ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. α > α. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x ( 0, + ) l οg x. Αυτό σηµαίνει ότι σε κάθε x ( 0, ) l οg x, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση:

Transcript

1 Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Επιµέλει: Σκουφά Σωτήρη Βούρβχη Κώστ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Λογριθµική συνάρτηση >. Γνωρίζουµε ότι γι κάθε ( 0, + ) l οg. Αυτό σηµίνει ότι σε κάθε ( 0, ) Θεωρούµε τον 0, ορίζετι ο ριθµός µε τύπο: l οg, εποµένως έχουµε τη συνάρτηση: f :( 0,+ ) R f( ) = l οg + ντιστοιχίζετι ο Η συνάρτηση υτή ονοµάζετι λογριθµική συνάρτηση µε βάση το. Επειδή ισχύει η ισοδυνµί: l ο = = () y g y Αν το σηµείο Μ( κ, λ ) περιέχετι στη γρφική πράστση της συνάρτησης: y= l οg, ισχύει λ= l οg κ. Λόγω της ισοδυνµίς (), πό την προηγούµενη σχέση προκύπτει: λ κ= Ν λ, κ περιέχετι στη γρφική πράστση της που σηµίνει ότι το σηµείο συνάρτησης y=. Από τις πιο πάνω πρτηρήσεις, προκύπτει ότι τ σηµεί Μ( κ, λ ), Ν( λ, κ ) κι κτ επέκτση κι οι συνρτήσεις y= l οg κι y= όπως φίνετι κι στ σχήµτ που κολουθούν, προυσιάζουν συµµετρί ως προς τη διχοτόµο της γωνίς του πρώτου κι τρίτου τετρτηµορίου. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

2 Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. Αν είνι > γι τη συνάρτηση y= l οg έχουµε ν πρτηρήσουµε ότι: Έχει πεδίο ορισµού το διάστηµ: Α= 0, + Έχει σύνολο τιµών το σύνολο R των πργµτικών ριθµών. Έχει γρφική πράστση που τέµνει τον άξον στο Α,0 κι έχει σύµπτωτο τον ρνητικό ηµιάξον του y y. σηµείο Είνι γνησίως ύξουσ, δηλδή ισχύει: ν < τότε ισχύει g < l οg Όπως εµφνίζετι κι στο σχήµ που κολουθεί, είνι: l ο g< 0 ν 0< < κι l ο g> 0 ν > Αν είνι 0<< τότε γι τη συνάρτηση y= l οg, έχουµε ν πρτηρήσουµε ότι: Έχει πεδίο ορισµού το διάστηµ: Α= 0, + Έχει σύνολο τιµών το σύνολο R των πργµτικών ριθµών. Η γρφική της πράστση τέµνει τον άξον στο σηµείο Α κι έχει σύµπτωτη τον θετικό ηµιάξον του y y. (,0) Είνι γνησίως φθίνουσ, δηλδή ισχύει: <, τότε είνι ν g > l οg Όπως εµφνίζετι κι στο σχήµ, έχουµε: l ο g> 0 ν 0< < κι ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

3 Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. l ο g< 0 ν > Επειδή η λογριθµική συνάρτηση είνι γνησίως µονότονη, ισχύει: ν, τότε είνι κι g l οg Από την συνεπγωγή υτή µε την πγωγή σε άτοπο, κτλήγουµε στην ισοδυνµί: = y g = l οg y η οποί είνι ιδιίτερ χρήσιµη γι την επίλυση εξισώσεων, όπως υτή στο πράδειγµ που κολουθεί. Πράδειγµ: Ν λυθεί η εξίσωση: l ο g + = Λύση: Επειδή + > 0 γι κάθε R, κάθε λύση που προκύπτει πό την εξίσωση, είνι δεκτή. Ισοδύνµ της δεδοµένης, έχουµε την εξίσωση: g + = l οg 7 + = 7 ( )( + ) = 0 = ή = = 0 Η συνάρτηση του φυσικού λογάριθµου: y= l n, > 0 Ο φυσικός λογάριθµος έχει βάση το e κι επειδή e>, είνι γνησίως ύξουσ συνάρτηση. Τέµνει τον άξον Α,0 στο σηµείο Έχει σύµπτωτη τον ρνητικό ηµιάξον του y y. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

4 Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. Πρδείγµτ:. Ν λυθεί η εξίσωση: g ( 4 ) = + l οg ( ) Λύση: Οι ρίζες της εξίσωσης γίνοντι δέκτες, εφ όσον ικνοποιούν τις νισώσεις: 4> 0 ( )( + ) > 0 < ή < > 0 > 0 > > () Ισοδύνµ της δεδοµένης εξίσωσης, έχουµε: g 4 g = l οg ( + ) = ο 4 g = l οg g l g + = = Η ρίζ γίνετι δεκτή, διότι ικνοποιεί τον περιορισµό ().. Στο ίδιο σύστηµ ξόνων ν γίνει η γρφική πράστση των συνρτήσεων: f = ln, g = ln, h = l n + Γι τις δυο πρώτες συνρτήσεις ισχύει > 0, ενώ γι την τρίτη συνάρτηση έχουµε: + > 0 > Λύση: Γι την γρφική πράστση των συνρτήσεων, θ µς βοηθήσει ο πίνκς που κολουθεί: Κάνοντς τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων, πρτηρούµε ότι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ

5 Λυµέν Θέµτ κι Ασκήσεις κ.λ.π. Η γρφική πράστση της g, δηµιουργείτι πό την γρφική πράστση της f, µεττοπίζοντς τ σηµεί της κτά µι µονάδ προς τ, φού είνι g= f. κάτω Γι τη γρφική πράστση της h, έχουµε µεττόπιση των σηµείων + µονάδες προς τ ριστερά, φού γι κάθε της f, της f, κτά δυο έχουµε + γι την h. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ