ΦΙΛΤΡΑ KALMAN Με έμφαση στη σχέση τους με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων Δημήτρης Δεληκαράογλου Βασίλης Μασσίνας (Ασκήσεις Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει μια διαδικασία απομάκρυνσης μη επιθυμητών στοιχείων Από το λατινικό όρο felt : το υλικό για το φιλτράρισμα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων: αναλογικά κυκλώματα απομάκρυνσης ανεπιθύμητων ηλεκτρονικών σημάτων Αποδυνάμωση ανεπιθύμητων συχνοτήτων Στις δεκαετίες & 4: Διαχωρισμός του (ανεπιθύμητου θορύβου από το (χρήσιμο σήμα
Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε Φιλτράρισμα θορύβου των μετρήσεων - Τα περισσότερα σήματα αισθητήρων επηρεάζονται από κάποιο θόρυβο που μπορεί να ασκήσει αρνητική επίδραση στην απόδοση του αισθητήρα ήστον έλεγχο των μετρήσεων. Με το φιλτράρισμα επιτυγχάνουμε μια αλλαγή στο εύρος των συχνοτήτων ενός σήματος ενδιαφέροντος ή ακόμα και την αποβολή μερικών τμημάτων των συχνοτήτων του σήματος Εκτιμητής φίλτρου Measurement Μέτρηση 5 5 5 5 4 45 5 Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε Αναδημιουργία μημετρημένων στοιχείων - Για πολλές εφαρμογές, σημαντικές δυναμικές διεργασίες που τις επηρεάζουν δεν μετριούνται. Αντ αυτού μοντελοποιούνται με μεθόδους βασισμένες σε μαθηματικά φίλτρα (state estimation tecniques προκειμένου να αναδημιουργηθούν οι ελλιπείς μετρήσεις που με τη σειρά τους χρησιμοποιούνται σε μοντέλα/συστήματα ελέγχου ανατροφοδότησης. HRUSER ALLOCAION CONROLLER SIGNAL PROCESSING FILER
Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε Τυφλή πλοήγηση (Dead Reconing. Κάθε είδος εξοπλισμού κάποτε αποτυγχάνει σύμφωνα με κάποιο ποσοστό αποτυχίας. Ή οι μετρήσεις που εκτελούνται με αυτό μπορεί να αστοχήσουν για διάφορους φυσικούς ή ενδογενείς λόγους. Η χρήση των φίλτρων αντικαθιστά απολεσθείσες πρωτογενείς μετρήσεις με αντίστοιχες προβλέψεις για κάποια χρονική περίοδο. Έλλειψη μετρήσεων Εκτιμητής φίλτρου 5 5 5 5 4 45 5 Μαθηματικός (γεν. 9 στην Ουγγαρία Σπούδασε στο MI / Columbia Rudolf E. Kalman Ανέπτυξε τη θεωρία των φίλτρων που φέρουν το όνομα του την περίοδο 96/6 Βασισμένα στη χρήση τεχνικών κατάστασης-χρόνου και επαναλαμβανόμενων αλγόριθμων Απαλοιφή ανεπιθύμητου θορύβου από μετρήσεις Με ευρεία χρήση σε ποικίλες εφαρμογές (π.χ. Από τις πρώτες χρήσεις στις διαστημικές αποστολές Apollo 985, αποδέκτης του Kyoto Price (ιαπωνικό βραβείο Nobel
Μέρος της Θεωρίας των Συστημάτων Ελέγχου Control eory Φίλτρα Kalman Ελάχιστα Τετράγωνα Στοχαστικά Συστήματα Θεωρία Πινάκων Θεωρία Πιθανοτήτων Δυναμικά Συστήματα Μαθηματική Υποδομή Τι είναι ένα φίλτρο Kalman; ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ είναι ένας εκτιμητής του λεγόμενου γραμμικού προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων Όπου καλείται κανείς να υπολογίσει τη στιγμιαία κατάσταση (state ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος που διαταράσσεται από λευκό θόρυβο (wite noise δηλ., από μετρήσεις που σχετίζονται γραμμικά με τη δυναμική κατάσταση του συστήματος αλλά είναι αλλοιωμένες από λευκό θόρυβο Ο εκτιμητής είναι στατιστικά βέλτιστος ως προς οποιαδήποτε συνάρτηση του τετραγώνου του σφάλματος εκτίμησης ( f (ε min 4
Τι είναι ένα φίλτρο Kalman; ΠΡΑΚΤΙΚΑ είναι ένα μοναδικό εργαλείο για τον έλεγχο πολύπλοκων δυναμικών διεργασιών (π.χ. η ροή ενός πλημμυρισμένου ποταμού, οι τιμές χρηματιστηριακών μετοχών ή συστημάτων σε οχήματα, πλοία, αεροσκάφη, δορυφόρους,... Παρέχει ένα πλήρη στατιστικό χαρακτηρισμό ενός δυναμικού προβλήματος, δηλ. λαμβάνει υπόψη τη διανομή των πιθανοτήτων (Probability Distributions γνώση του πραγματικού κόσμου, για όλες τις μεταβλητές που επιφορτίζεται να υπολογίσει Κάνει δυνατή την πρόβλεψη της δυναμικής κατάστασης ενός συστήματος λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση όλων των προηγούμενων παρατηρήσεων Χρήση των φίλτρων Kalman Πού και πότε? θόρυβος Κατάσταση συστήματος: Άγνωστοι παράμετροι Μοντέλο Μέτρηση KF? Γνώση του συστήματος θόρυβος 5
Τυπικές ανάγκες Τύποι αισθητήρων που χρησιμοποιούνται Οι θέσεις και οι προσανατολισμοί των διαφόρων τύπων αισθητήρων όσον αφορά το εκάστοτε υπό μελέτη σύστημα Τα επιτρεπόμενα χαρακτηριστικά και επίπεδα σφαλμάτων των αισθητήρων Οι μέθοδοι ομαλοποίησης (smooting των θορύβων των αισθητήρων Τα ποσοστά δειγματοληψίας μετρήσεων από κάθε αισθητήρα Επίπεδο απλοποίησης των αναγκαίων μοντέλων, προκειμένου να μειωθούν οι απαιτήσεις υλοποίησης της εκάστοτε εφαρμογής Παραδείγματα εφαρμογής Φίλτρων Kalman 6
Χρήση των φίλτρων Kalman Πού και πότε? Y v(sway Μεταβλητές Ελέγχου u Επιδράσεις w Πλοίο Δυναμικό σύστημα Θόρυβος Μετρήσεων v Μετρήσεις y Εκτιμητής δυναμικής κατάστασης X u (surge Z r (yaw Υπολογισμός των δυναμικών επιδράσεων (Χ- σκαμπανέβασμα, Υ-ταλάντευση, Ζ-παρέκκλιση που απαιτείται για να κρατήσει το σκάφος στην επιθυμητή θέση και πορεία π.χ. πλοήγηση σκαφών/αεροσκαφών, με τη χρήση μετρήσεων GPS, INS, γυροπυξίδων,... Βασικό πρόβλημα αποτελεί η εκτίμηση ενός φυσικού μεγέθους του συστήματος (π.χ. η θέση του σκάφους, από τον συνδυασμό n διαφορετικών ενδείξεων z i, i,,, n από διαφόρους αισθητήρες Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Το πρόβλημα περιπλέκεται αν οι μετρήσεις από τους διαφορετικούς αισθητήρες δεν έχουν την ίδια αξιοπιστία 7
Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Περίπτωση : Όλες οι μετρήσεις z i μιας μεταβλητής έχουν την ίδια αξιοπιστία και καθεμία είναι αποτέλεσμα μιας στοχαστικής διαδικασίας (Gaussian process με μέση τιμή z m και διασπορά σ i σ σταθ. Η εκτίμηση της παραμέτρου ενδιαφέροντος που προκύπτει από όλες τις μετρήσεις z i υπολογίζεται εύκολα ως Σz Σσ i και i ˆ σ ˆ n n Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Περίπτωση : Οι μετρήσεις z i έχουν διαφορετική αξιοπιστία, δηλαδή για κάθε z i έχουμε διαφορετική διασπορά σ i για τη συνολική εκτίμηση της μεταβλητής, κάθε μέτρηση πρέπει να ληφθεί υπόψη με διαφορετικό βάρος (weigted mean z, σ z ˆ z σˆ σ z Ν( z,σ z z, σ z ˆ? σˆ? 8
Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Με την υπόθεση της κανονικής (Gaussian κατανομής, η συνολική βέλτιστη εκτίμηση της μεταβλητής, συμπεριλαμβανομένης και της μέτρησης z υπολογίζεται ως ˆ ˆ K ( z ˆ K σˆ σˆ σz z σˆ σˆ K σˆ σˆ σˆ σ Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Αυτή είναι η βασική δομή ενός αναδρομικού φίλτρου Kalman, για τον αναδρομικό υπολογισμό, σε κάθε χρονική στιγμή, της ανανεωμένης βέλτιστης εκτίμησης της μεταβλητής ενδιαφέροντος και της διασποράς της (δηλ. των στοχαστικών ιδιοτήτων της ˆ ˆ K ( z ˆ Φίλτρο Kalman: αναδρομικός αλγόριθμος σˆ της δυναμικής κατάστασης K ενός συστήματος, σˆ με τη συνδυασμένη σz χρήση ενός γραμμικού μοντέλου της συμπεριφοράς του συστήματος και του μοντέλου των σˆμετρήσεων ˆ ˆ σ Kσ σˆ σˆ σ z 9
Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Ήδη από το 795, ο Gauss διαπίστωσε ότι από ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής Πίνακας σχεδιασμού Παράμετροι Μετρήσεις ή της μορφής Η χ z Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Είναι δυνατόν να υπολογισθεί ένας εκτιμητής που θα ελαχιστοποιούσε το σφάλμα όπου ˆ Hˆ z Δηλ. η ελάχιστη τιμή λαμβάνεται αν όλες οι παράγωγοι ( ˆ ως προς τις παραμέτρους ά ˆ είναι ε για κ θε ±
Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Αυτό επιτυγχάνεται αν (για,,,...,n i-σειρά του πίνακα H επί ˆ z J min -στήλη του πίνακα Η Κριτήριο βελτιστοποίησης Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Αυτό επιτυγχάνεται αν (για,,,...,n Και η ζητούμενη λύση προκύπτει από το γνωστό σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων Gramian matri Ν
φ(v Βέλτιστη Εκτίμηση Παραμέτρων με Ελάχιστα Τετράγωνα Μαθηµατικ ό µοντέλο Η z Σ φάλµατα µετρήσεων v Ηz J min φ( v Τιμές Παραμέτρων Τιμές Παρατηρήσεων Σφάλματα ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Κριτήριο βελτιστοποίησης φ ( v min v Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Το ελάχιστο συνολικό σφάλμα είναι φ ( zhˆ ( zhˆ ( z H( H H H z ( z H( H H H z z ( I H( H H H ( I H( H H H z z I H H H H z z zhˆ ( ( (
Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Στη περίπτωση βαρών η λύση προκύπτει ως ˆ ( H PH H Pz Όπου ο πίνακας βαρών και το κριτήριο βελτιστοποίησης εκφράζεται ως φ ( zhˆ Pz ( Hˆ z ( P PH( H PH H Pz P σο z Χρήση των φίλτρων Kalman Περιγραφή της δυναμικής κατάστασης, μοντέλου και μετρήσεων υπό μορφή πινάκων Υπολογισμοί σε διαδοχικά βήματα ime update Πρόβλεψη Διόρθωση Κατάλληλη διαχείριση του θορύβου Measurement update
ime update Διακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Διόρθωση Measurement update Το φίλτρο Kalman υπολογίζει μια δυναμική διεργασία με τη χρήση μιας μορφής ελεγχόμενης ανατροφοδότησης Αρχικά υπολογίζει τη δυναμική κατάσταση σε κάποια χρονική στιγμή και έπειτα λαμβάνει την ανατροφοδότηση στη μορφή μετρήσεων που περιέχουν θόρυβο. Ως εκ τούτου, οι εξισώσεις του φίλτρου που υλοποιούν την εν λόγω διαδικασία είναι δύο ειδών Εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών Εξισώσεις αναπροσαρμογών εξ αιτίας των μετρήσεων ˆ / i Συμβολισμοί - Φίλτρα Kalman Η εκτίμηση της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή i %( ˆ ˆ / ( / Η πρόβλεψη της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή - ˆ ˆ ˆ Η ανανεωμένη τιμή της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή 4
Συμβολισμοί - Φίλτρα Kalman Μοντέλο των μετρήσεων z ( v Μη-γραμμικό z H v Γραμμικό Μοντέλο του συστήματος τη χρονική στιγμή Φ (, u w Μη-γραμμικό A Bu w Γραμμικό Φίλτρα Kalman Προσπαθούν να υπολογίσουν τη δυναμική κατάσταση μιας χρονικά ελεγχόμενης διαδικασίας που καθορίζεται από μια (γραμμική στοχαστική εξίσωση της μορφής w - A - B u - με τη μέτρηση z H v Ο πίνακας Α σχετίζει την κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή με την κατάσταση στη προηγούμενη στιγμή -, στην απουσία θορύβου. Στη πράξη μπορεί να μεταβάλλεται στο χρόνο, αλλά συνήθως θεωρείται σταθερός. Ο πίνακας Β αφορά προαιρετική πληροφορία u που εισάγεται στο μοντέλο της τρέχουσας κατάστασης Ο πίνακας Η σχετίζει την κατάσταση του συστήματος με τη μέτρηση 5
w - A - B u - Επιπλέον Φίλτρα Kalman z H v Ο θόρυβος της δυναμικής διαδικασίας (αβεβαιότητα στο μοντέλο της δυναμικής κατάστασης είναι p(w ~ N(, Q Ο θόρυβος (αβεβαιότητα της μέτρησης είναι p(v ~ N(, R Οι πίνακες συμμεταβλητότητας Q και R στη πράξη μπορεί να μεταβάλλονται στο χρόνο, αλλά συνήθως θεωρούνται σταθεροί Επιδίωξη των Φίλτρων Kalman Να υπολογισθεί μια α posteriori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, ως γραμμικός συνδυασμός της a priori εκτίμησης και της διαφοράς (με κατάλληλο βάρος μεταξύ μιας μέτρησης H ˆ και της πρόβλεψης της μέτρησης Δηλαδή ˆ ˆ K( z H ˆ z ˆ ˆ z H ˆ Πίνακας κέρδους Ανανέωση 6
Επιδίωξη των Φίλτρων Kalman Η α priori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, υπολογίζεται από την υπάρχουσα πληροφορία πριν και μέχρι τη χρονική στιγμή Η α posteriori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, υπολογίζεται από τη διαθέσιμη επιπλέον πληροφορία από τη μέτρηση (ή μετρήσεις στη χρονική στιγμή Με αντίστοιχα σφάλματα και πίνακες συμμεταβλητότητας e ˆ και e ˆ Τ Τ Σ Ε{( e ( e } και Σ Ε{ ee } e ˆ ˆ K( z H ˆ e Πίνακας κέρδους Φίλτρων Kalman Ο πίνακας Κ (διαστάσεων nm επιλέγεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η εκτίμηση του a posteriori πίνακα συμμεταβλητότητας (Βέλτιστο κέρδος ανάδρασης που επιτυγχάνεται θέτοντας και επιλύνοντας ως προς K e ˆ ˆ K( z Hˆ Σ Eee { } ˆ dtrace ( Σ dk ˆ E{( ˆ K( z Hˆ ( ˆ K( z Hˆ } K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ 7
Πίνακας κέρδους Φίλτρων Kalman Όσο ο θόρυβος των μετρήσεων τείνει στο μηδέν, ο πίνακας Κ δίνει μεγαλύτερο βάρος στην ανανέωση δεδομένου ότι K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K( z H ˆ lim K R H Δηλ. δίνεται μεγαλύτερη εμπιστοσύνη στη μέτρηση και ολοένα λιγότερη στην πρόβλεψή της Πίνακας κέρδους Φίλτρων Kalman Όσο ο πίνακας συμμεταβλητότητας της a priori εκτίμησης των παραμέτρων τείνει στο μηδέν, ο πίνακας Κ δίνει μικρότερο βάρος στην ανανέωση δεδομένου ότι K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K( z H ˆ limk Σ Δηλ. δίνεται μικρότερη εμπιστοσύνη στη μέτρηση και ολοένα μεγαλύτερη στην πρόβλεψη της μέτρησης 8
ime update Διακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Διόρθωση Measurement update Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών επεκτείνουν μπροστά στο χρόνο την εκτίμηση της τρέχουσας δυναμικής κατάστασης και του πίνακα συμμεταβλητότητας, προκειμένου να υπολογισθούν οι αντίστοιχες a priori εκτιμήσεις τους για το επόμενο βήμα. ˆ Aˆ Bu Σ A Σ ˆ A Q ˆ ime update Διακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Διόρθωση Οι εξισώσεις αναπροσαρμογών εξ αιτίας των μετρήσεων ενσωματώνουν μια νέα μέτρηση στην a priori εκτίμηση προκειμένου να διαμορφώσουν μια βελτιωμένη a posteriori εκτίμηση των παραμέτρων. K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K ( z H ˆ Σ ( ΙKH Σ ˆ ˆ Measurement update 9
ˆ, Σˆ Φίλτρο Kalman: Σύνοψη ˆ Aˆ Bu Σ A Σ ˆ A Q ˆ K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K ( z H ˆ Σ ( ΙKH Σ ˆ ˆ Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής (t σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t o, t, t, t, (t ικανοποιεί τη εξίσωση του δυναμικού μοντέλου χ(t A(t w(t Για το παράδειγμα, έστω Α.9 w(t αντιπροσωπεύει θόρυβο (τυχαία τιμή, με μέση τιμή και διασπορά Q. Για το παράδειγμα έστω Q. w(t αποκαλείται λευκός θόρυβος, δηλαδή κάθε τυχαία τιμή του δεν σχετίζεται με οποιαδήποτε άλλη τυχαία τιμή και κυρίως δεν σχετίζεται με τις προηγούμενες τιμές
Παράδειγμα Το φίλτρο Kalman χρειάζεται μια αρχική τιμή προκειμένου να εφαρμοσθεί ο αναδρομικός αλγόριθμός του Ας υποθέσουμε ότι από μια ανεξάρτητη πηγή έχουμε υπολογίσει ότι t ˆ(, Σ 4 t ˆ( Στη χρονική στιγμή t, θέλουμε να εκτιμήσουμε (t A (t o w(t o Όμως δεν γνωρίζουμε το w(t o, άλλα γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή του είναι (αφού ακολουθεί τη κανονική κατανομή p(w ~ N(, Q t ˆ( At (.9 9 o Σ E t t t ˆ( Παράδειγμα Σ 4.8 5 ˆ( t {( ( ( } E A t wt Aˆ t {( ( o ( o ( o } E A t t ˆ Ew { ( ( o ( o } { } AE{( t ( t ˆ( * wt ( } Σ t ˆ( A o Σ? t ˆ( Q o o o
Παράδειγμα Έστω ότι τη χρονική στιγμή t γίνεται μια μέτρηση yt ( H t ( vt ( Όπου v είναι λευκός θόρυβος, με p(v ~ N(, R Ηείναι γνωστός. Για το παράδειγμα, έστω Η, R και y(t Αν υπολογίζαμε το y(t πριν γίνει ημέτρηση θα ήταν yt ( H t ˆ( 9 9 και η νέα εκτίμηση του (t είναι t ˆ( t ˆ( K( yt ( yt ( Ποια τιμή Κ? (-9 5 K Σ H ( H Σ H R ˆ ˆ Παράδειγμα Κ.7647 Αντίστοιχα t ˆ( t ˆ( K( yt ( yt ( 9.7647( 9 9.4 Σ Σ t ˆ( ˆ( ( KH... 7647.5 t
Παράδειγμα Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή -.777 και διασπορά σ.. R.. Τιμές φίλτρου -.777 Παράδειγμα Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή -.777 και διασπορά σ.. R Τιμές φίλτρου -.777 Το φίλτρο είναι πιο αργό στη σύγκλισή του
Παράδειγμα Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή -.777 και διασπορά σ.. R. Τιμές φίλτρου -.777 Το φίλτρο εμπιστεύεται τις θορυβώδεις μετρήσεις π.χ. Συνδυασμός μετρήσεων GPS Οι GPS δέκτες παρέχουν πολλαπλούς τύπους ανεξάρτητων μετρήσεων (ψευδοαπόστασης, φάσης, Doppler Αυτόνομος εντοπισμός απαιτεί το συνδυασμό τους Μετρήσεις Ψευδοαπόστασης Θέση ( Μετρήσεις Doppler Ταχύτητα (v & Τυπικές ακρίβειες ( m,.5 m/sec Πολλοί GPS δέκτες παρέχουν υψηλής ακρίβειας μετρήσεις φάσης (και συνεπώς Doppler, άρα μπορούν να βελτιώσουν την εκτίμηση της θέσης 4
π.χ. Συνδυασμός μετρήσεων GPS χθέση, vταχύτητα, aεπιτάχυνση, jτράνταγμα (jer, ωθόρυβος y meas meas Μετρήσεις v meas y y v meas y Δυναμικό μοντέλο φίλτρου d dv v, a, dt dt da dj j, ω dt dt Nort East Down ˆ vˆ aˆ Συνδυάζεται με μετρήσεις των γυροσκοπίων Παράδειγμα 5
Εκτεταμένα φίλτρα Kalman Παράδειγμα από τη χρήση του GPS στις περιπτώσεις Στατικού εντοπισμού Κινηματικού εντοπισμού Τύποι Μετρήσεων GPS Παρατηρήσεις του κώδικα C/A ή P (L C/A, L : P, L : P Συνδυασμός παρατηρήσεων του κώδικα C/A ή P και παρατηρήσεων Doppler (δηλ. μεταβολή της φάσης του φέροντος κύματος ως αποτέλεσμα της σχετικής κίνησης μεταξύ δορυφόρου και δέκτη του χρήστη Οι εν λόγω παρατηρήσεις GPS εμπεριέχουν σφάλματα διαφόρων τύπων και μεγέθους Τύποι Μετρήσεων GPS Μετριασμός των σφαλμάτων Διορθώσεις μέσω του μηνύματος πλοήγησης Μοντέλα της ιονόσφαιρας και τροπόσφαιρας Διαφορικό GPS Ελαχιστοποίηση όλων των σφαλμάτων εκτός από τα πολυκλαδικά σφάλματα και τους θορύβους των σημάτων GPS Σφάλματα τροχιάς και χρονομέτρων Σφάλμα Ιονόσφαιρας στη συχνότητα L Σφάλμα Τροπόσφαιρας Πολυκλαδικά σφάλματα στις μετρήσεις του κώδικα Θόρυβος στις μετρήσεις του κώδικα Πολυκλαδικά σφάλματα στις μετρήσεις της φάσης Θόρυβος στις μετρήσεις της φάσης. m 7 m. m. 5 m.6 m 5 mm. mm 6
Γιατί να χρησιμοποιηθεί ένα φίλτρο Kalman? Μη γραμμικό σύστημα Μοντέλο της φυσικής διαδικασίας των μετρήσεων: f ( -, - w - Μοντέλο των μετρήσεων: z (, v Η μη γραμμικότητα εισέρχεται μέσω των μετρήσεων (μη γραμμικές εξισώσεις παρατήρησης Τα πλεονεκτήματα των Φίλτρων Kalman Μπορούν να προβλέψουν τη κατάσταση του δυναμικού συστήματος σε επόμενες χρονικές στιγμές Παρέχουν ένα απλό τρόπο καθορισμού του βάρους όλων των μετρήσεων σύμφωνα με τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλμάτων τους Τα υπόλοιπα των μετρήσεων χρησιμεύουν στην ανίχνευση ξαφνικών ανωμαλιών λειτουργίας των δορυφόρων Εκτεταμένο Φίλτρο Kalman Πρόβλεψη εκτίμησης της κατάστασης ˆ f ( ˆ Πρόβλεψη της μέτρησης zˆ ( ˆ Εξισώσεις για το EΦΚ Φ ( w z zˆ H ( v Ανάπτυγμα κατά aylor της f χρησιμοποιώντας την προηγούμενη εκτίμηση Πίνακας Μετάβασης f (, Φ( ˆ, ˆ Ανάπτυγμα κατά aylor της για την αντίστοιχη προβλεπόμενη θέση (, H( ˆ, ˆ ˆ 7
ˆ P ( Πρόβλεψη της κατάστασης ˆ f ( ˆ - ( Πρόβλεψη του πίνακα συμμεταβλητότητας P Φ P Φ Q Εκτεταμένο Φίλτρο Kalman ( Υπολογισμός του πίνακα κέρδους K P H [ H P H R ] ( Ανανέωση της εκτίμησης με τη μέτρηση z ˆ ˆ K ( z zˆ ( Ανανέωση του πίνακα συμμεταβλητότητας P ( I K H P Μοντέλο Συστήματος Μοντέλο Δυναμικής Κατάστασης Η δυναμική κατάσταση περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης και ταχύτητας του δέκτη GPS, στο σύστημα WGS 84, και το σφάλμα του χρονομέτρου του δέκτη [ X, X&, Y, Y&, Z, Z&, cδ t, cδ& t] t t t t 8
9 Μοντέλο Συστήματος Μοντέλο Δυναμικής Κατάστασης Μοντέλο σταθερής ταχύτητας (Constant velocity model ( χρόνος μετρήσεων V w V w w & && } C w Φ 678 64748 & 4 4 v v C C Q σ σ w λευκός θόρυβος Q, σ v Θόρυβος μοντέλου Μοντέλο Συστήματος Μοντέλο Δυναμικής Κατάστασης Μοντέλο χρονομέτρου Q Q Q Q Q w w c cδt t c t c t c & & δ δ δ 8 ( ( ( c Q c Q c Q π π π 9.8.8 9.4 Τυπικές τιμές για ατομικά χρονόμετρα χαλαζία
Μοντέλο Συστήματος Πίνακες Φ & Q Φ Q Q Q Q 4 4 4 4 4 4 z z z z y y y y Q σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Για τις μετρήσεις κώδικα όπου, Για τις μετρήσεις Doppler, που εκφράζουν την ταχύτητα κίνηση του δέκτη και για n δορυφόρους it it it v t c R δ ρ ( ( ( θόρυβος μέτρησης it r it r it r it it R X X Y Y Z Z V t c R Z Z Z Z Y Y Y Y X X X X D it it rt it rt it rt it rt it rt it rt it δ& & & & & & & ] ( ( ( ( ( [( ],...,,,..., [ nt t t nt t t t D D D p p p Z Μοντέλο Συστήματος Εξισώσεις παρατήρησης
Πίνακας H υπολογίζεται ως i όπου, H.. Αν χρησιμοποιούνται μόνο μετρήσεις κώδικα: r n i y ρi ( X X i X PR y n y z z n z i y H H H H r.. ρi ( Y Yi Y PR Μοντέλο Συστήματος Εξισώσεις παρατήρησης i n i z y y n y z z n z r ρi ( Z Zi Z PR H i [ ] H Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα εντοπισμού από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Μ. Ελαχίστων τετραγώνων EKF, Code & Doppler EKF, Code LSQ 5 Χ error E ror X y error E ror Y z error E ror Z Error in estimated coordinate -5 5 5 5 5 4 45 GPS ime (sec -5 - -5 5 5 5 5 4 45 GPS ime (sec - - 5 5 5 5 4 45 GPS ime (sec
EKF, Code & Doppler EKF, Code LSQ 5 Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Error in estimated coordinate E error ror X Χ -5 Er or - Y E ror Z - y error z error -5 5 5 5 5 4 45 GPS ime (sec -5 5 5 5 5 4 45 GPS ime (sec - 5 5 5 5 4 45 GPS ime (sec Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα εντοπισμού από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Μ. Ελαχίστων τετραγώνων (m r ro E M S R 9 8 7 6 5 4 RMS EKF (C &D EKF (Code LSQ EKF C & D EKF Code Only LSQ RMS errors in Position Solution Norting, Easting, Up X (m.7.6.49 Y (m.8579.566 9.5 Z (m.5848.85 9.966
Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα ταχύτητας από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Μ. Ελαχίστων τετραγώνων m (c r ro M S E R 4 8 6 4 EKF, C & D EKF, Code LSQ RMS errors in Velocity Solution Norting, Easting, Up Την επόμενη φορά Πως τα φίλτρα Kalman σχετίζονται / είναι ισοδύναμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, σε ειδικές περιπτώσεις συνόρθωσης των μετρήσεων, π.χ. Σε διαδοχικά βήματα Σε επιμέρους φάσεις (κατά ομάδες μετρήσεων Με την άθροιση κανονικών εξισώσεων