1. OSNOVNI POJMI STATISTIKA. Definicĳa 2: Statistika je veda, ki se ukvarja s proučevanjem množičnih pojavov v določenem prostoru in času.

1 OSNOVNI POJMI STATISTIKA Definicĳa 1: Statistika je veda, ki se ukvarja s proučevanjem množičnih pojavov v določenem prostoru in času Množičen pojav: ocenjevanje dĳakov merjenje višin dĳakov branje knjig dĳakov smučanje v Slovenĳi merjenje krvnega tlaka promet skozi določeno križišče mesečne plače zaposlenih serĳska proizvodnja določenega izdelka 1 Osnovne naloge statistike: zbiranje podatkov (anketiranje, opazovanje, merjenje, štetje) razvrščanje podatkov, urejanje in grafično prikazovanje podatkov, povzemanje in sprejemanje zaključkev (odkrivanje lastnosti in zakonitosti populacĳe in napovedovanje vrednosti) Definicĳa : Populacĳa je množica, ki jo želimo statistično proučiti Statistična enota je en element populacĳe Populacĳo lahko sestavljajo živa bitja, predmeti, dogodki Opredelitev populacĳe: stvarno (kdo ali kaj spada v populacĳo in kdo ne) geografsko (kje je populacĳa opazovana) časovno (kdaj je zajeta) 3 4

Definicĳa 3: Vzorec je podmnožica (del) populacĳe Vzorec je slučajen, če imajo vse enote populacĳe enako možnost (enako verjetnost) biti izbrane v vzorec Slučajni vzorec predstavlja (reprezentira) celotno populacĳo Enostavno slučajno vzorčenje: žrebanje (loterĳski način) vzorci s ponavljanjem (enota, ki je bila že izbrana v vzorec, je ponovno izbrana), vzorci brez ponavljanja (enota, ki je bila že izbrana v vzorec, ne more biti ponovno izbrana) Definicĳa 4: Preučevano lastnost (značilnost) enote imenujemo statistična spremenljivka Vrednost statistične spremenljivke je lastnost ene opazovane enote in jo imenujemo podatek PRIMER 1 Statistične spremenljivke: višina dĳaka, ocena dĳaka Definicĳa 5: Parameter je statistična karakteristika populacĳe PRIMER Parametri: povprečna višina dĳakov, povprečna ocena dĳakov Število enot populacĳe označimo z N 5 6 Glede na način izražanja podatke ločimo na: opisne (ali kvalitativne): vrednosti le opišemo z besedami in jih ne moremo ovrednotiti numerično (npr spol, kraj bivanja, barva avtomobila), vrstne (ali ordinalne): vrednosti lahko uredimo le po velikosti, njihova razmerja pa nimajo pomena (npr šolska ocena, doseženo mesto na tekmi, zadovoljstvo z malico), številske (ali kvantitativne): vrednosti izrazimo numerično oz številsko Ločimo diskretne in zvezne številske podatke Nezvezne (ali diskretne): zaloga vrednosti končna ali neskončna množica realnih števil (npr število prometnih nesreč, št prebranih knjig, št dĳakov v razredu) Zvezne: zavzamejo lahko vsako vrednost iz nekega intervala (npr višina ali teža dĳaka, višina žepnine, cena knjig) PRIMER 3 V tabeli so zbrani nekateri podatki o podnebju v Slovenĳi v letu 007: Zapšt Kraj Pov temp ( C) Pov vlaž (%) Št dni z dežjem 1 Bilje 13,4 71 19 Bovec 10,7 74 3 Letal JPLJ 10,1 80 113 4 Celje 11, 75 130 5 Črnomelj 1 77 14 6 Ilirska Bistr 10,8 76 7 Kočevje 9,7 79 143 8 Kredarica -0,3 77 77 Vir: Statistični urad Republike Slovenĳe 7 8

Odgovorite na naslednja vprašanja: 1 Kaj je v tem primeru populacĳa? S katerimi pogoji je opredeljena (stvarno, časovno, krajevno)? Kaj je statistična enota? 3 Katere statistične spremenljivke so predstavljene v tabeli? 4 Kakšna je posamezna spremenljivka glede na način izražanja? 5 Katere parametre populacĳe bi lahko določili? PRIMER 4 Izvedeti želimo, kakšno je mnenje dĳakov na ŠC Novo mesto o malici v šol letu 008/009 Ker je število dĳakov okoli 3000, ne moremo vprašati vsakega, zato se odločimo, da bomo oblikovali vzorec velikosti 00 dĳakov, ki bo dobro predstavljal celo populacĳo Ali bi bil v ta namen ustrezen vzorec, ki bi zajemal prvih 00 dĳakov, ki pridejo v torek zjutraj v šolo? 9 10 UREJANJE PODATKOV Kdo zbira podatke? šole bolnišnice podjetja SURS (uradna statistika) EUROSTAT (evropska statistika) EPICENTER, NINAMEDIA (javnomnenjske raziskave) Spoznali bomo: ranžirno vrsto grupiranje podatkov Programski paketi za obdelavo podatkov: Excel, SPSS, SAS, Minitab, Mathlab, S-Plus, 11 1

RANŽIRNA VRSTA Ranžirno vrsto predstavljajo po velikosti urejeni številski podatki Uporabljamo jo za urejanje majhnega števila številskih podatkov Vsakemu podatku določimo zaporedno mesto v ranžirni vrsti, ki ga imenujemo rang Enaki podatki stojĳo v ranžirni vrsti skupaj in imajo enak rang Izračunamo ga kot povprečje rangov, ki bi jih podatki imeli, če bi bili različni med seboj PRIMER 5 Število potnikov Na avtobusu, ki vozi vsak dan ob delovnikih ob 1445 iz Novega mesta v Ljubljano, so 1 dni zapored opazovali število potnikov Rezultati so 0, 38, 8, 35, 30, 40,, 3, 35, 3, 45, 35 Zapišite podatke v ranžirno vrsto in jim določite rang Rešitev: št potnikov 0 8 30 3 3 35 35 35 38 40 45 rang 13 14 GRUPIRANJE PODATKOV PRIMER 6 Poraba mleka 50 slovenskih družin v neki vasi smo vprašali, koliko mleka so porabili v prejšnjem tednu Zbrani podatki v litrih so: 1,1 1,7 1 0,5 0,9,1,3,3,6 3,1 3,7 3,9 3,1,5 3,3 3,3 3,9 3,8 4,1 4 4,3 4,4 4,4 5,1 5,9 5,3 5, 5,7 4,7 4,3 4, 4,3 4,7 4, 7,1 7, 7,5 7,5 7,6 6,3 6, 6,1 6,9 8,1 8, 8,5 9,3 9, 9,1 9,8 Grupiranje: združevanje podatkov v skupine (razrede): najprej določimo skupne lastnosti enot v posameznih razredih (od 5 do 0 razredov), enote porazdelimo po razredih, vsaka enota mora biti v natanko enem razredu (ne sme se zgoditi, da bi ista enota ustrezala lastnostim dveh razredov ali pa da za kakšno enoto ne bi obstajal razred, v katerega bi jo uvrstili) Ali so podatki dovolj pregledni, da lahko povemo kaj o porabi mleka? 15 16

I Grupiranje številskih spremenljivk v r razredov: Najmanjša vrednost, ki še sodi v i-ti razred: x i,min Največja vrednost, ki še sodi v i-ti razred: x i,max (Absolutna) frekvenca razreda f i : število enot v i-tem razredu Frekvenčna tabela ali frekvenčna porazdelitev: predstavitev razredov in pripadajočih frekvenc: razred vrednost spr f i 1 x 1,min x 1,max f 1 x,min x,max f r x r,min x r,max f r Σ / N PRIMER 7 Poraba mleka - nadaljevanje Zbrane podatke grupiraj in vsakemu razredu določi frekvenco Frekvenčna porazdelitev številske spremenljivke 17 18 Kaj lahko izračunamo za grupirane podatke? Relativna frekvenca f i : delež enot v i-tem razredu glede na število vseh enot N, ki smo jih opazovali: f i = f i N Strukturni odstotek f i %: relativna frekvenca f i pomnožena s 100 %: f i %=f i 100 % Kumulativna frekvenca F i : število enot, ki imajo manjše vrednosti od spodnje meje i-tega razreda: F 1 = 0inF i = F i 1 + f i 1 (za i > 1) Relativna kumulativna frekvenca F i : delež vseh opazovanih enot, ki imajo manjše vrednosti od spodnje meje i-tega razreda: F i = F i N 19 0

Spodnja meja x i,s in zgornja meja x i,z razreda: zgornja meja razreda i-tega razreda enaka spodnji meji (i + 1)-vega razreda: x i,z = x i+1,s Zvezna spremenljivka: x i,s = x i,min in x i,z = x i,max Celoštevilska spremenljivka(dve zaporedni celi števili se razlikujeta za 1 - enotski razmik): x i,s = x i,min 0, 5 x i,z = x i,max + 05 Širina razreda d i : razlika med zgornjo in spodnjo mejo razreda d i = x i,z x i,s Sredina razreda x i : aritmetična sredina spodnje in zgornje meje razreda: x i = x i,s + x i,z Z grupiranjem enot v frekvenčne razrede dodelimo vsem enotam v i-tem razredu isto vrednost x i, s čimer izgubimo nekaj natančnosti pri obdelavi podatkov 1 PRIMER 8 Poraba mleka - nadaljevanje Za grupirane podatke iz primera o porabi mleka izračunajte fi, f i %, F i, Fi, x i,s, x i,z, d i, x i razred poraba mleka v l f i 1 0 pod 5 pod 4 13 3 4 pod 6 16 4 6 pod 8 9 5 8 pod 10 7 Σ / 50 PRIMER 9 Starost oseb V okulistični ambulanti so včeraj pregledali 45 oseb Njihove starosti v letih so: 33 3 34 37 18 1 36 38 4 7 7 8 9 1 4 5 7 3 15 3 4 16 13 154117198444567386547454831353533 Podatke grupirajte v razrede, nato pa za vsak razred izračunajte fi, f i %, F i, Fi, x i,s, x i,z, d i, x i Excel: grupiranje: FREQUENCY, nato CTRL-SHIFT-ENTER 3 4

II Grupiranje opisnih podatkov Za vsak razred lahko določimo le relativno frekvenco in strukturni odstotek vsakega razreda razred lastnost spr f i fi f i % 1 lastnost 1 f 1 f1 f 1 % lastnost f f f % r lastnost r f r fr f r % Σ / N 1 100 Frekvenčna porazdelitev opisne spremenljivke 3 GRAFIČNO PRIKAZOVANJE PODATKOV 5 Histogram je prikaz grupiranih številskih podatkov v pravokotnem koordinatnem sistemu s stolpci, kjer vsak stolpec ustreza enemu razredu Če so razredi enako široki, so višine stolpcev premosorazmerne s frekvencami razredov PRIMER 10 Potniki na vlaku Na vlaku so želeli ugotoviti strukturo potnikov Razdelili so jih na dĳake, študente, delavce, brezposelne in upokojence Zbrani podatki so: dĳak dĳak dĳak delavec brezposelen brezposelen brezposelen upokojenec upokojenec dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak študent študent študent študent delavec delavec delavec delavec dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak študent študent študent študent študent študent dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak študent študent študent delavec delavec dĳak dĳak dĳak dĳak delavec delavec delavec delavec delavec delavec brezposelen brezposelen brezposelen študent študent študent delavec delavec delavec upokojenec upokojenec brezposelen brezposelen študent študent študent upokojenec upokojenec delavec upokojenec upokojenec študent študent študent študent dĳak dĳak dĳak dĳak dĳak upokojenec upokojenec upokojenec upokojenec Oblikujte frekvenčno porazdelitev podatkov, nato pa za vsak razred izračunajte fi in f i % Excel: COUNTIF (pogoj je posamezna kategorĳa) 6 Frekvenčni poligon je linĳski poligon v pravokotnem koordinatnem sistemu, ki povezuje točke, katerih abscise so enake sredinam frekvenčnih razredov, ordinate pa frekvencam: (x i, f i ) Da grafikon povežemo z abscisno osjo, dodamo še točki (x 0, 0) in (x r+1, 0) Št družin 18 16 14 1 10 8 6 4 0 16 13 9 7 5 0 - - 4 4-6 6-8 8-10 Poraba mleka v l Št družin 18 16 14 1 10 8 6 4 0 16 13 9 7 5 0 0-1 1 3 5 7 9 11 Poraba mleka v l Excel: Stolpični diagram (zmanjšamo presledke med stolpci, primeren za prikaz številskih podatkov) 7 Excel: Črtni diagram (primeren za prikaz številskih podatkov) 8

Strukturni stolpec uporabljamo za prikaz strukturnih odstotkov Narišemo stolpec poljubne širine in poljubne višine Višino stolpca proglasimo za 100 %, nato pa jo razdelimo v razmerju strukturnih odstotkov Posamezne dele stolpca ponavadi šrafiramo ali pobarvamo z različnimi barvami, zato za pojasnitev dodamo legendo Tudi strukturni krog uporabljamo za prikaz strukturnih odstotkov Delež enot v posameznem razredu je prikazan s krožnim izsekom Velikost središčnega kota za vsak razred izračunamo kot odstotek polnega kota: f i % 360 Tudi strukturni krog opremimo z legendo 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 0% 10% 0% 7 9 16 13 5 8-10 6-8 4-6 - 4 0-6 - 8 18% 8-10 14% 0-10% - 4 6% Excel: Stolpični diagram (primeren za prikaz vrstnih in opisnih podatkov) 4-6 3% 9 Excel: Tortni diagram (primeren za prikaz vrstnih in opisnih podatkov) 30 Prikaz s stolpci je podoben histogramu, uporabljamo pa ga lahko za prikaz grupiranih opisnih ali številskih podatkov Širina stolpca je poljubna, višina stolpca pa je premosorazmerna s frekvenco razreda PRIMER 11 Spodnji grafikon prikazuje zaslužke dĳaka preko študentskega servisa v enem letu Primerjajte zaslužke dĳaka po mesecih Excel: Stolpični diagram (primeren za prikaz vrstnih in opisnih podatkov) 31 3

PRIMER 1 Spodnji grafikon prikazuje iste zaslužke dĳaka preko študentskega servisa v enem letu kot prejšnji grafikon V čem je razlika? Kaj lahko zdaj povemo o višinah zaslužkov dĳaka po mesecih? 4 SREDNJE VREDNOSTI Srednja vrednost je mera za osredinjenost podatkov Pove, kje se nahajajo podatki Obravanali bomo tri srednje vrednosti: mediana modus aritmetična sredina (povprečje) 33 34 MEDIANA Definicĳa 6: Mediana (ali središčnica) je srednja vrednost, od katere ima polovica enot manjše ali enake vrednosti, polovica pa večje ali enake Označili jo bomo z Me Mediano za majhno število podatkov najhitreje določimo tako, da podatke najprej uredimo po velikosti v ranžirno vrsto, nato izračunamo mesto, na katerem se nahaja mediana: N+1 Če ta vrednost ni celo število, je mediana povprečje sosednjih dveh vrednosti PRIMER 13 Določite mediano zamud avtobusa v petih dneh:,, 6, 7, 10 min Rezultat komentirajte PRIMER 14 Določite mediano zamud avtobusa v šestih dneh:,, 6, 7, 10, 15 min Rezultat komentirajte Mediana je določena z mestom v ranžirni vrsti, zato ekstremno veliki (ali majhni) podatki ne vplivajo na njeno vrednost Excel: MEDIAN 35 36

MODUS Definicĳa 7: Modus (ali gostiščnica) je srednja vrednost, ki je enaka tisti vrednosti spremenljivke, ki se najpogosteje pojavlja Označili ga bomo z Mo PRIMER 15 Določite modus zamud avtobusa v petih dneh:,, 6, 7, 10 min Rezultat komentirajte Med podatki je lahko tudi več modusov (tiste vrednosti, ki se enakomnogokrat pojavljajo največkrat) Excel: MODE ARITMETIČNA SREDINA Definicĳa 8: Aritmetična sredina (povprečje) je srednja vrednost, ki jo dobimo tako, da vsoto vseh vrednosti spremenljivke delimo s številom enot v populacĳi N Označili jo bomo z µ: Excel: AVERAGE µ = x 1 + x + + x N N ali µ = ΣN i=1 x i N 37 38 PRIMER 16 Izračunajte aritmetično sredino zamud avtobusa v petih dneh:,, 6, 7, 10 min 1 Rezultat komentirajte Kako bi se spremenila aritmetična sredina, če bi vsaki vrednosti prišteli 5 min? 3 Kolišna bi bila vsota podatkov, če bi vsakega nadomestili z aritmetično sredino? 4 Od vsakega podatka odštejte aritmetično sredino Kolikšna je vsota teh vrednosti? Lastnosti aritmetične sredine: Če vsakemu podatku prištejemo isto vrednost a, se tudi aritmetična sredina poveča za a Če vsak podatek nadmestimo z aritmetično sredino, ostane vsota podatkov nespremenjena Če od vsakega podatka odštejemo aritmetično sredino (izračunamo odklon od aritmetične sredine), je vsota vseh odklonov enaka 0 PRIMER 17 Ali je smiselno izračunati aritmetično sredino spremenljivke spol ali pa spremenljivke kraj bivanja? Odgovor obrazloži 39 40

PRIMER 18 V skupini je 5 dĳakov Njihova povprečna starost je 15 let Kaj lahko sklepamo? 1 Da je največ dĳakov starih 15 let Da so vsi dĳaki stari približno 15 let 3 Da so vsi dĳaki stari 15 let 4 Da je polovica dĳakov starih manj kot 15 let, polovica pa več kot 15 let 5 Da je vsota starosti vseh otrok v skupini 75 let PRIMER 19 Povprečna ocena pisne naloge iz matematike petih dĳakov je 3, Kaj lahko poveš o ocenah pisne naloge posameznih dĳakov? 5 RAZPRŠENOST PODATKOV Razpršenost (ali variabilnost) je lastnost podatkov, da lahko zavzamejo različne vrednosti Podatki so lahko bolj ali manj razpršeni, kar je videti na sliki: Obravnavali bomo naslednje mere za razpršenost: variacĳski razmik standardni odklon (standardna deviacĳa) medčetrtinski razmik 41 4 VARIACĲSKI RAZMIK Definicĳa 9: Variacĳski razmik je razlika med največjo in najmanjšo vrednostjo v populacĳi Označimo ga z VR VR = x max x min PRIMER 0 Izračunajte variacĳski razmik zamud avtobusa v petih dneh:,, 6, 7, 10 min Rezultat komentirajte Excel: VR = MAX - MIN (izračunamo, ker ni posebnega ukaza) STANDARDNI ODKLON Definicĳa 10: Standardni odklon (ali standardna deviacĳa) je enaka korenu povprečja kvadratov odklonov vrednosti od aritmetične sredine Označimo ga s σ: Σ N i=1 σ = (x i µ) N Za uporabo je bolj preprosta formula: Σ N i=1 σ = x i µ N Dokaz 43 44

PRIMER 1 Izračunaj standardni odklon zamud avtobusa v petih dneh:,,6,7,10 min Rezultat komentiraj Kaj bi se zgodilo s standardnim odklonom, če bi vsem vrednostim prišteli 5 min? Kaj pove standardni odklon? Če je porazdelitev spremenljivke simetrična (lahko pogledamo histogram), se približno 3 vrednosti spremenljivke nahaja na intervalu [µ σ, µ + σ] Excel: standardni odklon: STDEVP ARITMETIČNA SREDINA IN STANDARDNI ODKLON GRUPIRANIH PODATKOV PRIMER Dĳaki v T1A, T1B in T1C so pisali pisno nalogo iz matematike Povprečna ocena dĳakov iz T1A je 3,4, povprečna ocena v T1B je 3,, v T1C pa,9 Kolikšna je povprečna ocena dĳakov vseh treh razredov? 45 46 Aritmetična sredina (povprečje) grupiranih podatkov (tudi tehtana aritmetična sredina): µ = f 1x i + f x + + f r x r N Standardni odklon grupiranih podatkov: Σ r i=1 σ = f ixi µ N ali µ = Σr i=1 f ix i N Pri izračunu si pomagamo z razširjeno frekvenčno porazdelitvĳo: razred vrednost f i x i f i x i f i xi 1 x 1,min x 1,max f 1 x 1 f 1 x 1 f 1 x1 x,min x,max f x f x f x r x r,min x r,max f r x r f r x r f r xr Σ / N / Σ r i=1 f ix i Σ r i=1 f ixi 47 48

PRIMER 3 Poraba mleka - nadaljevanje primera Izračunajte aritmetično sredino in standardni odklon porabe mleka 50 slovenskih družin prejšnji teden v neki vasi PRIMER 4 Starost oseb - nadaljevanje primera Izračunajte aritmetično sredino in standardni odklon starosti oseb, ki so bile včeraj pregledane v okulistični ambulanti razred poraba mleka v l f i x i 1 0 pod 5 1 pod 4 13 3 3 4 pod 6 16 5 4 6 pod 8 9 7 5 8 pod 10 7 9 Σ / 50 / razred starost f i x i 1 1 10 6 5,5 11 0 8 15,5 3 1 30 14 5,5 4 31 40 11 35,5 5 41 50 6 45,5 Σ / 45 / 49 6 KVARTILI IN ŠKATLA Z BRKI Definicĳa 11: Trĳe kvartili razdelĳo številske podatke v ranžirni vrsti v štiri skupine: prvi kvartil Q 1 je tista vrednost, od katere je 5 % podatov manjših (ali enakih) in 75 % podatkov večjih (ali enakih) - nahaja se na -tem mestu N+1 4 drugi kvartil Q je tista vrednost, od katere je 50 % podatov manjših (ali enakih) in 50 % podatkov večjih (ali enakih) (tudi mediana) - nahaja se na (N+1) 4 -tem mestu tretji kvartil Q 3 je tista vrednost, od katere je 75 % podatov manjših (ali enakih) in 5 % podatkov večjih (ali enakih) - nahaja se na 3(N+1) 4 - tem mestu Če vrednosti N+1 povprečje sosednjih vrednosti 4, (N+1) 4 in 3(N+1) 4 niso celoštevilske, vzamemo za kvartil 51 50 S pomočjo kvartilov lahko nazorno pokažemo razpršenost podatkov tako, da narišemo škatlo z brki, za katero potrebujemo poleg kvartilov še najmanjšo in največjo vrednost med podatki Škatlo z brki imenujemo tudi okvir z ročaji ali grafikon kvartilov (ang box-and-whiskers plot ali box-plot) Definicĳa 1: Medčertinski razmik Q je razlika med tretjim in prvim kvartilom (Med Q 1 in Q 3 se nahaja 50 % podatkov) 5

PRIMER 5 V T1A so dĳaki zbrali podatke o številu ur, ki so jih prejšnji teden preživeli za računalnikom Zbrani podatki so:,, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 11, 1, 1, 15, 15, 16, 17, 18, 1, 1, 1,, 4, 5, 8, 30, 30, 34 1 Izračunajte vse tri kvartile in jih obrazložite Izračunajte medčetrtinski razmik 3 Narišite škatlo z brki PRIMER 6 Na zdravniškem pregledu so stehtali 17 dĳakov manjšega razreda Njihove teže v kg so: 50, 5, 53, 55, 56, 56, 60, 61, 64, 64, 65, 67, 71, 7, 73, 73, 80 1 Izračunajte vse tri kvartile in jih obrazložite Izračunajte medčetrtinski razmik 3 Narišite škatlo z brki 53 54 PRIMER 7 Primerjaj osebne dohodke moških in žensk v nekem podjetju na spodnjem grafikonu Kaj lahko sklepaš iz slike? PRIMER 8 Primerjaj osebne dohodke moških in žensk v nekem podjetju na spodnjem grafikonu Kaj lahko sklepaš iz slike? 55 56

7 KORELACĲA IN REGRESĲA PRIMER 9 Voznik beleži število kilometrov, ki jih prevozi s svojim avtomobilom, in porabo goriva pri vsaki vožnji Ugotoviti želi, kako je poraba goriva povezana s številom prevoženih kilometrov Kateri statistični spremenljivki nastopata v primeru? Ali bo pri različnih vožnjah, ko bo prevozil enako število kilometrov, vedno porabil enako količino goriva? Koliko goriva bo porabil za vožnje, pri katerih bo prevozil manj km, v primerjavi z vožnjami, pri katerih bo prevozil več km? Razmisli, kaj vpliva na porabo goriva Spremenljivka X : število prevoženih kilometrov Spremenljivka Y : količina porabljenega goriva Povezanost med številskima spremenljivkama X in Y imenujemo korelacĳa Povezanost spremenljivk lahko prikažemo v pravokotnem koordinatnem sistemu, če eno od spremenljivk proglasimo za neodvisno in drugo za odvisno Tako dobljeni diagram imenujemo razsevni diagram 57 58 Razsevni diagram: Spremenljivki X in Y sta povezani linearno, če točke v razsevnem diagramu ležĳo na isti premici ali pa se od nje bolj ali manj odklanjajo (ovalna oblika množice točk v razsevnem diagramu) Excel: Raztreseni (XY) Razsevni diagram 59 Premico, ki se najbolj prilega točkam, imenujemo regresĳska premica Ločimo pozitivno in negativno linearno povezanost: Pozitivna linearna povezanost: večje vrednosti spremenljivke X so povezane z v povprečju večjimi vrednostmi spremenljivke Y (regresĳska premica je naraščajoča) Negativna linearna povezanost: večje vrednosti spremenljivke X so povezane z v povprečju manjšimi vrednostmi spremenljivke Y (regresĳska premica je naraščajoča) Excel: Enačba regresĳske premice: na grafikonu kliknemo z desnim gumbom miške na eno točko in izberemo Dodaj trendno črto Pod možnostmi izberemo Prikaži enačbo na grafikonu 60

Moč linearne povezanosti kaže Pearsonov koeficient r, katerega vrednosti se nahajajo na intervalu [ 1, 1] Moč linearne povezanosti med spremenljivkama X in Y je lahko: - močna pozitivna, če je 075 r < 1; pozlin povezanost neglin povezanost - srednje močna pozitivna, če je 04 r < 075; - šibka pozitivna, če je 0 r < 04; - ni linearne povezanosti, če r = 0; - šibka negativna, če je 04 < r < 0; - srednje močna negativna, če je 075 < r 04; - močna negativna, če je 1 < r 075 Excel: PEARSON ni lin povezanosti 61 ni povezanosti 6 8 ČASOVNE VRSTE PRIMER 30 Voznik je za 1 voženj zabeležil število prevoženih kilometrov in porabo goriva v litrih Rezultati so prikazani v tabeli: Kilometri 0 35 60 35 65 50 40 5 5 45 10 15 Gorivo,5 3,8 6 4 5,5 4 3,5,5 3 4 1,8 1 Narišite razsevni diagram (v zvezek in z Excel) Izračunajte Pearsonov koeficient korelacĳe (z Excel) Kakšno povezanost kaže? 3 Določite enačbo regresĳske premice (z Excel) Premico vrišite v razsevni diagram 4 Koliko goriva bo v povprečju porabil voznik za 4 km? Mnogi pojavi se spreminjajo s časom Če podatke uredimo glede na trenutek ali obdobje, ki ga opisujejo, dobimo časovno vrsto Analiziranje časovne vrste nam lahko pomaga razumeti spremembe in napovedati vrednosti v prihodnosti Definicĳa 13: Časovna vrsta je niz istovrstnih podatkov v zaporednih časovnih trenutkih ali v posameznih zaporednih časovnih intervalih Grafični prikaz podatkov: podatke prikažemo z linĳskim grafikonom, kjer na vodoravno os nanašamo čas, na navpično os pa vrednosti opazovanih podatkov 63 64

PRIMER 31 Poraba električne energĳe Dĳak je doma 7 tednov beležil tedensko porabo električne energĳe Podatki so zbrani v tabeli: Zap št (k) teden kwh 1 1 teden 109 teden 98 3 3 teden 10 4 4 teden 103 5 5 teden 95 6 6 teden 90 7 7 teden 9 Podatke prikažite z linĳskim grafikonom in izračunajte povprečno tedensko porabo Definicĳa 14: Linearni trend je premica y = kx + n, ki podaja dolgoročno smer razvoja časovne vrste Njeno enačbo bomo določili s programom Excel V enačbi linearnega trenda je x zaporedna številka obdobja Koeficient k pove, za koliko se spremeni vrednost y, kosex poveča za 1 obdobje Linearni trend bomo vrisali v linĳski grafikon s programom Excel S pomočjo trenda lahko izračunamo napoved vrednosti y za vnaprej Opomba: linearni trend je poseben primer regresĳke premice Excel: na sliki kliknemo z desnim gumbom miške na eno točko in izberemo Dodaj trendno črto Pod možnostmi izberemo Prikaži enačbo na grafikonu 65 66 PRIMER 33 Spodnji grafikon prikazuje upad vrednosti delnice v zadnjih 18 mesecih Ali je trend upada linearen? PRIMER 3 Za primer porabe električne energĳe s programom Excel vrišite linearni trend Napovejte, kolikšno porabo električne energĳe lahko pričakujemo 8 teden 67 68

Kaj lahko še izračunamo za časovno vrsto? Indeks s stalno osnovo I k/0 je v odstotkih izraženo razmerje med podatkom X k v trenutku ali intervalu k in podatkom X 0 vvnaprejizbranem trenutku ali intervalu Indeks s stalno osnovo torej izračunamo po formuli: I k/0 = X k X 0 100 Verižni indeks I k je v odstotkih izraženo razmerje med podatkom X k v trenutku ali intervalu k in podatkom X k 1 v prehodnem trenutku ali intervalu k 1 Verižni indeks izračunamo po formuli: Stopnja rasti S k je v odstotkih izražena razlika med podatkoma X k in X k 1 glede na podatek X k 1 Izračunamo jo po formuli: S k = X k X k 1 X k 1 100 Povprečna stopnja rasti S je stopnja, s katero bi morali zaporedno spreminjati podatke v časovni vrsti, da bi iz podatka v prvem trenutku ali intervalu dobili podatek v zadnjem trenutku ali intervalu Izračunamo jo po formuli: ( ) n 1 Xn S = 100 1 X 1 I k = X k X k 1 100 69 70 Trenutke ali obdobja, podatke ter indekse in stopnje pregledno prikažemo v tabeli: razred (k) obdobje X k I k/0 I k S k 1 X 1 I 1/0 I 1 S 1 X I /0 I S n X n I n/0 I n S n PRIMER 34 Za primer porabe električne energĳe izračunajte indekse s stalno osnovo glede na prvi teden, verižne indekse, stopnje rasti ter povprečno stopnjo rasti Rešitev: Rezultati so podani v tabeli: Zap št teden kwh I k/1 I k S k 1 1 teden 109 100 / / teden 98 89,9 89,9-10,1 3 3 teden 10 93,6 104,1 4,1 4 4 teden 103 93,6 101,0 1,0 5 5 teden 95 87, 9, -7,8 6 6 teden 90 8,6 94,7-5,3 7 7 teden 9 84,4 10,, Excel: oblikujemo formule za posamezne celice 71 7

Kontingenčna tabela Povprečna stopnja rasti: ( ) ( ) n 1 Xn 6 9 S = 100 1 = 100 X 1 109 1 =, 79 Če bi se poraba električne energĳe vsak teden zmanjšala za, 79%, biseiz začetne porabe 109 kwh v prvem tednu zmanjšala na 9 kwh v sedmem tednu Definicĳa 15: Kontingenčna ali dvorazsežna tabela prikazuje podatke po vrednostih dveh opisnih spremenljivk hkrati PRIMER 35 5 dĳakov srednje šole smo vprašali o zadovoljstvu s šolsko malico Rezultati so zbrani v tabeli: letnik/zadovoljstvo zadovoljen nezadovoljen 1 letnik 35 15 letnik 45 15 3 letnik 35 10 4 letnik 0 50 Kaj lahko povemo o zadovoljstvu anketiranih dĳakov z malico? 73 74 Rešitev: Za boljši pregled nad podatki, dodamo še vrstico skupaj in stolpec skupaj : letnik/zadovoljstvo zadovoljen nezadovoljen skupaj 1 letnik 35 15 50 letnik 45 15 60 3 letnik 35 10 55 4 letnik 0 50 70 skupaj 135 90 5 Struktura anketiranih dĳakov po zadovoljstvu s šolsko malico za vsak letnik: letnik/zadovolj zadovoljen % nezadov % skupaj % 1 letnik 35 70,0% 15 30,0 % 50 100 % letnik 45 75,0% 15 5,0 % 60 100% 3 letnik 35 77,8% 10, % 55 100 % 4 letnik 0 8,6% 50 71,4 % 70 100 % skupaj 135 60,0% 90 40,0 % 5 100 % Strukturo prikažite tudi grafično 75 76

Struktura anketiranih dĳakov po letnikih za vsako od mnenj o zadovoljstvu s šolsko malico: letnik/zadovolj zadovoljen % nezadov % skupaj % 1 letnik 35 5,9 % 15 16,7 % 50, % letnik 45 33,3 % 15 16,7 % 60 6,7 % 3 letnik 35 5,9 % 10 11,1 % 55 0,0 % 4 letnik 0 14,8 % 50 55,6 % 70 31,1 % skupaj 135 100 % 90 100 % 5 100 % Strukturo prikažite tudi grafično 77 78 PRIMER 36 Odrasle moške in ženske so vprašali, ali imajo vozniški izpit ali ne Podatki so zbrani v spodnji tabeli Oblikujte kontingenčno tabelo Izračunajte strukturo podatkov po spolu in strukturo po imetju vozniškega izpita ter ju prikažite grafično spol moški ženska ženska moški moški ženska ženska moški ženska ženska moški vozniški izpit da da ne ne da da da da ne da ne 79 Nalogo rešite s programom Excel (vrtilna tabela) 80