Φίλτρα Kalman. Μερικά πρακτικά προβλήματα της Γεωδαισίας. Το πρακτικό πλαίσιο βέλτιστης εκτίμησης δυναμικών παραμέτρων. Σημερινή ατζέντα του μαθήματος

Transcript

1 Φίλτρα Kalman Γενική επισκόπηση Με έμφαση στη σχέση τους με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Σημερινή ατζέντα του μαθήματος Να δοθεί μια γενική επισκόπηση και βασική κατανόηση του φίλτρου Kalman, με τις αναγκαίες παραδοχές πίσω από την εφαρμογή του. Με κάποιους περιορισμούς (χωρίς να αποφύγουμε αναγκαίες μαθηματικές επεξηγήσεις για να διευκολυνθεί η απήχησή της μεθοδολογίας. Με τυπικές πρακτικές και παραδείγματα εφαρμογής σε ενδεικτικά γεωεπιστημονικά προβλήματα. Το πρακτικό πλαίσιο βέλτιστης εκτίμησης δυναμικών παραμέτρων Σε πολλές εφαρμογές, π.χ. στην πλοήγηση, η θέση ή/και η ταχύτητα απαιτείται να προσδιορίζονται ως συνάρτηση του χρόνου Χρονικά μεταβαλλόμενες μεταβλητές (δυναμικές παράμετροι: ταχύτητα, επιτάχυνση, προσανατολισμός Εκτίμηση της βέλτιστης τιμής της τρέχουσας κατάστασης x(t του εκάστοτε δυναμικού συστήματος στις χρονικές εποχές που υπάρχουν μετρήσεις Απαιτείται πληροφορία μετάβασης από κάποια χρονική εποχή στην επόμενη και πριν την πραγματοποίηση της εκάστοτε επόμενης μέτρησης Το ζητούμενο είναι ο υπολογισμός της a posteriori εκτίμησης της κατάστασης x(t Μερικά πρακτικά προβλήματα της Γεωδαισίας Στις εφαρμογές δορυφορικού εντοπισμού, συχνά οι προς υπολογισμό άγνωστοι παράμετροι αλλάζουν με το χρόνο. Αυτό τι συνεπάγεται πρακτικά??? Οι παρατηρήσεις που γίνονται πρέπει να συγκεντρώνονται και να αναλύονται ως ξεχωριστές ομάδες, ανάλογα με τη χρονική εποχή της συλλογής τους Παρόμοια προβλήματα εμφανίζονται και σε περιπτώσεις όπου δεν περιέχεται η έννοια της φυσικής διαχρονικής αλλαγής Πρωτογενές μοντέλο: παρατηρήσεις L Συναρτησιακό μοντέλο F (X,L = ευτερογενές μοντέλο, π.χ. διαδρομή ενός οχήματος, σκάφους, Πρωτογενές μοντέλο: παρατηρήσεις L Συναρτησιακό μοντέλο F (X,L = Συναρτησιακό μοντέλο G(X, X,Y m,t = Τέσσερεις πηγές πληροφορίας Ανεξάρτητος υπολογισμός (π.χ. από επίγειες μετρήσεις του Χ την εποχή t Υπολογισμός από δορυφορικές μετρήσεις Υπολογισμός (από μοντέλο πλοήγησης του Χ σε σχέση με το Χ Υπολογισμός από δορυφορικές μετρήσεις του Χ την εποχή t Σε πολλές άλλες εφαρμογές γίνεται προσπάθεια να αξιοποιήσουμε πολλαπλές διαδοχικές μετρήσεις από διάφορους αισθητήρες όπως επιταχυνσιόμετρα, μετρητές απόστασης, GPS, μετρητές ατμοσφαιρικών συνθηκών, μαγνητόμετρα, βαρυτήμετρα εδομένα αισθητήρων μετασχηματίζονται σε αποτελέσματα Συχνά τα δεδομένα περιέχουν πολύ θόρυβο για να χρησιμοποιηθούν όπως είναι, είτε απαιτείται να συνδυάζονται μετρήσεις με διαφορετική ακρίβεια από διαφορετικούς αισθητήρες,

2 π.χ., ένα κοινότυπο GPS μπορεί έχει ακρίβεια m, άρα το κάθε στίγμα που παρέχει να έχει μεγάλη απόκλιση από την πραγματική θέση Μπορεί δηλαδή να είμαστε εντελώς ακίνητοι, αλλά λόγο της διαφορετικής μέτρησης να φαίνεται σα να κινούμαστε... Σε πολλές εφαρμογές χρειαζόμαστε να βρούμε έναν τρόπο να απορρίπτουμε τυχόν απότομες αλλαγές (θόρυβο αλλά ταυτόχρονα να αντιλαμβανόμαστε έγκαιρα τις πραγματικές αλλαγές, π.χ. σε μια κατάσταση, ένα σύστημα, ένα φαινόμενο, κλπ. Μετρήσεις με θόρυβο φιλτράρισμα Σε άλλες εφαρμογές, σημαντικές δυναμικές διεργασίες που τις επηρεάζουν δεν είναι εφικτό να μετρηθούν ή δεν μετριούνται λόγω αντίξοων συνθηκών στο περιβάλλον των μετρήσεων HRUSER ALLOCAION CONROLLER SIGNAL PROCESSING FILER Αντ αυτού μοντελοποιούνται με μεθόδους πρόγνωσηςδιόρθωσης προκειμένου να αναδημιουργηθούν οι ελλιπείς μετρήσεις που με τη σειρά τους χρησιμοποιούνται σε μοντέλα/συστήματα ελέγχου ανατροφοδότησης. HRUSER ALLOCAION CONROLLER SIGNAL PROCESSING FILER Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος υποδηλώνει μια διαδικασία απομάκρυνσης μη επιθυμητών στοιχείων Γιατί ο όρος φίλτρο; Από το λατινικό (ή καιτο γερμανικό όρο felt : υλικό για το φιλτράρισμα υγρών, μέσο διήθησης και επεξεργασίας, συγκράτησης και διαχωρισμού ουσιών, ακτινοβολιών κ.ά. Γιατί ο όρος φίλτρο; Στη εποχή των ραδιοσυσκευών: αναλογικά κυκλώματα απομάκρυνσης ανεπιθύμητων ηλεκτρονικών σημάτων Αποδυνάμωση ανεπιθύμητων συχνοτήτων Στις δεκαετίες & : ιαχωρισμός του (ανεπιθύμητου θορύβου από το (χρήσιμο σήμα Φιλτράρισμα Γιατί, ; Φιλτράρισμα θορύβου των μετρήσεων - Τα περισσότερα σήματα αισθητήρων επηρεάζονται από κάποιο θόρυβο που μπορεί να ασκήσει αρνητική επίδραση στην απόδοση του αισθητήρα ή στον έλεγχο των μετρήσεων. Εκτίμηση σήματος Measurement Μέτρηση Φιλτράρισμα Γιατί, ; Με το φιλτράρισμα επιτυγχάνουμε μια αλλαγή στο εύρος των συχνοτήτων ενός σήματος ενδιαφέροντος ή ακόμα και την αποβολή μερικών τμημάτων των συχνοτήτων του σήματος Εκτίμηση σήματος Measurement Μέτρηση

3 Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε; Τυφλή πλοήγηση (Dead Reconing Κάθε είδος εξοπλισμού η διενέργεια μετρήσεων κάποτε αποτυγχάνει σύμφωνα με κάποιο ποσοστό αποτυχίας. Ή οι μετρήσεις που εκτελούνται με αυτό μπορεί να αστοχήσουν για διάφορους φυσικούς ή ενδογενείς λόγους. Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε; Η χρήση των φίλτρων αντικαθιστά απολεσθείσες μετρήσεις με αντίστοιχες προβλέψεις για κάποια χρονική περίοδο. Έλλειψη μετρήσεων Εκτιμητής φίλτρου Φίλτρα Kalman Το γενικό πλαίσιο Ανάμεσα σε όλα τα Συνιστούν ένα σύνολο σημαντικά μαθηματικά μαθηματικών εργαλεία που υπάρχουν εξισώσεων που για την ανάλυση επιτρέπουν ένα είδος στοχαστικών/δυναμικών πρόβλεψης και συστημάτων, διόρθωσης στις τιμές τα φίλτρα Kalman είναι των μεταβλητών της από τα πιο γνωστά και κατάστασης ενός ευρέως συστήματος, της χρησιμοποιούμενα εξέλιξης ενός φαινομένου, Φίλτρα Kalman Το γενικό πλαίσιο Η βασική ιδέα πίσω από κάθε φίλτρο είναι ότι... ορισμένες από τις παραμέτρους που εκτιμώνται σχετίζονται με τυχαίες διεργασίες, και καθώς τα δεδομένα προστίθενται στο φίλτρο, οι εκτιμήσεις των παραμέτρων εξαρτώνται από τα νέα δεδομένα, και τις αλλαγές στο θόρυβο της διαδικασίας μεταξύ των μετρήσεων Μια διαδικασία υπολογισμού των παραμέτρων ενδιαφέροντος χωρίς την παρουσία θορύβου ονομάζεται ντετερμινιστική Φίλτρα Kalman Για την ιστορία Μελετήθηκαν και αναπτύχθηκαν από τον Rudolf Emil Kalman Μαθηματικός (γεν. 9 στην Ουγγαρία - /7/6 Σπούδασε στο MI και στο Columbia Στην περίοδο διακρίθηκε για τη συνεισφορά του στη σύγχρονη Θεωρία Ελέγχου δεδομένων δειγματοληψίας Το 985, έγινε αποδέκτης του Kyoto Prize (ιαπωνικό βραβείο, ανάλογο του Nobel Φίλτρα Kalman Για την ιστορία Τυπικά, το φίλτρο Kalman λειτουργεί αναδρομικά στις ροές δεδομένων εισόδου που περιέχουν θόρυβο και άλλες ανακρίβειες, για να παράγει στατιστικά βέλτιστη εκτίμηση της υποκείμενης κατάστασης ενός συστήματος Λόγω της επαναληπτικής φύσης του αλγορίθμου, μπορεί να τρέξει σε πραγματικό χρόνο Μια από τις πρώτες χρήσεις του έγινε για την πλοήγηση των διαστημοπλοίων στις αποστολές Apollo στη Σελήνη (96-7 Το φίλτρο Kalman χρησιμοποιήθηκε ως το κύριο υπολογιστικό εργαλείο καθοδήγησης, πλοήγησης, και πρωτοβάθμιου ελέγχου στα διαστημικά σκάφη των αποστολών Apollo στη Σελήνη (δεκαετία 97 για την εκτέλεση της τροχιάς τους, όταν είχαν διακοπεί οι επικοινωνίες με τη Γη, είτε ως αναμενόταν, όταν το διαστημικό σκάφος ήταν πίσω τη Σελήνη ή σε περίπτωση αποτυχίας επικοινωνίας Οι μεταβλητές του διανύσματος κατάστασης ήταν ένας πίνακας 6x6 (συνιστώσες θέσης και ταχύτητας σε Χ, ΥκαιΖ ή 9x9 όταν περιλαμβάνονταν και μετρήσεις ραντάρ ή παρατηρήσεις αστέρων Το πρακτικό πλαίσιο εφαρμογής των φίλτρων Kalman; Για παράδειγμα, Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σήμα, οποιουδήποτε τύπου: έναν ήχο, έναν παλμό ραντάρ, κάποιες μετρήσεις από ένα ολοκληρωμένο σύστημα πλοήγησης με GPS, ηλεκτρονική πυξίδα, αδρανειακό σύστημα, κ.ά. Τυπικά στο περιβάλλον των μετρήσεων υπάρχουν θόρυβοι που τις επηρεάζουν Τι μπορούμε να κάνουμε για να απορρίψουμε αυτό το θόρυβο; Μιααπλήπροσέγγισηθαμπορούσεναείναι, να ληφθεί ο μέσος όρος κάποιων διαδοχικών μετρήσεων. Αυτή η απλή προσέγγιση φυσικά δεν λειτουργεί για τα περισσότερα προβλήματα της πραγματικής ζωής Offset.5E-8.E-8 5.E-9.E E-9 -.E-8 ruth Measurement Date

4 Μια άλλη προσέγγιση Φίλτρα που λειτουργούν στο πεδίο συχνοτήτων Βαθυπερατά φίλτρα (low pass επιτρέπουν τη διέλευση σημάτων χαμηλής συχνότητας. π.χ. μπορούν να χρησιμοποιηθούν για το φιλτράρισμα μετρήσεων βαρύτητας Υψηλοπερατά φίλτρα (high pass επιτρέπουν τη διέλευση σημάτων υψηλής συχνότητας Ζωνοπερατά φίλτρα (band είναι ένας συνδυασμός αυτών των δύο Παράδειγμα από τη δορυφορική αλτιμετρία Η περιοχή ενός αποτυπώματος του παλμού ραντάρ καθορίζεται από το ποιες αντανακλάσεις από την επιφάνεια του ωκεανού φτάνουν πίσω στην κεραία ραντάρ ταυτόχρονα και όχι από ποιο μέρος της επιφάνειας του ωκεανού που φωτίζεται ταυτόχρονα. Η μέση τιμή των μετρήσεων εντός της περιοχής του αποτυπώματος του παλμού είναι σημαντικές για τον προσδιορισμό της στάθμης της θάλασσας Στην πραγματικότητα τα κύματα στην επιφάνεια της θάλασσας αλλάζουν το σχήμα της κυματομορφής που λαμβάνει το αλτίμετρο ραντάρ το σήμα του επιστρεφόμενου παλμού φιλτράρεται και η έξοδος από το φίλτρο(η κυματομορφή, παρέχει πληροφορίες για τα χαρακτηριστικά της τραχύτητας της θαλάσσιας επιφάνειας μέσα στην περιοχή του αποτυπώματος του παλμού Μια πιο σύνθετη προσέγγιση; Το Φίλτρο Kalman είναι μια από αυτές τις τεχνικές. Και μάλιστα είναι μια πολύ πλεονεκτική επιλογή γιατί Ανήκει στα μοντέλα περιγραφής κατάστασης (στο πεδίο του χρόνου state space model (time domain- σεσύγκρισημετοπεδίοτων συχνοτήτων, π.χ. στα βαθυ-, υψηλο-, ζωνο-περατά φίλτρα Συνδυάζει : μοντέλο της δυναμικής του συστήματος, ελεγχόμενα στοιχεία εισόδου, και αναδρομικές μετρήσεις που περιλαμβάνουν θόρυβο -5.E-9 -.E-8 μια πιο σύνθετη προσέγγιση φίλτρο Kalman.5E-8.E-8 5.E-9.E ruth Measurement Filter Estimate Μέρος της Θεωρίας των Συστημάτων Ελέγχου - Control heory Θεωρία Πινάκων Φίλτρο Kalman Ελάχιστα Τετράγωνα Θεωρία Πιθανοτήτων Στοχαστικά Συστήματα Μαθηματική Υποδομή υναμικά Συστήματα Τι ακριβώς είναι το φίλτρο Kalman; Ένας βέλτιστος συνδυασμός μετρήσεων y(t επηρεασμένων με θόρυβο v(t και ένα διάνυσμα (λίστα παραμέτρων κατάστασης όλα με καθορισμένες στατιστικές ιδιότητες Η λειτουργία ενός φίλτρου Kalman μπορεί να χωριστεί σε τρία βασικά επαναλαμβανόμενα βήματα Στάδιο πρόβλεψης της κατάστασης σε μια επόμενη εποχή (prediction step Υπολογισμός του κέρδους Kalman (Gain Στάδιο ανανέωσης της εκτίμησης της κατάστασης του συστήματος (update step Τι ακριβώς είναι το φίλτρο Kalman; Ένας ολοκληρωμένος αλγόριθμος εκτίμησης Όπου καλείται κανείς να υπολογίσει τη στιγμιαία κατάσταση (state ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος που διαταράσσεται από λευκό θόρυβο (white noise δηλ., από μετρήσεις που σχετίζονται γραμμικά με τη δυναμική κατάσταση του συστήματος αλλά γίνονται πάντα με μια αβεβαιότητα που είναι συμφυής στα φυσικά φαινόμενα και στις φυσικές δομές και εμποδίζει την ανάδειξη του κύριου φαινομένου ή της πληροφορίας που επιζητείται

5 Εννοιολογικοί ορισμοί Η κατάσταση (state {x(} είναι η τιμή των παραμέτρων μιας στοχαστικής διαδικασίας κάποια χρονική στιγμή (ο χρόνος θεωρείται διακριτός. Η μέτρηση ( measurement {z(} είναι η τιμή της παρατήρησης της στοχαστικής διαδικασίας τη χρονική στιγμή. Το κέρδος Kalman είναι ένας πίνακας που κατανέμει τις διαφορές μεταξύ των παρατηρήσεων τη χρονική στιγμή t+ και της προβλεπόμενης τιμής τους την εν λόγω στιγμή με βάση τις τρέχουσες τιμές του διανύσματος κατάστασης και σύμφωνα με το θόρυβο στις μετρήσεις και στην κατάσταση του συστήματος Εννοιολογικοί ορισμοί Το πρόβλημα της θεωρίας εκτίμησης είναι να υπολογιστεί η εκτίμηση (estimation x(t/ της κατάστασης (δηλ. των τιμών των παραμέτρων ενός συστήματος ή μιας διεργασίας τη χρονική στιγμή t δεδομένου του συνόλου των μετρήσεωνήεμπειρικώνδεδομένωνz { z(, z(,..., z( } μέχρι και τη χρονική στιγμή, χρησιμοποιώντας ένα προκαθορισμένο βέλτιστο κριτήριο. Οι μετρήσεις εμπεριέχουν τυχαίο θόρυβο. Οι παράμετροι περιγράφουν μια υποκείμενη φυσική ρύθμιση με τέτοιο τρόπο, που η τιμή τους επηρεάζει την κατανομή των σφαλμάτων των μετρούμενων δεδομένων. Ένας εκτιμητής της κατάστασης επιχειρεί να προσεγγίσει τις άγνωστες παραμέτρους, χρησιμοποιώντας τις μετρήσεις. Πρακτικές προϋποθέσεις των φίλτρων Kalman; Η εκτίμηση της κατάστασης ενός συστήματος με την χρήση του φίλτρου Kalman προϋποθέτει την ύπαρξη κάποιας διαφορικής εξίσωσης (συνεχούς ή διακριτού χρόνου η οποία να περιγράφει την δυναμική του συστήματος αυτού, καθώς επίσης και μιας εξίσωσης μετρήσεων (συνεχούς ή διακριτού χρόνου η οποία να περιγράφει ποια μεγέθη του συστήματος αυτού θα είναι διαθέσιμα προς μέτρηση. Αυτά τα μεγέθη εφόσον είναι διαθέσιμα εισάγονται στο φίλτρο Kalman, του οποίου η χρήση μπορεί να γίνει για περιπτώσεις όπου το περιβάλλον εφαρμογής του συστήματος είναι είτε δυναμικά μεταβαλλόμενο, είτε στατικό Πρακτικές προϋποθέσεις των φίλτρων Kalman; Στην προσέγγιση ενός προβλήματος με την χρήση του φίλτρου Κalman, συμπεριλαμβάνονται επίσης: Ο θόρυβος του μοντέλου (συμβ. Q που εκφράζει είτε την μη πλήρη γνώση της δυναμικής του συστήματος ή φαινομένου ενδιαφέροντος, είτε την ύπαρξη κάποιων παραγόντων τύχης και αβεβαιότητας στο μοντέλο αυτό (π.χ., λόγω κάποιων παραδοχών που έχουν γίνει για να προκύψει το μοντέλο αυτό. Πρακτικές προϋποθέσεις των φίλτρων Kalman; Στην προσέγγιση ενός προβλήματος με την χρήση του φίλτρου Κalman, συμπεριλαμβάνονται επίσης: Ο θόρυβος των μετρήσεων (συμβ. R που εκφράζει τα σφάλματα τα οποία παρουσιάζονται πολλές φορές στις παρατηρήσεις των διάφορων μεγεθών τα οποία είναι διαθέσιμα ή μετρήσιμα (π.χ., από αισθητήρες. Τύποι εκτίμησης στο φίλτρο Kalman Predictor: predicts parameter values ahead of current measurements. Filter: estimates parameter values using current and previous measurements. Smoothing: estimates parameter values using future, current and previous measurements. Τύποι εκτίμησης στο φίλτρο Kalman Πρόβλεψη (prediction, όταν η εκτίμηση της κατάστασης αφορά σε κάποια χρονική στιγμή μετά από αυτήν της τελευταίας μέτρησης (t>. Φιλτράρισμα (filtering όταν η εκτίμηση της κατάστασης αφορά σε κάποια χρονική στιγμή που ταυτίζεται με αυτήν της τελευταίας μέτρησης (t=. Λείανση ή εξομάλυνση (smoothing όταν η εκτίμηση της κατάστασης αφορά σε κάποια χρονική στιγμή πριν από αυτήν της τελευταίας μέτρησης (t<. φίλτρο Kalman=πρόγνωση πρόγνωση+ φιλτράρισμα+ εξομάλυνση Κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης; Η διαφορά της εκτίμησης από την πραγματική κατάσταση είναι το σφάλμα εκτίμησης (estimation error. Όσο μικρότερο είναι το σφάλμα εκτίμησης, τόσο καλύτερη είναι η εκτίμηση της πραγματικής κατάστασης. Επομένως, το κριτήριο βέλτιστης εκτίμησης είναι η ελαχιστοποίηση της μέσης τιμής κάποιας συνάρτησης του σφάλματος εκτίμησης

6 Υλοποίηση του φίλτρου Kalman; Μέσω ενός αναδρομικούού αλγόριθμου βέλτιστης εκτίμησης Υλοποίηση του φίλτρου Kalman; εδομένα εισόδου με θόρυβο Πολλαπλά δεδομένα εισόδου Σύστημα: άγνωστοι παράμετροι κατάστασης Σήμα και θόρυβος + KF ειγματοληψία δεδομένων εξόδου Συμπερίληψη δεδομένων εξόδου που εμπεριέχουν θόρυβο Εκτίμηση διανύσματος κατάστασης * Υπολογισμός βαρών από την πρόβλεψη της συμμεταβλητότητας του διανύσματος κατάστασης και του θορύβου των μετρήσεων *Αρχική εκτίμηση δ. κατάστασης & της αξιοπιστίας του Επόμενη πρόγνωση του διανύσματος κατάστασης & της αξιοπιστίας του διανύσματος κατάστασης Ανανέωση πίνακα συμμεταβλητότητας της βελτιωμένης εκτίμησης του διανύσματος κατάστασης Νέες μετρήσεις ανά κύκλο ανατροφοδότησης Ανανέωση διανύσματος κατάστασης με συνδυασμό πρόγνωσης και νέων μετρήσεων Βελτιωμένη εκτίμηση του Υλοποίηση του φίλτρου Kalman; Περιγραφή της δυναμικής κατάστασης, μοντέλου και μετρήσεων υπό μορφή πινάκων Υπολογισμοί σε διαδοχικά βήματα ime update Πρόβλεψη Διόρθωση Measurement update Κατάλληλη διαχείριση του θορύβου, μέσω Εξισώσεων χρονικών αναπροσαρμογών Εξισώσεων αναπροσαρμογών εξ αιτίας των μετρήσεων Συμβολισμοί Φίλτρα Kalman Συμβολισμοί που επίσης συναντώνται G y n Φ Φ G Φ G Τα επιμέρους βήματα υπολογισμών Αρχικά υπολογίζεται μια α posteriori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, ως γραμμικός συνδυασμός της a priori εκτίμησης H και της διαφοράς (με κατάλληλο βάρος μεταξύ μιας νέας μέτρησης z και της πρόβλεψης της μέτρησης z x ˆ H Δηλαδή = + K( z H Πίνακας κέρδους Ανανέωση Τα επιμέρους βήματα υπολογισμών = + K( z H Η α priori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, υπολογίζεται από την υπάρχουσα πληροφορία πριν και μέχρι τη χρονική στιγμή Η α posteriori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, υπολογίζεται από τη διαθέσιμη επιπλέον πληροφορία από τη μέτρηση (ή μετρήσεις στη χρονική στιγμή Με αντίστοιχα σφάλματα και πίνακες συμμεταβλητότητας e ˆ ˆ = x x και e = x x Τ Τ Σ =Ε{( e ( e } και Σ =Ε{ e e } e e Πίνακας κέρδους των φίλτρων Kalman Ο πίνακας Κ (διαστάσεων nxm επιλέγεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η εκτίμηση του a posteriori πίνακα συμμεταβλητότητας (Βέλτιστο κέρδος ανάδρασης που επιτυγχάνεται θέτοντας dtrace ( Σx ˆ και επιλύνοντας ως προς K = dk e ˆ ˆ ( ˆ = x x = x x + K z Hx Σ = Eee { } = E{( x + K( z H ( x + K( z H } K =Σ H ( HΣ H + R

7 Πίνακας κέρδους των φίλτρων Kalman K =Σ H ( HΣ H + R Όσο ο θόρυβος των μετρήσεων τείνει στο μηδέν, ο πίνακας Κ δίνει μεγαλύτερο βάρος στην ανανέωση δεδομένου ότι = + K( z H lim K R = H ηλ. δίνεται μεγαλύτερη εμπιστοσύνη στη μέτρηση και ολοένα λιγότερη στην πρόβλεψή της ime update ιακριτά φίλτρα Kalman Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών επεκτείνουν μπροστά στο χρόνο την εκτίμηση της τρέχουσας δυναμικής κατάστασης και του πίνακα συμμεταβλητότητας, προκειμένου να υπολογισθούν οι αντίστοιχες a priori εκτιμήσεις τους για το επόμενο βήμα. ˆ = Ax + Bu Σ = A Σ A + Q Πρόβλεψη ιόρθωση Measurement update ιακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Measurement ime update update ιόρθωση Οι εξισώσεις αναπροσαρμογών εξ αιτίας των μετρήσεων ενσωματώνουν κάθε νέα μέτρηση στην a priori εκτίμηση προκειμένου να διαμορφώσουν μια βελτιωμένη a posteriori εκτίμηση των παραμέτρων. K =Σ H ( HΣ H + R = + K ( z H Σ = ( ΙKH Σ, Σ Φίλτρο Kalman: Σύνοψη = A + Bu Σ = A Σ x A + Q ˆ K =Σ H ( HΣ H + R = + K ( z H Σ = ( ΙKH Σ Το φίλτρο Kalman για Γραμμικά Συστήματα διακριτού χρόνου Οι λεπτομέρειες διαμόρφωσης των βασικών εξισώσεων (για εμβάθυνση Γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου τυπικά περιγράφονται από κάποια (γραμμική στοχαστική εξίσωση της δυναμικής κατάστασης μιας χρονικά ελεγχόμενης διαδικασίας και στοιχεία εξόδου (μετρήσεις Ο πίνακας Η σχετίζει την κατάσταση του συστήματος με τη μέτρηση Γραμμικά συστήματα διακριτού χρόνου τυπικά περιγράφονται από κάποια (γραμμική στοχαστική εξίσωση της δυναμικής κατάστασης μιας χρονικά ελεγχόμενης διαδικασίας Οι θόρυβοι στο μοντέλο και τις μετρήσεις θεωρούνται ότι ακολουθούν την κανονική κατανομή με μηδενικές μέσες τιμές και γνωστούς πίνακες συμμεταβλητότητας Q και R Οι θόρυβοι στο μοντέλο και τις μετρήσεις θεωρούνται ότι ακολουθούν την κανονική κατανομή με μηδενικές μέσες τιμές και γνωστούς πίνακες συμμεταβλητότητας Q και R και στοιχεία εξόδου (μετρήσεις & Οι πίνακες συμμεταβλητότητας Q και R στη πράξη μπορεί να μεταβάλλονται στο χρόνο, αλλά συνήθως θεωρούνται σταθεροί

8 Αρχική συνθήκη: Ο πίνακας συνδυακύμανσης του σφάλματος και αντίστοιχα για τη αρχική χρονική στιγμή θα ισχύει Οι τυχαίες μεταβλητές για τους θορύβους και την αρχική κατάσταση είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Η εκτίμηση της κατάστασης Χ( του συστήματος τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή, δηλ. μαζί με τη νέα μέτρηση y( Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση του πίνακα συμμεταβλητότητας P(/ Με δεδομένα τα y( και u( τη χρονική στιγμή αλλά και σε όλες τις προηγούμενες χρονικές στιγμές να βρεθεί η εκτίμησης της κατάστασης του συστήματος έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται οι μέση τιμή του πίνακα συνδυακύμανσης του σφάλματος εκτίμησης Η εκτίμηση της κατάστασης Χ( του συστήματος τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας τα προηγούμενα δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή -, δηλ. πριν τη νέα μέτρηση y(, και με αντίστοιχο πίνακα συμμεταβλητότητας Με βάση τα προηγούμενα αρχικά δεδομένα, το εκάστοτε πρόβλημα εφαρμογής του φίλτρου Kalman μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ιαμόρφωση των εξισώσεων του φίλτρου Kalman: Ξεκινώντας από τη σχέση και θέτοντας Θυμηθείτε και τους προαναφερόμενους συμβολισμούς / i Η εκτίμηση της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή i x% ( = = / ( = + = / Η πρόβλεψη της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή - Η ανανεωμένη τιμή της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή Το Το πρόβλημα πρόβλημα ανάγεται ανάγεται στην στην εύρεση εύρεση εκείνου εκείνου του του κέρδους κέρδους ΚΚ που που δίνει δίνει μια μια βέλτιστη βέλτιστη εκ εκ των των υστέρων υστέρων εκτίμηση εκτίμηση της της κατάστασης κατάστασης του του συστήματος συστήματος Η διαφορά της εκτίμησης της μέτρησης y( τη χρονική στιγμή και της ίδιας της μέτρηση y( Παίζει το ρόλο μιας διόρθωσης (ανανέωσης Η βελτιστοποίηση επιτυγχάνεται με την ελαχιστοποίηση του πίνακα συμμεταβλητότητας P(/

9 Τελικά με τη διεκπεραίωση όλων των ενδιάμεσων πράξεων, και χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες ιδιότητες απλοποιημένη εξίσωση για τη σχέση μεταξύ των πινάκων συμμεταβλητότητας του σφάλματος της εκ των υστέρων & της εκ των προτέρων εκτίμησης του διανύσματος της κατάστασης του συστήματος (P(/ vs. P(/- : P m (/ Η ελαχιστοποίηση του πίνακα P(/ ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της ποσότητας trace( P(/ & όπου ΑΒ και C: είναι συμμετρικοί πίνακες ο ζητούμενος πίνακας του κέρδους ανανέωσης προκύπτουν μια σειρά από εναλλακτικές σχέσεις για τον πίνακα συμμεταβλητότητας Παραμένει να βρεθούν οι σχέσεις για Ανακαλώντας τη γενική σχέση του διανύσματος κατάστασης Η σειρά των αναγκαίων σχέσεων εφαρμογής του φίλτρου Kalman ολοκληρώνεται με τη σχέση του πίνακα συμμεταβλητότητας του εκ των προτέρων σφάλματος του διανύσματος κατάστασης για την επόμενη χρονική στιγμή +

10 Ανακεφαλαίωση της αναδρομικής διαδικασίας του φίλτρου Kalman. Εκκίνηση με αρχικές τιμές της εκ των προτέρων εκτίμησης του διανύσματος της κατάστασης και του αντίστοιχου πίνακα συμμεταβλητότητας. Υπολογισμός του πίνακα κέρδους Κ. Χρήση του διανύσματος των μετρήσεων από το δυναμικό σύστημα ενδιαφέροντος. Υπολογισμός της εκ των υστέρων εκτίμησης του διανύσματος της κατάστασης του συστήματος 5. Υπολογισμός του πίνακα συμμεταβλητότητας του της κατάστασης του συστήματος ενδιαφέροντος 6. Υπολογισμός της εκ των προτέρων εκτίμησης της κατάστασης και του πίνακα συμμεταβλητότητας του εκ των προτέρων σφάλματος της κατάστασης Επαναφορά στο Βήμα # για τους υπολογισμούς στην επόμενη χρονική στιγμή Παράδειγμα φίλτρο -D Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής x(t σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t o, t, t, t, x(t ικανοποιεί τη εξίσωση του δυναμικού μοντέλου x(t + =Φx(t +w(t Για το παράδειγμα, έστω Φ =.9 w(t αντιπροσωπεύει θόρυβο (τυχαία τιμή, με μέση τιμή και διασπορά Q. Για το παράδειγμα έστω Q=. w(t αποκαλείται λευκός θόρυβος, δηλαδή κάθε τυχαία τιμή του δεν σχετίζεται με οποιαδήποτε άλλη τυχαία τιμή και κυρίως δεν σχετίζεται με τις προηγούμενες τιμές. Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής x(t σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t o, t, t, t, x(t ικανοποιεί τη εξίσωση του δυναμικού μοντέλου x(t + =A x(t +w(t Για το παράδειγμα, έστω Α=.9 w(t αντιπροσωπεύει θόρυβο (τυχαία τιμή, με μέση τιμή και διασπορά Q. Για το παράδειγμα έστω Q=. w(t αποκαλείται λευκός θόρυβος, δηλαδή κάθε τυχαία τιμή του δεν σχετίζεται με οποιαδήποτε άλλη τυχαία τιμή και κυρίως δεν σχετίζεται με τις προηγούμενες τιμές. Παράδειγμα Το φίλτρο Kalman χρειάζεται μια αρχική τιμή προκειμένου να εφαρμοσθεί ο αναδρομικός αλγόριθμός του Ας υποθέσουμε ότι από μια ανεξάρτητη πηγή έχουμε υπολογίσει ότι xt ˆ( =, Σ = xt ˆ( Στη χρονική στιγμή t, θέλουμε να εκτιμήσουμε x(t =A x(t o +w(t o Όμως δεν γνωρίζουμε το w(t o, άλλα γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή του είναι (αφού ακολουθεί τη κανονική κατανομή p(w N(, Q xt ˆ( = Axt ( o =.9x = 9 Παράδειγμα Σ = E x t x t xt ˆ( Σ = x.8+ = 5 ˆ( xt {( ( ( } = E{( Ax( t ( ˆ o + w to Ax( to } = E{ A ( x( t ˆ o x( to } + E{ w} + AE{( xt ( ˆ o xt ( o* wt ( o} Q =Σ xt ˆ( A + o Σ =? xt ˆ( Παράδειγμα Έστω ότι τη χρονική στιγμή t γίνεται μια μέτρηση y ( t = H x( t + v( t Όπου v είναι λευκός θόρυβος, με p(v N(, R Ο πίνακας Η είναι γνωστός. Για το παράδειγμα, έστω Η=, R= και y(t = Αν υπολογίζαμε το y(t πριν γίνει η μέτρηση θα ήταν yt ( = H xt ˆ( = x9 = 9 και η νέα εκτίμηση του x(t είναι xt ˆ( = xt ˆ( + K( yt ( yt ( (=-9 Ποια τιμή Κ? 5 Αντίστοιχα Παράδειγμα K =Σ H ( H Σ H + R Σ =Σ = = Κ =.767 xt ˆ( ˆ = xt ( + K( yt ( yt ( = ( 9 = 9. xt ˆ( ˆ( ( KH xt

11 Παράδειγμα ( Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή και διασπορά σ=. =. R=. =. Τιμές φίλτρου x=-.777 Παράδειγμα ( Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή και διασπορά σ=. =. R= Τιμές φίλτρου x=-.777 Παράδειγμα ( Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή και διασπορά σ=. =. R=. Τιμές φίλτρου x=-.777 Τοφίλτροείναιπιοαργόστησύγκλισήτου Το φίλτρο εμπιστεύεται τις θορυβώδεις μετρήσεις π.χ. συνδυασμός μετρήσεων GPS Οι GPS δέκτες παρέχουν πολλαπλούς τύπους ανεξάρτητων μετρήσεων (ψευδοαπόστασης, φάσης, Doppler Αυτόνομος εντοπισμός απαιτεί το συνδυασμό τους Μετρήσεις Ψευδοαπόστασης Θέση ( x Μετρήσεις Doppler Ταχύτητα (v = x& Τυπικές ακρίβειες ( m,.5 m/sec Πολλοί GPS δέκτες παρέχουν υψηλής ακρίβειας μετρήσεις φάσης (και συνεπώς Doppler, άρα μπορούν να βελτιώσουν την εκτίμηση της θέσης π.χ. Συνδυασμός μετρήσεων GPS χ=θέση, v=ταχύτητα, a=επιτάχυνση, j=τράνταγμα (jer, ω=θόρυβος x y meas meas Μετρήσεις xmeas = x+ vx y = y+ v meas y Δυναμικό μοντέλο φίλτρου dx dv = v, = a, dt dt da dj = j, = ω dt dt North East Down vˆ aˆ Συνδυάζεται με μετρήσεις των γυροσκοπίων Παράδειγμα Εκτεταμένα φίλτρα Kalman Παράδειγμα από τη χρήση του GPS στις περιπτώσεις Στατικού εντοπισμού Κινηματικού εντοπισμού Τύποι Μετρήσεων GPS Παρατηρήσεις του κώδικα C/A ή P(L: C/A, L : P, L : P Συνδυασμός παρατηρήσεων του κώδικα C/A ή P και παρατηρήσεων Doppler (δηλ. μεταβολή της φάσης του φέροντος κύματος ως αποτέλεσμα της σχετικής κίνησης μεταξύ δορυφόρου και δέκτη του χρήστη Οι εν λόγω παρατηρήσεις GPS εμπεριέχουν σφάλματα διαφόρων τύπων και μεγέθους Μετριασμός των σφαλμάτων ιορθώσεις μέσω του μηνύματος πλοήγησης Μοντέλα της ιονόσφαιρας και τροπόσφαιρας ιαφορικό GPS Ελαχιστοποίηση όλων των σφαλμάτων εκτός από τα πολυκλαδικά σφάλματα και τους θορύβους των σημάτων GPS Τύποι Μετρήσεων GPS Σφάλματα τροχιάς και χρονομέτρων Σφάλμα Ιονόσφαιρας στη συχνότητα L Σφάλμα Τροπόσφαιρας Πολυκλαδικά σφάλματα στις μετρήσεις του κώδικα Θόρυβος στις μετρήσεις του κώδικα Πολυκλαδικά σφάλματα στις μετρήσεις της φάσης Θόρυβος στις μετρήσεις της φάσης. m 7 m. m. 5 m.6 m 5 mm. mm Γιατί να χρησιμοποιηθεί ένα φίλτρο Kalman? Μη γραμμικό σύστημα Μοντέλο της φυσικής διαδικασίας των μετρήσεων: x = f(x -, - + w - Μοντέλο των μετρήσεων: z = h(x, + v Η μη γραμμικότητα εισέρχεται μέσω των μετρήσεων (μη γραμμικές εξισώσεις παρατήρησης Τα πλεονεκτήματα των Φίλτρων Kalman Μπορούν να προβλέψουν τη κατάσταση του δυναμικού συστήματος σε επόμενες χρονικές στιγμές Παρέχουν ένα απλό τρόπο καθορισμού του βάρους όλων των μετρήσεων σύμφωνα με τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλμάτων τους Τα υπόλοιπα των μετρήσεων χρησιμεύουν στην ανίχνευση ξαφνικών ανωμαλιών λειτουργίας π.χ. των χρονομέτρων των δορυφόρων

12 Εκτεταμένο Φίλτρο Kalman Πρόβλεψη εκτίμησης της κατάστασης + = f ( Πρόβλεψη της μέτρησης zˆ = h ( x x +Φ ( x + w z zˆ + H ( x x + v Ανάπτυγμα κατά aylor της f χρησιμοποιώντας την προηγούμενη εκτίμηση f ( x, Πίνακας Φ(, Μετάβασης x x= Ανάπτυγμα κατά aylor της h για την αντίστοιχη h( x, H(, προβλεπόμενη x x= θέση Εξισώσεις για το EΦΚ ˆ x P Εκτεταμένο Φίλτρο Kalman ( Πρόβλεψη της κατάστασης - + x ˆ = f ˆ ( x ( Πρόβλεψη του πίνακα συμμεταβλητότητας + P =Φ PΦ + Q ( Υπολογισμός του πίνακα κέρδους K = P H [ H P H + R ] ( Ανανέωση της εκτίμησης με τη μέτρηση z ˆ + ˆ x = x + K ( z zˆ ( Ανανέωση του πίνακα συμμεταβλητότητας P = ( I K H P Μοντέλο υναμικής Κατάστασης Η δυναμική κατάσταση μιας κινούμενης πλατφόρμας (πλοίο, αεροσκάφος, όχημα,.. περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης και ταχύτητας του δέκτη GPS, στο σύστημα WGS 8, και το σφάλμα του χρονομέτρου του δέκτη x = [ X, X&, Y, Y& t t t, Z, Z&, cδ t, c & δt] t Μοντέλο υναμικής Κατάστασης Μοντέλο σταθερής ταχύτητας (Constant velocity model ( = χρόνος μετρήσεων C Φ x 678 & x = w 678 } x& = w + V x x + = w x + w & x = + V + x w = λευκός θόρυβος Q, σ v = Θόρυβος μοντέλου v Q = Cσ C = σ v Μοντέλο υναμικής Κατάστασης Μοντέλο χρονομέτρου Q Q Q cδt + = c & δt + Q Q Q = Q Q h = c ( + h = c (h + π h cδt w + c cδt & w + π h h 8 = c ( + h + π h h = 9. h =.8 9 h =.8 Τυπικές τιμές για ατομικά χρονόμετρα χαλαζία Φ = Πίνακες Φ & Q σ x σ x Q = σ x σ x σ y σ y σ y σ y σ z σ z σ z σ z Q Q Q Q Εξισώσεις παρατήρησης Για τις μετρήσεις κώδικα ρit = R it + cδt + vit όπου, Rit = ( Xr Xit + ( Yr Yit + ( Zr Zit V = θόρυβος μέτρησης it Για τις μετρήσεις Doppler, που εκφράζουν την ταχύτητα κίνησης του δέκτη και για n δορυφόρους [( X rt X it ( X& rt X& it + ( Yrt Yit ( Y& rt Y& it + ( Zrt Zit ( Z& rt Z& it ] Dit = + cδ& t R Z t= [ p t, pt,... pnt, D t, D it,... D t nt ] Εξισώσεις παρατήρησης H Πίνακας H υπολογίζεται ως H = H όπου, h x hy h z h x hy hz h x hy h z h x hy hz H =. H =... n n n h x hy h n n n h z x hy hz Αν χρησιμοποιούνται μόνο μετρήσεις κώδικα: i ρi ( X r X i i ρi ( Yr Yi i ρi ( Zr Zi hx = = hy = = hz = = X PRi Y PRi Z PRi H = [ H ] Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα εντοπισμού από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων EKF, Code & Doppler EKF, Code LSQ 5 Z Error Y Error Χ error X Error y error z error Error in estimated coordinate GPS ime (sec GPS ime (sec GPS ime (sec

13 Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα υπολογισμού θέσης από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων RMS Error (m RMS EKF C & D EKF Code Only LSQ EKF (C &D EKF (Code LSQ RMS errors in Position Solution Northing, Easting, Up σ Ν (m σ Ε (m σ up up (m Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα υπολογισμού ταχύτητας από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Με τη Μέθοδο Ελαχίστων Τετραγώνων RMS Error (cm 8 6 EKF, C & D EKF, Code LSQ RMS errors in Velocity Solution Northing, Easting, Up Παράδειγμα - ένα απλό φίλτρο Kalman Παρακολούθηση της τροχιάς ενός οχήματος, πλοίου, αεροσκάφους, βλήματος, δορυφόρου με GPS x R διάνυσμα θέσης y τοποθεσία εκτόξευσης x: φ,λ τρέχουσα θέση κινούμενου αντικειμένου Στην εκάστοτε χρονική στιγμή, η ακριβής θέση είναι άγνωστη, αλλά έχουμε κάποια γνώση για το διάνυσμα θέσης x μια σημειακή εκτίμηση, ή μέσω μιας συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής x E p ( x dx Παράδειγμα - ένα απλό φίλτρο Kalman Για απλούστευση θεωρούμε για τη σ.π.π. p ~ N(, Σ, όπου είναι μέση τιμή της κανονικής κατανομής, και Σ υποδηλώνει τον x πίνακα συμμεταβλητότητας x R διάνυσμα θέσης y τοποθεσία εκτόξευσης Το βήμα του φιλτραρίσματος Έστω ότι οι αισθητήρες δίνουν μια νέα μέτρηση γιατηθέσηy=(., -.9 Επειδή οι μετρήσεις των αισθητήρων περιέχουν σφάλματα/θόρυβο υ, το μοντέλο των μετρήσεων είναι της μορφής y = G x + υ, όπου υ ~ N(, R G και R είναι πίνακες διαστάσεων x, και θεωρούνται γνωστοί Τα σφάλματα υ των μετρήσεων είναι ανεξάρτητα από το διάνυσμα της κατάστασης x Το βήμα του φιλτραρίσματος Πως συνδυάζουμε την πρότερη γνώση p ~ N(,Σ, με το νέα μέτρηση y προκειμένου να βελτιώσουμε τη γνώση μας για τη θέση του κινούμενου αντικειμένου ; κάνουμε χρήση του θεωρήματος του Bayes _ δεν εξαρτάται από το διάνυσμα της κατάστασης Το βήμα του φιλτραρίσματος Η επικαιροποιημένη πυκνότητα πιθανότητας p(x y μπορεί να υπολογιστεί από τον υπολογισμό ενός πληθυσμού γραμμικών μοντέλων παλινδρόμησης όπου Το βήμα του φιλτραρίσματος όπου G = Ι, και R=.5Σ Το βήμα της πρόβλεψης μοντέλο της κίνησης του αντικειμένου Το κέρδος Kalman εξαρτάται από τον πίνακα Σ αλλά όχι από τις μετρήσεις y ήτην πρόβλεψη του x

14 Το βήμα της ανανέωσης Επανάληψη της διαδικασίας με νέες μετρήσεις Το βήμα της ανανέωσης & επανάληψης new Στην επόμενη ενότητα Πως τα φίλτρα Kalman σχετίζονται / είναι ισοδύναμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, σε ειδικές περιπτώσεις συνόρθωσης των μετρήσεων, π.χ. Σε διαδοχικά βήματα Σε επιμέρους φάσεις (κατά ομάδες μετρήσεων Με την άθροιση κανονικών εξισώσεων