ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής δεν είναι εκ των προτέρων σαφής Ένας τέτοιος κατάλληλος ορισµός θα πρέπει να έχει ως συνέπεια την συνέχεια της συνάρτησης την ύπαρξη «εφαπτοµένου επιπέδου» στο γράφηµα της καθώς και τον κανόνα της αλυσίδας Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να παραγωγίσουµε ως προς µία µεταβλητή κρατώντας τις υπόλοιπες σταθερές x, y δύο µεταβλητών ορισµένη Έστω για απλότητα µια πραγµατική συνάρτηση σε ένα ανοικτό υποσύνολοu του R Θεωρούµε ένα σηµείο (, ) x y U, περιορίζουµε την στην τοµή του U µε τις ευθείες L και L που διέρχονται από x, y και είναι παράλληλες µε τους άξονες x ' x και y ' y αντίστοιχα και το ( 0 0) παραγωγίζουµε στο (, ) x y τις προκύπτουσες συναρτήσεις 0 0 0 0 ηλαδή εξετάζουµε τα όρια: li 0 (, + ) (, ) x y x y 0 0 0 0 li 0 ( +, ) (, ) x y x y 0 0 0 0 Το µεν πρώτο όριο ( αν υπάρχει ) το συµβολίζουµε µε ( x, y ) 0 0 και και το ονοµάζουµε η µερική παράγωγος της ως προς x στο ( x, y ) και το δεύτερο µε ( x, y ) 0 0 το ονοµάζουµε η µερική παράγωγος της ως προς y στο (, ) Ο γενικότερος ορισµός διατυπώνεται ανάλογα x y 0 0 0 0 και

55 5 Ορισµός Έστω U R ανοικτό : U R R συνάρτηση και ( ) U Αν {,,, },, ( πραγµατική ), η µερική παράγωγος της στο ως προς την x µεταβλητή είναι το ακόλουθο όριο αν βέβαια υπάρχει, (,, +,, ) (,, ) li 0 ( 0,0,0,,0,,0) ( + ) e li 0 e είναι το στο διάνυσµα της κανονικής βάσης e,, R Αν η µερική παράγωγος της ως προς την όπου e του x µεταβλητή υπάρχει για κάθε U τότε ορίζεται µια πραγµατική συνάρτηση επί του U την οποία συµβολίζουµε µε δηλαδή, : U R R Ειδικότερα στην περίπτωση 3, θα χρησιµοποιούµε και τον συµβολισµό, και z ή,, x y z Αν η είναι µια διανυσµατική συνάρτηση ( έστω : U R R ) ώστε,,, µπορούµε να µιλάµε για τις µερικές παραγώγους των συντεταγµένων k συναρτήσεων, για παράδειγµα η είναι η µερική παράγωγος της k συντεταγµένης ως προς την µεταβλητή x, ( k και ) Μερικές φορές θα χρησιµοποιούµε και τον συµβολισµό παράγωγο D για τη µερική 3 Παραδείγµατα ) Αν ( x, y) x y+ x y, να βρεθούν οι και y Λύση Για να βρούµε την κρατάµε το y σταθερό: 3x y + xy για να βρούµε την κρατάµε το x σταθερό: 3 x + x y z ) Έστω z x si( 3x+ y 3 π ) Να υπολογιστούν οι, 0 3 και z (,) z Λύση 3 3 x si( 3x + y ) + 3x cos( 3x + y ) Εποµένως z π π π,0 siπ + 3 cosπ 3 3 3 z 3 z 3x y cos( 3x + y ) π + π π 3 3 3 0 ( ) Εποµένως (,) 3 cos 3+ 3cos 4, Όµοια

56 x, y, z x + xy + yz Να βρεθούν οι,, 3) Έστω 3 Λύση Για την x ( δηλαδή την x y z παραγωγίζουµε ως προς x Άρα x 3 y( x, y, z) 4xy+ z και z( x, y, z) 3yz 4)Έστω ότι η συνάρτηση z z( x, y) ) κρατάµε τις y και z σταθερές και x x, y, z x+ y Ανάλογα, βρίσκουµε: των x και y ικανοποιεί την εξίσωση 3 z x z+ yz x Να βρεθούν οι και z y Λύση Παραγωγίζουµε την δοσµένη εξίσωση ως προς x κρατώντας το y σταθερό: z z z xz+ x + 3yz Επιλύουµε την εξίσωση αυτή ως προς και z xz βρίσκουµε x x + 3yz Ανάλογα, παραγωγίζουµε την δοσµένη εξίσωση ως προς y κρατώντας σταθερό το x : z 3 z x + z + 3yz 0, άρα 3 z z y x + 3yz 5) Οι µερικές παράγωγοι των συναρτήσεων (, ) : κ κ x y λ k k Γενικότερα αν κ λ x y x y ( µονωνύµων) είναι οι και κ λ : λx y ( κ, λ N ) k k k x,, x x x x τότε k x x x k 6) Αν ( x,, x ) x + + x ( x, όπου x ( x x ) x,,,, x x + + x Η παραγώγιση γίνεται βέβαια στο ανοικτό R ( 0,,0) Παρατηρούµε ότι οι, { } Ω 0,,,,, δεν υπάρχουν ( γιατί;),, ) τότε, Η ύπαρξη των µερικών παραγώγων σε ένα σηµείο δεν συνεπάγεται κατ ανάγκη την συνέχεια της συνάρτησης στο σηµείο αυτό Παράδειγµα Έστω, x, y 0,0 x, y x + y 0, ( x, y) ( 0,0) Υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο xy 0,0 ( αφού, ( x,0) 0 ( 0, y) για κάθε x, y R και ( x, x ) για κάθε x 0 ) Οι µερικές παράγωγοι της υπάρχουν όµως σε κάθε σηµείο του y( y x ) x x + y { } στο R ( 0,0) και (,0) ( 0,0) 0, 0 li 0 0 R :

Αναλόγως x( x y ) y x + y ( 0, ) ( 0,0) { } στο ( 0,0) 57 R και ( 0, 0) li 0 0 ( Οι, υπολογίζονται εύκολα στο U R {( 0,0) }, χρησιµοποιώντας πχ τον κανόνα παραγώγισης πηλίκου συναρτήσεων από τον Απειροστικό Λογισµό ) Από το τελευταίο παράδειγµα ( αλλά και από άλλα παραδείγµατα ) φαίνεται ότι η υπόθεση της ύπαρξης ( όλων ) των µερικών παραγώγων σε ένα σηµείο δεν είναι ο «σωστός» ορισµός της διαφορισιµότητας προκειµένου για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Για να καταλήξουµε στον ζητούµενο ορισµό θα ξεκινήσουµε από τον ορισµό της παραγώγου συναρτήσεων : I R R ορισµένων σε ένα ανοικτό διάστηµα Ι του R Υπενθυµίζουµε ότι αν I, η λέγεται διαφορίσιµη στο αν το όριο li x x c () υπάρχει στο R Τότε ο αριθµός c, καλείται η παράγωγος της στο και συµβολίζεται µε '( ) ή D ( ) ή και d dx Ο ορισµός που δίνεται µε την () δεν µπορεί να γενικευθεί ως έχει για συναρτήσεις : U R R για, καθώς το είναι τότε ένα διάνυσµα και είναι αδύνατο να διαιρέσουµε τον αριθµό ( x) µε το Η () µπορεί όµως να γραφεί ισοδύναµα ως ( x) c( ) εξής c ', li 0 η τελευταία σχέση είναι ακόµη ισοδύναµη µε την, x ( ) x c x li 0 () x Σηµειώνουµε ότι η απεικόνιση, Τ x cx x R είναι γραµµική Παρατηρούµε ότι η () εµπλέκει πηλίκα πραγµατικών αριθµών και έτσι µπορεί να γενικευθεί για συναρτήσεις : U R R Πριν προχωρήσουµε στον ορισµό αυτό αξίζει να παρατηρήσουµε ότι αν θέσοµε l( x) '( x ) εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το, + που είναι η και είναι εφαπτοµένη στο γράφηµα της και ακόµη θέσοµε ε( ) ( x) l( x), x I τότε η () µπορεί να ε( ) γραφεί ως, li 0 Άρα, x I, ( x) + '( ) + ε( ) µε x ε( ) li 0 (3) x Η σχέση (3) σηµαίνει ότι η διαφορισιµότητα είναι ένα βαθµό πάνω από την συνέχεια, ε( ) αφού, li 0 liε( ) 0 και το τελευταίο όριο σηµαίνει ότι x x li ( x x )

58 Σηµείωση Επειδή στην θεωρία της διαφόρισης συναρτήσεων είναι ουσιώδες η µεταβλητή x να προσεγγίζει το υπό εξέταση σηµείο από όλες τις δυνατές διευθύνσεις θα υποθέτοµε πάντοτε ότι οι συναρτήσεις που εξετάζουµε είναι ορισµένες σε ανοικτά υποσύνολα του R Για λόγους απλότητας θα εξετάσουµε πρώτα την διαφορισιµότητα πραγµατικών συναρτήσεων : U R R,( ) 5 Ορισµός Έστω U,, U και : U R συνάρτηση Θα λέµε ότι η είναι διαφορίσιµη στο αν υπάρχει µια γραµµική συνάρτηση Τ : R R ανοικτό, Τ( ) x x R ώστε li 0 x Επειδή ( όπως είναι εύκολο να αποδείξουµε ) η γραµµική συνάρτηση Τ είναι µοναδική, αν υπάρχει, η Τ λέγεται το διαφορικό της στο και συµβολίζεται µε D Λέµε ότι η είναι διαφορίσιµη στο U αν είναι διαφορίσιµη σε κάθε U Θέτοντας η () µπορεί να διατυπωθεί ισοδύναµα και ως εξής ( + ) D li 0 () 0 ε + D για εκείνα τα R ώστε + U η () µπορεί να γραφεί και ως ε li 0 όπου ( + ) + D + ε (3) 0 Αν θέσοµε Ας εξετάσοµε τώρα πιο προσεκτικά τον ορισµό και τις συνέπειές του Η µοναδικότητα του διαφορικού: Έστω τυχόν R Θεωρούµε R, 0 µε αρκετά µικρό ώστε + U, έπεται τότε από την (3) + ε D li ( ) D είναι πλήρως ορισµένη από την συνάρτηση ότι D ( ( ) ) ( ) Άρα ( + ) που σηµαίνει ότι η τιµή Η συνέχεια της στο : Επειδή 0 και < δ τότε ε () D της ε li 0, αν 0< ε <, υπάρχει δ > 0 ώστε 0 ε ή ε ε Υποθέτοντας όπως µπορούµε- ότι 0< δ ε συµπεραίνουµε ότι, αν δ τότε ε ε ε ε < ε, συνεπώς ε li 0 li 0 Άρα πάλι από την (3) έπεται ότι 0 + ηλαδή η είναι συνεχής στο Η σχέση της διαφορισιµότητας και µερικών παραγώγων

59 Θα αποδείξουµε ότι ύπαρξη του διαφορικού της στο U έχει ως συνέπεια την ύπαρξη όλων των µερικών παραγώγων,,, της στο Πράγµατι εφόσον η D ( ) είναι γραµµική συνάρτηση από τον υπάρχει c ( c,, c) R (όπου k ( k),,,, D c c + + c, (,, ) R Έστω {,,, } του R στο R θα c D e k ) ώστε, ας αφήσουµε το x να κινηθεί στην ευθεία L { + e : R} R που διέρχεται από το και έχει την διεύθυνση του διανύσµατος συνήθους βάσης του R, δηλαδή, θέτουµε του ορισµού του διαφορικού θα έχουµε: + e c li 0 ή li ( + ) e c Από τον ορισµό της συµπεραίνουµε ότι : c D ( e ) e της e µε R Τότε από την µορφή () ( + ) e D e li 0 ή ( + ) e li c 0 ή µερικής παραγώγου Συνεπώς όλες οι µερικές παράγωγοι της στο υπάρχουν ( µε την υπόθεση ότι η είναι διαφορίσηµη στο ) και δίνονται από τις τιµές του διαφορικού στα διανύσµατα της συνήθους βάσης του R, δηλαδή D ( e ),,,, ( Παρατηρούµε ότι από την παραπάνω διαδικασία έπεται πάλι η µοναδικότητα του διαφορικού ) Συµβολισµός: Το διάνυσµα,, ονοµάζεται η κλίση ( grdie ) ή το ανάδελτα της ( διαφορίσηµης στην θέση ) συνάρτησης και συµβολίζεται,, R τότε, D + + µε, δηλαδή έχουµε,,, Παρατηρούµε ότι αν ιαφορισιµότητα και κατευθυνόµενες παράγωγοι: Έστω U R ανοικτό : U R συνάρτηση και U Αν R µε 0 Η κατευθυνόµενη παράγωγος της στο και στην κατεύθυνση συµβολιζόµενη µε D ( ) είναι το όριο ( αν υπάρχει) ( + ) D li Με άλλα λόγια ο αριθµός D ( ) είναι η

60 παράγωγος της συνάρτησης g :( δ, δ) R : g( ) ( ) U είναι ανοικτό στο + στο 0 ( επειδή το R υπάρχει δ > 0 : + U για κάθε < δ ) Η συνάρτηση g είναι ο περιορισµός της στην τοµή του U µε την ευθεία L { : R} +, η L είναι η ευθεία του R που διέρχεται από το σηµείο και έχει την διεύθυνση του διανύσµατος (είναι παράλληλη µε το ) Εύκολα αποδεικνύεται τώρα το ακόλουθο αποτέλεσµα ( το οποίο γενικεύει το προηγούµενο που αφορά τις µερικές παραγώγους ) 53 Πρόταση Αν η συνάρτηση είναι διαφορίσηµη στο τότε η έχει κατευθυνόµενες παραγώγους στο σε όλες τις κατευθύνσεις R { 0} ισχύει, D D, µάλιστα Απόδειξη Έστω R µε 0 Όπως και στην περίπτωση της απόδειξης της ύπαρξης των µερικών παραγώγων θα έχουµε: ( + ) D ( ) ( + ) D li 0ή li 0 ή ( + ) D + li 0 ή li D D Συνεπώς, D Παρατήρηση Πρέπει να σηµειωθεί ότι οι µερικές παράγωγοι της στο δεν είναι τίποτα άλλο από τις παραγώγους της στις κατευθύνσεις των διανυσµάτων της κανονικής βάσης { e,, e} του R, δηλαδή De k, k,,, Το εφαπτόµενο επίπεδο του γραφήµατος µιας διαφορίσηµης συνάρτησης Έστω U R ανοικτό και : U R διαφορίσηµη συνάρτηση στο U Κατ, αναλογία µε την περίπτωση των πραγµατικών συναρτήσεων πραγµατικής µεταβλητής και βασιζόµενοι στην προηγούµενη συζήτηση ορίζουµε ως εφαπτόµενο επίπεδο του, R + το διάστατο επίπεδο µε εξίσωση γραφήµατος της στο () z + x + + + D ( ) + ( ) Όπου x ( x x ) R και ( ) U,,,, Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι το παραπάνω επίπεδο στον + διάστατο χώρο x x xz εφάπτεται στην επιφάνεια µε εξίσωση z ( x,, x) στο σηµείο, και βέβαια είναι το µόνο επίπεδο µε την ιδιότητα αυτή Η γεωµετρική ( ) σηµασία του εφαπτόµενου επιπέδου γίνεται καλύτερα κατανοητή στην περίπτωση z x, y οπότε το γράφηµά της είναι η µιας συνάρτησης δύο µεταβλητών k

{( x, y, x, y ) :( x, y ) U } επιφάνεια επιφάνειας στο, του είναι το επίπεδο του 6 3 R και το εφαπτόµενο επίπεδο αυτής της 3 R µε εξίσωση, z + + y x y R U (), (, ), (, ) Παρατηρούµε ότι το διάνυσµα k,,, (,) είναι κάθετο στο εφαπτόµενο επίπεδο µε εξίσωση την () και συνεπώς -εξ ορισµού κάθετο και στην επιφάνεια z ( x,, x) στο σηµείο (, ( )) ( Το ζήτηµα αυτό θα ξανασυζητηθεί αργότερα) Ας αποδείξουµε αυτό τον ισχυρισµό ( για λόγους απλότητας ) στην περίπτωση των δύο µεταβλητών, δηλαδή όταν έχουµε το εφαπτόµενο επίπεδο Ε µε εξίσωση την () Παρατηρούµε ότι,,, x, x, z Ε τότε το διάνυσµα ( ) ( ) Ε, εποµένως αν ( ) (,, ) ( x, x, z) ( x, x, z) για να δείξουµε ότι k Ε είναι αρκετό να δείξουµε ότι για κάθε ( x, x, ) είναι παράλληλο µε το Ε Άρα z Ε ισχύει ότι το εσωτερικό γινόµενο, ( x, x, z) k 0 ( x) ( x) + z 0 Είναι σαφές ότι η τελευταία εξίσωση ισοδυναµεί µε την () Είµαστε τώρα σε θέση να δώσουµε το γενικό ορισµό του διαφορικού για διανυσµατικές συναρτήσεις διανυσµατικής µεταβλητής Υπενθυµίζουµε πρώτα την σχέση ( ταύτιση ) γραµµικών απεικονίσεων Τ : R R και πινάκων µε στοιχεία πραγµατικούς αριθµούς Έστω Τ : R R γραµµική απεικόνιση, τότε οι συντεταγµένες συναρτήσεις της Τ είναι οι Τ π oτ i i, i,,, ηλαδή, Τ x Τ x,, Τ x, x R Θέτοµε,, Τ i e i i όπου e,, ορίζεται ο πίνακας Α ( i) e είναι η κανονική βάση του R Τότε

6 Αν x ( x,, x) R Τ ( x) Τ ( x) Τ ( x) ( x x, x x,, x x ) (,, ), τότε + + + + + + x Α xα το γινόµενο του πίνακα Α µε το διάνυσµα στήλη, x x x x Αντίστροφα, αν Α ( i ) είναι πίνακας τότε στον Α αντιστοιχεί η γραµµική απεικόνιση : R µία ; Τ R όπου Τ ( x) Α x, x ( x,, x) R Έτσι εγκαθιδρύεται και επί αντιστοιχία µεταξύ του χώρου των γραµµικών απεικονίσεων V ; R των, πινάκων µε στοιχεία L R R και του χώρου πραγµατικούς αριθµούς Τ L R ; R Α V ; R : Τ x Α x, x R Σηµειώνουµε ακόµη ότι: ; (α) οι χώροι L R R και V( ; R) είναι (µε τις συνήθεις πράξεις ο καθένας ) διανυσµατικοί και η ανωτέρω αντιστοιχία γραµµική απεικόνιση Μέσω της αντιστοιχίας αυτής ουσιαστικά ταυτίζουµε τους πίνακες µε τις γραµµικές απεικονίσεις di L R ; R di V ; R ( γιατί; ) β) 54 Ορισµός Έστω U,, U και : U R, (,, ) συνάρτηση Η θα λέγεται διαφορίσιµη στο αν υπάρχει γραµµική απεικόνιση : R Τ( ) x x li 0 x () R ανοικτό, Τ Τ,, Τ ώστε Τ R, Θέτοντας το όριο () γράφεται ισοδύναµα: ( + ) Τ li 0 () 0 Η (µοναδική) γραµµική συνάρτηση Τ που ικανοποιεί την () ( ή την ()) ονοµάζεται D το διαφορικό της στο και συµβολίζεται µε Έστω ( ),, συνάρτηση διαφορίσιµη στο σηµείο, παρατηρούµε τα ακόλουθα: )Επειδή οι συντεταγµένες συναρτήσεις της, ( x) Τ( ) x U { } R είναι οι, Τ ( ) i x i i x x U { } R, i,,, έπεται από την θεωρία

63 των ορίων ότι το όριο στην () ισούται µε 0 αν και µόνο αν τα όρια i( x) i Τi( ) li 0 για κάθε i,,, x Αυτό σηµαίνει ότι η είναι διαφορίσιµη στο αν και µόνο αν η κάθε µια από τις,, είναι διαφορίσιµη στο και τότε Di,,, Συνεπώς, D D D συναρτήσεις i (,, ) Τ για κάθε )Είναι προφανές, αφού οι,, είναι πραγµατικές διαφορίσιµες συναρτήσεις, ότι οι µερικές παράγωγοι των,, στο υπάρχουν και ισχύει, i i Di + +, (,, ) R όπου i,,, Έπεται ιδιαίτερα ότι η D Τ είναι µοναδική 3)Η διαφορισιµότητα στο των,, έχει ως συνέπεια την συνέχεια αυτών των συναρτήσεων στο, εποµένως και η (,, ) είναι συνεχής στο 4) Η διαφορισιµότητα της (,, ) στο σηµαίνει ότι η «γύρω» και «κοντά» στο σηµείο, συµπεριφέρεται περίπου όπως η γραµµική συσχετισµένη συνάρτηση L( x) + D ( ), x R Πράγµατι ο ορισµός του διαφορικού της στο σηµαίνει όχι απλώς ότι το όριο ( x) L( x) li 0 αλλά ακόµη περισσότερο ότι η ποσότητα ( x) L( x) διαιρεµένη µε την ποσότητα ( x ) τείνει στο 0 καθώς το x τείνει στο ( Το γράφηµα της { } x L, G L x, L x : x R R R R + ορίζεται ως ο γεωµετρικός εφαπτόµενος χώρος του γραφήµατος της, { }, : στο, ( ) G x x x U U R Πρβλ και τον ορισµό του εφαπτόµενου επιπέδου του γραφήµατος συνάρτησης ) 5)Ειδικότερα αν η είναι συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής ( ) παρατηρούµε ότι η είναι διαφορίσιµη στο αν και µόνο αν οι συναρτήσεις,, ως πραγµατικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής είναι διαφορίσιµες στο, αυτό προκύπτει αµέσως από το γεγονός ότι: ' ' ' D ( D,, D ) (,, ( )) Γράφουµε τότε D Βέβαια η διαφορισιµότητα µιας διανυσµατικής συνάρτησης πραγµατικής µεταβλητής µπορεί να ορισθεί και απ ευθείας ( χωρίς την έννοια του διαφορικού συνάρτησης πολλών µεταβλητών ) µε τον τύπο ( ) ' li ( αν το όριο υπάρχει) 6)Ο πίνακας που αντιστοιχεί στην γραµµική απεικόνιση διαφορικό D ( D,, D ) της στο ονοµάζεται ο πίνακας Jcobi της στο και συµβολίζεται µε J Παρατηρούµε ότι ( σύµφωνα µε την ανάλυση που i

64 προηγήθηκε του ορισµού του διαφορικού διανυσµατικής συνάρτησης), x x J ( δες και την παρατήρηση ()) ( ) Έπεται ότι, D J ( J ) µε (,, ) R Αν τότε ο πίνακας Jcobi συµπίπτει µε το διάνυσµα γραµµή,, δηλαδή µε το ανάδελτα της στο Παραδείγµατα: ) Κάθε σταθερή συνάρτηση : U R R διαφορίσιµη στο U και 0 D για κάθε U είναι x c R Πράγµατι έστω, για κάθε x U Αν U τότε ( x) c c 0, συνεπώς η µόνη γραµµική συνάρτηση Τ : R µηδέν R που ικανοποιεί τον ορισµό του διαφορικού είναι η σταθερά ) Έστω : R R γραµµική συνάρτηση Τότε η είναι διαφορίσιµη στον και D Πράγµατι, αν κάθε x για κάθε R x D για R, τότε 0 R Από την µοναδικότητα του διαφορικού έπεται το συµπέρασµα 3)Να αποδειχθεί µε χρήση του ορισµού του διαφορικού ότι η συνάρτηση x, y xy+ y είναι διαφορίσιµη στο R και να υπολογιστούν το διαφορικό, η 3 κλίση της στο σηµείο (, ) επίπεδου του γραφήµατος της στο, Οι µερικές παράγωγοι της διαφορίσηµη στο (, ) R καθώς και η εξίσωση του εφαπτόµενου είναι: y και x + 3y Αν η είναι τότε το διαφορικό της εκεί θα έχει αναγκαία τη µορφή D () + + ( + 3 ), R όπου Έπεται ότι αν (, ) 0 ( + ) D ( +, + ) (, ) D (, )(, ) τότε θα έχουµε

( + )( + ) + ( + ) 3 ( + 3 ) + ( + 3 ) + + + + + + 3 + 3 3 3 3 3 + + 3 3 + + (, ) ( 0,0) 65 + 3 + 0 Εφόσον, + + 0 και 0 + 3 + 3 0 0 + Από τους παραπάνω υπολογισµούς συµπεραίνουµε ότι πράγµατι το διαφορικό της στο (, ) είναι η γραµµική απεικόνιση που περιγράψαµε στην () και συνεπώς η κλίση της στο είναι, (, + 3) εφαπτόµενου επίπεδου στο ( 3 ) ( 3 ) z + + + + y Η εξίσωση του, είναι η 4)Το παράδειγµα που θα θεωρήσουµε τώρα το έχουµε χρησιµοποιήσει και στην παράγραφο των συνεχών συναρτήσεων ( παρατήρηση 38 ) xy Έστω, x, y 0,0 4 g x, y x + y 0, ( x, y) ( 0,0) 0,0 της g, και παρατηρούµε ότι Εξετάζουµε τις κατευθυνόµενες παραγώγους στο g( ) g( 0,0) ( ) αν (, ) ( 0,0), τότε D g( 0, 0) li li ( ) + ( ), 0 li 4 + 0, 0 4 Παρατηρούµε ότι οι κατευθυνόµενες παράγωγοι στο ( 0,0 ) υπάρχουν προς όλες τις κατευθύνσεις Όµως όπως γνωρίζουµε η g δεν είναι συνεχής στο ( 0,0 ) και εποµένως δεν µπορεί να είναι διαφορίσηµη στο ίδιο σηµείο ( Καθόσον αφορά την µη 0, 0, υπενθυµίζουµε ότι αν λ R και R µε 0, τότε συνέχεια της g στο λ g( λ, ) g( λ,), δηλαδή η g παραµένει σταθερή αν περιοριστεί στην λ + π x, y : x λ y 0,0 { } παραβολή λ, η οποία διέρχεται βέβαια από το (Ακριβέστερα παραµένει σταθερή επί του συνόλου π ( 0,0) ) λ { } Παρατήρηση Αν η κατευθυνόµενη παράγωγος της συνάρτησης στο στην κατεύθυνση 0 υπάρχει, τότε ο περιορισµός της στην ευθεία { : } L + R είναι συνεχής στο σηµείο ( γιατί;)