1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
|
|
- Ἀπολλόδωρος Ακρίδας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni ali razviti obliki. Funkcijo lahko zapišemo tudi v oblikah: f(x) = ax +bx+c ali y = ax +bx+c. Števila a, b in c imenujemo: a... vodilni koeficient, b... linearni koeficient, c... prosti člen, člene ax, bx, c pa: ax... vodilni člen, bx... linearni člen, c... prosti člen. Tako ima funkcija g(x) = x + x 3 koeficiente: a =, b = 1, c = 3, funkcija h(x) = x 3(a 1)x + 4a 3 pa: a =, b = 3(a 1), c = 4a 3. Bodimo pozorni, da so koeficienti vedno trije: vodilni je tisto število ali izraz, ki stoji poleg x (če je takih členov z x več, jih združimo), linearni stoji poleg x, prosti pa je brez spremenljivke x, npr. kvadratno funkcijo y = (x 1) + (x 1)(x + ) 3x najprej uredimo v obliko y = x 4x 1, nato preberemo njene koeficiente: vodilni koeficient je a =, linearni je b = 4 in prosti člen c = 1. Povzemimo: Izraz y = ax + bx + c imenujemo urejena splošna (razvita) oblika kvadratne funkcije s koeficienti a, b in c. Za vodilni koeficient a zahtevamo, da ni enak 0, saj bi drugače funkcija postala linearna (y = bx + c). B) Temenska oblika Splošna oblika kvadratne funkcije je tričlenik (trinom). Spodnja veriga enačb ga spremeni v dvočlenik oblike a(x p) + q. Pri izpeljavi bomo potrebovali dobro znano enačbo (A ± B) = A ± AB + B : ( ax + bx + c = a(x + b a x) + c = a x + b ( ) ( ) ) b b x + + c = = a ( x + b ( b x + ) ) } {{ } A=x, B= b ( ) ( b a + c = a x + b ) 4ac b + 4a Označimo p = b, D = b 4ac in q = D 4a. Z novimi oznakami je: ax + bx + c = a(x p) + q. Pridelane izraze tudi poimenujmo, imena bomo opravičili kasneje:. 1
2 količino D imenujemo diskriminanta: D = b 4ac, količini p, q imenujemo koordinati temena: x teme = p = b, y teme = q = D 4a. Obliko kvadratne funkcije y = a(x p) + q imenujemo temenska oblika. C) Ničelna oblika Tretjo obliko bomo iskali kot enočlenik. Zato bomo temensko obliko z znanjem 1. letnika razstavili. Uporabili bomo formulo za razliko kvadratov: A B = (A B)(A + B) in enačbe za D, p in q. Sledili bomo naslednji verigi: Izraza = a a(x p) + q = a (x + b ) ( (x p) q a ) ( ) ( D = a (x + b ) = a ( x b + D ) ( ( = a (x + b ) D 4a ) ( D x b D ) = (x + b ) + ). ) D = x 1 = b + D imenujemo ničli kvadratne funkcije, obliko in x = b D pa ničelna oblika kvadratne funkcije. y = a(x x 1 )(x x ) Pojasnimo zakaj ničelna oblika. Za ničlo poljubne realne funkcije f smo proglasili tako število x = v, da je vrednost funkcije f(v) = 0. Kvadratna funkcija y = a(x x 1 )(x x ) pa zavzeme vrednost 0 ravno pri številih x = x 1 in x = x. Ničli in absciso temena veže koristna enačba : p = x 1 + x, ki jo hitro ugledamo iz verige enačb: x 1 + x = b+ D + b D = b = p.
3 Gornje račune smo opravili, ne da bi se vprašali, če so sploh mogoči. Recimo, če je D < 0 v zgornjem računu D sploh ne obstaja. Če že poznamo kompleksna števila, vemo, da bomo morali vplesti imaginarno enoto ı. Kasneje bomo to in še druge pomankljivosti odpravili. D) Povzetek Kvadratna funkcija nastopa v treh oblikah: kot tričlenik y = ax + bx + c (splošna oblika), kot dvočlenik y = a(x p) + q (temenska oblika), kot enočlenik y = a(x x 1 )(x x ) (ničelna oblika). Prehode iz ene oblike v drugo omogočajo enačbe za D, p, q, x 1 in x. Kako preiti iz ene oblike v drugo pokaže spodnja slika: splosna (a,b,c) temenska (a,p,q) nicelna (a, x, x ) 1. Mimogrede opazimo, da je vsaka oblika natanko določena s tremi količinami (parametri): splošna z a, b, c, temenska z a, p, q in ničelna z a, x 1, x. Za konec rešimo nekaj primerov: Okrajšaj ulomek: x + x 6 x x 6. Ulomek lahko krajšamo, če sta števec in imenovalec faktorizirana, t.j., da sta enočlenika. Števec in imenovalec sta splošni obliki dveh kvadratnih funkcij. Obe funkciji zapišemo v ničelni obliki: x +x 6 = (x+)(x 3 ), x x 6 = (x+)(x 3). Pri prvi smo poiskali ničle kvadratne funkciji, drugo pa smo ugnali z znanjem prvega letnika (Viète). Dobimo: x + x 6 x x 6 = (x + )(x 3 ) (x + )(x 3) = (x 3 ) = x 3 x 3 x 3. Pogosto moramo iz danih podatkov poiskati enačbo kvadratne funkcije. Glede na vrsto podatkov izberemo primerno obliko in v njej izračunamo neznane količine. Pokažimo to z nekaj primeri: Zapiši kvadratno funkcijo s temenom v točki T ( 1, 4) in začetno vrednostjo -3. Izberemo temensko obliko, saj imamo o njej največ podatkov: y = a(x 1 ) 4. Izračunati moramo še a. Toda začetna vrednost funkcije je -3, dosežena pa je, ko za x izberemo 0. Zato: 3 = a(0 1 ) 4 a = 4 in enačba iskane funkcije: y = 4(x 1 ) 4 = 4x 4x 3. 3
4 Zapiši kvadratno funkcijo s temenom v točki T ( 1, 4) in ničlo 3. Spet izberemo temensko obliko: y = a(x 1 ) 4. Izračunati moramo še a. Toda ničla funkcije je taka vrednost x, pri kateri je vrednost y = 0. Zato: 0 = a( 3 1 ) 4 a = 4 in enačba iskane funkcije: y = 4(x 1 ) 4 = 4x 4x 3. Zapiši kvadratno funkcijo z ničlama 1 in 3 ter ordinato temena -4. Aritmetična sredina ničel ( x1+x ) je abscisa, ekstremna vrednost pa ordinata temena. Zato je teme T ( 1, 4). Nadaljujemo kot v prejšnjem primeru. Dobimo: y = 4x 4x 3. Zapiši kvadratno funkcijo z ničlama 1 in 3 ter začetno vrednostjo -3. To pot izberemo ničelno obliko: y = a(x + 1 )(x 3 ). Z začetno vrednostjo izračunamo še a : 3 = a(0+ 1 )(0 3 ) a = 4; iskana enačba je potem: y = 4(x+ 1 )(x 3 ) = 4x 4x 3. Zapiši kvadratno funkcijo, če njen graf vsebuje točke: A(1, 3), B(, 5) in C( 1, 5). Tokrat izberimo splošno obliko: y = ax + bx + c. Neznanke so tri: a, b in c. Izračunamo jih iz sistema enačb: a + b + c = 3 4a + b + c = 5 a b + c = 5, ki ga dobimo iz točk A(1, 3), B(, 5) in C( 1, 5). Njegova rešitev je: a = 4, b = 4 in c = 3. Zato je y = 4x 4x 3. 4
5 . EKSTREM KVADRATNE FUNKCIJE V poglavju o lastnosti funkcij smo govorili o ekstremnih vrednostih funkcije: maksimumu; to je točki(ah) M(x 0, f(x 0 )), v kateri(h) ima funkcija največjo vrednost, t.j. obstaja okolica (x 0 δ, x 0 + δ), da velja: za vsak x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x 0 ) > f(x). y M f(x ) f(x ) 0 x -δ x x +δ 0 0 f(x ) > f(x) 0 x minimumu; to je točki(ah) M(x 0, f(x 0 )), v kateri(h) ima funkcija najmanjšo vrednost, t.j. obstaja okolica (x 0 δ, x 0 +δ), da velja: za vsak x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x 0 ) < f(x). y M f(x) f(x 0) x -δ x 0 0 x 0+δ x f(x ) 0 < f(x) Oglejmo si kako je z ekstremi pri kvadratni funkciji. Začnimo s primerom. Poiščimo ekstremne vrednosti kvadratne funkcije y = x + x. Preoblikujmo jo v temensko obliko tako, da jo dopolnimo do kvadrata binoma: y = x + x = (x + 1 x + ( ) 1 ) ( ) ( 1 = x + 1 ) 9 4. Analizirajmo pridelano temensko obliko y = ( x + ) Prvi člen je za vsak x nenegativen. Vrednost 0 doseže pri x = 1, za vse ostale vrednosti x je pozitiven in zato so vrednosti naše funkcije večje od 9 4. Torej je najmanjša vrednost naše funkcije 9 4, dosežena pa je pri x = 1. Analizirajmo še funkcijo y = x + x + 3. Njena temenska oblika je y = (x 1) + 4 = = 4 (x 1). V nastalem dvočleniku od prvega člena 4 pri vsakem x odštejemo nenegativno količino (x 1), zato ima funkcija največjo vrednost 4, doseže pa jo pri x = 1 (tedaj ima člen (x 1) vrednost 0). Tudi splošen primer uženemo podobno. Funkcijo y = ax + bx + c preoblikujemo v temensko obliko ki jo analiziramo, ugotovimo in imenujemo: y = a(x p) + q, če je vodilni koeficient a > 0, ima kvadratna funkcija v točki T (p, q) minimum, ki je njena edina ekstremna točka, če je vodilni koeficient a < 0, ima kvadratna funkcija v točki T (p, q) maksimum, ki je spet njena edina ekstremna točka, 5
6 točko T (p, q) imenujemo teme kvadratne funkcije. Na koncu rešimo naslednji primer: Število 18 razdeli na vsoto dveh členov tako, da bo njun produkt največji. Naj bosta iskana člena x in 18 x. Iščemo x tako, da bo produkt p = x(18 x) največji. Hitro opazimo, da je p = x + 18x, torej kvadratna funkcija z negativnim vodilnim koeficientom. Taka funkcija pa ima eno samo ekstremno vrednost, maksimum v temenu: x teme = 18 = 9. Največja vrednost produkta je tedaj 81. Še nekaj opazimo v temenski obliki y = a(x p) + q: če je vodilni koeficient a > 0, kvadratna funkcija za x (, p) pada, za x (p, ) raste, če pa je vodilni koeficient a < 0, kvadratna funkcija za x (, p) narašča, za x (p, ) pa pada. 3. GRAF KVADRATNE FUNKCIJE Graf funkcije f(x) = ax. S kakim računalniškim programom narišimo grafe funkcij f(x) = ax za nekaj različnih vrednosti vodilnega koeficienta a. Na spodnji sliki nam je to napravil program Derive za a = 1, 1,, 1. Grafe take oblike imenujemo parabola. V grafih opazimo nekaj dejstev: vse imajo eno ekstremno točko v izhodišču (p = 0, q = 0), za pozitivni vodilni koeficient je ekstrem minimum, v primeru a = 1 je ekstrem maksimum, pri pozitivnih vodilnih koeficientih je funkcija na intervalu (, 0) padajoča, na intervalu (0, ) naraščajoča, pri a = 1 je ravno obratno, na intervalu (, 0) naraščajoča, na intervalu (0, ) padajoča, 6
7 če je a 1 > a > 0, je a 1 x > a x, zato leži graf funkcije y = a 1 x nad grafom funkcije y = a x ; če je a 1 < a < 0, je a 1 x < a x, zato leži graf funkcije y = a 1 x pod grafom funkcije y = a x. a 1 x a x O a 1 < a < 0 x a x O x a 1 > > 0 a a 1 x Vzporedni premik koordinatnega sistema. V koordinatni ravnini postavimo dva koordinatna sistema, ki imata paroma vzporedne osi, le izhodišče enega naj bo O, drugega O. V prvem sistemu naj imajo točke koordinate T(x, y) (mali sistem), v drugem T(X, Y ) (veliki sistem). V malem sistemu naj ima izhodišče velikega sistema koordinati: O (p, q). Zanima nas, kako se koordinati X, Y v velikem sistemu spreminjata s koordinatama x, y v malem sistemu. Desna slika nam pokaže enostavni zvezi: y y-q O Y O' q p T(x,y)=T(X,Y) X x-p x X = x p, Y = y q. Graf funkcije f(x) = ax + bx + c. Oboroženi s premikom koordinatnega sistema, se lotimo splošne oblike kvadratne funkcije: f(x) = ax +bx+c. Spremenimo jo v temensko: f(x) = a(x p) + q. Vzporedno premaknimo koordinatni sistem (x, y) v nov sistem (X, Y ) z izhodiščem v temenu T (p, q) funkcije. V novem sistemu je enačba funkcije Y = ax, ki pa smo jo že analizirali in jo znamo narisati. y O Y T(p, q) x X 7
8 Povzemimo: Graf kvadratne funkcije f(x) = ax + bx + c je le premaknjen graf kvadratne funkcije y = ax. Ničle funkcije f(x) = ax + bx + c. Še o ničlah se pogovorimo. V ničelni obliki y = a(x x 1 )(x x ) smo ugledali ničli x 1 in x, ki ju izračunamo s formulo: x 1, = b ± D. Za prvo ničlo izberemo v ± znak +, za drugo. Pri računanju ničel se lahko zaplete pri računanju D: Če je D < 0, D ni realno število, zato kvadratna funkcija nima realnih ničel, zato graf nima skupne točke z abscisno osjo, če je D = 0, je x 1 = x = b b ; graf se abscisne osi dotakne pri x =, če je D > 0, imamo dve realni ničli x 1 in x, zato graf dvakrat seka abscisno os. Še vedenja o temenu ponovimo. V temenu T (p, q) ima funkcija ekstremno vrednost, in sicer: minimum, če je vodilni koeficient a pozitiven (a > 0), maksimum, če je vodilni koeficient a negativen (a < 0). 8
9 Simetrijska os parabole. Vzemimo temensko obliko kvadratne funkcije: f(x) = a(x p) + q. Izberimo poljubno pozitivo število in abscisi x = p, x = p +. Potem je: f(x ) = a(x p) + q = a( ) + q = O x' x=p x'' = a + q = a(x p) + q = f(x ), T kar pomeni, da je graf kvadratne funkcije simetričen (zrcalen) na premico z enačbo x = p. y x Risanje grafa kvadratne funkcije. Graf kvadratne funkcije f(x) = ax + bx + c lahko narišemo: ali tako, da narišemo graf funkcije y = ax in dobljeni graf premaknemo za vektor u= (p, q), ali tako, da koordinatni sistem (x, y) vzporedno premaknemo za vektor u= (p, q) in v novem sistemu (X, Y ) narišemo graf funkcije Y = ax, ali tako, da izračunamo značilne točke kvadratne funkcije in upoštevamo značilnosti parabole. Oglejmo si podrobneje zadnji način risanja: Izračunamo značilne točke: teme, ničli (seveda, če obstajata), začetno vrednost, upoštevamo obliko parabole: a > 0 ( ), a < 0 ( ) in upoštevamo, da je parabola simetrična na premico x = p skozi teme, po potrebi tabeliramo še kako dodatno točko. Za konec rešimo dva primera: Nariši graf funkcije y = 4x 4x 3. Priprava: Teme; D = b 4ac = 64, p = b = 1, q = D 4a = 4 T ( 1, 4). Graf: Ničli; x 1 = b+ D Začetna vrednost f(0) = 3. Oblika; a > 0 ( ). = 3, x = b D = 1. Na grafu upoštevamo še simetrijo na premico x = 1. 9
10 Na spodnji sliki je narisan graf kvadratne funkcije. Zapiši njeno enačbo v splošni obliki. Na sliki preberemo ničli: x 1 = 1, x = 4 in začetno vrednost f(0) = 4. Funkcijo zapišemo v ničelni obliki f(x) = a(x 1)(x+4), z začetno vrednostjo izračunamo a : 4 = a(0 1)(0+4) a = 1, na koncu pa ničelno obliko spremenimo v splošno: f(x) = (x 1)(x + 4) = = x 3x KVADRATNA ENAČBA V prvem letniku smo spoznali linearno enačbo in način njenega reševanja. Povedali smo, da je rešitev ali koren enačbe tako realno število, pri katerem je leva stran enačbe enaka desni strani, obe strani pa sta definirani. Povedali smo tudi, da sta dve enačbi ekvivalentni (enakovredni), če imata natanko ista števila za rešitev (ali: njuni množici rešitev sta enaki). Ukvarjali smo se tudi z razcepnimi enačbami, t.j. takimi enačbami, ki so ekvivalentne obliki A B C... = 0 in ugotovili, da taka enačba razpade na več, običajno bolj enostavnih enačb. Ena od razcepnih enačb je tudi kvadratna enačba. Definicija : Enačbo, ki jo lahko z elementarnimi transformacijami 1 enačbo oblike preoblikujemo v ax + bx + c = 0, a 0, imenujemo kvadratna enačba s koeficienti a, b in c. Nepopolne kvadratne enačbe. Če so v urejeni obliki kvadratne enačbe ax +bx+c = 0 vsi koeficienti različni od 0, je enačba popolna, če pa je vsaj eden od koeficientov b ali c enak 0, imenujemo enačbo nepopolna (koeficient a ni enak 0, saj drugače enačba ni kvadratna). Poljubno nepopolno enačbo lahko razcepimo: 1 Elementarne transformacije so tiste, ki enačbo preoblikujejejo v ekvivalentno enačbo: levi in desni strani enačbe lahko prištejemo ali odštejemo isto število; levo in desno stran enačbe lahko pomnožimo ali delimo z istim, od 0 različnim številom. 10
11 1. Če je b = c = 0, je edina rešitev enačbe ax = 0 očitno le število x = 0.. Če je c = 0, b 0, nastane enačba ax +bx = 0, ki jo zlahka razcepimo v x(ax+b) = 0 in od tod preberemo rešitvi x 1 = 0 in x = b a. 3. Če je b = 0, c 0, imamo malo več dela. Enačba postane ax + c = 0. Vzemimo, da je a > 0, drugače pomnožimo enačbo z ( 1). c < 0: enačbo razcepimo v (x a) ( c) = (x a c)(x a + c) = 0, ki ima rešitvi x 1 = in x = c a c a. c > 0: enačbo razcepimo v (x a) (ı c) = (x a ı c)(x a + ı c) = 0, ki ima dve kompleksni rešitvi x 1 = ı c a in x = ı c a. Za primer razcepimo in rešimo enačbo 4x + 3 = 0. 4x + 3 = (x) (ı 3) = (x ı 3)(x ı 3), zato sta rešitvi x 1 = ı 3 in x = ı 3. Popolne kvadratne enačbe. V urejeni obliki kvadratne enačbe ax + bx + c = 0 je na levi strani enačbe splošna oblika kvadratne funkcije, ki jo lahko razcepimo v ničelno obliko, zato enačba dobi obliko Od tod preberemo rešitvi x 1 in x. a(x x 1 )(x x ) = 0. V naslednjih vrsticah je opisan postopek reševanja kvadratne enačbe: najprej jo uredimo do oblike ax + bx + c = 0, če znamo (npr. nepopolna enačba), trinom na levi razcepimo in preberemo rešitvi, če trinoma na levi ne znamo razcepiti, uporabimo formuli za ničli kvadratne funkcije: x 1, = b ± D. Trinom ax + bx + c postane v ničelni obliki enočlenik treh faktorjev: a(x x 1 )(x x ). Od tod uvidimo, da ima kvadratna enačba največ dve rešitvi, njihova narava pa je odvisna od diskriminante D: D < 0, D ni realno število, zato kvadratna enačba nima realnih ničel, ima pa dve konjugirano kompleksni rešitvi: x 1, = b ± ı D. 11
12 D = 0, ima enačba dvojno (dvakratno) rešitev: x 1 = x = b. D > 0, ima enačba dve različni realni rešitvi: x 1, = b ± D. Končajmo s primeri: Reši enačbo (6x 5) 4(x + 3) = 0. urejanje: 36x 60x + 5 4(x + 6x + 9) = 0 3x 84x 11 = 0, diskriminanta: D = ( 11) = 8464 = 9, rešitvi: x 1 = = 11 4, x = = 1 8. Reši enačbo x x + 1 = 5. V enačbi nastopa absolutna vrednost, zato ločimo dve možnosti: I. x x 1 : Enačba postane: x x 6 = 0 x 1 = 3 in x = ; druga rešitev odpade, saj je x 1. II. x + 1 < 0 x < 1 : Enačba postane: x + x 4 = 0 D = 17 x 1 = in x = 1 17 ; pogoju x < 1 ustreza le druga rešitev. Množica R rešitev je tedaj: R = {3, 1 17 }. Izračunaj m R tako, da bo imela enačba (m 1)x + (3m + 5)x + (m + 1) = 0 dvojno rešitev. Enačba je že urejena, dvojni koren (rešitev) pa bo imela, če bo D = 0. Računajmo: D = ((3m+5)) 4 (m 1)(m+1) = 36m +10m+100 8m +8 = 8m +10m+108 = = 4(7m +30m+7). Postavimo pogoj za dvojnost rešitve D = 0 in dobimo novo kvadratno enačbo: 7m +30m+7 = 0. Izračunamo njeno diskriminanto D 1 = = 144 = 1. Zato: m 1 = = 9 7, m = = 3. Reši naslednji enačbi: a) x 4 + 8x 9 = 0, b) (x 1)(x )(x 3)(x 4) = 15. Enačbi nista kvadratni. Toda s primerno zamenjavo neznanke postaneta kvadratni: a) Pišimo x = y, da dobimo: y + 8y 9 = 0. Nastalo kvadratno enačbo rešimo, dobimo: y 1 = 1 in y = 9. Od tod dobimo dve kvadratni enačbi: x = 1 in x = 9 z rešitvami: x 1, = ±1, x 3,4 = ±3ı. 1
13 b) V drugi enačbi pomnožimo prvi in četrti faktor ter drugi in tretji faktor na levi strani enačbe. Dobimo: (x 5x + 4)(x 5x + 6) = 15. Opazimo, da je v obeh nastalih faktorjih izraz x 5x. Označimo ga z y, da dobimo kvadratno enačbo (y + 4)(y + 6) = 15, jo uredimo v y + 10y + 9 = 0 in rešimo: y 1 = 1 in y = 9. Nastaneta dve kvadratni enačbi: x 5x = 1 in x 5x = 9, ki imata rešitve: x 1, = 5± 1 in x 3,4 = 5±ı 11. Skupina otrok poskuša na enake dele razdeliti 400 bonbonov. Štirje otroci se odpovedo bonbonom, zato vsak od ostalih dobi 5 bonbonov več. Koliko otrok je v skupini? Naj bo x število otrok, vsak pa dobi y bonbonov. Zato je xy = 400. Ko se štirje otroci odpovedo bonbonom, jih x 4 dobi po y + 5. Zato (x 4)(y + 5) = 400. Dobili smo sistem dveh enačb, ki pa žal nista linearni. Drugo enačbo uredimo v xy 4y+5x 0 = 400. Ker pa je xy = 400, dobimo: 5x 4y 0 = 0. Tedaj: y = 5 4x 5. To postavimo v enačbo xy = in dobimo kvadratno enačbo: 4 x 5x = 400 x 4x 30 = 0 (x 0)(x + 16) = 0. Odtod dobimo edino možno rešitev: V skupini je bilo 0 otrok. Viètove formule. Rešitvi kvadratne enačbe ax + bx + c = 0 sta izraženi s koeficienti a, b in c. V tem razdelku bomo koeficiente a, b in c izrazili z rešitvami. Recimo, da sta rešitvi enačbe ax + bx + c = 0 števili x 1 in x. Izračunali smo: x 1 = b + D in x = b D. Izračunajmo x 1 + x in x 1 x : x 1 + x = b + D + b D Dobljena rezultata zapišimo v trditev: = b a in x 1x = b + D b D = b D 4a = c a. Trditev 1 : Za rešitvi x 1 in x kvadratne enačbe ax + bx + c = 0 veljata naslednji Viètovi formuli: x 1 + x = b a in x 1 x = c a. Velja tudi obratna trditev: Trditev : Če števili x 1 in x ustrezata enačbama x 1 + x = b a in x 1 x = c a, sta rešitvi kvadratne enačbe ax + bx + c = 0. Res. Če je x 1 + x = b a in x 1x = c a, je a(x 1 + x ) = b in ax 1 x = c, zato: ax + bx + c = ax a(x 1 + x )x + ax 1 x = a(x (x 1 + x )x + x 1 x ) = a(x x 1 )(x x ). Odtod pa že vidimo, da sta števili x 1 in x korena enačbe ax + bx + c = 0. Francois Viète, francoski matematik,
14 Oglejmo si nekaj primerov uporabe Vietovih formul: Napiši kvadratno enačbo, ki ima: a) rešitvi x 1 = 3 in x =. Vietove formule povedo: b a = x 1 + x = 1 in c a = x 1x = 6, zato: b = a in c = 6a. Nastane enačba ax ax 6a = 0 ali a(x x 6) = 0. Ker a 0, dobimo enačbo x x 6 = 0. 3 b) ima realne koeficiente in eno rešitev x 1 = 1 ı. Že prej smo omenili, da kompleksne rešitve kvadratne enačbe z realnimi koeficienti nastopajo v konjugiranih parih. Zato je druga rešitev x = 1+ı. V Vietovih formulah vzemimo a = 1. Potem je b = (x 1 + x ) = in c = x 1 x = 1 4ı = 5 in x x + 5 = 0 iskana enačba. Naj bosta x 1 in x rešitvi kvadratne enačbe x (m + 1)x + m = 0. Izračunaj realno število m tako, da bo x 1 + x = 10. Izraz x 1 + x moramo povezati z neznanko m. Vietove formule povedo: x 1 + x = m + 1 in x 1 x = m. Izraz x 1 + x preoblikujmo: x 1 + x = (x 1 + x ) x 1 x = (m + 1) m. Pogoj naloge privede do enačbe: m + 1 = 10, ki ima rešitvi m 1 = 3 in m = 3. Naj bosta x 1 in x rešitvi kvadratne enačbe 3x + 7x 14 = 0. Izračunaj vrednost izraza 3x 1 + 5x 1 x + 3x. Podobno kot smo v prejšnem primeru preuredili izraz x 1 + x, sedaj preuredimo izraz 3x 1+ +5x 1 x + 3x = 3(x 1 + x ) + 5x 1 x = 3((x 1 + x ) x 1 x ) + 5x 1 x = 3(x 1 + x ) x 1 x. Upoštevamo: x 1 + x = 7 3 in x 1x = 14 3, da dobimo: ( 3x 1 + 5x 1 x + 3x = 3 7 ( 3) 14 ) = 1. 3 Simetrični izrazi dveh spremenljivk V izrazih a + b, ab, a + b 1, a + 1 b, (3a b)(3b a), a 3 b 3 lahko zamenjamo a z b, pa se izraz ne bo a b spremenil. Takim izrazom pravimo simetrični izrazi. Ker nastopata v njih dve količini, a in b, so simetrični izrazi dveh spremenljivk. Za simetrične izraze dveh spremenljivk velja tale Trditev 3 : Če označimo a + b = v in ab = p, lahko poljuben simetričen izraz spremenljivk a in b zapišemo kot funkcijo v (vsote) in p (produkta). Dokaz presega naše znanje, zato ga bomo izpustili, le na gornjih izrazih trditev preverimo: a + b = (a + b) b = v p, 1 a + 1 b = b + a ab = v p, (3a b)(3b a) = 9ab + ab 3b 3a = 10ab 3(a + b ) = 10p 3(v p) = 3v + 16p, a3 b 3 a b = (a b)(a + ab + b ) a b = (a + b ) + ab = v p + p = v p. 3 Z danima rešitvama kvadratna enačba ni natanko določena. Z Vietovimi formulami dobimo neskončno družino medseboj ekvivalentnih enačb. 14
15 Medsebojna lega premice in parabole V tem poglavju nas zanima medsebojna lega premice in parabole. Zanima nas ali imata skupne točke in, če jih imata, koliko je skupnih točk. Lego bomo proučili računsko in grafično. Računsko: Naj bo p premica z enačbo Ax + By + C = 0 in P parabola z enačbo y = ax + bx + c. Ločimo primera: a) Če B = 0, je x = C A = const. in y = a( C A ) + b( C A ) + c = = ac bac+ca A. Zato: Parabola y = ax + bx + c in premica x = C A imata natanko eno presečišče P( C A, ac bac+ca A ). (Vzporednice z osjo y imajo s kvadratno parabolo y = ax + bx + c natanko eno skupno točko.) x=const. P b) Če B 0 lahko zapišimo premico v eksplicitni obliki: y = A B x C A. Če dobljeni izraz uporabimo v enačbi parabole, dobimo kvadratno enačbo: ( ) ax + bx + c = A B x C A. O rešitvah kvadratne enačbe pa že vemo, da sta največ dve. Torej imata lahko premica in parabola v isti ravnini: dve skupni točki, ko ima kvadratna enačba ( ) (seveda jo najprej uredimo) pozitivno diskriminanto ( > 0); skupni točki imenujemo presečišči. Premici v tem primeru pravimo sekanta. eno skupno točko, ko ima kvadratna enačba ( ) diskriminanto enako 0 ( = 0); skupno točko imenujemo dotikališče. Premici v tem primeru pravimo tangenta. nimata skupnih točk, ko ima kvadratna enačba ( ) negativno diskriminanto ( < 0). Premici v tem primeru pravimo mimobežnica. sekanta tangenta mimobeznica Grafično: V koordinatni ravnini narišemo oba grafa in iz slike preberemo presečišča. Seveda je grafičen način lahko nenatančen, zato moramo rezultate preveriti računsko. Povzemimo: Kvadratna parabola in premica imata lahko v ravnini največ dve presečišči, ki jih običajno poiščemo računsko. Seveda lahko rezultat preverimo tudi grafično. P D P 1 >0 =0 <0 15
16 Za konec še dva primera: Računsko in grafično preveri, če imata premica x 3y + 6 = 0 in parabola y = x + 7x 3 kako skupno točko in, če jo imata, poišči njeni koordinati. Začnimo z grafičnim načinom: premica: y = 3 x +, x 0 3 tabela: y 0 ; parabola: D = 5, teme T (7/4, 5/8), ničli x 1 = 1/, x = 3, začetna vrednost y(0) = 3. Slika pokaže eno skupno točko, zato bi sklepali, da je premica tangenta na parabolo, toda računski način pokaže, da temu ni tako: y premica = 3 x +, y parabola = y = x + 7x 3. Rešimo nastali sistem: y premica = y parabola 3 x + = x + 7x 3 6x 19x + 15 = 0. Rešitvi zadnje enačbe sta: x 1 = 5 3 in x = 3. Skupni točki (presečišči) sta dve: P 1(1 3, ) in P (1 1, 3). Primer pokaže, da je grafičen način, ko sta presečišči blizu, nenatančen. Poišči vrednost števila m R tako, da bo premica y = x + m tangenta na parabolo y = 3x 7x + 4. Sistem enačb y = x+m, y = 3x 7x+4 ima lahko dve, eno ali pa nobene rešitve. Pogoj, da je dana premica tangenta, pove, da ima sistem eno samo rešitev. Sistem rešujemo kot je to običajno: enačimo y-a in dobimo kvadratno enačbo 3x 7x + 4 = x + m, jo uredimo (3x 5x + (4 m) = 0), izračunamo njeno diskriminanto (D = 5 1(4 m) = 1m 3) in jo izenačimo z 0. Iskano število m je potlej m = 3 1. Za dodatek izračunajmo dotikališče. V enačbo 3x 5x+(4 m) = 0 vstavimo izračunani m. Z malo dela pridelamo enačbo 36x 60x + 5 = 0. Če naj ima le eno rešitev (dotikališče), mora biti izraz na desni kvadrat binoma. Res, 36x 60x+5 = (6x 5), zato je dotikališče D( 5 6, 1 4 ). Preverimo še s sliko: 1 D 16
17 Medsebojna lega dveh parabol 4 Naj bosta P 1 in P dve kvadratni paraboli z enačbama y = a 1 x + b 1 x + c 1 in y = a x + +b x + c. Zanima nas, koliko skupnih točk vsebujeta njuna grafa. Spet rešujemo sistem dveh enačb. Enačimo oba y. Dobimo kvadratno enačbo: a 1 x + b 1 x + c 1 = a x + b x + c. ( ) Enačbo uredimo in rešimo. Pri tem nastopijo naslednje možnosti: Paraboli imata vse točke skupne; paraboli sta enaki (a 1 = a, b 1 = b, c 1 = c ). Enačba je linearna (a 1 = a ); skupna točka je kvečjemu ena (b 1 b ), lahko pa skupne točke sploh ni (b 1 = b ). Enačba je kvadratna (a 1 a ); ločimo primere: Paraboli nimata skupnih točk; diskriminanta enačbe ( ) je negativna. Paraboli imata eno skupno točko (se dotikata); diskriminanta enačbe ( ) je enaka 0. Paraboli imata skupni dve točki; diskriminanta enačbe ( ) je pozitivna. Še kak primer rešimo: Izračunaj presečišča grafov funkcij f(x) = x x 3 in g(x) = 1 (x 1)(x ) + 8. V funkciji f nastopa absolutna vrednost, zato f (kot v I. letniku) raje zapišimo brez absolutne vrednosti: { x f(x) = 3x ; x 3 x + 3x ; x < 3. Presečišča poiščemo tako, da enačimo y f in y g. Ločimo primera: 4 V tem poglavju govorimo le o kvadratnih parabolah, t.j. tistih, ki so graf funkcije y = ax + bx + c. V tretjem letniku si bomo ogledali tudi drugačne parabole; takrat bodo nastale še drugačne medsebojne lege. 17
18 x 3 : x 3x = 1 (x 1)(x ) + 8 x 3x 18 = 0 x = 6 ( rešitev x = 3 odpade, saj je 3 < 3). x < 3 : x + 3x = 1 (x 1)(x ) + 8 x 3x + 6 = 0; zadnja enačba nima realnih rešitev, saj je njena diskriminanta enaka 15. Grafa se tako sekata le v točki P (6, 18). 5. KVADRATNA NEENAČBA O linearni neenačbi, npr. x 3 < x 1, smo govorili v prvem letniku. Ponovimo vedenja o neenačbah: 5 Neenačba je zgrajena iz leve strani (L), desne strani (D), med njima stoji eden od znakov neenakosti: <, >,, ; možni osnovni tipi so potem L < D, L > D, L D, L D. Množica rešitev R neenačbe je podmnožica realnih števil, ki ustrezajo neenačbi, t.j. tistih števil, pri katerih je leva stran v ustreznem odnosu z desno stranjo (večja, manjša,... ). V neenačbi x 1 > 3x + 1, je 3 R, ker je L = ( 3) 1 = 7 > 8 = = 3 ( 3) + 1 = D, število 0 pa ni rešitev, saj L = 0 1 = 1 < 1 = = D. Pri običajnih levih in desnih straneh je R interval ali unija intervalov. Neenačbi sta ekvivalentni (enakovredni), če imata isto množico rešitev. Elementarne transformacije preoblikujejo neenačbo v ekvivalentno neenačbo, t.j.: levi in desni strani neenačbe lahko prištejemo ali odštejemo isto število, množenje ali deljenje neenačbe z 0 je tako kot pri enačbah prepovedano, pri množenju z neničelnim številom moramo biti previdni; če množimo s pozitivnim številom, neenačba ohrani znak neenakosti (npr. 3 < 5 3 < 5 ), če pa množimo z negativnim številom, se znak neenakosti obrne (npr. 3 < 5 3 ( ) > 5 ( )). Definicija 3 : Neenačbo, ki je ekvivalentna eni izmed neenačb ax + bx + c < 0, ax + bx + c > 0, ax + bx + c 0, ax + bx + c 0, imenujemo kvadratna neenačba s koeficienti a, b in c. Običajno napravimo, da je a > 0. 5 Ko govorimo o neenačbi, mislimo na tiste z neznankami, npr. x < 3; izraz 3 < 5 bomo imenovali neenakost. 18
19 y =y {}}{ Rešimo neenačbo x x 3 < 0. Leva stran neenačbe je kvadratna funkcija y = x x 3. Njen graf znamo narisati, na grafu poiščemo točke z negativno ordinato (y = x x 3 < 0), abscise teh točk pa so ravno rešitve naše neenačbe. Abscise teh točk sestavljajo interval ( 1, 3), zato je množica rešitev naše neenačbe R = ( 1, 3). T 1 (x,y>0) x T (x,y<0) V reševanju primera odkrijemo postopek reševanja kvadratne neenačbe: Neenačbo uredimo do ene od oblik: ax + bx + c < = > 0. Izračunamo ničli x 1 in x kvadratne funkcije na levi strani neenačbe. Skiciramo približen graf kvadratne funkcije y = ax + bx + c (narišemo abscisno os, ničli in upoštevamo obliko - po dogovoru a > 0 ). Na sliki preberemo množico rešitev R: + + x 1 x x Za neenačbo ax + bx + c < 0 : R = (x 1, x ). Za neenačbo ax + bx + c 0 : R = [x 1, x ]. Za neenačbo ax + bx + c > 0 : R = (, x 1 ) (x, ). Za neenačbo ax + bx + c 0 : R = (, x 1 ] [x, ). Utrdimo naučeno na nekaj primerih: Reši neenačbo (x 1)x > x + 4. Urejanje x x 4 > 0 x x > 0. Ničli: x x = (x )(x+1) x 1 = 1 in x =. Približna skica. Na sliki preberemo množico rešitev x (, 1) (, ) x Množica rešitev kvadratne neenačbe je lahko tudi prazna (R = ), npr. za neenačbo x + 3x + 7 < 0 ( graf pripadajoče funkcije v celoti leži nad osjo x), lahko pa množico rešitev sestavljajo vsa realna števila (R = R), kot v primeru neenačbe x + 3x + 7 > 0. 19
20 Reši neenačbo x 1 3x + 1. Neenačba na prvi pogled ni kvadratna, je racionalna. Lahko pa jo preoblikujemo v ekvivalentno kvadratno neenačbo. Prva misel, ki nas spreleti, je odpraviti ulomke. Skupni imenovalec je (3x + ), z njim množimo in odpravimo ulomke. Pri enačbah bi to še šlo, pri neenačbah pa se lahko znak neenakosti spremeni. Če recimo v skupnem imenovalcu (3x + ) izberemo x = 0, množimo s pozitivnim številom, če pa izberemo x = 1, množimo z negativnim številom, zato bi se v neenačbi znak spremenil v znak. Iz zagate se rešimo tako, da celo neenačbo pomnožimo z (3x + ) ; tako odpravimo in ulomke, pa tudi znak neenakosti ostane enak, saj množimo s pozitivnim številom. Paziti moramo le na to, da iz množice rešitev izločimo število x = 3, saj bi v tem primeru množili z 0. Po množenju z (3x + ) neenačba postane: (x 1)(3x + ) (3x + ). Naslednji fazi reševanja sta urejanje in iskanje ničel ustrezne kvadratne funkcije. V tem primeru ničli hitreje poiščemo z razstavljanjem (le malo se moramo razgledati po neenačbi: izpostavimo (3x + )). Dobimo: (x 1)(3x + ) (3x + ) (3x + )((4x ) (3x + )) 0 (3x + )(x 4) 0. Na koncu ugledamo ničli x 1 = 3 in x = 4 in iz primerne slike še množico rešitev R = ( 3, 4]. V množici rešitev smo izločili x = 3, kar smo utemeljili zgoraj. Pogosto reševanje kake naloge preoblikujemo na reševanje kvadratne neenačbe, npr.: Za katere vrednosti realnega števila a ima enačba (a )x + (3a 1)x + a = 0 različni realni rešitvi. Kvadratna enačba ima različna realna korena, ko je njena diskriminanta D pozitivna. Zato izračunajmo diskriminanto: D = b 4ac = (3a 1) 4(a ) = 5a + 10a 15 = 5(a + 3) = 5(a + 3)(a 1). Ničli diskriminante sta 3 in 1, zato ima neenačba D > 0 rešitev: (a < 3) (a > 1). Sisteme kvadratnih neenačb z eno neznanko preoblikujemo na reševanje več kvadratnih neenačb, množica rešitev sistema pa je presek množic rešitev posameznih neenačb sistema. Za primer si oglejmo naslednji sistem: Reši sistem neenačb x x + 3 in x > 1. Obe neenačbi sistema uredimo (x x 3 0 in x 1 > 0), ju rešimo in zapišemo rešitvi R 1 = [ 1, 3] in R = (, 1) (1, ). Množica rešitev je potem presek množic R 1 R = (1, 3]. Presek je najbolje prebrati iz ustrezne slike x x -1 0 x 1 3 0
Tretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραcot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.
TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραLJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12
LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA MATEMATIKA 1 2. del EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12 KAZALO 1 POLINOMI... 1 1.1 Polinomi VAJE... 1 1.2 Operacije
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραMnožico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f
Funkcije Funkcija f : A B (funkcija iz množice A v množico B) je predpis (pravilo, postopek, preslikava, formula,..), ki danemu podatku x A priredi funkcijsko vrednost f (x) B. Množica A je množica vseh
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραII. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ
II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραAfina in projektivna geometrija
fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότερα1 Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem
Poglavje I Vektorji Seštevanje vektorjev in množenje s skalarjem Za lažjo geometrično predstavo si najprej oglejmo, kaj so vektorji v ravnini. Vektor je usmerjena daljica, ki je natanko določena s svojo
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 00/0 Izpis: 9 avgust 0 Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραFunkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.
II. FUNKCIJE 1. Osnovni pojmi 2. Sestavljanje funkcij 3. Pregled elementarnih funkcij 4. Zveznost Kaj je funkcija? Definicija Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραSEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραPRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2
3 4 PRIMER UPORABE FUNKCIJ Upogibni moment 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE T (x) =F A qx M(X )=F A x qx2 2 1 2 DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE Naj bosta A in B neprazni množici. Enolična funkcija f : A
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότερα1 Fibonaccijeva stevila
1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραINŽENIRSKA MATEMATIKA I
INŽENIRSKA MATEMATIKA I REŠENE NALOGE za izredne študente VSŠ Tehnično upravljanje nepremičnin Marjeta Škapin Rugelj Fakulteta za gradbeništvo in geodezijo Kazalo Števila in preslikave 5 Vektorji 6 Analitična
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραAlgebraične strukture
Poglavje V Algebraične strukture V tem poglavju bomo spoznali osnovne algebraične strukture na dani množici. Te so podane z eno ali dvema binarnima operacijama. Binarna operacija paru elementov iz množice
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak
Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA Polona Oblak Ljubljana, 04 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 5(075.8)(0.034.) OBLAK,
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραDomače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA
Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo
Διαβάστε περισσότεραRačunski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I
Kemijska tehnologija Visokošolski strokovni program Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I 29. 8. 2013 Čas reševanja je 75 minut. Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon.
Διαβάστε περισσότεραMatematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010
Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00 KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Jaka Cimprič
Matematika 1 Jaka Cimprič Predgovor Pričujoči učbenik je namenjen študentom tistih univerzitetnih programov, ki vključujejo samo eno leto matematike. Nastala je na podlagi izkušenj, ki jih imam s poučevanjem
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK
abc MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK ŠTEVILA PRIBLIŽNO RAČUNANJE PRIBLIŽNO RAČUNANJE Ta fosil dinozavra je star 7 milijonov in šest let, pravi paznik v muzeju.??? Ko sem
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE II Skripta za vaje iz Matematike II (UNI + VSP) Ljubljana, determinante Determinanta det A je število, prirejeno
Διαβάστε περισσότερα6. Kako razstavimo razliko kvadratov a2 - b2? Ali se vsota kvadratov a2 + b2 da razstaviti v množici realnih števil?
USTNA VPRAŠANJA IZ MATEMATIKE šolsko leto 2005/2006 I. NARAVNA IN CELA ŠTEVILA 1. Naštejte lastnosti operacij v množici naravnih števil. Primer: Izračunajte na dva načina vrednosti izrazov 2. Opišite vrstni
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko
Linearna algebra Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko 23. februar 205 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 52.64(075.8)(0.034.2) OREL, Bojan
Διαβάστε περισσότεραSpoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.
Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih
Διαβάστε περισσότεραVektorski prostori s skalarnim produktom
Poglavje IX Vektorski prostori s skalarnim produktom Skalarni produkt dveh vektorjev v R n smo spoznali v prvem poglavju. Sedaj bomo pojem skalarnega produkta razširili na poljuben vektorski prostor V
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραTadeja Kraner Šumenjak MATEMATIKA. Maribor, 2010
Tadeja Kraner Šumenjak in Vilma Šuštar MATEMATIKA Maribor, 2010 2 CIP-kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor CIP številka Avtor Naslov publikacije/avtor, kraj, založnik ISBN Naslov
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik
Univerza v Mariboru Fakulteta za logistiko MATEMATIKA Univerzitetni učbenik AJDA FOŠNER IN MAJA FOŠNER Junij, 2008 Kazalo 1 Množice 5 11 Matematična logika 5 12 Množice 10 2 Preslikave 18 21 Realne funkcije
Διαβάστε περισσότεραDodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec
Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1 letnik finančne matematike na FMF Primož Moravec 13 september 2017 1 CIP - Kataložni zapis o publikaciji Narodna in univerzitetna knjižnica, Ljubljana 51264(0758)
Διαβάστε περισσότερα