A greedy algorithm for the linear multiple choice knapsack problem with two criteria: profit and equity

17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» A greedy algorithm for the linear multiple choice knapsack problem with two criteria: profit and equity G. Kozanidis (1) and I. Georgas (2) (1) University of Thessaly, Department of Mechanical & Industrial Engineering, Pedion Areos 38334 Volos, E-mail: gkoz@mie.uth.gr (2) University of Thessaly, Department of Mechanical & Industrial Engineering, Pedion Areos 38334 Volos, E-mail: georgasioannis@yahoo.com Abstract In this paper we study an extension of the Linear Multiple Choice Knapsack Problem that considers two criteria, profit and equity. The model can be used for optimal balanced resource allocation to disjoint sets of activities. The first objective maximizes the profit incurred by the implementation of the considered activities. The second objective seeks a balance on the resource amounts allocated to different sets of activities. We present the mathematical formulation and explore the fundamental properties of the model. Based on these properties, we develop an efficient algorithm that is able to obtain the complete Pareto frontier of the problem. We report computational results which demonstrate the efficiency of the algorithm and provide insight into its behavior. Key Words: Linear Multiple Choice Knapsack Problem, Balanced Resource Allocation, Pareto frontier, Greedy Algorithm

Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Γ. Κοζανίδης (1) και Ι. Γεώργας (2) (1) Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας, Πεδίον Άρεως 38334 Βόλος, E-mail: gkoz@mie.uth.gr (2) Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας, Πεδίον Άρεως 38334 Βόλος, E-mail: georgasioannis@yahoo.com Περίληψη Σε αυτή την εργασία µελετάµε µία επέκταση του Γραµµικού Προβλήµατος Σακιδίου Πολλαπλών Επιλογών µε δύο κριτήρια, κέρδος και ισοκατανοµή. Το µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για βέλτιστη εξισορροπηµένη κατανοµή πόρων σε διακριτά σύνολα δραστηριοτήτων. Το πρώτο κριτήριο µεγιστοποιεί το κέρδος που επιτυγχάνεται από την εφαρµογή των εξεταζόµενων δραστηριοτήτων. Το δεύτερο κριτήριο αναζητά µία ισορροπία στις ποσότητες του πόρου που κατανέµονται σε διαφορετικά σύνολα δραστηριοτήτων. Παρουσιάζουµε τη µαθηµατική µορφοποίηση και εξετάζουµε τις θεµελιώδεις ιδιότητες του µοντέλου. Βάσει αυτών των ιδιοτήτων, αναπτύσσουµε έναν αποτελεσµατικό αλγόριθµο που λαµβάνει το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος. Παρουσιάζουµε υπολογιστικά αποτελέσµατα από πειράµατα που διεξήχθησαν, τα οποία καταδεικνύουν την αποτελεσµατικότητα του αλγορίθµου και παρέχουν βαθύτερη γνώση της συµπεριφοράς του. Λέξεις Κλειδιά: Γραµµικό Πρόβληµα Σακιδίου Πολλαπλών Επιλογών, Εξισορρόπηση Κατανοµής Πόρων, Μέτωπο Pareto, Μυωπικός Αλγόριθµος

17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» 1. Εισαγωγή Το πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών αποτελεί µία πολύ συχνή παραλλαγή του κλασσικού προβλήµατος σακιδίου µε πολυάριθµες εφαρµογές. Πολλές από τις τεχνικές επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί για το ακέραιο πρόβληµα βασίζονται στην ύπαρξη ενός γρήγορου αλγόριθµου για τη γραµµική χαλάρωση (LMCK), η οποία, συν τοις άλλοις, χρησιµοποιείται και αυτούσια για τη µοντελοποίηση πρακτικών εφαρµογών. Τυπικά παραδείγµατα αποτελούν προβλήµατα χωροθέτησης, παραγωγής και µεταφορών (Lin, 1998). Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουµε έναν µυωπικό αλγόριθµο για την επίλυση του γραµµικού προβλήµατος σακιδίου µε περιορισµούς πολλαπλών επιλογών και δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή. Το βασικό πλεονέκτηµα του αλγόριθµου είναι ότι παρέχει το πλήρες Pareto µέτωπο (frontier) του προβλήµατος και όχι µόνο ένα υποσύνολο αυτού, όπως συµβαίνει συνήθως σε παρόµοια προβλήµατα πολυκριτήριας βελτιστοποίησης. Παράλληλα, η υπολογιστική απόδοση του αλγορίθµου είναι εξαιρετική, όπως αποδεικνύεται και από τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που διεξήχθησαν. Όπως προκύπτει από την ανάλυση των αποτελεσµάτων αυτών, τα πλεονεκτήµατα από τη χρήση του αλγορίθµου αυξάνονται καθώς το µέγεθος του επιλυόµενου προβλήµατος αυξάνεται. Συµβολίζουµε µε BLMCK (Biobjective Linear Multiple Choice Knapsack) το συγκεκριµένο πρόβληµα και το µορφοποιούµε ως εξής: Max P = k S i Rk p x (1) s.. t i Rk Min f (2) k S i Rk c x b x l, k S L c x U, k S i Rk k U L f (6) x 0, i R, k S (7) k Οι µεταβλητές απόφασης x παριστάνουν συνεχείς δραστηριότητες που ανήκουν σε S διακριτά σύνολα. Το συγκεκριµένο σύνολο στο οποίο ανήκει µία µεταβλητή συµβολίζεται µε τον πρώτο της δείκτη, k. To σύνολο S περιέχει τους (3) (4) (5)

Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή δείκτες όλων των διακριτών συνόλων µεταβλητών απόφασης. Για συγκεκριµένη τιµή του k από το S, το σύνολο R k περιέχει τους δείκτες των µεταβλητών απόφασης που ανήκουν στο σύνολο k. Οι θετικές παράµετροι p και c παριστάνουν το κέρδος και το κόστος, αντίστοιχα, που συνεπάγεται η ανά µονάδα µήκους εφαρµογή της δραστηριότητας που παριστάνεται από τη µεταβλητή x. Η παράµετρος b είναι µία θετική ποσότητα που παριστάνει το ύψος του πόρου που είναι διαθέσιµο για την εφαρµογή των εξεταζόµενων δραστηριοτήτων. H αντικειµενική συνάρτηση (1) µεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος, ενώ ο περιορισµός (3) εξασφαλίζει ότι η συνολική ποσότητα του πόρου που θα χρησιµοποιηθεί δε θα υπερβεί τη διαθέσιµη ποσότητα, b. Το άθροισµα όλων των µεταβλητών σε κάθε σύνολο, k, περιορίζεται σε µία µέγιστη τιµή l k από τους περιορισµούς (4) που ονοµάζονται περιορισµοί πολλαπλών επιλογών. Οι περιορισµοί (5) ορίζουν τις βοηθητικές µεταβλητές απόφασης L,U µε τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική ποσότητα του πόρου που κατανέµεται σε κάθε τµήµα k, να ανήκει στο διάστηµα [L,U]. Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται κόστος του συνόλου k. Το εύρος του διαστήµατος [L,U] περιορίζεται σε µία µέγιστη τιµή, f, από τον περιορισµό (6). Η αντικειµενική συνάρτηση (2) ελαχιστοποιεί την τιµή του f. Οι περιορισµοί (7) εξασφαλίζουν τη µη αρνητικότητα των µεταβλητών απόφασης. Το υπόλοιπο της εργασίας δοµείται ως εξής. Στη δεύτερη ενότητα παρουσιάζουµε τον αλγόριθµο που αναπτύχθηκε για την επίλυση του προβλήµατος. Η τρίτη ενότητα περιλαµβάνει την ανάλυση υπολογιστικής πολυπλοκότητας του αλγορίθµου καθώς και τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που διεξήχθησαν. Τέλος, στην τέταρτη ενότητα συνοψίζουµε τα κύρια σηµεία της δουλειάς αυτής, καταγράφοντας τα κύρια συµπεράσµατα που προέκυψαν και προτείνοντας κατευθύνσεις για µελλοντική έρευνα. 2. ιαδικασία Επίλυσης 2.1 Ιδιότητες του Προβλήµατος Ο αλγόριθµος που προτείνουµε για την επίλυση του Προβλήµατος BLMCK χωρίζεται σε δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση, το δεύτερο κριτήριο αγνοείται και λαµβάνεται η βέλτιστη λύση του Προβλήµατος LMCK. Ξεκινώντας από αυτή τη λύση στη δεύτερη φάση, το κριτήριο ισοκατανοµής εισάγεται και πάλι και λαµβάνεται το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος. Για την επίλυση του Προβλήµατος LMCK στην Φάση Ι, χρησιµοποιούµε τον Αλγόριθµο LMCK (Kozanidis and Melachrinoudis, 2004).

17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» Για το Πρόβληµα LMCK υπάρχουν δύο σηµαντικές ιδιότητες (βλ. Kozanidis and Melachrinoudis, 2004), οι οποίες επιτρέπουν την εκ των προτέρων απαλοιφή ορισµένων µεταβλητών απόφασης, οι οποίες έχουν τιµή 0 στη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να µειώσουµε το µέγεθος του επιλυόµενου προβλήµατος, µε πολύ θετική επίδραση στον υπολογιστικό χρόνο. Οι µεταβλητές ενός συνόλου πολλαπλών επιλογών µπορούν να απεικονιστούν ως σηµεία σε ένα διάγραµµα δύο διαστάσεων, όπου ο x-άξονας παριστάνει το κόστος µιας µεταβλητής και ο y-άξονας το κέρδος της (βλ. Σχ. 1, Kozanidis and Melachrinoudis, 2004). Οι µεταβλητές που δεν απαλοίφονται σχηµατίζουν το αριστερό upper hull του διαγράµµατος αυτού. Μία σηµαντική διαφορά µεταξύ των προβληµάτων LMCK και ΒLMCK είναι ότι οι µεταβλητές που πρέπει να εξαλειφθούν σύµφωνα µε τις παραπάνω ιδιότητες, αλλά ανήκουν στο δεξί upper hull του αντίστοιχου διαγράµµατος πολλαπλών επιλογών, µπορούν να πάρουν θετική τιµή σε µια λύση που ανήκει στo µέτωπο Pareto του Προβλήµατος BLMCK. Εποµένως, για το πρόβληµα αυτό, οι µεταβλητές αυτές δεν πρέπει να εξαλειφθούν. Στη συνέχεια, χρησιµοποιούµε την ορολογία που έχει εισαχθεί από τους Kozanidis et al. (2005). 2.2 Ο Αλγόριθµος Επίλυσης Ας υποθέσουµε ότι το δεύτερο κριτήριο αγνοείται και το LMCK το οποίο προκύπτει επιλύεται χρησιµοποιώντας τον Αλγόριθµο LMCK. Στη λύση που λαµβάνεται, το f ισούται µε τη µέγιστη διαφορά, f a, που παρατηρείται µεταξύ του κόστους δύο οποιωνδήποτε συνόλων και αυτή η τιµή ελαχιστοποιείται από το δεύτερο κριτήριο. Υπάρχουν οι ακόλουθες πέντε κινήσεις για τη µείωση της τιµής του f, οι οποίες απεικονίζονται στο Σχήµα 1. Επιλογή Α: Μείωση του κόστους όλων των ανώτερων συνόλων και αναδιανοµή της ανεκτηµένης ποσότητας του πόρου στο εσωτερικό ή στο κατώτερο σύνολο µε την µέγιστη αύξουσα κλίση (αύξον σύνολο). Επιλογή Β: Μείωση του κόστους του εσωτερικού ή ανώτερου συνόλου µε την ελάχιστη φθίνουσα κλίση (φθίνον σύνολο) και αναδιανοµή της ανεκτηµένης ποσότητας του πόρου στα κατώτερα σύνολα. Επιλογή Γ: Μείωση του κόστους όλων των ανώτερων συνόλων και αναδιανοµή της ανεκτηµένης ποσότητας του πόρου στα κατώτερα σύνολα. Επιλογή : Μείωση του κόστους όλων των ανώτερων συνόλων. Επιλογή Ε: Αύξηση του κόστους όλων των κατώτερων συνόλων (εξετάζεται µόνο εάν µια θετική ποσότητα πόρου είναι διαθέσιµη).

Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Eπιλογή A Επιλογή B Επιλογή Γ Επιλογή Επιλογή Ε Κόστος Κόστος Κόστος Κόστος Κόστος w z w f a f a z f a f a f a z w w w Σχήµα 1: Οι πέντε επιλογές µείωσης του f Από αυτές τις κινήσεις, αυτή που επιλέγεται θα πρέπει να είναι αυτή που µας δίνει την ελάχιστη µείωση στο συνολικό κέρδος ανά µονάδα µείωσης του f. Έστω P και f οι διαφορές στο συνολικό κέρδος και στο f, αντίστοιχα, οι οποίες προκύπτουν από την εφαρµογή της καλύτερης επιλογής. Σηµειώνεται ότι, εκ κατασκευής, η τιµή του P είναι µη θετική, ενώ η τιµή του f αυστηρά αρνητική. Η ακόλουθη πρόταση είναι πολύ σηµαντική για την ανάπτυξη του αλγόριθµου για το πρόβληµα BLMCK. Πρόταση 1: Η αρχική λύση που λαµβάνεται χρησιµοποιώντας τον Αλγόριθµο LMCK, είναι Pareto βέλτιστη για το πρόβληµα BLMCK αν και µόνο αν P/ f > 0. Απόδειξη: εδοµένου ότι αυτή η λύση είναι βέλτιστη για το πρόβληµα του ενός κριτηρίου, το αποτέλεσµα προκύπτει από τον ορισµό της Pareto βελτιστότητας και το γεγονός ότι δεν υπάρχει άλλη επιλογή που να καταλήγει σε µικρότερη τιµή του λόγου P/ f. Η κατάσταση απεικονίζεται στο Σχήµα 2, όπου φαίνεται η εφαρµογή της βέλτιστης κίνησης στην αρχική αυτή λύση. Στην πρώτη περίπτωση, η αρχική µαζί µε όλες τις ενδιάµεσες λύσεις κυριαρχείται από την τελευταία λύση (όλες έχουν P=P 1 ). Στη δεύτερη περίπτωση, η αρχική και όλες οι ενδιάµεσες λύσεις είναι Pareto βέλτιστες, δεδοµένου ότι το P µειώνεται αυστηρά καθώς µειώνεται το f. Ο αλγόριθµος επαναλαµβάνει σε κάθε επανάληψη την ακόλουθη διαδικασία. Αρχικά, επιλέγει την κίνηση για την οποία ο λόγος P/ f είναι ελάχιστος. Χρησιµοποιώντας ένα κριτήριο τερµατισµού, καθορίζει έως ποιο σηµείο αυτή η επανάληψη πρέπει να εφαρµοστεί. Η επανάληψη τερµατίζεται είτε όταν ένας ή περισσότεροι από τους λόγους P/ f των πέντε επιλογών αλλάζει, είτε όταν το

17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» f γίνεται ίσο µε 0. Στη δεύτερη περίπτωση, ο αλγόριθµος τερµατίζει επειδή σε αυτό το σηµείο το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος έχει αποκτηθεί. Στην πρώτη περίπτωση ο αλγόριθµος τερµατίζει επειδή νέοι λόγοι P/ f πρέπει να υπολογιστούν σε εκείνο το σηµείο και να συγκριθούν για τις πέντε επιλογές. Στη συνέχεια, ο αλγόριθµος για το Πρόβληµα BLMCK που µελετάµε παρουσιάζεται αναλυτικά. Σχήµα 2: Καθορίζοντας αν µια λύση είναι Pareto βέλτιστη Αλγόριθµος BLMCK Φάση Ι (Βέλτιστη λύση του LMCK) Χρησιµοποιώντας την τροποποίηση του Αλγόριθµου LMCK που δεν εξαλείφει µεταβλητές που ανήκουν στο δεξί upper hull κάθε συνόλου, βρες τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος που προκύπτει όταν το δεύτερο κριτήριο αγνοείται. Φάση ΙΙ (Επίλυση του ΒLMCK) ενώ ( f > 0) κάνε { επέλεξε κίνηση που να ελαχιστοποιεί το λόγο P/ f βρες το κριτήριο τερµατισµού και υπολόγισε το f επανάλαβε, ενηµέρωσε τη λύση και βρες νέα τιµή του f αν P/ f > 0, πρόσθεσε την αρχική και όλες τις ενδιάµεσες λύσεις αυτής της επανάληψης στο Pareto µέτωπο του προβλήµατος }τέλος Κάθε φορά που εφαρµόζεται µια επανάληψη, ο αλγόριθµος έµµεσα επισκέπτεται έναν άπειρο αριθµό ενδιάµεσων λύσεων που αντιστοιχούν στον άπειρο αριθµό ενδιάµεσων τιµών τις οποίες παίρνει το f µεταξύ της αρχικής και τελικής τιµής. Η Πρόταση 1 σαφώς επεκτείνεται σε κάθε µια από αυτές τις επαναλήψεις. Ως εκ τούτου, υπάρχουν δύο διακριτές περιπτώσεις. Εάν P/ f = 0, τότε η αρχική και όλες οι ενδιάµεσες λύσεις θα κυριαρχούνται από την λύση που θα βρεθεί στο τέλος της τρέχουσας επανάληψης. Αν όχι, όλες εκτός από την τελευταία λύση θα είναι Pareto βέλτιστες. Το κατά πόσο η τελευταία λύση είναι Pareto βέλτιστη ή όχι εξαρτάται από την τιµή του λόγου P/ f που θα

Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή υπολογιστεί στην επόµενη επανάληψη, οµοίως όπως ανωτέρω. Για τη λύση µε f = 0 που λαµβάνεται κατά τον τερµατισµό του αλγόριθµου, το ακόλουθο αποτέλεσµα ισχύει, δεδοµένου ότι δεν µπορούµε να βελτιώσουµε κανένα από τα 2 κριτήρια χωρίς να επιδεινώσουµε το άλλο: Πόρισµα 1: Η λύση που λαµβάνεται από τον Αλγόριθµο BLMCK όταν το f µηδενίζεται είναι Pareto βέλτιστη. 3. Υπολογιστική Εµπειρία Σε αυτή την ενότητα εξετάζουµε την πολυπλοκότητα του Αλγόριθµου BLMCK και παρουσιάζουµε τα αποτελέσµατα των υπολογιστικών πειραµάτων που διεξήχθησαν. Εκθέτουµε επίσης τα συµπεράσµατα στα οποία καταλήξαµε από την ανάλυση αυτών των αποτελεσµάτων. 3.1 Ανάλυση Πολυπλοκότητας Έστω r ο αριθµός των συνόλων, N k ο αριθµός των µεταβλητών στο σύνολο k, N = Nk και Nmax = max N k. Όπως προκύπτει από την ανάλυση των k S k S Kozanidis et al. (2005), η πολυπλοκότητα της Φάσης Ι στη χειρότερη περίπτωση είναι Ο(NlogN max ) + Ο(Nlogr) = Ο(Nlogm), όπου m = max(n max,r). Ο χρόνος που απαιτείται σε κάθε επανάληψη της Φάσης ΙΙ για να υπολογιστούν οι λόγοι P/ f για τις πέντε επιλογές, να βρεθεί η βέλτιστη τιµή του f, και να επικαιροποιήσουµε τη νέα λύση που προκύπτει είναι O(r). Ο αριθµός των επαναλήψεων της Φάσης ΙΙ εξαρτάται από το πόσες φορές τα κριτήρια τερµατισµού εφαρµόζονται. Η αναµενόµενη απόδοση του αλγόριθµου εξετάζεται στη συνέχεια από τα υπολογιστικά πειράµατα που διεξήχθησαν. 3.2 Υπολογιστικά Πειράµατα Ο Aλγόριθµος BLMCK κωδικοποιήθηκε σε C/C++ και δοκιµάστηκε σε έναν επεξεργαστή Pentium IV/2.5GHz. Τα αποτελέσµατα που πήραµε παρουσιάζονται στους Πίνακες 1 και 2. ύο τύποι προβληµάτων εξετάστηκαν. Τα προβλήµατα τύπου Α, περιείχαν και εξαλειφόµενες µεταβλητές. Στα προβλήµατα τύπου Β, οι συντελεστές των µεταβλητών δηµιουργήθηκαν τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί ότι δεν υπήρχαν µεταβλητές που έπρεπε να εξαλειφθούν. Ο αλγόριθµος επιδεικνύει υψηλή µεταβλητότητα για τα προβλήµατα τύπου Α. Ως αποτέλεσµα, 50 τυχαία προβλήµατα επιλύθηκαν για κάθε διαφορετικό µέγεθος. Τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται στις στήλες 3-6 του Πίνακα 1

17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» είναι ο µέσος και ο µέγιστος χρόνος σε δευτερόλεπτα που χρειάστηκε για την ολοκλήρωση της Φάσης Ι και τον τερµατισµό του αλγόριθµου, αντίστοιχα. Η τελευταία στήλη του πίνακα αυτού παρουσιάζει το ποσοστό των µεταβλητών που εξαλείφονται. Γίνεται σαφές από τη στήλη αυτή ότι η µεγάλη πλειονότητα των αρχικών µεταβλητών εξαλείφεται. Πίνακας 1 : Χρόνοι εκτέλεσης του αλγόριθµου για προβλήµατα τύπου Α Φάση I Ο Πίνακας 2 παρουσιάζει τα ίδια αποτελέσµατα µε τον Πίνακα 1 για τα προβλήµατα τύπου Β. Η µεταβλητότητα που παρουσιάζεται για προβλήµατα ίδιου µεγέθους είναι µικρότερη σε αυτή την περίπτωση και ως αποτέλεσµα µόνο 30 προβλήµατα επιλύθηκαν για κάθε µέγεθος. 3.3 Ανάλυση Αποτελεσµάτων Συνολικός Χρόνος r N k Avg Μax Avg Μax Ποσοστό εξαλειφοµένων µεταβλητών 150 150 0.02002 0.040 0.04750 0.090 95.2% 150 300 0.03502 0.041 0.06528 0.101 97.3% 150 450 0.05390 0.100 0.08270 0.130 98.1% 150 600 0.06974 0.100 0.10114 0.141 98.4% 300 150 0.04064 0.060 0.28426 0.561 95.3% 300 300 0.07486 0.110 0.28992 0.631 97.3% 300 450 0.10914 0.150 0.35974 0.681 98.1% 300 600 0.14280 0.200 0.39756 0.942 98.5% 450 150 0.06108 0.101 0.98578 2.573 95.1% 450 300 0.11324 0.171 1.38052 3.204 97.3% 450 450 0.16804 0.221 1.22900 3.415 98.0% 450 600 0.21972 0.291 1.49870 6.059 98.5% 600 150 0.08288 0.120 2.43124 6.409 95.1% 600 300 0.15386 0.211 2.88496 10.786 97.3% 600 450 0.22058 0.291 2.99664 8.833 98.1% 600 600 0.29382 0.380 3.33722 9.654 98.5% Για τα προβλήµατα τύπου Α και σταθερό Ν k, το ποσοστό του χρόνου που απαιτείται για την Φάση ΙΙ φαίνεται να αυξάνει καθώς αυξάνεται ο συνολικός αριθµός των συνόλων. Από την άλλη, για σταθερό r, το ποσοστό του συνολικού χρόνου που απαιτείται για την Φάση Ι φαίνεται να αυξάνει καθώς αυξάνεται ο αριθµός των µεταβλητών σε κάθε σύνολο. Την ίδια συµπεριφορά παρατηρούµε και για τα προβλήµατα τύπου Β. Εποµένως, ο αριθµός των µεταβλητών σε κάθε σύνολο έχει µεγαλύτερο αντίκτυπο στην υπολογιστική προσπάθεια της Φάσης Ι, ενώ ο αριθµός των συνόλων στην υπολογιστική προσπάθεια της Φάσης ΙΙ.

Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Αυτό το αποτέλεσµα είναι αναµενόµενο, αφού η κυρίαρχη λειτουργία στην Φάση Ι είναι η ταξινόµηση των µεταβλητών, ενώ στη Φάση ΙΙ, η τακτοποίηση των συνόλων. Πίνακας 2: Χρόνοι εκτέλεσης του αλγόριθµου για προβλήµατα τύπου Β Φάση I Συνολικός Χρόνος r Ν k Avg Max Avg Max 150 150 0.11847 0.160 0.13480 0.180 150 300 0.32083 0.331 0.33817 0.341 150 450 0.64423 0.751 0.65893 0.761 150 600 1.03803 1.162 1.05607 1.182 300 150 0.26263 0.350 0.39693 0.511 300 300 0.73273 0.872 0.87617 1.002 300 450 1.39070 1.503 1.52767 1.662 300 600 2.26900 2.384 2.42580 2.544 450 150 0.40063 0.471 0.88970 1.011 450 300 1.16713 1.282 1.68743 1.852 450 450 2.27997 2.364 2.79707 2.874 450 600 3.80067 3.925 4.39387 4.537 600 150 0.58820 0.701 1.82340 1.963 600 300 1.72463 1.813 3.00337 3.144 600 450 3.47400 4.287 4.79493 6.520 600 600 6.96337 9.754 8.69147 11.106 Μία ακόµη ενδιαφέρουσα παρατήρηση αφορά τον τρόπο µε τον οποίο ο συνολικός υπολογιστικός χρόνος αλλάζει όταν ο ίδιος αριθµός µεταβλητών απόφασης κατανέµεται σε περισσότερα σύνολα πολλαπλών επιλογών. Για τον ίδιο συνολικό αριθµό µεταβλητών, ο συνολικός χρόνος υπολογιστικής προσπάθειας αυξάνει καθώς αυξάνεται ο αριθµός των συνόλων. Αυτό είναι πιο εµφανές στα προβλήµατα τύπου Α όπου η αύξηση του r οδηγεί σε µία αύξηση των µεταβλητών οι οποίες αναµένεται να µην εξαλειφθούν (Sinha and Zoltners 1979). Από την άλλη, για σταθερό r, ο αριθµός των µεταβλητών που δεν εξαλείφονται δεν αυξάνει σηµαντικά, ακόµα και όταν η τιµή του Ν k αυξάνεται από 150 σε 600. Γι αυτό, ο αριθµός των συνόλων είναι πιο σηµαντικός στην υπολογιστική προσπάθεια που καταβάλλεται για την εύρεση της βέλτιστης λύσης από ότι ο αριθµός των µεταβλητών σε κάθε σύνολο. Συγκρίνοντας την υπολογιστική προσπάθεια που χρειαζόµαστε για την επίλυση των προβληµάτων τύπου Α µε αυτή των προβληµάτων τύπου Β για το ίδιο µέγεθος, παρατηρούµε ότι είναι µικρότερη για τα προβλήµατα τύπου Α. Παρά

17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» το ότι η µείωση που πρέπει να επιτευχθεί στο f είναι µεγαλύτερη για αυτά τα προβλήµατα, αυτό οφείλεται περισσότερο στο γεγονός ότι στα προβλήµατα τύπου Β καµία µεταβλητή δεν εξαλείφεται µε αποτέλεσµα να απαιτείται µεγαλύτερη υπολογιστική προσπάθεια στη Φάση Ι για την ταξινόµηση των µεταβλητών απόφασης. Από την άλλη, όταν συγκρίνουµε τον καθαρό χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεση της Φάσης ΙΙ είναι πολύ µικρότερος στα προβλήµατα τύπου Β απ ότι στα προβλήµατα τύπου Α ίδιου µεγέθους. Για να αποκτήσουµε βαθύτερη γνώση του τρόπου µε τον οποίο το συνολικό κέρδος, P, µεταβάλλεται καθώς το f µεταβάλλεται, κατασκευάσαµε το ιάγραµµα 1. Στο διάγραµµα αυτό, έχουµε σχεδιάσει το πλήρες Pareto µέτωπο ενός προβλήµατος τύπου Α µεγέθους 150X150. Κάθε ζεύγος σηµείων ενώνεται µε µια ευθεία γραµµή, επειδή η µεταβολή του συνολικού κέρδους είναι γραµµική συνάρτηση της µεταβολής του f. Στην γενική περίπτωση το P είναι µια αύξουσα συνάρτηση του f, αλλά στην περίπτωση αυτή, όπως φαίνεται και στο διαγράµµα, είναι γνησίως αύξουσα. Τέλος, πρέπει να σηµειωθεί ότι αυτή η συνάρτηση µπορεί να είναι σε ορισµένα τµήµατα κοίλη ενώ σε άλλα κυρτή. Αυτό φυσικά προκύπτει και εξαρτάται από τις παραµέτρους που ορίζουν την γραµµική σχέση των P και f. ιάγραµµα 1: Το πλήρες Pareto µέτωπο ενός προβλήµατος τύπου Α, µεγέθους 150Χ150 4. Συµπεράσµατα Στην εργασία αυτή εξετάσαµε µία επέκταση του γραµµικού προβλήµατος σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια. Παρουσιάσαµε τη µαθηµατική

Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή διατύπωση του προβλήµατος και δείξαµε ότι η δοµή αυτή εµφανίζει διάφορες θεµελιώδεις ιδιότητες. Αυτές χρησιµοποιήθηκαν για την ανάπτυξη ενός βέλτιστου µυωπικού αλγόριθµου δύο φάσεων. Στην Φάση Ι, ο αλγόριθµος παραβλέπει αρχικά το δεύτερο κριτήριο και επεκτείνει έναν υπάρχον αλγόριθµο για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών για να βρει µια αρχική λύση. Στη Φάση ΙΙ, ενσωµατώνει και το δεύτερο κριτήριο και λαµβάνει το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος. Τα υπολογιστικά µας αποτελέσµατα καταδεικνύουν την αποτελεσµατικότητα του αλγόριθµου. Μάλιστα, ξεπερνά σε απόδοση οποιοδήποτε εµπορικό πακέτο γραµµικού προγραµµατισµού της αγοράς και η αποτελεσµατικότητά του αυτή αυξάνεται µε την αύξηση του µεγέθους του προβλήµατος. Ο αλγόριθµος αποδίδει πολύ καλά επειδή εκµεταλλεύεται την ειδική δοµή του προβλήµατος. Εστιάζει σε σύνολα πολλαπλών επιλογών αντί σε µεµονωµένες µεταβλητές αποφάσεων. Εάν προσθέσουµε και το γεγονός ότι µπορεί και βρίσκει το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος και όχι µία µόνο λύση, τότε τα πολλαπλά πλεονεκτήµατά του γίνονται προφανή. Η παρούσα εργασία µπορεί να επεκταθεί στο µέλλον µε πολλούς τρόπους. Μία ενδιαφέρουσα επέκταση προκύπτει όταν κάθε σύνολο περιλαµβάνει και διακριτές εκτός από συνεχείς µεταβλητές. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβληµα γίνεται συνδυαστικό και ο παρών αλγόριθµος δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση του µετώπου Pareto. Πιστεύουµε ότι η βαθιά γνώση που αποκτήθηκε από τη δοµή του προβλήµατος και τα πλεονεκτήµατα του αλγόριθµου θα αποδειχθούν χρήσιµα σε πραγµατικές εφαρµογές οι οποίες περιλαµβάνουν έναν µεγάλο αριθµό µεταβλητών αποφάσεων. Βιβλιογραφία Kozanidis, G. and Melachrinoudis, E. (2004). A branch & bound algorithm for the 0-1 mixed integer knapsack problem with linear multiple choice constraints, Computers & Operations Research, 31, 695-711. Kozanidis, G., Melachrinoudis E. and Solomon M. (2005). The linear multiple choice knapsack problem with equity constraints, International Journal of Operational Research, 1, 52-73. Lin, E.Y.-H. (1998). A bibliographical survey on some well known non-standard knapsack problems, INFOR, 36, 274-317. Sinha, P. and Zolthens, A.A. (1979). The multiple choice knapsack problem. Operations Research, 27, 503-515.