Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει: Ν γωρίζει τις συρτήσεις f( )=, f( )= log, τις βσικές τους ιδιότητες κι μπορεί τις σχεδιάζει. Ν μπορεί επιλύει εκθετικές εξισώσεις, ισώσεις κι εκθετικά συστήμτ. Ν επιλύει προβλήμτ εκθετικής μετβολής. Ν γωρίζει τη ισοδυμί: = θ = οg θ κι ειδικότερ: κι 0 = θ = ogθ = θ = nθ Ν γωρίζει τις ιδιότητες τω λογρίθμω κι τις ποδείξεις υτώ. Ν ποδεικύει εκθετικές κι λογριθμικές τυτότητες.
94. Εκθετική - Λογριθμική Τύποι - Βσικές έοιες ΕΚΘΕΤΙΚΗ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ: Τύποι - Βσικές έοιες Ιδιότητες τω δυάμεω Έστω,β > 0 κι,, R, τότε: = + ii. i. = iii. ( ) = iv.( β ) = β v. Επίσης ισχύου: 0 * =, R, Ν, R* μ μ * =, μ Z, Ν = Α > 0 ορίζουμε: 0 = 0. Εκθετική συάρτηση Ορισμός Οομάζουμε εκθετική συάρτηση με βάση τη συάρτηση : f:r R με f =, όπου 0 <. ( ) Πρτήρηση: Α Ιδιότητες Πεδίο ορισμού: A = R Σύολο τιμώ: Το διάστημ ( 0, + ) =, τότε έχουμε τη στθερή συάρτηση ( ) Μοοτοί Ι. Α > είι γησίως ύξουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε <. Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύμπτωτη στο το ρητικό ημιάξο Ο ΙΙ. Α 0 < < είι γησίως φθίουσ στο R οπότε γι κάθε, R ισχύει η συεπγωγή: Α < τότε >. Στη περίπτωση υτή η γρφική πράστση της f έχει σύμπτωτη στο + το θετικό ημιάξο Ο. β = β f =
Τύποι - Βσικές έοιες Εκθετική - Λογριθμική 95. Γι τη συάρτηση ( ) f = με 0 < κι R ισχύει = = γι κάθε, R. Επίσης η γρφική της πράστση τέμει το άξο y y στο σημείο (0,) εώ δε έχει κοιά σημεί με το άξο φού > 0γι κάθε R. Πρτήρηση Γι τις συρτήσεις f ( ) = κι g( ) πρτηρούμε ότι γι κάθε R ισχύει: = g ( ) = = = = f( ) Δηλδή οι γρφικές τους πρστάσεις είι συμμετρικές ως προς το άξο y y όπως φίετι στο σχήμ με >. O ριθμός Κθώς το υξάει περιόριστ, οι όροι της κολουθίς = + προσεγγίζου έ άρρητο ριθμό που το συμβολίζουμε με κι είι,78. Συμβολικά γράφουμε: = im +. Γι τη συάρτηση με τύπο f( ) = ισχύου όσ φέρμε πρπάω γι τη συάρτηση f ( ) =, > (φού = =,78... > ) Ο όμος της εκθετικής μετβολής Μι εκθετική συάρτηση με βάση το ριθμό είι η Q ct () t Q 0 = που είι γωστή κι ως όμος της εκθετικής μετβολής κι χρησιμοποιείτι γι τη μελέτη μεγεθώ τ οποί μετβάλλοτι συρτήσει του χρόου στη Φυσική, στη Βιολογί κλπ. Το Q 0 είι θετικός ριθμός κι ποτελεί τη τιμή της συάρτησης Q γι t = 0. Α c > 0 η συάρτηση Q είι γησίως ύξουσ κι δηλώει το όμο της εκθετικής ύξησης. Α c< 0 η συάρτηση Q είι γησίως φθίουσ κι δηλώει το όμο της εκθετικής πόσβεσης.
96. Εκθετική - Λογριθμική Τύποι - Βσικές έοιες Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση = θ, > 0, θ > 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f ( ) = είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική υτή λύση τη συμβολίζουμε με οgθ κι τη οομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση το. Είι δηλδή: = θ = og θ, > 0, θ > 0 Ισοδύμ υτό διτυπώετι ως εξής : O ogθ είι ο εκθέτης στο οποίο πρέπει υψώσουμε το γι βρούμε το θ. Από το πιο πάω ορισμό του λογρίθμου προκύπτει μέσως ότι > 0 τότε γι κάθε R κι γι κάθε θ > 0 ισχύει: og = κι Αφού είι = τότε og = Αφού είι 0 = τότε og = 0 Ιδιότητες λογρίθμω Α > 0 τότε γι οποιουσδήποτε θ,θ,θ> 0 κι κ R ισχύου : θ. og( θ θ) = ogθ+ ogθ. og = og θ og θ θ. og θκ = κ og θ Πρτήρηση og θ = θ. Επειδή γι κάθε θ > 0 ισχύει θ θ = έχουμε : = = og θ og θ og θ. Πρτήρηση Η ιδιότητ ισχύει γεικά γι θετικούς ριθμούς θ,θ,...,θ. og θ θ θ = og θ + og θ + + og θ Δηλδή: ( ) Πρτήρηση Από τη ιδιότητ προκύπτει ότι: og ogθ θ =.
Τύποι - Βσικές έοιες Εκθετική - Λογριθμική 97. Δεκδικοί λογάριθμοι Οι λογάριθμοι με βάση το 0 οομάζοτι δεκδικοί ή κοιοί λογάριθμοι. Είι δηλδή 0 = θ = ogθ, θ > 0 Γι υτούς τους λογρίθμους ισχύου τ εξής :. og0 = κι 0 ogθ = θ. og0 = κι og = 0 θ og θ θ = ogθ+ ogθ 4. og = ogθ ogθ θ. ( ) 5. ogθκ = κ ogθ 6. og θ = ogθ = ogθ όπου θ,θ,θ> 0 κι κ R. Φυσικοί λογάριθμοι Στ μθημτικά είι πολύ χρήσιμοι κι οι λογάριθμοι με βάση το ριθμό. Οι λογάριθμοι υτοί οομάζοτι φυσικοί ή επέρειοι λογάριθμοι. Ο επέριος λογάριθμος εός θετικού ριθμού θ, συμβολίζετι με lnθ κι όχι με ogθ. Είι δηλδή: = θ = lnθ, θ > 0 Γι υτούς τους λογρίθμους ισχύου τ εξής:. n nθ = κι = θ. n = κι n = 0 θ n θ θ = nθ+ nθ 4. n = nθ nθ θ. ( ) κ 5. nθ = κ nθ 6. n θ = nθ = nθ όπου θ,θ,θ> 0κι κ R Αλλγή Βάσης og Α > 0 θ κι β > 0 τότε γι κάθε θ > 0 ισχύει: ogβθ = og β Πρτήρηση 4 nθ Είι ogθ = n0 κι ogθ nθ = og
98. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο Αποδείξεις ιδιοτήτω λογρίθμω ΘΕΩΡΙΑ Α > 0 κι τότε γι οποιοδήποτε θ,θ,θ > 0 κι κ R ισχύει: log( θθ) = logθ + logθ Απόδειξη Έστω logθ = κι logθ =. Από το ορισμό του λογρίθμου έχουμε: = θ κι = θ + Οπότε: = θ θ ή = θ θ Από ορισμό έχουμε: log (θθ ) = + = logθ + logθ ΘΕΩΡΙΑ θ log log θ log θ θ = Απόδειξη Όμοι με τη (). Έστω logθ = κι logθ = έχουμε πό ορισμό: Οπότε διιρώτς: = θ κι = θ θ θ = ή θ = θ Οπότε κι πάλι πό ορισμό: θ log log θ log θ θ = =
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 99. ΘΕΩΡΙΑ log θ κ = κlog θ Απόδειξη Έστω log θ= κι πό ορισμό έχουμε = θ υψώουμε κι τ δύο μέλη της ισότητς εις τη κ οπότε έχουμε : κι πό ορισμό ισχύει : κ = θ κ κ κ = θ ή κ logθ = κ= κlog θ Πρτήρηση: Επειδή γι θ> 0 ισχύει θ = θ έχουμε: log θ = log θ = log θ
00. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 00. 4. Α Ομάδ:,, 4, 5, 6, 7 Β Ομάδ:,,, 4, 5, 7, 8 4. Α Ομάδ:,,, 4, 5, 6 Β Ομάδ:,,, 4, 5 4. Α Ομάδ: 5, 6, 7 Β Ομάδ:, 5, 6, 7, 8, 0 Β. Από τ Βιβλιομθήμτ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημ 9 ο : Προτειόμεες σκήσεις:,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,, 6, 7, 8, 9 Βιβλιομάθημ 0 ο : Προτειόμεες σκήσεις:,,, 7, 8, 9,, 7, 8, 9,, 5, Βιβλιομάθημ ο : Προτειόμεες σκήσεις: 5, 6, 8, 0,, 6, 9,,, 5, 7
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 0.. Δίετι η συάρτηση: + 8 f() =, με. Α η f είι γησίως ύξουσ βρείτε το. β. Γι τη μεγλύτερη κέρι τιμή του κάετε τη γρφική πράστση της συάρτησης: g() = f ( ) γ. Βρείτε τ σημεί στ οποί η γρφική πράστση C g της g τέμει τους άξοες. Λύση:. Η εκθετική συάρτηση είι γησίως ύξουσ ότ η βάση της είι μεγλύτερη πο το δηλδή : + 8 + 8 > ( ) > ( ) ( ) ( + 8) > ( ) ( ) ( + 8) ( ) > 0 ( ) ( + 8 + ) > 0 ( ) ( + 5) > 0 Το πρόσημο του γιομέου ( ) ( + 5) φίετι στο επόμεο πίκ: Άρ β. Αφού 5,. 5 < <, η μεγλύτερη κέρι τιμή του είι το. Γι = είι f () 0 κι g() 0, με = = R, άρ η γρφική πράστση της g είι η γρφική πράστση της εκθετικής y= 0 που όμως είι μεττοπισμέη. Κτκόρυφ προς τ κάτω κτά μοάδ. Οριζότι προς τ δεξιά κτά μοάδες.
0. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο γ. Γι βρούμε τ σημεί τομής της C g με το, λύουμε τη εξίσωση g() = 0 : g() 0 0 0 0 0 = = = = = Άρ η C g τέμει το στο Α(, 0) Γι βρούμε το σημείο τομής της C g με το y y, βρίσκουμε το: Άρ η C g τέμει το άξο y y στο 99 g(0) = 0 = = 00 00 99 Β 0, 00.. Δίετι η συάρτηση: + ( ) f() = 4 + με. Α το σημείο Μ(,) ήκει στη γρφική πράστση της f, βρείτε το. β. Λύστε τη εξίσωση: f( ) + f( + ) = 8 γ. Α οι ριθμοί f (), f ( ημ ), f ( συ ) είι διδοχικοί όροι Γ.Π. βρείτε το. Λύση. Το σημείο Μ, ( ) ήκει στη C f άρ: Θέτουμε + f() 4 0 = + = + = y= κι η εξίσωση γίετι: ± 6 ± 4 y + y = 0 y= y= y= ή y= (που πορρίπτετι φού y>0) 0 y= = = = 0. Οπότε ( 0 ) f () = 4 + =, με.
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 0. + β. Λύουμε τη εξίσωση: + = 8 + 8= 0 Θέτουμε: = y> 0 κι η εξίσωση γίετι: ± 05 ± 55 + = + = = = 8 8 y y 8 0 9y y 84 0 y y y= ή 8 y = 9 y= = = (που πορρίπτετι) γ. Έχουμε: f() = = Οι ριθμοί ( ) ( ) ημ f ημ = f ( συ ) = συ ημ συ,, είι διδοχικοί όροι Γ.Π. άρ: ημ συ ημ + συ = = ημ = + συ συ = + συ συ = + συ συ + συ = 0 συ ( συ + ) = 0 συ = 0 ή συ = π = κπ ± ή = κπ ± π π = κπ ± ή 4 π = κπ ±, κ Ζ. Δίετι Γ.Π. στη οποί ισχύου 6 = 8 κι S5 = 9.. Βρείτε τη πρόοδο. 4 β. Λύστε τη εξίσωση: λ λ + = 0 γ. Α ρ η ρίζ της εξίσωσης δείξτε ότι: 4 i. συρ = 8συ 8συ + 4 ii. Λύστε τη εξίσωση: 6συ 6συ =
04. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο Λύση: 5. Ισχύει: = 8 λ = 8 λ λ = 8 λ = 8 = 6 5 ( ) λ Ακόμ: S5 = 9 = 9 = 9 = λ β. Λύουμε τη εξίσωση: + = + = 4 7 8 8 4 0 0 + = 0 4 7 8 8 Θέτουμε: y= > 0 κι η εξίσωση γίετι: y + y= 0 = y y = y 4 7 8 8 4 8 7 8 8 8 4 8 y= = = 4 6 γ.i. συρ = συ4 = συ = ( συ ) = ( ) 4 4συ 4συ 4 8συ 8συ 4 = + = + = = 8συ 8συ + ii. Λύουμε τη εξίσωση: 4 4 6συ 6συ 8συ 8συ 0 συ4 0 = + = = π κπ ± π π συ4 = συ 4 = κπ ± =, κ Z 4 4. Δίετι η συάρτηση: f() = ln(+ ) + β i. Α η γρφική πράστση της f τέμει το στο Α(,0) κι το yy στο B 0,ln βρείτε τ,β. ii. Βρείτε το πεδίο ορισμού της f. iii. Σχεδιάστε τη γρφική πράστση της f.
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 05. f() iv. Βρείτε τ κοιά σημεί της ευθείς y = με τη γρφική πράστση + + του πολυωύμου: q() = Λύση: i. Το σημείο B 0, ln C f f(0) = ln β ln + β = ln ln ln ln + = ( β ) ln = ln β = = β + Το σημείο Α (,0) Cf f( ) = 0 ln( + ) + β= 0 ln( + ) = β β β ln( + ) = ln( ) + = + = + = β+ β β β β Θέτουμε: y= κι η εξίσωση γίετι: + = ( ) y+ = y y β ( ) y= y= = β= Οπότε = = κι f() = ln(+ ) 0 ii. Λύουμε τη ίσωση + > 0 >, άρ το πεδίο ορισμού της f είι το (, + ). iii. Η γρφική πράστση της f είι η γρφική πράστση της y= ln η οποί όμως είι μεττοπισμέη: Κτκόρυφ προς τ κάτω κτά μοάδ. Οριζότι προς τ ριστερά κτά μοάδες.
06. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο iv. Ισχύει: + ln + + + f() ln( ) ln( ) ln y= = = = = Οπότε λύουμε τη εξίσωση: + + + = + = 0 Γι το G() = + εφρμόζουμε το σχήμ Hornr στη θέση κι έχουμε: Άρ ( ) ( + + ) = 0 =. 5.. Δίοτι,y> 0 κι ώστε ln ln y =. Βρείτε συρτήσει του τις πρστάσεις: ln, ln y y ( ) ( ) ln ln y, ln( y) ( ) + ln( y ) ln β.i. Α ισχύει: lny+ ημ = συ, βρείτε το y. 0 8συ ii. Α οι ριθμοί,y, είι διδοχικοί όροι Γ.Π., βρείτε το. Λύση:. Ισχύου: i i i i ln = ln = ( ln ln y) = y y ln = ln = ln = ( ln ln y) = y y y ln( ) ln ( y) = ln ln y = ( ln ln y) = = ln( y) ln + ln y ln + ln y = = ( ) + ln( y ) ln+ lny ( ln+ lny) ln
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 07. β.i. Ισχύει: lny+ ημ = συ lny= συ ημ lny= συ συ συ lny= ln( ) y= 0 8συ ii. Οι ριθμοί,y,,είι διδοχικοί όροι Α.Π. άρ συ ( ) 0 8συ συ 0+ 8συ = = συ = 8συ + 0 συ 4συ 5 = 0 συ 4συ 5 = 0 συ 4συ 6 = 0 συ συ = 0 Θέτουμε: y = συ κι η εξίσωση γίετι: ( ) ± 6 ± 4 y y = 0 y= y= y= ή y= Απορρίπτετι συ = = συπ = κπ ± π κ Z 6.i. Δίετι η συάρτηση: f() = με β + ώστε f(0) = κι f() =. Βρείτε τ,β. ii. Δείξτε ότι: ( ln + ) f () = με iii. Λύστε τη εξίσωση: [ ] ( ) ln f() = ln Λύση: i. Ισχύου: i i f() 0 = = () f = = = β+ β+ β+ = β= ii. Γι ισχύει: ( ) ( ) f = f = = ( ln ) + + iii. Λύουμε τη εξίσωση: ( ln + )
08. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο ( ln + ) [ ] ( ) ( ) ( ln f() = ln με > 0 ln = ln ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ln + = ln ln + = ln = + = 0 Γι το q ( ) = εφρμόζουμε το σχήμ Hornr στη θέση [ το το βρήκμε γιτι οι συτελεστές του q ( ) έχου άθροισμ 0 ] κι έχουμε: Δηλδή ( ) ( ) ( q = + + ). Άρ η εξίσωση γίετι: ( ) ( + + ) = 0 = ή + + = 0 που είι δύτη ln = ln i. Βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii. Βρείτε τ κοιά σημεί της γρφικής πράστσης της f με τη ευθεί 7. Δίετι η συάρτηση: f ( ) y = iii. Βρείτε τ διστήμτ του στ οποί η γρφική πράστση της f βρίσκετι πάω πο το άξο. iv. Α Γ.Π. με ( ) ( ) = f, λ = f, βρείτε ποιος όρος της είι το: Λύση: i. Το πεδίο ορισμού της f θ προκύψει πο τη λύση του συστήμτος: > 0 > 0 > 0 0< ln 0 ln Το πεδίο ορισμού της f είι το: ( 0,) (, + ) ii. Γι βρούμε τ κοιά σημεί της 8 8 C f με τη ευθεί y=, λύουμε τη εξίσωση: ( ) ln f = = ln = ln ln = ln = = ln = ln
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 09. Άρ A(,) το κοιό σημείο της C f κι της ευθείς y= iii. Γι βρούμε τ διστήμτ του στ οποί η C f βρίσκετι πάω πο το άξο λύουμε τη ίσωση: ( ) ln f > 0 > 0 ln ( ln) > 0 ln Θέτουμε: y= ln κι η ίσωση γίετι: y ( y) > 0 Λύουμε τη εξίσωση: y ( y) = 0 y= 0 ή y= Tο πρόσημο του y ( y) φίετι στο επόμεο πίκ: Άρ: 0 y < < 0< ln< ln< ln< ln (, ) iv. Ισχύου: ( ) ln = f = = = ln ( ) ln λ= f = = = ln Έστω 8 = 8 λ 8 8 = 4 8 8 λ λ 4 5 = = = = = 8 6 logβ log 8.i. Α,β > 0, δείξτε ότι: = β log log ii. Δίετι η συάρτηση: f ( ) = 9 8 9, με > 0 Λύση: Λύστε τη εξίσωση: f( ) = 0 i. logβ log logβ log β log = log β logβ log = log logβ Αληθές ii. Γι > 0 ισχύει: log log log log f( ) = 9 8 9 f( ) = 8 9 = ( ) ( ) [διότι log log = λόγω του (i)]
0. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο Οπότε τώρ λύουμε τη εξίσωση: log log f( ) = 0 8 9= 0 Θέτουμε: log y= > 0 κι η εξίσωση γίετι: ( ) 8 ± 00 8 ± 0 y 8y 9= 0 y= y= y= 9 ή y= πορρίπτετι log = 9 = log = = log( 0 ) = 00 9. Δίετι Γ.Π. με = ln κι λ = lnβ, με,β > 0 εώ ισχύου: 5 = 6 κι S6 = 9S. Βρείτε τ, β. β.i. Βρείτε το πεδίο ορισμού της συάρτησης: β f( ) = ln + 5 ii. Λύστε τη εξίσωση: f( ) = ln iii. Λύστε τη ίσωση: f( ) > 0 Λύση: 4. Ισχύει: 5 = 6 λ = 6 Ακόμ ισχύει: ( 6 ) ( ) λ λ ( ) ( ) ( S ) 6 = 9S = 9 λ λ + = 9 λ λ λ λ + = 9 λ = 8 λ= 8 = 6 6 Οπότε = = = 4 4. Άρ =. λ Όμως = ln κι λ= lnβ = ln = lnβ = ln = lnβ β= β. Άρ έχουμε: f ( ) ln = + 5, οπότε:
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική. i. Το πεδίο ορισμού της f θ προκύψει πο τη λύση της ίσωσης: 0 0 που είι κι το πεδίο ορισμού της f ii. f( ) = ln > > 0 ( 0, ) > +, ( ) ln ln 4 4 0 4 0 = = = + = + 5 + 5 Θέτουμε = y> 0 κι η εξίσωση γίετι: ( ) 4 ± 00 4 ± 0 y 4y = 0 y= y= y= 7 ή y=, που πορρίπτετι ln7 = 7 = = ln7 ( ) f > 0 ln ln 5 6 0 > > > + > + 5 + 5 Θέτουμε: = y> 0 κι η ίσωση γίετι: y y 6> 0 Λύουμε τη εξίσωση: ( ) ± 5 ± 5 y y 6= 0 y= y= y= ή y= Το πρόσημο του y y 6 φίετι στο διπλό πίκ: ln Είι: y> > = > ln 0. Δίετι το πολυώυμο: 0 ( ) ( ) ( ) είι πράγοτς του ( ) q = ln 6 + ln 6 με > 0. Α το q βρείτε το. β. Γι τη τιμή που βρήκτε γι το λύστε τις εξισώσεις : q( ) = 0 κι q( ) = 0 γ. Βρείτε γι ποιες τιμές του η γρφική πράστση του q ( ) βρίσκετι κάτω πο το άξο. Λύση:. Το είι πράγοτς του q ( ) άρ το είι ρίζ του q ( ) οπότε:
. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο q() = 0 ( ln) 6 + ln( 0 ) 6 = 0 ( ln ) 6 + ln ( 0 ) + ln 6 = 0 ( ln ) + ln 6+ 0 6= 0 ( ln) + ln = 0 Θέτουμε: y= ln κι η εξίσωση γίετι: y + y = 0 Γι το G( y) = y + y εφρμόζουμε το σχήμ Hornr στη θέση (το το βρήκμε επειδή το άθροισμ τω συτελεστώ ειι 0) κι έχουμε: Δηλδή: G( y) ( y ) ( y y ) ( ) ( ) = + +, άρ η εξίσωση γίετι: y y + y+ = 0 y = 0 ή y + y+ = 0 y= ln= = ln = β. Ισχύου: ln ln κι δύτη 0 0 = = ln( ) = ln( ) = ln( ) = Άρ λύουμε τη εξίσωση: q( ) = 0 6 + 6= 0 Γι το q ( ) = 6 + 6 εφρμόζουμε το σχήμ Hornr στη θέση [ το το βρηκμε διοτι q () = 0] κι έχουμε: Δηλδή q( ) = ( ) ( 5+ 6) Άρ η εξίσωση γίετι ( ) ( 5 6) 0 + = = ή = ή = γ. Το πρόσημο του ( ) q φίετι στο επόμεο πίκ: Άρ ( ) q 0 > (,) U(, + )
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική.. Λύστε τις εξισώσεις: i. Λύση: ii. + 6 = 0 + 6 = 0 iii. ln ( ) ln ( ) ln+ 6= 0 iv. συ + ημ συ + = 0 i. Γι το q( ) = + 6 εφρμόζουμε το σχήμ Hornr στη θέση - ( το - το βρήκμε γιτι διιρεί το 6 ) κι έχουμε: Άρ q( ) = ( + ) ( 7+ ) οπότε η εξίσωση γίετι: ( + ) ( 7+ ) = 0 + = 0 ή 7 + = 0 = ή ii. Θέτουμε: ( 7) ± 5 = = ή 4 y= > 0 κι η εξίσωση γίετι: y y y + 6 = 0 y= ή y= ή δύτη 7± 5 = = ή = ή 4 = ή y = = = ln = ή ln = = ln ή = ln iii. Θέτουμε y= ln με > 0 κι η εξίσωση γίετι: y y y + 6 = 0 y= ή y= ή ln = ή ln = ή ln = ln ή ln = ln ή y = ln= = ή = ή = ln ln =
4. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ ο iv. συ + ημ συ+ = 0 συ + ( συ ) συ + = 0 συ + συ συ + = 0 συ συ συ + 6 = 0 Θέτουμε y = συ με [,] κι η εξίσωση γίετι y y y + 6 = 0 y= ή y= ή δύτη δύτη π = κπ ± με κ Z y = π συ = συ. Ές βιολόγος μελετώτς τη άπτυξη εός είδους βκτηριδίω πρτηρεί ότι: σε ώρες μετά τη έρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτ 400 σε 4 ώρες μετά τη έρξη της πρτήρησης τ βκτηρίδι ήτ 00 βt Εώ ο τύπος που δίει το ριθμό τω βκτηριδίω είι: qt () = A, με t 0 το χρόο σε ώρες με Α,Β θετικές στθερές. i. Βρείτε τις στθερές Α κι Β ii. Βρείτε σε πόσ λεπτά ο ρχικός πλυθυσμός τω βκτηριδίω θ έχει διπλσιστεί Λύση: iii. Λύστε τη ίσωση: Q () t+ q t 5Α 500 0 β i. Ισχύει: q( ) = 400 A = 400 κι 4β q( 4) = 00 A = 00 Οπότε με διίρεση κτ μέλη έχουμε: 4β A 00 β = = 8= β= β= β A 400 Άρ: A = 400 8Α= 400 Α= 50
Βήμ ο Εκθετική - Λογριθμική 5. t ii. Ισχύει () q t = 50 με t 0 Α λοιπό t ο χρόος που χρειάζετι γι διπλσιστεί ο ριθμός τω βκτηριδίω τότε: q() t = q() 0 t t 50 = 50 = t = t = της ώρς άρ σε 60 40 = λεπτά θ έχει διπλσιστεί ο ρχικός πληθυσμός τω βκτηριδίω iii. Λύουμε τη ίσωση: [ ()] t+ t t q t 5Α 500 0 500 5 50 8 500 0 t t t t 500 000 500 0 5 4 0 Θέτουμε: t y= > 0 κι η ίσωση γίετι: t 0 5y 4y 0 y t 0 Γι το q( y) = 5y 4y εφρμόζουμε το σχήμ Hornr στη θέση [το το βρήκμε διότι οι συτελεστές του q( y ) έχου άθροισμ 0] Δηλδή q( y) = ( y ) ( 5y + y+ ). Το πρόσημο του q( y ) φίετι στο επόμεο πίκ:
6. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ 4 ο ημ π. Δίετι η συάρτηση: f() = με κι 0 < < + συ 4 i. Δείξτε οτι η f είι γησίως φθίουσ στο R. 4 ii. Α f() + f ( ) = βρείτε το 4 iii. Γι τη τιμή που βρήκτε γι το, λύστε τη εξίσωση: f(4) + f() = 9. Δίετι η συάρτηση: f() = ln με > 0 [ ] ( ) i. Λύστε τη εξίσωση: + f() + f + = 0 ii. Μετξύ της μικρότερης κι της μεγλύτερης ρίζς της πιο πάω εξίσωσης πρεμβάλλετι ( με ) ριθμούς,,, ώστε όλοι μζί είι διδοχικοί όροι Α.Π. κι ισχύει: 7 + = 0.
Βήμ 4 ο Εκθετική - Λογριθμική 7... Α 0,β < κι ισχύει: log( + β) = log( 0+ + β ) Δείξτε ότι: β= 0 β. Δίετι το πολυώυμο: q() = + log logβ το οποίο ότ διιρεθεί με το - φήει υπόλοιπο 7. Βρείτε τ,β. γ. Λύστε τις εξισώσεις: q() = 7 κι q(εφ ) = 7 4. Έστω,y,z> 0 κι Δείξτε ότι:. + β+ γ = 0 β. εφ + εφβ + εφγ = εφ εφβ εφγ y z = ln, β= ln, γ = ln. y z
8. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ 4 ο γ. Α οι εφ, εφβ, εφγ είι διδοχικοί όροι Α.Π. με εφβ 0 δείξτε ότι εφ εφγ = δ. Α το πολυώυμο q() = + εφ + εφ εφγ 5 έχει πράγοτ το - βρείτε το. 5 5.. Δίετι κολουθί: = ln με i. Δείξτε ότι η είι Α.Π.. 00 40 ii. Δείξτε ότι: ( ) S = ln 40 iii. Ποιος όρος της προόδου ισούτι με: β. Α β με Γ.Π. με β ln όρος της ισούτι με 5. 5 + ln6 5 = + κι ( ) λ = log 0 βρείτε ποιος
Βήμ 4 ο Εκθετική - Λογριθμική 9. 6.. Υπολογίστε το άθροισμ: + 8 + + + 048 8 048 β. Α ισχύει: ( ) ( ) ( ) ( ) ln ρ + ln ρ + ln ρ + + ln ρ = 70, βρείτε το ρ γ. Α το ρ είι πράγοτς του πολυωύμου q( ) = +, βρείτε το. δ. Μετξύ τω κι ρ πρεμβάλλετε 9 ριθμούς ώστε όλοι μζί είι διδοχικοί όροι Α.Π.. 7. Δίετι Γ.Π. με = κι 5 = κι θετικούς όρους. Βρείτε το γεικό όρο της Γ.Π. β. Βρείτε τη κολουθί β = ln( ) με κι δείξτε οτι είι Α.Π. γ. Υπολογίστε τ θροίσμτ: i. Κ = β6 + β7 + β8 + β9 + β0 Λ= β + β + β + + β ii. 4 8 44
0. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ 4 ο 8.. Λύστε τη ίσωση: 4 + + 6 0 β. Βρείτε το πεδίο ορισμού τω συρτήσεω f ( ) = 4 + + 6 κι g( ) = ln( 4 + + 6) γ. Α η εκθετική συάρτηση: ( ) ( ) h = 4 + + 7, είι γησίως ύξουσ στο R βρείτε το.
Βήμ 5 ο Εκθετική - Λογριθμική.. Α 0 < κι,y > 0 κι κ R ( ) Θέμ ο, δείξτε ότι: og y = og + og y ( κ og ) = κog (Μοάδες 5) β.i. Α Γ.Π. με θετικούς όρους κι λόγο λ > 0, δείξτε ότι η κολουθί β = n( ) είι Α.Π. (Μοάδες 0) ii. Α 0 <,β,γ δείξτε τη ισοδυμί:, β, γ διδοχικοί όροι Γ.Π.,, διδοχικοί όροι Α.Π. n nβ nγ (Μοάδες 0)
. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ 5 ο Θέμ ο κ+ Α η συάρτηση f( ) = og με > 0 κι = είι γησίως ύξουσ στο κ πεδίο ορισμού της. i. Βρείτε το κ. (Μοάδες 5) ii. Γι τη μικρότερη θετική κέρι τιμή του κ κάετε τη γρφική πράστση της συάρτησης g( ) = og( ), +. (Μοάδες 0) στο ( ) ( ) iii. Λύστε τη εξίσωση: og g( ) = (Μοάδες 0) Θέμ ο Δίετι το πολυώυμο: ( ) 9 8 P = og + og 4 0 i. Βρείτε το. (Μοάδες 5) ii. Α το είι πράγοτς του Ρ(), δείξτε ότι =. (Μοάδες 0) iii. Α =, βρείτε το κοιό σημείο τω γρφικώ πρστάσεω τω συρτήσεω Ρ() κι Q ( ) = 8. (Μοάδες 0)
Βήμ 5 ο Εκθετική - Λογριθμική. Θέμ 4 ο Η ξί του διμτιού Ροζ Πάθηρ σε t 0 χρόι πό σήμερ δίετι πό τη t συάρτηση: Qt () = 50 500 χιλιάδες ευρώ.. Βρείτε τη σημεριή ξί του πάθηρ. (Μοάδες 5) β. Δείξτε ότι η ξί του πάθηρ διρκώς υξάετι. (Μοάδες 5) γ. Α με σκληρη οικοομί κτφέρουμε μζέψουμε 59.000 μετά πό πόσ χρόι θ είμστε σε θέση γοράσουμε το πάθηρ; (Μοάδες 5) δ. Εκφράστε το χρόο t 0 συρτήσει της ξίς Q(t). (Μοάδες 0)
4. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ 5 ο Θέμ ο. Δείξτε ότι: συ( + β) = συσυβ ημημβ ημ( + β) = ημσυβ + συημβ (Μοάδες ) β.i. Δίετι η συάρτηση f ( ) = ρημ( ω) + β με ρ,ω > 0. Γράψτε ποι είι η ε- λάχιστη θετική περίοδος. (Μοάδες ) ii. Δίετι η συάρτηση f ( ) = ( ) με R, η οποί είι γησίως φθίουσ στο πεδίο ορισμού της. Βρείτε το. (Μοάδες 5) iii. Δίετι το πολυώυμο P( ) = 4 + β + γ + δ, με 4+ β+ γ+ δ= 0. Δείξτε ότι το είι πράγοτς του Ρ(). (Μοάδες 5) iv. Δίετι η συάρτηση f ( ) = n+ με > 0, η οποί τέμει το άξο στο σημείο του με τετμημέη. Βρείτε το. (Μοάδες 5) v. Α Γ.Π. με θετικούς όρους κι μ κ =, δείξτε ότι: ( ) μ ogλ = ogκ, με * κ,λ > 0, λ ο λόγος της προόδου κι μ Ν. (Μοάδες 5)
Βήμ 5 ο Εκθετική - Λογριθμική 5. Θέμ ο Δίετι το πολυώυμο Ρ ( ) = + + ρ. i. Α η γρφική πράστση του Ρ() τέμει το άξο y y στο, δείξτε ότι ρ=. (Μοάδες 5) ii. Λύστε τη εξίσωση Ρ( ) = 0 (Μοάδες 0) iii. Α το + n n είι πράγοτς του Ρ(), βρείτε το. (Μοάδες 0) Θέμ ο = + Δίοτι οι κολουθίες: β = με * Ν. i. Δείξτε ότι η είι Α.Π. κι η β είι Γ.Π. (Μοάδες 5) ii. Βρείτε το άθροισμ: S = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4 ) +... + ( + 5) (Μοάδες 0) iii. Μετξύ τω β κι 7 πρεμβάλλοτι οι ριθμοί < < <... < μ κι όλοι μζί είι διδοχικοί όροι μις Α.Π. γ με διφορά ω.
6. Εκθετική - Λογριθμική Βήμ 5 ο. Δείξτε ότι: 50 ω' = μ + β. Α ο έκτος εδιάμεσος είι ο έκτος όρος της Γ.Π. β, βρείτε τ ω κι μ. (Μοάδες 0) Θέμ 4 ο π. Α 0 < < κι οι ριθμοί n, n( ημ ), n( συ) είι διδοχικοί όροι 4 8 Α.Π., βρείτε το. (Μοάδες 0) β. Α οι ριθμοί,, 4 είι διδοχικοί όροι Γ.Π., βρείτε το. (Μοάδες 5)