ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος a +. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Άσκηση Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι: AB =(-4,-6), AΓ =(,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος του τριγώνου ΑΒΓ. β) Να αποδείξετε ότι η γωνία A είναι οξεία. (Μονάδες 0) γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. ΘΕΜΑ Άσκηση 3 Έστω τα διανύσματα α και β για τα οποία : α β και α) Να αποδείξετε ότι αβ β) Να υπολογίσετε τα μέτρα των διανυσμάτων α β και α β αβ, 60 (Μονάδες 0)
ΘΕΜΑ Άσκηση 4 Δίνονται τα διανύσματα AΒ κ 6κ 9, κ 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο AB AΓ και AΓ,6, όπου κ β) Να βρείτε τις τιμές του κ, ώστε τα διανύσματα AB και AΓ να είναι κάθετα. γ) Για κ = να βρείτε το διάνυσμα BΓ. (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Άσκηση 5 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε AΔ AB 5AΓ και AΕ 5AB AΓ α) Να γράψετε το διάνυσμα ΔΕ ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΓ. (Μονάδες 3) β) Να δείξετε ότι τα διανύσματα ΔΕ και BΓ είναι παράλληλα. Άσκηση 6 Δίνονται τα διανύσματα ΟA 4, και ΟB,, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα ΟA και ΟΒ είναι κάθετα. (Μονάδες 4) β) Αν Γαβ, είναι σημείο της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β, τότε: i) να αποδείξετε ότι: AB 3,4 και AΓ α 4, β ii) να αποδείξετε ότι: 4α3β 0 (Μονάδες 6) iii) αν επιπλέον τα διανύσματα ΟΓ και AB είναι κάθετα, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Γ. (Μονάδες 0) (Μονάδες )
Άσκηση 7 Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι AB λ, λ, AΓ 3 λ, λ είναι το μέσο της πλευράς ΒΓ AΜ λλ, α) Να αποδείξετε ότι, όπου λ 0 και λ, και Μ β) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το διάνυσμα AΜ είναι κάθετο στο διά- νυσμα α, λ λ γ) Για την τιμή του λ που βρήκατε στο ερώτημα β), να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ Άσκηση 8 (Μονάδες 0) Δίνονται τα διανύσματα α, β και γ για τα οποία ισχύουν: κ α, β, αβ, 60 και γ αβ, όπου κ α) Να υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο αβ β) Αν ισχύει βγκ, τότε: (Μονάδες 3) i) να αποδείξετε ότι: κ (Μονάδες 6) ii) να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος γ iii) να αποδείξετε ότι τα διανύσματα 3α γ και βγ είναι κάθετα. 3
ΘΕΜΑ Άσκηση 9 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : χψ8 0, ε : χ 4ψ 0 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε (Μονάδες 0) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. ΕΥΘΕΙΕΣ (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Άσκηση 0 Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε : χψ8 0, ε : χ 4ψ 0 0 και το σημείο Α της ε που έχει τετμημένη το 4. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α. β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετη στην ευθεία ε (Μονάδες 0) γ) Αν Β είναι το σημείο τομής των ευθειών ε, τότε να βρείτε τις συντεταγμένες του Β. (Μονάδες 0) ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνεται η ευθεία (ε): y+x= και το σημείο Α(,-4). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α ίναι κάθετη στην (ε). (Μονάδες 0) β) Να βρείτε την προβολή του σημείου Α πάνω στην ευθεία (ε). 4
ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ε : χ8ψ6 0 : χ ψ 5 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Αν οι ευθείες ε τέμνουν τον άξονα ψψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: α) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Μ, A και B (Μονάδες 0) β) αν Κ είναι το μέσο του τμήματος ΑΒ, να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος ΜΚ ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ε : 8χψ8 0 : χ ψ 0 οι οποίες τέμνονται στο σημείο Μ. Άσκηση Άσκηση 3 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ και, στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Μ ίναι κάθετη στον άξονα χχ. (Μονάδες 0) β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που διέρχονται από το Μ και έχουν συντελεστή διεύθυνσης λ έχουν εξίσωση την: λχ ψ 3λ 4 0, όπου λ ΘΕΜΑ Άσκηση 4 Δίνονται οι ευθείες ε : χ3ψ5 0 :3χψ5 0 α) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε είναι κάθετες μεταξύ τους. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε (Μονάδες 9) (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α και την αρχή Ο των αξόνων. ΘΕΜΑ Άσκηση 5 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και E, Z σημεία τέτοια ώστε: AE AΔ, AΖ AΓ. 5 7 α) Να γράψετε τα διανύσματα EZ και ZB ως γραμμικό συνδυασμό των AB και AΔ. β) Να αποδείξτε ότι τα σημεία B, Z και E είναι συνευθειακά. (Μονάδες 3) (Μονάδες ) 5
ΘΕΜΑ Δίνονται οι ευθείες ε :3χψ3 0 : χψ4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Β και Γ. ii) να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ έχει εξίσωση την 3χ4ψ 0 ΘΕΜΑ Θεωρούμε την ευθεία ε που τέμνει τους άξονες χχ και ψψ και Β 0,6 αντίστοιχα. α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε (Μονάδες 9) στα σημεία Α 3,0 β) Αν ε είναι η ευθεία που διέρχεται από την αρχή των αξόνων ίναι κάθετη στην ε, τότε να βρείτε: i) την εξίσωση της ευθείας ε Άσκηση 6 Άσκηση 7 ii) τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών ε (Μονάδες 9) ΘΕΜΑ Άσκηση 8 Δίνονται τα διανύσματα ΟΑ i 4j, OB 3i j και ΟΓ 5i 5j, όπου i και j είναι τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων xx και yy αντίστοιχα. α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των AB και BΓ. β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Α, B και Γ μπορεί να είναι κορυφές τριγώνου. (Μονάδες ) (Μονάδες 3) 6
ΘΕΜΑ Έστω Μ 3,5 το μέσο ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με, α) Να βρείτε: i) τις συντεταγμένες του σημείου Β. Άσκηση 9 Α. (Μονάδες 6) ii) την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου Κ του άξονα χχ έτσι, ώστε να ισχύει ΚΑ ΚΒ. (Μονάδες ) ΘΕΜΑ Άσκηση 0 Δίνονται οι ευθείες ε : (λ-)x+y-5=0, ε : (λ +3)x-y-5=0 με λ και το σημείο Α(,-). α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε τιμή του λ οι ευθείες τέμνονται. β) Αν οι ευθείες τέμνονται στο σημείο Α, να βρείτε την τιμή του λ. (Μονάδες 0) γ) Έστω λ= και Β, Γ τα σημεία που οι ε τέμνουν τον άξονα y y. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Άσκηση Δίνεται η εξίσωση: χ χψ ψ 6χ 6ψ 8 0 α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση παριστάνει γεωμετρικά δύο ευθείες γραμμές ε και ε οι οποίες είναι παράλληλες μεταξύ τους. β) Αν ε : χψ 0 : χ ψ 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ε των ε γ) Αν Α είναι σημείο της ευθείας ε με τεταγμένη το και Β σημείο της ευθείας ε με τετμημένη το, τότε: i) να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων A και Β (Μονάδες ) ii) να βρείτε τις συντεταγμένες δύο σημείων Γ και Δ της ευθείας ε έτσι, ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο. 7
Δίνονται οι ευθείες ε : χψ 0 λ 6 0 :0χ ψ λ 4 0, όπου λ α) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ οι ευθείες ε τέμνονται, και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους M β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή της παραμέτρου λ το σημείο M ανήκει στην ευθεία ε:8χψ6 0 γ) Αν η ευθεία ε τέμνει τους άξονες χχ και ψψ στα σημεία Α και B αντίστοιχα, τότε: Άσκηση i) να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων ίναι παράλληλη προς την ευθεία AB 9 ii) αν Κ είναι τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να αποδείξετε ότι ΚΑΒ 4 (Μονάδες 6) Δίνονται τα σημεία Α 3,4, B 5,7 και Γμ,3μ, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και AΓ και, στη συνέχεια, να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, B και Γ δεν είναι συνευθειακά για κάθε τιμή του μ. β) Να αποδείξετε ότι: i) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δεν εξαρτάται από το μ. ii) για κάθε τιμή του μ το σημείο Γ ανήκει σε ευθεία ε, της οποίας να βρείτε την εξίσωση. Άσκηση 3 γ) Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά γιατί το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραμένει σταθερό, ανεξάρτητα από την τιμή του μ ; 8
Δίνονται οι ευθείες ε :3χψ3 0 : χψ4 0 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των ευθειών ε β) Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα ψψ στο σημείο Β και η ευθεία ε τέμνει τον άξονα χχ στο σημείο Γ, τότε: i) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Β και Γ ii) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ χψ, για τα οποία ισχύει ΚΒΓ ΑΒΓ σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις. ανήκουν (Μονάδες 0) Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: ψ χ, με Α χ, ψ,, Β χ ψ και χ χ Άσκηση 4 Άσκηση 5 Αν το σημείο Μ 3,5 είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων Α και Β ισούται με 5, τότε: α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β. β) να αποδείξετε ότι ΟΑΒ 4, όπου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ χψ, για τα οποία ισχύει ΚΑΒ ΟΑΒ ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: χψ 0 και χψ6 0 Άσκηση 6 Δίνεται η εξίσωσηx +y -xy-3λx+3λy+λ =0, με λ διαφορετικό του 0. α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με. (Μονάδες ) β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος α) είναι ίσο με, να βρείτε την τιμή του λ. 9
Άσκηση 7 Δίνονται τα διανύσματα a και b με μέτρα, 6 αντίστοιχα και φ[0,π] η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η εξίσωση ( ab ) x ( ab ) ψ-5=0 (). α) Να αποδείξετε ότι η () παριστάνει ευθεία για κάθε φ[0,π]. (Μονάδες 3) β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα ψ ψ, να αποδείξετε ότι b 3a γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα χ χ, να αποδείξετε ότι b 3a δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι b a Άσκηση 8 Δίνονται οι ευθείες ε :κχ κψ 3κ 0 και ζ : 3κ χ κψ6κ 0, όπου κ α) Να εξετάσετε αν υπάρχει τιμή του κ, ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες. β) Να βρείτε την αμβλεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε και ζ. (Μονάδες 0) Άσκηση 9 3 Δίνονται τα σημεία Α,, B, και μ 4 Γμ,, όπου μ α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων AB και ΒΓ β) Να αποδείξετε ότι για κάθε μ το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β γ) Να βρείτε την τιμή του μ έτσι, ώστε μβγ AB (Μονάδες 6) δ) Για την τιμή του μ που βρήκατε στο ερώτημα γ), να αποδείξετε ότι ΟΒΓ, όπου O είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 3) 0
Δίνεται η ευθεία ε: χ 4ψ 7 0 και τα σημεία Α,4 και B,6 α) Να βρείτε τις συντεταγμένες σημείου M της ευθείας ε το οποίο ισαπέχει από τα σημεία A και B Άσκηση 30 β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΜΑΒ γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ χψ, για τα οποία ισχύει ΚΑΒ ΜΑΒ ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: χψ5 0 και χψ5 0 (Μονάδες 0)