ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν.. Η περίφηµη γωνία ω Έστω ευθεία ε που τέµνει τον άξονα x x σε σηµείο Α. Στρέφουµε την ηµιευθεία Αx κατά θετική φορά µέχρι να πέσει πάνω στην ε. Η γωνία ω που διαγράφεται λέγεται γωνία που σχηµατίζει η ε µε τον άξονα x x. y O Α ε ω x Όταν ε // x x δεχόµαστε ότι ω = 0. Σε κάθε περίπτωση είναι 0 ο ω < 180 ο. Συντελεστής διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας ε λ = εφω µε τον περιορισµό ε ω 90 ο 4. Παραλληλία ευθείας ε µε διάνυσµα δ ε //δ λ ε = λδ 5. Ο λ, από δύο σηµεία της ε y y1 λ ε = x x 1 Αν x 1 = x, µε τον περιορισµό x1 x η ε δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης 6. Παραλληλία ευθειών λ = λ ε 1 ε ε1 ε

7. Καθετότητα ευθειών λ λ = 1 ε 1 ε ε1 ε 8. Εξίσωση ευθείας ε που διέρχεται από σηµείο Α(x ο, y ο ) Όταν έχει λ, τότε ε : y y ο = λ(x x o ) Όταν δεν έχει λ (κατακόρυφη), τότε ε : x = x o 9. Ειδικές περιπτώσεις ευθείας ε Η ε τέµνει τον άξονα y y στο σηµείο Α(0, β) και έχει λ, τότε ε : y = λx + β Η ε διέρχεται από το Ο(0, 0) και έχει λ, τότε ε : y = λx Η διχοτόµος δ 1 ης ης γωνίας των αξόνων δ : y = x Η διχοτόµος δ ης 4 ης γωνίας των αξόνων δ : y = x Η ε διέρχεται από το Μ(0, y ο ) και είναι // x x, τότε ε : y = y ο Η ε διέρχεται από το Μ(x o, 0) και είναι // y y, τότε ε : x = x ο 10. Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας : Αx + y + Γ = 0 µε Α 0 ή 0 Θεώρηµα. Ευθύ : Αντίστροφο : Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής Αx + y + Γ = 0 µε Α 0 ή 0 Κάθε εξίσωση της µορφής Αx + y + Γ = 0 µε Α 0 ή 0 παριστάνει ευθεία. Παρατήρηση : Αν 0 τότε η ευθεία Αx + y + Γ = 0 έχει λ = Α 11. Ιδιότητα Η ευθεία Αx + y + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα δ = (, Α) και κάθετη στο διάνυσµα η = (Α, ) 1. Εφαρµογή Η γωνία δύο ευθειών είναι ίση ή παραπληρωµατική της γωνίας παραλλήλων της διανυσµάτων.

1. Απόσταση σηµείου από ευθεία d( Μ o, ε) = Α x +β y +Γ o o Α + 14. Απόσταση παραλλήλων ευθειών 1 d ( ε 1, ε ) = β β 1 1+λ ε : y = λx + β 1 και ε : y = λx + β 15. Εµβαδόν τριγώνου : (ΑΓ) = 1 det(α,αγ ) ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Η γωνία ω που σχηµατίζει ευθεία ε µε τον άξονα x x. ω οξεία, λ > 0 ω αµβλεία, λ < 0 y O Α ε ω x ε O y Α ω x ω ορθή, δεν έχει λ ω µηδενική, λ = 0 y ε y ε O Α x O x

4. Σηµείωση Η οποιαδήποτε εξίσωση της µορφής y = αx + β παριστάνει ευθεία, όχι κατακόρυφη. Και αντίστροφα, η οποιαδήποτε όχι κατακόρυφη ευθεία έχει εξίσωση της µορφής y = αx + β. Η οποιαδήποτε εξίσωση της µορφής x = x o παριστάνει κατακόρυφη ευθεία. Και αντίστροφα, η οποιαδήποτε κατακόρυφη ευθεία έχει εξίσωση της µορφής x = x o. Η ευθεία σαν γεωµετρικός τόπος σηµείων Κάθε µη κατακόρυφη ευθεία ε είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(x, y) που έχουν την ιδιότητα y = αx + β Άµεση συνέπεια : Μ(x, y) ε y = αx + β Κάθε κατακόρυφη ευθεία ε είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ(x, y) που έχουν την ιδιότητα x = x o και y R ελεύθερο. 4. Η σηµασία των λ, β στην ευθεία y = λx + β α) Ισχύει λ = εφω, άρα ο συντελεστής λ του x εκφράζει το πόσο πλάγια ή οριζόντια είναι η ευθεία. β) Για x = 0 είναι y = β, άρα ο β εκφράζει την τεταγµένη του σηµείου τοµής της ευθείας µε τον άξονα y y. 5. Εξίσωση ευθυγράµµου τµήµατος y = αx + β µε x [x 1, x ] 6. Εξίσωση ηµιευθείας y = αx + β µε x [x 1, + ) ή x (, x 1 ] 7. Μέθοδος Για να χαράξουµε τη γραφική παράσταση ευθείας y = αx + β, βρίσκουµε τις συντεταγµένες δύο σηµείων της, δίνοντας δύο τιµές στο x.

5 8. Μέθοδος Για να βρούµε την εξίσωση ευθείας, θεωρούµε ότι η ζητούµενη είναι της µορφής y = αx + β ή x = x o και υπολογίζουµε τα α, β, xoαπό τα δεδοµένα του προβλήµατος 9. Μέθοδος Για να βρούµε το σηµείο τοµής δύο ευθειών, λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους. 10. Μέθοδος Η οποιαδήποτε ευθεία που διέρχεται από σηµείο Α( x o, y o ) έχει εξίσωση y y o = λ(x x o ) ή x = x o 11. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α,, Γ είναι συνευθειακά ρίσκουµε την ευθεία των δύο και την επαληθεύουµε από το τρίτο. Αποδεικνύουµε ότι λ Α = λ ΑΓ 1. Μέθοδος Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία είναι κορυφές τριγώνου, αποδεικνύουµε ότι δεν είναι συνευθειακά. 1. Μέθοδος Τη γωνία δύο ευθειών την ανάγουµε σε γωνία παραλλήλων τους διανυσµάτων. 14. Γενική οδηγία Η λύση κάθε προβλήµατος της Αναλυτικής Γεωµετρίας ακολουθεί τον τρόπο κατασκευής του σχήµατος σύµφωνα µε την εκφώνηση. 15. Γενική οδηγία Στα προβλήµατα γεωµετρικού τόπου που υπάρχει παράµετρος, κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου.

6 16. Προσοχή Για να βρω την απόσταση ενός σηµείου από µία ευθεία, η εξίσωση της ευθείας πρέπει να είναι στην µορφή Αx + y + Γ = 0. 17. Μέθοδος Για να βρω την απόσταση δύο παράλληλων ευθειών, βρίσκω ένα σηµείο της µιας και υπολογίζω την απόστασή του από την άλλη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : x + y 1 = 0. Έστω (η) η ζητούµενη ευθεία. (η) // (ε) λ η = λ ε = Ευθεία παράλληλη σε δοσµένη Άρα η ζητούµενη ευθεία θα έχει εξίσωση y = x + β (1) Σχόλιο 7 Α η 4 = ( ) + β 1 = 4 + β β = 8 Η (1) γίνεται y = x + 8. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι παράλληλη στην ευθεία (ε) : x 1 = 0. Επειδή (ε)// y y, η ζητούµενη ευθεία θα είναι // y y. Ευθεία παράλληλη σε δοσµένη Και αφού διέρχεται από το Α(, 4) θα έχει εξίσωση x =

7. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : x + y 1 = 0. Έστω (η) η ζητούµενη ευθεία. (η) (ε) λ η λ ε = 1 λ η ( ) = 1 λ η = Αφού η ζητούµενη ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α, θα έχει εξίσωση y 4 = Ευθεία κάθετη σε δοσµένη (x + ) y 8 = x + 6 x + y 14 = 0 Σχόλιο 9 4. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α(, 4) και είναι κάθετη στην ευθεία (ε) : y 1 = 0. Επειδή (ε)// x x, η ζητούµενη ευθεία θα είναι x x Ευθεία κάθετη σε δοσµένη Και αφού διέρχεται από το Α(, 4) θα έχει εξίσωση x =

8 5. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που να διέρχεται από το σηµείο Α(, ) και να σχηµατίζει µε τον άξονα y y γωνία 0 ο. Γωνία ευθείας µε τον άξονα y y Από το Α φέρονται δύο ευθείες που να σχηµατίζουν µε τον άξονα y y γωνία 0 ο, οι ΑΚΓ και ΑΛ. Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΓ, η γωνία του Γ θα είναι 60 ο, άρα η κλίση της ευθείας ΑΚΓ θα είναι εφ10 ο = εφ60 ο =. Εποµένως η ΑΚΓ θα έχει εξίσωση y = (x ) y = x + + Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΛ, η γωνία του θα είναι 60 ο, άρα η κλίση της ευθείας ΑΛ θα είναι εφ60 ο =. Εποµένως η ΑΛ θα έχει εξίσωση y = (x ) y = x + 6 4 - y Κ 0 0 Ο 0 0 Λ 60 0 ε A(, ) Γ 10 0 ε 1 5 x 6. Να βρείτε το συµµετρικό του σηµείου Α( 1, ) ως προς κέντρο συµµετρίας το σηµείο Κ(, 1). Συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο Έστω Α (α, β) το συµµετρικό του Α Κ µέσο του τµήµατος ΑΑ = α 1 β+ και 1 = 4 = α 1 και = β + α = 5 και β = 1 y 4 Α(-1, ) Ο - Κ(, 1) 5 Α (α, β) x

9 7. Να βρείτε το συµµετρικό του σηµείου Α(, 4) ως προς άξονα συµµετρίας την ευθεία x y + = 0. Έστω ε ο άξονα συµµετρίας. Φέρνουµε ΑΚ ε λακ Συµµετρικό σηµείου ως προς άξονα λ ε = 1 4 y Α(, 4) Κ ε Σχόλιο 1 λακ 1 = 1 Α (α, β) λ ΑΚ = Εξίσωση της ευθείας ΑΚ : y 4 = (x ) y = x + 4 + 4 y = x + 8 Το Κ ορίζεται ως τοµή των ευθειών ε και ΑΚ, οπότε λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους για να βρούµε τις συντεταγµένες του Κ. Έτσι βρίσκουµε Κ( 14 5, 1 5 ). Ο Σχόλιο 8 Πάνω στην ευθεία ΑΚ θεωρούµε τµήµα ΚΑ = ΑΚ και έστω Α (α, β) Κ µέσο του τµήµατος ΑΑ 14 5 = α+ και 1 5 = β+ 4 8 = 5α + 10 και 4 = 5β + 0 5 x α = 18 5 και β = 4 5

10 8. ίνονται τα σηµεία Α( 1, 1), ( 1, ), Γ(, 4) i) Να δείξτε ότι είναι κορυφές τριγώνου. ii) Του τριγώνου αυτού να βρείτε την εξίσωση του ύψους υ α και την εξίσωση της διαµέσου µ β. Σχόλιο 11 i) Αρκεί να δείξουµε ότι τα Α,, Γ δεν είναι συνευθειακά. ρίσκουµε την εξίσωση της ευθείας Α: λ Α = y y 1 Α = = 1 x x 1 1 Α Άρα (Α): y 1= 1(x 1) y = x + Εξετάζουµε αν το Γ ανήκει σ αυτή την ευθεία : 4 = +, που είναι άτοπο. Άρα το Γ δεν ανήκει στην ευθεία Α, οπότε τα σηµεία δεν είναι συνευθειακά. ii) Έστω Α = υ α και Μ = µ β λ Γ = y y 4 7 Γ = = xγ x + 1 Α Γ λ Α = 7 A(1, 1) Μ Ευθεία Α : y 1 = (x 1) 7 4 y = x + 7 7 Μ µέσο του τµήµατος ΑΓ λ Μ = y x Μ Μ y x = = + 1 9 5 x x Μ Μ B(-1, ) Γ(, -4) xα + xγ yα + yγ = και yμ = 1+ 1 4 = και yμ = Άρα Μ(, ) = 9 5 Ευθεία Μ : y = 9 (x + 1) 5 9 6 y = x + 5 5

11 9. Σε τρίγωνο ΑΓ, δίνονται η κορυφή Α( 4, ) και οι ευθείες (ε) : y = x 1 +, 1 (η) : y= x + πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο διάµεσοι του. Να βρείτε: 5 5 i) Τις κορυφές και Γ ii ) Τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου i) Επειδή οι συντεταγµένες του Α δεν επαληθεύουν καµία από τις δοσµένες εξισώσεις, οι ευθείες (ε), (η) δε διέρχονται από το Α. Α(-4, ) Έστω ότι η διάµεσος Ε βρίσκεται στην ευθεία (ε) : y = x 1 + 1 και η διάµεσος Γ στην ευθεία (η) : y= x +. 5 5 4+ xγ Ε µέσο του ΑΓ x Ε = και y Ε = + y Γ (1) Ε ε y Ε = (1 ) + y x 1 Γ E + = 4+ xγ + 1 ( + y Γ ) = ( 4 + x Γ ) + 4 4 + y Γ = 1 + x Γ + 4 x Γ + y Γ = 1 () 1 Γ η y Γ = xγ + 5 y Γ = x Γ + 1 5 5 x Γ + 5 y Γ = 1 () Λύνοντας το σύστηµα των (), () βρίσκουµε Γ(4, 0) Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε (, 4) ii) y yα λ Α = = 4 1 = xb xa + 4, άρα Α : y = 1 (x + 4) y = 1 x + 10 1 Οµοίως βρίσκουµε ΑΓ : y = x + 1, Γ : y = x + 8 4 Ε Γ

1 10. ύο πλευρές ενός παραλληλόγραµµου βρίσκονται στις ευθείες µε εξισώσεις y = x 1 και y = x + 1, και το σηµείο Α(6, 6) είναι µία κορυφή του. 4 4 Να βρείτε τις άλλες κορυφές του παραλληλόγραµµου Οι συντεταγµένες του Α δεν επαληθεύουν καµία από τις δοσµένες εξισώσεις. Έστω λοιπόν ότι Γ: y = x + 1 και 4 4 Γ: y = x 1 Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα βρίσκουµε ότι Γ( 1, 1). Αφού Α Γ, θα είναι λ Α = λ Γ = 4. A(6, 6) y = 1 4 x + 4 y = x - 1 Γ B Και επειδή η Α διέρχεται από το Α(6, 6), θα είναι Α : y 6 = (x 6) 4 Αφού Γ Α, θα είναι λ Α = λ Γ =. y = 4 x + Και επειδή η Α διέρχεται από το Α, θα είναι Α : y 6 = (x 6) y = x 6 Λύνοντας το σύστηµα των Α : y = 4 x + βρίσκουµε ότι (, ) και Γ : y = x 1 Και το σύστηµα των Α : y = x 6 και Γ : y = x + 1 4 4 βρίσκουµε ότι (5, 4).

1 11. Σε ένα παραλληλόγραµµο ΑΓ κέντρο του είναι το σηµείο Κ(, 1) και δύο πλευρές του έχουν εξισώσεις y = x + 1, y = x + 4. Να βρείτε τις εξισώσεις των δύο άλλων πλευρών και τις εξισώσεις των διαγωνίων του Επειδή οι δοσµένες ευθείες δεν είναι παράλληλες θα είναι δύο διαδοχικές πλευρές του παραλληλογράµµου. Έστω ότι Α : y = x +1 και Α : y = x + 4 Λύνοντας το σύστηµα των εξισώσεων αυτών βρίσκουµε Α( 1, ) Κ µέσο του τµήµατος ΑΓ Σχόλιο 1 Α Κ(, 1) xa + xγ ya + yγ xκ = και yκ = = 1 + x Γ και 1 = + y Γ 4 = 1 + x Γ και = + y Γ x Γ = και y Γ = 0. Άρα Γ(, 0) Γ Α λ Γ = λ Α =, οπότε Γ: y 0 = (x ) y = x + 6 και Γ Α λ Γ = λ Α = 1, οπότε Γ: y 0 = x y = x λ ΑΓ = 0 = 1, άρα 1 ΑΓ: y 0 = (x ) y = x + Tο σύστηµα των εξισώσεων Α : y = x +1 και Γ : y = x + 6 ( 5, 8 ) Γ λ = λ Κ = 8 1 5 = 5, άρα : y 8 = 5(x 5 ) y = 5x + 11

14 1. Μία πλευρά ενός ρόµβου βρίσκεται πάνω στην ευθεία µε εξίσωση 5x + 7y = 1, µία κορυφή του έχει συντεταγµένες (, ) και µία διαγώνιος του βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση y = x +1. Να βρείτε τις συντεταγµένες των υπολοίπων κορυφών του. Έστω Α(, ). Επειδή οι συντεταγµένες της κορυφής Α (, ) επαληθεύουν την εξίσωση 5x + 7y = 1, η ευθεία αυτή θα περνάει από το Α. Έστω ότι Α : 5x + 7y = 1 Αφού οι συντεταγµένες του Α δεν επαληθεύουν την εξίσωση y = x +1, η εξίσωση αυτή θα είναι η εξίσωση της ευθείας της διαγωνίου. Λύνοντας το σύστηµα των Α: 5x + 7y = 1 A(, -) Κ Γ 5x+7ψ=1 ψ=x+1 : y = x +1 βρίσκουµε x B =, y B = 11 11 Είναι λ = 1 και ΑΓ, άρα λ ΑΓ =, οπότε ΑΓ: y + = (x ) y = x + 7 Λύνοντας το σύστηµα των ΑΓ: y = x + 7 : y = x +1 βρίσκουµε x κ =, y κ = 1 xα + xγ yα + yγ Κ µέσο της διαγωνίου ΑΓ xκ = και yκ = = + x Γ + yγ και 1 = 4 = + x Γ και = + y Γ x Γ = 1 και y Γ = 4 Κ µέσο της διαγωνίου, οµοίως βρίσκουµε 46 (, 19) 11 11 1. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(λ + 1, λ ), λ R. Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του γ. τόπου x = λ + 1 και y = λ Σχόλιο 14 x = λ + 1 και λ = y + x = (y + ) + 1 x = y + 6 + 1 x y 7 = 0 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία x y 7 = 0.

15 14. Αν το σηµείο Α(α +1, β ) κινείται στην ευθεία γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ(α, β +1). Α ε α + 1 + (β ) =1 α + 1 + β 4 = 1 α + β = 4 (1) ε : x + y = 1, να βρείτε τo Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του γ. τόπου x = α και y = β + 1 (1) ( ) x + + (y 1) = 4 x + y = 0 Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία x + y = 0. α = x + και β = y 1 () Σχόλιο 14 15. Σ ένα τρίγωνο ΟΑ έχουµε Ο(0, 0), Α(, 0), (1, ). Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει ΜΑ Μ ΜΟ = 5 Λύση Έστω Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του τόπου. Τότε ΜΑ = ( x, y), ΜΑ Μ ΜΟ = 5 ΜΑ Μ ΜΟ = 5 Μ = (1 x, y), ΜΟ = ( x, y) [( x) + ( y) ] [(1 x) + ( y) ] [( x) + ( y) ] = 5 (9 6x + x + y ) (1 x + x + 4 4y + y ) ( x + y ) = 5 18 1x + x + y 1 + x x 4 + 4y y x y = 5 5x ψ = 4 ευθεία του γ. τόπου.

16 16. Οι συντεταγµένες δύο πλοίων Π 1 και Π για κάθε χρονική στιγµή t είναι Π 1 (t 1, t + ) και Π (t, t 1) i) Να βρεθούν οι εξισώσεις των γραµµών πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. ii) Να εξετάσετε αν µπορεί τα πλοία να συγκρουστούν. iii) Να βρεθεί η απόσταση των πλοίων όταν t =. Σχόλιο 14 i) Π 1 (x, y) µια τυχαία θέση του Π 1 x = t 1 και y = t + t = x + 1 και y = x + 1 + y = x + Η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση ευθείας πάνω στην οποία κινείται το Π 1 Οµοίως βρίσκουµε ότι το Π κινείται στην ευθεία µε εξίσωση y = x 1 ii) Οι δύο ευθείες προφανώς είναι παράλληλες, άρα τα πλοία δε θα συγκρουστούν. iii) Όταν t =, είναι Π 1 ( 1, + ) και Π (, 1) Π 1 (, 5) και Π (9, 8) Οπότε Π1Π = (9 ) + (8 5) = 58

17 17. Το εκέµβριο το καλοριφέρ µίας κατοικίας λειτούργησε 4 ώρες την ηµέρα και το κόστος έφτασε τα 15 ενώ τον Ιανουάριο που λειτούργησε 5 ώρες την ηµέρα το κόστος έφτασε 145. Αν η συνάρτηση που εκφράζει το µηνιαίο κόστος σε ευρώ είναι y = αx + β, όπου x είναι οι ώρες λειτουργίας, να βρεθούν i) Οι τιµές των α και β ii) To προβλεπόµενο κόστος για τον Φεβρουάριο αν το καλοριφέρ λειτουργήσει 4,5 ώρες την ηµέρα ( 8 ηµέρες). i) Το εκέµβριο το καλοριφέρ λειτούργησε συνολικά και τον Ιανουάριο 4 1 = 14 ώρες 5 1 = 155 ώρες Οπότε από την y = αx + β θα έχουµε 15 = 14α + β και 145 = 155α + β ii) Η συνάρτηση κόστους γίνεται β = 15 14α και 145 = 155α +15 14α β = 15 14α και 0 = 1α β = 15 14α και β = 15 14 0 1 0 α = και 1 y = 0 x 1 + 45 Tο καλοριφέρ θα λειτουργήσει 8 4,5 = 16 ώρες Tο κόστος θα είναι y = 0 + 45 = 16, περίπου 1 16 και 0 α = 1 0 α = 1 195 β = = 45 1

18 18. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία να διέρχεται από το σηµείο Μ(0, 1) και τέµνοντας τις ευθείες ε 1 : y = 1 x ισχύει Α = 1 Όταν η ζητούµενη ευθεία ε έχει λ. και ε : y = 1 x Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι y 1= λ(x 0) y = λx + 1 (1) +1 στα σηµεία Α και, να Το σηµείο τοµής Α των ε, ε 1 είναι η λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους y = 1 x και y = λx + 1 1 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε A, 1 λ 1 λ Το σηµείο τοµής των ε, ε είναι η λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους y = 1 x +1 και y = λx + 1 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε Πρέπει και αρκεί Α = 1 4 1+λ, 1 λ 1 λ 4 1 1+ λ + = 1 1 λ 1 λ 1 λ 1 λ λ + = 1 1 λ 1 λ 4 + 4λ ( 1 λ) ( 1 λ) 4 + 4λ = (1 λ ) = 1 4 + 4λ = 1 4λ + 4λ λ = 4 Οπότε η ζητούµενη ευθεία (1) είναι η y = 4 x +1 Όταν η ζητούµενη ευθεία ε δεν έχει λ. Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι x = 0 Η x = 0 τέµνει την y = 1 x στο Ο(0, 0) και την y = 1 x +1 στο Κ( 0, 1) Επειδή ΟΚ = 1, η ευθεία x = 0 είναι µία άλλη λύση του προβλήµατος

19 19. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο Μ(1, 4) και τέµνει τις ευθείες ε 1 : y = x + 4 και ε : y = x + στα σηµεία Α και έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του τµήµατος Α. Όταν η ζητούµενη ευθεία ε έχει λ. Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι y 4 = λ(x 1) y = λx λ + 4 Λύνοντας το σύστηµα των ε 1, ε βρίσκουµε ότι λ 4 + λ A, λ + 1 λ + 1 Λύνοντας το σύστηµα των ε, ε βρίσκουµε ότι λ 1 5λ 8, λ λ (είναι λ 1, αφού η ε πρέπει να τέµνει τις ε 1, ε ) Μ µέσο του Α x M = x x Α + και y M = y y Α + λ λ 1 4+ λ 5λ 8 + + λ + 1 λ = 1 και λ + 1 λ = 4 λ( λ ) + ( λ 1)( λ+ 1) (4+ λ)( λ ) + (5λ 8)( λ+ 1) = και = 8 ( λ + 1)( λ ) ( λ + 1)( λ ) λ λ + λ 1 = ( λ λ ) και 4λ 8 + λ 6λ + 5λ + 5λ 8λ 8 = = 8( λ λ ) λ λ 1 = λ λ 4 και 0 = και που είναι άτοπο Όταν η ζητούµενη ευθεία ε δεν έχει λ. Τότε η εξίσωση αυτής θα είναι x = 1 Η x = 1 τέµνει την y = x + 4 στο σηµείο Α(1, ) και την y = x + στο B(1, 5) Επειδή το Μ( 1, 4) είναι µέσο του Α, η ευθεία x = 1 είναι η ζητούµενη. τρόπος M µέσο του Α x M = x x Α + και y M = y y Α + 1 = x x Α + και 4 = y y Α + x Α + x = και y Α + y = 8 x Α + x = και x Α + 4 + x + = 8 x Α + x = και x Α + x = 1 x Α = 1 και x B = 1 Οπότε y Α = και y = 5, δηλαδή Α(1, ) και (1, 5), άρα η ευθεία Α έχει εξίσωση x = 1.

0 0. Έστω η ευθεία ε : y = 5 x + 5. Αν Α και είναι δύο σηµεία της ε έτσι ώστε η τετµηµένη του να είναι κατά µεγαλύτερη από την τετµηµένη του Α, να βρείτε πόσο µεγαλύτερη είναι η τεταγµένη του από την τεταγµένη του Α. Ποια σχέση συνδέει τις διαφορές αυτές µε το λ ε ; Από υπόθεση είναι x B x A = y B y A = Προφανώς 5 x B 5 = x B = B A + 5 ( 5 x A + 5 ) + 5 5 x 5 A 5 (x x ) = 5 = 5 y x B y x Α A = 5 = λ ε

1 1. Έστω η εξίσωση (1+µ)x + ( + µ)y + 5 + 7µ = 0, µ R (1) Να δείξετε ότι i) Η εξίσωση (1) παριστάνει ευθεία για κάθε µ R ii) Όλες οι ευθείες που ορίζονται από την (1) διέρχονται από σταθερό σηµείο του οποίου να βρείτε τις συντεταγµένες. iii) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. iν) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία διέρχεται από το σηµείο (, 1). ν) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y = x + 4. νi) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία είναι κάθετη στην ευθεία y = x + νii) Να βρείτε εκείνη την ευθεία από τις (1), η οποία που είναι α) //x x β) // y y i) Η (1) είναι της µορφής Αx + y + Γ = 0. Θα αποδείξουµε ότι είναι Α 0 ή 0 (µε την απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι είναι 1+µ = 0 και + µ = 0 µ = 1 και µ = 1 µ = και µ=1 που είναι άτοπο. Άρα η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε µ R ii) ρίσκουµε δύο συγκεκριµένες ευθείες από τις (1), δίνοντας δύο τιµές στο µ. Για µ = 1 έχουµε την ευθεία y =1 και για µ =1 έχουµε την x =. Προφανώς οι ευθείες αυτές τέµνονται στο σηµείο Α(, 1). Ελέγχουµε αν οι συντεταγµένες του Α επαληθεύουν την (1) για κάθε µ R. Για x = και για y = 1 η (1) γίνεται 0µ = 0 που ισχύει για κάθε µ. Άρα όλες οι ευθείες της (1) διέρχονται από το σταθερό σηµείο Α(, 1). iii). O (1) (1+µ)0 + ( + µ)0 + 5 + 7µ = 0 5 µ = 7 5 5 5 Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y + 5 + 7( ) = 0 7 7 7 8 7 x 4 7 y = 0 1 y = x iν) B (1) (1+µ) + ( + µ)( 1) + 5 + 7µ = 0 + 6µ + µ + 5 +7µ = 0

9 11µ = 9 µ = 11 9 9 9 Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y + 5 + 7( ) = 0 11 11 11 x + 5y + 1 = 0. ν) (1) // y = x + 4 λ (1 ) = 1 1 µ + µ 1 µ = µ µ = µ =. Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y + 5 + 7( ) = 0 8x 8y 16 = 0 x + y = 0 νi) 1 (1) y = x+ λ (1 ). = 1 λ =. 1 µ + µ = 1 6µ = µ 4µ = 4 µ = 1 Οπότε η (1) γίνεται (1+( 1))x + ( +( 1)) y + 5 + 7( 1) = 0 νii) x 4y = 0 x + ψ + 1 = 0. α) (1) // x x 1+µ = 0 µ= 1 1 1 1 Οπότε η (1) γίνεται (1+( ))x + ( +( )) y + 5 + 7( ) = 0 8 8 y = 0 y = 1 β) (1) // y y + µ = 0 µ = 1. Οπότε η (1) γίνεται (1+.1)x + ( +. 1)y + 5 + 7. 1 = 0 4x + 1 = 0 x =

. Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Οxy, η εξίσωση ευθείας (λ 1)x + (λ + 1)y λ = 0, λ R (1) περιγράφει την φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας φάρος Φ. i) Nα βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ. ii) Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ(, ), Λ( 1, 5) και Μ(1, ). Nα βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ, Λ, Μ. iii) Nα βρείτε ποιο από τα πλοία Κ, Λ βρίσκεται πλησιέστερα στην ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ i) Για λ = 1, η (1) γίνεται y = (ευθεία ε 1 ) Για λ = 1, η (1) γίνεται x = 1 (ευθεία ε ) Σηµείο τοµής των ευθειών ε 1, ε είναι το Φ( 1, ) Ελέγχουµε αν οι ευθείες (1) διέρχονται από το Φ : ii) Φ (1) (λ 1)( 1) + (λ + 1) λ = 0 λ + 1 + λ + λ = 0 0λ = 0, που αληθεύει για κάθε λ R, άρα όλες οι ευθείες (1) διέρχονται από το σηµείο Φ( 1, ) Αφού Φ( 1, ) και Κ(, ) η ευθεία ΦΚ έχει εξίσωση y = iii) Φ( 1, ) και Λ( 1, 5) η ευθεία ΦΛ έχει εξίσωση x = 1 Φ( 1, ) και Μ(1, ) η ευθεία ΦΜ έχει εξίσωση y = 1 x + 5 x y + 5 = 0 d(κ, ΦΜ) = 4 + 5 =, d(λ, ΦΜ) = 1+ 4 5 Αφού 1 10+ 5 6 = 1+ 4 5 d(κ, ΦΜ) < d(λ, ΦΜ), πλησιέστερα βρίσκεται το πλοίο Κ

4. Να δείξτε ότι η εξίσωση x y x + y = 0 µε x, y R παριστάνει δύο ευθείες. x y x + y = 0 x x (y y +) = 0 (1) = 1 + 4(y y +) = 1 + 4y 1y +8 = 4y 1y + 9 = (y ) 0 (1) x = 1 ± ( y ) x = 1 + ( y ) 1 ( y ) ή x = x = 1 + y ή x = 1 y + x y + = 0 ή x + y 4 = 0 x y + 1 = 0 ή x + y = 0 4. Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε 1 : x + y 15 = 0 και ε : x y+ = 0 Ένα διάνυσµα παράλληλο στην ε 1 είναι το δ = (, Α) = (, ) και ένα παράλληλο στην ε είναι το ν = (, ) Σχόλιο 1 δ ν ( ) ( ) συν( δ, ν ) = = δ ν + + = 9+ 6 1 ο = = άρα (δ, ν ) = 10 1 1 1 Oπότε µία από τις γωνίες των δύο ευθειών είναι 10 ο, συνεπώς η οξεία γωνία τους θα είναι 60 ο.

5 5. Έστω οι ευθείες ε 1 : λx (λ + 1)y = 1 και ε : x y = λ. i) Για τις διάφορες τιµές του λ R, να βρείτε την σχετική θέση των ευθειών. ii) Στην περίπτωση που οι ευθείες τέµνονται, να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο του σηµείου τοµής τους i) D = λ λ 1 1 = λ + λ + 1 = λ + 1 D x = 1 λ 1 λ = λ λ = λ(1 λ) D y = λ 1 1 λ = λ + λ 1 = (1 λ) Όταν D 0 λ + 1 0 λ 1 το σύστηµα έχει µία µόνο λύση την x D λ(1 λ) D 1 λ x = = = λ D (1 ) ψ λ y = = = λ 1 y 1 λ Που σηµαίνει ότι οι ευθείες τέµνονται στο σηµείο Ρ (λ, λ 1) Όταν D = 0 λ = 1 τότε το σύστηµα γίνεται x ψ =1 Που σηµαίνει ότι οι ευθείες ταυτίζονται ii) Το σηµείο τοµής όπως είδαµε είναι το Ρ(λ, λ 1) µε λ 1 Αν Ρ(x, ψ) είναι µία τυχαία θέση του Ρ, τότε x = λ και y = λ 1 Κάνοντας απαλοιφή του λ έχουµε y = x 1 ηλαδή το Ρ κινείται στην ευθεία µε εξίσωση y = x 1 Σχόλιο 5 εξαιρούµενου του σηµείου της (1, 0) (αφού λ 1)

6 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο Γ(, 5) και τα σηµεία Α( 7, ) και (11, 15) ισαπέχουν από αυτή. Α) Όταν η ζητούµενη ευθεία έχει λ. Τότε θα είναι της µορφής ε : y 5 = λ(x ) y 5 = λx λ λx y λ + 5 = 0 (1) Πρέπει d(α, ε) = d(, ε) 7λ λ + 5 11λ + 15 λ + 5 = λ + 1 λ + 1 10λ + = 8λ + 0 10λ + = 8λ + 0 ή 10λ + = 8λ 0 18λ = 18 ή λ = λ = 1 ή λ = 11 Για λ= 1 η (1) γίνεται 1x y 1 + 5 = 0 x y + = 0 Για λ = 11 η (1) γίνεται 11x y 11 + 5 = 0 B) 11x y 8 = 0 Όταν η ζητούµενη ευθεία δεν έχει λ, οπότε ε : x = 7 + 0 Είναι d(α, ε) = = 10 1+ 0 11+ 0 ( 15) και d(, ε) = = 8 1+ 0 d(α, ε) d(, ε), άρα η ευθεία x = δεν αποτελεί λύση του προβλήµατος.

7 7. Έστω οι ευθείες ε 1 : x y + 4 = 0 και ε : 4x + κy + 6 = 0 i) Να βρείτε το κ ώστε να είναι παράλληλες ii) Για την τιµή του κ που βρήκατε να υπολογίσετε την απόσταση των δύο ευθειών iii) Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης αυτών i) ε 1 : x y + 4 = 0 y = x + 4 άρα ε : 4x + κy + 6 = 0 y = 4 x 6 κ κ ε 1 ε λ ε 1 = λ ε λ ε 1 = µε λ ε = 4 κ = κ = Τότε η (ε ) γίνεται 4x y + 6 = 0 x y + = 0 4 (αναγκαστικά είναι κ 0) κ ii) Ένα σηµείο της ε 1 είναι το Α(0, 4) οπότε Σχόλιο 16 0 1 4+ 1 d(ε 1, ε ) = d(α, ε ) = = 4+ 1 5 iii) Α τρόπος Επειδή η µεσοπαράλληλη περνάει από το µέσο οποιουδήποτε τµήµατος που έχει τα άκρα του στις δύο παράλληλες και έχει το ίδιο λ µε αυτές, σκεφτόµαστε ως εξής Ένα σηµείο της ε 1 είναι όπως είδαµε το Α(0, 4) ένα σηµείο της ε είναι το (0, ). Tο µέσο Μ του τµήµατος Α έχει συντεταγµένες Μ(0, 7 ). Άρα η ζητούµενη µεσοπαράλληλη είναι η ευθεία που διέρχεται από το Μ και έχει λ =, δηλαδή y 7 = x y = x + 7 τρόπος. Έστω λοιπόν Γ(α, β) τυχαίο σηµείο της µεσοπαράλληλης d(γ, ε 1 ) = d(γ, ε ) α β+ 4 α β + = 4+ 1 4+ 1 α β+4 = α β+ α β+ 4 = α β + ή α β+ 4 = -(α β + ) 4 = ή α β + 4= α + β αδύνατη ή 4α β+ 7 = 0.

8 8. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 1, ) και σχηµατίζει µε τους άξονες τρίγωνο µε εµβαδόν Ε = 4 τ.µ. Η ζητούµενη ευθεία αφού θέλουµε να τέµνει τους άξονες δεν µπορεί να είναι ούτε κάθετη ούτε οριζόντια Έστω λοιπόν ότι ε : y = λ(x + 1) y = λx + λ + η ζητούµενη ευθεία. Για x = 0 έχουµε y = λ +, άρα η ε τέµνει τον y y στο σηµείο ( 0, λ + ) Για y = 0 έχουµε x = Γ ( λ +, 0 λ ) λ + λ, άρα η ε τέµνει τον x x στο σηµείο Αφού το τρίγωνο ΟΓ είναι ορθογώνιο στο Ο το εµβαδόν του είναι ίσο µε Ε= 1 Ο ΟΓ 4 = 1 λ + λ + λ 4 = 1 λ + λ λ + 4λ + 4 = 8 λ λ + λ λ + = 4 8 4 0 Για να λύσουµε την εξίσωση αυτή διακρίνουµε περιπτώσεις Αν λ > 0, η εξίσωση γίνεται λ 4λ + 4 = 0 λ = Τότε ε : y = x + 4 Αν λ < 0, η εξίσωση γίνεται λ + 1λ + 4 = 0 λ= 6± 4 Τότε ε : y = ( 6+ 4 )x 4+ 4 ή y = ( 6 4 )x 4 4

9 9. Ένα χωριό Χ έχει συντεταγµένες Χ(, 6). Ένα αυτοκίνητο κινείται σ έναν δρόµο και η θέση του καθορίζεται από το σηµείο Α(λ 1, + λ), λ R. Να βρείτε i) Tην εξίσωση της γραµµής στην οποία κινείται το αυτοκίνητο. ii) Nα εξετάσετε αν το αυτοκίνητο θα περάσει από το χωριό iii) Ποια είναι η ποιο µικρή απόσταση της πορείας του αυτοκινήτου από το χωριό i) Aν Α(x, y) τυχαία θέση του αυτοκίνητου, τότε x = λ 1 και y = + λ λ = x + 1 και y = + x + 1 x + y = 0 Εποµένως το αυτοκίνητο κινείται στην ευθεία ε : x + y = 0 ii) Επειδή οι συντεταγµένες του χωριού Χ(, 6) δεν επαληθεύουν την εξίσωση (ε), το αυτοκίνητο δεν θα περάσει από το χωριό. iii) H ποιο µικρή απόσταση της πορείας του αυτοκινήτου από το χωριό ισούται µε την 6+ 1 απόσταση του σηµείου Χ(, 6) από την ευθεία (ε). d(χ, ε) = = 1+ 1

0 0. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + y + xy x y + = 0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ii) Να βρείτε το εµβαδόν του τραπεζίου που σχηµατίζουν οι ευθείες αυτές µε τους άξονες i) Η εξίσωση γράφεται y + (x )y + x x + = 0 = (x ) 4(x x + ) = 4x 1x + 9 4 x + 1x 8 = 1. Άρα (x ) ± 1 y = ii) Η ε 1 : y = x +1 τέµνει τους άξονες στα σηµεία Α(1, 0) και (0, 1) Η ε : y = x + τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ(, 0) και (0, ) Το εµβαδόν του τραπεζίου Α Γ είναι (Α Γ) = (Ο Γ) (ΟΑ) = = 1 O OΓ 1 OΑ O = (x ) + 1 (x ) 1 y = ή y = x + + 1 x + 1 y = ή y = y = x + ή y = x +1 ευθείες προφανώς παράλληλες O y A Γ y = -x +1 x y = -x + = 1 1 1 1= τετρ. µονάδες.

1 1. Το εµβαδόν ενός παραλληλόγραµµου είναι Ε = 1. ύο από τις κορυφές του είναι οι Α( 1, ), (, 4) και το κέντρο του είναι σηµείο του άξονα x x. i) Να αποδείξετε ότι οι κορυφές Α και είναι διαδοχικές κορυφές του παραλληλογράµµου ii) Να βρείτε τις συντεταγµένες των δύο άλλων κορυφών i) 4+ 7 Το µέσο του Α έχει τεταγµένη = 0 άρα δε βρίσκεται στον x x. Αν οι κορυφές Α και ήταν απέναντι, τότε το µέσο του Α θα ήταν το κέντρο του παραλληλόγραµµου, όµως το µέσο του Α δεν είναι σηµείο του x x. Συνεπώς οι κορυφές Α και δεν είναι απέναντι ii) Έστω Κ(α, 0) το κέντρο του παραλληλόγραµµου. Γνωρίζουµε ότι τα τέσσερα τρίγωνα στα οποία χωρίζεται το παραλληλόγραµµο από τις διαγώνιές του είναι ισοδύναµα, συνεπώς (ΚΑ) = KA =( 1 α, ), KB = ( α, 4) det( KA 1 α, KB ) = = 4 4α + 6 + α = α α 4 Εποµένως (ΚΑ) = 1 α = α = 6 Για α = 4 είναι Κ( 4, 0) α = 6 ή α = 6 α = 4 ή α = 8 Κ µέσο του ΑΓ 4 = x x Α + Γ και 0 = y y Α + 1+ xγ 4 = και 0 = + y 8 = 1 + x Γ και 0 = + y Γ x Γ = 7 και y Γ = Οµοίως βρίσκουµε ( 6, 4) Για α = 8 και µε τον ίδιο τρόπο βρίσκουµε Γ(17, ) και (18, 4) A Γ Γ Κ Γ B

. Ένα τετράγωνο έχει κέντρο Κ( 1, 0) και µία πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία µε εξίσωση x + y 5 = 0. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις οποίες είναι οι άλλες πλευρές του τετραγώνου. Έστω ΑΓ το τετράγωνο d(κ, Α) = Αφού Γ Α θα είναι Γ: x + y + κ = 0 1+ 0 5 6 = 1+ 9 10 Α x+ψ-5=0 d Κ(-1, 0) d d(κ, Γ) = 6 10 1+ 0+ κ = 6 1+ 9 10 1+κ = 6 1 + κ = 6 ή 1 + κ = 6 κ = 7 ή κ = 5 Για κ = 5 προκύπτει η ευθεία Α Για κ = 7 προκύπτει η ευθεία Γ : x + ψ + 7 = 0 Αφού Γ και Α Α, και λ Α = 1, θα είναι λ Γ = λ Α = Οπότε οι εξισώσεις των Γ, Α θα έχουν την µορφή y = x + µ x y + µ = 0 Γ d(κ, Γ) = d(κ, Α ) = 6 ( 1) 1 0+µ 6 = 10 1+ 9 10 µ = 6 µ = 6 ή µ = 6 µ = 9 ή µ = Οπότε Γ : x y + 9 = 0 και Α : x y = 0 ή Γ : x y = 0 και Α : x y + 9 = 0

. ίνονται οι ευθείες ε 1 : 4x y + = 0, ε : 7x + 4y + = 0. Να βρείτε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων που ισαπέχουν από αυτές. Μ(x, y) τυχαίο σηµείο του γεωµετρικού τόπου τότε d(μ, ε 1 ) = d(μ, ε ) 4x y+ 16+ 9 = 7x + 4y+ 49+ 576 4x y+ 7x + 4y+ = 5 5 5 4x y+ = 7x + 4y+ 5(4x y + ) =7x + 4y + ή 5(4x y + ) = ( 7x + 4y + ) η 1 : 1x 9y + 7 = 0 ή η : 7x + 9y + 1 = 0 Οι ευθείες η 1, η είναι ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος. Παρατήρηση. Από την Ευκλείδεια Γεωµετρία, ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι οι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ε 1, ε, άρα οι ευθείες η 1, η είναι οι εξισώσεις των διχοτόµων.