Εργασία ΑΝ ΙΙΙ 7_8 () t =,sin,cos t t t, t [,9], Για την αραμετρική καμύλη: ( ) Α Να βρεθεί η συνάρτηση μήκους τόξου και μια ισοδύναμη φυσική αραμετρική καμύλη q() s = (()) t s Β Να βρεθεί το σημείο Px (, y, z) της καμύλης ου θα βρεθούμε όταν θα έχουμε διανύσει αόσταση Γ Να υολογισθούν στο σημείο Q,, της καμύλης τα διανύσματα { T, N, B } καθώς και η καμυλότητα και η στρέψη της καμύλης, με δύο τρόους: α) υολογίζοντάς τα ρώτα για την q β) κατευθείαν αό τύους για την 4 Έστω = (), s s I μια διαφορίσιμη C φυσική αραμετρική καμύλη με καμυλότητα ks (), σ και τρίεδρο Fenet { Τ, Ν,B} στρέψη () s a ( ) = k σ (μικτό γινόμενο) σ k kσ = σ ( k + σ ) b ( BBB ) Να δειχθεί ότι: c Αν k = σταθ, σ = σταθ τότε Ν + ( k + σ ) Ν = Δίνεται η αραμετρική καμύλη: ( ) () t = t t, t, t+ t, t [,9] Να υολογισθεί η ειτάχυνση καθώς και οι συνιστώσες της στο τρίεδρο Fenet, σύμφωνα με τον τύο (5) σελ 9 του βιβλίου 4 Αν (), t t [ a, b] είναι μια αραμετρική καμύλη, να αοδείξετε ότι ο μετασχηματισμός τ = f () t = a+ b t είναι μια ειτρετή αλλαγή αραμέτρου ου δίνει μια ισοδύναμη αραμετρική καμύλη q( τ ) με αντίθετη φορά διαγραφής Να γίνει εφαρμογή στη καμύλη () t = (cos,sin t t) t [, ] κάνοντας τα αντίστοιχα σχήματα 5 Δίνονται οι συναρτήσεις: f ( x, y, z) = x + y και F ( x, yz, ) = ( xzy,, + x) Να βρεθούν οι συναρτήσεις ff, gadf, divf, gad( divf),ot F, div( otf) και να εαληθευθούν οι τύοι : (α) div( ff ) = gadf F + fdivf, (β) ot( ff ) = fotf + gadf F 6 Να σχεδιασθούν οι αρακάτω καμύλες σχεδιάζοντας και τις ειφάνειες ου τις ορίζουν και να βρεθεί μια αραμετρική τους αράσταση: a z = x+, ( x ) + y =, b z = 4 ( x + y ), x+ z = 4, c x + y =, z =, 7 Να υολογισθεί το εικαμύλιο ολοκλήρωμα της f ( xy, ) = y xστη καμύλη ( tt, ), t [,] () t = ( t +,5 4 t), t (,] 8 Δίνεται το διαν εδίο F ( x, y) = ( y,) και η καμύλη ( t) = (cos t,sin t), t [, ] ) Να γίνει γραφική αράσταση της () t και μερικών διανυσμάτων του F( x, y) σε αυτήν και να συμεράνετε χωρίς υολογισμό το ρόσημο του αριθμού I = Fd ) Να υολογισθεί το εικαμύλιο ολοκλήρωμα
I = Fd ) Να βρείτε την q( τ ) J= F dαοδείξετε ότι ισχύει: J = I q 9 Δίνεται το διανυσματικό εδίο ( x, yz, ) = ( x + y,, z) όως ορίζεται στην άσκηση 4 και αφού υολογίσετε το F και η κατά τμήματα λεία καμύλη ΑΒΓΔ εάνω στον κύλινδρο x + y = με A(,,), B(,, ), Γ (,, ), Δ(,, ), Ε(,,) και ΑΒ είναι τμήμα έλικας () t = ( συν t, ημt,) t του κυλίνδρου, ΒΓΔ είναι ημικύκλιο στο είεδο z = και ΓΔ ευθύγραμμο τμήμα Να υολογισθεί το εικαμύλιο ολοκλήρωμα I = F d και να σχεδιασθεί η καμύλη Αν T () t είναι το μοναδιαίο εφατόμενο διάνυσμα μιας καμύλης (), t t [ a, b] μήκους L, να υολογισθεί το εικαμύλιο ολοκλήρωμα T d Θεωρούμε μια συνεχή και μη αρνητική συνάρτηση f :[ ab, ], a< b Το γράφημα της f, G = {( x, y) : y= f( x)} εριστρέφεται ερί τον άξονα f ΑΒΓΔ x x, αράγοντας ένα στερεό εκ εριστροφής Βρείτε μια εξίσωση ου εριγράφει το στερεό στο χώρο, και υολογίστε τον όγκο του Έστω f συνεχής στο [α, b] και g συνεχής στο [c, d] Αν R = [ ab, ] [ cd, ], δείξτε ότι b d f ( xgydxdy ) ( ) = f( xdx ) gydy ( ) R a c Χρησιμοοιώντας διλά ολοκληρώματα, ροσδιορίστε το εμβαδόν μιας έλλειψης της οοίας οι ημιάξονες έχουν μήκος α και b αντίστοιχα 4 Έστω D το χωρίο ανάμεσα στον άξονα των y και την αραβολή D x ydxdy 5 Βρείτε τον όγκο του χωρίου ου ερικλείεται αό την ειφάνεια και z= x 4y = + Υολογίστε το z = x + y και αό τα είεδα z= 6 Έστω D ένα χωρίο το οοίο ορίζεται σαν το σύνολο των σημείων ( xy, ) με φ ( x) y φ( x) και a x b, όου φ είναι μια μη αρνητική συνάρτηση, τέτοια ώστε f ( xy, ) = f( x, y) για κάθε ( x, y) D Δείξτε ότι f( x, y) dxdy = D 7 Α Για R >, ορίζουμε το δίσκο ακτίνας R, D = {( x, y) : x + y R } Υολογίστε το ολοκλήρωμα DR ( x + y ) R I R = e dxdy, και κατόιν το όριο (γενικευμένο ολοκλήρωμα) I = lim I R Β Για s>, θεωρούμε το τετράγωνο R s = [-s, s]x[-s, s] Δείξτε ότι I ( ( ) s x y ) x s = e + dxdy = e dx R s x Γ Δοθέντος ότι I = lim I s, υολογίστε το J = e dx (Είναι γνωστό ότι δεν υάρχει μέθοδος s υολογισμού μιας αντιαραγώγου της συνάρτησης f ( x) = e x ) s R
Σύντομες αάντησες της Εργασίας (Αν ΙΙΙ 7_8) Α Συνάρτηση μήκους τόξου: () t = (,sin,cos t t ) t t t () () t, άρα s t = t dt = + 6cos t + 6sin tdt = 4dt = t Εομένως t( s) s / =, οότε η νέα φυσική αραμετρική αράσταση είναι: q ( s) = s,sin s,cos s Β s() t = = t t = /6 ( /6) =,, Βρίσκεται και αό την q dt dq Γ Αό την q : T = =, cos, sin ds, ds N = =,, d, T ds B = T N =,, τους τύους () της σελ 88 του βιβλίου Τέλος καμ/τητα k = και στρέψη = T, = kn, = k N+ k kt+ σ B = k = σ k a) ( ) ( ) Τα ίδια διανύσματα ροκύτουν και αό την με βάση σ k k k b) Όμοια ( ) = k = ( Λάθος στην εκφώνηση) BBB σ σ σ σ σk σ k) σ k+ σk σk σ + σ σσ c) = k + σ = k k( k ) + σ + σ( σn) N T B N T N B k σ N σ N = N σ = (είναι το ορθό dv v Θέτοντας R=/ k έχουμε a = T + N (βιβλίο σελ 89, αράδειγμα 45, τύος (5)) dt R ds v t t t dt v k =, = 6 Άρα η ειτάχυνση a() () 6 (,, ) + t R t = t = t t έχει συνιστώσες dv 6t dt = () = = () = ( + ), () ( ) ( t t = 8 t, t,+ t ), ( t) ( t) = 8 ( + t ) ( ) (κατά το T ) και 6 (κατά το N ) ( t) T = = + + () ( ) ( t, t, t ) t t 4 Η αλλαγή αραμέτρου f έχει αράγωγο f ( t), N = ( ) (, t t, ) + t = < Όμως αό την () t = q( f()) t έεται η () t = q ( f()) t f () t = q ( τ ) και άρα οι δύο αραστάσεις δίνουν αντίθετο ροσανατολισμό στο κοινό τους ίχνος Εφαρμογή: τ f () t = = t, άρα t = τ,
q ( τ ) = ( cos( τ),sin( τ) ) = ( cos τ,sinτ), τ [,] την αντίθετη φορά αό ότι η (t) ου όντως διαγράφει τον κύκλο κατά ff 4, gadf = ( 4,,) x, divf = z +, gad ( div F ) = (,,), otf = (, x,) και div( ot F ) =, div( ff ) = 6x z + yz + x + y Αντικαθιστούμε στις αοδεικτέες 6 a x = + cos t, y = sin t, z = + cost (Σχ ) b Ααλείφοντας το z αό τις δύο εξισώσεις η καμύλη ροκύτει ως τομή του κυλίνδρου ( x ) + y = και του ειέδου x+ z = 4 Αό αυτές τις δύο ροκύτουν οι x = + cos t, y = sin t, z = cost (Σχ ) 5 = ( xz+ xyz, xy+ y,6x + x + y+ xy) c x= cos t, y = sin t, z = (Σχ ) Σχ Σχ Σχ 7 Υολογίζουμε χωριστά τα δύο ολοκληρώματα στα δύο τμήματα () t = (,), t t t [,] και () t = ( t+,5 4), t t (,] και αθροίζουμε: I I I = + όου 5 I = () t f ( ()) t dt = 5( t ) t dt = και I = ( t) f( ( t)) dt = 7(4 5 t) dt = 7 8 Αό το σχήμα φαίνεται ότι το εφατόμενο διάνυσμα της καμύλης σχηματίζει αμβλεία γωνία με το διανυσματικό εδίο και άρα F < σε κάθε σημείο οότε Ι< F t t = (sin t,) sin t,cost = sin t < άρα ( ()) () ( ) / I = sin tdt = = 4 q t = t τ = sin τ,cos τ, τ, /, άρα () ( ) ( ) ( ) [ ] J = Fd = ( cos τ,)( cos τ, sinτ) dt = I = J 4, ΒΓΔ : = t = cos t,sin t,, t, ΔΕ : γ = () t =,, t, t,, 9 AB : γ = () t = ( cos t,sin t, t), t [, /] γ ()
Τότε I = I+ I + I = = 8 8 ( t ) () t t b b I = T d = () t dt = ( x () t ) + ( x () t ) dt = () t dt = L, δηλαδή είναι το t a a μήκος της καμύλης