Μέρος Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-1. του rιάννη θεοδώρου

181 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ-1 του rιάννη θεοδώρου (Τακτικού Καθηγητή-Α ΤΕΙ Λαμίας) Μέρος Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV: Μιγαδικοί Αριθμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: Διανυσματική Άλγεβρα ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI: Αναλυτική fεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII: Στοιχεία fραμμικής Άλγεβρας ΚΕΦΑΛΑΙΟ VIII: fενικευμένα Ολοκληρώματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΧ: Σειρές

182 ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV Μιγαδικοί Αριθμοί (Ιδιότητες-Πράξεις-Λογάριθμοι και Μορφές Μιγαδικών Αριθμών, Μιγαδικές εξισώσεις-εφαρμογές) Το 1707 γεννήθηκε ο Leonhard Euler, nιο nαρaγωγικός μαθηματικός όλων των εποχών, nou tισήγαγε συμβολισμό, για e, f(x), n, ί και Σ e' = cosx + sinx.

183 1. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙθΜΟΙ (Nombres Complexes) Ως γνωστό κανένας πραγματικός αριθμός χ Ε ~1\ δε μπορεί να επαληθεύσει την ισότητα χ 2 = -1, όπως και γενικότερα εξισώσεις της μορφής χ 2 ν =-α με ν ε Ν και α> Ο, δεν έχουν λύση στο 9ι, (γι αυτό και δεν ορίζεται ρίζα άρτιας τάξης με αρνητικό υπόρριζο), αφού οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός όταν υψώνεται σε άρτια δύναμη, δε δίνει ποτέ αρνητικό αποτέλεσμα. Με αφορμή τέτοιες αδυναμίες του συνόλου 9ι, αλλά και κύρια βέβαια για την ερμηνεία πολλών άλλων σημαντικότερων αναγκών των θετικών επιστημών, η μαθηματική διανόηση οδηγήθηκε κατά τα μέσα του 16ου αιώνα στην επέκταση και του (σώματος) 9ι και στην επινόηση- κατασκευή ενός νέου διευρυμένου συστήματος αριθμών, των καλούμενων μιγαδικών αριθμών C έτσι ώστε να έχει και αυτό δομή σώματος κι επιπλέον να ικανοποιεί τις συνθήκες: (I) Η εξίσωση χ 2 = -1, να έχει μία τουλάχιστον λύση στο C, (11) 9ι c C, (111) Το C να είναι το μικρότερο απ' τα σύνολα που ικανοποιούν τις (I) και (11), δηλαδή 11 Α c C που να ικανοποιεί τις (I) και (11). Μια τέτοια επέκταση απ' το 9ι στο C, μπορεί να γίνει με διάφορες μεθοδεύσεις, όπως η παρακάτω που θεμελιώνεται πάνω στο σύνολο 9ι χ 9ι = 9ι 2, (δηλαδή το καρτεσιανό γινόμενο που αποτελείται απ' όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (α, β) με α, β ε9ι), όπου ορίζουμε δύο πράξεις τις(+) και(.), ως εξής: ορ. (α,β)+(γ,δ)=(α+γ,β+δ) και. op. (α, β) (γ, δ) = ( αγ - βδ, αδ + β γ), με ουδέτερα στοιχεία τα (0, Ο) και (1, 0), αντίστοιχα, καθώς επίσης και μια σχέση ισότητας : [(α, β)= (γ,δ)~α =γ Λ β= δ} Έτσι λοιπόν έχουμε: ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε σύνολο (σώμα) των μιγαδικών αριθμών C, το σύνολο 9ι χ 9ι = 91 2 ={(α, β): α ε 9ι, β ε 91} εφοδιασμένο με τους κατάλληλους νόμους (πράξεις(+), (.), σχέση ισότητας, όπως ορίστηκαν παραπάνω), ώστε να έχει αλγεβρική δομή σώματος. Ονομάζουμε επίσης, φανταστική μονάδα και τη συμβολίζουμε i, τον μιγαδικό αριθμό ορ. (0,1), δηλαδή i =(0,1). Έτσι λόγω των παραπάνω ορισμών και της δομής του C, V zεc. Έχουμε: lz ~-(α, β)= α+ βίι (1), όπου li ~-(Ο, 1) =Ο+ 1i =.J-1i:x2) σρ. δηλαδή z =(α,β) = (α,ο)+ (0, β)= (α, Ο)+ β( Ο, 1) =α+ βί φ 2 ~ και iz =(0,1) =(ο, 1) (0,1) = (-1,0) = -1 αφού (0,1) = "-1 = i.

184 1.1. ΠΑΡΑ ΤΗΡΗΣΕΙΣ - ΣΧΟΛΙΑ ορ. α) Είδαμε ότι '1 ΖΕ C, είναι : z =ι α, β) = α+ βί, με α, β Ε 91. Η μορφή α+βί, λέγεται αλγεβρική μορφή του z και προσφέρεται καλύτερα για τη μελέτη των μιγαδικών αριθμών απ' ότι η παράσταση z υπό μορφή διατεταγμένου ζεύγους (α, Έτσι οι μιγαδικοί αριθμοί γραμμένοι στην αλγεβρική τους μορφή α+βί συμπεριφέρονται ως προς τις πράξεις σαν πολυώνυμα ως προς i. Συγκεκριμένα έχουμε: [α+ βί =γ+ δί <=>α= γ.- β= δ] και [(α+ βί) + (γ+ δί) = (α+ γ )(β+ δ )i], [ (α + βί) (γ + δί) = (α γ - βδ) + (α δ + β γ )ί], [ (α + βί) - (γ + δί) = (α - γ) + (β - δ )ί], α + βί ( α + βί )(Υ - δί Ι α γ + βδ β γ - αδ. δ' σ] [--= -- --i= + ιμεγ+ ι::f-. γ + δί γ + δί. γ - δί j γ 2 + δ 2 γ 2 + δ 2 β) Η φανταστική μονάδα i. όπως ορίστηκε, παρουσιάζει περιοδικότητα στις δυνάμεις της - β). ανά 4 (δηλαδή V νεν, ο ν διαιρούμενος με 4, δίνει: είναι: 4κ ή 4κ+1 ή 4κ+2 ή 4κ+3, ΚΕΝ), δηλαδή j1 = ί ή γενικότερα ί 2 ί 3 = -1 ή γενικότερα = -i ή γενικότερα ί 4 = 1 ή γενικότερα j4k~1 = ί i4k~2=-1 i4k+3 = -ί i4k = 1 επίσης εξ' ορισμού :],ΚΕΝ [ i1 = ί i0 = 1 ί-ν =!_ ' ' ίν Εξάλλου η εξίσωση χ 2 = -1, έχει πια λύσεις τα στοιχεία ί, -i του C, αφού ί 2 = -1, δηλαδή 2 2 1.,-1 χ =ι =- και χ= ±ι= =-ν-. γ) Συνήθως, του μιγαδικού αριθμού z=α+βί το μεν α λέγεται πραγματικό μέρος του z και συμβολίζεται α= Re(zJ. το δε β φανταστικό μέρος και συμβολίζεται β= lm(z), οπότε z = Re(z) + lm(z)i. Εξάλλου αν β = Ο, τότε ο z ταυτίζεται με καθαρά πραγματικό αριθμό, ενώ αν α = Ο τότε ο z=βi είναι καθαρά φανταστικός αριθμός (με β ::F- Ο), δηλαδή z=βi Ε I, όπου I το σύνολο των φανταστικών αριθμών. από τη Γαλλική ορολογία: Real = πραγματικός (Re ή R) ] [ lmaginaire = φανταστικός (Ι ή ί), Complexe = μιγαδικός (C) δ) Η σχέση της διάταξης δεν έχει νόημα μέσα στο C δηλαδή οι μιγαδικοί αριθμοί δεν συγκρίνονται. Έτσι δεν έχει νόημα η σχέση z 1 > z 2, δηλαδή α+ βί > γ + δί, να γράφουμε z 1 = z 2 ή z, * z 2. μ π ορού με όμως Συμβολικά δεχόμαστε : αν α+ βί > Ο τότε α> Ο και β = Ο, ή αν α+ βί >γ+ δί, τότε αυτό θα σημαίνει α> γ και β= δ= Ο. ε) Το C = 91 χ 9{ = 9{ 2, αποδεικνύεται ότι είναι διανυσματικός χώρος πάνω στο 9{ διάστασης 2, ενώ υπό την έννοια ότι ΧΕ9{ είναι μιγαδικός αριθμός της μορφής (χ, Ο) ή χ+οί έχουμε 9{ c C. Επίσης το (C,+,.) είναι σώμα, δηλαδή οι δομές (Α,+) και (Α- {ο}, ) είναι αβελιανές ομάδες, ενώ η πράξη του πολλαπλασιασμού είναι επιμεριστική ως προς την πρόσθεση. ζ) Συζυγής μιγαδικού : Ονομάζουμε συζυγή του μιγαδικού αριθμού z = α=βί, το μιγαδικό αριθμό lz =α- βij (3). Από τον ορισμό συνεπάγεται ότι και ο συζυγής του z είναι ο z,

185 δηλαδή (z) = (α- βί) = α~ βί = z, γι αυτό οι z, z, λέγονται συζυγείς μιγαδικοί. Προφανώς \f z ε C ο συζυγής του είναι μοναδικός και είναι αυτός που δίνει : z. z = α 2 + β 2. Ακόμα, σχετικά με τους συζυγείς, ισχύουν οι ιδιότητες : ζ 1 ) [ - z = z <:::> 1 m () z = 0. ] [γιατίz=z<:::>α+βi=α-βί<:::>β=-β(z)] <:::> z ε~, ' <:::> 2β = Ο <:::> β = Ο, άρα z ε 91 ζ2 ) Το άθροισμα και το γινόμενο δύο συζυγών αριθμών είναι πραγματικός αριθμός. [ -] δηλαδή z + z =α+ βί-α- βί = 2α ε 91 ή Re(z) = z + z και z z = (α + βί) (α - βί) = α2 - β 2 ί 2 = α 2 + β 2 ε 9ι 2 [ γιατί : z1 + z2 : α 1 + β 1 ί ~ α 2 + β 2 ί =.( ~ ~ α 2~ (β 1 + β 2 )ί = (α 1 + α 2 )- (β 1 + β 2 )ί =] - ( α 1 - β 1 ι) + ( α 2 - βzι) - z 1 + z 2 ζs) (-z) = -z,ζ 7 ) [z=-z<:::>re(z)=o] ζ 8 ) (zν) = (z)ν, ν εν. η) Θα λέμε αντίθετο του z = (α, β) = α + βί, τον - z = (-α, -β) = -(α + βί) ι [έτσι ώστε : z + ( -z) = (Ο, Ο) = ουδέτερο στοιχείο της ( + )], _1 1 ( α -β ) α - βί αντιστροφο τον z = - = 2 2 ι 2 2 = 2 2 2 α +β α +β α +β [έτσι ώστε: z z- 1 = (α+- βί) ( ~- βί2 ) = α:+ β: = 1 = ( 1ι0) =ουδέτερο στοιχείο του ( )] α +β α +β και αντισυζυγή τον: -α+- βί = (-α,β), δηλαδή τον αντίθετο του συζυγή. Ο Joseph Louls Lagrange γεννήθηκε το 1736. Αστρονόμος - εισήγαγε νέες ιδέες για τη λύση εξισώσεων με μιγαδικές μεταβλητές.

186 1.2. ΜΕΤΡΟ (ή απόλυτη τιμή) ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Ονομάζουμε μέτρο ή απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού z = α+βί και το συμβολίζουμε με jzj. τον μ ή αρνητικό πραγματικό αριθμό ~ α 2 + β 2. δηλαδή : lιzι =!α+ βi\ ο~. ~α2 + β21 (4) Ιδιότητες του μέτρου : α) Ιzl ~ Ο, V z ε C, ενώ jzj = Ο <::::> z = Ο, δηλαδή α = β = Ο β) lzi=ι-zi=lzl=l-zl=~α 2 +β 2, vzεc γ) z-z=ιz\ 2 =α 2 +β 2, VzεC, [γιατί: z-z=(α+βi)(α-βi)=α 2 +β 2 =(~α 2 +β 2 ) 2 =Jz\ 2 ) δ) Re(z) ~ \z! και lm(z) ~ Ιz!. γιατί α~ jαj =Ν~ ~α 2 + β 2 = jzj και β~ jβj = Jβ2 ~ ~α 2 + β 2 = z ε) jz 1 z2j = jz 1 j-jz2j και γενικά jz 1 Z2... zvl = jz 1j jz2j... \zvl Επίσης όμοια lzvl = jzjv, ν εν [γιατί Jz 1 z/ = (z 1 z2) ( z 1 z2) = (z, z1) (z2 z2) = Jz1J 2 lz2j 2 άρα jz, z2\ = Jz,Ι iz2j] z Ιz,Ι, I Ι -ν ζ) - 1 = -,-,, με z2 :i:- Ο και ;z-v = zj, νεν. z2 z2 η) Ιz 1 ± z2j ~ jz 1j + jz2j και γενικά \z 1 +... +zvl ~ jz 1j+... +jzvl Επίσης z + z = 2Jzl θ) /Ιz,Ι-Ιz211 ~ Jz, ± z2ι ~ Ιz,Ι +!z2ι Σημείωση : Ως γνωστό V χε9{ είναι jxj 2 = χ 2. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για καθαρά μιγαδικούς Παραδείγματα : lil = ι ο + 1il = 1. αριθμούς, δηλαδή jzj 2 :i:- z2, όταν β :i:- Ο, γιατί ήδη είδαμε jzj 2 = z z = α 2 + β 2 ενώ z2 = z z = (α+ βί) 2 = α 2 - β 2 + 2αβί. ι( 4-7i) 2 1 = 116-56i + 49i21 = ι-33-56ί 1 = J( -33) 2 + ( -56) 2 = J4225 = 65. 1 (2 + 3i)3 1 = 1 ~ +3. 22. 3i +3. 2 (3i) 2 + (3i) 3 1 = ι-46 + 9i' = J( -46)2 + 92 =.J2197 = 13.J3. Ι ~ι = ( 1- ί)2 = 1-2i + ί2ι = ι-2ίι = l-il = 1. 1 + i ( 1 + i )( 1 - i) 12 - i2 1 2 Στα παραπάνω παραδείγματα βρίσκουμε το μέτρο αφού φέρουμε πρώτα τον z στην αλγεβρική του μορφή. Συχνά όμως η χρήση των ιδιοτήτων του μέτρου διευκολύνουν, δηλαδή : j(2+3i) 3 1 = J2+3i\ 3 = (.J2 2 +3 2 ) 3 = (F3Y = 13.J3, Ι ~ι=~= J2 =1. 1 +i l1+il J2

187 1.3. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙθΜΩΝ ΣΕ ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (μιγαδικός- διάνυσμα) Α ν θεωρήσουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων xoy, τότε σε κάθε μιγαδικό αριθμό z = (χ, y) = χ+ yi μπορούμε να aντιστοιχίσουμε ένα ακριβώς σημείο Μ (χ, y) του επιπέδου και αντίστροφα. Δημιουργείται λοιπόν έτσι, μια αμφιμονοσήμαντη και επί αντιστιχία, μεταξύ των σημείων του επιπέδου xoy και των μιγαδικών αριθμών, δηλαδή: z = (χ, Υ) = χ + yi ~ Μ( χ, Υ). Τότε ο μεν άξονας χ, όπου aντιστοιχούμε τα πραγματικά μέρη των μιγαδικών αριθμών, λέγεται πραγματικός άξονας, ο δε άξονας των y, όπου aντιστοιχούμε τα φανταστικά μέρη των μιγαδικών αριθμών, λέγεται φανταστικός άξονας. Το επίπεδο xoy, λέγεται μιγαδικό επίπεδο ή επίπεδο Gauss (προς τιμή του Gauss, 1777-1855, που ασχολήθηκε συστηματικά με τη γεωμετρική παράσταση των μιγαδικών αριθμών). y=lm (z) Υ ------------------------------------------------- 'Μ (χ, y) z = x+yi Η αλγεβρική μορφή z = x+yi, λόγω των παραπάνω, ονομάζεται και καρτεσιανή μορφή του μιγαδικού αριθμού z (ή και ορθογώνια). x=re (z) Εξάλλου όμοια, σε κάθε μιγαδικό αριθμό z = x+yi, μπορούμε να aντιστοιχίσουμε ένα ακριβώς εφαρμοστό διάνυσμα ΟΜ που λέγεται διάνυσμα θέσης ή διανυσματική εκτίνα του Μ με αρχή την αρχή των αξόνων Ο και τέλος το σημείο Μ (χ, y), και αντίστροφα. Έτσι δημιουργείται μια "1-1" και επί αντιστοιχία, μεταξύ των μιγαδικών αριθμών και των -> διανυσματικών ακτίνων των σημείων του μιγαδικού επιπέδου, δηλαδή z =χ+ yi ~ ΟΜ(χ, y ), ενώ προφανώς ισχύει: I OMI ~ I op. = ~χ 2 + y 2 =lzl. -> Η παράσταση κάθε z = χ+ yi ε C με το αντίστοιχο διάνυσμα θέσης ΟΜ (χ, y) λέγεται και διανυσματική μορφή του zε C. Παρατηρήσεις α) Θα λέμε απόσταση d (z1, z 2 ), μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών z 1 = χ 1 + y 1 i και z 2 = χ 2 + y 2 i, το μέτρο της διαφοράς τους δηλαδή: d(z 1,z 2 ) ~Ίz 2 - z 1 1 = ~(χ 2 - χ 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2. Εύκολα διαπιστώνουμε απ' το διπλανό σχήμα πως η απόσταση d των μιγαδικών αριθμών z1 και z2 συμπίπτει με τη γεωμετρική απόσταση των σημείων z 1 (x 1, y 1 ) και z 2 (x 2,y 2 ) του επιπέδου, ενώ αν z 1 =(0,0)=0 τότε d(o,z 2 ) = Ιz 2 1, δηλαδή η απόσταση d μιγαδικού αριθμού απ' την αρχή των αξόνων συμπίπτει με το μέτρο του μιγαδικού αριθμού. Υ Υ 2 -------------------------------- ;zz

188 β) Το i παράγων στροφής κατά π/2 Ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε μιγαδικού αριθμού z επί τη φανταστική μονάδα i, τον στρέφει κατά π/2, δηλαδή τον μετακινεί κατά αί (α+βi)., = ; -β+αί yι,. την ορθή φορά (αντίθετα από το ρολό"ί), πάνω σε περιφέρεια κύκλου (κέντρου Ο χ' α χ χ' α χ και ακτίνας ρ = jzj) κατά τόξο ίσο προς π/2, (δες σχήματα). Για το λόγο αυτό ar: -αί στις τεχνικές εφαρμογές η φανταστική y' y' μονάδα ί λέγεται και παράγοντας στροφής κατά 90. Απόδειξη (θεωρητικά) : Να βρεθεί zεc, ώσrε πολλαπλασιασμένος επί οποιοδήποτε ί!, π/2 _;.,., να το στρέφει κατά Έστω Ι'ίίΠdρχει τέτοιος z, ώσrε το ίh- να είναι στραμμένο κατά π/2 του ί!. Τότε όπως και το az πολλαπλασιασμένο επί z, θα πρέπει να στρέφεται και αυτό κατά π/2 του &, δηλαδή το ( llz )z θα είναι στραμμένο κατά π του αρχικού α' άρα το ( Oz )z θα είναι αντίθετο του α' δηλαδή ( ίl?)z = -a <=> az 2 = -8 <=> z 2 = -1 <=> z = zh = Η και z = ί (κατά την ορθή φορά). *Αλλιώς: Να δειχθεί ότι ο πολλαπλασιασμός ενός μιγαδικού αριθμού υ επί τον ί τον στρέφει κατά 9ff (κατά τη θετική φορά). Έστω υ =α + βί με Argu=φ, τότε εφφ = β, (1). α Έστω εξάλλου υ'= z(α + βί) ί =-β+ αί με Argu' =φ'. Τότε: εφφ' =.!! =σφφ =εφ(φ +"),Άρα φ' =φ + 900 -β 2 * (δες ορισμό ορίσματος παρακάτω)

189 1.4. ΟΡΙΣΜΑ ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Ονομάζουμε όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού z = α+ βί =ι= Ο, γωνία φ που είναι η λύση συστήματος 1 ::~φ~~%; I (5), κάθε του όπου z-= a+βi β ---------~Μ (α, β)! I ' Δ. ΟΜΝ: ΜΝ β ημφ = ΟΜ = jzj ΟΝ α συνφ=-=- ΟΜ Ιz/ (5) <=> ρ = jzj = ~ α2 + β2. Ονομάζουμε πρωτεύον ή βασικό όρισμα του z τη μοναδική από τις παραπάνω άπειρες γωνίες - λύσεις φ του (5) (διαφέρουσες κατά 2κπ, ΚΕΖ), που βρίσκεται στο διάστημα (-π, π], [ή αλλιώς τη μικρότερη θετική γωνία από τις λύσεις φ του (5) με Ο::; φ < 2π]. Συμβολίζοντας με argz το οποιοδήποτε όρισμα του z και με Argz το βασικό του όρισμα, θα ισχύει: jargz = Argz + 2κπ, κ Ε zι (6) Οι σχέσεις (5) ή (5α), άμεσr( προκύπτουσες απ' τη γεωμετρική παράσταση κάθε ΖΕ C, (όπως εύκολα φαίνεται στο παραπάνω σχήμα), δίνουν για λύση φ, άπειρες γωνίες, διαφέρουσες κατά 2κπ αφού : φ = Κ 1Π+ τοξεφ(:) (5α) <=> <=> φ = 2κ 2π±τοξσυv( ~ J <=> φ = φ 0 + 2κπ, Κ ΕΖ Άρα τα ορίσματα κάθε ΖΕ C είναι άπειρα. Μάλιστα στις τεχνικές εφαρμογές (και ιδιαίτερα στην Ηλεκτροτεχνία, όπου συνήθως το βασικό όρισμα φ = Argz είναι η διαφορά φάσεως, που αναπτύσσεται στα άκρα μιας αντίστασης, μεταξύ της τάσης και του διερχόμενου ρεύματος), το βασικό όρισμα συμβολίζεται Ι\' ~ I'/ ' Ι< από τους τεχνικούς και ως εξής :Argz = L.z., κ...,,~~ι~--~ ~~,~ο~ Qo..S Γεωμετρικά, το πρωτεύον όρισμα, παριστάνει τnv κυρτή γωνία που σχηματίζει ο θετικός ημιάξονας των χ (Οχ), ----> με τη διανυσματική ακτίνα ΟΜ, ενώ σε πολικές συντεταγμένες (όπως θα δούμε στην αμέσως επόμενη παράγραφο), το όρισμα είναι η πολική γωνία του συστήματος. Παρατήρηση Πρακτικά για να βρούμε το πρωτεύον όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού z = α+βί, εκτός από την κλασική λύση του συστήματος (5) με φ Ε (-π, π] ή φ Ε [0, 2η}, διευκολύνει μάλλον η λύση του (5α), δηλαδή να βρίσκουμε πρώτα την εφφ = ~ και ύστερα ανάλογα με το α τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου που βρίσκεται ο z (πράγμα που εξαρτάται από το πρόσημο των α, β, αφού ημφ = ~ και συνφ = ~. με ρ> 0), να προσδιορίζουμε το Argz, ρ ρ σύμφωνα με τον πίνακα:

190 β. (β) ( π π) εφ φ = α η φ = τοξεφ α Ε - 2, 2 Αν α, β> Ο=> z στο α' τεταρτημόριο Argz = φ Αν α< Ο, β> Ο=> z στο β' τεταρτημόριο Argz = φ+π (7) Αν α, β< Ο=> z στο γ' τεταρτημόριο Argz = φ-π Αν α> Ο, β< Ο=> z στο δ' τεταρτημόριο Argz = φ Παραδείγματα (στο όρισμα) fl Νι Q θ.,,, 1.J3. '/ α,;ρε ει το πρωτευον ορισμα του z =- 2 + 2 ι. Λύση J3 Είναι εφφ = ~ = 2 1 = -J3 = εφ(- π). ενώ α=!_< Ο, β= J3 >Ο, άρα ο z βρίσκεται στο α 3 2 2 2 β' τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, οπότε: Argz = φ +Π= τοξεφ(~) -r-π= τοξεφ( -J3) +Π= -π +Π= _π + 3 Π = 2 Π δηλαδή Argz = L.z = 2 π = 120. 3 α 3 3 3 3 Αλλιώς (μέσω του ορισμοιj του ορίσματος) : Είναι ρ=~(-~)'+(~)'= 1, και α 1 2π 2π συνφ =-=--=συν-~ φ = 2κ 1π±-, κ 1 ΕΖ, (1). ρ 2 3 3 Το όρισμα του z θα είναι η κοινή λύση των (1) και (2) δηλαδή : arg z = 2κπ+ 2 π, κ ΕΖ και το πρωτεύον όρισμα : Argz = 2 π = 120. 3 3 2) Επίσης το Argz του z = 1 +.J3i. Λύση Είναι εφφ = ~ = J3 = J3 = εφ(π) και α= 1 > 1 και β= J3 >Ο, άρα z στο α' τεταρτημόριο, α 1 3 οπότε σύμφωνα με τον προηγούμενο πίνακα, είναι : Argz = φ = τοξεφ(:) = τοξεφ(.j3) = ~ ή L.z = L.1 + J3i = 60.

191 3) Έστω το κύκλωμα του σχήματος, όπου R = 314 Ω και L = 1Η. Α ν η συχνότητα F της πηγής είναι ίση με 50 c/s, να βρεθεί το μέτρο. i R ι και το πρωτεύον όρισμα της σύνθετης αντίστασης Ζι του κυκλώματος όταν είναι : Ζι =χ+ yl =R +ωli και ω=2πf. Λύση 'Εχουμε:!Ζι!=~Χ 2 +y 2 =~R 2 +(ωι) 2 =~R 2 +(2πFι) 2 =~314 2 +(2π 5Ο.ι) 2 =,- = 314ν'2 Ξ 4430. Εξ, λλ. _ β _ ω ι _ 2π F. ι _ 2p. so. ι _ ι α ου εφφ - α - R - R - 314 - και α= R = 314 >Ο, β= 2π F ι= 314 >Ο, άρα Ζι στο α' τεταρτημόριο άρα ArgZι = φ = τοξεφ( 1) = τοξεφ( εφ( ~)) = ~, δηλαδή LΖι = 45.

192 1.5. ΠΟΛΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Είδαμε ήδη ότι κάθε μιγαδικός αριθμός z = (α, β) = α+ βί, παριστάνεται στο καρτεσιανό μιγαδικό επίπεδο με το σημείο Μ (α, β)- r----/1.. t y = lm(z) β lm (a. β) z =(α. β)= a+βi =ιzι~... (καρτεσιανή μορφή του z), όπως επίσης μπορεί να παρασταθεί και με το διάνυσμα ΟΜ. με fομι = 'z = -να 2 _.. β 2 =ρ, και λ.. φ = (Οχ, ΟΜ) = Argz,_ - (διανυσματική μορφή του z) I {5 ~~ ' Ι! ~ / ' ~/ : ::// / / / : // ~--_φ=argz Ισοδύναμα κάθε μιγαδικός αριθμός z =α+ βί +=Ο, μπορεί να οριστεί από το μέτρο του και το πρωτεύον όρισμά του, δηλαδή από το χ' Ο I y' a χ= Re(z) ζεύγος (ρ=!zf, φ = Argz) που λέγονται και πολικές συντεταγμένες του z και που ό 'Πu.Jς ήδη γνωρίσαμε προσδιορίζονται από τις σχέσεις : Ή. ι ~ -r.) c 1 '"',. '-Ξ ι~- 11, Ι 1! ; 2 2 και ρ= ιzi =\Ι α τ β -~ (8). Ονομάζουμε λοιπόν πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού z = α... βί ::;: Ο, την έκφραση του z μέσω των πολικών συντεταγμένων ρ=!zl και φ = Argz, ενώ συνήθως οι τεχνικοί τη συμβολίζουν και ως εξής: jz = ΙzjLφ/.. <::.,, J-..b... ~ ~:''-'- ν.~._,, ~(:_~~S..:::~~ ~\'\ι-...:-,,;: '1 Παρατηρήσεις α) Είναι φανερό ότι γεωμετρικά, μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα μιγαδικό αριθμό και με οποιαδήποπτε όρισμα argz, αντί του βασικού Argz, δηλαδή με το ζεύγος (ρ, argz), αφού ως γνωστό arg z = Argz + 2κπ. κ ε Ζ. Είναι σκόπιμο όμως νια τις ανάγκες των τεχνικών εφαρμογών, να βρίσκουμ το βασικό όρισμα {Argz = δι:ιφορά φάσης). β) Είναι. :f)αvερό π~ς οι μιγαδικο( cριθμ.cf πcι.: έ'ίοιj" το Ιδ "J μrτpο ρ, 6οiσκ:-ντe1~ σε περιφέρεια κύκλου ακτίνας ρ (και κέντρου 0). γ) Θεωρείται z * Ο γιατί αν z = Ο τότε όρισμα δεν ορίζεται. δ) Προφανώς ο προσδιορισμός της πολικής μορφής ενός μιγαδικού αριθμού σημαίνει τον προσδιορισμό του μέτρου του Ιzi και του πρωτεύοντος ορίσματος του Argz.

193 1.6. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Είδαμε ότι '1 Z<:C, με z =α+ βί *Ο, έχουμε και z = ρ.lφ, ενώ ισχύουν οι σχέσεις:! ημφ = ~. με ρ= ~α2 + β2) ρ {α = ρ συνφ}, α (8). Οπότε: _ και αρα έχουμε: συνφ =- και φ Ε(-π,π] β- Ρ ημφ ρ z =α- βί ==ρ σuνφ- ρ ημφ i -=iz = ρ(συνφ + ίημφ)/ (9). η έκφραση :9) λέ νε:τcη τριγωνομετρική μορφή του z. Παρατηρήσεις : α) Είναι φανερό πως για να θέσουμε ένα μιγαδικό αριθμό z στην τριγωνομετρική του μορφή, θα πρέπε 6πuς ακριβώς και για την πολική μορφή, να υπολογίσουμε το μέτρο και το πρωτεύον όρισμα. Για αυτό και συνήθως, ταυτίζεται η έννοια της πολικής και τριγωvομετρικης μορφής. ενός zεc, αφού και οι δύο μορφές καθορίζουν τον z από το ί:εύγος ρ = lzl και φ = Argz. Έτσι λέγεται συχνά. ότι η πολική ή τριγωνομετρική μορφή του z είναι η (9). β) Κι εδώ προφανώς, μπορούμε να παίρνουμε τυχαίο όρισμα argz αντί, για το Argz, δηλαδή z ==ρ=\ συνφ + iημφ Ι= ρι συν! φ- 2κπ) + ίημ( φ + 2κπ)). κ ΕΖ, αφού argz = Argz+2κπ, κ εζ. Και πάλι όμ'_:.jς ας αναφερθεί πως είναι σκόπιμο να βρίσκουμε το Argz. γ) Εύκολα από την (9) έχουμε : Argz =Ο<;:::; z Ε :R+, Argz =Π<=> z Ε z_. Άρα για να δείξουμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός ταυτίζεται με πραγματικό αρκεί να δείξουμε ότι : Argz =Ο ή Argz =Π. Εξάλλου για να είναι ο z καθαρά φανταστικός, αρκεί να, Α π. Α 3π ισχυει: rgz = 2 η rgz = 2. δ) Ορισμός : e 2 : eα.-bi ~ ecι(cuvβ +-iημ.β), οπότε ieα~βil = eα >Ο, ν α, β ε91, όπου β= γωνία σε ακτίνια κat e = βάση των vεττέριων λογαρίθμων

194 1. 7. ΕΚθΕτΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Κάθε μιγαδικός αριθμός z = α+ βί = ρlφ = ρ( συν φ + ίημφ), μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα στη μορφή lz =ρ e;φl (10) που λέγεται εκθετική μορφή του z (όπου ρ=!zl, φ = Argz, e =βάση των νεπερίων λογαρίθμων και προφανώς ie' = συνφ + ίημφl (10α)). * Απ6δειξη : Είvαι γvωστ: ότι το αvάπτ:γμα μ. ια συνάρτησης κατά σειρά Mac/aurin δίνεται απο. τον τύπο : I F( χ) = F( Ο) + ;, F i Ο) + ~! F '1 Ο)+... + ~, Ρ (Ο), (11) απ' όπου (δες αντίστοιχο κεφάλαιο). βρίσκουμε 1 ~~: I. χ2 χ4 χ6 ' )(2v ι Ff\XΙ =συvχ = 1-- ~--- -... _,_; -tι' --. v εν 2.ι 4 ' 6.' i 2v Ι 1 χ3 χ5 x2v,ι F 2 (x) = ημχ =χ--_.._-... +1' -t{ 3! 5! 1 2v - 1).r v εν. χ. χ χ2 xv ix ίχ i ίχ/! ίχ{ F 3 (x)=e =1τ-+-ι-... και F4 ιx)=e =1+--,---+... ~--= 1 1 2.'.,..ι 1' 2.1 v.' - - 1 L... α _ χ2 _ ix3 + χ.ι ixs.. χσ χ2 χ4 χθ \ 1 3 s j 1-2! 3! 4-' 5.'- 6.r = 1-2ι+4ι-6f~... [+ι χ-;, +~!-... = '. = συνχ + ίημχ, δηλσδrj τελικά: jeα = σwχ + ιί]μχ! (12). 1 Άρα z = ρίσυvφ- ίημφι =ρ. e«p Παρατηρήσεις i _j α). Είναι ieiφl = 1, v φ Ε 9Γ γιατί ιeiφl = Ισυνφ + ίημφl = ~συν 2 φ + ημ 2 φ = 1. β) Αν Ζ 1 = ρ 1 e;φ, και z 2 = ρ 2 eiψ: τότε z 1 z 2 = ρ1 ρ 2. e 11 Ψ -Ψz Επίσης αν z =ρ e;φ, τότε z = ρ e; 1 φ;, γιατί z z = ρ 2 eilφ φι = ρ 2 1 = ρ2 = α2 + β 2, και ισοδύναμα αν z = ρ(συνφ + ίημφ:\, τότε z =ρ( συν( -φ) + ίημ( -φ)) = ρ(συνφ- ίημφ). γ) Είναι: eiφ = συνφ+ίημφ, (12) και e-iφ = eίl-φι = συν(-φ)+ίημ(-φ) = συνφ = ίημφ (12α). Οπότε: (12) + (12a): eu: + e<ψ = 2σuνφ η j συνφ = elφ; e ;φ I (η\ (12) - (12α) : e;φ - e-;φ = 2ίημφ ή Οι σχέσεις (13) λέγονται τύποι Euler. I e'φ- e-' ημφ=--- 21 I

195 1.8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (στις διάφορες μορφές μιγαδικών αριθμών) Είδαμε διεξοδικά ότι κάθε zεc, μπορεί να πάρει τις μορφές: z =(α, β)= α+ βι = Ιz/Lφ = ΙzJ(συνφ + ίημφ) = Jzl e' J. J. J. J. J.,,.-..--...-.. ''-"-- -. f \._. --~ ( διατεταγμενο)( ')( ')( ')( θ ') ζ, αλ γεβρικη πολικη τρι γωνμετρικη εκ ετικη ευγος Καρτι:αιανή Μορφή Έτσι ανάλογα με το πρόβλημα χρησιμοποιούμε και την πιο κατάλληλη μορφή του zε C, αφού για τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών π.χ. βολεύει η εκθετική ή πολική μορφή, ενώ για τις προσθαφαιρέσεις διευκολύνει μάλλον η αλγεβρική μορφή. στην άλλη. Παρακότω θα δούμε παραδε(γματα μετατροπής μιγαδικών αριθμών από τη μια μορφή Να εκφρaστούv στις άλλες μορφές, οι στηv aλ γεβρική μορφή μιγαδικοί aριθμοί: 1) z 1 = 1 + Οί : fz 1j = \1 + Oij = ~1 2 + 0 2 = 1 και εφφ = :=~=Ο= εφ0 => φ = 0 με φ ε [0, 2π], όρα Argz 1 = φ = 0, οπότε Ζ 1 = 1+0i = 1L0 = 1(συν0 +iημ0 ) = 1+eioo. 2) z 2 = 1 + 1ί : 11 ~ r;:; β 1 π ' α 1 4 z 2 = -ν 1- + 1- = v 2 και εφ φ = - = - = 1 = εφ-, με α = β = 1 > Ο, αρα z 2 στο α' τεταρτημόριο, όρα Argz =π, οπότε 4 Ζ 2 = 1 + 1ί = J2L45 = J2( συν45 + ίημ45 ) = J2. ei4 50 2-3ί 3 ) Ζ 3 =(1-2ί)(1+ί) Πρώτα τρέπουμε τον z3 στην αλγεβρική του μορφή α+βί δηλαδή: 2-3ί 2-3i (2-3i)(3+i) 6+2i-2i+3 9-7ί 9 7. z 3 = 1+i-2i+2 = 3-i = ι3-i)(3+i) = 32 +12 =---w= 10-10 1 7 ( 9 ) 2 ( 7 ) 2 {13 β -- 7 Οπότε : jz3 / = 10 + 10 = Vm και εφφ = α = ~ο = - 9, 10 με 9 α=-> Ο, 10 όρα z 3 στο δ' τεταρτημόριο, οπότε Argz = φ = τοξεφ(:) = τοξεφ(- ~) όρα z = f*lτοξεφ(- ~) =

εύκολα δε, 196 μπορούμε να βρούμε την φ = τοξεφ( -~).με φε(δ' τεταρτημόριο). 4) z 4 =-1+1i jz 4 j = ~(-1) 2 +1 2 =.J2 και εφφ = ~ =! = -1 = εφ(- π). με α= -1 <0 και β= 1 >Ο, όρα Ζ4 α -1 4 β,,, Α π 3π 135ο, στο τεταρτημοριο, οποτε rgz 4 = φ +Π= - 4 +Π= 4 =, αρα Ζ4 = -1 + 1ί =..;2...:.. 135 =.,2.Ισυν135 + iημ135! = /2.. e' 1350. 5) Να γραφτούν στην αλγεβρική τους μορφή οι μιγαδικοί: z 5 = 3L60 Z 6 = L 3 ; α = ρ. συνφ α = 3 συν60 = 3. _2_ = ~ Είναι _, f οπότε για τον z 5 : 2 ~3 3 r;:; β - Ρ ημφ Β = 3 ημ60 = 3 _ν_" = _ν_. 2 2 Ά 3 3J3. Ρ α z =-+--ι 5 2 2 3π α = 1 συν- = 1 Ο = Ο Επίσης για τον z 6 : 3 π 2. β= 1 ημ- = 1 (-1) = -1 2 Άρα z 6 = Ο + ( -1 )ί. 3

197 1.9. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙθΜΩΝ Ι) Ισότητα μιγαδικών αριθμών Αν z 1 = ρ 1 (συνφ 1 +iημφ 1 ) και z 2 = ρ 2 (συνφ 2 +iημφ 2 ), τότε [z 1 = z 2 ] <:::> [ρ 1 = ρ2 και φ 1 - φ 2 = 2κπ, κ Ε z], (14) (εννοείται παραπάνω ότι φ 1 = argz 1 και 1. Αν φ 1 = Argz 1 και φ 2 = Argz 2 τότε η (14) δίνει : z 1 = z 2 <:::> ρ 1 = ρ 2 και φ 1 = φ 2 ). 11) Γινόμενο μιγαδικών αριθμών Αν z 1 = ρ 1!,συνφ 1... ίημφ 1 ) και z 2 = ρ 2 ' σu,..;; 2 - iημφ 2 ;, τότε: Ισοδύναμα Ζ 1 Ζ 2 = ρ 1 ρ 2..:_φ~ τ φ 2 =ρ, Ρ 2 e:ψ. φ: Γενικότερα επαγωγικό ισχύει : z, Ζ2. Zv =ρ, ρ2... ρv ί συν( Ψ1 τ Ψz-.. Ψv '- iημ(φ1 _._ Ψ2-t-.. Ψv)], (15α) Επίσης αν z 1 = z2 =... = zν τότε ο (15α) γίνεται: 1zv =[Ρ { συνφ + ίημφ )Γ =ρ ν [συν( νφ i + ίημ( νφ )], {16) [τύπος του De Moiνre] Ο τύπος του Oe Moiνre ισχύει και όταν ο εκθέτης ν είναι αρνητικός ακέραιος δηλαδή ισχuει '7 νεζ. Συνέπεια των παραπάνω είναι : arg( zν) = νar gz και Arg( z' )... 2κπ= arg( z Ί, ν Ε Ζ, όπου κ κατάλληλος ακέραιος ώστε να έχουμε: Arg(zv) Ε (0, 2π). Εξάλλου ισοδύναμα για τον τύπο του De Moiνre έχουμε :., ν. ' Ιν i(νφ' z = ΙΖ! L ν φ = ιz. e '. i Abraham de Moiνre. ίεvνηθηκ.ε το 1667 και απεδειc:ε 1 j το! r( cos θ+ ίsίnθ) )1!1 = r"(cosθ + isin θ). Διατύπωσε 1 ;:: rω:ηι: η1ν έ<νt~ι;;}. Ζί)ς <.α""'~~ ')ζ τη<;. κ G. (-:Ν ι κ :i:.!κατανοunς I I

198 111) Αντίστροφος μιγαδικού αριθμού. Αν z = ρ(συνφ+ ίημφ) +=Ο, τότε z- 1 = _!_ = ρ- 1 [συν( -φ) + ίημ( -φ)] = _!_[συνφ- ίημφ], (17) z ρ Όμοια αν z =ρ eiφ :::::> z- 1 = ρ- 1 e~-φj. Συνέπειες: /i\ =!:I, arg( i) = -argz και Arg ( _.:_ 1 ' ( 1 \ 1 _.._ 2κπ= arg z όπου κ τέτοιος ώστε Argl :.. ' Ξ [0, 2π ι. z; zι IV) Πηλίκο μιγαδικών αριθμών. (υπονοείται ότι z 2 :;:; Ο. αφού άλλωστε όρισμα για z = Ο δεν ορίζεται). 'Ο. z, ρ, ilφ,-φ.. Zt ρ,. μοια. -=- e - η -=-..:._φ 1 -φ 2. Ζ2 ρ2 Ζ2 ρ2 Συνέπειες : ~~: = 1. 211 1, arg(l ~ I = arg z 1 - arg z 2 και [ Ζ 2 ; Ζ 2 Ι Ζ 2 ) Arg( :: ) + 2κπ= argl :: J (όπου κ ΕΖ τέτοιος ώστε Arg( :: ) Ε [Ο, 2π)). Παρατήρηση Για το άθροισμα και τη διαφορά δύο μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική π.χ. μορφή έχουμε: z 1 + z2 = (ρρυνφ 1 τ ρρυνφ 2 )..,.. ί(ρ 1 ημφ 1 + ρ 2 ημφ 2 ), z 1 - z2 = (ρ,συνφ 1 - ρρυνφ 2 )..,.. ί(ρ 1 ημφ 1 - ρ 2 ημφ 2 ), με μέτρα αντίστοιχα!z,.._ z2i = ~ρf "-ρ~-'-- 2ρρρuvl φ 1 - φ 2 ), Jz,- z 2 : = ~ρf-"- ρ~- 2ρ,ρρυν( φ 1 - φ2 ).

199 1.10. ν-οστές ΡΙΖΕΣ ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Ονομόζουμε ν-οστή ρίζα ή z = α+ βί = ρlφ = ρ( συνφ + ίημφ) = ρ eiφ, δύναμη ισούται με το z, δηλαδή : 1 δύναμη (ν ε Ν*), ενός μιγαδικού αριθμού ν το μιγαδικό αριθμό υ = χ+ yi = uω που η ν-οστή του I\Γz = u ~ uν = zl (19). Οι ν-οστές ρίζες του z, αποδεικνύεται ότι δίνονται από τον τύπο : Γn Γ ( φ + 2κπ) r φ + 2κn )jl υ= ifz = Υ.jρ (συνφ + ίημφ) =\ι ρ ι συν~ ν + ίημl ν, κ= Ο, 1,..., ν -1 ~20) όπου κεζ, δηλαδή βρίσκουμε άπειρες ν-οστές ρίζες, γενικά, που δείχνεται όμως πως ν μόνο από αυτές είναι διάφορες μεταξύ το4f για κ=ο, 1,..., ν-1. Παρατηρήσεις - Σχόλια : α) Είναι φανερό πως η έννοια, ν-οστή ρίζα, του zε C, είναι ν-σήμαντη δηλαδή βρίσκουμε ν τον αριθμό, ν-οστές ρίζες του zε C, σε αντίθεση με τις ρίζες πραγματικών που είναι μονότιμες. β) Εύκολα μπορούμε να διαπιστώσουμε, πως οι ν-οστές ρίζες μιγαδικών αριθμών έχουν το ίδιο μέτρο z = ifp, καθώς επίσης ότι οι γεωμετρικές τους εικόνες είναι κορυφές κανονικού ν-γώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (o,ifp), με ορίσματα που αρχίζουν από φ, (για κ= Ο) αυξόνουν διαδοχικό κατό 2 π. ν γ) Δύναμη μιγαδικού με εκθέτη ρητό αριθμό. Ο τύπος του Oe Moiνre που μας δίνει τη δύναμη μιγαδικού αριθμού, ν και ισχύει ως γνωστό για εκθέτη νεζ. Δεν ισχύει όμως για εκθέτη ρητό αριθμό '!..., γιατί σ' αυτή την περίπτωση, μ ν δηλαδή zμ, αυτό σημαίνει πως ο z υψώνεται στην ν, με νεζ, με τον τύπο Oe Moiνre και ύστερα στη δύναμη _!. (δηλαδή μ-οστή ρίζα). Έτσι η δύναμη μιγαδικού αριθμού με μ ν ρητό εκθέτη ν, είναι γενικά μ-τιμη, δηλαδή zϊl σημαίνει η μ-οστή ρίζα του zν και μ ισχύει ο τύπος : z~ = (z )i = ιrz' = ~. [συν( νφ: 2ιm) + Ιημ( νφ: 2κn) J. (21) για κ = Ο, 1,..., ν- 1 και ν Ε Ζ, μ Ε Ζ.

200 1.11. ΛΟΓ ΑΡΙθΜΟΣ (νεnέριος) ΜΙΓ ΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙθΜΟΥ Αν z = ρ eίφ, με ρ= JzJ και φ = Argz, τότε: lιn( z) ~ ι η ρ + ιφl (22) ενώ γενικότερα ισχύει : ln(z) = ln ρ+ i( φ + 2κπ), ΚΕΖ. Γrυγκcκριμένα : μc z = ρ. eιφ., λογαριθμίζοvτας κατά τους κανόνες που ισχύουν για ι πραγματικών αριθμών, παίρνουμε: i /n(z) =ln(p ekp) =lnp c.fneιφ =lnp -'-iφ lne =lnp +ίφ. I-- Παρατήρηση : τους λογαρίθμουςl i Κατά τον παραπάνω ορισμό, επειδή 9ι_ c C, άρα ορίζονται οι νεπέριοι λογάριθμοι και για τους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, επειδή δε, όπως εύκολα βρίσκουμε, όλοι οι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί έχουν βασικό όρισμα, ίσο με π, θα έχουμε : ln( -α)= ln α+ ίπ, α Ε 9ι:. (Εξάλλου ln α= ln α+ ίο= ln α, με α Ε 9ι:). Παραδείγματα : ln(-25) = ln(25) + ίπ, ln( -1) = ln1 + iπ= ίπ, ln( -4 + 3ί) = ιn(ρ. eiφ) = ιπ( 5. e~ 1430 ) = ln 5 + i 143 = = ln5 + i(o, 79π) ΞΞ 1,61 + 2, 48ί Ο Johann Kepler γεννήθηκε το 1571. πατέρας της μοντέρνας Αστρονομίας, προχώρησε στη χρήση των λογαρίθμων.

201 1.12. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ- ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ (γενικά στους μιγαδικούς) 1) Να βρεθεί το μέτρο και το πρωτεύον όρισμα του z =1 +i./3 καθώς και να γραφτεί στις άλλες του μορφές. Λύση Είναι ρ= Ιzl = j1+j3ij = ~i1 2 +(J3Y = J4 = 2, εφ φ = - = - β "!3 - π π ' = "3 = εφ- = φ = - εν ω α 1 3 3 α 1 π 0. Α π 60 ο συν φ = - = - = συν- > ' αρα rgz = φ = - = ρ 2 3 3 Οπότε z = 1 + i.j3 = 2.::.:. 60 = 2( συν60 + ίημ 60 ) = 2. e' 600. z 3 =.J2(συν55 +iημ55 ), ναβρεθείο Ζ1 Ζ2 Ζ3 Λύση Από τον τύπο του γινομένου μιγαδικών έχουμε: Ζ1 Ζ2 Ζ3 =ρ, Ρ2 Ρ3[ συν φ, _._ Ψ2 _j_ Ψ3 I _j_ ίημι Ψ1 ~ Ψ2..._ Ψ3 i] ~ Ζ 1 z 2 z 3 = 4 -/6 J2 [ συν(20 + 38 + 55 ) + ίημ(20 + 38 + 55 )] = = 8-./3. ( συν113 -"- ίημ113 ) = BJ3( -0,39-"- ίο, 92) = = -5,4-12, 75i = 8-ν'3L113 = 8"1'3 e;. 1130. 3) Να βρεθεί μιγαδικός αριθμός z' ώστε πολλαπλασιασμένος με τον z = 7 ν; + ~ ί να τον στρέφει κατά γωνιa 3cf. Λύαη Από την ιδιότητ:l του ''L'ιομένου δύο μιγaδικ~v aριθμών εύκολα συμπεραίνουμε πως ο ζητούμενος z' = 1\συν30~..,. ίημ30 ) = 1 e ;: = 1._30. γιατί βρίσκοντας για τον z ότι :zi = 7 και Argz = 30. οπότε z = 7...:.30 = 7 e' 30 :. άρα z. z' = 7 1 ei 3oo. e;.joo = 7. e;.eoo = 7 L60o. Σημείωση :Γενικά για να στραφεί ένας μιγαδικός κατά γωνία θ θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί τον συνθ + ίημθ. 4) Να βρεθεί το μέτρο και το όρισμα του z = 1 + e'φ. Λύση!zl = 11 + eiφi = J1 + (συνφ-"- ίημφ)j = j( 1 + συνφ) + ίημφ\ = ~( 1 + συνφ ) 2 + ημ 2 φ = =~1+2συνφ+συν2φ+ημ 2 φ =~2+2συνφ =~2(1+συνφ) =~2 2συν2 ~ =

202 ( Εξάλλου arg z = τοξεφ - = τοξεφ ημφ = τοξεφ 2 2 = β) ( J 2ημ- συνα 1 + συνφ 2σuv2 Ψ 2 φ φ = τοξεφ( εφ φ I = φ. \ 2) 2 Άρα 'Ζ! = 2iσuν Ψ: και arr< z = ψ. i I i 2i ~ 2,,.. Π. _!!.. Π 5) Ναδειχτειοτι:Ιπι =ι-, ι' =e 2 και/πι'=--. 2 2 Λύση Είναι ':". z = ρ e;φ ε C : lnl z! = ln ρ e;φ) = ln ρ+ ίφ, οπότε ln i = ln( ο + 1i) = ιn( 1.η;' ln 1 + i ~ = i ~ ( ορ. Επίσης ί; π ' 1.2π π =(Ο+ 1i/ = ( 1 e'2 j = e'2 = e -2, και τέλος I ( ί). 1. ( π) π ΠΙ =ΙΠΙ=ΙΙ2 =-2. 6) Έστω το κύκλωμα του σχήματος όπου R = 314Ω και C = 10-5 F. Α v η συχvότητα v της πηγής είvαι ίση με 50c/s, vα εκφραστεί η σύvθετη αvτίσταση του κυκλώματος Zc, σ' όλες τις μορφές εvός μιγαδικού όταv είvαι zc = R -- 1 -i με ω= 2πv. ωc Λύση Γ \ \ι\ι\~ V : V V I V---.,, ' I R C I I.~Ε ~---, 'v,---- "-... / Είναι!zι = IR+-=J_il = R 2..._j--=:2_ 1 2 = /R 2 -+ί---=-!. ) 2 = ' i Cω Ι ' \ Cω) V \. 2πνC) = /314 2 -+ ( - 1 ) 2 = 314.J2 ΞΞ 4430. ν 2-3.14. so -1o-s Εξάλλου για τον Arg(Zc) = φ έχουμε: -1 εψψ -- Ε_ -- Cω -- ----=.]_ -- -1-1 1 α R RCω RC2πv 314-10- 2 3,14 50 = 5 =-.

203 Άρα φ = τοξεφ(-1) =-π, αφού συνφ =α= R >Ο δηλαδή Zc βρlσκεται στο δ' 4 ρ ρ τεταρτημόριο. Οπότε ε( ναι: Zc = 443L- 45 = 443( συν( -45 ) + ίημ( -45 )) = 443. e(- 4 so). y= Im (z) χ' \ χ= Re (z) y' 7) Να εκφραστούν τα συν3θ και ημ3θ συναρτήσει των συνθ και ημθ. Λύση Έστω ο μιγαδικός z = ρ( συνθ + ίημθ) (I), όπου ρlzl και φ =Argz. Τότε κατά τον τύπο De Moiνre θα έχουμε: z 3 = ρ 3 ( συν( 3φ) + ίημ( 3φ)] (I I) ενώ υψώντοντας την (I) στον κύβο, παίρνουμε : z 3 = ρ3 (συνφ+ίημφ) 3 = ρ3 [συν3φ + 3συν 2 φ(ίημφ) +3συνφ(ίημφ) 2 +(ίημφ) 3 ] = = ρ 3 (συν3 φ +3ίημφ συv2φ- 3ημ 2 φ συνφ- ίημ 3 φ] = = ρ 3 [(συv 3φ- 3ημ 2φ συνφ) + i(3συν2 φ ημφ- ημ 3 φ)], (111). Από τις (11) και (111), παίρνουμε : ισότητα ) συν(3φ) μιγαδικι.ίιν + ίημ(3φ) = (συν 3 φ- 3ημ 2 φ. συνφ) + i(3συν2 φ. ημφ- ημ 3 φ ς:=> ς:=> {συν3φ = συν 3 φ- 3ημ 2 φ συν φ =συν φ( συν 2 φ- 3ημ 2 φ) ημ 3 φ = 3συν2 φ ημφ- ημ 3 φ = ημφ( 3συν2φ- ημ 2 φ) 8) Να βρεθούν οι κυβικές pί'ζες της μονάδας. Λύση Είναι 1 = 1 + Οί = 1L0 = συν0 + ίημ0. Δηλαδή ρ = 11 + Oil = 1 και Arg( 1) = 0. Άρα κατά τον τύπο (20) που μας δ(νει τις ν-οστές ρ(ζες μιγαδικού θα έχουμε : V1 = V1 + Οί = V1(συν0 +iημ0 ) =συν 0 + :κπ +iημ 0 + :κπ, κ= Ο, 1,2 0+0. 0+0 Δηλαδή για κ= Ο: Ζ0 = συν- 3 -+ιημ- 3 - = 1+0 = 1 ' ο + 2π. ο+ 2π 2π. 2π 1 J3. για κ= 1: Ζ1 =συν 3 +ιημ 3 = συν 3 +ιημ 3 =- 2 +2'