4.1. Η έννοια της ομοπαραλληλικής απεικόνισης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΟΜΟΠΑΡΑΛΛΗΛΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 4.1. Η έννοια της ομοπαραλληλικής απεικόνισης Έστω A n (V n ) και B m (W m ) δυο ομοπαραλληλικοί χώροι με αντίστοιχους διανυσματικούς χώρους ορισμένους πάνω στο ίδιο σώμα K, και μια απεικόνιση f : A n B m. Από την f δημιουργείται μια αντιστοιχία F : V n W m ως εξής: Αν v V n είναι τυχόν διάνυσμα και P, Q A n, τέτοια ώστε PQ = v, ορίζουμε F(v) = f(p)f(q), η οποία δεν είναι πάντα απεικόνιση. Παράδειγμα 4.1.1 Έστω η απεικόνιση f : A 2 A 2, X(x 1, x 2 ) Y(y 1, y 2 ), που ορίζεται ως εξής: y 1 = x 1 + 1, y 2 = 2 2 x x 2, 0 2 2, x 0 Για τα σημεία P(3, 1), Q(3, 2), R(3, 2), S(3, 1) είναι PQ = RS = {0, 1} και για τις εικόνες τους P (4, 2), Q (4, 2), R (4, 0), S (4, 1) είναι P Q = {0, 0}, R S = {0, 1}, δηλ. P Q R S. Άρα η F δεν είναι απεικόνιση. Η αντιστοιχία F είναι ακριβώς τότε απεικόνιση, όταν (Ο1) P, Q, R, S A n με PQ = RS f(p)f(q) = f(r)f(s) και ονομάζεται επαγόμενη απεικόνιση από την f. Υποθέτουμε ακόμα, ότι (Ο2) η F είναι γραμμική. Μια σημειακή απεικόνιση f : A n B m, που έχει τις ιδιότητες (Ο1) και (Ο2), ονομάζεται ομοπαραλληλική απεικόνιση ή ομοπαραλλήλια. Επειδή για κάθε P, Q A n είναι F(PQ) = f(p)f(q) θα έχουμε Q = P + PQ f(q) = f(p) + F(PQ).. 14

4.2. Πρώτες ιδιότητες των ομοπαραλληλικών απεικονίσεων Πρόταση 4.2.1. Δίνονται τα σημεία P A n και P B m και μια γραμμική απεικόνιση F : V n W m. Υπάρχει ακριβώς μία ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m, που απεικονίζει το P στο P και έχει επαγόμενη γραμμική την F. Θεωρούμε την απεικόνιση f : A n B m, που ορίζεται ως εξής: Για ένα σημείο X A n είναι f(x) = P + F(PX) ( P f(x) = F(PX)). Έχουμε f(p) = P + F(PP) = P + 0 = P. H f έχει την ιδιότητα (Ο1). Πράγματι, ας θεωρήσουμε σημεία Q, R, S, T A n με QR = ST. Τότε f(q)f(r) = P f(r) P f(q) = F(PR) F(PQ) = F(PR PQ) = F(QR) = F(ST) = F(PT PS) = F(PT) F(PS) = P f(t) P f(s) = f(s)f(t). Έστω F η επαγόμενη της f. Θεωρούμε τυχόν διάνυσμα v V n και δυο σημεία Q, R A n με QR = v. Τότε F (v) = F (QR) = f(q)f(r) = P f(r) P f(q) = F(PR) F(PQ) = F(PR PQ) = F(QR) = F(v) άρα F = F. Η f είναι μοναδική, γιατί αν f : A n B m είναι μια άλλη ομοπαραλληλική απεικόνιση με τις ίδιες ιδιότητες έχουμε f (X) = f (P) + F(PX) = P + F(PX) = f(x) Χ Α n, άρα f = f. Πρόταση 4.2.2. Υπάρχει ακριβώς μία ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m, που απεικονίζει δοθέντα γραμμικά ανεξάρτητα σημεία P 0, P 1,, P n του A n σε δοθέντα σημεία Q 0, Q 1,, Q n του B m. Τα διανύσματα P 0 P i V n, i = 1, 2,, n, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, συνεπώς αποτελούν μια βάση του V n. Από τη Γραμμική Άλγεβρα είναι γνωστό ότι υπάρχει μοναδική γραμμική απεικόνιση F : V n W m, που απεικονίζει το διάνυσμα P 0 P i V n της βάσης στο διάνυσμα Q 0 Q i W m : (21) F(P 0 P i ) = Q 0 Q i, i = 1, 2,, n. Στη συνέχεια θεωρούμε τη μοναδική ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m, με επαγόμενη την F και f(p 0 ) = Q 0 (βλ. Πρόταση 4.2.1). Για τα υπόλοιπα σημεία έχουμε, λόγω των (21), F(P 0 P i ) = Q 0 Q i f(p 0 )f(p i ) = Q 0 Q i Q 0 f(p i ) = Q 0 Q i f(p i ) = Q i, άρα η f έχει τις ζητούμενες ιδιότητες. 15

Πρόταση 4.2.3. Έστω f : A n B m μία ομοπαραλληλική απεικόνιση και L(U) ένας ομοπαραλληλικός υποχώρος του A n. α) Το σύνολο f(l) είναι ομοπαραλληλικός υποχώρος του B m με αντίστοιχο διανυσματικό υποχώρο τον F(U). β) Ισχύει 0 dim f(l) dim L. (α) Γράφουμε τον L ως L = P + U για τυχόν P L και θεωρούμε τον ομοπαραλληλικό υποχώρο M: = f(p) + F(U) B m. Θα αποδείξουμε ότι f(l) = M. Έστω τυχόν f(q) f(l) με Q L. Τότε P, Q L PQ U F(PQ) F(U) f(p)f(q) F(U) και επειδή f(p) M θα είναι και f(q) M. Άρα f(l) M. Έστω τυχόν Q M. Υπάρχει τότε u U τέτοιο ώστε Q = f(p) + F(u), άρα f(p)q = F(u). Θεωρούμε το σημείο Q = P + u. Προφανώς Q L και f(q) = f(p) + F(u), οπότε f(p)f(q) = F(u) = f(p)q, άρα f(q) = Q Q L. Ώστε M f(l). β) Η 0 dim f(l) dim L είναι προφανής, γιατί dim f(l) = dim F(U) dim U = dim L. Πόρισμα 4.2.1. α) Η έννοια του ομοπαραλληλικού υποχώρου είναι ομοπαραλληλική αναλλοίωτος. β) Κάθε ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m απεικονίζει κάθε ευθεία του A n σε ευθεία ή σε σημείο του B m. Εφαρμογή 4.2.1. Έστω x = p + λ a, a V n, a 0, λ K, η διανυσματική εξίσωση μιας ευθείας ε του A n. Ο αντίστοιχος διανυσματικός χώρος της είναι ο U = sp({a}). Άρα ο αντίστοιχος διανυσματικός χώρος της εικόνας της f(ε) είναι ο F(U) = sp({f(a)}. Εξάλλου το σημείο P = f(p) ανήκει στην εικόνα f(ε). Ώστε α) όταν F(a) = 0, δηλαδή όταν a kern F, είναι F(U) = {0}, άρα f(ε) = {P }. β) όταν F(a) 0, τότε μια διανυσματική εξίσωση της εικόνας f(ε) είναι η y = p + μ F(a), μ K. 16

Πρόταση 4.2.4. Κάθε ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m α) αφήνει το μερικό λόγο τριών συγγραμμικών σημείων αναλλοίωτο, εφόσον αυτός ορίζεται. β) διατηρεί την παραλληλία των ομοπαραλληλικών υποχώρων. (α) Έστω P 1, P 2, P 3 A n με P 1 P 2 τυχόντα συγγραμμικά σημεία. Η ευθεία πάνω στην οποία κείνται απεικονίζεται σε ευθεία ή σημείο του B m. Στη δεύτερη περίπτωση δεν έχουμε τίποτα να αποδείξουμε. Όταν απεικονίζεται σε ευθεία, είναι f(p 1 ) f(p 2 ) και ο μερικός λόγος T(f(P 1 ), f(p 2 ), f(p 3 )) ορίζεται. Θέτουμε T(P 1, P 2, P 3 ) = λ και έχουμε ισοδύναμα P 1 P 3 = λ P 1 P 2 F(P 1 P 3 ) = F(λ P 1 P 2 ) = λ F(P 1 P 2 ) f(p 1 ) f(p 3 ) = λ f(p 1 )f(p 2 ) T(f(P 1 ), f(p 2 ), f(p 3 )) = λ. (β) Έστω L 1 L 2 με U 1 U 2. Τότε F(U 1 ) F(U 2 ). Άρα f(l 1 ) f(l 2 ). Πρόταση 4.2.5. Μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m είναι ακριβώς τότε επί, όταν η επαγόμενη γραμμική απεικόνιση F: V n W m είναι επί. "" Έστω w W m τυχόν διάνυσμα και Q 1, Q 2 B m με Q 1 Q 2 = w. Επειδή η f είναι επί, υπάρχουν σημεία Q 1, Q 2 A n με f(q i ) = Q i, i = 1, 2, οπότε έχουμε F(Q 1 Q 2 ) = f(q 1 )f(q 2 ) = Q 1 Q 2 = w. "" Έστω Q B m τυχόν και P A n τυχόν. Θεωρούμε το διάνυσμα f(p)q W m. Επειδή η F είναι επί, υπάρχει v V n, τέτοιο ώστε F(v) = f(p)q. Θεωρούμε επίσης το σημείο R = P + v του A n. Τότε έχουμε PR = v F(PR) = F(v) f(p)f(r) = f(p)q f(r) = Q. 4.3. Ομαλές ομοπαραλληλικές απεικονίσεις Μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m ονομάζεται ομαλή, όταν είναι αμφιμονότιμη. Πρόταση 4.3.1. Μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν η επαγόμενη γραμμική απεικόνιση F: V n W m είναι ομαλή. "" Έστω v kern F και P, Q A n με PQ = v. Τότε F(PQ) = 0, άρα f(p)f(q) = 0 f(p) = f(q) P = Q v = 0. "" Έστω P, Q A n με f(p) = f(q) f(p)f(q) = 0 F(PQ) = 0 PQ = 0 P = Q. Ως γνωστόν για την F ισχύει 17

(22) dim (kern F) + rank F = n (rank F = dim F(V n )). Άρα: Ώστε: f ομαλή F ομαλή dim (kern F) = 0 rank F = n dim F(V n ) = n. Πρόταση 4.3.2. Μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν rank F = n. Πρόταση 4.3.3. Όταν η ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m είναι ομαλή, τότε dimf(l) = diml για κάθε ομοπαραλληλικό υποχώρο L του A n. Αν L =, τότε f(l) = και η πρόταση ισχύει. Αν L και U είναι ο αντίστοιχος διανυσματικός υποχώρος του, τότε o αντίστοιχος διανυσματικός υποχώρος του f(l) είναι ο F(U) και, επειδή η f είναι ομαλή, ισχύει dim F(U) = dim U. Πρόταση 4.3.4. Κάθε ομαλή ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m απεικονίζει γραμμικά ανεξάρτητα σημεία του A n σε γραμμικά ανεξάρτητα σημεία του B m. Η απόδειξη προκύπτει από τις P 1, P 2,, P k A n γραμμικά ανεξάρτητα P 1 P 2,, P 1 P k V n γραμμικά ανεξάρτητα F(P 1 P 2 ),, F(P 1 P k ) W m γραμμικά ανεξάρτητα (γιατί F ομαλή) f(p 1 )f( P 2 ),, f(p 1 )f(p k ) W m γραμμικά ανεξάρτητα f(p 1 ), f(p 2 ),, f(p k ) B m γραμμικά ανεξάρτητα. Πρόταση 4.3.5. Μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m είναι ακριβώς τότε ομαλή, όταν κάθε ευθεία του A n απεικονίζεται σε ευθεία του B m. "" Προφανής. "" Έστω P, Q A n, που είναι διάφορα, αλλά f(p) = f(q). Ο υποχώρος {P} {Q} είναι ευθεία με διανυσματική εξίσωση x = p + λ a, a = PQ. Επειδή f(a) = f(p)f(q) = 0, σύμφωνα με την Εφαρμογή 4.2.1, η ευθεία ε απεικονίζεται στο σημείο f(p), άτοπο. Πόρισμα 4.3.1. Έστω f : A n B m μια ομοπαραλληλική απεικόνιση. Κάθε ομοπαραλληλικός υποχώρος L του A n της μορφής L = P + kern F απεικονίζεται στο σημείο f(p), P A n. 4.4. Παράσταση ομοπαραλληλικών απεικονίσεων με γραμμικά συστήματα Έστω f : A n B m μία ομοπαραλληλική απεικόνιση και 18

S = {A 0 ; ε 1,..., ε n }, S = {B 0 ; ε 1,..., ε m} ανά ένα σύστημα συντεταγμένων των A n και B m. Υποθέτουμε, ότι είναι γνωστή η επαγόμενη γραμμική F : V n W m και η εικόνα f(a 0 ). Ζητούμε σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου X(x 1,, x n ) A n με διανυσματική ακτίνα x = A 0 X και της εικόνας του f(x) = Y(y 1,, y m ) B m με διανυσματική ακτίνα y = B 0 Y. Έστω w = F(v) = Λ v, Λ Mat(m, n ; K) το σύστημα της F. Έχουμε F(x) = F(A 0 X) = f(a 0 )f(x) = B 0 f(x) B 0 f(a 0 ) = B 0 Y B 0 f(a 0 ) = y B 0 f(a 0 ), άρα (23) y = Λ x + μ, όπου μ = B 0 f(a 0 ). Τον πίνακα Λ βρίσκουμε ως εξής: Έστω F(ε i ) = λ 1 i ε 1 + + λ m i ε m. Θεωρούμε τον πίνακα Λ Mat(n, m; K), του οποίου οι γραμμές είναι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων F(ε i ) ως προς τη βάση {ε 1,..., ε m} του W m. Τότε (F(ε 1 ),, F(ε n )) T = Λ (ε 1,..., ε m) Τ. Για ένα διάνυσμα v = v 1 ε 1 + + v n ε n = (v 1,, v n ) (ε 1,..., ε n ) Τ και την εικόνα του F(v) = w = w 1 ε 1 + + w m ε m = (w 1,, w m ) (ε 1,..., ε m) Τ έχουμε F(v) = F(v 1 ε 1 + + v n ε n ) = v 1 F(ε 1 ) + + v n F(ε n ) = (v 1,, v n ) (F(ε 1 ),, F(ε n )) T = (v 1,, v n ) Λ (ε 1,..., ε m) Τ, άρα (w 1,, w m ) = (v 1,, v n ) Λ (w 1,, w m ) Τ = Λ Τ (v 1,, v n ) Τ ή w = F(v) = Λ v, όπου Λ Mat(m, n ; K) είναι ο πίνακας του οποίου οι στήλες είναι οι συντεταγμένες των διανυσμάτων F(ε i ) ως προς τη βάση {ε 1,..., ε m} του W m. Αντίστροφα, έστω ότι δίνεται το γραμμικό σύστημα (24) y = Λ x + μ, όπου Λ Mat(m, n ; K) και μ Mat(m, 1 ; K). Θεωρούμε την απεικόνιση f : A n B m, 19

που ορίζεται με χρήση της f(x) = Y, όπου οι διανυσματικές ακτίνες x, y των σημείων X και Y πληρούν την (24). Η απεικόνιση αυτή είναι ομοπαραλληλική γιατί (Ο1) Έστω P,Q,R,S A n με PQ = RS, οπότε p q = s r. Έχουμε f(p)f(q) = B 0 f(q) B 0 f(p) = (Λ q + μ) (Λ p + μ) = Λ (q p), f(r)f(s) = B 0 f(s) B 0 f(r) = (Λ s + μ) (Λ r + μ) = Λ (s r), άρα f(p)f(q) = f(r)f(s) οπότε η f επάγεται μια απεικόνιση F : V n W m. (O2) Μένει να δειχθεί, ότι η F είναι γραμμική. Έστω v V n και P, Q A n τέτοια ώστε PQ = v. Τότε F(v) = f(p)f(q) = B 0 f(q) B 0 f(p) = (Λ q + μ) (Λ p μ) = Λ (q p) = Λ v, άρα η F είναι γραμμική. Ώστε Πρόταση 4.4.1. Έστω f : A n B m μία ομοπαραλληλική απεικόνιση. Οι συντεταγμένες y i, i = 1,, m, της εικόνας Y = f(x) ενός σημείου X A n εκφράζονται συναρτήσει των συντεταγμένων x j, j = 1,, n, του X με ένα γενικά μη ομογενές γραμμικό σύστημα (25) y = Λ x + μ, Λ Mat(m, n; K), μ Mat(m, 1; K). Το αντίστοιχο ομογενές w = Λ v του (25) είναι το σύστημα της επαγόμενης γραμμικής απεικόνισης F: V n W m. Αντίστροφα: Κάθε γραμμικό σύστημα της μορφής (25) παριστάνει μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m. Παρατήρηση 4.4.1. Το γραμμικό σύστημα (25) είναι ακριβώς τότε ομογενές (μ = 0), όταν f(a 0 ) = B 0. Θεωρούμε γνωστό, ότι Η (22) τότε γράφεται Ώστε: rank F = rank Λ. n = dim (kern F) + rank Λ. Πρόταση 4.4.2. Έστω f : A n B m μία ομοπαραλληλική απεικόνιση με σύστημα y = Λx + μ. α) Η f είναι ομαλή rank Λ = n. β) Η f είναι επί rank Λ = m. (α) Προκύπτει από την Πρόταση 4.3.2 και την rank F = rank Λ. (β) Προκύπτει από τις ισοδυναμίες f επί F επί dim F(V n ) = m rank F = rank Λ = m. 20

Τέλος, ας είναι g : B m C p μία ακόμη ομοπαραλληλική απεικόνιση με σύστημα (26) z = M y + ν, όπου Μ Mat(p, m; K) και ν Mat(p, 1; K). Η σύνθεσή των f και g h = g f : An C p, λόγω των (25) και (26), παριστάνεται από το σύστημα (27) z = M (Λ x + μ) + ν = M Λ x + (Μ μ + ν), επομένως είναι και αυτή μια ομοπαραλληλική απεικόνιση, της οποίας η επαγόμενη γραμμική H είναι η σύνθεση G F των επαγόμενων γραμμικών των f και g αντίστοιχα. Αν μάλιστα οι f και g είναι ομαλές, επειδή οι επαγόμενες γραμμικές τους είναι επίσης ομαλές, θα είναι και η H, άρα και η h. 4.5. Κανονικές μορφές των ομοπαραλληλικών απεικονίσεων f : A n B m, A n B m Έστω (28) x = A x + a, y = B y + b το συστήματα μετασχηματισμού των συντεταγμένων των σημείων του A n και του B m αντίστοιχα, όπου A GL(n; K), B GL(m; K), a Mat(n, 1; K), b Mat(m, 1; K). Η ομοπαραλληλική απεικόνιση f παριστάνεται ως προς τα νέα συστήματα συντεταγμένων με ένα σύστημα της μορφής (29) y = Λ x + μ, όπου Λ Mat(m, n; K) και μ Mat(m, 1; K). Από τις (28) έχουμε (30) x = A -1 x A -1 a, οπότε y = B y + b = B (Λ x + μ) + b = B Λ x + B μ + b = B Λ (A -1 x A -1 a) + B μ + b = B Λ A -1 x B Λ A -1 a + B μ + b. Συγκρίνοντας την τελευταία με την (29) έχουμε Πρόταση 4.5.1. Μεταξύ των πινάκων Λ, Λ, μ, μ ισχύουν οι σχέσεις (31) Λ = B Λ A -1, μ = B Λ A -1 a + B μ + b. Πίνακες όπως οι Λ και Λ, για τους οποίους ισχύει μια σχέση όπως η πρώτη των (31), όπου A και B είναι ομαλοί πίνακες (ο πρώτος n n, ο δεύτερος m m), ονομάζονται ισοδύναμοι και έχουν την ί- δια τάξη. Με κατάλληλη εκλογή των πινάκων A, B, a, b μπορούμε να ανάγουμε το σύστημα (25) της ομοπαραλληλικής απεικόνισης f : A n B m στο (29), έτσι ώστε οι πίνακες Λ και μ να έχουν κατά το δυ- 21

νατόν απλούστερη μορφή, δηλαδή όσο το δυνατόν περισσότερα στοιχεία ίσα με το 0. Έστω A n B m. Οι Λ και Λ, ως ισοδύναμοι, έχουν την ίδια τάξη και την ίδια κανονική μορφή D r, όπου D r Mat(m, n; K) είναι πίνακας της μορφής D r 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r n r Εκλέγοντας κατάλληλους πίνακες A, B, είναι δυνατόν να επιτύχουμε να πάρει φέρουμε ο πίνακας Λ = B Λ A -1 την κανονική μορφή D r. Στη συνέχεια μπορούμε να επιλέξουμε τους πίνακες a, b, έτσι ώστε να είναι μ = 0 και μάλιστα κατά περισσότερους τρόπους, π.χ. παίρνοντας a = 0 και b = B μ. Ώστε: Πρόταση 4.5.2. Κάθε ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n B m με A n B m, που παριστάνεται από το σύστημα y = Λx + μ, μπορεί με κατάλληλη εκλογή των ομοπαραλληλικών συστημάτων συντεταγμένων στους ομοπαραλληλικούς χώρους A n και B m, να παρασταθεί από την ομογενή κανονική μορφή y = D r x, όπου ο πίνακας D r Mat(m, n; K) έχει ακριβώς r στοιχεία ίσα με 1 στην κύρια διαγώνιο και όλα τα άλλα στοιχεία ίσα με 0 (και έχει τάξη ίση με r). Παρατήρηση 4.5.1. Για την εύρεση της κανονικής μορφής μιας ομοπαραλληλικής απεικόνισης f : A n B m με A n B m, χρειάζεται να γνωρίζουμε μόνο την τάξη r = rank Λ. Οι πίνακες A, a, B και b δεν είναι απαραίτητο να βρεθούν. 4.6. Παράλληλη προβολή Έστω B n-1 ένα υπερεπίπεδο του A n. Θεωρούμε ένα ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων S = {A 0 ; ε 1,, ε n }, τέτοιο ώστε τα n πρώτα σημεία του να κείνται πάνω στο υπερεπίπεδο B n-1. Κάθε σημείο X(x 1,, x n ) A n γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως X = Y + x n ε n, όπου Y B n-1. Θεωρούμε την απεικόνιση f : A n B m, που ορίζεται με χρήση της f(x) = Y X = Y + x n ε n, r m r. 22

ή (32) f(x) = Y(x 1,, x n-1 ) X(x 1,, x n ) A n. Η f ονομάζεται παράλληλη προβολή του A n πάνω στο υπερεπίπεδο B n-1 στη διεύθυνση ε n. Από την (32) προκύπτει, ότι η f παριστάνεται από το γραμμικό σύστημα (33) y i = x i, i = 1, 2,, n 1, ή y = Λ x, όπου 1 0 0 0 0 1 0 0. 0 0 1 0 Από την Πρόταση 4.4.1 συμπεραίνουμε, ότι η f είναι μια ομοπαραλληλική απεικόνιση και μάλιστα το γραμμικό σύστημα (33) είναι η κανονική της μορφή. Τέλος, επειδή rank Λ = n 1, η f είναι α- πεικόνιση επί. 4.7. Ομοπαραλληλικές απεικονίσεις του A n στον εαυτό του Στη συνέχεια αυτού του κεφαλαίου συμβολίζουμε με E τον μοναδιαίο n n πίνακα. Έστω f : A n A n μία ομοπαραλληλική απεικόνιση με σύστημα (34) y = Λx + μ, ΛMat(n; K), μmat(n, 1; K), όπου πρότυπα και εικόνες αναφέρονται στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων S = {A 0 ; ε 1,..., ε n } του A n. Η επαγόμενη γραμμική F : V n V n είναι ένας ενδομορφισμός (ή γραμμικός τελεστής) πάνω στον V n. Έστω S = {A 0 ; ε 1,..., ε n} ένα δεύτερο ομοπαραλληλικό σύστημα συντεταγμένων του A n και ας είναι (35) x = A x + a, το σύστημα μετασχηματισμού των συντεταγμένων των σημείων του A n από το S στο S, όπου A GL(n; K) και a Mat(n, 1; K). Η ομοπαραλληλική απεικόνιση f παριστάνεται ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων με ένα γραμμικό σύστημα της μορφής (36) y = Λ x + μ, όπου Λ Mat(n; K) και μ Mat(n, 1; K). Από την (35) έχουμε (37) x = A -1 x A -1 a, οπότε y = A y + a = A (Λ x + μ) + a = A Λ x + A μ + a = 23

A Λ (A -1 x A -1 a) + A μ + a = A Λ A -1 x + A μ (A Λ A -1 E) a. Συγκρίνοντας την τελευταία με την (36) έχουμε Πρόταση 4.7.3. Μεταξύ των πινάκων Λ, Λ, μ, μ ισχύουν οι σχέσεις (38) Λ = A Λ A -1, μ = A μ (A Λ A -1 E) a. Πίνακες όπως οι Λ και Λ, για τους οποίους ισχύει μια σχέση όπως η πρώτη των (38), όπου A είναι ένας ομαλός n n πίνακας, ονομάζονται όμοιοι και έχουν α) την ίδια τάξη, β) το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο φ(t) και γ) τις ίδιες ιδιοτιμές, των οποίων μάλιστα οι αλγεβρικές και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες ταυτίζονται 2. Εφαρμογή 4.7.1. Έστω x = p + λ a, a V n, a 0, λ K, η διανυσματική εξίσωση μιας ευθείας ε του A n. Από την εφαρμογή 4.2.1 προκύπτει, ότι η εικόνα f(ε) της ε είναι ακριβώς τότε ευθεία παράλληλη προς την ε, όταν F(a) = ρ a, ρ Κ, δηλαδή όταν το διάνυσμα a είναι ιδιοδιάνυσμα του επαγόμενου ενδομορφισμού F, που αντιστοιχεί σε μια ιδιοτιμή ρ 0, και ένα σημείο, όταν το διάνυσμα a είναι ιδιοδιάνυσμα του επαγόμενου ενδομορφισμού F, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή ρ = 0. Όταν ο ενδομορφισμός F ή ο πίνακας Λ δεν έχει ιδιοτιμές διάφορες του μηδενός, και ως εκ τούτου δεν έχει μη μηδενικά ιδιοδιανύσματα, δεν υπάρχει ευθεία που απεικονίζεται σε παράλληλη ευθεία ή σε σημείο και η f είναι προφανώς ομαλή (βλ. Πρόταση 4.3.5). Αναφέρουμε ορισμένες ειδικές ομοπαραλληλικές απεικονίσεις, στις οποίες θα αναφερθούμε στα ε- πόμενα: Μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n A n ονομάζεται α) Παράλληλη μεταφορά κατά διάνυσμα μ, όταν ο πίνακάς της είναι ο μοναδιαίος (Λ = E) και ο πίνακας των σταθερών όρων το διάνυσμα μ. β) Κεντρική ομοπαραλληλία ή κεντροομοπαραλληλία, όταν αφήνει την αρχή Α 0 του συστήματος συντεταγμένων αναλλοίωτη. γ) Ομοιοθεσία ή διαστολή με λόγο (ή συντελεστή) λ, όταν ο πίνακάς της είναι της μορφής Λ = λ E, λ K, λ 0. 2 Έστω F : V n V n,, F(v) = Λ v, Λ Mat(n; K) ένας ενδομορφισμός, λ μια ιδιοτιμή του και U λ = {v V n / F(v) = λ v} ο ιδιοχώρος της ιδιοτιμής λ. Η διάσταση γ λ = dim U λ ονομάζεται γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ. Έστω ακόμα φ(t) = det (Λ t E) το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του ενδομορφισμού F (ή του πίνακα Λ). Μια ρίζα λ του φ(t) και μια ιδιοτιμή του ενδομορφισμού F λέμε, ότι έχει αλγεβρική πολλαπλότητα α λ, όταν το φ(t) είναι της μορφής φ(t) = t e g(t), όπου g(t) είναι ένα πολυώνυμο με g(λ) 0. Ισχύει 1 γ λ α λ. 24

4.8. Αναλλοίωτα σημεία Ένα σημείο X A n, για το οποίο f(x) = X, ονομάζεται αναλλοίωτο σημείο της ομοπαραλληλικής α- πεικόνισης f : A n A n. Για ένα αναλλοίωτο σημείο X είναι x = Λ x + μ E x = Λ x + μ (Λ E) x + μ = 0. Ώστε, για τα αναλλοίωτα σημεία της f έχουμε (39) (Λ E) x + μ = 0, το οποίο είναι ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Θέτουμε στα επόμενα rank (Λ E) = r και d = n r. Το σύστημα (39) έχει λύσεις ακριβώς τότε, όταν (βλ. Πρόταση 3.4.3) (40) rank (Λ E, μ) = r. Έχουμε λοιπόν την Πρόταση 4.8.1. Όταν rank (Λ E, μ ) = rank (Λ E), το σύνολο των αναλλοίωτων σημείων της f είναι ένας ομοπαραλληλικός υποχώρος L d του A n με σύστημα το (39) και διάσταση d. Έστω P A n ένα αναλλοίωτο σημείο της f. Τότε (41) (Λ E) p + μ = 0. Θεωρούμε το σύστημα συντεταγμένων S = {P; ε 1,..., ε n }, το οποίο προκύπτει από το S μετατοπίζοντας την αρχή A 0 στο αναλλοίωτο σημείο P. Το σύστημα μετασχηματισμού των συντεταγμένων των σημείων του A n από το S στο S περιγράφεται από την (βλ. σχέση (35)) x = E x p. Λόγω των (38) έχουμε (42) Λ = E Λ E -1 = Λ και μ = E μ + (E Λ E -1 E) p = 0, οπότε το γραμμικό σύστημα (36) της f ως προς το σύστημα συντεταγμένων S γίνεται y = Λ x δηλαδή είναι ομογενές. Ώστε όταν υπάρχει αναλλοίωτο σημείο διευκολύνεται η μελέτη της ομοπαραλληλικής απεικόνισης f : A n A n σύμφωνα με την Πρόταση 4.8.2. Το γραμμικό σύστημα μιας ομοπαραλληλικής απεικόνισης f : A n A n μπορεί να πάρει τότε και μόνον τότε ομογενή μορφή, όταν υπάρχει αναλλοίωτο σημείο, και μάλιστα όταν τούτο επιλεγεί ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων (οπότε η ομοπαραλληλική απεικόνιση γίνεται κεντρική). Όταν d = 0, οπότε det (Λ E) 0, τότε rank (Λ E, μ) = n, άρα η f έχει αναλλοίωτα σημεία, και μά- 25

λιστα ακριβώς ένα. Επιπλέον, αν ο πίνακας Λ έχει ακριβώς μια ιδιοτιμή λ, της οποίας η αλγεβρική και η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι ίση με n (οπότε, λόγω της det (Λ E) 0, είναι λ 1), ο ιδιοχώρος της ιδιοτιμής λ έχει διάσταση n, άρα κάθε διάνυσμα είναι ιδιοδιάνυσμα, οπότε Λ = λ E και η f είναι μια ομοιοθεσία. Αν ο πίνακας Λ δεν έχει ιδιοτιμές, τότε δεν υπάρχουν ιδιοδιανύσματα. Συνεπώς δεν υπάρχουν ευθείες που απεικονίζονται σε παράλληλές τους ή σε σημείο. Στην περίπτωση αυτή η f είναι προφανώς ομαλή (βλ. Πρόταση 4.3.5). Όταν rank (Λ E, μ) = r < n, οπότε det (Λ E) = 0, τότε το λ = 1 είναι ιδιοτιμή του πίνακα Λ και ο υποχώρος L d των αναλλοίωτων σημείων έχει διάσταση d 1. Τέλος αναφέρουμε, ότι ένας ομοπαραλληλικός υποχώρος L k, για τον οποίο ισχύει f(l k ) = L k, ονομάζεται αναλλοίωτος. Τονίζουμε, ότι ένας αναλλοίωτος υποχώρος δεν είναι απαραίτητο να περιέχει α- ναλλοίωτο σημείο. Ως παράδειγμα αναλλοίωτων υποχώρων αναφέρουμε τις αναλλοίωτες ευθείες μιας παράλληλης μεταφοράς (πάνω στις οποίες δεν κείται κανένα αναλλοίωτο σημείο, βλ. ενότητα 4.10) και τις αναλλοίωτες ευθείες μιας ομοιοθεσίας (πάνω στις οποίες κείται ακριβώς ένα αναλλοίωτο σημείο, βλ. ενότητα 4.11). Για σαφήνεια στα παρακάτω θα χρησιμοποιούμε την έκφραση σημειακά αναλλοίωτος για έναν ομοπαραλληλικό υποχώρο, του οποίου κάθε σημείο είναι αναλλοίωτο. 4.9. Κανονικές μορφές των ομοπαραλληλικών απεικονίσεων f : A n A n Η εύρεση κανονικών μορφών για ομοπαραλληλικές απεικονίσεις f : A n A n, με τα μέσα που διαθέτουμε, είναι δυνατή μόνο σε ειδικές περιπτώσεις και δυσκολότερη απ' ότι για ομοπαραλληλικές α- πεικονίσεις f : A n B m με A n B m, γιατί α) οι πίνακες Λ και Λ είναι όμοιοι και όχι απλώς ισοδύναμοι, και β) δεν μπορούμε να επιτύχουμε να γίνει μ = 0, δηλαδή να αποκτήσει το σύστημα (34) ομογενή μορφή. Αυτό είναι δυνατόν μόνον όταν η f έχει αναλλοίωτο σημείο, στο οποίο μπορούμε, για να επιτύχουμε να γίνει μ = 0, να μεταφέρουμε την αρχή του ομοπαραλληλικού συστήματος συντεταγμένων (βλ. Πρόταση 4.8.2). Παράδειγμα είναι η ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A 3 A 3 με σύστημα y 1 = x 1 + 1, y 2 = x 2, y 3 = 0, η οποία δεν έχει αναλλοίωτα σημεία, άρα δεν μπορεί να παρασταθεί με ομογενές γραμμικό σύστημα! Αντίστροφα, κάθε ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n A n με ομογενές γραμμικό σύστημα διατηρεί την αρχή του ομοπαραλληλικού συστήματος συντεταγμένων αναλλοίωτη. Όταν η ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n A n έχει αναλλοίωτο σημείο και το σύστημα της έχει ομογενή μορφή (βλ. Πρόταση 4.8.2), οπότε ταυτίζεται με εκείνο του επαγόμενου ενδομορφισμού F : V n V n, το πρόβλημα της εύρεσης της κανονικής μορφής της f ανάγεται στην εύρεση της κανονικής μορφής του F. 26

Θεωρούμε γνωστή από τη Γραμμική Άλγεβρα την Πρόταση 4.9.1. Ένας ενδομορφισμός F του V n μπορεί να παρασταθεί ακριβώς τότε με έναν διαγώνιο πίνακα και ένας τετραγωνικός πίνακας είναι ακριβώς τότε όμοιος με έναν διαγώνιο πίνακα, όταν το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο διασπάται μόνο σε γραμμικούς παράγοντες και επί πλέον η αλγεβρική και η γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής ταυτίζονται. Η αντίστοιχη κανονική μορφή του ενδομορφισμού έχει στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιμές λ j, και μάλιστα κάθε μια απ' αυτές εμφανίζεται φορές (όπου είναι η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ j ). j j Ώστε: Όταν η f έχει ένα (τουλάχιστον) αναλλοίωτο σημείο και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Λ διασπάται σε ακριβώς n γραμμικούς παράγοντες και επί πλέον η αλγεβρική και η γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής ταυτίζονται, μπορεί το σύστημά της να αναχθεί στην κανονική μορφή y y 1 1 1 x, n όπου λ j, j = 1,, r, είναι οι r ανά δυο διάφορες ιδιοτιμές (στις οποίες συμπεριλαμβάνεται και το μηδέν, αν είναι ιδιοτιμή). x r n 4.10. Παράλληλες μεταφορές Έστω f : A n A n μια παράλληλη μεταφορά κατά το διάνυσμα μ. Το σύστημα της γίνεται (43) y = x + μ. Προφανώς κάθε παράλληλη μεταφορά είναι ομαλή και επί (γιατί rank Λ = rank E = n), και, λόγω των (42), είναι φανερό, ότι το γραμμικό σύστημα της (43) διατηρεί τη μορφή του ως προς κάθε αλλαγή του ομοπαραλληλικού συστήματος συντεταγμένων. Για κάθε σημείο X A n και την εικόνα του Y = f(x) έχουμε XY = y x = μ. Ο επαγόμενος ενδομορφισμός είναι η ταυτοτική απεικόνιση I : V n V n, άρα κάθε διάνυσμα του V n είναι ιδιοδιάνυσμα της και αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 1. Λαμβάνοντας υ- πόψη την Εφαρμογή 4.7.1 συμπεραίνουμε, ότι κάθε ευθεία απεικονίζεται σε παράλληλή της. Τέλος, μια ευθεία ε, που είναι παράλληλη στο διάνυσμα μ της παράλληλης μεταφοράς, παραμένει αναλλοίωτη (γιατί κάθε σημείο της απεικονίζεται σε σημείο της ε). 27

4.11. Κεντροομοπαραλληλίες Σύμφωνα με τον ορισμό, το σύστημα μιας κεντροομοπαραλληλίας είναι ομογενές (y = Λx), γιατί α- φήνει την αρχή του συστήματος συντεταγμένων αναλλοίωτη (άρα Λ 0 + μ = 0 μ = 0). Όπως είδαμε μάλιστα στην Πρόταση 4.8.2, αν μια ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n A n έχει αναλλοίωτο σημείο και τούτο επιλεγεί ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων, η ομοπαραλληλική απεικόνιση γίνεται κεντρική. Πρόταση 4.11.1. Κάθε ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n A n είναι σύνθεση μιας κεντροομοπαραλληλίας και μιας παράλληλης μεταφοράς. Έστω f : A n A n ομοπαραλληλική απεικόνιση με σύστημα το (34). Θεωρούμε την κεντροομοπαραλληλία g : A n A n με σύστημα z = Λ x και την παράλληλη μεταφορά h : A n A n κατά το διάνυσμα μ. Το σύστημα της είναι το h: y = z + μ. Για τη σύνθεσή τους h g έχουμε y = z + μ = Λ x + μ (Η g h έχει σύστημα y = Λ (x + μ) = Λ x + Λμ). Άρα f = h g. 4.12. Ομοιοθεσίες Σύμφωνα με τον ορισμό, το σύστημα μιας ομοιοθεσίας με λόγο λ K, λ 0, είναι της μορφής (44) y = λ E x + μ y = λ x + μ y i = λ x i + μ i, i = 1, 2,, n. Στις ομοιοθεσίες περιλαμβάνονται οι παράλληλες μεταφορές (λ = 1), άρα και η ταυτοτική απεικόνιση. Προφανώς κάθε ομοιοθεσία είναι ομαλή (γιατί rank (λe) = n) και επί. Εξάλλου, λόγω των (42), είναι φανερό, ότι το γραμμικό σύστημα y = λ x + μ μιας ομοιοθεσίας με λόγο λ διατηρεί τη μορφή του ως προς κάθε αλλαγή του ομοπαραλληλικού συστήματος συντεταγμένων. Το σύστημα του επαγόμενου ενδομορφισμού F : V n V n είναι το w = F(v) = Λ v = λ v, συνεπώς κάθε διάνυσμα v V n, v 0, είναι ιδιοδιάνυσμα του F και μάλιστα αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ. Τούτο έχει ως συνέπεια κάθε ευθεία ε να απεικονίζεται σε παράλληλή της (βλ. Εφαρμογή 4.7.1). Έστω f μια ομοιοθεσία με λόγο λ 1. Επειδή ο πίνακας Λ E = (λ 1) E έχει τάξη n, η f έχει μοναδικό αναλλοίωτο σημείο K με διανυσματική ακτίνα 28

μ (45) k. 1 Το μοναδικό αναλλοίωτο σημείο K αυτής ονομάζεται κέντρο της ομοιοθεσίας. Για το λόγο αυτό, οι ομοιοθεσίες με λόγο λ 1 ονομάζονται ομοιοθεσίες με κέντρο. Η ομοιοθεσία με λόγο λ = 1 ονομάζεται συμμετρία ως προς σημείο. Για ένα σημείο Χ A n, X K, και την εικόνα του Y έχουμε, λόγω της (45), y = λ x + μ = λ x + (1 λ) k y k = λ (x k) KY = λ KX, άρα τα σημεία K, X και Y είναι συγγραμμικά και μάλιστα T(K, X, Y) = λ. Τέλος παρατηρούμε, ότι κάθε ευθεία ε, η οποία διέρχεται από το κέντρο K μιας ομοιοθεσίας, είναι α- ναλλοίωτη. 4.13. Ειδικές περιπτώσεις ομοπαραλληλικών απεικονίσεων f : A n A n Α. Ομαλές προοπτικές ομοπαραλληλικές απεικονίσεις Το σύστημά τους είναι της μορφής y 1 = x 1, y 2 = x 2,, y n-1 = x n-1, y n = a n x n, a n 0, 1. Ιδιότητες: 1. Είναι ομαλές. 2. Η τάξη του πίνακα Λ E είναι ίση με 1. Το λ 1 = 1 είναι ιδιοτιμή του επαγόμενου ενδομορφισμού F. Τα διανύσματα ε 1,..., ε n-1 είναι ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής λ 1 και ο ιδιοχώρος της είναι ο (n 1)-διάστατος διανυσματικός υποχώρος U n-1 = sp{ε 1,..., ε n-1 } του V n. Προφανώς F(U n-1 ) = U n-1. Ο F έχει μια ακόμα ιδιοτιμή, την λ 2 = a n, και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ε n. 3. Ο ομοπαραλληλικός υποχώρος των αναλλοίωτων σημείων είναι το υπερεπίπεδο L n-1 : x n = 0. 4. Κάθε υπερεπίπεδο x n = c, c 0, απεικονίζεται στο παράλληλό του υπερεπίπεδο y n = a n c (γιατί έχει αντίστοιχο διανυσματικό υποχώρο τον U n-1, που είναι αναλλοίωτος). 5. Κάθε ευθεία παράλληλη προς το L n-1 απεικονίζεται σε παράλληλή της (γιατί έχει αντίστοιχο διανυσματικό υποχώρο, που είναι αναλλοίωτος). 6. Κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των x n είναι αναλλοίωτη (γιατί το διάνυσμα ε n είναι ιδιοδιάνυσμα) και ονομάζεται ακτίνα της προοπτικής ομοπαραλληλικής απεικόνισης. Η εικόνα P τυχόντος μη αναλλοίωτου σημείου P A n κείται πάνω στην ακτίνα, που διέρχεται από το P. Γεωμετρική ερμηνεία του a n : Έστω P(p 1,, p n ) τυχόν μη αναλλοίωτο σημείο. Η εικόνα του είναι το σημείο P (p 1,, a n p n ). Εξάλλου, το σημείο τομής του υπερεπιπέδου των αναλλοιώτων σημείων με την ακτίνα που διέρχεται από το P είναι το σημείο Q(p 1,, 0). Εύκολα προκύπτει, ότι 29

Τ(Q, P, P ) = a n. Το στοιχείο a n ονομάζεται χαρακτηριστική της προοπτικής ομοπαραλληλικής απεικόνισης. 7. Ειδικά για a n = 1, η προοπτική ομοπαραλληλική απεικόνιση ονομάζεται κατοπτρισμός ως προς το υπερεπίπεδο x n = 0. B. Παράλληλες προβολές του A n Το σύστημά τους είναι της μορφής y 1 = x 1, y 2 = x 2,, y n-1 = x n-1, y n = 0. Ιδιότητες: 1. Είναι μη ομαλές. 2. Η τάξη του πίνακα Λ E είναι ίση με 1. Το λ 1 = 1 είναι ιδιοτιμή του επαγόμενου ενδομορφισμού F. Τα διανύσματα ε 1,..., ε n-1 είναι ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής λ 1 και ο ιδιοχώρος της είναι ο (n 1)-διάστατος διανυσματικός υποχώρος U n-1 = sp{ε 1,..., ε n-1 } του V n. Προφανώς F(U n-1 ) = U n-1. Ο F έχει μια ακόμα ιδιοτιμή, την λ 2 = 0, και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το ε n. 3. Ο ομοπαραλληλικός υποχώρος των αναλλοίωτων σημείων είναι το υπερεπίπεδο L n-1 : x n = 0. 4. Κάθε υπερεπίπεδο x n = c, c 0, απεικονίζεται στο υπερεπίπεδο L n-1. 5. Κάθε ευθεία παράλληλη προς το υπερεπίπεδο L n-1 απεικονίζεται σε παράλληλή της. 6. Κάθε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των x n απεικονίζεται στο σημείο τομής της με το υ- περεπίπεδο L n-1. Η διεύθυνση ε n ονομάζεται διεύθυνση προβολής, οι παράλληλες προς τη διεύθυνση προβολής ευθείες ακτίνες προβολής και το υπερεπίπεδο L n-1 υπερεπίπεδο προβολής. Γ. Παραβολικές προοπτικές ομοπαραλληλικές απεικονίσεις Το σύστημά τους είναι της μορφής y 1 = x 1, y 2 = x 2,, y n-2 = x n-2, y n-1 = x n-1 + x n, y n = x n. 1. Είναι ομαλές. 2. Η τάξη του πίνακα Λ E είναι ίση με 1. Το λ 1 = 1 είναι η μοναδική ιδιοτιμή του επαγόμενου ενδομορφισμού F (έχει αλγεβρική πολλαπλότητα ίση με n). Τα διανύσματα ε 1,..., ε n-1 είναι ι- διοδιανύσματα της ιδιοτιμής λ 1 και ο ιδιοχώρος της είναι ο (n 1)-διάστατος διανυσματικός υποχώρος U n-1 = sp{ε 1,..., ε n-1 } του V n. Προφανώς F(U n-1 ) = U n-1. 3. Ο ομοπαραλληλικός υποχώρος των αναλλοίωτων σημείων είναι το υπερεπίπεδο L n-1 : x n = 0. 4. Για κάθε μη αναλλοίωτο σημείο P A n και την εικόνα του P, η ευθεία {P} {P } είναι παράλληλη προς τον άξονα των x n-1, άρα και προς το υπερεπίπεδο L n-1 και ονομάζεται ακτίνα της παραβολικής προοπτικής ομοπαραλληλικής απεικόνισης. 30

4.14. Η ομάδα των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών του A n Έστω τυχόν σύνολο M. Ως γνωστόν, κάθε αμφιμονότιμη και επί απεικόνιση f : M M ονομάζεται μετασχηματισμός του M 3. Το σύνολο S(M) όλων των μετασχηματισμών του M είναι μια ομάδα ως προς τη σύνθεση απεικονίσεων, που ονομάζεται συμμετρική ομάδα 4. Κάθε υποομάδα G της συμμετρικής ομάδας S(M), γνήσια ή μη γνήσια, ονομάζεται ομάδα μετασχηματισμών πάνω στο σύνολο M. Κάθε ομαλή ομοπαραλληλική απεικόνιση f : A n A n ονομάζεται ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός του A n. Πρόταση 4.14.1. Κάθε ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός του A n είναι μετασχηματισμός του A n. Ο επαγόμενος ενδομορφισμός F: V n V n ενός ομοπαραλληλικού μετασχηματισμού του A n είναι ο- μαλός. Αλλά κάθε ομαλή γραμμική απεικόνιση F: V n W m, για την οποία n = m, είναι επί. Άρα ο επαγόμενος ενδομορφισμός F: V n V n, ως ομαλή απεικόνιση, είναι και απεικόνιση επί. Ως εκ τούτου και η f είναι ομαλή και απεικόνιση επί, άρα είναι μετασχηματισμός του A n. Ώστε μια ομοπαραλληλική απεικόνιση με γραμμικό σύστημα (46) y = Λ x + μ είναι ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός ακριβώς τότε, όταν Λ GL(n; K) ή det Λ 0 ή ο επαγόμενος ενδομορφισμός F: V n V n είναι αυτομορφισμός. Πρόταση 4.14.2. Το σύνολο A n των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών του A n είναι ομάδα (ως προς τη σύνθεση απεικονίσεων) και είναι n(n + 1) - μελής. Αρκεί να δείξουμε, ότι το σύνολο A n των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών του A n είναι υποομάδα της συμμετρικής ομάδας S(A n ) του A n. Προφανώς η ταυτοτική απεικόνιση i : A n A n, που έχει σύστημα x = E x, είναι ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός, άρα A n. Έστω f ένας ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός με σύστημα το (46). Ο f προφανώς αντιστρέφεται και μάλιστα είναι x = Λ -1 y Λ -1 μ. Επειδή Λ -1 GL(n; K) είναι f -1 A n. 3 Όταν το M είναι πεπερασμένο, κάθε μετασχηματισμός του M ονομάζεται μετάθεση 4 Όταν το M είναι πεπερασμένο, η ομάδα S(M) ονομάζεται ομάδα μεταθέσεων 31

Τέλος, ας είναι g ένας ακόμη ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός με σύστημα (47) z = M y + ν, όπου Μ GL(n; K) και ν Mat(n, 1; K). Για τη σύνθεσή g f έχουμε z = M Λ x + (Μ μ + ν). Επειδή M Λ GL(n; K) είναι g f An. Τέλος, επειδή κάθε στοιχείο της ομάδας A n (δηλαδή κάθε ομοπαραλληλικός μετασχηματισμός με σύστημα το (46)) εξαρτάται από τα n 2 στοιχεία του πίνακα Λ και τα n στοιχεία του διανύσματος μ των σταθερών όρων, άρα από συνολικά n(n + 1) παραμέτρους, η ομάδα αυτή είναι n(n + 1)-μελής. Η ομάδα A n των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών του A n ονομάζεται ομοπαραλληλική ομάδα του A n. Προφανώς η ομοπαραλληλική ομάδα του A n επάγεται την n 2 -μελή ομάδα των αυτομορφισμών του αντίστοιχου διανυσματικού χώρου V n. 4.15. Το "Πρόγραμμα του Erlangen" του Felix Klein Έστω M ένας χώρος (δηλαδή ένα σύνολο, πάνω στο οποίο είναι ορισμένη μια δομή) και G μια ομάδα μετασχηματισμών πάνω στο χώρο M. Μια ιδιότητα (ή ένας μέγεθος) (Ε) υποσυνόλων του M ονομάζεται αναλλοίωτη ιδιότητα (αντίστοιχα αναλλοίωτο μέγεθος) ως προς την ομάδα μετασχηματισμών G ή, για συντομία, G-αναλλοίωτη, όταν η ιδιότητα ή το μέγεθος (Ε) διατηρείται και στις εικόνες των θεωρούμενων υποσυνόλων ως προς κάθε μετασχηματισμό της ομάδας μετασχηματισμών G. Ως παράδειγμα αναφέρουμε: Η έννοια του ομοπαραλληλικού υποχώρου και της παραλληλίας ομοπαραλληλικών υποχώρων είναι αναλλοίωτες ιδιότητες ως προς την ομάδα A n των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών του A n, ενώ ο μερικός λόγος τριών συγγραμμικών σημείων είναι αναλλοίωτο μέγεθος ως προς την ομάδα A n των ομοπαραλληλικών μετασχηματισμών του A n. Την ιδέα, να μελετηθούν συστηματικά οι ιδιότητες και τα μεγέθη των υποσυνόλων του M, που παραμένουν αναλλοίωτα ως προς τους μετασχηματισμούς της ομάδας G, διατύπωσε πρώτος ο Felix Klein 5 σε ένα μανιφέστο, που έγινε και έμεινε γνωστό ως Πρόγραμμα του Erlangen (Erlanger Pro- 5 Felix Klein (1849-1825). Γερμανός Μαθηματικός, υπήρξε καθηγητής στο Erlangen (1872-1875), στο Πολυτεχνείο του Μονάχου (1875-1880), στη Λειψία (1880-1886) και στο Göttingen (1886-1825). Υπήρξε μαθητής του Julius Plücker και του Rudolf Otto Sigismund Lipschitz. Ήταν ο επιβλέπων καθηγητής 63 διδακτορικών διατριβών. Μεταξύ άλλων μαθητές του ήταν ο Ludwig Bieberbach, ο Adolf Hurwitz, ο C. L. Ferdinand Lindemann και ο Alexander Ostrowski, 32

gramm), κατά την εναρκτήρια ομιλία του (χειμερινό εξάμηνο 1872), όταν διορίστηκε ως καθηγητής στο Erlangen. Ο F. Klein ήταν ήδη ένας από τους σημαντικότερους εκπροσώπους της γεωμετρίας του 19 ου αιώνα και είχε εργαστεί πάνω σε διάφορους κλάδους της (προβολική γεωμετρία, ευθειακή γεωμετρία του Plücker, μη Ευκλείδειες γεωμετρίες). Με το Πρόγραμμα του Erlangen η Ευκλείδεια και οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες τοποθετήθηκαν σε ένα κοινό πλαίσιο και μελετήθηκαν υπό κοινό πρίσμα μέσω της προβολικής γεωμετρίας. Έστω U μια ομάδα μετασχηματισμών πάνω στο χώρο M, υποομάδα της G. Προφανώς, κάθε G- αναλλοίωτος είναι και U-αναλλοίωτος. Μάλιστα, η ομάδα μετασχηματισμών U έχει περισσότερες αναλλοιώτους από την ομάδα μετασχηματισμών G. Όσο πιο ειδική είναι η υποομάδα U, τόσο πλουσιότερη σε συμπεράσματα είναι η γεωμετρία που προκύπτει 6. Μέσω κάθε υποομάδας U της G προσδιορίζεται μια υπογεωμετρία και κατ' αυτόν τον τρόπο δημιουργείται μια ολόκληρη ιεραρχία γεωμετριών. Αντίστροφα, μπορεί κανείς να προκαθορίσει μια ή περισσότερες ιδιότητες (Ε) ως αξιώματα και να αναζητήσει μια ομάδα μετασχηματισμών G, έτσι ώστε οι ιδιότητες (Ε) να παραμένουν αναλλοίωτες αποκλειστικά ως προς τους μετασχηματισμούς της G. Σε συνέπεια με το Πρόγραμμα του Erlangen πρέπει μια G-αναλλοίωτος να αποδεικνύεται ως τέτοια με χρήση μόνον ιδιοτήτων του χώρου M και της ομάδας G. Άλλα βοηθητικά μέσα, όπως π.χ. ιδιότητες μιας υποομάδας U της G, δεν επιτρέπονται! Ως παράδειγμα αναφέρουμε το μερικό λόγο τριών συγγραμμικών σημείων του A n : στην Πρόταση 4.2.4 αποδείξαμε ότι είναι ομοπαραλληλική αναλλοίωτος αποκλειστικά και μόνον με ομοπαραλληλικές μεθόδους και χωρίς να κάνουμε χρήση ιδιοτήτων π.χ. της υποομάδας των Ευκλείδειων μετατοπίσεων, δηλαδή χωρίς χρήση του μήκους ευθυγράμμου τμήματος. 4.16. Υποομάδες της ομοπαραλληλικής ομάδας του A n 1. Το σύνολο U 1 = {f A n / f: y = Λ x, Λ GL(n; K} των κεντροομοπαραλληλιών του A n είναι μια υποομάδα της A n, που ονομάζεται κεντροομοπαραλληλική ομάδα του A n. Η ομάδα αυτή είναι προφανώς ισόμορφη προς την ομάδα των αυτομορφισμών του V n και, όπως η τελευταία, είναι n 2 -μελής. 2. Το σύνολο U 2 = {f A n / f: y = Λ x + μ, det Λ = 1} είναι μια υποομάδα της A n, που ονομάζεται ισοομοπαραλληλική ομάδα του A n και είναι (n 2 + n 6 μάλιστα, στην ειδική περίπτωση, που η υποομάδα U αποτελείται μόνον από την ταυτοτική απεικόνιση του M, όλες οι ι- διότητες των υποσυνόλων του M παραμένουν τετριμμένα αναλλοίωτες 33

1)-μελής. 3. Το σύνολο U 3 = {f A n / f: y = λ x + μ, λ 0} των ομοιοθεσιών του A n είναι μια υποομάδα της A n, που ονομάζεται ομάδα των ομοιοθεσιών του A n και είναι (n + 1)-μελής. 4. Το σύνολο U 4 = {f A n / f: y = x + μ} των παραλλήλων μεταφορών του A n είναι μια υποομάδα της U 3, άρα και της A n, που ονομάζεται ο- μάδα των παραλλήλων μεταφορών του A n και είναι n-μελής. 5. Τέλος αναφέρουμε την ομάδα των προοπτικών μετασχηματισμών U 5 = {f A n / f αφήνει αναλλοίωτο ένα δοθέν υπερεπίπεδο}. Από τις παραπάνω υποομάδες και δεδομένου ότι η τομή υποομάδων είναι υποομάδα, προκύπτουν και άλλες υποομάδες της A n. Ενδεικτικά αναφέρουμε την ισοκεντροομοπαραλληλική ομάδα U 1 U 2, και την ομάδα των κεντροομοπαραλληλικών ομοιοθεσιών U 1 U 3. 34