4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ = Μ και Μ = Μ άρα είναι ίσα οπότε = = Ο Μ Στο τρίγωνο το είναι ύψος και διάµεσος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές επειδή επιπλέον ισχύει = = το τρίγωνο είναι και ορθογώνιο i Τα Ο και Μ είναι µέσα των και άρα ΟΜ = = = 4

3. Σε τρίγωνο µε < τα Μ και Ν είναι τα µέσα των και αντίστοιχα η δε ευθεία ΜΝ τέµνει την διχοτόµο της γωνίας στο. είξτε ότι Ν = Ν i = Μ Τα Μ και Ν είναι µέσα των και άρα ΜΝ // οπότε = ως εντός εναλλάξ µε Ν τέµνουσα την ακόµα είναι και = άρα = συνεπώς Ν = Ν Στο τρίγωνο η Ν είναι διάµεσος και Ν = Ν = ορθογώνιο µε υποτείνουσα την i Μ = (Ν ΜΝ) = = Μ άρα το τρίγωνο είναι

33. Σε παραλληλόγραµµο µε = δείξτε ότι Οι διχοτόµοι των γωνιών και τέµνονται σε σηµείο πάνω στην ν η διχοτόµος της γωνίας τέµνει τη στο Ζ τότε το Ζ είναι ρόµβος i ɵ = 90 ο iν) ν η Ζ τέµνει την στο Μ και η Ζ την στο Ν τότε το ΜΖΝ είναι ορθογώνιο Έστω ότι η διχοτόµος της γωνίας τέµνει την στο θα αποδείξουµε ότι η είναι Μ Ζ Ν διχοτόµος της γωνίας. ίναι = και = ɵ (εντός εναλλάξ) άρα = ɵ οπότε = () πό την υπόθεση = προκύπτει ότι = και λόγω της () = = = = φού = έχουµε ɵ = και επειδή ɵ = θα είναι = δηλαδή η είναι διχοτόµος της γωνίας Οι διχοτόµοι και Ζ των διαδοχικών γωνιών και του παραλληλογράµµου είναι κάθετες οπότε το τρίγωνο Ζ αφού έχει την Μ διχοτόµο και ύψος θα είναι ισοσκελές δηλαδή = Ζ φού λοιπόν τα τρίγωνα Ζ και είναι ισοσκελή στο τετράπλευρο Ζ οι διαγώνιες είναι κάθετες και διχοτοµούνται συνεπώς αυτό είναι ρόµβος. i πειδή οι και είναι διχοτόµοι των διαδοχικών γωνιών και του παραλληλογράµµου αυτές είναι κάθετες άρα ɵ = 90 ο iν) ύκολα διαπιστώνουµε ότι και η Ζ είναι διχοτόµος της γωνίας ɵ συνεπώς όλες οι γωνίες του ΜΖΝ είναι ορθές οπότε αυτό είναι ορθογώνιο

34. Ένα τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο ( Ο, R) και µία διάµετρός ΡΜ του κύκλου είναι κάθετη στην πλευρά ( το Ρ είναι στο τόξο ). Έστω ότι Κ και Λ είναι οι προβολές των Ρ και Μ αντίστοιχα πάνω στην ευθεία. Να δείξετε ότι Κ =Λ Λ Κ = i Κ + Λ = Έστω Κ και Λ οι προβολές των Ρ και Μ στην ευθεία φέρω το απόστηµα Ο της χορδής τότε = () και ΡΚ // Ο //ΜΛ σαν κάθετα τµήµατα στην ίδια ευθεία Το τετράπλευρο ΡΚΛΜ είναι τραπέζιο και αφού Ο το µέσο της ΡΜ και Ο // ΡΚ //ΜΛ η Ο είναι διάµεσος του τραπεζίου άρα Κ = Λ () φαιρώντας από την () την () έχουµε Κ = Λ Κ = Λ Λ Κ = λόγω του ( = Λ Λ = i Φέρω το Μ τότε τα τρίγωνα ΜΛ και Μ είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια, έχουν την Μ κοινή και Λ Μ = Μ δεδοµένου ότι το Μ είναι το µέσο του τόξου Μ άρα Λ = (3) πίσης Τα τρίγωνα ΜΛ και Μ είναι ίσα διότι είναι ορθογώνια και έχουν Μ = Μ και ΜΛ = Μ επειδή η Μ διχοτόµος της άρα Λ= (4) Τώρα λόγω των ( (3) και (4) έχουµε Κ + Λ = Λ + = + = Λ Κ Μ Ρ Ο

35. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η υποτείνουσα είναι διπλάσια από την. πό το φέρνουµε τις κάθετες Ζ και στην εσωτερική και την εξωτερική διχοτόµο της γωνίας. Η Ζ προεκτεινόµενη τέµνει την στο Η. είξτε ότι Ζ // Ζ µέσο της Η και Η µέσο της i Ζ = πειδή οι και Ζ είναι διχοτόµοι εφεξής παραπληρωµατικών γωνιών θα είναι Ζ = 90 ο Στο τετράπλευρο Ζ έχουµε Ζ = 90 ο, = 90 ο και Ζ = 90 ο άρα αυτό είναι ορθογώνιο οπότε = Ζ εποµένως Ζ Η και = Ζ Ζ = αφού όµως είναι και = θα είναι και Ζ = άρα Ζ // To E είναι µέσο του και Ζ// Η άρα το Ζ είναι µέσο του Η πίσης στο τρίγωνο Η το Ζ είναι διχοτόµος και ύψος άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές εποµένως Η = = από την υπόθεση = άρα Η µέσο του i πό την υπόθεση έχουµε ότι = Ζ = θα είναι και Ζ = και επειδή

36. Τρίγωνο είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο, ύψος αυτού και διάµετρος του κύκλου. πό το φέρνουµε τµήµα Ζ. Να αποδείξετε ότι Τα σηµεία,, Ζ, είναι οµοκυκλικά Ζ // i Ζ Και στα δύο σχήµατα είναι = 90 ο = Ζ οπότε τα τετράπλευρα Ζ στο αριστερά σχήµα και Ζ στο δεξιά είναι εγγράψιµα σε κύκλο δηλαδή τα σηµεία,, Ζ και είναι οµοκυκλικά Ζ Στο αριστερά σχήµα από το εγγράψιµο Ζ έχουµε ότι ɵ = Ζ όµως ɵ = ɵ σαν εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο άρα Ζ = ɵ οπότε Ζ// στο δεξιά σχήµα από το εγγράψιµο Ζ έχουµε ότι ɵ = ɵ φ αλλά και ɵ = ɵ σαν εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο οπότε ɵ φ = ɵ εποµένως Ζ // i φ Ζ πειδή η γωνία είναι εγγεγραµµένη σε ηµικύκλιο αυτή είναι ορθή συνεπώς εποµένως και η παράλληλη Ζ της θα είναι κάθετη στην

37. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος στην υποτείνουσα. ν τυχαίο σηµείο του ύψους και η κάθετη στην στο τέµνει την προέκταση της στο Ζ, να αποδείξετε ότι Τα τρίγωνα και Ζ είναι όµοια Ζ = i AB BE = B Ζ πειδή ɵ Ζ = Ζ = 90 ο το τετράπλευρο Ζ είναι εγγράψιµο άρα Ζ = ω φ επίσης = σαν ɵ συµπληρωµατικές της οπότε Ζ = φού ɵ λοιπόν στα ορθογώνια τρίγωνα και Ζ έχουµε Ζ = ɵ τα τρίγωνα είναι όµοια ίναι ω+ + Ζ = 90 ο και φ ɵ + + ɵ = 90 ο άρα ω+ + Ζ = φ ɵ + + ɵ και δεδοµένου ότι Ζ = έχουµε ɵ ω= φ ɵ δηλαδή Ζ = i Η ζητούµενη σχέση γράφεται =Ζ () τα ορθογώνια τρίγωνα Ζ και έχουν ω= ɵ φ άρα είναι όµοια οπότε ισχύει η () Ζ

38. Έστω τρίγωνο µε > και ɵ η διχοτόµος αυτού. πό το φέρνουµε κάθετο στην που τέµνει την στο και την στο Η και από το φέρνουµε κάθετο στην που τέµνει την στο Ζ και την προέκταση της στο Θ ακόµα έστω Μ το µέσο της. Να αποδείξετε ότι Το τρίγωνο ΜΖ είναι ισοσκελές Μ Ζ = + ɵ i Το τετράπλευρο ΗΘ είναι ισοσκελές τραπέζιο Στο τρίγωνο Η η είναι διχοτόµος και ύψος συνεπώς το τρίγωνο είναι ισοσκελές και το είναι µέσο του Η Στο τρίγωνο Η τα και Μ είναι µέσα των Η και άρα Μ // Η δηλαδή Μ Η Μ // οπότε ɵ = () ως εντός εκτός των παραλλήλων Μ και µε τέµνουσα την Οµοίως το τρίγωνο Θ είναι ισοσκελές και Ζ µέσο της Θ οπότε ΜΖ // Θ δηλαδή ΜΖ // Θ άρα Ζ = () ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων Θ και ΜΖ µε τέµνουσα την Ζ. Όµως = = άρα από τις () και () έχουµε Θ Ζ ότι ɵ = Ζ = εποµένως το τρίγωνο ΜΖ είναι ισοσκελές Μ Ζ = 80 o ɵ Ζ = 80 o = 80 o = + ɵ i BH // Θ σαν κάθετα στην εποµένως το ΗΘ είναι τραπέζιο και επειδή Θ = Η σαν διαφορές των ίσων τµηµάτων = Θ και Η = το τραπέζιο είναι ισοσκελές.

39. Σε κύκλο (Ο, R) δίνονται τα διαδοχικά σηµεία,, και έτσι ώστε + = 80 ο και διάµετρος του κύκλου. Να αποδείξετε ότι Οι χορδές και είναι κάθετες // i = ν ω είναι η γωνία των δύο χορδών γνωρίζουµε ότι το µέτρο της είναι ίσο µε ω ω= [ + ] = 80o = 90 ο άρα πειδή διάµετρος θα είναι = 90 ο εποµένως αφού λοιπόν και θα είναι // i πειδή // είναι = = άρα το τετράπλευρο είναι τραπέζιο και µάλιστα ισοσκελές οπότε οι διαγώνιες του είναι ίσες δηλαδή =

40. Θεωρούµε κύκλο (Ο, R) µία διάµετρο αυτού, την εφαπτοµένη στο και ένα σηµείο του κύκλου. Η τέµνει την εφαπτοµένη στο Ρ και πάνω στην παίρνουµε τµήµα = Ρ. ν η παράλληλη από το προς την τέµνει την Ρ στο Ν να αποδείξετε ότι Η Ν είναι διχοτόµος της γωνίας Ρ Ν = πειδή η είναι διάµετρος η γωνία ɵ είναι ορθή οπότε το Ρ είναι ύψος στο τρίγωνο Ρ κόµα x και έστω ότι το Ν τέµνει την x στο.φού Ν // θα είναι και Ν x οπότε το είναι το δεύτερο ύψος του τριγώνου Ρ συνεπώς το Ν είναι το ορθόκεντρο του ισοσκελούς τριγώνου Ρ κατά συνέπεια το Ν θα είναι ο φορέας του τρίτου ύψους του ισοσκελούς τριγώνου Ρ οπότε η Ν είναι και διχοτόµος της γωνίας Ρ Η γωνία Ν είναι εξωτερική στο τρίγωνο ΝΡ άρα Ν = Ρ ɵ + ω () πίσης Ν = ɵ η + ɵ φ () όµως ω= φ ɵ λόγω του ( και Ρ ɵ = ησαν ɵ συµπληρωµατικές της Οπότε από τις () και () έχουµε ότι Ν = Ν άρα Ν =. Ν ω φ η x Ρ