1 η Προσέγγιση του προβλήµατος 1
Ας θεωρηθεί ένα τεµάχιο (Σχήµα 1) το οποίο καταβυθίζεται υπό την επίδραση της βαρύτητας κατά τέτοιο τρόπο, ώστε η κίνησή του να µην παρεµποδίζεται από την παρουσία των γειτονικών του τεµαχίων (ελεύθερη καταβύθιση). Όσο το τεµάχιο καταβυθίζεται τόσο η ταχύτητά του αυξάνει, µέχρις ότου όµως η δύναµη που το επιταχύνει (βάρος) εξισωθεί µε το άθροισµα των αντίθετων δυνάµεων, δηλαδή αυτών που αντιτίθενται στην κίνησή του (άνωση, δυνάµεις αντίστασης ροής λόγω τριβών του τεµαχίου µε το υγρό µέσο και δυνάµεις αδράνειας). Όταν αυτό συµβεί, το τεµάχιο κινείται πλέον µε σταθερή ταχύτητα, η οποία καλείται τερµατική ταχύτητα καταβύθισης. Είναι γνωστό ότι οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω στο τεµάχιο είναι (Σχήµα 1): 2
Α Τεµάχιο F D Β Σχήµα 1. Τεµάχιο που καταβυθίζεται µέσα σε ρευστό Β είναι το βάρος του στερεού (= m σ g), m σ η µάζα του στερεού και g η επιτάχυνση της βαρύτητας Α είναι η δύναµη της άνωσης που εφαρµόζεται στο τεµάχιο λόγω του όγκου του V (V σ σ = m σ /ρ ), όπου ρ σ σ η πυκνότητα του στερεού. Όπως είναι γνωστό η άνωση Α ισούται µε το βάρος του εκτοπιζόµενου υγρού, λόγω του όγκου του σώµατος και είναι: Α = V σ ρ g = (m σ /ρ ) ρ g σ και F D είναι η δύναµη αντίστασης ροής, η οποία εκφράζει την επίδραση του υγρού στο κινούµενο τεµαχίδιο. Η δύναµη F D είναι συνδυασµός της αντίστασης του οριακού στρώµατος και της επιφάνειας S της προβολής του τεµαχίου σε διεύθυνση κάθετη στη ροή και δίνεται από την εξίσωση: 3
Όπου: u είναι η σχετική ταχύτητα στερεού-ρευστού ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού και S είναι η επιφάνεια της προβολής του στερεού σε επίπεδο κάθετο στην κίνηση ή τη ροή. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι, εάν Β = Α + F D, τότε το τεµάχιο αποκτά τη σταθερή ταχύτητα καταβύθισής του µέσα στο ρευστό, δηλαδή την τερµατική του ταχύτητα (terminal velocity), χωρίς να επιταχύνεται. Στην περίπτωση που το τεµάχιο έχει σφαιρικό σχήµα, η επιφάνεια της προβολής του S σε επίπεδο κάθετο στην κίνηση είναι κύκλος και δίνεται από την εξίσωση: (D είναι η διάµετρος του τεµαχίου) και η µάζα του δίνεται από την εξίσωση: Όµως, ο όγκος της σφαίρας είναι: Αντικαθιστώντας τα παραπάνω στην ισότητα των τριών δυνάµεων, οι οποίες δρούν στο τεµάχιο, προκύπτει: 4
Από την απλοποίηση της παραπάνω εξίσωσης και την επίλυσή της ως προς u t προκύπτει τελικά η γενική εξίσωση της τερµατικής ταχύτητας καταβύθισης u t σφαιρικών τεµαχίων, που αφορά στις περιπτώσεις στρωτής, µεταβατικής ή τυρβώδους ροής: 5
Χαρακτηριστικά κίνησης τεµαχιδίων µέσα σε ρευστά- Εφαρµογές στον Εµπλουτισµό Μεταλλευµάτων Κατά την ελεύθερη καταβύθιση, τα µεµονωµένα τεµάχια κατευθύνονται προς τον πυθµένα της δεξαµενής (καταβυθίζονται) ανεµπόδιστα και αυτό συµβαίνει, όταν η περιεκτικότητα (συγκέντρωση) σε στερεά είναι σχετικά µικρή στον πολφό, ενώ το εκτοπιζόµενο νερό ανέρχεται στηνεπιφάνεια. Σχήµα 2. Ελεύθερη καταβύθιση τεµαχίων µέσα σε ρευστό. Στην παρεµποδιζόµενη καταβύθιση η συγκέντρωση των τεµαχίων (στερεών) στον πολφό είναι αρκετά µεγάλη, µε αποτέλεσµα να παρεµποδίζεται η κίνηση του υγρού µεταξύ των τεµαχίων (α) και η κίνηση των τεµαχίων από την παρουσία άλλων (β). (α) (β) Σχήµα 3. Παρεµποδιζόµενη καταβύθιση τεµαχίων µέσα σε ρευστό. 6
Για να αυξηθεί η ταχύτητα καταβύθισης µικρών στερεών τεµαχιδίων µέσα σε µια δεξαµενή καθίζησης, προστίθενται οργανικά αντιδραστήρια τα οποία συµβάλλουν στη συνένωση µε χηµικό κυρίως τρόπο των τεµαχιδίων µεταξύ τους (κροκίδωση) και στη δηµιουργία συσσω- µατωµάτων, τα οποία καλούνται κροκίδες. Οι κροκίδες αυτές καθιζάνουν µε µεγαλύτερη ταχύτητα µέσα στη δεξαµενή. Σχήµα 4. Κροκίδωση τεµαχίων µέσα σε ρευστό Τα τεµαχίδια, που έχουν προσεγγίσει τον πυθµένα της δεξαµενής καθίζησης, έχουν αυξήσει σηµαντικά τη συγκέντρωση των στερεών στην περιοχή αυτή και συνεχίζουν να καθιζάνουν µε πολύ αργό ρυθµό, να συµπιέζουν και να εκτοπίζουν το υγρό που υπάρχει στην περιοχή αυτή. Οπότε, ο πολφός που προκύπτει στην περιοχή αυτή έχει αυξηµένη συγκέντρωση σε στερεά και µειωµένο ποσοστό υγρασίας (περιοχή συµπίεσης στους πυκνωτές, Σχήµα 6). Σχήµα 5. Συµπίεση καταβυθιζόµενων τεµαχίων στον πυθµένα της δεξαµενής καθίζησης 7
Μια από τις εφαρµογές της καταβύθισης των τεµαχίων µέσα σε ρευστά είναι αυτή της πύκνωσης (Σχήµα 6) των αραιών πολφών που προκύπτουν από υγρές µεθόδους εµπλουτισµού µε στόχο την παραλαβή πυκνότερων πολφών για παραπέρα διήθηση (φιλτράρισµα) και την ανάκτηση νερού για επανακυκλοφορία στο εργοστάσιο. Σχήµα 6. Χαρακτηριστικά καταβύθισης τεµαχίων σε πυκνωτές. 8
Ο διαχωρισµός στερεών τεµαχίων σε διάφορα κοκκοµετρικά κλάσµατα ή για διαφορετικά είδη µεταλλευµάτων κατά είδος µεταξύ τους, βασίζεται στις διαφορές των τερµατικών τους ταχυτήτων, και καλείται υγρή ή υδραυλική ταξινόµηση ή βαρυτοµετρικός εµπλουτισµός. Η υγρή ταξινόµηση είναι µια µέθοδος διαχωρισµού µείγµατος µεταλλευµάτων σε δύο ή περισσότερα προϊόντα, η οποία στηρίζεται στη διαφορετική ταχύτητα καταβύθισης των τεµαχίων τους µέσα σε ένα ρευστό. Στον εµπλουτισµό των µεταλλευµάτων αυτό το µέσο διαχωρισµού είναι συνήθως το νερό και η υγρή ταξινόµηση εφαρµόζεται σε τεµάχια µεταλλεύµατος που θεωρούνται πολύ λεπτοµερή για να είναι αποδοτική η ταξινόµησή τους µε την κλασσική µέθοδο της κοσκίνισης. Εφόσον οι ταχύτητες των τεµαχίων σε ένα ρευστό βασίζονται όχι µόνο στο µέγεθος αλλά επίσης και στο ειδικό βάρος και το σχήµα τους, οι αρχές της υγρής ταξινόµησης (υδροταξινόµησης) έχουν µεγάλη σηµασία στους διαχωρισµούς εµπλουτισµού στους οποίους χρησιµοποιούνται βαρυτοµετρικοί διαχωριστές. Είναι φανερό ότι οι υδροταξινοµητές επηρεάζουν σηµαντικά τη λειτουργία των κυκλωµάτων λειοτρίβησης. 9
Ας υποτεθεί ότι δύο τεµαχίδια α και β ή (1 και 2), που έχουν διαφορετικές πυκνότητες άρα και τερµατικές ταχύτητες καταβύθισης, τροφοδοτούνται σε δοχείο στο οποίο υπάρχει ανοδικό ρεύµα νερού. Εάν η ανοδική ταχύτητα του ρεύµατος νερού ρυθµιστεί σε µια τιµή ενδιάµεση µεταξύ των τερµατικών ταχυτήτων των δύο τεµαχίων, τότε θα γίνει διαχωρισµός των τεµαχίων µεταξύ τους. Το τεµαχίδιο µε τη µικρότερη τερµατική ταχύτητα καταβύθισης θα παρασυρθεί από το ανοδικό ρεύµα νερού, ενώ το ταχύτερα καταβυθιζόµενο τεµαχίδιο (αυτό µε τη µεγαλύτερη πυκνότητα ή µε το σηµαντικά µεγαλύτερο µέγεθος) θα καταλήξει στον πυθµένα του δοχείου. Ένας άλλος τρόπος για το διαχωρισµό µίγµατος τεµαχιδίων, είτε διαφορετικής πυκνότητας είτε διαφορετικών µεγεθών τεµαχίων, είναι να τροφοδοτηθούν σε δεξαµενή µεγάλης επιφάνειας διατοµής. Όταν το ρεύµα του πολφού εισέλθει στη δεξαµενή, επειδή µειώνεται η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας των τεµαχίων, τα τεµαχίδια αρχίζουν να καταβυθίζονται. Τα τεµαχίδια µε τη µεγαλύτερη ταχύτητα καταβύθισης τείνουν να συγκεντρωθούν κοντά στο σηµείο τροφοδοσίας, ενώ αυτά µε τη µικρότερη πυκνότητα θα παρασυρθούν µακρύτερα (Σχήµα 9) και θα συγκεντρωθούν κοντά στο σηµείο «εξόδου» από τη δεξαµενή. 10
u < u t Αύξηση της ταχύτητας u ανοδικού ρεύµατος ρευστού u u u u t u t u t Σχήµα 7. Σχετική κίνηση τεµαχιδίου ως συνάρτηση της σχέσης µεταξύ της τερµατικήςταχύτητας u t καταβύθισηςκαι της ταχύτητας u του ανοδικού ρεύµατος ρευστού. u < u t u = u t u > u t Αύξηση της ταχύτητας u ανοδικού ρεύµατος ρευστού u u u Σχήµα 8. Σχετικήκίνησητεµαχιδίων (1και 2) ως συνάρτηση των τερµατικών τους ταχυτήτων καταβύθισης και της ταχύτητας u ανοδικού ρεύµατος ρευστού. 1 2 1 2 1 2 u < u t1 u < u t2 u < u t1 u > u t2 u > u t1 u > u t2 11
Σχήµα 9. Ταξινόµηση υλικού σε δεξαµενές καθίζησης 12
Ας υποτεθεί ότι, σε ένα µείγµα τεµαχιδίων α και β, το τεµαχίδιο α έχει µεγαλύτερη πυκνότητα από το β. Εάν το εύρος µεγεθών των τεµαχίων είναι µεγάλο, δηλαδή υπάρχει µεγάλη διασπορά µεγεθών τεµαχιδίων, τότε ο διαχωρισµός θα είναι δύσκολος επειδή τα µεγάλα µικρής πυκνότητας τεµάχια του β θα καταβυθίζονται ταχύτερα από τα µικρά µεγάλης πυκνότητας τεµάχια του α. Για τα τεµάχια που έχουν ίσες ταχύτητες καταβύθισης στο µέσο διαχωρισµού, ισχύει: Όµως, απότηµορφήτουδιαγράµµατος (C -Re D Re) συντελεστή αντίστασης ροής και αριθµού Reynolds (Σχήµα 10), είναι φανερό ότι, για µεγάλες τιµές αριθµού Reynolds (τυρβώδης ροή) η τιµή του συντελεστή αντίστασης ροής C D, είναι περίπου σταθερή ( 0.44 για σφαιρικά τεμάχια), οπότε, επειδή, προκύπτει: 13
Σχήµα 10. Σχέσηµεταξύσυντελεστήαντίστασηςροής C D καιαριθµού Reynolds Re στην περίπτωση σφαιρικών τεµαχίων. 14
Επίσης, όπως προαναφέρθηκε στις περιπτώσεις στρωτής ροής σφαιρικών τεµαχίων, ισχύει: όπουµοσυντελεστήςιξώδους, Dτοµέσοµέγεθοςτωνκαταβυθιζόµενωντεµαχίων, u t, η τερµατική ταχύτητα καταβύθισης και ρ η πυκνότητα του ρευστού του µέσου διαχωρισµού. Οπότε, αν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες τιµές των συντελεστών αντίστασης ροής C D (για τα τεµάχια α και β) στη γνωστή εξίσωση, προκύπτει: ή Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο διαχωρισµός κατά µέγεθος των διαφορετικών τεµαχίων (α και β) µεταξύ τους είναι δυνατός µόνον, όταν ισχύει η παρακάτω ανισότητα: D D a β ρ > ρ β α ρ ρ n 15
Όπου n = 0.5 γιαστρωτήροή (τεµαχίδιαµικρότερααπό 50µm περίπου) n = 1.0 για τυρβώδη ροή (τεµαχίδια µεγαλύτερα από 0.50 cm = 5000 µm περίπου) και 0.5 < n < 1.0 γιαµεταβατικήροή (τεµαχίδιαµεταξύ 50 µm και 5000 µm περίπου) Από τη διερεύνηση της παραπάνω γενικής ανισότητας προκύπτουν τα παρακάτω: Είναιδυνατήηδιαµόρφωσητηςτιµήςτουαριθµητή (ρ β -ρ) ρυθµίζονταςτηντιµή της πυκνότητας του µέσου διαχωρισµού, µε αποτέλεσµα να µπορεί να ρυθµιστεί καιητιµήτουλόγου (D α /D β ), δηλαδήτοεύροςτωντεµαχίωνπουµπορούννα διαχωριστούν. Γιαπαράδειγµα, εάνηπυκνότηταρπροσεγγίζειτηντιµήρ β, τότεηταχύτητα καταβύθισης του τεµαχίου β σε µέσο διαχωρισµού πυκνότητας ρ είναι σχεδόν µηδενική, οπότε τεµαχίδια α και β οποιουδήποτε εύρους µεγεθών τεµαχίων µπορούν να διαχωριστούν εύκολα. Η παραπάνω διαπίστωση είναι η βασική αρχή της µεθόδου των «βαρέων διαµέσων», µέθοδος που αποδεικνύεται πιο αποδοτική από τη µέθοδο της «υδραυλικής ταξινόµησης», η οποία επηρεάζεται σηµαντικά και από τον παράγοντα σχήµατος των τεµαχίων προς διαχωρισµό. 16
D D a β ρ > ρ ρ ρ Η παραπάνω σχέση (ανισότητα) είναι γνωστή ως λόγος ελεύθερης καταβύθισης των δύο ορυκτών (free settling ratio) και δίνει το λόγο µεγεθών τεµαχίων δύο διαφορετικών ορυκτών που καταβυθίζονται µε ίδιες τερµατικές ταχύτητες καταβύθισης για τους διάφορους τύπους ροής (στρωτή, µεταβατική ή τυρβώδη). Εφαρµόζοντας την παραπάνω ανισότητα για χαλαζία (ρ α = 2.65 g/cm 3 ) και για γαληνίτηρ β = 7.5 g/cm 3 ) καιρευστόνερό (ρ = 1.0 g/cm 3 ), προκύπτει: Γιαστρωτήροή (τεµαχίδιαµικρότερααπό 50µm περίπου) β α n = 2 2 οπότε Για τον παραπάνω συνδυασµό πυκνοτήτων, σε συνθήκες στρωτής ροής, ο λόγος µεγεθών χαλαζία και γαληνίτη είναι περίπου 2, δηλαδή διπλάσιου µεγέθους τεµάχια χαλαζία, σε σχέση µε τεµάχια γαληνίτη, έχουν ίδια τερµατική ταχύτητα καταβύθισης. 17
Για τυρβώδη ροή (τεµαχίδια µεγαλύτερα από 0.50 cm = 5000 µm περίπου) Για τον παραπάνω συνδυασµό πυκνοτήτων, σε συνθήκες τυρβώδους ροής, ο λόγος µεγεθών χαλαζία και γαληνίτη είναι περίπου ίσος µε 4, δηλαδή τετραπλάσιου µεγέθους τεµάχια χαλαζία, σε σχέση µε αυτά του γαληνίτη, έχουν ίδια τερµατική ταχύτητα καταβύθισης. Από τα παραπάνω παραδείγµατα προκύπτει ότι ο λόγος ελεύθερης καταβύθισης είναι µεγαλύτερος για τα χονδροµερή τεµάχια (τυρβώδης ροή) σε σχέση µε αυτά που υπακούουν στο νόµο του Stokes (λεπτοµερή τεµάχια). Αυτό σηµαίνει ότι για χονδροµερή τεµάχια η διαφορά πυκνοτήτων (στερεών και µέσου διαχωρισµού) έχει ουσιαστικότερη επίδραση στην υγρή ταξινόµηση (βαρυτοµετρικός διαχωρισµός), δηλαδή το εύρος των τεµαχίων (D α /D β ) που µπορούν να διαχωριστούν µε βαρυτοµετρικό διαχωρισµό είναι µεγαλύτερο, όταν επικρατούν συνθήκες τυρβώδους ροής. Όταν λοιπόν πρέπει να διαχωριστούν τεµάχια µε βαρυτοµετρικό διαχωρισµό, είναι προτιµότερο να διαχωρίζονται σεχονδροµερήµορφή, λόγωτηςουσιαστικότερηςεπίδρασηςτης διαφοράς πυκνοτήτων. Οπότε και τεµάχια διαφορετικών στερεών µε σηµαντική διαφορά µεγέθους µεταξύ τους είναι ευκολότερο να διαχωριστούν σε συνθήκες τυρβώδους ροής. ηλαδή, πρέπει να αποφεύγεταικατάτοδυνατόνηυπερβολικήελάττωσηµεγέθουςτους (π.χ. λειοτρίβηση), όταν δεν επιβάλλεται από άλλους λόγους π.χ. αποδέσµευση. 18
Στην περίπτωση παρεµποδιζόµενης καταβύθισης (hindered settling), στην οποία αυξάνει η συγκέντρωση των στερεών στον πολφό, αρχίζουν να επικρατούν συνθήκες συνωστισµού των τεµαχίων και βαθµιαία ελάττωση της ταχύτητας καταβύθισης των τεµαχίων από την παρουσία των γειτονικών τους. Το σύστηµα αρχίζει να συµπεριφέρεται ως βαρύ υγρό (υγρό µεγαλύτερης πυκνότητας από το νερό) µε πυκνότητα αυτή του πολφού (ρ p ) παρά αυτή του ρευστού. Για πυκνότητα πολφού διαχωρισµού ρ p = 1.5 g/cm 3, µε εφαρµογή του λόγου παρεµποδιζόµενης καταβύθισης σε τεµάχια χαλαζία και γαληνίτη προκύπτει: Για τον παραπάνω συνδυασµό πυκνοτήτων, σε συνθήκες παρεµποδιζόµενης καταβύθισης, ο λόγος µεγεθών χαλαζία και γαληνίτη είναι περίπου ίσος µε 5.22, δηλαδή πενταπλάσιου µεγέθους τεµάχια χαλαζία, σε σχέση µε αυτά του γαληνίτη, έχουν ίδια τερµατική ταχύτητα καταβύθισης [Σχήµα 11- (2)]. Από τα παραπάνω διαπιστώνεται ότι ο λόγος παρεµποδιζόµενης καταβύθισης είναι πάντοτε µεγαλύτερος του λόγου ελεύθερης καταβύθισης και όσο µεγαλύτερη η πυκνότητα πολφού, τόσο µεγαλύτεροςείναιολόγοςµεγεθών (D α /D β ) ίσηςτερµατικήςταχύτηταςκαταβύθισηςστηνπερίπτωση αυτή. Οπότε, οι ταξινοµητές παρεµποδιζόµενης καταβύθισης (πυκνοί πολφοί) χρησιµοποιούνται για αυξήσουν την επίδραση της πυκνότητας του πολφού στους διαχωρισµούς των τεµαχίων κατά µέγεθος, ενώ οι ταξινοµητές ελεύθερης καταβύθισης (αραιοί πολφοί) χρησιµοποιούνται µόνο όπου η επίδραση του µεγέθους των τεµαχίων είναι σηµαντική. Οι συνθήκες παρεµποδιζόµενης καταβύθισης, στην ταξινόµηση κατά µέγεθος και στους διαχωρισµούς κατά πυκνότητα, επιτρέπουν την κατεργασία µεγάλων ποσοτήτων τροφοδοσίας εις βάρος όµως της ποιότητας του διαχωρισµού, επειδή µε την αύξηση της πυκνότητας του πολφού αυξάνει και το ιξώδες του πολφού, δηλαδή η «περατότητα» του στρώµατος των τεµαχίων και ως εκ τούτου και η διαχωριστική τους ικανότητα. 19
Σχήµα 11. Σύγκριση µεγεθών τεµαχίων ίσων τερµατικών ταχυτήτων καταβύθισης στις περιπτώσεις ελεύθερης (1) και παρεµποδιζόµενης καταβύθισης (2). 20