ / n π,/ n π ] αποτελούν καταστάσεις ισορροπίας. Αν ]0, ρ [, επιλέγουμε n τέτοιο ώστε / n π<ε οπότε g ( ) > / n π, 0 lim g ( ) = 0. +, άρα: Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5. Γραμμικοποίηση στις καταστάσεις ισορροπίας. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U = θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση: = sin, U. Οι διαδοχικές καταστάσεις από τις οποίες διέρχεται το σύστημα, ξεκινώντας από την κατάσταση U, ορίζονται από την αντίστοιχη λύση: φ : U, φ () =. * Τροχιές και γραφήματα λύσεων της διαφορικής εξίσωσης = sin,. Τη στιγμή, ορίζεται στο χώρο των καταστάσεων ο μετασχηματισμός ροής που αποδίδει κάθε αρχική κατάσταση του συστήματος στην κατάσταση στην οποία θα βρεθεί τη δεδομένη αυτή στιγμή: g :, g ( ) = φ (). Πρόκειται για αμφιδιαφορομορφισμούς της πραγματικής ευθείας που ορίζουν τη μονοπαραμετρική ομάδα. Τα σημεία = kπ, k, είναι σταθερά σημεία της ροής η οποία, σε θετικό χρόνο κατευθύνεται από κάθε αρχική κατάσταση στην πλησιέστερη κατάσταση ισορροπίας που αντιστοιχεί σε περιττό πολλαπλάσιο του π, ενώ σε αρνητικό χρόνο κατευθύνεται από κάθε αρχική κατάσταση στην πλησιέστερη κατάσταση ισορροπίας που αντιστοιχεί σε άρτιο πολλαπλάσιο του π. Οι καταστάσεις ισορροπίας που αντιστοιχούν σε άρτιο πολλαπλάσιο του π είναι απωστικές και εκείνες που αντιστοιχούν σε περιττό πολλαπλάσιο του π είναι ελκτικές. Σε κάθε δεδομένη κατάσταση προσαρτάται η τροχιά: { g ( ) U/ } =, U, και προκύπτουν δυο τύποι χρονικής ομάδας: T = { / k g = π ( k π ) = k π } =, = { / k ( ) = π } = { 0} T g. * Ερώτημα. Ποιες είναι οι λύσεις και η μονοπαραμετρική ομάδα της διαφορικής εξίσωσης; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 7 Προβληματισμός: Ανθεκτικότητα της φύσης των καταστάσεων ισορροπίας. Η γραμμικοποίηση μιας διαφορικής εξίσωσης: στην κατάσταση ισορροπίας = f( ), U, U είναι εξ ορισμού η γραμμική διαφορική εξίσωση: = f ( ), U. Το ερώτημα που τίθεται αφορά στη διατήρηση ή μη της φύσης των καταστάσεων ισορροπίας μιας μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης κατά τη γραμμικοποίησή της. Η μονοδιάστατη γραμμική δυναμική: = α, U =, παρουσιάζει την κατάσταση ισορροπίας = 0 που είναι ασυμπτωτικά ευσταθής όταν α< 0 και ασταθής όταν α> 0. Γνωρίζουμε ήδη ότι, αν η συνάρτηση y = f( ) δέχεται συνεχή παράγωγο στην κατάσταση ισορροπίας U και f ( ) 0, τότε: f f ( ) < 0 ( ) > 0 ασυμπτωτικά ευσταθής ισορροπία, ασταθή ισορροπίας, άρα η φύση της διατηρείται κατά τη γραμμικοποίηση: f ( ) = f ( ) φ () = e f ( ) g ( ) = e, U. Στο παράδειγμα της μη γραμμικής διαφορικής εξίσωσης: = sin, U, η φύση των καταστάσεων ισορροπίας διατηρείται κατά τη γραμμικοποίηση: = kπ = ασυμπτωτικά ευσταθής ισορροπία, = (k + ) π = + ασταθής ισορροπία. Άσκηση 3. Εξετάστε την ενδεχόμενη μεταβολή της φύσης των καταστάσεων ισορροπίας της ακόλουθης διαφορικής εξίσωσης κατά τη γραμμικοποίησή της: όπου = f( ), U, 3 sin/ όταν 0 f( ) = 0 όταν = 0 Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 8 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6. Διαταραχή του ρυθμού μεταβολής. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U = θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση: = +µ, U, * όπου ο ρυθμός μεταβολής εξαρτάται από μια παράμετρο µ : fµ ( ) = +µ. Η παράμετρος αυτή υπεισέρχεται ως διαταραχή της τετραγωνικής δυναμικής και ζητούμενο είναι η μελέτη της τοπολογικής διαφοροποίησης αυτής της δυναμικής. Ο ρυθμός μεταβολής εμφανίζει τώρα δυο σημεία μηδενισμού = < 0 & = > 0 όταν µ< 0, ένα σημείο μηδενισμού = 0 όταν µ= 0 και κανένα σημείο μηδενισμού όταν µ> 0. Συνεπώς, όταν µ< 0 τότε εμφανίζονται δυο καταστάσεις ισορροπίας, μια ελκτική ασυμπτωτικά ευσταθής = και μια απωστική ασταθής =, αφού αντίστοιχα ισχύει f µ ( ) < 0 και f µ ( ) > 0. Όσο η τιμή µ< 0 τείνει να μηδενιστεί τόσο οι δυο αυτές καταστάσεις ισορροπίας πλησιάζουν μεταξύ τους έως ότου ταυ-τιστούν όταν µ= 0 και εξαφανιστούν όταν µ> 0. Η τιμή µ= 0 ορίζει μια ιδιόμορφη δυναμική, μιας διακλάδωση, αφού οι παράπλευρες τιμές ορίζουν διαφορετικές δυναμικές συμπεριφορές, από τη μια ανυπαρξία και από την άλλη ύπαρξη δυο καταστάσεων ισορροπίας, άρα πλήρη μεταβολή του τοπολογικού τοπίου στο χώρο καταστάσεων. Αξιοσημείωτη είναι η παρατήρηση ότι στην κατάσταση ισορροπίας = 0 που αντιστοιχεί στην τιμή διακλάδωσης µ= 0 μηδενίζεται η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής: f ( ) = 0. µ= 0 Γράφημα της συνάρτησης του ρυθμού μεταβολής για τις τιμές της παραμέτρου: μ<0, μ=0, μ>0, και διάγραμμα διακλάδωσης της διαφορικής εξίσωσης: = +µ, µ. * Ερώτημα. Ποια είναι η επίπτωση της διαταραχής στην τοπολογική φύση των τροχιών; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 9 Προβληματισμός: Εμφάνιση σημείων διακλάδωσης κατά τη διαταραχή. Αν η εξέλιξη ενός δυναμικού συστήματος διέπεται από τη διαφορική εξίσωση: = f( ), U, τίθεται το ερώτημα της εμφάνισης σημείων διακλάδωσης στο χώρο καταστάσεων κατά τη διαταραχή του ρυθμού μεταβολής: = f( ) +µ, µ. Κατά τη διαταραχή του ρυθμού μεταβολής της γραμμικής δυναμικής: = α, U =, δεν εμφανίζονται σημεία διακλάδωσης και η φύση της κατάστασης ισορροπίας διατηρείται αναλλοίωτη. Συγκεκριμένα, στην ελκτική γραμμική δυναμική: = +µ, U, πριν τη διαταραχή ( µ= 0) η κατάσταση ισορροπίας = 0 είναι ασυμπτωτικά ευσταθής και το ίδιο ισχύει κατά τη διαταραχή για την κατάσταση ισορροπίας = µ, αφού η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής παραμένει γνήσια αρνητική. Επίσης, στην απωστική γραμμική δυναμική: = +µ, U, πριν τη διαταραχή ( µ= 0) η κατάσταση ισορροπίας = 0 είναι ασταθής και το ίδιο = µ, αφού η παράγω- ισχύει κατά τη διαταραχή για την κατάσταση ισορροπίας γος του ρυθμού μεταβολής παραμένει γνήσια θετική. Συνεπώς, κατά τη διαταραχή του ρυθμού μεταβολής των μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων διατηρείται η φύση των καταστάσεων ισορροπίας στις οποίες δεν μηδενίζεται η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής, αφού το ίδιο ισχύει για τη γραμμικοποίησή τους σε αυτές τις καταστάσεις. Άρα, στην περιοχή των καταστάσεων ισορροπίας στις οποίες δεν μηδενίζεται η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής, η διαταραχή δεν μπορεί να προκαλέσει εμφάνιση σημείων διακλάδωσης και συνακόλουθα ούτε μεταβολή της τοπολογικής φύσης της εξελικτικής ροής στο χώρο καταστάσεων. Διαγράμματα διακλάδωσης κατά τη διαταραχή της μονοδιάστατης γραμμικής δυναμικής. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 30 Συνεπώς, αναγκαία προϋπόθεση για την εμφάνιση σημείου διακλάδωσης είναι ο μηδενισμός της παραγώγου του ρυθμού μεταβολής σε κάποια κατάσταση ισορροπίας, δηλαδή η ύπαρξη µ και U τέτοιων ώστε: f ( ) 0 µ = και f ( ) 0 =. µ Αλλά, η συνθήκη αυτή δεν είναι από μόνη της ικανή να προκαλέσει διακλάδωση. Για παράδειγμα, οι καταστάσεις ισορροπίας της διαφορικής εξίσωσης: ορίζονται από την παραμετρική εξίσωση: 3 = +µ, U =, = µ 3 3 +µ= 0 και η κατάσταση ισορροπίας στην οποία μηδενίζεται η παράγωγος του ρυθμού μεταβολής προκύπτει για µ= 0 και είναι = 0 χωρίς να υπάρχει διακλάδωση και μεταβολή της τοπολογικής φύσης της εξελικτικής ροής. Άσκηση 4. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου µ, εξετάστε την ύπαρξη σημείων διακλάδωσης και την τοπολογική διαφοροποίηση της εξελικτικής ροής στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων της διαφορικής εξίσωσης : όπου = f ( ), U, µ f µ ( ) = ( ) +µ. * µ=, = µ= 4 / 7, = /3 0 Διαγράμματα διακλάδωσης. * Υπόδειξη. Εμφανίζονται δυο διακλαδώσεις: fµ ( ) 0 ( ) 0 0 = +µ= = µ = f µ ( ) 0 3 4 0 / 3 4 / 7 = + = = µ = Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7. Η διαταραχή και το φαινόμενο της υστέρησης. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U = θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση που ορίζεται για κάθε τιμή της παραμέτρου µ ως εξής: 3 = +µ, U. Στην αδιατάρακτη περίπτωση: 3, = = U, οι διαδοχικές καταστάσεις από τις οποίες διέρχεται το σύστημα, ξεκινώντας από την κατάσταση U, ορίζονται από την αντίστοιχη λύση: φ : U, φ () = *. Στην περίπτωση αυτή ο ρυθμός μεταβολής μηδενίζεται σε τρία σημεία και εμφανίζονται τρεις καταστάσεις ισορροπίας: = 0, ± : φ () 0 =, 0 φ () =, φ () =, και η φύση τους προσδιορίζεται ως εξής: f (0) > 0 = 0 απωστική κατάσταση ασταθούς ισορροπίας, f ( + ) < 0 = + ελκτική κατάσταση ασυμπτωτικά ευσταθούς ισορροπίας, f ( ) < 0 = ελκτική κατάσταση ασυμπτωτικά ευσταθούς ισορροπίας, Πεδίο κλίσης και γραφήματα λύσεων της διαφορικής εξίσωσης: 3,. = - Το ερώτημα που τίθεται αφορά στην τοπολογική διαφοροποίηση της δυναμικής στο χώρο των καταστάσεων κατά τη διαταραχή του ρυθμού μεταβολής. * Ερώτημα 3. Ποιες είναι οι λύσεις της διαφορικής εξίσωσης και τι μπορούμε να πούμε για τη μονοπαραμετρική ομάδα και την εξελικτική ροή στο χώρο των καταστάσεων; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 3 Προβληματισμός: Το φαινόμενο της υστέρησης κατά τη διαταραχή. Θα εξετάσουμε τη διαφοροποίηση του πλήθους και της φύσης των καταστάσεων ισορροπίας κατά τη διαταραχή του ρυθμού μεταβολής: 3 fµ ( ) = +µ. Για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου, οι καταστάσεις ισορροπίας ορίζονται από την παραμετρική εξίσωση: 3 =µ. Ο ρυθμός μεταβολής παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα: f = = µ ( ) 3 0 = + 3/3 µ = 3/9 = 3/3 µ = + 3/9 συνεπώς, εμφανίζονται δυο περιπτώσεις μηδενισμού της παραγώγου του ρυθμού μεταβολής σε κατάσταση ισορροπίας: µ = 3/9 : = + 3/3 f ( ) = f ( ) = 0 µ µ µ = + 3/9 : = 3/3 f ( ) = f ( ) = 0 µ µ. Οι καταστάσεις ισορροπίας για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Οι δυο αυτές τιμές της παραμέτρου μ προκαλούν διακλάδωση και συνακόλουθα τοπολογική αλλαγή της εξελικτικής ροής. Προκύπτουν τα εξής συμπεράσματα: µ< - 3/9 μια ευσταθής κατάσταση ισορροπίας, µ= - 3/9 μια ευσταθής κατάσταση ισορροπίας & ένα σημείο διακλάδωσης, - 3/9<µ < 3/9 μια ασταθής και δυο ευσταθείς καταστάσεις ισορροπίας, µ= + 3/9 μια ευσταθής κατάσταση ισορροπίας & ένα σημείο διακλάδωσης, µ>+ 3/9 μια ευσταθής κατάσταση ισορροπίας. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 33 Οι καταστάσεις ισορροπίας για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Άσκηση 5. Αν η εξέλιξη ενός φυσικού συστήματος διέπεται από την προηγούμενη παραμετρική διαφορική εξίσωση, όπου µ εκφράζει την εξάρτησή του από κάποια παράμετρο, ερμηνεύστε τις διακυμάνσεις της δυναμικής του συμπεριφοράς, γνωρίζοντας ότι τη στιγμή = 0 το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση (0). * Το φαινόμενο της υστέρησης. * Υπόδειξη. Αν στο μ δοθεί μια τιμή γνήσια μεγαλύτερη από την κρίσιμη τιμή µ= 3/9, το σύστη-μα, ανεξάρτητα από την αρχική του κατάσταση, θα πλησιάσει γρήγορα στη μοναδική ελκτική κατά-σταση ευσταθούς ισορροπίας () +. Αν τώρα η τιμή του μ αρχίσει να μειώνεται αργά, το σύστημα θα εξακολουθεί να παραμένει κοντά σε αυτή την ισορροπία ακόμη και αν η τιμή του μ φτάσει και πέ-σει κάτω από την κρίσιμη τιμή µ. Αν η τιμή του μ συνεχίσει να μειώνεται, και εφόσον φτάσει και πέ-σει κάτω από την κρίσιμη τιμή µ= 3/9, εμφανίζεται η άλλη μοναδική ελκτική κατάσταση ευστα-θούς ισορροπίας () και τότε το σύστημα μεταπηδά από τον άνω στον κάτω κλάδο του γραφήμα-τος. Αν τώρα αντιστραφεί η διαδικασία και η παράμετρος μ, ξεκινώντας από μια τιμή γνήσια μικρό-τερη από την κρίσιμη τιμή µ= 3/9, αρχίσει να αυξάνει αργά, τότε η εξέλιξη του συστήματος θα είναι τελείως διαφορετική. Αυτό οφείλεται στο ότι το σύστημα θα εξακολουθήσει να παραμένει κοντά στον κάτω κλάδο ακόμη και όταν η τιμή του μ ξεπεράσει την κρίσιμη τιμή µ και μόνο όταν φτάσει την κρίσιμη τιμή µ θα μεταπηδήσει στον άνω κλάδο του γραφήματος. Έτσι, το σύστημα δεν αντιλαμ-βάνεται το ενδιάμεσο τμήμα του γραφήματος μεταξύ των δυο κλάδων και αντί να επανακάμψει στην αναμενόμενη εξελικτική του πορεία ακολουθεί ένα βρόγχο υστέρησης (hyseresis lp), βλ. Σχήμα. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 34 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8. Διαταραχή της πληθυσμιακής εξέλιξης. Στο μονοδιάστατο χώρο καταστάσεων U = θεωρούμε τη διαφορική εξίσωση που ορίζεται για κάθε τιμή της παραμέτρου µ ως εξής: =α ( -) + µ, U, α > 0. * Η αδιατάρακτη περίπτωση µ= 0 έχει ήδη εξεταστεί σε προηγούμενο παράδειγμα όπου, στην περίπτωση αυτή, κάθε αρχική κατάσταση U ορίζει τη λύση στο μέγιστο χρονικό διάστημα της ύπαρξής της ως εξής: φ :I U, και εμφανίζονται δυο καταστάσεις ισορροπίας: e φ () = e, + = 0 = φ () = 0,, (απωστική ασταθής ισορροπία), φ () =,, (ελκτική ευσταθής ισορροπία). Πεδίο κλίσης και γραφήματα λύσεων της αδιατάρακτης διαφορικής εξίσωσης: = α ( -), U, α > 0. Το ερώτημα που τίθεται αφορά στην τοπολογική διαφοροποίηση της δυναμικής στο χώρο των καταστάσεων κατά τη σταθερή διαταραχή του ρυθμού μεταβολής: : f µ U, fµ ( ) =α( -) µ, + µ, ( α= ). * Πρόκειται για απλουστευμένη εκδοχή του λογιστικού πληθυσμιακού προτύπου στο οποίο υπάγονται τα προβλήματα εξέλιξης πληθυσμών με σταθερή εξωτερική διαταραχή, (Λογιστικό μοντέλο Verhuls). Ερώτημα 4. Θα μπορούσατε να προσδιορίσετε τις λύσεις της διαφορικής εξίσωσης: =α( -) µ, U =, α=, µ> 0 ; Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 35 Η συνάρτηση αυτή έχει δυο σημεία μηδενισμού = και = όταν μ<¼, ένα σημείο μηδενισμού = όταν μ=¼ και κανένα σημείο μηδενισμού όταν μ> ¼. Συνεπώς, όταν μ<¼ εμφανίζονται δυο καταστάσεις ισορροπίας, μια απωστική = και μια ελκτική =, αφού αντίστοιχα ισχύει: f µ ( ) > 0 και f µ ( ) < 0. Το γράφημα της συνάρτησης του ρυθμού μεταβολής για τις τιμές της παραμέτρου: μ<¼, μ=¼, μ>¼. Όσο η τιμή του μ πλησιάζει το ¼ τόσο οι δυο αυτές καταστάσεις ισορροπίας πλησιάζουν μεταξύ τους έως ότου ταυτιστούν όταν μ=¼ και εξαφανιστούν όταν μ>¼. Η τιμή μ=¼ προκαλεί την εμφάνιση μιας ιδιόμορφης δυναμικής συμπεριφοράς, μιας διακλάδωσης, αφού οι παράπλευρες τιμές ορίζουν διαφορετικές δυναμικές συμπεριφορές, από τη μια ύπαρξη και από την άλλη ανυπαρξία καταστάσεων ισορροπίας, άρα μεταβολή της τοπολογικής φύσης των εξελικτικών ροών. Διάγραμμα διακλάδωσης στο οποίο εμφανίζονται οι τοπολογικές μεταβολές της δυναμικής. Τώρα, το ερώτημα που τίθεται είναι πιο περίπλοκο, αλλά πολύ πιο σημαντικό για τις εφαρμογές, αφού αντί μιας σταθερής διαταραχής θέλουμε να εξετάσουμε τις επιπτώσεις στην πληθυσμιακή εξέλιξη από μια χρονικά περιοδική διαταραχή του ρυθμού μεταβολής: U, f (,) ( - ) ( sin ) f µ : µ =α µ + π, + µ, ( α= ). Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00

ΔΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ : ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ 36 Προβληματισμός: Περιοδική διαταραχή της πληθυσμιακής δυναμικής. Όταν η εξέλιξη ενός φυσικού συστήματος επηρεάζεται από χρονικά μεταβαλλόμενους εξωτερικούς παράγοντες τότε, στη διαφορική εξίσωση που διέπει την εξέλιξη, ο χρόνος υπεισέρχεται άμεσα ως ανεξάρτητη μεταβλητή και έτσι ο ρυθμός μεταβολής ορίζεται στο διευρυμένο χώρο καταστάσεων, δηλαδή στο καρτεσιανό γινόμενο του χρονικού άξονα με το χώρο των καταστάσεων: f : U, y = f (, ), και η διαφορική εξίσωση διατυπώνεται ως εξής: = f(, ), U,. * Σε κάθε σημείο του διευρυμένου χώρου καταστάσεων (, ) U προσαρτάται η ευθεία της οποίας η κλίση δίνεται από την αριθμητική τιμή f(, ) και έτσι ορίζεται το πεδίο κλίσης. Το παράδειγμά μας, για κάθε τιμή της παραμέτρου μ, εντάσσεται σε αυτό το πλαίσιο και η εξέλιξη διέπεται από τη διαφορική εξίσωση: ( ) =α ( - ) - µ + sinπ, U, α> 0, µ> 0. Το πεδίο κλίσεων της μη αυτόνομης διαφορικής εξίσωσης στο διευρυμένο χώρο καταστάσεων για μια δεδομένη τιμή της παραμέτρου µ> 0 και για α=. Η χρονική περιοδικότητα του ρυθμού μεταβολής της πληθυσμιακής εξέλιξης: f (, ) = f ( +, ), U,, µ µ + µ, υποδεικνύει ότι, αν U τότε για να προσδιοριστεί η λύση: = (), (0) µ, I = : () = f (, ()), * Οι διαφορικές εξισώσεις στις οποίες υπεισέρχεται άμεσα ο χρόνος ως ανεξάρτητη μεταβλητή καλούνται μη αυτόνομες σε αντιπαράθεση προς τις αυτόνομες όπου ο χρόνος υπεισέρχεται έμμεσα. Τις μη αυτόνομες διαφορικές εξισώσεις θα τις εξετάσουμε αναλυτικά σε επόμενη θεματική ενότητα. Σ. Ν. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ 00