236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην αριθµητική των ϑετικών ακεραίων αριθµών. Απο τώρα και στο εξής σταθεροποιούµε µια κυκλική οµάδα G = a µε γεννήτορα το στοιχείο a G. Το ακόλουθο αποτέλεσµα δείχνει ότι οι κυκλικές οµάδες συµπεριφέρονται καλά ως προς τις υποο- µάδες. Θεώρηµα 5.1. Κάθε υποοµάδα µιας κυκλικής οµάδας είναι κυκλική οµάδα. Απόδειξη. Εστω όπως παραπάνω G = a µια κυκλική οµάδα, και έστω H G µια υποοµάδα της G. Αν H = {e}, τότε προφανώς H = e και η H είναι κυκλική. Εστω H {e}, και εποµένως υπάρχει g H \ {e}. Θα έχουµε g = a k για κάποιο k Z. Τότε k 0 διότι διαφορετικά g = a 0 = e το οποίο είναι άτοπο. Αν k < 0, τότε επειδή η H είναι υποοµάδα ϑα έχουµε ότι g 1 = (a k ) 1 = a k H και k > 0. Εποµένως η G περιέχει ϑετικές δυνάµεις a k, k > 0, του γεννήτορα a. Εστω ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H. Θα δείξουµε ότι : H = g Επειδή g H και η H είναι υποοµάδα, έπεται ότι g H. Εστω h H. Τότε h = a m, για κάποιο m Z. Από την Ευκλείδεια ιαίρεση, ϑα έχουµε τότε : m = q + r, 0 r < και εποµένως : a m = a q+r = a q a r = (a ) q a r = a r = (a ) q a m Επειδή a H εκ κατασκευής, ϑα έχουµε (a ) q H. Επιπλέον επειδή a m H, ϑα έχουµε a r = (a ) q a m H διότι η H είναι υποοµάδα. Επειδή είναι ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος µε την ιδιότητα g H, και επειδή a r H, όπου 0 r <, έπεται ότι αναγκαστικά : r = 0. Εποµένως h = a m = a q = (a ) q a Συµπεραίνουµε ότι H a. Άρα H = a και εποµένως η H είναι κυκλική. 5.1. Υποοµάδες και Γεννήτορες Απειρων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα υπο- ϑέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι άπειρης τάξης, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει άπειρη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = {, a, a 2, a 1, a, a 2,, a, } Θεώρηµα 5.2. Εστω G µια άπειρη κυκλική οµάδα. (1) Η G έχει µόνον δύο γεννήτορες : αν a είναι ένας γεννήτορας τότε ο µοναδικός διαφορετικός γεννήτορας της G είναι ο a 1. (2) Αν G = a, τότε οι υποοµάδες της G είναι οι ακόλουθες και µόνον αυτές : H G H = a, 0, a, a 1,, a 2, a = G, {e}
237 (3) Αν H = a και H m = a m είναι δύο υποοµάδες της G = a, τότε : H H m m Απόδειξη. (1) Εστω a ένας γεννήτορας της G, δηλαδή G = a. Εστω b ένας άλλος γεννήτορας : G = b. Θα έχουµε b = a k για κάποιο Z. Ετσι ϑα έχουµε : a = a Τότε a a και εποµένως a = (a ) k = a k για κάποιο k Z. Τότε όµως ϑα έχουµε : a = a k = aa k = e = a 1 k = e = 1 k = 0 διότι το ατοιχείο a έχει πεπερασµένη τάξη. Ετσι 1 = k. Επειδή όµως, k Z, ϑα έχουµε ότι είτε = k = 1, ή = k = 1. Στην πρώτη περίπτωση b = a = a και στην δεύτερη περίπτωση b = a = a 1. (2) Εστω H G µια υποοµάδα της G. Από το Θεώρηµα 5.1 έπεται ότι η H είναι κυκλική και εποµένως H = a. Μπορούµε να υποθέσουµε ότι 0, διότι αν 0, τότε από το (1) έπεται ότι H = (a ) 1 = a και 0. Εποµένως δείξαµε ότι η H είναι υποοµάδα της G αν και µόνον αν η H είναι της µορφής H = a, 0, και έτσι µένει να δείξουµε ότι :, m 0, m = a a m Υποθέτουµε ότι η παραπάνω συνεπαγωγή δεν είναι αληθής και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Θα έχουµε : a = a m = a a m και a m a = k, l Z : a = a mk και a m = a l = a mk = e = a m l Επειδή ο γεννήτορας a της G έχει πεπερασµένη τάξη, έπεται ότι : mk = 0 = m l = = mk και m = l = m και m = = m Άρα οι διακεκριµµένες υποοµάδες της G είναι H = a, 0. (3) Εστω H = a H m = a m. Τότε όπως είδαµε και στο (2), ϑα έχουµε : a a m και τότε m. Αντίστροφα αν m, τότε = mk για κάποιο k Z και τότε a = a mk = (a m ) k a m. Αυτό όµως σηµαίνει ότι H = a H m = a m. Πόρισµα 5.3. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. Τότε οι απεικόνισεις Φ : N { Υποοµάδες της G }, Φ() = a Ψ : {1, 1} { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a είναι 1-1 και επί. Επιπλέον m Φ() Φ(m). Υπενθυµίζουµε ότι η τοµή H K υποοµάδων H, K µιας οµάδας G είναι υποοµάδα, και το γινόµενο H K των H, K είναι υποοµάδα, όταν η G είναι αβελιανή ή γενικότερα αν ισχύει : HK = KH. Στην περίπτωση κατά την οποία η G είναι (άπειρη) κυκλική, και οι οµάδες H K και H K ϑα είναι κυκλικές. Η επόµενη Πρόταση δίνει ακριβείς πληροφορίες γι αυτές τις κυκλικές υποοµάδες. Πρόταση 5.4. Εστω G = a µια άπειρη κυκλική οµάδα. (1) (2) a a m = a (m,) a a m = a [,m]
238 Απόδειξη. (1) Εστω d = (m, ). Τότε και εποµένως : Άρα d = = dk και d m = = dl, όπου k, l Z a = a dk = (a d ) k a d και a m = a dl = (a d ) l a d a a d a m = a a d a m Επειδή η a d είναι υποοµάδα, προφανώς ϑα έχουµε ότι a a m a d ( ) Από την άλλη πλευρά, επειδή d = (m, ), έπεται ότι υπάρχουν ακέραιοι r, s Z, έτσι ώστε d = r + ms. Τότε : a d = a r+ms = a r a ms = (a ) r (a m ) s a a m Αυτό όµως σηµαίνει ότι Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a d. (2) Εστω δ = [m, ]. Τότε : a d a a m ( ) δ = mk = l = a δ = a l = (a ) l a και a δ = a mk = (a m ) k a m Εποµένως a δ a a m το οποίο προφανώς σηµαίνει ότι : a δ a a m ( ) Αντίστροφα έστω x a a m. Τότε x = (a ) p και x = (a m ) q, όπου p, q Z. Εποµένως, χρησιµοποιώντας ότι το στειχείο a έχει άπειρη τάξη, ϑα έχουµε : x = (a ) p = (a m ) q = a p = a mq = a p mq = e = p = mq Θέτοντας t := p = mq, ϑα έχουµε ότι : x a t. Επιπλέον m t και t. Τότε όµως δ t, και εποµένως από το Θεώρηµα 5.2 ϑα έχουµε : το οποίο σηµαίνει ότι : x a t a δ a a m a δ ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ), ϑα έχουµε : a a m = a δ. Συνοψίζουµε τα παραπάνω αποτελέσµατα εφαρµοσµένα στην άπειρη κυκλική (προσθετική) οµάδα (Z, +). Παράδειγµα 5.5. Θεωρούµε την άπειρη κυκλική οµάδα (Z, +). Οπως ϑα δούµε αργότερα κάθε άλλη άπειρη κυκλική οµάδα είναι «ισόµορφη», δηλαδή δοµικά ίδια, µε την οµάδα (Z, +). (1) Οι µόνοι γεννήτορες της (Z, +) είναι το 1 και το 1. (2) Οι διακεκριµµένες υποοµάδες της (Z, +) είναι οι εξής Z = { z Z z Z }, 0 (3) (4) Z mz m Z mz = [, m]z και Z + mz = (, m)z
239 5.2. Υποοµάδες και Γεννήτορες Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα υποθέτουµε ότι η κυκλική οµάδα G = a είναι πεπερασµένης τάξης : o(g) =, ή ισοδύναµα ο γεννήτορας a έχει πεπερασµένη τάξη o(a) =. Τότε : G = a = { e, a, a 2,, a 1} Σκοπός µας είναι να αποδείξουµε ένα Θεώρηµα για την G το οποίο να είναι ανάλογο µε το Θεώρηµα 5.2. Για την διατύπωση και απόδειξη αυτού του ανάλογου αποτελέσµατος, Θα χρειασθούµε µια σειρά από ϐοηθητικές προτάσεις. Λήµµα 5.6. Εστω H = a m µια υποοµάδα της G = a, όπου o(a) =. Τότε : H = a d, όπου d = (, m), και o(h) = o(a m ) = d Απόδειξη. Επειδή d = (, m), ϑα έχουµε m = dk και τότε : a m = a dk = (a d ) k a d = a m a d Επίσης επειδή d = (, m), ϑα έχουµε d = x + my για κάποια x, y Z. Τότε επειδή o(a) = : a d = a x+my = a x a my = (a ) x (a m ) y = e x (a m ) y = (a m ) y a m = a d a m = a d a m Από τις παραπάνω σχέσεις ϐλέπουµε ότι a m = a d. Τέλος χρησιµοποιώντας το Θεώρηµα 3.11, ϑα έχουµε : o(h) = o( a m ) = o(a) (o(a), m) = (, m) = d Λήµµα 5.7. Εστω G = a, όπου o(a) =, και r, s 1. Τότε : a r = a s (, r) = (, s) Απόδειξη. «=» Θα έχουµε : a r = a s = o(a r ) = o(a s ) o(a) (o(a), r) = o(a) (o(a), s) (, r) = (, s) (, r) = (, s) «=» Θα έχουµε όπως και παραπάνω : (, r) = (, s) = o(a r ) = o(a s ). Οµως χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.6, και την υπόθεση (, r) = (, s), ϑα έχουµε : a r = a (,r) και a s = a (,s) = a r = a s Λήµµα 5.8. Εστω G = a, όπου o(a) =. Το στοιχείο a m είναι γεννήτορας της G αν και µόνον αν (m, ) = 1: a = a m (, m) = 1 Απόδειξη. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 5.7, Θα έχουµε : a m είναι γεννήτορας της G a m = a (, m) = (, 1) (, m) = 1 Μπορούµε τώρα να αποδείξουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα το οποίο είναι ανάλογο του Θεωρήµατος 5.2. Θεώρηµα 5.9. Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =.
240 (1) Σύνολο γεννητόρων της G = { a m G (, m) = 1 } Πλήθος γεννητόρων της G = ϕ() = { 1 m (, m) = 1 } (2) Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (α ) m. (ϐ ) Υπάρχει υοοµάδα H G έτσι ώστε : o(h) = m. Αν m, τότε υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m η οποία είναι η εξής : H m = a m (3) Εστω m, k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε : Απόδειξη. (1) Προκύπτει άµεσα από το Λήµµα 5.8. H m H k m k (2) Αν υπάρχει υποοµάδα H της G µε τάξη o(h) = m, τότε από το Θεώρηµα του Lagrage έπεται ότι m o(g) και άρα m. Αντίστροφα αν m, τότε ϑεωρούµε την υποοµάδα H = a m της G. Τότε επειδή έπεται ότι o(h) = m. o(a m ) = (, m ) = m Εστω ότι m και έστω H 1 και H 2 υποοµάδες της G έτσι ώστε : o(h 1 ) = m = o(h 2 ). Από το Θεώρηµα 5.1 ϑα έχουµε = m H 1 = a k 1 και H 2 = a k 2 όπου 1 k 1, k 2 Εποµένως (, k 1 ) = o(ak 1 ) = o(h 1 ) = m = o(h 2 ) = o(a k 2 ) = (, k 2 ) = (, k 1 ) = (, k 2 ) Τότε από το Λήµµα 5.7 έπεται ότι ϑα έχουµε H 1 = a k 1 = a k 2 = H 2. Άρα για κάθε διαιρέτη m, υπάρχει µοναδική υποοµάδα της G µε τάξη m. Από το Λήµµα 5.6, µοναδική υποοµάδα είναι η H m = a m. (3) Εστω m, k δύο διαιρέτες της τάξης της G, και έστω H m και H k οι µοναδικές υποοµάδες της G µε τάξεις m και k αντίστοιχα. Τότε από το (2) ϑα έχουµε : H m H k a m a k o(a m ) o(a k ) m k Το ακόλουθο αποτέλεσµα είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 5.9. Πόρισµα 5.10. Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Οι απεικονίσεις Φ : D() = { d 1 d } { Υποοµάδες της G }, Φ() = a d Ψ : { 1 k (, k) = 1 } { Γεννήτορες της G }, Ψ(k) = a k είναι 1-1 και επί. Επιπλέον : o(φ(d)) = d και d 1 d 2 Φ(d 1 ) Φ(d 2 ).
241 Πόρισµα 5.11. ( ιαδικασία εύρεσης Υποοµάδων Πεπερασµένης Κυκλικής Οµάδας) Εστω G = a µια κυκλική οµάδα τάξης o(g) = o(a) =. Υπολογίζουµε τους ϑετικούς διαιρέτες του, έστω ότι αυτοί είναι : d 1, d 2,, d τ(). Για κάθε ϑετικό διαιρέτη d i του, ϑεωρούµε την κυκλική υποοµάδα H di = a d i η οποία παράγεται από το στοιχείο a d i. Τότε η H di είναι η µοναδική υποοµάδα τάξης d i της G. Οι υποοµάδες H d1, H d2,, H dτ() είναι όλες οι διακεκριµµένες υποοµάδες της G. Ισχύει : ιαιρέτης του Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας d 1 H d1 = a d 1 d 1 d 2 H d1 = a d 2 d 2... d τ() H dτ() = a d τ() d τ() i, j = 1, 2,, τ() : H di H dj d i d j Παράδειγµα 5.12. Η κυκλική οµάδα (Z 18, +) = [1] = { [0], [1], [2],, [17] }, όπου [k] = [k] 18, 0 k 17. Οι διαιρέτες του 18 είναι : 1, 2, 3, 6, 9, 18 και άρα τ(18) = 6. Εποµένως ϑα έχουµε ακριβώς 6 υποοµάδες H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 στην Z 18, ακριβώς µια για κάθε διαιρέτη του 18, µε τάξη αντίστοιχα : 1, 2, 3, 6, 9, 18. Αυτές οι υποοµάδες περιγράφονται στον ακόλουθο πίνακα : ιαιρέτης του 18 Υποοµάδα της G Τάξη Υποοµάδας 1 H 1 = 18 1 [1] = 18[1] = [18] = [0] = {[0]} 1 2 H 2 = 18 2 [1] = 9[1] = [9] 2 3 H 3 = 18 3 [1] = 6[1] = [6] 3 6 H 6 = 18 6 = 3[1] = [3] 6 9 H 9 = 18 9 [1] = 2[1] = [2] 9 18 H 18 = 18 18 [1] = [1] = Z 18 18 Για παράδειγµα : H 6 = [3] = { [3], [6], [9], [12], [15], [0] } Οι αριθµοί k µε 1 k 18 και (18, k) = 1 είναι Πραγµατικά : ϕ(18) = ϕ(23 2 ) = 18(1 1 2 )(1 1 3 ) = 181 2 2 3 = 6 { 1 k 18 και (18, k) = 1 } = { 1, 5, 7, 11, 13, 17 } Εποµένως οι γεννήτορες της Z 18 είναι οι ακόλουθοι : 1[1] = [1], 5[1] = [5], 7[1] = [7], 11[1] = [11], 13[1] = [13], 17[1] = [17]
242 Επειδή µεταξύ των διαιρετών d = 1, 2, 3, 6, 9, 18 του 18 έχουµε τις ακόλουθες, εκτός από τις προφανείς d 18, σχέσεις διαιρετότητας : 2 6, 3 6, 3 9 µεταξύ των υποοµάδων H 1, H 2, H 3, H 6, H 9, H 18 ϑα έχουµε τις ακόλουθες εγκλείσεις (εκτός από τις προ- ϕανείς H d Z 18 = H 18 και H 1 = {[0]} H d ): H 2 H 6, H 3 H 6, H 3 H 9 δηλαδή : [9] [3], [6] [3], [6] [2] Ασκηση 280. ιατυπώστε και αποδείξτε την ανάλογη εκδοχή της Πρότασης 5.4 για πεπερασµένες κυκλικές οµάδες. 5.3. Η Οµάδα των -οστών ϱιζών της µονάδας. Υπενθυµίζουµε ότι η οµάδα του κύκλου είναι η υποοµάδα T = { z C z = 1 } C της πολλαπλασιαστικής οµάδας C των µη-µηδενικών µιγαδικών αριθµών. Θα δούµε ότι η οµάδα T περιέχει κυκλικές οµάδες τάξης, για κάθε 1. Υπενθυµίζουµε ότι, 1, ο µιγαδικός αριθµός z C καλείται µια -οστή ϱίζα της µονάδας αν : z = 1. Τότε : z = 1 = z = 1 = z = 1 και θ [0, 2π] : z = e iθ και εποµένως : Άρα : z = 1 = e iθ = 1 = k Z : θ = k2π = θ = 2πk z = 1 = z = e 2πik, όπου k Z Παρατηρούµε ότι η τιµή e 2πik εξαρτάται µόνο από την κλάση ισοδυναµίας του k modulo : και άρα ϑα έχουµε : [k] = [k ] = k k = k k = r, όπου r Z e 2πik = e 2πi(k +r) = e 2πik +2πir = e 2πik 2πir e = e 2πik e 2πir = e 2πik Εποµένως ϑέτοντας : ϑα έχουµε ζ := e 2πi ζ q+r = ζ q ζ r = (ζ ) q ζ r = 1ζ r = ζ r και άρα το σύνολο των διακεκριµµένων -οστών ϱιζών της µονάδας είναι : U = { ζ k = e 2πik C 0 k 1 } = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1} Επειδή προφανώς το σύνολο U είναι κλειστό στον πολλαπλασιασµό µηιγαδικών αριθµών, έπεται ότι το σύνολο U είναι µια υποοµάδα της οµάδας T του κύκλου, και ιδιαίτερα η U είναι κυκλική διότι προφανώς : U = ζ = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1} Μια -οστή ϱίζα της µονάδας καλείται πρωταρχική -οστή ϱίζα της µονάδας αν είναι γεννήτορας της U.
243 Συνδυάζοντας τις παραπάνω παρατηρήσεις µε τα αποτελέσµατα της υπο-ενότητας 5.2, ϑα έχουµε το ακόλουθο αποτέλεσµα. Πρόταση 5.13. Το σύνολο U των -οστών ϱιζών της µονάδας είναι µια κυκλική υποοµάδα τάξης της οµάδας του κύκλου T: U = ζ = { 1, ζ, ζ 2,, ζ 1}, όπου ζ = e 2πi Υπάρχουν ακριβώς ϕ() πρωταρχικές -οστές ϱίζες της οµάδας, οι ακόλουθες : { z k U 1 k & (, k) = 1 } = { e 2πik U 1 k & (, k) = 1 } 5.4. Κυκλικές Οµάδες - Ευθέα Γινόµενα. Υπενθυµίζουµε ότι αν G και H είναι δύο οµάδες, τότε το ευθύ γινόµενο G H των G και H είναι το σύνολο G H = { (g, h) G H g G & h H } το οποίο αποτελεί οµάδα όταν εφοδιασθεί µε την πράξη : (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) := (g 1 g 2, h 1 h 2 ) Σηµειώνουµε ότι γράφοντας g 1 g 2 υπονοούµε την πράξη της G και γράφοντας h 1 h 2 υπονοούµε την πραξη της H. Το ουδέτερο στοιχείο της οµάδας G H είναι το Ϲεύγος (e G, e H, όπου e G είναι το ουδέτερο στοιχείο της G και e H είναι το ουδέτερο στοιχείο της H. Τέλος το αντίστροφο του στοιχείου (g, h) G H είναι το στοιχείο (g 1, h 1 ), όπου g 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου g στην G και h 1 είναι το αντίστροφο του στοιχείου h στην H. Θεώρηµα 5.14. Εστω G και H δύο κυκλικές οµάδες. (1) Αν µια από τις G και H είναι άπειρη κυκλική, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν είναι ποτέ κυκλική. (2) Αν G και H είναι πεπερασµένες κυκλικές, τότε η οµάδα ευθύ γινόµενο G H είναι κυκλική αν και µόνον αν : (o(g), o(h)) = 1 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι : G = a = { a k G k Z } και H = b = { b l H l Z } (1) Εστω ότι η οµάδα G H είναι κυκλική και έστω (x, y) G H ένας γεννήτορας της : G H = (x, y). Τότε : (x, y) = (a i, b j ), όπου i Z και j Z Εστω (a k, b l ) G H ένα τυχσίο στοιχείο της G H, δηλαδή τα k, l είναι τυχαίοι ακέραιοι αριθµοί. Τότε ϑα έχουµε : (a k, b l ) = (x, y) r = (a i, b j ) r = ((a i ) r, (b j ) r ) = (a ir, b jr ) = a k = a ir και b l = b jr = a k ir = e G και b l jr = e H Αν µια από τις G και H είναι άπειρη οµάδα, για παράδειγµα η G, τότε επειδή ο γεννήτορας a της G έχει άπειρη τάξη ϑα έχουµε k ir = 0 και άρα k = ir, δηλαδή i k. Επειδή ο ακέραιος i είναι σταθερός και ο ακέραιος k είναι τυχαίος, έπεται ότι το i διαιρεί κάθε ακέραιο. Τότε προφανώς i = 1 και άρα ϑα έχουµε : k = r. Ετσι : (a k, b l ) = (a k, b jk ) = b l jk = e H
244 Αν η H είναι άπειρη, τότε το b έχει άπειρη τάξη και άρα l = kj, δηλαδή το j διαιρεί κάθε ακέραιο l και εποµένως j = 1. Τότε l = k. ιαλέγοντας k l, καταλήγουµε σε άτοπο. Αν η H είναι πεπερασµένη, έστω o(h) = o(b) = m. Τότε b l jk = e H = m l kj = s Z : l kj = ms = l = kj + ms = l = (k, m) ιαλέγοντας το l έτσι ώστε : l (k, m), καταλήγουµε σε άτοπο. Εποµένως η οµάδα ευθύ γινόµενο G H δεν µπορεί να είναι κυκλική. (2) Υποθέτουµε ότι οι κυκλικές οµάδες G και H είναι πεπερασµένες, και έστω : o(g) = o(a) = και o(h) = o(b) = m Υποθέτουµε πρώτα ότι (, m) = 1. Θα δείξουµε ότι το στοιχείο (a, b) είναι γεννήτορας της G H. Επειδή η G H έχει τάξη m <, έπεται ότι το στοιχείο (a, b) ϑα έχουε πεπερασµένη τάξη, έστω o((a, b)) = r. Τότε r m, (a, b) r = (e G, e H ) και εποµένως (a r, b r ) = (e G, e H ). Τότε a r = e G και b r = e H. Τότε όµως ϑα έχουµε o(a) r και o(b) r, δηλαδή : r και m r. Τότε όµως [, m] r και επειδή (, m) = 1, έπεται ότι [, m] = m και άρα Θα έχουµε m r. Ετσι o((a, b)) = r = m = o(g H) και εποµένως η κυκλική υποοµάδα της G H η οποία παράγεται από το στοιχείο (a, b) συµπίπτει µε την G H, δηλαδή : G H = (a, b) και η G H είναι κυκλική. Αντίστροφα υποθέτουµε ότι η G H είναι κυκλική και έστω G H = (x, y). Τότε o((x, y)) = m. Υποθέτουµε ότι (, m) = d 1. Τότε d και d m και άρα : d, m d N. Τότε επειδή x G και o(g) =, ϑα έχουµε x = e G, και επειδή x G και o(h) = m, ϑα έχουµε y m = e H. Εποµένως ϑα έχουµε : (x, y) m d = (x m m ( d, y d ) = (x ) m d, (y m ) ( ) ) d = (eg ) m d, (eh ) d = (eg, e H ) m m και άρα m d, δηλαδή m d d = (m, ) = 1. και επειδή d 1 καταλήγουµε στο άτοπο m < m d. Άρα Παράδειγµα 5.15. Η κυκλική οµάδα Z p r Z q s, p q πρώτοι αριθµοί, r, s 1. Επειδή οι p, q είναι πρώτοι αριθµοί και p q, έπεται ότι (p r, q s ) = 1. Εποµένως η οµάδα ευθύ γινόµενο Z p r Z q s είναι κυκλική µε τάξη p r q s : Z p r Z q s = ([1] p r, [1] q s) Επειδή οι διαιρέτες του p r q s είναι σε πλήθος τ(p r q s ) = (1 + r)(1 + s), δηλαδή οι αριθµοί 1, p, p 2,, p r, q, q 2,, q s, pq, pq 2,, pq s,, p r q, p r q 2,, p r q s έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s έχει (1 + r)(1 + s) υποοµάδες, µια και µόνον µια υποοµάδα τάξης p i q j, οπου 0 i r και 0 j s. Από την άλλη πλευρά, επειδή ϕ(p r q s ) = p r q s (1 1 p )(1 1 q ) = pr 1 (p 1)q s 1 (q 1) έπεται ότι η κυκλική οµάδα Z p r Z q s ϑα έχει p r 1 (p 1)q s 1 (q 1) το πλήθος γεννήτορες. 5.5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων. Στην παρούσα υπο-ενότητα ϑα δούµε την ταξινόµηση των κυκλικών οµάδων, µέσω οικείων µοντέλων. Υπενθυµίζουµε ότι : (1) Η οµάδα (Z, +) είναι µια άπειρη κυκλική οµάδα. (2) 2, η οµάδα (Z, +) είναι κυκλική τάξης.
245 Ιδιαίτερα ϑα δούµε ότι κάθε άπειρη κυκλική οµάδα είναι «ισόµορφη» µε την (Z, +), και κάθε πεπε- ϱασµένη κυκλική οµάδα τάξης είναι «ισόµορφη» µε την (Z, +). Ορισµός 5.16. Μια απεικόνιση f : G G µεταξύ δύο οµάδων G και G καλείται ισοµορφισµός αν : (1) Η f είναι 1-1 και επί. (2) x, y G: f(xy) = f(x)f(y). Η δεύτερη συνθήκη του παραπάνω ορισµού δείχνει ότι ένας ισοµορφισµός f : G G στέλνει γινόµενα xy στοιχείων x, y της G σε γινόµενα f(x)f(y) των εικόνων f(x), f(y) των στοιχείων x, y µέσω της f στην G. Σηµειώνουµε ότι, χάριν ευκολίας του συµβολισµού, συµβολίζουµε µε το ίδιο σύµβολο την πράξη στις οµάδες G και G. Γενικά αν είναι η πράξη της G και η πράξη της G, τότε η συνθήκη (2) του Ορισµού 5.16 γράφεται : f(x y) = f(x) f(y). Ασκηση 281. Εστω f : G H ένας ισοµορφισµός µεταξύ δύο οµάδων G και H. Τότε να δείξετε ότι η απεικόνιση f 1 : H G είναι ισοµορφισµός. Συµβολίζουµε µε Grp τη συλλογή όλων των οµάδων. Ασκηση 282. Να δείξετε ότι η ακόλουθη σχέση στη συλλογή Grp: G 1, G 2 Grp : G 1 = G2 υπάρχει ισοµορφισµός f : G 1 G 2 είναι µια σχέση ισοδυναµίας επί της συλλογής Grp. ύο οµάδες G 1 και G 2 καλούνται ισόµορφες αν G 1 = G2. Οπως ϑα δούµε αργότερα ισόµορφες οµάδες έχουν τις ίδιες δοµικές ιδιότητες και το µόνο που τις διαφοροποιεί είναι η ενδεχόµενη διαφορετική ϕύση, όνοµα, συµβολισµός, των στοιχείων τους ή της πράξης µε την οποία είναι εφοδιασµένη η κάθε µια. Θεώρηµα 5.17. Εστω G µια κυκλική οµάδα. (1) Αν η G είναι άπειρη, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων : G = (Z, +) (2) Αν η G είναι πεπερασµένη τάξης, τότε η G είναι ισόµορφη µε την προσθετική οµάδα των ακεραίων modulo : G = (Z, +) (3) ύο κυκλικές οµάδες είναι ισόµορφες αν και µόνιν αν έχουν την ίδια τάξη : G 1 = G2 o(g 1 ) = o(g 2 ) Απόδειξη. Βλέπε Θεωρήµατα 14.1, 14.4, και 14.7. Για περισσότερες λεπτοµέρειες αναφορικά µε τις ϐασικές ιδιότητες οµοµορφισµών και ισοµορφισµών οµάδων, παραπέµπουµε στις ενότητες 13, 14, και 15.