ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκθέτη.

Transcript

1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΡΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Δυνάμεις με ρητό ή άρρητο εκέτη. Με την οήει των ορίων κι των δυνάμεων με ρητό εκέτη ορίζετι κι η δύνμη, με > 0 κι. Ισχύουν κι σε υτή την περίπτωση οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Συγκεκριμέν: Αν, είνι ετικοί πργμτικοί ριμοί κι,,, τότε: a a a + a : a a ( ) a a ( a ) a a a Τι ονομάζουμε εκετική συνάρτηση; Έστω ένς ετικός ριμός. Όπως είδμε προηγουμένως γι κάε ορίζετι η δύνμη. Επομένως ντιστοιχίζοντς κάε στη δύνμη, ορίζουμε τη συνάρτηση: f : με f ( ) a, η οποί, στην περίπτωση που είνι, λέγετι εκετική --- συνάρτηση με άση. Αν είνι, τότε έχουμε τη στερή συνάρτηση f. ( ) Μελέτη εκετικής συνάρτησης. Η συνάρτηση υτή, κώς κι κάε συνάρτηση της μορφής f a με > ποδεικνύετι ότι: ( ) 5

2 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Έχει πεδίο ορισμού το. Έχει σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) των ετικών πργμτικών ριμών. Είνι γνησίως ύξουσ στο. Δηλδή γι κάε, ισχύει: ν <, τότε a < a Η γρφική της πράστση τέμνει τον άξον y y στο σημείο Α(0, ) κι έχει σύμπτωτο τον ρνητικό ημιάξον των. Η συνάρτηση υτή, κώς κι κάε συνάρτηση της μορφής f ( ) a με 0 < <, ποδεικνύετι ότι: Έχει πεδίο ορισμού το. Έχει σύνολο τιμών το διάστημ (0, + ) των ετικών πργμτικών ριμών. Είνι γνησίως φίνουσ στο. Δηλδή γι κάε, ισχύει: ν <, τότε a > a Η γρφική της πράστση τέμνει τον άξον y y στο σημείο Α(0, ) κι έχει σύμπτωτο τον ετικό ημιάξον των. Πρτήρηση Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f ( ) a κι f ( ) a είνι συμμετρικές ως προς άξον y y. Γι πράδειγμ οι συνρτήσεις f ( ) κι g( ) πρτηρούμε ότι γι κάε ισχύει: g( ) f ( ) Αυτό σημίνει ότι οι γρφικές πρστάσεις τους είνι συμμετρικές ως προς άξον y y. 6

3 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Η πρτήρηση είνι η άση της λύσης των εκετικών εξισώσεων. Πρτήρηση Γι την συνάρτηση f : ότι: Αν τότε a a ( ) με κι ν a f a, 0 > ισχύει a τότε Τι ονομάζουμε λογάριμο; Ο άρρητος ριμός e,78.. oνομάζετι ριμός του Euler. Η συνάρτηση f ( ) e ονομάζετι εκετική. Στις εκετικές εξισώσεις κτλήγμε, συνήως, σε εξίσωση της μορφής, όπου > 0, > 0, κι στη συνέχει γράφμε το ως δύνμη με άση το. Π.χ Αν ο δε γράφετι ως δύνμη με άση το κι το > 0, η εξίσωση έχει λύση μονδική, που την υπολογίζουμε πό τους λογριμικούς πίνκες ή πό κομπιουτεράκι πό τη συμολίζουμε (λογάριμος του με άση το ). Π.χ.. 5 5, , άρ Πρτηρούμε ότι, ν οι λογάριμοι ντιστοιχούν σε ριμό τέτοιο που ν γράφετι ως δύνμη του, υπολογίζοντι κι χωρίς κομπιουτεράκι. --- Μετά τον ορισμό, δούμε πώς υπολογίζουμε υτούς τους λογρίμους. Ορισμός: Αν > 0 κι > 0, τότε η έκφρση ντιστοιχεί στον εκέτη στον οποίο πρέπει ν υψώσουμε τον γι ν ρούμε τον, η ισοδύνμ τη μονδική λύση της εξίσωσης τη συμολίζουμε με κι την ονομάζουμε λογάριμο του ως προς άση. Δηλδή: 7

4 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Σύμφων με την ισοδυνμί, πό τον ορισμό: έχουμε: 0 0 Ιδιότητες λογρίμων; Αν > 0, τότε γι οποιουσδήποτε,, > 0 κι R ισχύουν: +.. ( ) Προσοχή: () Έστω: () ( + ) + Ο λογάριμος έχει νόημ μόνο ν > 0 κι > 0. Αν έλουμε ν κάνουμε ένν ριμό ω λογάριμο άσης φ γίνετι ω φ ω φ. Με τον ίδιο τύπο υπολογίζουμε τους λογρίμους ( ), όπου το γράφετι ως δύνμη της άσης. Π.χ.: 5 5 3, Πολλπλσιάζοντς κτά μέλη τις ισότητες, έχουμε: + + ( ) (3) Η (3), λόγω των () κι (), γίνετι: ( ) +.. Έστω: () () Ις συντετγμένες Διιρώντς κτά μέλη τις ισότητες έχουμε: 8

5 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Δεκδικοί ή κοινοί λέγοντι οι λογάριμοι που έχουν ως άση το 0, κι συμολίζοντι με, ντί 0. Δηλδή: 0.. ορισ Η (3), λόγω των () κι (), γίνετι: 3. (3) ( ) Φυσικοί ή νεπέριοι λέγοντι οι λογάριμοι που έχουν ως άση το e, κι συμολίζοντι με ln ντί e. Δηλδή: ln e. ( ) Έστω: () () Η (), λόγω της (), γίνετι:. Αν μ > 0 κι το πρόσημο των, μ είνι άγνωστο, τότε: μ μ μ + μ. Ομοίως γι τη διίρεση κι, ν ο είνι άρτιος κι το πρόσημο του άγνωστο, τότε:. ν ν Αν > 0 κι > 0, ισχύει:. ν 4., όπου, > 0 κι > 0 (λλγή άσης). Έστω: () (). Έτσι, ο γράφετι: ( ) ( ) 9 άρ, κι διιρώντς έχουμε:.,

6 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε λογριμική συνάρτηση; ( ) Η συνάρτηση f: 0, + με τύπο f ( ) a με 0 <, λέγετι λογριμική συνάρτηση ως προς άση. Πρτήρηση Οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g, ( ) a f ( ) a είνι συμμετρικές ως προς της ευεί που διχοτομεί τις γωνίες Oy κι ' Oy ' δηλδή την y Πρτήρηση Γι την λογριμική συνάρτηση g( ) a ν a a, τότε Μελέτη λογριμικής συνάρτησης. Έχει πεδίο ορισμού το διάστημ (0, + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πργμτικών ριμών. Είνι γνησίως φίνουσ, που σημίνει ότι: ν <, τότε a > a π όπου προκύπτει ότι: (a > 0, ν 0 < < ) κι ( < a 0, ν >) Έχει γρφική πράστση που τέμνει Ις τον συντετγμένες άξον στο σημείο Α(, 0) κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον Oy 0 ισχύει: Αν >, τότε η λογριμική συνάρτηση g( ) a : Έχει πεδίο ορισμού το διάστημ (0, + ) Έχει σύνολο τιμών το σύνολο των πργμτικών ριμών. Είνι γνησίως ύξουσ, που σημίνει ότι ν <, τότε a < a π όπου προκύπτει ότι: (a < 0, ν 0 < < ) κι ( > a 0, ν >) Έχει γρφική πράστση που τέμνει τον άξον στο σημείο Α(, 0) κι έχει σύμπτωτο τον ημιάξον Οy. Αν 0 < <, τότε η λογριμική συνάρτηση g( ) a :