Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 7 ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η συνάρτηση y=f(x), έχει 1 ανεξάρτητη μεταβλητή x Η συνάρτηση y=f(x 1, x 2,x 3,,x n ) έχει n ανεξάρτητες μεταβλητές (n 2), ονομάζεται πολυμεταβλητή συνάρτηση (συνάρτηση πολλών μεταβλητών). Οι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών είναι χρήσιμες σε προβλήματα: Παράδειγμα 1: Η παραγωγή y εξαρτάται από το Κεφάλαιο Κ και την Εργασία L οπότε y=f(k,l) είναι συνάρτηση 2 μεταβλητών. Παράδειγμα 2: Η ζήτηση ενός προϊόντος x εξαρτάται από την τιμή του p x, την τιμή ενός ανταγωνιστικού p y και το εισόδημα του καταναλωτή i: x=f(p x,p y,i). Παράδειγμα 3: Η τιμή αγοράς ενός ακινήτου V εξαρτάται από το εμβαδό E, ηλικία (έτος κατασκευής) t, συντελεστή αξίας περιοχής a: V=f(E,t,a) 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ z=f(x,y) Συνάρτηση z=f(x,y)=x 2 -y 2 Έχουμε 3 μεταβλητές x,y,z => τρισδιάστατη καμπύλη στο χώρο ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ!!! 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν μια συνάρτηση y=f(x 1,x 2,x 3,,x n ) είναι πολλών μεταβλητών, αντί για την παράγωγο, ορίζουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή της x 1, x 2,x 3,,x n Για να ξεχωρίσουμε την μερική παράγωγο από την απλή παράγωγο χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό y x : Συνάρτηση y=f(x 1,x 2,x 3,,x n ) Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x 1 : y x 1 = Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x 2 : y x 2 =.. Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή x n : y x n = Χρησιμοποιούμε το σύμβολο x, y για να ξεχωρίσουμε από το dx, dy που σημαίνει απλή παράγωγο συνάρτησης μιας μεταβλητής. ΔΕΝ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΜΕ f ΓΙΑ ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1: παραγωγή y=f(k,l) εξαρτάται από το Κεφάλαιο Κ και την Εργασία L Υπάρχουν 2 ανεξάρτητες μεταβλητές K,L επομένως ορίζονται 2 μερικές παράγωγοι: Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή Κ: y Κ Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή L: y L Παράδειγμα 2: Η ζήτηση x=f(p x,p y,i) ενός προϊόντος x εξαρτάται από την τιμή του p x, την τιμή ενός ανταγωνιστικού p y και το εισόδημα του καταναλωτή i Υπάρχουν 3 ανεξάρτητες μεταβλητές p x, p y, i, επομένως ορίζονται 3 μερικές παράγωγοι: Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή p x : y p x Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή p y : y p y Μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή i : y i 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (1) Για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων χρησιμοποιούμε τους κανόνες των απλών παραγώγων θεωρώντας τις μεταβλητές ως προς τις οποίες δεν παραγωγίζουμε σταθερές. Παράδειγμα 1: Η ζήτηση x=f(p x,p y,i)=10-4p x +6p 2 y +i Μερική παράγωγος ως προς p x : y = (10 4p 2 x+6p y +i) = (10) - (4p x ) p x p x p x p x 2 ) + (6p y p x + (i) p x =0-4+0+0=-4 Επειδή παραγωγίζουμε ως προς p x οι όροι που δεν «περιέχουν» το p x θεωρούνται σταθερές και η παράγωγος τους είναι 0. Μερική παράγωγος ως προς p y : y = (10 4p 2 x+6p y +i) = (10) - (4p x ) p y p y p y p y 2 ) + (6p y p y + (i) p y =0-0+12p y +0=12p y Επειδή παραγωγίζουμε ως προς p x οι όροι που δεν «περιέχουν» το p x θεωρούνται σταθερές και η παράγωγος τους είναι 0. Μερική παράγωγος ως προς i: y i = (10 4p 2 x+6p y +i) i = (10) i - (4p x ) i + (6p y 2 ) + (i) i i =1 Παράδειγμα 2: y=3x 3 +5z-6xz 2 => y +5z 6xz 2 x = (3x3 ) =9x x 2-6z 2 και 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr y +5z 6xz 2 z = (3x3 ) =5-12xz z

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (2) Για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων χρησιμοποιούμε τους κανόνες των απλών παραγώγων θεωρώντας τις μεταβλητές ως προς τις οποίες δεν παραγωγίζουμε σταθερές. Παράδειγμα 3: Η παραγωγή y=f(k,l)=8k 1/2 L 1/2 (συνάρτηση Cobb-Douglas) Μερική παράγωγος ως προς K: y = (8K1/2 L 1/2 ) =8L K K 1/2 (K1/2 ) K =1 2 8L1/2 K 1 2 1 =4L 1/2 K 1/2 =4 L1/2 K 1/2 Μερική παράγωγος ως προς L: y = (8K1/2 L 1/2 ) =8K L L 1/2 (L1/2 ) L =1 2 8K1/2 L 1 2 1 =4K 1/2 L 1/2 =4 K1/2 L 1/2 Παράδειγμα 4: u=f(x,y,z)=2x 3 +6y-3z 2 => υπάρχουν 3 μερικές παράγωγοι της u ως προς x,y,z: u +6y 3z 2 x = (2x3 ) =6x 2 x u +6y 3z 2 y = (2x3 ) =6 y u +6y 3z 2 z = (2x3 ) =-6z z 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΚΑΝΟΝΕΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Τους κανόνες παραγώγισης για συναρτήσεις 1 μεταβλητής μπορούμε να τους «επεκτείνουμε» στις μερικές παραγώγους. Σύνθετες συναρτήσεις-κανόνας αλυσίδας: Αν z=f(x,y) όπου x=g(t 1,t 2 ) και y=h(t 1,t 2 ) Ισχύει: z = f x + f y και z = f x + f y t 1 x t 1 y t 1 t 2 x t 2 y Παράδειγμα: z=2x 3-4y 2 όπου x=3t 2 1 +2t 2 και y=6t 3 1 +t 1 t 2 z = f x + f y = (2x3 4y 2 ) (3t 12 +2t 2 ) + (2x3 4y 2 ) t 1 x t 1 y t 1 x t 1 y 36t 1 (3t 2 1 +2t 2 ) 2-8(6t 3 1 +t 1 t 2 ) (18t 2 1 +t 2 )= =-540t 5 1 +240t 3 2 1 t 2 +136t 1 t 2 Και z = f t 2 x x + f t 2 y t 2 (y=6t 13 +t 1 t 2 ) t 1 =6x 2 (6t 1 )+(-8y)(18t 1 2 +t 2 )= y = (2x3 4y 2 ) (3t 12 +2t 2 ) + (2x3 4y 2 ) (y=6t 13 +t 1 t 2 ) = 6x 2 (2)+(-8y)(t t 2 x t 2 y t 1 )= 2 12 (3t 1 2 +2t 2 ) 2-8t 1 (6t 1 3 +t 1 t 2 )= =60t 1 4 +48 t 2 2 +136t 1 2 t 2 8 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ-ΜΕΡΙΚΟ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ Αν έχουμε συνάρτηση 1 μεταβλητής y=f(x) η παράγωγος είναι dy/dx, το dy ονομάζεται διαφορικό του y. («μετράει» τη μεταβολή του y, dy για μικρή μεταβολή του x, dx) Παράδειγμα: y=6x 3 +5x+1 dy = dx 18x2 +5 => διαφορικό dy=(18x 2 +5)dx Αν έχουμε συνάρτηση 2 μεταβλητών z=f(x,y) υπάρχουν 2 μερικές παράγωγοι z, το ολικό διαφορικό του z, dz ορίζεται: dz= z x dx+ z y dy Παράδειγμα: έστω συνάρτηση z=3x 2-2y 4 +3xy 9 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr, z x y μερικές παράγωγοι z z =6x+3y, x y =-8y3 +3x Ολικό διαφορικό dz= z x dx+ z y dy=(6x+3y)dx+(-8y3 +3x)dy Ορίζεται και το μερικό διαφορικό dz ως προς y αν θέσουμε dx=0 οπότε dz=(-8y 3 +3x)dy μερικό διαφορικό dz ως προς x αν θέσουμε dy=0 οπότε dz=(6x+3y)dx

ΟΛΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Έστω z=f(x,y) όπου y=g(x), οι μεταβλητές x,y έχουν σχέση εξάρτησης y=g(x). Επομένως μια μεταβολή του x επιδρά άμεσα στο z μέσω z=f(x,y) και έμμεσα μέσω y=g(x). Η ολική παράγωγος μετρά τη συνολική επίδραση της x στην z ως εξής: dz = f + f dy dx x y dx αυτό προκύπτει και από το ολικό διαφορικό της z=f(x,y): dz= z x dx+ z dz dy διαιρώντας» το dz με dx: = f + f dy y dx x y dx Παράδειγμα: z=f(x,y)=-3x 2 +2y όπου y=g(x)=5x 2-3x dz = f + f dy +2y) dx x y dx = ( 3x2 + ( 3x2 +2y) d(5x 2 3x ) =-6x+2(10x-3)=14x-6 x y dx Προφανώς αν αντικαθιστούσαμε το y θα είχαμε το ίδιο αποτέλεσμα! 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΑΚΩΒΙΑΝΗ-JACOBIAN Ένα σύστημα n εξισώσεων με n αγνώστους μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα σύστημα n συναρτήσεων με n μεταβλητές: y 1 =f 1 (x 1,x 2,,x n ) Αντίστοιχο σύστημα: a y 2 =f 2 (x 1,x 2,,x n ) 11 x 1 +a 12 x 2 + +a 1n x n =b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 + +a 2n x n =b 2 y n =f n (x 1,x 2,,x n ) a n1 x 1 +a n2 x 2 + +a nn x n =b n Ορίζουμε την Ιακωβιανή Ορίζουσα (Jacobian Determinant) σαν την ορίζουσα που έχει τις μερικές παραγώγους των n συναρτήσεων ως προς τις n μεταβλητές x i : J = y 1 x 1 y 2 x 1 y 1 y 1 x 2 x n y 2 y 2 x 2 x n y n x 1 y n x 2 y n x n Αν το αντίστοιχο σύστημα είναι γραμμικό τότε η Ιακωβιανή αποτελείται από τους συντελεστές των αγνώστων, επομένως είναι η ορίζουσα του γραμμικού συστήματος. 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΑΚΩΒΙΑΝΗ-JACOBIAN ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Σύστημα 2Χ2: y 1 =5x 1-3x 2 y 2 =7x 1 +8x 2 Για να βρούμε την Ιακωβιανή Ορίζουσα (Jacobian Determinant) υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: y 1 =5, y 1=-3, y 2=7, y 2=8 x 1 x 2 x 1 x 2 Επομένως J = y 1 x 1 y 2 x 1 y 1 x 2 = y 2 x 2 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 5 3 7 8 =40+21=61 αυτή είναι η ορίζουσα του συστήματος και γνωρίζουμε ότι υπάρχει μοναδική λύση αφού είναι διάφορη του μηδέν! (επειδή οι 2 εξισώσεις γραμμικά ανεξάρτητες) ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ Σύστημα 2Χ2: y 1 =3x 1-2x 2 y 2 =9x 12-12 x 1 x 2 +4x 2 2 Για να βρούμε την Ιακωβιανή Ορίζουσα (Jacobian Determinant) υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: y 1 =3, y 1=-2, y 2=18x x 1 x 2 x 1-12x 2, y 2=-12x 1 x 1 +8x 2 2 3 2 Επομένως J = =3( 12x 18x 1 12x 2 12x 1 +8x 1 +8x 2 )-(-2)(18x 1 12x 2 )=-36x 1 +24x 2 +36x 1 24x 2 =0 => οι 2 εξισώσεις 2 δεν είναι ανεξάρτητες (είναι (3x 1-2x 2 ) 2 =9x 12-12 x 1 x 2 +4x 2 2 επομένως δεν υπάρχει μοναδική λύση!)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Cobb-Douglas Οι συναρτήσεις Cobb-Douglas είναι συναρτήσεις παραγωγής της μορφής Q=cK a L b, όπου: Q ποσότητα παραγωγής, K κεφάλαιο, L εργατικό δυναμικό c,a,b σταθερές. Αν υπολογίσουμε τις ελαστικότητες Q ως προς K,L: ε Κ = Q/Q K/K = Q K K = (cka L b ) K Q K = Q calb K a 1 K = aclb K a Q Q K a =aclb ck a L b =a Επομένως η ελαστικότητα παραγωγής προς Κ είναι a L = (cka L b ) L = Q L Q cbka L b 1 L = bclb K a = bclb K a Q Q ck a L b =b Επομένως η ελαστικότητα παραγωγής προς L είναι b ε L = Q/Q = Q L/L L 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΜΙΚΤΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Αν μια συνάρτηση y=f(x 1,x 2,x 3,,x n ) είναι πολλών μεταβλητών αντί για την παράγωγο, ορίζουμε τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης y, y, y ως προς κάθε ανεξάρτητη x 1 x 2 x n μεταβλητή της x 1, x 2,x 3,,x n Όπως και στις απλές παραγώγους μπορούμε να ορίσουμε μερικές παραγώγους μεγαλύτερης τάξης (βαθμού): Μερική παράγωγος 2 ου βαθμού ως προς τη μεταβλητή x 1 : 2 y x2 = ( y ), δηλαδή 1 x 1 x 1 παραγωγίζουμε ξανά την μερική παράγωγο. Υπάρχει όμως και η δυνατότητα να παραγωγίσουμε μια μερική παράγωγο ως προς τη μεταβλητή x 1 ως προς άλλη μεταβλητή x 2 και να προκύψει μια μικτή μερική παράγωγος: Μικτή μερική παράγωγος ως προς x 1, x 2 : 2 y = ( y )= ( y ) x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x 1 Στις μικτές μερικές παραγώγους δεν έχει σημασία η σειρά παραγώγισης 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΜΙΚΤΕΣ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συνάρτηση y=2x 3-6z 5 +3xz Μερική παράγωγος 1 ου βαθμού ως προς τη μεταβλητή x: y 6z 5 +3xz x = (2x3 ) = 6x 2 +3z x Μερική παράγωγος 2 ου βαθμού ως προς τη μεταβλητή x: 2 y = x 2 x ( y)= x x (6x2 +3z)=12x Μερική παράγωγος 1 ου βαθμού ως προς τη μεταβλητή z: y 6z 5 +3xz z = (2x3 ) = 30z 4 +3x z Μερική παράγωγος 2 ου βαθμού ως προς τη μεταβλητή z: 2 y = z 2 z ( y)= z z ( 30z4 +3x)= 120z 3 Μικτή μερική παράγωγος ως προς x,z: = x z x ( y)= z x ( 30z4 +3x)=3 επίσης = x z z ( y )= x z (6x2 +3z)=3 Στις μικτές μερικές παραγώγους δεν έχει σημασία η σειρά παραγώγισης, επομένως μπορούμε να επιλέξουμε τη «σειρά» παραγώγισης. 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΝΤΟΜΟΓΡΑΦΙΕΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Αν y=f(x,z) χρησιμοποιούνται: για τις μερικές παράγωγους 1ου βαθμού: y =f x x=f 1, y =f z z=f 2 δηλαδή το σύμβολο της συνάρτησης με δείκτη τη μεταβλητή παραγώγισης για τις μερικές παράγωγους 2ου βαθμού: =f x 2 xx =f 11 =f z 2 zz =f 22 =f x z xz=f 12 =f z x zx=f 21 f xx : η μερική παράγωγος της f 2 ου βαθμού ως προς μεταβλητή x (1 η μεταβλητή) f xz : η μικτή μερική παράγωγος της f ως προς μεταβλητή x και z Οι παραπάνω συντομεύσεις f xx,f 11, f xz,f 12, για τις μερικές παραγώγους είναι αντίστοιχες του f, f για τις απλές παραγώγους. 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-HESSIAN MATRIX H Αν y=f(x,z) συνάρτηση 2 μεταβλητών, έχουμε 2 μερικές παραγώγους 1 ου βαθμού: y, y x z ενώ 2 ου βαθμού θα έχουμε 2*2=2 2 =4: 2 y 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr, 2 y, 2 y, 2 y x 2 z 2 x z z x Χρησιμοποιούμε για συντομία συμβολισμούς με δείκτες: y =f x x=f 1, y =f z z=f 2, 2 y =f x 2 xx =f 11,, 2 y = f x z xz=f 12 (όπου ισχύει 2 y x z = 2 y z x ) π.χ. f xz =f 12 συμβολίζω την μερική παράγωγο 2 ου βαθμού της f, 1 η παραγώγιση προς z, 2 η προς x. Οι μερικές παράγωγοι 2 ου βαθμού της συνάρτησης μπορούν να παρουσιαστούν σε μορφή πίνακα που ονομάζεται Εσιανός και συμβολίζεται Η 1 η παραγώγιση ως προς x 2 η παραγώγιση ως προς x 1 η παραγώγιση ως προς x 2 η παραγώγιση ως προς z Η= Ο Εσιανός πίνακας επειδή 2 y x z = 2 y z x x 2 z x x z = z 2 είναι συμμετρικός! 1 η παραγώγιση ως προς z 2 η παραγώγιση ως προς x f 11 f 12 = f xx f xy f 21 f 22 f yx f yy 1 η παραγώγιση ως προς z 2 η παραγώγιση ως προς z

ΕΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αν y=f(x,z)=2x 3-6z 5 +3xz συνάρτηση 2 μεταβλητών, ο Εσιανός πίνακας H είναι: 1 η παραγώγιση ως προς x 2 η παραγώγιση ως προς x 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 1 η παραγώγιση ως προς x 2 η παραγώγιση ως προς z Η= x 2 z x x z Πρέπει να υπολογίσουμε όλες τις μερικές παραγώγους 2 ου βαθμού της συνάρτησης y: = 6z 5 x 2 x ( (2x3 +3xz) )= x x (6x2 +3z)=12x = 6z 5 z 2 z ( (2x3 +3xz) )= z z ( 30z4 +3x)=-120z 3 = 2 y = 6z 5 x z z x z ( (2x3 +3xz) )= x z (6x2 +3z)=3 Η= x 2 z x x z = z 2 z 2 f 11 f 12 f 21 f 22 = 1 η παραγώγιση ως προς z 2 η παραγώγιση ως προς x 1 η παραγώγιση ως προς z 2 η παραγώγιση ως προς z 12x 3 3 120z 3 Χρειαζόμαστε τον Εσιανό πίνακα H των μερικών παραγώγων 2 ου βαθμού για το Κ.Δ.Π. στα max-min της συνάρτησης

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Συνάρτηση z+x 2 +y 2 =0 =>z=f(x,y)=-x 2 -y 2 Μεταβλητές x,y,z => τρισδιάστατη καμπύλη ΜΕΓΙΣΤΟ Συνάρτηση z=f(x,y)=9-x 2 -y 2 Μεταβλητές x,y,z => τρισδιάστατη καμπύλη ΜΕΓΙΣΤΟ 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση z=f(x,y)=x 2 -y 2 Μεταβλητές x,y,z => τρισδιάστατη καμπύλη ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΣΤΗ ΜΙΑ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΤΗΝ ΆΛΛΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Στις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών για να βρούμε ελάχιστα ή μέγιστα τα κριτήρια θα είναι πολύπλοκα!

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για συνάρτηση 1 μεταβλητής y=f(x) ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΓΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): f (x)= dy dx =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): f (x)= d2 y dx 2 <0 ΕΧΟΥΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): f (x)== dy dx =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): f (x)= d2 y dx 2 >0 Αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών τα κριτήρια είναι αντίστοιχα, αλλά τώρα έχουμε τις μερικές παραγώγους στο Κ.Π.Π. και επιπλέον μικτές παραγώγους στο Κ.Δ.Π. χρειαζόμαστε τον Εσιανό Πίνακα Η όλων των μερικών παραγώγων 2 ου βαθμού. 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Για μια συνάρτηση y=f(x 1, x 2,, x n ) n μεταβλητών ΕΧΟΥΜΕ ΜΕΓΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): y = y x 1 x 2 = = y xn =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): Εσιανός πίνακας H αρνητικά ορισμένος (ιδιοτιμές αρνητικές) ΕΧΟΥΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ: 1. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΡΩΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Π.Π.): y = y = = y x 1 x 2 xn =0 2. ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ (Κ.Δ.Π.): Εσιανός πίνακας H θετικά ορισμένος (ιδιοτιμές θετικές) Ο Εσιανός πίνακας H είναι ο πίνακας των μερικών παραγώγων 2 ου βαθμού της συνάρτησης y=f(x 1, x 2,, x n ) Ένας πίνακας είναι θετικά ορισμένος αν τα κύρια αλγεβρικά συμπληρώματα είναι όλα θετικά Ένας πίνακας είναι αρνητικά ορισμένος αν τα κύρια αλγεβρικά συμπληρώματα ξεκινούν από αρνητικό και αλλάζουν πρόσημο διαδοχικά. 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

Κ.Δ.Π.:ΘΕΤΙΚΟΣ-ΑΡΝΗΤΙΚΟΣ ΕΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Ο Εσιανός πίνακας H των μερικών παραγώγων 2 ου βαθμού χρησιμοποιείται για να εξετάσουμε αν η αντίστοιχη συνάρτηση έχει ελάχιστο ή μέγιστο (κριτήριο Δεύτερης Παραγώγου Κ.Δ.Π.): Αν έχουμε μια συνάρτηση 3 μεταβλητών ο Εσιανός πίνακας θα είναι: 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Η= H 1 H 2 H 3 Η f 11 f 12 f 1, Η 2, Η 3 τα κύρια 13 αλγεβρικά f 21 f 22 f 23 συμπληρώματα του Η f 31 f 32 f 33 Για Ελάχιστο θα πρέπει να είναι Η ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του θετικές). Θα είναι Θετικά ορισμένος αν όλα τα κύρια αλγεβρικά συμπληρώματα του Η θετικά: Η 1 =f 11 >0, Η 2 = f f 11 f 11 f 12 f 13 12 >0, Η f 21 f 3 = f 21 f 22 f 23 >0 (είναι οι «ορίζουσες» στοιχείων διαγωνίου του Η) 22 f 31 f 32 f 33 Για Μέγιστο θα πρέπει να είναι Η ΑΡΝΗΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ (δηλ. όλες οι ιδιοτιμές του αρνητικές). Θα είναι Αρνητικά ορισμένος αν τα κύρια αλγεβρικά συμπληρώματα του Η αλλάζουν πρόσημο ξεκινώντας από αρνητικό: Η 1 <0, Η 2 >0, Η 3 <0

ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ (ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ) Έστω συνάρτηση κόστους TC=10L 2 +10K 2-25L-50K-5LK+2000 όπου L εργασία και K κεφάλαιο. Βρείτε τα L,K που ελαχιστοποιούν το TC. Για να βρούμε τα ακρότατα: Κ.Π.Π.: (TC) L = (TC) K (TC) L =0 => +10K 2 = (10L2 25L 50K 5LK+2000) =0 => 20L-25-5K=0 (1) L (TC) +10K 2 K = (10L2 25L 50K 5LK+2000) =0 => 20K-50-5L=0 (2) K Οι εξισώσεις (1) και (2) αποτελούν γραμμικό σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους: 20L 25 5K=0 20L 5K=25 => 20K 50 5L=0 5L+20K=50 => 4L K=5 L+4K=10 5 και AL = 1 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr => Α = 4 1 1 4 =16-1=15 0 άρα μοναδική λύση: L= AL A 10 4 =30 => L=30/15=2, ενώ Κ= A Κ και A A Κ = 4 5 =45 => Κ=45/15=3 1 10 Η συνάρτηση θα έχει για L=2, K=3 ακρότατο, για το είδος (μέγιστο-ελάχιστο) ελέγχουμε το Κ.Δ.Π. (Συνέχεια στην επόμενη διαφάνεια)

ΕΥΡΕΣΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ (ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ-ΜΕΓΙΣΤΟΥ) συνάρτηση κόστους TC=10L 2 +10K 2-25L-50K-5LK+2000 όπου L εργασία και K κεφάλαιο. Κ.Π.Π.: (TC) L = (TC) K =0 => Η συνάρτηση θα έχει για L=2, K=3 ακρότατο, για το είδος (μέγιστο-ελάχιστο) θέλουμε Κ.Δ.Π. Κ.Δ.Π.: υπολογίζουμε μερικές παραγώγους 2 ου βαθμού: 2 (TC) = L 2 L ( (TC) L 2 (TC) = Κ 2 Κ ( (TC) Κ 2 (TC) = K L K ( (TC) L )= L (20L-25-5K)=20 )= (20K-50-5L)=20 Κ )= K (20L 25 5K)=-5 Επομένως ο Εσιανός πίνακας Η είναι: Η= x 2 z x x z = z 2 20 5 5 20 20 λ 5 και εξετάζουμε τις ιδιοτιμές του: 5 20 λ =(20-λ)2-5 2 =(20-λ+5)(20-λ-5)= (25-λ)(15-λ)=0 => λ 1 =15 και λ 2 =25 είναι >0 άρα πίνακας Η ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΣ => ΕΧΟΥΜΕ ΕΛΑΧΙΣΤΟ Κ.Π.Π.: για L=2, K=3 έχουμε ακρότατο και Κ.Δ.Π.: Εσιανό πίνακα ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟ το ακρότατο είναι ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ: TC (L=2, K=3)=10L 2 +10K 2-25L-50K-5LK+2000=1900 ενώ TC (L=0, K=0)=2000>1900 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (1/2) Έστω y=x 1 2 2x 1 x 2 + 2x 2 2 + 2x 1 x 3 + 4x 3 2 2x 3 Βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης Κ.Π.Π.: y =2x x 1-2x 2 +2x 3 =0 => 2x 1-2x 2 +2x 3 =0 1 y =-2x x 1 +4x 2 =0 => -2x 1 +4x 2 =0 2 y =2x x 1 +8x 3-2=0 => 2x 1 + 8x 3 =2 3 Α = Α x1 = 2 2 2 2 4 0 2 0 8 0 2 2 0 4 0 2 0 8 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr = 0 2 2 2 4 0 2 0 8 = 0 0 2 2 4 0 2 8 8 =2 Γραμμικό Σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους 2 4 2 8 =2(16-8)=16 0 μοναδική λύση 2 2 =2 4 0 =-16 => x 1= Α x1 / Α =-16/16=-1 => από την 2 η εξισ. x 2 =-0.5 και από την 3 η εξισ. x 3 =0.5 ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η y έχει ακρότατο για x 1 =-1, x 2 =-0.5, x 3 =0.5 (συνέχεια)

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (2/2) y=x 1 2 2x 1 x 2 + 2x 2 2 + 2x 1 x 3 + 4x 3 2 2x 3 Κ.Π.Π.: ακρότατο για x 1 =-1, x 2 =-0.5, x 3 =0.5 Κ.Δ.Π.: Μερικές παράγωγοι 2 ου βαθμού: f 11 =2, f 22 =4, f 33 =8 Μικτές παράγωγοι: f 12 =f 21 =-2, f 13 =f 31 =2, f 23 =f 32 =0 2 2 2 Επομένως ο Εσιανός πίνακας H= 2 4 0, πρέπει να βρούμε τις ιδιοτιμές του ή να εξετάσουμε τα 2 0 8 πρόσημα των κυρίων αλγεβρικών συμπληρωμάτων: 2 2 2 2 2 Η 1 =2, Η 2 = 2 4 =4, Η 3 = 2 4 0 =16, είναι όλα θετικά => Η θετικά ορισμένος=> έχουμε 2 0 8 ελάχιστο. ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η y έχει ακρότατο για x 1 =-1, x 2 =-0.5, x 3 =0.5 που είναι ελάχιστο. Στον παραπάνω πίνακα Η είναι δύσκολο να βρούμε τις ιδιοτιμές και χρησιμοποιούμε τα κύρια αλγεβρικά συμπληρώματα! 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ Στα οικονομικά προβλήματα μπορεί να έχουμε περιπτώσεις βελτιστοποίησης συνάρτησης πολλών μεταβλητών (εύρεση ελάχιστου κόστους ή εύρεση μέγιστου κέρδους) με συνθήκες. Δηλαδή μια συνάρτηση f(x 1,x 2,,x n ) να βελτιστοποιηθεί (μέγιστο ή ελάχιστο) με τη συνθήκη ότι g(x 1,x 2,,x n )=c δηλ. τα x 1,x 2,,x n ικανοποιούν ένα μαθηματικό περιορισμό (σχέση). Παραδείγματα: Μεγιστοποίηση παραγωγής με περιορισμούς διαθέσιμου κεφαλαίου, Μεγιστοποίηση χρησιμότητας καταναλωτή από κατανάλωση προϊόντων με συνθήκη (περιορισμό) το διαθέσιμο εισόδημα για την αγορά των προϊόντων. Για να λύσουμε προβλήματα βελτιστοποίησης υπό συνθήκη υπάρχουν 2 τρόποι: ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ: Αν η συνθήκη είναι απλή μαθηματικά ΜΕΘΟΔΟΣ LAGRANGE: σε όλες τις περιπτώσεις 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ: ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Έστω ελαχιστοποίηση της q=1+2x+5y 2 υπό την συνθήκη (περιορισμό) x=y Επειδή ο περιορισμός είναι απλός μπορούμε στη συνάρτηση να αντικαταστήσουμε το x=y οπότε θα έχουμε: q=1+2y+5y 2 έγινε συνάρτηση μιας μεταβλητής y οπότε για ελαχιστοποίηση: Κ.Π.Π.: dq/dy=0 => (1+2y+5y 2 ) =2+10y=0 => 10y=-2 => y=-1/5 ακρότατο Κ.Δ.Π.: q =(q ) =(2+10y) =10>0 => το y=-1/5 είναι ελάχιστο Επομένως από τη συνθήκη έχουμε x=y=-1/5 ελάχιστο ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ: Αν είναι εύκολο, από τη συνθήκη, να αντικαταστήσουμε στη συνάρτηση και να προκύψει συνάρτηση 1 μεταβλητής, το πρόβλημα μετατρέπεται σε βελτιστοποίηση συνάρτησης μιας μεταβλητής και είναι εύκολο να λύσουμε! 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ: ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ Η μέθοδος Lagrange για την βελτιστοποίηση υπό συνθήκη βασίζεται στην Λαγκρανζιανή συνάρτηση: Αν έχουμε για βελτιστοποίηση την συνάρτηση f(x 1,x 2,,x n ) Με τον περιορισμό g(x 1,x 2,,x n )=c 1. Γράφουμε τον περιορισμό g(x 1,x 2,,x n )=c => g(x 1,x 2,,x n )-c=0 ή c-g(x 1,x 2,,x n )=0 2. Σχηματίζουμε την Λαγκρανζιανή συνάρτηση: L(x 1,x 2,,x n,λ)= f(x 1,x 2,,x n )+λ[c-g(x 1,x 2,,x n )] Ή L(x 1,x 2,,x n,λ)= f(x 1,x 2,,x n )+λ[c-g(x 1,x 2,,x n )] 3. Βελτιστοποιούμε την Λαγκρανζιανή L με κριτήρια ΚΠΠ, ΚΔΠ Το λ ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange και εκφράζει πόσο θα μεταβληθεί η τιμή της συνάρτησης f αν ο περιορισμός μεταβληθεί κατά 1 μονάδα 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ Cobb-Douglas 1/4 Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης παραγωγής Cobb-Douglas Q=10L 1/2 K 1/2 υπό την συνθήκη (περιορισμό κόστους κεφαλαίου K και Εργασίας L) 4L+10K=100 1. Γράφουμε τον περιορισμό 4L+10K=100 => 100-4L-10K=0 2. Σχηματίζουμε την Λαγκρανζιανή συνάρτηση: L*(K,L,λ)= f(x 1,x 2,,x n )+λ[c-g(x 1,x 2,,x n )]=10L 1/2 K 1/2 +λ(100-4l-10k)=10l 1/2 K 1/2 +100λ-4Lλ-10Kλ 3. Βελτιστοποιούμε την Λαγκρανζιανή L με κριτήρια ΚΠΠ, ΚΔΠ ΚΠΠ: L = (10L1/2 K 1/2 +100λ 4Lλ 10Kλ) = 1 K K 2 10L1/2 K 1/2 1-10λ=5L 1/2 K 1/2-10λ=0 => λ= 5L1/2 10K 1/2 L = (10L1/2 K 1/2 +100λ 4Lλ 10Kλ) = 1 L L 2 10K1/2 L 1/2 1-4λ=5K 1/2 L 1/2-10λ=0 => λ= 5K1/2 4L 1/2 L = (10L1/2 K 1/2 +100λ 4Lλ 10Kλ) =100-4L-10K=0 => 100-4L-10K=0 (ο περιορισμός) λ λ Είναι σύστημα 3 εξισ. Με 3 αγνώστους (L,K,λ) αλλά μη γραμμικό (δεν λύνεται με ορίζουσες) Η λύση μπορεί να βρεθεί ΠΑΝΤΑ με: λύνω τις 2 πρώτες ως προς λ και εξισώνω για να βρω σχέση μεταξύ των 2 αγνώστων (K,L), αντικαθιστώ στην 3 η (περιορισμό) και έχω 1 άγνωστο. (συνέχεια) 31 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ Cobb-Douglas 2/4 Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης παραγωγής Cobb-Douglas Q=10L 1/2 K 1/2 υπό την συνθήκη (περιορισμό κόστους κεφαλαίου K και Εργασίας L) 4L+10K=100 ΒΗΜΑ 3. Βελτιστοποιούμε την Λαγκρανζιανή L με κριτήρια ΚΠΠ, ΚΔΠ Από ΚΠΠ: (1) λ= 5L1/2 10K 1/2 (2) λ= 5K1/2 4L 1/2 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr (3) 100-4L-10K=0 (ο περιορισμός) Η λύση μπορεί να βρεθεί ΠΑΝΤΑ με: λύνω τις 2 πρώτες ως προς λ και εξισώνω για να βρω σχέση μεταξύ των 2 αγνώστων (K,L), αντικαθιστώ στην 3 η (περιορισμό) και έχω 1 άγνωστο. 5L 1/2 Από (1) και (2) εξισώνω: 10K 1/2 = 5K1/2 4L 1/2 => 5L 1/2 4L 1/2 = 10K 1/2 5K 1/2 => 20L=50K =>L=(5/2)K (4) Αντικαθιστώ στην (3) από (4): 100-4*(5/2)Κ-10K=0 => 100-10Κ-10Κ=0 =>100=20Κ =>Κ=5 Από την (4): L= (5/2)K=(5/2)5=25/2=12.5 από την (1) λ= 5L1/2 10K 1/2 = 5 12.5 =17.68/22.36=0.79 10 5 Επομένως έχω Κ=5, L=12.5 ακρότατο της Q και λ=0.79 συντελεστής Lagrange (σκιώδης τιμή) (συνέχεια)

ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ Cobb-Douglas 3/4 Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης παραγωγής Cobb-Douglas Q=10L 1/2 K 1/2 υπό την συνθήκη (περιορισμό κόστους κεφαλαίου K και Εργασίας L) 4L+10K=100 Λαγκρανζιανή L*(K,L,λ)= 10L 1/2 K 1/2 +100λ-4Lλ-10Kλ ΒΗΜΑ 3: Από ΚΠΠ έχω Κ=5, L=12.5 ακρότατο της Q και λ=0.79 συντελεστής Lagrange (σκιώδης τιμή) ΒΗΜΑ 4: ΚΔΠ: Η Λαγκρανζιανή L*(K,L,λ)= 10L 1/2 K 1/2 +100λ-4Lλ-10Kλ έχει τις 2 μεταβλητές Κ,L της f και το λ, σχηματίζω τον περιορισμένο Εσιανό πίνακα ΗΒ: ΗΒ= 0 g 1 g 2 g 1 L 11 L 12 g 2 L 21 L 22 Υπολογίζω τις μερικές παραγώγους για τον περιορισμένο Εσιανό ΗΒ: g 1 = g L = g L = (4L+10K) =4, g L 2 = g K = g K = (4L+10K) =10, L K 11 =L LL = 2 L = L 2 L ( L )= L L (5K1/2 L 1/2 )= 1 2 5K1/2 L 3/2 = 5 L 22 =L KK = 2 L = K 2 K ( L )= K K (5L1/2 K 1/2 )= 1 2 5K 3/2 L 1/2 = 5 2 K 3/2 L 1/2 L 12 =L LK = 2 L = L K L ( L )= K L (5L1/2 K 1/2 )= 5 2 L 1/2 K 1/2 33 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Όπου g 1,g 2 οι μερικές παράγωγοι 1 ου βαθμού του περιορισμού g(k,l) L 11, L 22 οι μερικές παράγωγοι 2 ου βαθμού της Λαγκρανζιανής L L 12, L 21 οι μικτές μερικές παράγωγοι της Λαγκρανζιανής L 2 K1/2 L 3/2 (συνέχεια)

ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ Cobb-Douglas 4/4 Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης παραγωγής Cobb-Douglas Q=10L 1/2 K 1/2 υπό την συνθήκη (περιορισμό κόστους κεφαλαίου K και Εργασίας L) 4L+10K=100 Λαγκρανζιανή L*(K,L,λ)= 10L 1/2 K 1/2 +100λ-4Lλ-10Kλ ΒΗΜΑ 3: Από ΚΠΠ έχω Κ=5, L=12.5 ακρότατο της Q και λ=0.79 συντελεστής Lagrange (σκιώδης τιμή) ΒΗΜΑ 4: ΚΔΠ: σχηματίζω τον περιορισμένο Εσιανό πίνακα ΗΒ: 0 4 10 0 g 1 g 2 5 ΗΒ= g 1 L 11 L 12 = 4 2 K1/2 L 3/2 5 2 L 1/2 K 1/2 0 g 2 L 21 L 22 10 5 2 L 1/2 K 1/2 5 g 1 Η ορίζουσα ΗΒ = 40 L1/2 K1/2 K1/2 + 250 L 1/2+ 0 4 10 5 4 2 K1/2 L 3/2 5 2 L 1/2 K 1/2 =0-4 10 5 2 L 1/2 K 1/2 5 2 K 3/2 L 1/2 200 K 1/2 L 2 K 3/2 L 1/2 1/2>0 επομένως το ακρότατο μέγιστο 4 10 5 2 L 1/2 K 1/2 Στον περιορισμένο Εσιανό HB είναι πάντα το 1 ο στοιχείο 0= g επίσης τα 4 πρώτα g 1 λ =0*L L 11 - g 1 * g 1 =- g 12 πάντα 11 αρνητικό, επομένως πρέπει να εξετάσουμε την ορίζουσα ΗΒ 5 2 K 3/2 L 1/2 +10 4 10 5 2 K1/2 L 3/2 5 2 L 1/2 K 1/2 = 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

BHMATA ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ME ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ Αν έχουμε για βελτιστοποίηση την συνάρτηση f(x 1,x 2,,x n ) Με περιορισμό g(x 1,x 2,,x n )=c 1. Γράφουμε τον περιορισμό g(x 1,x 2,,x n )=c => g(x 1,x 2,,x n )-c=0 ή c-g(x 1,x 2,,x n )=0 2. Σχηματίζουμε την Λαγκρανζιανή συνάρτηση: L(x 1,x 2,,x n,λ)= f(x 1,x 2,,x n )+λ[c-g(x 1,x 2,,x n )] Ή L(x 1,x 2,,x n,λ)= f(x 1,x 2,,x n )+λ[c-g(x 1,x 2,,x n )] 3. Βελτιστοποιούμε την Λαγκρανζιανή L με κριτήρια ΚΠΠ, ΚΔΠ 3.1 ΚΠΠ: L = L = L =0 προκύπτει σύστημα εξισώσεων που μας δίνει τα ακρότατα της f και το λ x 1 x 2 λ ΗΒ 2 0 g 1 g 2 g 3.2 ΚΔΠ: Σχηματίζουμε τον περιορισμένο Εσιανό HB=ΗΒ= 1 L 11 L 12 g 2 L 21 L 22 Μέγιστο αν τα αλγεβρικά συμπληρώματα ΗΒ 2 >0, ΗΒ 3 <0, ΗΒ 4 >0 (αλλάζουν πρόσημα ξεκινώντας από θετικό) Ελάχιστο αν τα αλγεβρικά συμπληρώματα ΗΒ 2 <0, ΗΒ 3 <0, ΗΒ 4 <0 35 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Επειδή έχουμε τον περιορισμό η ορίζουσα ΗΒ 2 αντιστοιχεί στο 3Χ3 υπο-πίνακα, ΗΒ 3 στον 4Χ4

ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 1/2 Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους C(x,y)=f(x,y)=7x 2-2xy+5y 2 +64 υπό την συνθήκη x+y=77 1. Γράφουμε τον περιορισμό g(x,y)=x+y=77 => 77-x-y=0 2. Σχηματίζουμε την Λαγκρανζιανή συνάρτηση: L(x,y, λ)= f(x,y)+λ[c-g(x,y,z)]= 7x 2-2xy+5y 2 +64 +λ(77-x-y)= 7x 2-2xy+5y 2 +64+77λ-xλ-yλ 3. Βελτιστοποιούμε την Λαγκρανζιανή L με κριτήρια ΚΠΠ, ΚΔΠ ΚΠΠ: L 2xy+5y 2 x = (7x2 +64+77λ xλ yλ) =14x-2y-λ=0 => 14x-2y=λ (1) x L 2xy+5y 2 y = (7x2 +64+77λ xλ yλ) =-2x+10y-λ=0 => -2x+10y=λ (2) y L 2xy+5y 2 λ = (7x2 +64+77λ xλ yλ) =77-x-y=0 => (ο περιορισμός) λ Από την (1) και (2) => 14x-2y=-2x+10y => 16x=12y => x=(12/16)y=(3/4)y (3) Αντικαθιστώ την (3) στον περιορισμό: (3/4)y+y=77 => 3y+4y=77*4 => 7y=77*4 =>y=(77*4)/7=11*4=44 Έχω y=44 και x+y=77 => x=77-44=33 επομένως για x=33 και y=44 έχω ακρότατο 36 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr (συνέχεια)

ΛΑΓΚΡΑΤΖΙΑΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 2/2 Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους C(x,y)=f(x,y)=7x 2-2xy+5y 2 +64 υπό την συνθήκη 3.1 xg(x,y)=x+y=77 x=33 και y=44 έχω ακρότατο με ΚΔΠ ελέγχω αν είναι μέγιστο ή ελάχιστο 3.2 ΚΔΠ: Σχηματίζουμε τον περιορισμένο Εσιανό HB= 37 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 0 g 1 g 2 g 1 L 11 L 12 = g 2 L 21 L 22 0 g x g y g x L xx L xy g y L yx L yy g 1 =g x = g x = (x+z) =1, g x 2=g y =1, L 11 =L xx = 2 L = (14x-2y-λ)=14, L x 2 x 22= 2 L = (-2x+10y-λ)=10 y 2 y L 12 =L xy = 2 L x y = x (-2x+10y-λ)=-2=L 21=L yx HB= 0 1 1 1 14 2 1 2 10 έχουμε ελάχιστο Η ορίζουσα ΗΒ = 0 1 1 1 14 2 1 2 10 = 0 1 1 0 16 12 1 2 10 =1 1 1 16 12 =-12-16=-28 <0 επομένως Στον περιορισμένο Εσιανό HB είναι πάντα το 1 ο στοιχείο 0= g επίσης τα 4 λ πρώτα 0 1 =0*14-1*1=-1 πάντα αρνητικό (λόγω συμμετρίας), επομένως 1 14 πρέπει να εξετάσουμε την ορίζουσα ΗΒ

ΛΥΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 2 ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Έστω βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους C(x,y)=f(x,y)=7x 2-2xy+5y 2 +64 υπό την συνθήκη x+y=77 Επειδή ο περιορισμός x+z=77 είναι απλός μπορώ να λύσω με αντικατάσταση x+y=77 => y=77-x Αντικαθιστώ στη συνάρτηση: C(x,y)=f(x,y)=7x 2-2xy+5y 2 +64= 7x 2-2x(77-x)+5(77-x) 2 +64 => C(x)=7x 2-154x+2x 2 +5(77 2 +x 2-154x)+64= 7x 2-154x+2x 2 +29645+5x 2-770x+64=14x 2-924x+29709 Είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής x οπότε: ΚΠΠ: dc(x) dx =d(14x2 924x+29709) =28x-924=0 => x=924/28=33 έχουμε ακρότατο, επειδή dx x+y=77 => y=44 ΚΔΠ: d2 C(x) dx 2 = d(28x 924) =28 >0 επομένως το ακρότατο είναι min (ελάχιστο) dx Η λύση με αντικατάσταση ήταν τελικά γρηγορότερη! Εξαρτάται όμως από τη συνθήκη (περιορισμό) 38 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (1) 7.1 (Β 8.3) Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης z=-x 2 +xy-y 2 +2x+y ΕΠΙΛΥΣΗ: ΚΠΠ και ΚΔΠ 39 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (2) 7.2 (Β 8.4) Οι πωλήσεις μιας εταιρίας παιχνιδιών/έτος z εξαρτώνται από την δαπάνη για τηλεοπτική x και ραδιοφωνική διαφήμιση y (σε χιλιάδες): z=50000x+40000y-10x 2-20y 2-10xy Τι ποσό πρέπει να δαπανηθεί σε τηλεοπτική και ραδιοφωνική διαφήμιση για να έχουμε μέγιστο πωλήσεων. ΕΠΙΛΥΣΗ: ΚΠΠ και ΚΔΠ 40 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (3) 7.3 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: s=200x+100y-10x 2-20y 2 +20xy ΕΠΙΛΥΣΗ: ΚΠΠ και ΚΔΠ =============================================== 7.4 Να μεγιστοποιηθεί η συνάρτηση: s=200x+100y-10x 2-20y 2 +20xy Με την συνθήκη x+y=20 ΕΠΙΛΥΣΗ: Λαγκρανζιανή 41 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (4) 7.5 (Β 8.6) Δίνεται η συνάρτηση χρησιμότητας καταναλωτή από την κατανάλωση προϊόντων x,y: U(x,y)=4x 1/2 y 1/2 Αν το εισόδημα του καταναλωτή είναι 100 και η τιμές των αγαθών είναι p x =2 και p y =4 να μεγιστοποιήσετε την χρησιμότητα. ΕΠΙΛΥΣΗ: Λαγκρανζιανή (ο περιορισμός είναι Σ(τιμήΧποσότητα)=εισόδημα) 42 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (5) 7.6 (Β 8.7) Να βρεθεί το ακρότατο και το είδος του για την συνάρτηση: 2x 2-6y 2 με τον περιορισμό x+2y=6 ΕΠΙΛΥΣΗ: Λαγκρανζιανή 43 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ (6) 7.7 Να βρεθεί το ακρότατο και το είδος του για την συνάρτηση: 5x 2 +6y 2 -xy με τον περιορισμό x+2y=24 ΕΠΙΛΥΣΗ: Λαγκρανζιανή ============================================================== 7.8 Έστω συνάρτηση κερδών: Π(x,y)=x 2-6y+3xy με τον περιορισμό x+y=42 Να βρεθεί το μέγιστο ΕΠΙΛΥΣΗ: Λαγκρανζιανή ή αντικατάσταση 44 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr