ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= = = R οπότε: J1 = a + b + c + d, Α Β Δ c+d -ac+bd ( ) 0 J3 =Β Γ Ε= - ac+bd a +b 0 = - R A c +d a +b - ac+bd Δ Ε Ζ 0 0 -R A ( ) ( )( ) ( ) Το γινόμενο J 1 J 3 είναι αρνητικό διότι προφανώς το J 1 >0 και το J 3 <0 επειδή ( )( ) ( ) 0 c+d a+b -ac+bd > (εάν χρησιμοποιήσουμε κατάλληλα την ανισότητα του Schwarz). Τελικά ο κύκλος x +y =R μετασχηματίζεται σε έλλειψη όταν επιδράση σε αυτόν ένας πίνακας Α. Εάν θεωρήσουμε τον μοναδιαίo κύκλο x +y =1 και τον 1 1 πίνακα A =, προκύπτει η έλλειψη του 0 1 διπλανού σχήματος. 5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ Το γνωστό ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο του διανυσματικού χώρου R 3 μπορεί να γραφεί με την βοήθεια του ταυτοτικού πίνακα Ι 3 ως εξής u1 1 0 0 u1 ( vu, ) = vu 1 1+ vu + v3u3 = ( v, v, v3) u = ( v, v, v3) 0 1 0 u u 3 0 0 1 u 3 Τίθεται τώρα το ερώτημα: Εκτός από τον ταυτοτικό πίνακα Ι 3 μπορούμε να βρούμε άλλους πίνακες Α, οι οποίοι να ορίζουν εσωτερικό γινόμενο από την σχέση: όπου = ( vvv, ) 1 3 ( vu, ) = vau v η γραμμή που αντιστοιχεί στο διάνυσμα - 161 - v1 u1 v = v και u = u ; v 3 u 3
ΚΕΦΑΛΑΙΟ V Η απάντηση είναι θετική, αρκεί να ικανοποιούνται οι τρείς ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου: 1. ( v,u V)[ (v,u)=(u,v) ] (Συμμετρική ιδιότητα). ( α,β F)( v,u,w V)[ (αv+βu,w)=α(v,w)+β(u,w) ] (Γραμμική ιδιότητα) 3. ( v V)[ (v,v) 0 και (v,v)=0 v=0 ] (Θετικά ορισμένη ιδιότητα) Η πρώτη ιδιότητα ικανοποιείται εάν ο πίνακας Α είναι συμμετρικός, Α =Α, διότι εφόσον το v Au είναι αριθμός, θα είναι (v Au) =v Au και επομένως: (v,u)=v Au=(v Au) =u A (v ) =u Av=(u,v) Η δεύτερη ιδιότητα ικανοποιείται από οποιονδήποτε πίνακα λόγω της γραμμικότητας του πολλαπλασιασμού των πινάκων. Πράγματι: ( v + u, w) = ( v + u) Aw = ( v + u ) Aw = v Aw + u Aw = ( v, w) + ( u, w ) και (, ) ( ) kvu = kv Au= kvau= k( vu, ) Και μένει η τρίτη ιδιότητα. Αυτή απαιτεί μια ιδιαίτερη συμπεριφορά του πίνακα Α που μας οδηγεί στην έννοια του θετικά ορισμένου πίνακα. Ορισμός 1: Κάθε συμμετρικός πίνακας Α, τάξεως n n λέγεται θετικά ορισμένος εάν vav > 0 για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα v. Θεώρημα 1: Εάν Β είναι ένας μη ιδιάζων πίνακας, (δηλαδή ο Β είναι αντιστρέψιμος), τότε ο πίνακας B B, α) είναι συμμετρικός και β) είναι θετικά ορισμένος. Απόδειξη: α) (B B) =B B = B B. Άρα ο B B είναι συμμετρικός. β) Εφόσον ο Β είναι μη ιδιάζων, Bv 0 για κάθε μη μηδενικό διάνυσμα v. Άρα το γινόμενο του Bv με τον εαυτό του, (Bv) (Bv) είναι θετικό. Επομένως v ( B B) v = ( v B )( Bv) = ( Bv) ( Bv) > 0 Συμπέρασμα: Για να κατασκευάσουμε ένα εσωτερικό γινόμενο αρκεί να θεωρήσουμε έναν τυχαίο πίνακα Β, μη ιδιάζοντα, και τον πίνακα Α=Β Β. Τότε η σχέση ( vu, ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο. = vau Ερώρτημα: Εάν μας δοθεί ένας συμμετρικός πίνακας Α, ποιες συνθήκες πρέπει να ικανοποιεί ώστε να είναι θετικά ορισμένος έτσι ώστε να ορίζει εσωτερικό γινόμενο; Υπάρχουν διάφορα κριτήρια: 1) Να μπορέσουμε να τον γράψουμε ως γινόμενο Α=Β Β, με Β μη ιδιάζοντα πίνακα, (όπως παραπάνω). ) Την έκφραση vav να την γράψουμε ως άθροισμα τετραγώνων. - 16 -
ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 3) Να χρησιμοποιήσουμε το κριτήριο των οριζουσών, ( κριτήριο Sylveser), που λέει ότι όλες οι πρωταρχικές υποορίζουσες του πίνακα Α να είναι θετικές Σαν πρωταρχική ελλάσονα ορίζουσα τάξεως k ορίζεται η ορίζουσα του υποπίνακα του Α που προκύπτει εάν από τον πίνακα Α αφαιρέσουμε τις τελευταίες n-k γραμμές και n-k στήλες. Το κριτήριο αυτό είναι ισοδύναμο με το να μετατρέψουμε τον πίνακα Α σε άνω τριγωνικό και τα στοιχεία της διαγωνίου να είναι θετικοί αριθμοί 4) Οι ιδιοτιμές (17 του συμμετρικού πίνακα Α να είναι όλες θετικές. 45 3 5 Παράδειγμα 1: Ας θεωρήσουμε τον 3 3 πίνακα A = 3 13 3. 5 3 11 Η πρωταρχική ελλάσονα ορίζουσα τάξεως 1 προκύπετει από τον πίνακα Α εάν αφαιρέσουμε τις n-1=3-1= τελευταίες γραμμές και τις τελευταίες στήλες. Αυτό που μένει είναι ο υποπίνακας 1 1 που αποτελείται από τον αριθμό 45>0. Στη συνέχεια, η πρωταρχική ελλάσονα ορίζουσα τάξεως προκύπτει από τον πίνακα Α εάν αφαιρέσουμε n-=3-=1 την τελευταία γραμμή και την τελευταία στήλη. Αυτό που 45 3 μένει είναι ο υποπίνακας, 3 13 του οποίου η ορίζουσα είναι 45 13-3 =54 >0. Και τέλος η πρωταρχική ελλάσονα ορίζουσα τάξεως 3 είναι η ορίζουσα του πίνακα Α, της οποίας η τιμή είναι Α =576>0. Επομένως το κριτήριο των οριζουσών ισχύει και επομένως ο πίνακας Α ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο. α β Παράδειγμα : Έστω ο πίνακας A = τάξεως. Θα βρούμε τις συνθήκες που γ δ πρέπει να ικανοποιούν τα στοιχεία του για να είναι θετικά ορισμένος. Α) Κατ αρχήν θα πρέπει να είναι συμμετρικός, άρα β=γ. Β) Εφαρμόζουμε το κριτήριο των οριζουσών, από το οποίο προκύπτει ότι η πρωταρχική ελλάσονα ορίζουσα τάξεως 1 είναι το α που πρέπει να είναι θετικό, άρα α>0. Επίσης η πρωταρχική ελλάσονα ορίζουσα τάξεως είναι: Α =αδ-β >0 αδ>β και επειδή α>0 έπεται ότι και δ>0. Τελικά οι συνθήκες είναι β=γ, α>0, δ>0 και Α >0. Άλλος τρόπος είναι ο εξής: Θεωρούμε την έκφραση: α β v1 vav = ( v1, v) = αv1 + βvv 1 + δv, η οποία πρέπει να είναι θετική για κάθε γ δ v v 0. Εάν θέσουμε v=(1,0), τότε vav = α>0. Επίσης εάν θέσουμε v=(0,1), τότε vav = δ>0. Και τέλος εάν θέσουμε v=(β,-α), θα έχουμε vav = α( αδ β ) >0 και επειδή α>0 παίρνουμε αδ-β >0. (17 Για τον ορισμό της ιδιοτιμής βλέπε παράγραφο 6.1-163 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ V Οι συνθήκες είναι και αναγκαίες. Πράγματι έστω ότι α>0, δ>0, αδ-β >0. Συμπληρώνουμε το τετράγωνο α v + βv v + δv και παίρνουμε: 1 1 β β β βv αδ-β α v1 vv 1 v δv v α v1 v vav = + + + = + + α α α α α Τελικά vav>0 για κάθε v. Είδαμε προηγουμένως ότι κάθε θετικά ορισμένος πίνακας Α ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο από την σχέση: ( vu, ) = vau. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή: εάν V είναι ένας διανυσματικός χώρος με εωτερικό γινόμενο (, ) και Β={e 1, e,, e n } μια βάση, τότε ο πίνακας Α, που αντιστοιχεί στο εσωτερικό αυτό γινόμενο έχει στοιχεία: α ij =(e i,e j ) και ονομάζεται πίνακας αναπαράσταση του εσωτερικού γινομένου στο V ως προς την βάση Β. Παρατηρούμε ότι ο πίνακας Α είναι συμμετρικός αφού το εσωτερικό γινόμενο είναι συμμετρικό (e i,e j )= (e j,e i ). Ο πίνακας Α εξαρτάται τόσο από το εσωτερικό γινόμενο όσο και από την βάση Β. Τέλος εάν η βάση Β είναι ορθογώνια, τότε ο πίνακας Α είναι διαγώνιος, ενώ εάν η βάση είναι ορθοκανονική, τότε ο Α είναι ο ταυτοτικός πίνακας. Παράδειγμα 3: Τα διανύσματα e 1 =(1,1,0), e =(1,,3), e 3 =(1,3,5) αποτελούν μία βάση Β του διανυσματικού χώρου R 3. Ο πίνακας Α που αναπαριστά το γνωστό εσωτερικό γινόμενο (v,u)=v 1 u 1 +v u +v 3 u 3 έχει τα εξής στοιχεία: α 11 =(e 1,e 1 )=1+1+0= α 1 =(e 1,e )=1++0=3 α 11 =(e 1,e 3 )=1+3+0=4 α 1 =(e 1,e 1 )=1++0=3 α =(e 1,e )=1+4+9=14 α 3 =(e,e 3 )=1+6+15= α 31 =(e 3,e 1 )=1+3+0=4 α 3 =(e 3,e )=1+6+15= α 33 =(e 3,e 3 )=1+9+5=35 Επομένως 3 4 A = 3 14 4 35-164 -
ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του R ως προς την συνήθη βάση {e 1 =(1,0), e =(0,1)} α) T(x,y)=(x, 3x-y) β) T(x,y)=(3x-4y, x+5y) ) Να βρεθεί η παράσταση υπό μορφή πίνακα των τελεστών της προηγουμένης άσκησης ως προς την βάση {f 1 =(1,3), f =(,5)} 3) Η γενική έκφραση ενός τελεστή Τ επί του διανυσματικού χώρου R 3 έχει την μορφή: T(x,y,z)=(α 1 x+α y+α 3 z, β 1 x+β y+β 3 z, γ 1 x+γ y+γ 3 z) Να δειχθεί ότι η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση {e 1 =(1,0,0), e =(0,1,0), e 3 =(0,0,1)} είναι: α1 α α3 [T] e = β1 β β3 γ1 γ γ 3 4) Να βρεθούν οι αναπαραστάσεις υπό μορφή πίνακα των παρακάτω τελεστών επί του διανυσματικού χώρου R 3 ως προς την συνήθη βάση {e i }, i=1,,3 α) T(x,y,z)=(x-3y+4z, 5x-y+z, 4x+7y) β) T(x,y,z)=(y+z, x-4y, 3x) 5) Έστω V ο διανυσματικός χώρος των τετραγωνικών πινάκων τύπου επί του σώματος R και Μ ο πίνακας: M= 1. Θεωρούμε τον τελεστή Τ: V V που 3 4 ορίζεται από την σχέση T: A V T(A) MA. Να βρεθεί η παράσταση του τελεστή Τ υπό μορφή πίνακα ως προς την συνήθη βάση του V που είναι: E 1 = 1 0, E = 0 1, E 3 = 0 0, E 4 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Να βρεθεί το ίχνος του Τ και η παράσταση του τυχαίου διανύσματος Α. 6) Δίνεται ο γραμμικός μετασχηματισμός T: R 3 R, Τ(x,y,z)=(3x+y-4z, x-5y+3z) α) Να βρεθεί η παράσταση του Τ που αντιστοιχεί ως προς τις βάσεις: {f 1 =(1,1,1), f =(1,1,0), f 3 =(1,0,0)} του R 3 και {g 1 =(1,3), g =(,5)} του R β) Να επαληθευθεί η σχέση [ T ] g [v] f f =[T(v)] g. 7) Να δειχθεί ότι η σχέση ΑΒ-ΒΑ=Ι είναι αδύνατη για τους τελεστές Α και Β που ορίζονται σ' ένα χώρο πεπερασμένης διάστασης. 8) Ποιοι από τους παρακάτω πίνακες είναι θετικά ορισμένοι: - 165 -
ΚΕΦΑΛΑΙΟ V 3 4 3 7 1 5 1 5 A=, B=, C=, D = 4 5 4 5 5 8 5 8 9) Να βρείτε τις τιμές το k για τις οποίες οι παρακάτω πίνακες είναι θετικά ορισμένοι. 4 4 k k 5 A=, B=, C = 4 k k 9 5-166 -