stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1
3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια του διανυσματικού χώρου είναι πολύ απλή. Πρόκειται για την πιο κοινή από τις αλγεβρικές δομές που εμφανίζονται στη φυσική και τα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Το πρότυπό του είναι τα συνήθη διανύσματα του τριδιάστατου ή διδιάστατου χώρου. Τα οποία μπορούν να προστεθούν μεταξύ τους νόμος σύνθεσης του παραλληλογράμμου ή να πολλαπλασιαστούν με πραγματικούς αριθμούς και να προκύψει πάλι ένα διάνυσμα, δηλαδή ένα μέλος του ίδιου συνόλου. ΟΡΙΣΜΟΣ: Ένα σύνολο είναι διανυσματικός χώρος αν κάθε γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων του είναι πάλι στοιχείο του συνόλου. Δηλαδή αν τα A και B είναι διανύσματα, τότε θα είναι επίσης διάνυσμα και κάθε γραμμικός τους συνδυασμός της μορφής λa+μb, όπου λ και μ τυχόντες πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο όλων των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα (,+ ) είναι διανυσματικός χώρος διότι ένας γραμμικός συνδυασμός τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων θα σβήνει στο άπειρο τουλάχιστον τόσο γρήγορα όσο και η πιο «αργή» από τις συναρτήσεις του συνδυασμού και επομένως θα αντιπροσωπεύει επίσης μια τετραγωνικά ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Δεδομένου τώρα ότι το σύνολο των φυσικά πραγματοποιήσιμων καταστάσεων ταυτίζεται με το σύνολο των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων κυματοσυναρτήσεων ψ(x) τότε μιλάμε για τον διανυσματικό χώρο των φυσικών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος. οι κυματοσυναρτήσεις που αντιπροσωπεύουν πραγματοποιήσιμες κβαντικές καταστάσεις είναι μέλη ενός διανυσματικού χώρου και επομένως διανύσματα με όλη τη σημασία του όρου. Είναι λογικό επομένως να επεκτείνουμε και γι αυτά τα «γενικά διανύσματα» την έννοια του συνήθους εσωτερικού γινομένου μεταξύ τριδιάστατων διανυσμάτων φροντίζοντας ώστε η επέκταση να κρατά τις ουσιώδεις ιδιότητες του τριδιάστατου προτύπου αλλά να προνοεί και για διανύσματα με περισσότερες και ενδεχομένως μιγαδικές συνιστώσες. Να προνοεί, παραδείγματος χάριν, για διανύσματα της μορφής X = (x 1,..., x N ) με x i μιγαδικούς, εν γένει, αριθμούς. Σε αυτή την περίπτωση η προφανής επέκταση θα είναι η 2
5 6 Οι βασικές ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου που μας λένε ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό ως προς το δεύτερό του διάνυσμα και αντιγραμμικό ως προς το πρώτο. Το οποίο σημαίνει πρακτικά ότι το σύμβολο της άθροισης και οι συντελεστές του συνδυασμού «βγαίνουν έξω» από το εσωτερικό γινόμενο αν ανήκουν στο δεύτερό του διάνυσμα ενώ οι συντελεστές μετατρέπονται στους συζυγείς τους αν ανήκουν στο πρώτο. Βασικές έννοιες Ορισμός: Μήκος, ή μέτρο (norm), ενός διανύσματος ψ: Ανισότητα του Schwartz: Αφού για 2 διανύσματα έχουμε και άρα Η απόλυτη τιμή του εσωτερικού γινομένου δύο διανυσμάτων είναι πάντα μικρότερη ή ίση από το γινόμενο των μέτρων τους. Η έννοια της βάσης ενός διανυσματικού χώρου: τυχόν διάνυσμα A του τριδιάστατου χώρου μπορεί πάντα να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός τριών διανυσμάτων του των διανυσμάτων x,y και z τα οποία έχουν εκλεγεί επίσης ώστε να είναι ορθογώνια μεταξύ τους και να έχουν μήκος μονάδα. Αποτελούν δηλαδή αυτό που ονομάζεται ορθομοναδιαία βάση. 3
7 8 Βάση και διάσταση διανυσματικού χώρου Κατ αναλογία θα λέμε τώρα ότι ένα σύνολο διανυσμάτων e 1,..., e N αποτελούν βάση σε έναν τυχόντα διανυσματικό χώρο, αν κάθε διάνυσμα X αυτού του χώρου μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων: Αν αυτό συμβαίνει, λέμε ότι ο χώρος έχει πεπερασμένη διάσταση ίση με N. Και εννοείται, βεβαίως, ότι τα διανύσματα e 1,..., e N είναι γραμμικώς ανεξάρτητα ότι δηλαδή κανένα από αυτά δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός των υπόλοιπων. Σε πλήρη αναλογία με τον τριδιάστατο χώρο οι συντελεστές x 1,..., x N θα αποκαλούνται συντεταγμένες του διανύσματος X ενώ η αντίστοιχη βάση e 1,..., e N θα μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί ορθομοναδιαία. Τα βασικά διανύσματα e i είναι ορθογώνια μεταξύ τους, δηλαδή: Παράδειγμα 1 και ή όπου Το απλούστερο παράδειγμα των παραπάνω εννοιών είναι ο χώρος των διανυσμάτων στήλης με N συνιστώσες τα οποία μπορούν πάντα να γραφούν ως απ όπου είναι φανερό ότι ο χώρος αυτών των διανυσμάτων έχει N διαστάσεις και ότι τα διανύσματα e i αποτελούν μια ορθομοναδιαία βάση μέσα σ αυτόν. 4
9 10 Παράδειγμα 2 Ένα δεύτερο παράδειγμα είναι το σύνολο όλων των 2 2 μητρών με πραγματικά στοιχεία, για το οποίο θα ισχύει η ισότητα Ο απειροδιάστατος χώρος των κυματοσυναρτήσεων Επιστρέφοντας στον χώρο των κυματοσυναρτήσεων, γρήγορα αντιλαμβάνεται κανείς ότι δεν έχει πεπερασμένη διάσταση είναι απειροδιάστατος. όπου ψ n οι ιδιοσυναρτήσεις κάποιου φυσικού μεγέθους A. Έτσι έχουμε το ανάπτυγμα του διανύσματος ψ στη βάση των ιδιοδιανυσμάτων ψ 1,..., ψ N,... με μόνη διαφορά από τα προηγούμενα ότι το πλήθος των βασικών διανυσμάτων είναι πλέον άπειρο. Σημειώστε ακόμα ότι αν οι ιδιοσυναρτήσεις ψ n θεωρηθούν κανονικοποιημένες δηλαδή (ψ n, ψ n ) =1 δεδομένου ότι είναι και ορθογώνιες το οποίο σημαίνει ότι οι ψ n αποτελούν μια ορθομοναδιαία βάση. Όσο για τους συντελεστές c n αυτοί θα πρέπει να ιδωθούν τώρα ως οι συντεταγμένες του διανύσματος ψ στην παραπάνω βάση, και θα υπολογίζονται όπως πάντα από τον τύπο που δεν είναι παρά η προβολή του διανύσματος ψ πάνω στο διάνυσμα βάσης ψ n. 5
11 12 άξονα. Χώρος Hilbert Ένας απειροδιάστατος διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με ένα εσωτερικό γινόμενο είναι γνωστός στη μαθηματική βιβλιογραφία ως χώρος Hilbert. Σύμφωνα λοιπόν με τα προηγούμενα οι πραγματοποιήσιμες καταστάσεις ενός κβαντικού συστήματος αποτελούν έναν χώρο Hilbert.? 3-διάστατος διανυσματικός χώρος Χώρος Hilbert Γραμμικοί τελεστές Η απλούστερη μαθηματική πράξη που μπορεί να πραγματοποιήσει κανείς σε έναν διανυσματικό χώρο είναι μια γραμμική απεικόνιση του χώρου πάνω στον εαυτό του. Αυτό γίνεται με χρήση των γραμμικών τελεστών που ορίζονται μέσω της σχέσης η δράση τους πάνω σε έναν γραμμικό συνδυασμό διανυσμάτων μεταφέρεται σε κάθε διάνυσμα του συνδυασμού χωριστά. Βεβαίως, δεν ενδιαφερόμαστε για όλους τους γραμμικούς τελεστές παρά μόνο για κείνους που έχουν επιπλέον και την ιδιότητα της ερμιτιανότητας. Εκείνη τη βασική ιδιότητα που είναι αναγκαία ώστε να έχει νόημα η στατιστική ερμηνεία της θεωρίας: Οι μέσες τιμές (άρα και οι ιδιοτιμές) να βγαίνουν πραγματικές και να διασφαλίζεται επίσης η διατήρηση της ολικής πιθανότητας. Τέλος μια δεύτερη κατηγορία γραμμικών τελεστών που χρειαζόμαστε «ακούνε» στο όνομα μοναδιαίοι τελεστές (unitary operators). Οι τελεστές αυτού του τύπου δεν αντιπροσωπεύουν φυσικά μεγέθη, είναι όμως ουσιώδες στοιχείο του μαθηματικού φορμαλισμού της θεωρίας διότι αποτελούν γενίκευση της πιο απλής από όλες τις γραμμικές απεικονίσεις ενός διανυσματικού χώρου πάνω στον εαυτό του της στροφής γύρω από έναν τυχόντα 6
13 14 Η έννοια του συζυγούς τελεστή ΟΡΙΣΜΟΣ: Συζυγής ενός τελεστή είναι εκείνος ο τελεστής που προκύπτει με τη μεταφορά του αρχικού από το ένα διάνυσμα ενός τυχόντος εσωτερικού γινομένου στο άλλο. Θα είναι δηλαδή όπου A ο αρχικός τελεστής και A ο συζυγής του. Αν θυμηθούμε τώρα και τον ορισμό του ερμιτιανού τελεστή ότι δηλαδή ένας ερμιτιανός τελεστής μπορεί να μεταφερθεί χωρίς αλλαγή από το ένα διάνυσμα ενός τυχόντος εσωτερικού γινομένου στο άλλο τότε οι ερμιτιανοί τελεστές θα μπορούν επίσης να οριστούν και μέσω της σχέσης δηλαδή ως εκείνοι οι τελεστές που ισούνται με τον συζυγή τους (αυτοσυζυγείς τελεστές). Μοναδιαίοι τελεστές Η έννοια του συζυγούς τελεστή είναι επίσης βασική και για τον ορισμό των μοναδιαίων τελεστών. Οι οποίοι έχουν τη βασική ιδιότητα των στροφών, δηλαδή διατηρούν μήκη και γωνίες άρα και το εσωτερικό γινόμενο των στραμμένων διανυσμάτων. Αν λοιπόν U είναι ένας μοναδιαίος τελεστής τότε θα πρέπει να ισχύει η σχέση δηλαδή οι «εικόνες» U ψ και U φ των διανυσμάτων ψ και φ υπό τη δράση του τελεστή U έχουν το ίδιο εσωτερικό γινόμενο με τα αρχικά διανύσματα ψ και φ. Αν μεταφέρουμε τώρα τον τελεστή U από το πρώτο διάνυσμα του εσωτερικού γινομένου στο δεύτερο, μετατρέποντάς τον στον συζυγή του, U, έχουμε και θα μπορεί να ισχύει για τυχόντα ψ και φ μόνο αν είναι το οποίο σημαίνει ότι: ένας τελεστής θα είναι μοναδιαίος αν ο συζυγής του ισούται με τον αντίστροφο. 7
15 16 Ιδιότητες του συζυγούς τελεστή Στην ειδική περίπτωση που και οι δύο τελεστές A και B είναι ερμιτιανοί δηλ. A = A, B = B η εφαρμογή των παραπάνω ιδιοτήτων του συζυγούς οδηγεί στις ακόλουθες χρήσιμες ιδιότητες των ερμιτιανών τελεστών. Η άλγεβρα των κβαντομηχανικών τελεστών: Μεταθετικές σχέσεις Ενώ για τους κοινούς αριθμούς είναι πάντα αβ = βα, για τους τελεστές είναι AB BA εν γένει. Παραδείγματος χάριν, η μη μεταθετικότητα είναι ο κανόνας στον πολλαπλασιασμό μητρών που είναι η πιο κοινή κατηγορία γραμμικών τελεστών σε χώρους πεπερασμένης διάστασης. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι τελεστές της θέσης και της ορμής. Πράγματι, αν σχηματίσουμε το γινόμενο xp και το αφήσουμε να δράσει πάνω σε μια τυχούσα κυματοσυνάρτηση ψ(x) θα έχουμε ενώ για το αντίστροφο γινόμενο px θα είναι και είναι επομένως φανερό ότι 8
17 18 Η έννοια του μεταθέτη Ορισμός: οπότε ο μηδενισμός ή μη του μεταθέτη καθορίζει το αν οι τελεστές μετατίθενται ή όχι. Η ιδιότητα 3 είναι μερική περίπτωση της γενικότερης ταυτότητας: Παραδείγματα: Ο μεταθέτης [x, p] Αφού τα μεγέθη θέση και ορμή είναι τα βασικά φυσικά μεγέθη, και όλα τα άλλα εκφράζονται συναρτήσει αυτών, τότε αρκεί να υπολογίσουμε το μεταθέτη [x, p] και να προσπαθήσουμε μετά να υπολογίσουμε και τους μεταθέτες άλλων μεγεθών που θα είναι πάντα της μορφής και επομένως θα μπορούν να αναχθούν στο βασικό μεταθέτη [x, p] με χρήση των τεχνικών που αναπτύξαμε πριν. Ο μεταθέτης [x, p] υπολογίζεται πολύ εύκολα αφαιρώντας κατά μέλη τις οπότε ή Βάσει αυτών μπορούμε τώρα να δείξουμε ότι θα ισχύουν και οι 9
19 20 Ο μεταθέτης [x, Α] Απόδειξη: για όπου πήραμε προφανώς υπ όψιν ότι το x μετατίθεται με κάθε συνάρτηση του x, οπότε οι συντελεστές a n (x) είναι στην ουσία σαν σταθερές στον υπολογισμό του μεταθέτη [x,a]. Οπότε: και με επαγωγή 10
21 22 Μεταθετικές σχέσεις μεταξύ των συνιστωσών της στροφορμής Τόσο οι συνιστώσες της θέσης όσο και της ορμής μετατίθενται μεταξύ τους Θα αποδείξουμε τώρα τις μεταθετικές σχέσεις μεταξύ των συνιστωσών της στροφορμής Θα αποδείξουμε τώρα τις μεταθετικές σχέσεις: Έχουμε: 11
23 24 Μηχανική των μητρών: Αναπαράσταση των κβαντομηχανικών τελεστών με μήτρες Τα διανύσματα του χώρου δεν είναι παρά διανύσματα στήλης πάνω στα οποία η δράση μιας μήτρας έγκειται στον συνήθη πολλαπλασιασμό μήτρας επί στήλη. Γενικά αν ψ 1,..., ψ n,... είναι μια ορθομοναδιαία βάση στο χώρο των κυματοσυναρτήσεων, οπότε ένα τυχόν διάνυσμα ψ θα γράφεται ως τότε το διάνυσμα ψ θα μπορεί να γραφεί ως ένα διάνυσμα στήλης της μορφής Η δράση ενός τυχόντος τελεστή A πάνω στα αφηρημένα διανύσματα ψ θα μπορεί να αναπαρασταθεί με τη δράση πάνω στα διανύσματα στήλης μιας απειροδιάστατης μήτρας A με στοιχεία 12
25 26 Με τι είδους μήτρες θα αναπαρίστανται οι κβαντομηχανικοί τελεστές Οι κβαντομηχανικοί τελεστές είναι ερμιτιανοί οπότε: και Η συνθήκη στην οποία καταλήξαμε ορίζει αυτές που αποκαλούμε στη στοιχειώδη θεωρία των μητρών ερμιτιανές μήτρες. Δηλαδή τις μήτρες των οποίων τα διαγώνια στοιχεία είναι πραγματικά ενώ τα συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιο συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. Παράδειγμα: Η μήτρα του τελεστή A προκύπτει από τη μήτρα του τελεστή A παίρνοντας τα μιγαδικά συζυγή των στοιχείων της και εναλλάσσοντας γραμμές και στήλες (n m) δηλαδή αναστρέφοντάς την γύρω από την κύρια διαγώνιο. Η μήτρα που σχηματίζεται με αυτό τον τρόπο ονομάζεται συζυγής της αρχικής. Θα είναι δηλαδή Απόδειξη: Επέκταση της θεωρίας για τελεστές με συνεχές φάσμα Προτείνουμε στη θέση του διάκριτου αναπτύγματος το συνεχές ανάπτυγμα 13
27 28 14
29 30 Συνεχές φάσμα: Το πρόβλημα ιδιοτιμών για τη θέση Συνεχές φάσμα: Το πρόβλημα ιδιοτιμών για την ορμή 15
31 32 Το πρόβλημα ιδιοτιμών της ελεύθερης χαμιλτονιανής και η χρονική εξέλιξη των κυματοσυναρτήσεων Η ελεύθερη χαμιλτονιανή είναι συνάρτηση της ορμής και επομένως θα έχει τις ίδιες με αυτήν ιδιοσυναρτήσεις με αντίστοιχες ιδιοτιμές 16
33 Είναι 34 ή Παράδειγμα γκαουσιανής κυματοσυνάρτησης όπου οπότε όπου 17
36 35 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Για τις δυο ακόλουθες μήτρες 1 1 i 2 0 i Α = 2 0 3, B = 0 1 0 2i 2i 2 i 3 2 Υπολογίστε: (α) Α+Β, (β) ΑΒ, (γ) [Α, Β], (δ) Α*, (ε) Α, (ζ) TrA, Tr(AB)=Tr(BA), Tr(A+B)=TrA+TrB, (η) detb (α) (β) (ζ) (γ) (δ) 1, 12, 6 (η) 3 (ε) 1 2 2i 1 0 2i i 3 2 18
37 38 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 2. (α) Για ποιά περιοχή των ν (ν πραγματικός) ανήκει η συνάρτηση f x = x ν στο χώρο Hilbert, στο διάστημα (0, 1); Τι γίνεται για ν=-1/2; (β) Για την ειδική περίπτωση ν=1/2 ανήκουν η (i) f x, (ii) xf x, και η (iii) (d/dx)f x στο χώρο Hilbert; (α) ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ (β) 3. (α) Βρείτε τους ερμιτιανούς συζυγείς των: x, i, d/dx. (i) (ii) (iii) Ναί (β) Βρείτε τον ερμιτιανό συζυγή του τελεστή (αρμονικός ταλαντωτής): (γ) Δείξτε τη σχέση (AB) = B A (α) (β) Ναί Όχι 19
39 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 4. Αποδείξτε τις: (α) [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B (β) x n, p = iħnx n 1 (γ) f(x), p = iħ df dx 20