ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùí Äéáßñåóç ñçôþí áñéèìþí ÂéâëéïìÜèçìá 3 ï ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèýôç öõóéêü ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèýôç áêýñáéï ÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêþ ìïñöþ áñéèìþí ÄåêáäéêÞ ìïñöþ ôùí ñçôþí áñéèìþí

1 ÂéâëéïìÜèçìá EðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóùí Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ρητοί αριθµοί; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών; Ρητοί αριθµοί Ρητοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που µπορούµε να τους γράψουµε στη µορφή µ ν ή µ όπου µ, ν είναι φυσικοί αριθµοί και ν διάφορος του µηδενός. ν Το σύνολο των ρητών αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµ- µα Q. Οι ρητοί που έχουν πρόσηµο ( + ) λέγονται θετικοί ενώ οι ρητοί που έχουν πρόσηµο ( ) λέγονται αρνητικοί. Στους θετικούς αριθµούς το πρόσηµο ( + ) παραλείπεται,ενώ αντίθετα στους αρνητικούς το πρόσηµο ( ) δεν παραλείπεται. Άξονας Τι ονοµάζουµε άξονα ρητών αριθµών; Μια ευθεία στην οποία έχουµε τοποθετήσει τους ακέραιους αριθµούς και τα θετικά και αρνητικά κλάσµατα ονοµάζουµε άξονα των ρητών. (Αυθαίρετα θεωρούµε ένα σηµείο Ο ως την αρχή όπου τοποθετούµε το 0) Áñíçôéêïß O Èåôéêïß -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5-1 1 3

14. Οι ρητοί αριθµοί Απόλυτη τιµή Τι ονοµάζεται απόλυτη τιµή ενός αριθµού α και τι παριστάνει αυτή πάνω σε άξονα; Να βρεθεί η απόλυτη τιµή των αριθµών: + 6, 6, 1/, 0-6 0 Áðüóôáóç 6 0 6 Áðüóôáóç 6 Το µέγεθος ενός αριθµού α το ονοµάζουµε απόλυτη τιµή του α και το συµβολίζουµε µε α. Για παράδειγµα: + 6 = 6, 1 1 =, 6 = 6, 0 = 0 Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού α, εκφράζει την απόσταση του σηµείου που αντιστοιχεί στον αριθµό α πάνω στον άξονα, από την αρχή Ο του άξονα. Μεταξύ δύο αριθµών, µεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα. π.χ. +8 > +4 και +3 > 5 3 1 Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό, π.χ. + >. 5 3 Μεταξύ δύο θετικών, µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή, π.χ. +9 > +3 γιατί + 9 = 9 και + 3 = 3. Μεταξύ δύο αρνητικών, µεγαλύτερος είναι εκείνος που έχει τη µικρότερη απόλυτη τιµή, π.χ. 10 < γιατί 10 = 10 και =. Το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό. Έτσι αν ο α είναι θετικός αριθµός τότε α > 0, ενώ αν ο α είναι αρνητικός τότε α < 0. Αντίθετοι αριθµοί Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται αντίθετοι; Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι αντίθετοι: 3, 1/3, +, + 3,, /3. ύο αριθµοί µε την ίδια απόλυτη τιµή και διαφορετικό πρόσηµο ονοµάζονται αντίθετοι αριθµοί. Για παράδειγ- µα αντίθετοι είναι οι : 3 και +3 και οι + και. Γενικά ο αντίθετος του αριθµού α είναι ο α. Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 15. Οµόσηµοι Ετερόσηµοι αριθµοί Ποιοι αριθµοί λέγονται οµόσηµοι; Ποιοι αριθµοί λέγονται ετερόσηµοι; Να χαρακτηρίσετε τα παρακατω ζεύγη αριθµών: µε +4, +3 µε +6, 1/3 µε 3/5 σε οµόσηµους ή ετερόσηµους. Οµόσηµοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο. Ετερόσηµοι λέγονται οι αριθµοί που έχουν διαφορετικό πρόσηµο. οι και +4 είναι ετερόσηµοι οι +3 και +6 είναι οµόσηµοι οι 1/3 και 3/5 είναι οµόσηµοι Πρόσθεση οµόσηµων αριθµών Πως προσθέτουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς; Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: (+3) + (+), ( 7) + ( ). Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθ- µούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα βάζουµε το κοινό τους πρόσηµο. Για παράδειγµα, ( + 3) + ( + ) =+ ( 3+ ) =+ 5= 5 ( 7) + ( ) = ( 7+ ) = 9 Πρόσθεση ετερόσηµων αριθµών Πως προσθέτουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθ- µούς; Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: (+5) + ( 7), 10 3 + + 4 4 Για να προσθέσουµε ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, αφαιρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από τη µεγαλύτερη και στο αποτέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Για παράδειγµα, ( + 5) + ( 7) = ( 7 5) = 10 3 10 3 7 + + = + = + 4 4 4 4 4 Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

16. Οι ρητοί αριθµοί Ιδιότητες της πρόσθεσης Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; 1. Αντιµεταθετική ιδιότητα: α + β = β + α π.χ. ( + 3) + ( + ) = ( + ) + ( + 3) =+ ( + 3) =+ 5= 5. Προσεταιριστική ιδιότητα: α + (β + γ) = (α + β) + γ [ ] [( ) ( )] ( ) π.χ. ( + ) + ( 3) + ( + 4) = + + 3 + + 4 = + 3= 3 Το άθροισµα δύο αντίθετων αριθµών είναι µηδέν, δηλαδή α + ( α) = 0. π.χ. (+5) + ( 5) = 0 Όταν ο ένας προσθετέος είναι το µηδέν τότε α + 0 = α. π.χ. (+3) + 0 = +3, ( 6) + 0 = 6 Μέθοδοι υπολογισµού αθροίσµατος Αναφέρετε δύο µεθόδους υπολογισµού αθροίσµατος πολλών προσθετέων. Να υπολογιστεί το παρακάτω άθροισµα και µε τις δύο µεθόδους: ( 7) + ( 5) + (+) + (+7) + ( 1) Η πρώτη µέθοδος για τον υπολογισµό αθροίσµατος πολλών προσθετέων αναπτύσεται στα εξής βήµατα: 1. ιαγράφουµε τους αντίθετους προσθετέους ( αν υπάρχουν ) γιατί έχουν άθροισµα µηδέν.. Χωρίζουµε τους θετικούς από τους αρνητικούς. 3. Προσθέτουµε τους θετικούς µεταξύ τους και τους αρνητικούς µεταξύ τους και µετά βρίσκουµε το αποτέλεσµα. π.χ. ( 7) + ( 5) + ( + ) + ( + 7) + ( 1) = 1 ο βήµα ( 7) + ( 5) + ( + ) + ( + 7) + ( 1) = ο βήµα ( + ) + ( 5) + ( 1) = 3 ο βήµα ( + ) + ( 6) = ( 6 ) = 4 Η δεύτερη µέθοδος υπολογισµού ενός αθροίσµατος είναι να προσθέσουµε τους δύο πρώτους αριθµούς, στο άθροισµα αυτών να προσθέσουµε τον τρίτο, στο νέο άθροισµα να προσθέσουµε τον τέταρτο και συνεχίζουµε µέχρι να τε- Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 17. λειώσουν οι όροι. π.χ. ( 7) + ( 5) + ( + ) + ( + 7) + ( 1) = ( 1) + ( + ) + ( + 7) + ( 1) = ( 10) + ( + 7) + ( 1) = ( 3) + ( 1) = 4 Για την απλούστευση της γραφής, παραλείπουµε το σύµβολο της πρόσθεσης και τις παρενθέσεις και γράφουµε τους όρους τον έναν δίπλα στον άλλον µε το πρόσηµό τους, π.χ. ( + ) + ( 3) + ( + 6) = 3+ 6 Οι προσθετέοι λέγονται και όροι του αθροίσµατος. ιαφορά ρητών αριθµών Τι ονοµάζουµε διαφορά δύο ρητών αριθµών α, β; Να υπολογίσετε τις διαφορές: (+4) ( ) (+7) (+3) Αν α, β είναι δύο ρητοί αριθµοί, τότε ο ρητός αριθ- µός x που αν προστεθεί στο β µας δίνει τον α ονοµάζεται διαφορά του β από τον α. ηλαδή αν β + x = α τότε x = α β. Γενικά για να βρούµε τη διαφορά α β, προσθέτουµε στον α τον αντίθετο του β, δηλαδή: α β = α + (αντίθετος του β) ή α β = α + ( β). ( + 4) ( ) = ( + 4) + ( + ) =+ 6= 6 ( + 7) ( + 3) = ( + 7) + ( 3) =+ 4= 4 Ο αριθµός α ονοµάζεται µειωτέος και ο β αφαιρεταίος. Απαλοιφή παρενθέσεων Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων όταν µπροστά από την παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( + ) ; Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων όταν µπροστά από την παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( ) ; Να γίνενι απαλοιφή των παρενθέσεων στις παρακάτω παραστάσεις: (+3 + 4) + ( 4 + 6) και (3 + 4) -( 4 +6) Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

18. Οι ρητοί αριθµοί Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( + ), απαλοίφουµε την παρένθεση µαζί µε το πρόση- µο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε τα πρόσηµά τους. Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( ), απαλοίφουµε την παρένθεση µαζί µε το πρόσηµο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε αλλαγµένα πρόσηµα. Για παράδειγµα, ( + 3 + 4) + ( 4+ 6) =+ 3 + 4 4+ 6 ( 3 + 4) ( 4+ 6) = 3+ 4+ 4 6 Σε µια αριθµητική παράσταση όπου εκτός από παρενθέσεις, περιέχει και αγκύλες ή άγκιστρα, η απαλοιφή τους γίνεται οµοίως µε αυτή των παρενθέσεων. 1. Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο αποτέλεσµα βάζουµε το κοινό τους πρόσηµο.. Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, αφαιρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από τη µεγαλύτερη και στο αποτέλεσµα βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. 3. Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( + ), απαλοίφουµε την παρένθεση µαζί µε το πρόσηµο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε τα πρόση- µά τους. 4. Όταν µπροστά από µια παρένθεση υπάρχει το πρόσηµο ( ), απαλοίφουµε την παρένθεση µαζί µε το πρόσηµο και γράφουµε τους όρους που περιέχει µε αλλαγµένα πρόσηµα. Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 19. Να τοποθετήσετε πάνω σε έναν άξονα τους παρακάτω ρητούς αριθµούς: 3 3 5 6 4 5 4,, 3,5,, 3, 5,,, 1,,, 5, 6,3, 5,6, 8 3 8 0 Είναι : 3 = 4 8 4 = 0,5 8 Έτσι έχουµε: 3 = 1, 5 5,5 = 6 3 = 5 = 0, 5 0 Για να τοποθετήσουµε τους αριθ- µούς, που είναι σε µορφή κλάσµατος πάνω στον άξονα, είναι ευκολότερο να κάνουµε τη διαίρεση που συµβολίζει το κλάσµα και να τους µετατρέψουµε σε δεκαδικούς ή ακέραιους. Έτσι κατανοούµε καλύτερα που πρέπει να τοποθετηθούν. Να βρείτε τις απόλυτες τιµές των παρακάτω αριθµών και τους αντίθετους αυτών. α. 8 β. +4,5 γ. 1 δ. 8,3 ε. 3 Η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι πάντα θετικός αριθµός. Άρα: α. 8 =+ 8 β. + 4,5 = + 4,5 γ. δ. 8,3 = + 8,3 ε. 6 6 + = + στ. 5 5 1 1 = + 3 3 7 7 = + 8 8 6 + στ. 5 7 8 Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

0. Οι ρητοί αριθµοί Επίσης γνωρίζουµε ότι δύο αριθµοί είναι αντίθετοι όταν έχουν την ίδια απόλυτη τιµή αλλά διαφορετικό πρόσηµο. Άρα: α. Ο αντίθετος του 8 είναι το +8. β. Ο αντίθετος του +4,5 είναι ο 4,5 γ. 1 1 Ο αντίθετος του είναι ο +. 3 3 δ. Ο αντίθετος του 8,3 είναι ο +8,3. ε. Ο αντίθετος του στ. Ο αντίθετος του 6 + είναι ο 5 7 είναι ο 8 6. 5 7 +. 8 Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο σύµβολο ανισότητας µικρότερο (< ) ή µεγαλύτερο ( >). α. +5...+7 β. 7,8... +0,5 γ. 3,1...,9 1 1 δ.... 4 ε. 1,8... 1,08 στ. 3... 8 ζ. +13... +8 1 η.... 8 3 α. +5 < +7 β. 7,8 < +0,5 γ. 3,1 <,9 δ. ε. 1,8 < 1,08 στ. 3 > 8 ζ. +13 > +8 η. 1 1 < 4 1 > 8 3 Να συµπληρώσετε τα κενά τοποθετώντας κατάλληλα ένα ρητό αριθµό: α. 4 <... < + β. 5 <... < 0 γ. <... < 1 δ. 1 <...< 1 ε. 4 <... < 5 στ. 0 <... < 1/ α. 4 < 1 < + β. 5 < 3 < 0 γ. < 1,5 < 1 δ. 1 < 0 < 1 ε. 4 < 4,5 < 5 στ. 0 < 1/3 < 1/ Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Αριθµός α +1/3 /5 7 4 Απόλυτη τιµή του α Αντίθετος του α Αντίθετος του ( α) Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 1. Αριθµός α +1/3 /5 7 4 Απόλυτη τιµή του α α +1/3 /5 7 4 Αντίθετος του α α 1/3 /5 7 4 Αντίθετος του ( α) ( α) 1/3 /5 7 4 ίνονται οι αριθµοι 7, 6, 5, 4, 3,, 1, 0, +1, +, +3, +4, +5. Από τους προηγούµενους αριθµούς να βρεθούν εκείνοι για τους οποίους ισχύουν οι παρακάτω προτάσεις: α. Είναι µικρότεροι του. β. Έχουν αντίθετο µικρότερο του. γ. Είναι µεγαλύτεροι του 4. δ. Έχουν αντίθετο µεγαλύτερο του +. ε. Η απόλυτη τιµή είναι µικρότερη του +4. στ. Η απόλυτη τιµή είναι µεγαλύτερη από το +. ζ. Βρίσκονται µεταξύ -5 και +1. η. Η απόλυτη τιµή βρίσκεται µεταξύ +1 και +5. θ. Η απόστασή τους από το µηδέν στον άξονα είναι 4 µονάδες. α. Οι αριθµοί που είναι µικρότεροι του είναι: 3, 4, 5, 6, 7. β. Οι αριθµοί που έχουν αντίθετο µικρότερο του είναι: +3, +4, +5. γ. Οι αριθµοί που είναι µεγαλύτεροι του 4 είναι: 3,, 1, 0, +1, +, +3, +4, +5. δ. Οι αριθµοί που έχουν αντίθετο µεγαλύτερο του + είναι: 3, 4, 5, 6, 7. ε. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του +4 είναι: +3, +, +1, 0, 1,, 3. στ. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του + είναι: 7, 6, 5, 4, 3, +3, +4, +5. ζ. Οι αριθµοί που βρίσκονται µεταξύ +1 και 5 είναι: 4, 3,, 1, 0 η. Οι αριθµοί των οποίων η απόλυτη τιµή είναι µεταξύ +1 και +5 είναι:+, +3, +4,, 3, 4. θ. Οι αριθµοί που η απόστασή τους από το Ο στον άξονα είναι 4 µονάδες είναι αυτοί που έχουν απόλυτη τιµή ίση µε 4. Άρα 4 = 4 και + 4 = 4 οπότε οι αριθµοί είναι : 4, + 4. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 1 α. ( 8) + ( + 3) + ( + ) + ( 3) + ( 5) + ( + 6) β. ( 4,3) + ( + 5,1) + ( 1,8) + + + ( 7) γ. 1 5 + + + + ( 1) 3 4 6 δ. 4+ 5 8+ 11+ 1 + 4 16 Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

. Οι ρητοί αριθµοί α. ( 8) + ( + 3) + ( + ) + ( 3) + ( 5) + ( + 6) = ιαγράφουµε τους αντίθετους: ( 8) + ( + 3) + ( + ) + ( 3) + ( 5) + ( + 6) = Χωρίζουµε θετικούς και αρνητικούς: ( + ) + ( + 6) + ( 8) + ( 5) = Προσθέτουµε θετικούς και αρνητικούς: ( + 8) + ( 13) = Είναι ετερόσηµοι, οπότε βάζουµε το πρόσηµο του αριθµού µε την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή και κάνουµε την αφαίρεση: ( 13 8) = 5 β. Ακολουθώντας τα ίδια βήµατα έχουµε: 1 + + + + + + = ( 4, 3) ( 5,1) ( 1,8 ) ( 7) 1 + + + + + + = ( 5,1) ( 4, 3) ( 1,8 ) ( 7) ( + 5,1) + ( 0, 5) + ( 4, 3) + ( 1,8 ) + ( 7) = ( + 5, 6) + ( 13,1) = ( 13,1 5,6) = 7,5 γ. Κάνουµε ότι και προηγουµένως αφού κάνουµε πρώτα τα κλάσµατα οµώνυµα: 1 5 + + + + ( 1) = 3 4 6 (Το Ε.Κ.Π. είναι το 1) Άρα 8 3 10 1 + + + + = 1 1 1 1 10 3 3 10 13 + + = = 1 1 1 1 1 δ. 4 + 5 8 + 11+ 1 + 4 16 = + 5 8 + 11+ 1 16 = + 5+ 11+ 1 8 16= + 8 46 = ( 46 8) = 18 Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά µε έναν αριθµό έτσι ώστε να ισχύουν οι ισότητες: α.... + ( 1) = +1 β.... + ( 0) = 4 γ. (+5) +... = 0 δ. ( 10) +... = 5 α. Παρατηρούµε ότι (+13) + ( 1) = + (13 1) = +1. Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 3. Άρα το κενό συµπληρώνεται µε τον αριθµο +13. β. (+16) + ( 0) = (0 16) = 4. Άρα ο αριθµός είναι το +16. γ. (+5) + ( 5) = 0. Αφού οι αντίθετοι αριθµοί έχουν άθροισµα 0. δ. ( 10) + (+5) = (10 5) = 5. Άρα ο αριθµός είναι το +5. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα Α = x + y +z και B = x + y + ω όταν x =, y = +5, z = + 1/, ω = -/3. Α = x + y + z (1) Αντικαθιστώντας στην (1)έχουµε: ( ) 1 A ( 5) = + + + + Ε.Κ.Π. (1,) = Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα: 4 10 1 A = + + + + 4 11 11 4 7 A = + + = + = + B = x + y + ω () Οµοίως έχουµε: ( ) B ( 5) = + + + 3 Ε.Κ.Π. (1,3) = 3 Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε οµώνυµα: 6 15 B = + + + 3 3 3 6 15 B = + + + 3 3 3 8 15 15 8 7 B = + + = + = + 3 3 3 3 3 Να εξετάσετε αν το τετράγωνο είναι µαγικό. Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

4. Οι ρητοί αριθµοί Ένα τετράγωνο είναι µαγικό όταν το άθροισµα των αριθµών σε κάθε γραµµή, στήλη και διαγώνιό του είναι το ίδιο. Έχουµε κατα γραµµή: i. ( + 8) + ( 5) + ( 6) + ( + 5) = ( + 8) + ( 6) =+ ( 8 6) =+ ii. ( 3) + ( + ) + ( + 3) + 0= ( + ) + 0=+ iii. ( + 1) + ( ) + ( 1) + ( + 4) = ( ) + ( + 4) = + ( 4 ) = + iv. ( 4) + ( + 6) + ( + 7) + ( 7) = ( 4) + ( + 6) = + ( 6 4) = + Κατά στήλη έχουµε: v. ( + 8) + ( 3) + ( + 1) + ( 4) = ( + 8) + ( + 1) + ( 3) + ( 4) = ( + 9) + ( 7) =+ ( 9 7) =+ vi. ( 5) + ( + ) + ( ) + ( + 6) = ( 5) + ( + 6) = + ( 6 5) = + 1 Παρατηρούµε ότι η δεύτερη στήλη του τετραγώνου έχει διαφορετικό άθροισµα (+1) ενώ στις γραµµές και στην πρώτη στήλη είχαµε (+). Άρα το τετράγωνο δεν είναι µαγικό. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: A= ( + 18) ( 9) + ( ) ( + 18) + ( 7) ( 11) + ( 5) Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις και έχουµε: A= ( + 18) ( 9) + ( ) ( + 18) + ( 7) ( 11) + ( 5) A= ( + 18) + ( + 9) + ( ) + ( 18) + ( 7) + ( + 11) + ( 5) A= ( + 9) + ( + 11) + ( ) + ( 7) + ( 5) A= ( + 0) + ( 14) =+ ( 0 14) =+ 6 Γενικά για να µετατρέψουµε την αφαίρεση σε πρόσθεση αλλάζουµε το σύµβολο της πράξης και βάζουµε στον αφαιρετέο αντίθετο πρόσηµο. π.χ. ( + 9) ( 8) = ( + 9) + ( + 8) ή ( 5) ( 3) = ( 5) + ( 3) Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: A= ( 10) + ( 7) ( 18) + ( ) + ( + 7) ( + 6) 1 5 7 B = 1 + + + 3 4 6 1 Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις και έχουµε: A= ( 10) + ( 7) + ( + 18) + ( ) + ( + 7) + ( 6) Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 5. ιαγράφουµε τους αντίθετους : A = ( 10) + ( 7) + ( + 18) + ( ) + ( + 7) + ( 6) Χωρίζουµε θετικούς και αρνητικούς: Κάνουµε τις πράξεις: ( ) ( ) ( ) ( ) A 18 10 6 = + + + + A = ( + 18) + ( 18) = 0 Οµοίως µετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις: 1 5 7 B= 1+ + + + + 3 4 6 1 Ε.Κ.Π. (3, 4, 6, 1) = 1 Μετατρέπουµε σε οµώνυµα: 1 8 3 10 7 B = + + + + + 1 1 1 1 1 Χωρίζουµε θετικούς και αρνητικούς: 1 7 8 3 10 B = + + + + + 1 1 1 1 1 Κάνουµε τις πράξεις: 19 1 1 19 1 B = + = = = 1 1 1 1 1 6 Να λυθούν οι εξισώσεις: α. x + ( 10) = 8 β. x ( ) = + 6 α. Αν προσπαθήσουµε να περιγράψουµε την εξίσωση µε λόγια θα πούµε ότι ο άγνωστος x, αν προστεθεί στο 10 µας δίνει 8. Άρα ο x είναι η διαφορά του 10 από το 8. ηλαδή: x = 8 ( 10). Έχουµε: x = 8 ( 10) = 8 + (+10) = + (10 8) = + β. Οµοίως εργαζόµαστε και σε αυτήν την εξίσωση αφού όµως πρώτα µετατρέψουµε την αφαίρεση σε πρόσθεση. x + (+) = +6. Άρα λοιπόν ο x αν προστεθεί στο (+) µας δίνει +6. Οπότε ο x είναι η διαφορά του + από το +6. Άρα: x = + 6 (+) = +6 + ( ) = + (6 ) = + 4. Παρατήρηση: Το παράδειγµα 8 µπορεί να λυθεί και σαν εξίσωση αν στο κάθε κενό τοποθετήσουµε το x. Λύστε το και µε αυτόν τον τρόπο µόνοι σας για εξάσκηση!!! Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

6. Οι ρητοί αριθµοί Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α 4 4 β 3 +8 γ 5 +6 1 α + β γ 8 +16 +7 Στην πρώτη στήλη του πίνακα έχουµε: α + β γ = 8 Αντικαθιστούµε τα α, β, γ µε τους αριθµούς του πίνακα. Σε όποιο γράµµα δεν γνωρίζου- µε την τιµή του το αντικαθιστούµε µε x δηµιουργώντας έτσι µία εξίσωση. Άρα: 4 + x ( 5) = 8 Μετατρέπουµε τις αφαιρέσεις σε προσθέσεις: 4 + x + (+5) = 8 Κάνουµε τις πράξεις: x + (4 + 5) = 8 x + 9 = 8 Ο x προστίθεται στο +9 και µας δίνει 8. Άρα ο x είναι η διαφορά του +9 από το 8. ηλαδή: x = 8 (+9) = 8 + ( 9) = 17. Οµοίως στη δεύτερη στήλη έχουµε α + β γ = +16 Αντικαθιστούµε και έχουµε: x + ( ) (+6) = +16 x + ( ) + ( 6) = +16 x + ( 8) = +16 Ο x προστίθεται στο 8 και µας δίνει +16. Άρα ο x είναι η διαφορά του 8 από το +16. ηλαδή: x = +16 ( 8) = +16 + (+8) = +4 Στην τρίτη στήλη έχουµε: α + β γ = 15 Αντικαθιστούµε και έχουµε: 4 + ( 3) x = + 7 (4 + 3) x = + 7 7 x = + 7 Ο x αφαιρείται από το 7 και µας δίνει +7. Άρα ο x είναι η διαφορά του +7 από το 7. ηλαδή x = 7 (+7) = 7 + ( 7) = 14 Η τέταρτη στήλη του πίνακα είναι µία απλή αντικατάσταση: α + β γ = x +(+8) ( 1) = x +(+8) + (+1) = x + (+9) = x +7 = x Άρα οι αριθµοί που λείπουν από τον πίνακα είναι οι: 17, +4, 14 και +7 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή παρενθέσεων: Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 7. A = ( 4+ 5 16+ 8) + ( 8+ 7 3+ ) B= ( 1+ 9 0) ( 14+ 15 5) Εφαρµόζουµε τους κανόνες απαλοιφής παρενθέσεων και έχουµε: A= ( 4+ 5 16+ 8) + ( 8+ 7 3+ ) ή A = 4 5+ 16 8 8+ 7 3+ ή A = + 16+ 7+ 4 5 8 8 3 ή A = 5 8 ή A = 3 Όµοια έχουµε: B = ( 1 + 9 0) ( 14 + 15 5) ή B = 1 9 + 0 + 14 15 + 5 ή B= 0+ 14+ 5 1 9 15 ή B= 39 36= + 3 Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: A = ( 10 α+ β) + ( 11 α+ β) A = ( 10 α+ β) + ( 11 α+ β) ή Α = 10+ α β + 11 α + β ή Α = 10+ 11=+ 1 Στην παρακάτω παράσταση να βάλετε τον ο και 4 ο όρο µέσα σε παρένθεση που να έχει µπροστά το πρόσηµο ( ): Α= 3 x+ y+ 15+ 7 Ο δεύτερος όρος είναι το x και ο τέταρτος το +15. Άρα θα έχουµε: Α = 3 ( x 15) + y + 7 Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίσες µε α β: α. ( β) ( α) β. ( α) (+β) γ. ( α) ( β) α. ( β) ( α) = +β + α = α + β. εν είναι ίσο µε α β. β. ( α) (+β) = +α β = α β. Είναι ίσο µε α β. γ. ( α) ( β) = + α + β= α + β. εν είναι ίσο µε α β. Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

8. Οι ρητοί αριθµοί 1. Να τοποθετήσετε πάνω σε άξονα τους παρακάτω ρητούς αριθµούς: 8, +6, +4/8, 8/4, +0, 15, +10,5, +1 1. Να βρείτε τις απόλυτες τιµές των αριθµών: α. 10,8 β. 1,5 γ. + 7,3 δ. 5,6 ε. 5 8 στ. 6 + 5 3. Να διατάξετε τους παρακάτω ρητούς αριθµούς κατά µέγεθος αρχίζοντας από τον µικρότερο. α. 5, 7, 0,, + 4, 8, + 1 β. 30,5, 4, + 7,3, + 7,1, 4,4 3 3 1 3 4 7 γ. +, 4, 5,,, + 4 10 4 5 5 10 4. Σηµειώστε µε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω εκφράσεις: α. 7 < β. 7< γ. + 8< 8 δ. + 8 < 8 ε. 5< 9 στ. 4 < 0 ζ. 4< 0 η. 0< 6 5. Να βάλετε το κατάλληλο σηµείο ανισότητας στα κενά: α. 8... + 3 β. 3... 8 γ. 0... 5 δ. + 5... + 7 ε. 4,... 0 στ. 0... 0,1 ζ. 7,8... 7,08 η. 5,1... 5 6. Να βρείτε τους αντίθετους των παρακάτω αριθµών: α. 1 10 β. 8 + γ. 3 ε. + 13,5 στ. 6,7 ζ. 1 5 δ. 6 11 18 η. 5 6 + 7 Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 9. 7. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: Αριθµός x 4,5 +1/8 /3 +11 1,3 Απόλυτη τιµή του x Αντίθετος του x Αντίθετος του x 8. Ελέγξτε αν έχουν γίνει σωστά οι πράξεις και διορθώστε τα λανθασµένα αποτελέσµατα. (Σηµειώστε Σ στο σωστό και Λ στο λάθος) α. ( + 4) + ( + 1) =+ 16 β. ( 3, ) + ( +,3) = 0,9 γ. ( 9) + ( + 4) = 5 ( + 1, 6) + (,1) = + 0, 5 ( 9) + ( ) =+ 11 ( 4, 4) + ( + 5, 4) = + 0,1 ( + 8) + ( 15) = 3 ( 6, 6) + ( 6, 6) = 1,1 9. Να συµπληρώσετε το κενό µε ένα από τα σύµβολα >, < ή = : α. ( + 17) + ( + 11 )... ( + 3) β. ( 15) + ( + 15 )... + 15 γ. ( + 3) + ( 19 )... + δ. ( 15) + ( + 88 )... ( 5) + ( + 98) 5 3 + = 1 8 8 1 1 1 + + = + 3 6 3 1 + + = + 5 3 ε. ( + ) + ( )... 0 στ. ( 54) + ( 37 )... ( 4) + ( 67) ζ. ( 18) + ( 5 )... η. ( 17) + ( + 71 )... ( 5) + ( 5) 10. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: + +33 8 +54 70 +19 45 54 +6 + 1/ 1/3 +3/4 +5/1 +1/ 1/3 1/4 7/1 + 1,5 +0,1 7, +3,9 +, 3,9 +6,5 +0,1 Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

30. Οι ρητοί αριθµοί 11. Να υπολογιστούν οι τιµές των παρακάτω παραστάσεων: A= ( + 10) + ( 1) + ( 8) + ( 16) 1 1 ( ) 11 B= + + + + + 3 6 Γ = 18+ 5 71+ 64 101 = ( + 3,05) + ( 1,15) + ( 7,3) + ( 4,6) ( ) 7 Ε = + + 14 + ( + 18) + 5 10 ΣΤ = 30 45 68 + 5 7 1. Να συµπληρώσετε το διπλανό πίνακα έτσι ώστε να προκύψει µαγικό τετράγωνο. 13. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων: Α = ( 1,8) + ( +,05) + ( + 1,8) + (,05) 1 1 6 Β= 8 + + 4 + + ( ) 3 Γ = ( 7,4) + ( 1,5) + ( + 7,4) + ( 13,) 1 1 1 1 = 1 + + 4 8 10 14. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α., + 7,8 18,6 0,1+ 5,5 β. 3 1 + 5 1 + 8 4 16 1 1 1 γ. 1 + 7 1+ δ. 8,3 10, 1, 4 + 3,75 + 6, 5 3 6 3 ε. 45,18 68,44 14,0 + 68,45 10,13 15. Αν 1 3 1 x =, y= 1, z =, ω = και κ =+ να υπολογίσετε τα παρακάτω 3 αθροίσµατα: A = x+ y+ z B= x+ y+ ω Γ= x+ y+ κ = x+ y+ z+ ω E = x+ y+ z+ κ ΣΤ = x + y + z + ω + κ Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 31. 16. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. ( ) ( + 5) β. ( 8) ( + 1) γ. ( 16, 4) ( 13,6) δ. ( + 6) ( + 4) ( + 33) ( + 40) ( 9,1) ( + 1,9 ) ( + 14) ( 10) ( + 5) ( 3) ( 6,1) ( + 4,9) ( 15) ( 35) ( 60) ( 60) ( 55,5) ( 33,3) 1 3 + 4 5 + 6 3 5 3 + 6 3 4 + 1 + 3 5 5 17. Να να συµπληρωθούν τα κενά µε τα σηµεία <, > ή = : α. ( + 18) ( + 13 )... + 18 β. ( + 1) ( 4 )... + 1 γ. ( + 0) ( + 40 )... 0 δ. + 19 19... 19 ε. 37 37... 0 στ. ( 14) ( 14 )... 0 18. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α. x ( + 1) =+ 1 β. x ( + 0) = 4 γ. x+ ( 15) = 18 δ. x+ ( 8) =+ 10 ε. x+ ( + 5) = 0 στ. x+ ( 7) = 7 ζ. ( + 10) x =+ η. ( + 6) x = 0 θ. x (,5) = + 9 ι. ( + 30) x =+ 55 κ. ( 8) x = 1 λ. 44 + x =+ 19. Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα: α. ( 4) ( 3) ( + 3) + ( + 3) β. ( 8,35) + ( 9,0) ( 4,18) γ. 5 1 + + ( 1) 3 6 3 3 4 7 ε. + 7 + 5 + + 6 4 0 5 10 δ. ( + 88) + ( 45) ( 53) ( + 9) στ. ( + 5,33) ( + 8,44) + ( 1, 9) ( 4,0) 0. Να βρείτε τις τιµές των x και y έτσι ώστε οι τιµές των παραστάσεων Α και Β να είναι µηδέν. A = ( 18) + x + ( 15) ( + 60) ( 100) B= ( + 14) + y ( 16) ( + 9) Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

3. Οι ρητοί αριθµοί 1. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: α. β. α β γ (α + β) γ α (β γ) (α β) + (γ + β) 8 5 9 6 10 4 0 4 α 4 + +1 +15 β +8 7 6 γ +8 10 13 8 α β γ 10 14 +6 +11. Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα: α. ( 75) ( 8) + ( + 60) β. ( + 57) ( + 40) ( 16) γ. ( + 15) ( 6) ( + 6) ( 15) δ. ( 0) ( + 140) ( + 510) + ( 400) 3. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων µε δύο τρόπους: i. απαλοίφοντας τις παρενθέσεις, ii. κάνοντας τις πράξεις µέσα στις παρενθέσεις. α. 30 ( 5 + 6 8) + ( 7 + 18 ) β. ( 44 + 8 1) + ( 10 11) γ. ( 8, 4,91+ 3, 47) ( 5,3 1,88) δ. 1 1 7 4 3 + 8 5 5 10 5 4. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων αφού πρώτα κάνετε απαλοιφή παρενθέσεων. A = ( 5+ 38 17) ( + 55+ 0 64) B= 10 (,8+ 88,) + ( 40+ 60) 5 5 3 5 Γ = + 8 6 1 4 =+ ( 00 160) ( 800 + 30) + 500 4 5 E = 1 5 + 6 3 3 6 ΣΤ = (,1+ 4,5 + 8,7) + ( 5,9 3,5 + 6,6) 3 5 1 1 Z= 1 + 7 4 1 1 3 Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

Οι ρητοί αριθµοί 33. 5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = 0 ( x+ y+ 4) ( x y+ 16) B= ( y+ x 1) + ( x y 11) Γ = ( x+ y + 6) ( x+ y 6) = ( x+ y 18) + ( x y + 18) 6. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων αφού πρώτα απαλοίψετε τις αγκύλες και τις παρενθέσεις: ( ) ( ) A = 1,8 7+ 1,4+ 7,5 8,+ 7,4 B= [ 40 ( 30 15) ] ( 18 5) + ( 30 16) Γ = ( 8 1) ( 7 15) + ( 8+ 10) [ ] [ ] = 3 [ ( 500 + 000) 500] 7. Αν A = x y 10 και B= x+ y+ 0 να υπολογίσετε το Α + Β. 8. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων: α. 0 ( x + y) 35 αν x = 10 και y=+ 8. β. ( x y) 10 ( x+ y) γ. ( x+ y) + ( y x) αν x = 4 και y = 5. αν x = 1 και y = 1. 9. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: A = 18 ( x+ y ) + ( x α) 0 ( y α) αν x y= 4 30. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι ίσες µε x + y και ποιες µε (x + y); α. ( + x) ( y) β. ( x) ( y) γ. x+ ( y) δ. x ( y) ε. ( + x) ( + y) στ. ( x y) ζ. ( x+ y) η. ( y) ( x) Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

34. Οι ρητοί αριθµοί Ερώτηση 1 Πως γίνεται η πρόσθεση δύο ετερόσηµων ρητών αριθµών; Πως γίνεται η απαλοιφή παρενθέσεων όταν υπάρχει µπροστά από την παρένθεση το πρόσηµο ( ) ; Ερώτηση Ποιους ονοµάζουµε οµόσηµους αριθµούς και πως γίνεται η πρόσθεση αυτών; Άσκηση 1 Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. ( 8) + (+3) + (+) + ( 3) + ( 5) + (+6) 1 5 7 β. 1 + + + 3 4 6 1 Άσκηση Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α. x ( 3) =+ 4 β. ( 4) x =+ 1 Άσκηση 3 Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = ( x y) + 1 ( x+ y), αν x = 1 και y= 1. Επανάληψη βασικών εννοιών - Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών - Απαλοιφή παρενθέσεων

ÂéâëéïìÜèçìá Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí ðáñáãüíôùí Äéáßñåóç ñçôþí áñéèìþí Πως πολλαπλασιάζουµε δύο οµόσηµους αριθµούς; Να υπολογιστούν τα γινόµενα: (+) (+4) ( 3) ( ) Πολλαπλασιασµός δύο οµόσηµων αριθµών Για να πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους αριθ- µούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε πρόσηµο (+). ( + ) ( + 4) =+ 8= 8 ( 3) ( ) =+ 6= 6 Πολλαπλασιασµός δύο ετερόσηµων αριθµών Πως πολλαπλασιάζουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς; Να υπολογιστούν τα γινόµενα: ( + 3) ( 4) ( 4) + 3 Για να πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους αριθ- µούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε το πρόσηµο ( ). ( + 3) ( 4) = 1 ( ) 8 4 + = 3 3 Ισχύει ο εξής πρακτικός κανόνας: ( + ) ( + ) = ( + ) ( ) ( ) = ( + ) ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( + ) = ( )

36. Οι ρητοί αριθµοί Ιδιότητες πολλαπλασιασµού Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασµού; Στον πολλαπλασιασµό ισχύουν οι εξής ιδιότητες: α β = β α [Αντιµεταθετική ιδιότητα] 0 α= 0 και 1 α= α ( α β) γ = αβ ( γ) [Προσεταιριστική ιδιότητα] αβ ( + γ) = αβ + αγ ή α β+ α γ = αβ ( + γ) αβ ( γ) = αβ αγ ή α β α γ = αβ ( γ) [Επιµεριστική ιδιότητα] Αντίστροφοι αριθµοί Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίστροφοι; Να βρεθούν οι αντίστροφοι των: +5, 3, /5. ύο αριθµοί που το γινόµενό τους ισούται µε + 1 λέγονται αντίστροφοι αριθµοί. Ο καθένας από αυτούς λέγεται αντίστροφος του άλλου. Για παράδειγµα, 1 Ο αντίστροφος του +5 είναι +. 5 1 Ο αντίστροφος του 3 είναι. 3 Ο αντίστροφος του Οι αντίστροφοι αριθµοί είναι οµόσηµοι αριθµοί. είναι 5 5. Το µηδέν δεν έχει αντίστροφο γιατί δεν ορίζεται το κλάσµα 1 x αν x = 0. Πρόσηµο γινοµένου πολλών παραγόντων Πως υπολογίζουµε το γινόµενο πολλών παραγόντων; Για να υπολογίσουµε το γινόµενο πολλών παραγόντων διάφορων του µηδενός, πολλαπλασιάζουµε τις α- πόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε το πρόσηµο (+) αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιο ή το πρόσηµο ( ) αν το πλήθος των αρνητικών Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 37. παραγόντων είναι περιττό. Σηµείωση: Ένα γινόµενο αριθµών είναι µηδέν αν έστω και ένας από τους παράγοντες του γινοµένου είναι µηδέν. Πρόσηµο πηλίκου δύο αριθµών Πως υπολογίζουµε το πηλίκο δύο αριθµών; Να υπολογιστούν τα αποτελέσµατα των παρακάτω διαιρέσεων: + 4 +, 60 5, + 9 3, 6 +. Για να διαιρέσουµε δύο αριθµούς, διαιρούµε τις α- πόλυτες τιµές τους και στο πηλίκο αυτό βάζουµε: Πρόσηµο (+) αν είναι οµόσηµοι. Πρόσηµο ( ) αν είναι ετερόσηµοι. Για παράδειγµα, + 4 60 =+ =, =+ 1 = 1, + 5 + 9 6 = 3, = 3. 3 + Για το πηλίκο δύο αριθµών ισχύει ο εξής πρακτικός κανόνας: ( + ) ( ( ) + ) = + ( + ) ( ) = ( ) ( ) ( ( ) ) = + ( ) ( + ) = ( ) Λόγος δύο αριθµών Τι ονοµάζεται λόγος δύο αριθµών α, β; Το πηλίκο α : β ή α β, µε β 0 ονοµάζεται ο λόγος του α προς το β. Ο α ονοµάζεται διαιρετέος, ο β διαιρέτης και το αποτέλεσµα πηλίκο. Ο διαιρέτης πρέπει να είναι διάφορος του µηδενός. Γενικά, για να διαιρέσουµε δύο αριθµούς αρκεί να πολλαπλασιάσουµε το διαιρετέο µε τον αντίστροφο του διαιρέτη, δηλαδή α = α 1 β β Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

38. Οι ρητοί αριθµοί 1. Για να πολλαπλασιάσουµε δύο οµόσηµους ρητούς αριθµούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε το πρόσηµο ( + ).. Για να πολλαπλασιάσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αριθµούς, πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο γινόµενο αυτό βάζουµε το πρόσηµο ( ). 3. ύο αριθµοί που το γινόµενό τους ισούται µε +1 λέγονται αντίστροφοι. 4. Για να διαιρέσουµε δύο αριθµούς, διαιρούµε τις απόλυτες τιµές τους και στο πηλίκο αυτό βάζουµε πρόσηµο ( + ) αν είναι οµόσηµοι και πρόσηµο ( ) αν είναι ετερόση- µοι. 5. Σε γινόµενο πολλών παραγόντων, µετράµε το πλήθος των αρνητικών όρων και αν είναι άρτιο στο γινόµενο βάζουµε πρόσηµο ( + ), ενώ αν είναι περιττό βάζουµε πρόσηµο ( ). Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 39. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα: α. ( + 3) ( + 4) β. ( 3) ( + 4) γ. ( 3) ( 4) δ. ( + 3) ( 4) ε. ( ) ( 7) στ. ( + ) ( 7) ζ. ( + ) ( + 7) η. ( ) ( + 7) α. Οι αριθµοί είναι οµόσηµοι άρα βάζουµε πρόσηµο (+) και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές τους. ( + 3) ( + 4) =+ 1 β. Οι αριθµοί είναι ετερόσηµοι άρα βάζουµε πρόσηµο ( ) και πολλαπλασιάζουµε τις απόλυτες τιµές. ( 3) ( + 4) = 1 γ. Οµοίως έχουµε: ( 3) ( 4) =+ 1 δ. ( + 3) ( 4) = 1 ε. ( ) ( 7) =+ 14 στ. ( + ) ( 7) = 14 ζ. ( + ) ( + 7) =+ 14 η. ( ) ( + 7) = 14 Να υπολογίσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. ( 3) ( 8) ( + 4) ( ) β. ( + 9) ( 11) + ( + 4) ( 15) γ. ( 0,5) ( 8) + ( + 1,5) ( 1,5) δ. 1 1 1 1 + + + 3 3 α. Εφαρµόζουµε τους κανόνες του πολλαπλασιασµού των ρητών αριθµών και έχουµε: ( 3) ( 8) ( + 4) ( ) = + 4 ( 8) =+ 4 + 8 =+ 3 β. Οµοίως έχουµε: ( + 9) ( 11) + ( + 4) ( 15) = 99 + ( 60) = 159 γ. ( 0, 5) ( 8) + ( + 1,5) ( 1,5 ) = + (, 5) = 4, 5 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

40. Οι ρητοί αριθµοί δ. 1 1 1 1 1 1 1 + + + = + = = 3 3 6 6 6 3 Να κάνετε τις πράξεις: 1 α. ( 4 3) + β. 5 ( 6 8+ 1 ) γ. 8 ( 5) + 3 [ ] ( ) Εφαρµόζοντας τους κανόνες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού των ρητών αριθµών έχουµε: 1 1 1 5 5 α. ( 4 3) ( 5) + = = = 1 β. 5 ( 6 8 + 1) = 5 ( + 10) = 50 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ. 8 ( 5) + 3 = 8 + 5 + 3 = 8 + 15 = 15 8 = 7 Να συµπληρώσετε τον διπλανό πίνακα αντικαθιστώντας τα α, β, γ, δ, ε και στ.. α= ( 7) ( + ) = 14, β = ( + 4) ( + ) = + 8, γ = ( 9) ( + ) = 18, δ= ( 7) ( 6) =+ 4, ε = ( + 4) ( 6) = 4, στ = ( 9) ( 6) =+ 54. Εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα να βρείτε την τιµή των παραστάσεων: Α = 10y y, B= [ ( 10 4) ] y y, Γ= 4y y όταν y = 1. Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα [α (β + γ) = α β + α γ] και αντικαθιστούµε όπου y το 1: A = 10y y = ( 10 ) y = ( 10 ) ( 1) = ( 1) ( 1) = + 1 { } ( ) B= [ ( 10 4) ] y y = [ ( 10 4) ] y = [ + 6 ] ( 1) = = ( 8) ( 1) = ( + 8) = 8 Γ = 4y y = ( 4 1) y = ( 4 1) ( 1) = ( + 3) ( 1) = 3 Να κάνετε τις πράξεις: Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 41. 1 3 1 1 + + α. ( 1, 8 + 3) ( 1, 8) β. ( ) ( ) 1 1 1 1 γ. 1 + 5 + δ. ( 003) ( + 004) 0 ε. ( 3,4) ( +,1) ( 6,7) (,1) στ. 6 ( 8+ 16) 1 1 1 3 α. ( 1, 8 3) ( 1, 8) ( 1, 8 3 1, 8) ( 3) + = + + = + = + = + 1 3 3 3 3 1 β. ( ) ( ) 1 + + = + + = 0 1 1 1 1 5 3 11 5 γ. 1 + 5 + = + + + = 15 55 70 35 = + + + = + = 4 4 4 δ. Γνωρίζουµε ότι, αν σε ένα γινόµενο, έστω και ένας παράγοντας είναι µηδέν, τότε το αποτέλεσµα είναι µηδέν, α0 = 0ή 0 α = 0. Άρα ( 003) ( + 004) 0 = 0 ε. ( 3,4) ( +,1) ( 6,7) (,1) = ( 7,14) ( + 14,07) = ( 7,14) + ( 14,07) = = ( 14,07 + 7,14) = 1,1 στ. 6 ( 8 + 16) = 6 ( ) =+ 13 Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: x 3 (1 x) + ( 6) 10 + 8 5 Αντικαθιστούµε στην παράσταση το x, κάθε φορά µε τον ίσο του, και έχουµε: 3 [ 1 ( 10) ] + ( 6) = 3 ( 1+ 10) + ( 6) = 3 ( + ) + ( 6) = ( 66) + ( 6) = 7 3 [ 1 ( + 8) ] + ( 6) = 3 ( 1 8) + ( 6) = 3 ( + 4) + ( 6) = ( 1) + ( 6) = 18 3 [ 1 ( 5) ] + ( 6) = 3 ( 1+ 5) + ( 6) = 3 ( + 17) + ( 6) = ( 51) + ( 6) = 57 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

4. Οι ρητοί αριθµοί Να γίνουν οι παρακάτω πράξεις: α. ( 3 x) ( + y) β. ( 1 x) ( 1 y) Εφαρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητα και έχουµε: α. ( 3 x) ( + y) = 3 ( + y) x( + y) = 3 + 3 y x x y = 6+ 3 y x x y β. ( 1 x) ( 1 y) = 1 ( 1 y) x ( 1 y) = 1 1 1 y x 1+ x y = 1 y x+ x y Αν x= 1 και y =+ 1 να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: A = x ( x+ y) ( x y) + y ( y x) Αντικαθιστούµε τα x και y µε το ίσον τους και κάνουµε πράξεις, χρησιµοποιώντας τους κανόνες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού των ρητών αριθµών. A = x ( x+ y) ( x y) + y ( y x) = [ ( )] [( ) ( )] ( ) [( ) ( )] = 1 1+ + 1 1 + 1 + + 1 + 1 1 = = 1 ( 1+ 1) ( 1 1) + ( + 1) ( 1+ 1) = = 10 ( ) ++ ( 1) + ( ) = = 0+ 4+ =+ ( 4+ ) =+ 6. Άρα A =+ 6 Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα: 4 α. ( ) ( + 8) ( 1) ( 7) β. ( ) 1 17 ( + 3) ( 1) 3 γ. ( 8,4) ( + 3,5) ( 1,) δ. ( 4) ( + 5) ( ) ( 3) ( + 1) α. Παρατηρούµε ότι οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι 3, αριθµός περιττός, άρα το πρόσηµο του γινοµένου είναι αρνητικό ( ). Πολλαπλασιάζοντας τις απόλυτες τιµές των όρων έχουµε: ( ) ( + 8) ( 1) ( 7) = 11 β. Εδώ παρατηρούµε ότι οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι 4, αριθµός άρτιος. Άρα το πρόσηµο του γινοµένου είναι θετικό (+). Πολλαπλασιάζοντας λοιπόν τις απόλυτες τιµές τους έχουµε: 4 1 ( ) ( ) ( ) 04 17 + 3 1 = + = + 34 3 6 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 43. γ. Οµοίως: ( 8, 4) ( + 3,5) ( 1, ) = + 35, 8 δ. Οµοίως: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 3 1 1440 + + = Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων: α. x ( x+ y) ( x y)( y x), όταν x= 1, y =+ 1. β. x ( x+ y) ( y x) y, όταν x=+ 1, y = 1. Αντικαθιστούµε τα x και y µε τα ίσα τους και εφαρµόζουµε τους κανόνες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού των ρητών αριθµών. Άρα: α. ( ) ( )( ) ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] [( ) ( )] x x+ y x y y x = 1 1 + + 1 1 + 1 + 1 1 = ( 1) ( 1+ 1) ( 1 1) ( + 1+ 1) = ( 1) 0 ( ) ( + ) = 0 β. ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [( ) ( )] ( ) x x+ y y x y= + 1 + 1 + 1 1 + 1 1 = ( + 1) ( 1 1) ( 1 1) ( 1) = ( + 1) ( ) ( ) ( 1) = ( 4) =+ 4 Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α β γ α β β α α β γ α (β + γ) + 1 +3 +1 4 Όταν α =+, β = 1 και γ = έχουµε: αβ = ( + ) ( 1) =, β α = ( 1)( + ) = [Αντιµεταθετική ιδιότητα] αβγ = ( + ) ( 1) ( ) = + 4, ( ) ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) α β+ γ = + 1 + = + 1 = + 3 = 6 Όταν α =+ 3, β =+ 1, γ = 4 έχουµε: αβ = ( + 3) ( + 1) = + 3, β α = ( + 1) ( + 3) = + 3, αβγ = ( + 3) ( + 1) ( 4) = 1, α ( β+ γ) = ( + 3) [( + 1) + ( 4) ] = ( + 3) ( 3) = 9 Να συµπληρώσετε τα κενά µε πρόσηµα και αριθµούς ώστε να ισχύουν οι ισότητες: Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

44. Οι ρητοί αριθµοί α. ( + 8) ( 3 ) (... 16) ( 3) ( 1 ) = +... β. ( 10) ( + ) ( + 4 ) (... 5) ( 6 ) =... γ. ( 4) ( 5 ) (... ) ( + 3) ( + 5 ) = +... α. Παρατηρούµε ότι οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι τρεις και παρόλα αυτά έχουµε θετικό πρόσηµο στο αποτέλεσµα. Άρα το πρόσηµο που λείπει πρέπει να είναι αρνητικό για να δηµιουργεί άρτιο πλήθος αρνητικών όρων. Οπότε ( + 8) ( 3) ( 16) ( 3) ( 1) = + 883 Με την ίδια λογική έχουµε: β. ( 10) ( + ) ( + 4) ( 5) ( 6) = 400 γ. ( 4) ( 5) ( + ) ( + 3) ( + 5) = + 600 Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα: α. ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) β. ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) α. Οι αρνητικοί όροι του γινοµένου είναι έξι δηλαδή το πλήθος είναι άρτιο. Άρα : ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) =+ 1 β. Παρατηρούµε ότι το γινόµενο έχει έναν µόνο αρνητικό όρο (περιττό πλήθος). Άρα: ( + 1) ( + 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) ( + 1) = 1 Να βρείτε τι πρόσηµο θα έχουν τα παρακάτω γινόµενα: + α β x y γ α. ( x) ( + y)( α) ( β) ( + γ) β. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α. Οι αρνητικοί όροι είναι τρεις (περιττό πλήθος). Άρα το πρόσηµο θα είναι αρνητικό. β. Οι αρνητικοί όροι είναι τέσσερεις (άρτιο πλήθος). Άρα το πρόσηµο θα είναι θετικό. Να υπολογίσετε την τιµή της παρακάτω παράστασης: A = ( x) ( y) ( + x) ( + y) + ( + x) ( y) ( x) ( + y), όταν x= και y =+. Αντικαθιστούµε τα x και y µε τα ίσα τους και έχουµε: A = ( x) ( y) ( + x) ( + y) + ( + x) ( y) ( x) ( + y) = = [ ( ) ] [ ( + ) ] [ + ( ) ] [ + ( + ) ] + [ + ( ) ] [ ( + ) ] [ ( ) ] [ + ( + ) ] = Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 45. = ( + ) ( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) ( + ) ( + ) = = ( + 16) + ( + 16) = 3 Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: α. 5 : ( 5) β. 49 : 7 γ. 1 1 : 3 δ. ( 100 ): ( 10) ε.,8 : ( 7) στ. ( 35 ):10 ζ.,5 : ( 1,5) η. 36: ( 6 ):( ) θ. 60 : ( 15 ): ( + ) Έχουµε: α. 5 : ( 5) = 5 β. 49 : 7 = 7 1 1 1 3 3 γ. : = = + 3 1 δ. ( 100 ): ( 10) =+ 10 ε.,8 : ( 7) = 0, 4 στ. ( 35 ):10 = 3,5 ζ., 5 : ( 1,5) = 1,5 η. 36 : ( 6 ): ( ) = ( 6 ): ( ) =+ 3 θ. 60: ( 15 ):( + ) = ( 4 ):( + ) = Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) 1 1 1 1 A = + : ( 3) 3 5 Κάνουµε τα κλάσµατα οµώνυµα: ( ) 3 1 1 A = + : ( 3) 6 6 5 Κάνουµε τις πράξεις: ( ) 5 1 5 A = + ( 3) 6 1 10 15 A = + 6 Τα κάνουµε ξανά οµώνυµα: 10 45 10 45 55 A = + = = 6 6 6 6 6 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

46. Οι ρητοί αριθµοί Να βρείτε τους ανίστροφους των παρακάτω αριθµών: α. 3 β. 8 3 5 γ. 4 Ξέρουµε ότι ο αντίστροφος ενός αριθµού α είναι ο 1 α. Άρα: α. Ο αντίστροφος του 3 είναι ο 1. 3 β. Ο αντίστροφος του 8 3 είναι ο 1 = 3 8 8 3 5 γ. Ο αντίστροφος του 1 4 είναι ο =. 4 5 5 4 Να κάνετε τις πράξεις: 3 8 55 α. + β. ( ) ( 3 ) ( + 1 ) + 4 5 10 5 ( 4) ( ) α. Μετατρέπουµε τα κλάσµατα σε δεκαδικούς υπολογίζοντας τα πηλίκα: 3 8 55 + = 0,75 + ( 1,6 ) ( 5,5) = 0,75 + ( 1,6 ) + ( + 5,5) = 4 5 10 = (,35) + ( + 5,5) = + ( 5,5,35) = + 3,15 β. ( ) ( 3 ) ( + 1 ) + 6 1 + ( 1, ) ( 0,15) 5 ( 4) ( ) = + = + = 5 + 8 = ( 1, + 0,15) = 1, 35 Να υπολογίσετε τα α και β στις παρακάτω παραστάσεις: α. ( ) ( 3) ( + 4) α = 48 β. ( + 5) ( 1) β = + 100 Θεωρώντας τις παραστάσεις εξισώσεις και σύµφωνα µε το παράδειγµα 0 θα έχουµε: α. ( ) ( 3) ( + 4) α= 48 β. ( + 5) ( 1) β = + 100 + 4 α = 48 5 β =+ 100 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 47. Άρα α= 48: ( + 4) Άρα β = ( + 100 ): ( 5) α = β = 0 Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: α β γ α : β α : γ + α β 3 1 +1 5 + +5 Αντικαθιστούµε τα α, β, γ µε τις τιµές του πίνακα και έχουµε: Όταν α = 3, β = 1, γ =+ 1. α:β α:γ+ αβ = ( 3: ) ( 1) ( 3: ) ( + 1) + ( 3)( 1) = ( + 3) ( 3) + ( + 3) = = ( + 3) + ( + 3) + ( + 3) =+ 9 Όταν α = 5, β =+, γ =+ 5: α:β α:γ+ αβ = ( 5: ) ( + ) ( 5: ) ( + 5) + ( 5)( + ) =,5 ( 1) + ( 10) =,5 + ( + 1) + ( 10) = 1,5 + ( + 1) = ( 1,5 1) = 11,5 Να υπολογίσετε την παράσταση: Α= [3 ( 5)] + ( 3) : ( 5 + 3) Α = [ 3 ( 5) ] + ( 3 ):( 5+ 3) = ( 3+ 5) + ( 3 ):( ) = ( + 8) + ( 3 ):( ) = = 16 + ( + 1,5) = ( 16 1,5) = 14,5 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

48. Οι ρητοί αριθµοί 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα: α. ( + 7) ( 4) β. ( + 8) ( 10) γ. ( + 3) ( 14) δ. ( + 1) ( 3) ε. ( + 3,5) ( ) στ. ( + 4,5) ( + 3) ζ. ( + 0, 4) ( 9) η. ( + 0, 3) ( 0,8) θ. 1 8 + 3 1 5 ι. 1 6 ια. 7 1 3 3 ιβ. 1 3 5. Να υπολογίσετε την τιµή κάθε παράστασης A = ( + 5) ( 3) ( + 4) ( 1,5) + ( + 8) ( 0,5) B= ( + 1,5) ( 5) + ( 3) ( + 4) ( ) ( + 6) ( ) 1 1 Γ = 1 ( + 3) + ( 5) 3 4 1 ( ) 1 1 1 4 ( 3) = + + + 3 ( ) Ε = ( 5) ( + 3) ( 4) ( 3) + ( 7) ( + 4) 3. Εφαρµόζοντας την επιµεριστική ιδιότητα να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστάσεων όταν x = και y= 1. A = 10x x B = ( x 5x) + 3y y Γ = ( x+ y 5x 5y) = 6x+ x y+ y E = 6,5x 7x+ x x ΣΤ = 8y 4y 0,5y 3,5y 4. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: α. α β γ α β α β γ β γ α β + α γ α β α γ +3 4 +5 +3 4 5 3 +4 5 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 49. β. x y ω x y x ( y) ω y ω x ( y) x ω (x y + x ω) +1 3 + 1 +3 +1 3 5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παρακάτω παραστασεων: A = ( 3x+ 5y) ( 4y 4x), όταν x = 1 και y=+. ( ) B= x x+ y 4, όταν x = και y = 1. Γ = 18x 4y ( 3x + 5y), όταν x = και y=. = 1x + 8y 4y + 8x, όταν x = 1 και y= 1. 6. Να βρείτε τους αντίστροφους και τους αντίθετους των παρακάτω αριθµών: 1, 3, 6 +, 4, 5 3, 1, 8 7 7. Αν έχουµε ένα γινόµενο 15 όρων από τους οποίους οι 11 είναι θετικοί τι πρόσηµο θα έχει το αποτέλεσµα; 8. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις: α. ( x 1)( α+ 1) β. ( x+ 1)( α 1) γ. 3 ( x+ 1)( α+ 1) δ. 4 ( x α)( 1 β) + ε. ( 1 α)( 1+ x) στ. ( x )( 5 α) 9. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: α. β. x 4 (8 x) 5 y y ( ) + 10 1 1/ + +1/3 3 /5 +4 +5/6 5 1 1/ 10. Να υπολογίσετε τα παρακάτω γινόµενα: α. ( )( + 3)( 4)( + 5)( 1)( 6) β. ( + )( 3)( + 4)( 5)( 1)( + 6) Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

50. Οι ρητοί αριθµοί 1 4 1 γ. + ( 8) + 3 3 4 ε. 1 1 ( 100)( + 100) + 100 100 δ. ( 0,5)( 1,5 )( +,5)( 100) 11. Να γίνουν οι πράξεις: α. ( 4)( + 0,5)( + 8)( 0,5) ( )( + 3)( 1)( + 5) 1 1 1 1 β. ( ) 1 1 + + + 1 3 3 4 9 γ. ( )( + 3)( 4) ( + )( 3)( + 4) δ. ( 1)( 0,8)( + 10) + ( + 1)( )( 0,9)( 10) 1. Να συµπληρώσετε τα κενά µε το κατάλληλο πρόσηµο. + = β. ( )( )( )( ) α. ( 1)( 4 )(... 5)( 3) 60 + 5... 7 4 =+ 80 γ. ( 1)( + 1)( 1 )(...1) =+ 1 δ. ( )( )( )( )( ) 3 + 3...3 3 + 3 = 43 13. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων αν x = 1, y=, ω=+ 1. Α = x( x+ y)( x y)( x+ ω) B= 4( x ω) ( x+ y) ( x y) Γ = x( y)( ω)( x y)( x ω) ( )( ) ( ) = 10 x y + ω y x ω 14. Να σηµειώσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) κάθε µία από τις παρακάτω προτάσεις. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας: α. Ένα γίνόµενο µε έξι αρνητικούς όρους έχει αρνητικό πρόσηµο. β. Ένα γινόµενο 18 παραγόντων µε 10 θετικούς όρους έχει θετικό πρόσηµο. γ. Όσες φορές και αν πολλαπλασιάσουµε το +1 µε τον εαυτό του µας δίνει θετικό πρόσηµο. δ. Όσες φορές και αν πολλαπλασιάσουµε το ( 1) µε τον εαυτό του µου δίνει θετικό πρόσηµο. ε. Όταν πολλαπλασιάζουµε αρνητικούς αριθµούς πάντα έχουµε αρνητικό πρόσηµο. 15. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων: A x y z B= x y z z y z = ( ) = ( ) ( ) + ( ( ) ) Γ x y z x y z x y z Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 51. Αν γνωρίζετε ότι x είναι ο αντίστροφος του αντίστροφος του +. 16. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: 1, y είναι ο αντίθετος του +3 και z ο α β γ α β γ 4 α β γ β γ 1 +4 +5 +1 3 +3 4 1 x y ω x y ( ω) x y ω x y ( 10) + 1 +1 1 1 1 + +1 17. Να βρείτε ποιο από τα x, y, z είναι αρνητικοί και ποιοι θετικοί. α. ( ) ( 3)( + 4) x = 4 β. ( 1)( + 1)( )( 3) y = 1 γ. ( 4z ) ( + 7) =+ 56 δ. ( )( + 3)( 4) x = 96 18. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων: A = x y B= x y ( 4) Γ= x A y B, όταν x = 1 και y=. 19. Να συµπληρώσετε τους παρακάτω πίνακες: α. β. : +16-3 +64-1 -18 + 4 + 4 : 1 1 + 3 1 4 1 + 5 1 1 5 7 8 + + 3 4 5 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

5. Οι ρητοί αριθµοί 0. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις: 3 α. :0,5 5 6 δ. : 6 5 β. ( 0, 5 ): ( 0,5) γ. 3 : ( 0 ) 80 1 ε. 1 : ( 15) 16 στ. : ( 100 ) 8 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων: ( )( + 8)( 5) ( 4)( 1)( + ) ( 7)( 9) A = B = : ( 10) ( 8) ( 3) ( 8)( 3) ( 8)( 1)( + 3) ( 6)( 8)( + ) Γ = : = 5 ( )( 5) ( 3)( + 4)( + ) 4 3 E : 10 + ( 3)( + 4) = + ΣΤ = : ( 100) 5 5 5 ( ). Να υπολογίσετε την τιµή των παρακάτω παραστάσεων: Α = 10( x+ 4 ):( 5+ y) B= ( x ):( y) ( x+ 4 ):( 3 y) ( ) ( ) = ( x+ y ):( x y) Γ= 3 x+ y : y 11 E = ( x y ):( x+ y) Όταν x = και y= 1. 3. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α. 5x = 60 β. 10x = 00 γ. 10x = 40 δ. x =+ 1 ε. + 8x =+ 16 στ. 5,5x = 55 1 ζ. x: = + 4 η. x 4 5 = θ. x: ( 7) = ι. x: ( 10) =+ 3 ια. 7x = 49 ιβ. x 8 = 4. Να βρεθεί ένας αριθµός που να προκύπτει αν πολλαπλασιάσουµε το µε το +18 και το αποτέλεσµα το διαιρέσουµε µε το 9. 5. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: A = 6[ 4+ ( 3) ] ( 18 ):( + 9) B = 3 : ( 18 + 16) + ( 75 ): ( 5) Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 53. Γ = 00 :[ 50 + ( 150) ] ( 45 15 ): ( 6) 6. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: x y ω z x y ω : z (x + y) : ω (x + y) : z 8 +4 +1 6 +1 4 1 +14 + 1 7. Να υπολογίσετε τους αριθµούς x, y, α, β. i. ( )( + 3)( 4) x = 48 ii. ( 5)( + 8)( + ) y = + 40 iii. ( 5) α( + 10)( 3) =+ 300 iv. β( 16)( 3)( 4) = 19 8. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: ( ) ( ) Α = xy x + y : y xy : Αν x είναι ο αντίστροφος του και y ο αντίθετος του 3. 9. Να υπολογιστούν οι τιµές των παραστάσεων: A = 3( x+ y) + x( 4+ y ):( x+ 4) B= x( x y) + y( x+ y) + ( x+ y ):( x y) Όταν x = και y= 1 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

54. Οι ρητοί αριθµοί Ερώτηση 1 Πως γίνεται ο πολλαπλασιασµός δύο ετερόσηµων αριθµών; Πότε δύο αριθµοί λέγονται αντίστροφοι; ώστε ένα παράδειγµα. Ερώτηση Πως υπολογίζουµε ένα γινόµενο πολλών παραγόντων; Στο πηλίκο της διαίρεσης δύο οµόσηµων αριθµών, τι πρόσηµο προκύπτει; Άσκηση 1 Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα: 1 α. ( ) ( ) 1 4 + + 4 β. ( 3 α) ( + β) Άσκηση Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων: Α = 3( x y) + x( 4 y ):( x 4) και B x( x y) y( x y) ( x y) όταν x = και y= 1. Άσκηση 3 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων: ( ) ( 3) ( + 8) A = και ( ) ( ) 6 + 4 = + + + +, 4 3 3 B = + : + 5 5 5 Πολλαπλασιασµός ρητών αριθµών - Γινόµενο πολλών παραγόντων - ιαίρεση ρητών αριθµών

3 ÂéâëéïìÜèçìá ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèýôç öõóéêü ÄõíÜìåéò ñçôþí ìå åêèýôç áêýñáéï ÔõðïðïéçìÝíç Þ åêèåôéêþ ìïñöþ áñéèìþí ÄåêáäéêÞ ìïñöþ ôùí ñçôþí áñéèìþí Τι ονοµάζουµε νιοστή δύναµη ρητού αριθµού α µε εκθέτη το φυσικό αριθµό ν; Πως συµβολίζεται η δύναµη αυτή; ύναµη α ν Αν α είναι ένας οποιοσδήποτε ρητός αριθµός, το γινόµενο α α... α που έχει ν παράγοντες ίσους µε α, λέγεται νιοστή δύναµη του α (ή δύναµη µε βάση το α και εκθέτη ν). Συµβολικά γράφουµε α ν και διαβάζουµε άλφα στη νιοστή. Είναι δηλαδή ν α α... α = α ν παραγοντες Ειδικότερα: αν ν = 1 τότε 1 α = α αν ν = τότε α = α α και διαβάζεται α στο τετράγωνο ή το τετράγωνο του α. 3 αν ν = 3 τότε α = ααα και διαβάζεται α στον κύβο ή ο κύβος του α. Πρόσηµο ύναµης Πότε µια δύναµη είναι θετική; Πότε µια δύναµη είναι αρνητική; Να εξεταστούν ως προς το πρόσηµο οι παρακάτω δυνάµεις : 3, ( 3), ( 3) 3. α µ > 0, αν α > 0 ή α < 0 και µ άρτιος α µ < 0, αν α < 0 και µ περιττός Μία δύναµη είναι θετική όταν η βάση της είναι θετικός αριθµός ή αν η βάση είναι αρνητικός αριθµός και ο εκθέτης της είναι άρτιος. Μία δύναµη είναι αρνητική αν η βάση της είναι αρνητικός αριθµός και ο εκθέτης περιττός. 3 = 8> 0, ( ) 3 = 3 = 9> 0, ( ) 3 3 3 = 3 = 7 < 0

taexeiola.blogspot.com 56. Οι ρητοί αριθµοί Ιδιότητες δυνάµεων Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων; Οι ιδιότητες των δυνάµεων είναι οι εξής: αµ αν = αµ + ν αµ : αν = αµ ν (α. β)ν = α ν βν Για να πολλαπλασιάσουµε δυνάµεις που έχουν την ίδια βάση, αφήνουµε την ίδια βάση και για εκθέτη βάζουµε το άθροισµα των εκθετών, δηλαδή: αµ α ν = αµ + ν π.χ. ( )3 ( )4 = ( )3+ 4 = ( )7 = 18 Για να διαιρέσουµε δυνάµεις που έχουν την ίδια βάση, αφήνουµε την ίδια βάση και για εκθέτη βάζουµε τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από αυτόν του διαιρεταίου αµ αµ : α ν = ν = αµ ν δηλαδή: α 56 6 5 π.χ. = 5 = 51 = 5 5 5 Για να υψώσουµε ένα γινόµενο ρητών σε µια δύναµη, υψώνουµε κάθε παράγοντα του γινοµένου στη δύναµη αυτή και πολλαπλασιάζουµε τα αποτελέσµατα, δηλαδή: (α β ) ν = αν βν π.χ. (3 4 ) = 3 4, ( 3 4 )3 = 3 33 43 (α µ)ν = α µ ν Για να βρούµε τη δύναµη µιας δύναµης, αφήνουµε βάση την ίδια και για εκθέτη γράφουµε το γινόµενο των εκθετών, δηλαδή: (αµ )ν = αµ ν π.χ. (3 ) = 3 3 = 36 3 Οι ιδιότητες των δυνάµεων ισχύουν µόνο για τις πράξεις του πολλαπλασιασµού και της διαίρεσης και µε την προυπόθεση ότι οι δυνάµεις αυτές έχουν την ίδια βάση. Στην πρόσθεση και αφαίρεση δυνάµεων έστω και αν έχουν την ίδια βάση, θα πρέπει πρώτα να υπολογίζονται οι δυνάµεις και µετά να εκτελούνται οι πράξεις. π.χ. + 3 + 1 = 4 + 8 + = 14 Σε µια αριθµητική παράσταση οι πράξεις εκτελούνται µε την εξής σειρά: - Υπολογισµός δυνάµεων - Πολλαπλασιασµοί και διαιρέσεις - Προσθέσεις και αφαιρέσεις - Αν υπάρχουν αγκύλες ή παρενθέσεις, πρώτα εκτελούµε τις πράξεις µε την παραπάνω σειρά µέσα σε αυτές. υνάµεις ρητών µε εκθέτη φυσικο - υνάµεις ρητών µε εκθέτη ακέραιο Τυποποιηµένη ή εκθετική µορφή αριθµών - εκαδική µορφή των ρητών αριθµών

Οι ρητοί αριθµοί 57. υνάµεις µε αρνητικό εκθέτη Πως υπολογίζουµε δυνάµεις µε αρνητικό εκθέτη; Με τι ισούται η δύναµη που έχει εκθέτη το µηδέν; Η δύναµη κάθε αριθµού διάφορου του µηδενός, µε εκθέτη αρνητικό, είναι ίση µε τη δύναµη που έχει ως βάση τον αντίστροφο του αριθµού αυτού µε αντίθετο εκθέτη, ν 1 α β δηλαδή: α = και ν α = β α Η δύναµη κάθε αριθµού διάφορου του µηδενός µε εκθέτη 0 το µηδέν είναι ίση µε τη µονάδα, δηλαδή α = 1 µε α 0. ν ν Ιδιότητες Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη ακέραιο; Οι ιδιότητες των δυνάµεων µε εκθέτη φυσικό ισχύουν και για τις δυνάµεις µε εκθέτη ακέραιο. Έτσι: µ ν µ + ν µ ν µ ν α α = α ( α ) = α µ ν µ ν 0 α :α = α α = 1 ν ν ν ν 1 ( αβ ) = α β α = ν α ν α α α β ν β = = β β α ν ν ν Τυποποιηµένη ή εκθετική µορφή Πότε χρησιµοποιούµε την τυποποιηµένη µορφή; Να γράψετε µε τυποποιηµένη µορφή τους αριθµούς: 56.000.000.000, 0,0000000001 Την τυποποιηµένη µορφή τη χρησιµοποιούµε για να γράφουµε αριθµούς οι οποίοι έχουν πολλά ψηφία.έτσι προτιµούµε να τους γράφουµε πιο συνοπτικά, χρησιµοποιώντας δυνάµεις. Λέµε ότι ένας αριθµός είναι εκφρασµένος σε τυποποιηµένη µορφή ( ή εκθετική µορφή ) αν είναι γραµµένος στη µορφή: α. 10 k υνάµεις ρητών µε εκθέτη φυσικο - υνάµεις ρητών µε εκθέτη ακέραιο - Τυποποιηµένη ή εκθετική µορφή αριθµών - εκαδική µορφή των ρητών αριθµών