= { 3, 2, 1, 0,1, 2,3, }

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ «Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται (διαφέρουν) το ένα από το άλλο» Χρησιµοποιούµε τους παρακάτω συµβολισµούς: x : σηµαίνει ότι το x είναι στοιχείο του συνόλου και διαβάζουµε «το x ανήκει στο σύνολο» x : σηµαίνει ότι το x δεν είναι στοιχείο του συνόλου και διαβάζουµε «το x δεν ανήκει στο σύνολο» ΠΡΣΤΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Ένα σύνολο µπορεί να παρασταθεί µε τους εξής τρόπους: Ι ΜΕ ΝΡΦΗ ΤΝ ΣΤΟΙΧΕΙΝ ΤΟΥ ράφουµε µέσα σε άγκιστρα τα στοιχεία του συνόλου χωρίζοντας τα µε κόµµα Πολλές φορές όταν τα στοιχεία του συνόλου είναι πολλά ή άπειρα, γράφουµε µερικά µόνο από αυτά, και δεν γράφουµε τα υπόλοιπα, αρκεί να είναι σαφές ποια είναι αυτά που παραλείπονται Παραδείγµατα 1,3,5,7,9 =, = { 2, 4,6,,100}, = { 1,2,3, 4, } = { 3, 2, 1, 0,1, 2,3, } Z N, ΙI ΜΕ ΠΕΡΙΡΦΗ ν τα στοιχεία ενός συνόλου ανήκουν σε ένα «ευρύτερο» σύνολο και έχουν µία χαρακτηριστική ιδιότητα Κ γράφουµε: = { x / x έχει την ιδιότητα Κ } και διαβάζουµε «το σύνολο των x, όπου x έχει την ιδιότητα Κ» Παραδείγµατα: Το σύνολο των άρτιων αριθµών γράφεται: = { x Z / xάρτιος } Το σύνολο των ρητών αριθµών γράφεται: κ / κ και λ Q= Z Z λ ΙΣ ΣΥΝΟΛ - ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ ΣΥΝΟΛΟΥ ύο σύνολα, λέγονται ίσα όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία ράφουµε συµβολικά = Ένα σύνολο λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου όταν κάθε στοιχείο του είναι και στοιχείο του ράφουµε συµβολικά ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 1

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ Έστω,, σύνολα τότε ισχύουν τα εξής: 1 2 3 ν και τότε 4 ν και τότε = και αντίστροφα ΣΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ Ή ΣΥΝΟΛΟ ΝΦΟΡΣ ια την ανάπτυξη ενός θέµατος στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε τα στοιχεία και τα υποσύνολα ενός συνόλου που λέγεται βασικό σύνολο ή σύνολο αναφοράς Το βασικό σύνολο διαφέρει από θέµα σε θέµα Πολλές φορές µάλιστα δεν αναφέρεται το βασικό σύνολο, αλλά καθορίζεται από το περιεχόµενο του θέµατος ια παράδειγµα το σύνολο αναφοράς για την επεξεργασία ενός θέµατος στην Άλγεβρα είναι συνήθως το Rή το C στην εωµετρία είναι ο γεωµετρικός χώρος στην Επιπεδοµετρία είναι το σύνολο των σηµείων ενός επιπέδου στην ιανυσµατική θεωρία είναι το σύνολο των διανυσµάτων του χώρου ιαγράµµατα Venn Το βασικό σύνολο παριστάνεται γεωµετρικά από το εσωτερικό ενός ορθογωνίου Κάθε υποσύνολο του παριστάνεται εσωτερικό µιας κλειστής γραµµής, που βρίσκεται µέσα στο ορθογώνιο ΠΡΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛ Οι πράξεις που ορίζονται στα σύνολα είναι: η ένωση, η τοµή, το συµπλήρωµα συνόλου και η διαφορά συνόλων Ι ΕΝΣΗ ΣΥΝΟΛΝ Ένωση δύο συνόλων και λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα δύο σύνολα, και συµβολίζεται µε = { x / x ή x B} Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΝ ν,, σύνολα 1 = και = 2 B= B B = 3 ( ) ( ) 4 ν τότε B= B 5 Bκαι B ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 2

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ ΙΙ ΤΟΜΗ ΣΥΝΟΛΝ Τοµή δύο συνόλων και λέγεται το σύνολο των στοιχείων που ανήκουν συγχρόνως στο και στο και συµβολίζεται µε = { x / x και x B} Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΟΜΗΣ ΣΥΝΟΛΝ ν,, σύνολα 1 = και = 2 B= B B = 3 ( ) ( ) 4 ν τότε B= 5 και Επίσης = 6 ( ) ( ) ( ) 7 ( ) = ( ) ( ) Σχόλιο ύο σύνολα και λέγονται ξένα µεταξύ τους όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία δηλαδή όταν = ΙΙΙ ΣΥΜΠΛΗΡΜΤΙΚΟ ΣΥΝΟΛΟ Συµπλήρωµα ενός συνόλου ( ως προς το βασικό σύνολο ) λέγεται το σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία του που δεν ανήκουν στο και συµβολίζεται µε ή c = x / x Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΜΤΙΚΝ ΣΥΝΟΛΝ ν, σύνολα 1 = και = 2( ) = 3 = και = 4 αν και µόνο αν Επίσης ισχύουν οι τύποι του De Morgan = 5 ( ) ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 3

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ = 6 ( ) IV ΙΦΟΡ ΣΥΝΟΛΝ ιαφορά του συνόλου από το σύνολο λέγεται το σύνολο όλων των στοιχείων του που δεν ανήκουν στο και συµβολίζεται B= x / x και x B Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΙΦΟΡΣ ΣΥΝΟΛΝ ν, σύνολα 1 και ( ) 2 = = 3 ( ) ( ) = 4 αν και µόνο αν = 5 ν = τότε = = 6 ( ) ( ) 7 ( ) ( ) = ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΝ ΣΥΝΟΛΟΥ ν δύο σύνολα, έχουν πεπερασµένο πλήθος στοιχείων ισχύει: Ν( B) = Ν() + Ν(B) Ν( B) Ειδικότερα αν τα σύνολα, είναι ξένα µεταξύ τους τότε: Ν( B) = Ν() + Ν(B) Επίσης ισχύουν: Ν( ) + Ν( ) = Ν( ) και Ν( B) Ν() Ν( B) = ΕΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΗΣ Σε καθεµία από τις παρακάτω ερωτήσεις να σηµειώσετε τη σωστή απάντηση 1 Το σύνολο ( ) ( ) είναι ίσο µε το Ε 2 ίνεται το σύνολο α, β, γ, { δ, ε} { α} { δ,ε} { β,γ} { α,β, γ} Ε = Ποιο από τα παρακάτω είναι λάθος: β, δ,ε 3 ν B = τότε B= B= B B= B= Ε = 4 Το σύνολο ( ) ( ) είναι ίσο µε το Ε ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 4

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ 5 Το σύνολο ( ) ( ) είναι ίσο µε το Ε 6 ίνεται το σύνολο α, { α }, { β }, { β,γ} { β} β { γ} 7 ίνεται το σύνολο,1,{} 1,{ 2 },{ 3,4} = Ποιο από τα παρακάτω είναι αληθές αληθές {} 1 {} 1 α, α Ε β,γ = Ποιο από τα παρακάτω δεν είναι { 2} Ε 3, 4 8Στο διπλανό σχήµα το χρωµατισµένο µέρος παριστάνει το σύνολο ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ε ( ) 9 ν = { α,β,γ,δ,ε,ζ}, = { γ}, = { α} και = { α,γ,ε} σύνολο είναι: { β,δ,ζ } { β,δ,ε,ζ } { β,ε,ζ } { α,γ,δ,ζ } Ε { α,β,γ }, τότε το 10 ν = { 1,2,3, 4} και = { 1, 4,5,6,7}, τότε το σύνολο ( ) ( ) είναι: { 1,3, 4 } { 1,4 } {} 1 { 5,6,7 } Ε { 2,3 } 11 ν 1, { 2 },( 3, 4 ), 1 { 2} ( ) =, ποια από τις παρακάτω σχέσεις είναι αληθής 3,4 4 Ε 12 Να γράψετε µε αναγραφή τα παρακάτω σύνολα: { Z }, B= { x / x 5} = x Z / x 3 4x= 0 { N N }, Ε = {(x,ψ) / x, ψ και x ψ= 6} = x / 4< x 3 = (x,ψ) / x, ψ και x ψ= 12 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ N, 13 Να γράψετε µε αναγραφή τα παρακάτω σύνολα: = { x N / 2< x< 18 και x πρώτος αριθµός } B= { x N / 12 x< 31και x σύνθετος αριθµός } = {(x,ψ) / x N, ψ N, x ψ= 20 και x, ψ διαδοχικοί αριθµοί } Z Z ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 5

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ 14 Να γράψετε µε περιγραφή τα παρακάτω σύνολα: 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4 0,3,6,9, 2,3 = { }, =, = { }, = { 3,8,13,18, } Ε= { 0,2,4,6,8, }, 1 2 3 4 Ζ =,,,, 2 3 4 5 15 Να γράψετε το σύνολο των διαιρετών του 12όταν σύνολο αναφοράς είναι (i) Το σύνολο των φυσικών αριθµών (ii) Το σύνολο των ακεραίων αριθµών 16 ίνονται τα σύνολα, και Να κάνετε τα διαγράµµατα Venn για τα παρακάτω σύνολα: (i) (ii) ( ) (iii) ( ) (iv) ( ) (v) ( ) 17 ίνονται τα σύνολα = { 4, 3, 2, 1, 0,1, 2}, { 4,3,2,1,0, 1, 2} = { 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4} = και (i) Να βρείτε τα σύνολα:,,,, (ii) ν N είναι το σύνολο των φυσικών αριθµών και Z το σύνολο των ακεραίων να βρείτε τα σύνολα: N, Z, N, Z, N N Z, ( ) 18 ν = { x R / x> 0}, B= { x R / 2 x 2} και = { x R / x< 1} βρείτε τα σύνολα: B, B,,, 19 ν = { 1,2,3, 4,5} είναι το βασικό σύνολο, να βρείτε τα σύνολα,, όταν ισχύουν συγχρόνως: = { 2,4} = { 2,3,4,5}, = { 2,3} και = { 1, 2,3,4} 20 Να βρείτε τα σύνολα και όταν ισχύουν συγχρόνως τα παρακάτω: 1,2,3, 4,5 = 3, 4,5, 1 και 2 =, 21 ν = { 4, 3, 2, 1, 0,1, 2,3, 4}, = { 3, 1,1, 2} και { 4, 2,0,1,2} (i) Nα βρείτε τα σύνολα:,,, ( ) (ii) Ποια από τα παραπάνω σύνολα είναι ίσα; 22 ν = { x R : 3< x 2} και B= { x R : x> 1} σύνολα: =,,, B, B, B,, B, ( B ), να, να βρείτε τα παρακάτω 23 Έστω, δύο σύνολα, υποσύνολα ενός βασικού συνόλου ν Ν Ν B 17 Ν Ν B 23 ( ) + ( ) = και ( ) + ( ) =, τότε να βρείτε το πλήθος ( ) βασικού συνόλου Ν του ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 6

ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΡΙ ΣΥΝΟΛΝ 24 ν = { x Z / x= 6κ, όπου κ θετικός και x< 900}, B= { x Z / x= 9κ, όπου κ θετικός και x< 1200}, να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του B 25 πό 30 µαθητές της τάξης του πειραµατικού Λυκείου γίων ναργύρων, οι 23 µαθαίνουν αγγλικά, οι 15 µαθαίνουν γαλλικά και υπάρχουν 12 µαθητές που µαθαίνουν και τις δύο γλώσσες Να βρείτε πόσοι µαθητές δεν µαθαίνουν καµία από τις δύο γλώσσες ΙΜΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΥΡΟΣ ΙΝΝΗΣ 7