ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πειραματική Αντοχή Υλικών Ενότητα: Λυγισμός Κωνσταντίνος Ι.Γιαννακόπουλος Τμήμα Μηχανολογίας
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2
1. Σκοποί ενότητας... 4 2. Περιεχόμενα ενότητας... 4 3. Λυγισμός... 5 4. Παραδείγματα φαινόμενου του λυγισμού... 6 5. Καμπύλη Euler... 8 6. Κρίσιμο φορτίο λυγισμού... 10 7. Χαρακτηριστική εξίσωση στο λύγισμα... 13 8. Κρισιμό φορτίο... 15 9. Σχέση του Euler για το λυγισμό... 16 3
1. Σκοποί ενότητας Η περιγραφή και αναλυση του φαινομενου του Λυγισμού. 2. Περιεχόμενα ενότητας Λυγισμός Παραδείγματα φαινόμενου του λυγισμού Καμπύλη Euler Κρίσιμο φορτίο λυγισμού Χαρακτηριστική εξίσωση στο λύγισμα Κρισιμό φορτίο Σχέση του Euler για το λυγισμό 4
3. Λυγισμός Ως λυγισμός ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο μια ελαστική ράβδος με ευθύγραμμο άξονα, που υποβάλλεται σε κεντρική θλίψη με συνεχώς αυξανόμενη τιμή φορτίου, μεταπίπτει, μετά από μια οριακή τιμή φορτίου, σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας. Η ισορροπία χαρακτηρίζεται ως ασταθής διότι στην παραμικρή διαταραχή (επίδραση φορτίου κατά την εγκάρσια κατεύθυνση) επέρχεται κατάρρευση. Η διαταραχή στην πράξη δεν προκαλείται με πρόθεση αλλά αυθόρμητα λόγω μικροατελειών που υφίστανται στην κατασκευή και λόγο της όχι απόλυτα αξονικής φόρτισης. Η μορφή της παραμορφωμένης ράβδου είναι παρόμοια με αυτή μιας δοκού που δέχεται καμπτικό φορτίο στο μέσο της. Γενικά, το φαινόμενο του λυγισμού μίας ράβδου επηρεάζεται από (α) τις μηχανικές ιδιότητες του υλικού της, (β) τη γεωμετρία της διατομής της και (γ) τον τρόπο στήριξης των άκρων της.oρισμοί Τη στιγμή εμφάνισης του φαινομένου του λυγισμού, η κατασκευή αντέχει μικρότερη τιμή φορτίου από αυτήν που άντεχε μέχρι την έναρξη του φαινομένου. Η μειωμένη αντοχή οφείλεται στην αλλαγή της τοπολογίας, δηλαδή στο γεγονός ότι η ράβδος έχει ξεφύγει από την ευθύγραμμη κατάσταση Συνεπώς το θλιπτικό φορτίο πάνω στις εγκάρσιες διατοές ασκείται πλέον έκκεντρα με αποτέλεσμα στη ράβδο να αναπτύσσεται και ροπή κάμψης η οποία αυξάνει περαιτέρω την εκκεντρότητα, που με την σειρά της επιδρά στη ροπή κάμψης. Οπότε γρήγορα δημιουργείται μεγάλη καμπυλότητα, το υλικό αναπτύσσει πλαστική παραμόρφωση και τέλος αστοχεί. Κρίσιμο φορτίο λυγισμού ονομάζεται το θλιπτικό φορτίο που βάζει ένα σαφές διαχωριστικό όριο μεταξύ της ευσταθούς ισορροπίας στην κατάσταση της απλής θλίψης και της ασταθούς ισορροπίας στην κατάσταση του λυγισμού. Η κλασική θεωρία λυγισμού θεωρεί ότι οι επιδράσεις των προ-λυγισμού παραμορφώσεων στις μετακινήσεις και τη γεωμετρική δυσκαμψία μπορούν να αμεληθούν, οπότε προκύπτουν και τα γραμμικά φορτία λυγισμού για ελαστικά τόξα. Αυτό μπορεί μεν να ισχύει για υψηλά τόξα όπου οι προ-λυγισμού παραμορφώσεις είναι πολύ μικρές σε σχέση με το ύψος τους, όμως κάτι τέτοιο δεν ισχύει και για ρηχά τόξα. Συνεπώς, αυτές οι παραμορφώσεις πρέ- πει να ληφθούν υπόψη στα ρηχά 5
τόξα. Επιπλέον μια γραμμική ανάλυση λυγισμού δεν μπορεί να δώσει πληροφορίες για την μεταλυγισμική συμπεριφορά των τόξων. 4. Παραδείγματα φαινόμενου του λυγισμού Αλουμινένιοι κυλοδοκοί οι οποίοι έχουν υποστεί δοκιμή λυγισμού. Γέφυρα του Γκρίν μπέι στο λίο Φρίνγκο. 6
7
Ανάλογα με την τιμή της λυγηρότητάς τους οι ράβδοι διακρίνονται σε τρεις τύπους 1. Σε μακριές ή λεπτές για λ 100 2. Μέσες για λ 80 3. Βραχείες για λ 60. Η θεωρία του Euler εφαρμόζεται στις λεπτές ράβδους. Η ανάλυση που υποδείχθηκε προηγουμένως για δυο αρθρώσεις στα άκρα μπορεί να διεξαχθεί ομοίως και για διαφορετικές συνοριακές συνθήκες. Υποθέτουμε ότι για οποιαδήποτε συνοριακή συνθήκη υπάρχει ένα μέρος της δοκού όπου τα άκρα του συμπεριφέρονται ως αρθρώσεις( παρόλο που δεν υπάρχει στήριξη). Στο μέρος αυτό θα ισχύει ο τύπος του Euler, με μήκος το μήκος του μέρους και όχι της δοκού. e Αυτό το μήκος το ονομάζουμε ενεργό μήκος. Le = KL 5. Καμπύλη Euler Η τάση συναρτήσει της λυγιρότητας, αποτελεί την καμπύλη Euler. 8
Στην καμπύλη του Euler φαίνεται ότι η τάση λυγισμού αυξάνεται όσο μειώνεται η λυγιρότητα. Στο διάγραμμα δίνεται για κάθε τιμή λυγηρότητας η τάση αστοχίας της ράβδου, είτε η ράβδος αστοχεί λόγω διαρροής είτε λόγω λυγισμού είτε με συνδυασμό Διακρίνονται τρεις περιοχές. 1.Η περιοχή του ελαστικού λυγισμού ΑΒ όπου ισχύει ο τύπος του Euler. 2.Η περιοχή ΒΓ αντιστοιχεί στον ελαστοπλαστικό λυγισμό και γι'αυτόν έχουν διατυπωθεί μέχρι σήμερα τρεις θεωρίες αυτή του Engesser, του Karman και του Tetmajer. 3.Στην περιοχή Γ, της καμπύλης η ράβδος αστοχεί εξαιτίας διαρροής, πριν την εμφάνιση του φαινομένου του λυγισμού. Οι εργαστηριακές δοκιμές λυγισμού πραγματοποιούνται σε θλιπτικές μηχανές οι οποίες μπορούν επιβάλλουν θλιπτικό φορτίο με σταθερή ταχύτητα. Είναι εφοδιασμένες με ειδικές υποδοχές ώστε να μπορεί να στηριχθεί το δοκίμιο αμφιαρθρωτά, αμφίπακτα ή με άρθρωση και πάκτωση, ανάλογα με τις απαιτήσεις της δοκιμής. Υπάρχει δυναμόμετρο όπου μετράται το φορτίο που επιβάλεται στο ένα άκρο Καθώς το δοκίμιο καταπονείται σε θλίψη, την στιγμή που εμφανίζεται λυγισμός, ο δείκτης φορτίου της μηχανής υποχωρεί, χαρακτηριστικό του ότι το υλικό αστόχησε και δεν επιδέχεται παραπέρα φόρτιση, Η τελική μεγίστη ένδειξη του φορτίου καθορίζει πειραματικά το κρίσιμο φορτίο λυγισμού. 9
6. Κρίσιμο φορτίο λυγισμού Εξίσωση ελαστικής γραµµής ΕΙ = d2 u dx 2 = M EI d2 u dx 2 = Pi M = Pu d 2 u dx 2 + P EI u = 0 Οµογενής διαφορική εξίσωση 2ου βαθµού u = C1sin( P EI x ) + C2cos( P EI x ) Οι σταθερές θα βρεθούν από τις συνοριακές συνθήκες 10
u = C1sin( P EI x ) + C2cos( P EI x ) Έστω ότι υπάρχει κύλιση στα δυο άκρα : X = 0 u = 0 C2 = 0 X = L u = 0 C1sin( P EI L ) = 0 C2cos( P EI L ) = 0 P EI L ) = nπ P = n2 π 2 ΕΙ L 2 n = 1,2,3,. Η χαµηλότερη τιµή είναι το κρίσιµο φορτίο Pcr = π2 ΕΙ L 2 u = C1sinπx L 11
Ανάλογα µε την τιµή της λυγηρότητάς τους οι ράβδοι διακρίνονται σε τρεις τύπους 1. σε µακρές ή λεπτές 2. µέσες 3. βραχείες Η θεωρία του Euler εφαρµόζεται στις λεπτές ράβδους. Η ανάλυση που υποδείχθηκε προηγουµένως για δυο αρθρώσεις στα άκρα µπορεί να διεξαχθεί οµοίως και για διαφορετικές συνοριακές συνθήκες Υποθέτουµε ότι για οποιαδήποτε συνοριακή συνθήκη υπάρχει ένα µέρος της δοκού όπου τα άκρα του συµπεριφέρονται ως αρθρώσεις (παρόλο που δεν υπάρχει στήριξη). Καμπύλη Euler Η τάση συναρτήσει της λυγιρότητας, αποτελεί την καµπύλη Euler.Στην καµπύλη του Euler φαίνεται ότι η τάση λυγισµού αυξάνεται όσο µειώνεται η λυγιρότητα. Στο διάγραµµα δίνεται για κάθε τιµή λυγηρότητας η τάση αστοχίας της ράβδου, είτε η ράβδος αστοχεί λόγω διαρροής είτε λόγω λυγισµού είτε µε συνδυασµό ιακρίνονται τρεις περιοχές. 1. Η περιοχή του ελαστικού λυγισµού ΑΒ όπου ισχύει ο τύπος του Euler. 2. Η περιοχή ΒΓ αντιστοιχεί στον ελαστοπλαστικό λυγισµό και γι 'αυτόν έχουν διατυπωθεί µέχρι σήµερα τρεις θεωρίες αυτή του Engesser, του Karman και του Tetmajer. 3. Στην περιοχή Γ της καµπύλης η ράβδος αστοχεί εξαιτίας διαρροής, πριν την εµφάνιση του φαινοµένου του λυγισµού. 12
Ο λυγισμός εμφανίζεται σε κατασκευαστικά στοιχεία (δοκούς) που καταπονούνται σε θλίψη. Στο παράδειγμα του σχήματος εμφανίζεται μια δοκός που καταπονείται σε θλίψη και εδράζεται σε μια κύλιση (αριστερά) και μια άρθρωση (δεξιά). Κατά το λυγισμό είναι δυνατό να εμφανιστούν ευσταθής και ασταθής θέσεις ισορροπίας. Αν το θλιπτικό φορτίο ξεπεράσει μια συγκεκριμένη τιμή η ασταθής θέση ισορροπίας εμφανίζεται για μεγάλες μετατοπίσεις, μετατοπίσεις w που οδηγούν σε αστοχία του κατασκευαστικού στοιχείου. 7. Χαρακτηριστική εξίσωση στο λύγισμα Κάνοντας μια τυχαία τιμή στο κατασκευαστικό στοιχείο και υπολογίζοντας την εσωτερική ροπή ως προς το σημείο της τομής Με βάση την εξίσωση της ελαστικής γραμμής 13
Από τις δυο παραπάνω σχέσεις προκύπτει μια ομογενής, γραμμική, δευτέρου βαθμού διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές (εφόσον EI=σταθερό και F=σταθερό) Θέτοντας όπου παράγεται η διαφορική εξίσωση μέσα από την οποία θα υπολογιστεί το κρίσιμο φορτίο του λυγισμού Η γενική λύση της εξίσωση είναι Οι δύο σταθερές Α,Β θα υπολογιστούν από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Εφόσον η βύθιση της δοκού στα άκρα της είναι μηδενική θα είναι και η λύση γίνεται Κάνοντας χρήση της δεύτερης συνοριακής συνθήκης υπολογίζουμε ότι 14
Για μη μηδενική λύση θα πρέπει Β διάφορο του μηδενός επομένως καθώς για n=0 και πάλι η λύση για τη βύθιση της δοκού w(x) γίνεται μηδενική που δεν παρουσιάζει κανένα ενδιαφέρον. 8. Κρισιμό φορτίο Η πρώτη λύση που παρουσιάζει ενδιαφέρον για το κατασκευαστικό στοιχείο είναι η λύση (ιδιοτιμή) κατά την οποία η βύθιση της δοκού γίνεται (το σχήμα της δοκού κατά το λυγισμό ιδιομορφή) Η ελάχιστη δύναμη που προκαλεί το λυγισμό είναι αυτή που αντιστοιχεί στο, επομένως το κρίσιμο φορτίο για το λυγισμό θα είναι Γενίκευση του προβλήματος Θέλοντας να γενικεύσουμε το πρόβλημα για διάφορες συνοριακές συνθήκες της δοκού παραγωγίζουμε 2 φορές τη διαφορική εξίσωση 15
Εφόσον ΕΙ= σταθερό και F=σταθερό και πάλι λ 2 = F Η λύση της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης δίνεται από EI Ανάλογα με τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος προκύπτει το κρίσιμο φορτίο. Για τις συνοριακές συνθήκες μπορεί κανένας να λάβει υπόψη του, σε συγκεκριμένα σημεία του κατασκευαστικού στοιχείου, μεγέθη όπως τη βύθιση της δοκού w(x) (γεωμετρική συνοριακή συνθήκη), τη στροφή της δοκού w (x) (γεωμετρική συνοριακή συνθήκη) και την τιμή της ροπής M(x) και να συνδέσει αυτήν με τη δεύτερη παράγωγο της βύθισης μέσω της εξίσωσης της ελαστικής γραμμής d2 w(x) dx 2 συνθήκη) = M(x) EI (κινηματική συνοριακή 9. Σχέση του Euler για το λυγισμό Ο υπολογισμός του κρίσιμου φορτίου για το λυγισμό μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τη σχέση του Euler Όπου L είναι το ισοδύναμο μήκος που μπορεί να αντικατασταθεί κατάλληλα ανάλογα με τη στήριξη της δοκού στα άκρα της. Τέσσερις είναι οι πιο ενδιαφέρουσες περιπτώσεις στήριξης και φαίνονται στο παρακάτω σχήμα όπου δίνονται και οι τιμές του ισοδύναμου μήκους 16
17