Εργασία 5, ΦΥΕ 4, 3-4 N Κυλάφης Μια ονάδα ανά άσκηση Σύνολο ονάδων Ηλεκτρονική αοστολή εργασίας αό τους φοιτητές: t 3/4/4 Ηλεκτρονική αοστολή λύσεων αό τον ΣΕΠ: 6/4/4 Άσκηση : Θεωρείστε ένα τετράγωνο λαίσιο ΑΒΓ ου εριέχει τέσσερις αντιστάσεις, ία σε κάθε λευρά Στην λευρά ΑΒ υάρχει ια εταβλητή αλλά βαθονοηένη αντίσταση, δηλαδή το είναι εταβλητό, αλλά κάθε φορά ξέροε όσο είναι Στην λευρά Α υάρχει ια γνωστή αντίσταση Στην λευρά ΒΓ υάρχει ια γνωστή αντίσταση 3 Στην λευρά Γ υάρχει ια άγνωστη αντίσταση x Η κορυφή Α είναι συνδεένη ε τον θετικό όλο ιας αταρίας και η κορυφή Γ ε τον αρνητικό της Μεταξύ των κορυφών Β και βάζοε ένα αερόετρο, δηλαδή ένα όργανο ου ετράει το διερχόενο ρεύα Μεταβάλλοντας την αντίσταση, ειτυγχάνοε κάοια στιγή να η διέρχεται ρεύα αό το αερόετρο είξτε ότι τότε ισχύει x ( / 3 Αυτή η συσκευή λέγεται γέφυρα Whetstone και χρησιοοιείται για τη έτρηση άγνωστων αντιστάσεων Λύση: Ας θεωρήσοε ότι έχοε ειτύχει να ην ερνάει ρεύα αό το αερόετρο Τότε, δεν υάρχει διαφορά δυναικού εταξύ των κορυφών Β και Αν λοιόν I είναι το ρεύα αό το Α στο Β, τότε το ίδιο είναι και αό το Β στο Γ Οοίως, αν I είναι το ρεύα αό το Α στο, τότε το ίδιο είναι και αό το στο Γ Εφαρόζοντας τον δεύτερο νόο του Kichhoff στους βρόχους ΒΓ και ΑΒ έχοε και I I I 3 I x ιαιρώντας τις δυο εξισώσεις κατά έλη έχοε x ( / 3 Άσκηση : Θεωρείστε την φόρτιση υκνωτή χωρητικότητας C έσω αντίστασης ε αταρία ου έχει ΗΕ E (σχήα 59 του βιβλίου Πόσος χρόνος ααιτείται για να φορτιστεί ο υκνωτής στο 99% της τελικής τιής του φορτίου του; Λύση: Το φορτίο στον υκνωτή δίνεται αό τη σχέση (545 του βιβλίου t / C ( e q( t EC Για t, έχοε ότι q ( EC Άρα, για να φορτιστεί ο υκνωτής στο 99% της τελικής τιής του φορτίου του ρέει να ισχύει αό την οοία, λύνοντας ως ρος t, έχοε t / C ( e 99EC EC,
t C ln C ln(/ C ln 4, 6 C Είναι εφανές ότι λίγοι χαρακτηριστικοί χρόνοι C ααιτούνται για να φορτιστεί λήρως ο υκνωτής Άσκηση 3: ίνεται οογενές αγνητικό εδίο ˆ j και κυκλικό, άκατο σύρα ακτίνας στο είεδο xz ε κέντρο την αρχή των αξόνων Το σύρα διαρρέεται αό ρεύα I ε φορά αντίθετη αό αυτή των δεικτών του ωρολογίου Α Να γραφεί η αειροστή αγνητική δύναη ου ασκείται σε ένα αειροστό κοάτι του σύρατος Β Να βρεθεί η αγνητική δύναη ου ασκείται στο δεξιό ισό του κύκλου, δηλαδή στα σηεία ε x > Γ Να βρεθεί η αγνητική δύναη ου ασκείται στο αριστερό ισό του σύρατος, δηλαδή στα σηεία ε x < Θα κινηθεί το σύρα; Ναι, όχι και γιατί Αν ναι, τι είδους κίνηση θα κάνει; Υόδειξη: Βεβαιωθείτε ότι καταλαβαίνετε το Παράδειγα 6 του βιβλίου σας Λύση: είτε το Σχήα 6 του βιβλίου σας Α Το αειροστό κοάτι του σύρατος ds dθ ˆ θ dθ ( sinθ + cosθ δέχεται δύναη df Ids Idθ sinθ + cosθ I dθ ( sinθ cosθ ˆ ( i Αυτό ισχύει για θ Β Για / θ / έχοε F df I Γ Για / θ 3 / έχοε F df I sinθ cosθ dθ I ( 3 sinθ cosθ dθ I ( Η συνολική δύναη στο σύρα είναι ηδέν, αλλά και η συνολική ροή ως ρος την αρχή των αξόνων είναι ηδέν Εοένως, το σύρα δεν θα κινηθεί καθόλου διότι είναι άκατο Άσκηση 4: Ο άξονας x διαρρέεται αό ρεύα I ε φορά τη θετική φορά τού άξονα Με τη χρήση του νόου των iot και Svt να βρεθεί το αγνητικό εδίο ου δηιουργείται σε τυχόν σηείο z του άξονα z
Λύση: Η άσκηση είναι ουσιαστικά ίδια ε το Παράδειγα 6 του βιβλίου Ας θεωρήσοε στοιχειώδες διάνυσα ds dx στην τυχούσα θέση x του άξονα x Το στοιχειώδες αγνητικό εδίο ρευατοφόρου αγωγού είναι d ου δηιουργεί αυτό το στοιχειώδες τήα του I ds d, 3 4 όου x+ z είναι το διάνυσα αό το ds στο σηείο z του άξονα z στο οοίο θέλοε να υολογίσοε το αγνητικό εδίο Αντικαθιστώντας τα, και ds έχοε I dx ( x + z I d dx z ( ˆ j 4 3 / ( x + z 3 / 4 ( x + z Ολοκληρώνοντας ως ρος x αό έχρι + αίρνοε I z Παρατήρηση: Το διάνυσα του αγνητικού εδίου είναι σωστό (σύφωνα ε τον κανόνα του δεξιού χεριού είτε για θετικό είτε για αρνητικό z Άσκηση 5: Το ίδιο όως στη άσκηση 4, αλλά ε τη χρήση του νόου του Ampee Λύση: Η άσκηση είναι ουσιαστικά ίδια ε το Παράδειγα 64, Περίτωση, του βιβλίου Ειλέγοε ως κλειστή καύλη C την εριφέρεια κύκλου ακτίνας ίσης ε z και ως ανοικτή ειφάνεια S την ειφάνεια του κύκλου Το κέντρο του κύκλου είναι στον άξονα x Λόγω συετρίας, το αγνητικό εδίο ου δηιουργείται είναι σταθερό κατά έτρο άνω στην C και εφατόενο του κύκλου Αό τον νόο του Ampee (εξίσωση 639 του βιβλίου έχοε ότι C ds C ds I C ds C ds z Χρησιοοιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού γράφοε για το αγνητικό εδίο I z
Άσκηση 6: Οι θετικοί ηιάξονες x και διαρρέονται αό ρεύα I Το ρεύα ξεκινάει αό το x + και καταλήγει στο + Να βρεθεί το αγνητικό εδίο στο τυχόν σηείο z του άξονα z Λύση: Η άσκηση είναι αρόοια ε την άσκηση 5 Το έτρο του αγνητικού εδίου I ου δηιουργεί ο κάθε ηιάξονας είναι, δηλαδή το ισό του έτρου του 4 z αγνητικού εδίου ου δηιουργεί ολόκληρος ο άξονας Με τον κανόνα του δεξιού χεριού βρίσκοε την κατεύθυνση του Βάζοε τον αντίχειρά ας να δείχνει ρος την κατεύθυνση του ρεύατος και τα δάκτυλά ας, ου έχουν καφθεί, δείχνουν την κατεύθυνση του Έτσι, βάζοντας τον αντίχειρά ας στην κατεύθυνση του αρνητικού άξονα x (αφού το ρεύα ξεκινάει αό το x + και άει στο x, βρίσκοε ότι το αραγόενο έχει την κατεύθυνση του ĵ για z > Οοίως, βάζοντας τον αντίχειρά ας στην κατεύθυνση του θετικού άξονα (αφού το ρεύα ξεκινάει αό το και άει στο +, βρίσκοε ότι το αραγόενο έχει την κατεύθυνση του î για z > Άρα το συνολικό αγνητικό εδίο είναι I (ˆ i + 4 z ˆ j Προσοχή: Παρά το γεγονός ότι για την αραάνω συζήτηση θεωρήσαε χάριν ευκολίας z >, στο τελικό αοτέλεσα το z είναι αλγεβρική οσότητα Άσκηση 7: Θεωρήστε αγώγιο κυλινδρικό φλοιό εσωτερικής ακτίνας, εξωτερικής διαρρεόενο αό ρεύα I ε υκνότητα ρεύατος J J Ο άξονας z είναι ο άξονας συετρίας του φλοιού Α Να ροσδιοριστεί η σταθερά J Β Να βρεθεί το αγνητικό εδίο σε τυχόν σηείο ( x, του ειέδου x Λύση: Α Κατ αναλογία ρος την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 67, το ρεύα I ισούται ε I J ds J d J ( Συνεώς, J I ( Β Ας θεωρήσοε τυχόν σηείο ( x, του ειέδου x Η αόστασή του αό τον άξονα z είναι x + και η διανυσατική ακτίνα του είναι x+
α Για <, ε εφαρογή του νόου του Ampee βρίσκοε ότι εσωτερικά της ακτίνας δεν διέρχεται ρεύα διότι β Για, ε εφαρογή του νόου του Ampee βρίσκοε ds ds ds C C C J ds J ds J S S d J ( Συνεώς όου ( J ( ˆ I ( θ ˆ θ, ( ˆ x θ sinθ + cosθ + και + x γ Για <, ε εφαρογή του νόου του Ampee βρίσκοε όου I ( ˆ θ ˆ x θ sinθ + cosθ + και + x Άσκηση 8: Θεωρήστε ια άειρη σε ήκος αγώγιη ταινία στο είεδο x, αράλληλη στον άξονα x, η οoία εκτείνεται αό έχρι Η ταινία διαρρέεται αό οογενές ρεύα I ε φορά αυτήν του θετικού άξονα x Να βρεθεί το αγνητικό εδίο στην τυχούσα θέση του άξονα ε > Υόδειξη: Θεωρήστε ότι η ταινία αοτελείται αό σύρατα αειροστού λάτους d, αλλά αείρου ήκους, και για κάθε ένα αό αυτά να θεωρήστε γνωστό το αοτέλεσα του Παραδείγατος 6 Λύση: Ας θεωρήσοε το αειροστό σύρα λάτους d, αράλληλο ρος τον άξονα x, ου τένει τον άξονα στην εριοχή εταξύ και + d Αφού το ρεύα στην ταινία είναι οογενές, το αειροστό σύρα διαρρέεται αό ρεύα di d I Προσοχή: Χρησιοοιήσαε το για τη εταβλητή θέση άνω στην ταινία, για να η ερδευτούε ε τη θέση έξω αό την ταινία, όου θέλοε να βρούε το αγνητικό εδίο
Σύφωνα ε το αοτέλεσα (69 ή (643, το αειροστό αγνητικό εδίο d ου δηιουργείται στη θέση του άξονα, ε >,είναι Έτσι, το ολικό αγνητικό εδίο είναι di d (, I d I d ln 4 + + Λόγω του ότι ln > για >, το αγνητικό εδίο έχει την κατεύθυνση Για < έχει την κατεύθυνση, όως το εριένοε Άσκηση 9: Θεωρείστε ότι ο άξονας z διαρρέεται αό ρεύα I ε φορά αυτή του Είσης, θεωρείστε αγώγιο, άειρο κυλινδρικό φλοιό, ε εσωτερική ακτίνα >, εξωτερική > και άξονα τον άξονα z, διαρρεόενο αό ρεύα I, ε οογενή υκνότητα ρεύατος και φορά αυτή του Να βρεθεί το αγνητικό εδίο ου δηιουργείται σε τυχόν σηείο του άξονα Να διακρίνετε τις εριτώσεις: Α < <, Β < <, Γ < Λύση: Α Θεωρούε ως κλειστή καύλη C την εριφέρεια κύκλου ακτίνας <, καθέτου στον άξονα z και ως ειφάνεια S την ειφάνεια του κύκλου Το κέντρο του κύκλου είναι στον άξονα z Σ αυτά εφαρόζοε τον νόο του Ampee Λόγω συετρίας, το έτρο του αγνητικού εδίου στην καύλη C ρέει να είναι σταθερό Το ρεύα ου διαερνά την S είναι I, άρα το αγνητικό εδίο είναι I Την κατεύθυνση του τη βρίσκοε ε τον κανόνα του δεξιού χεριού και το αοτέλεσά ας ισχύει τόσο για θετικά όσο και για αρνητικά Ειβεβαιώστε ε τον κανόνα του δεξιού χεριού σας ότι για αρνητικές τιές του το ρέει να έχει την κατεύθυνση του î Β Όως και στο ερώτηα Α, ε κέντρο σηείο του άξονα z, θεωρούε εριφέρεια κύκλου ακτίνας < <, καθέτου στον άξονα z και εφαρόζοε τον νόο του Ampee Η υκνότητα ρεύατος στον φλοιό είναι
Το ρεύα ου διαερνά τον κύκλο είναι I J ( J ( ( I J ds J ds J d J d J ( I ( S S Έτσι, το αγνητικό εδίο στη θέση ε < < είναι ( I I ( I I Γ Με κέντρο σηείο του άξονα z θεωρούε εριφέρεια κύκλου ακτίνας <, καθέτου στον άξονα z και εφαρόζοε τον νόο του Ampee Το ρεύα ου διαερνά τον κύκλο είναι το ολικό ρεύα (αλγεβρικό άθροισα Άρα το αγνητικό εδίο είναι ( I I Άσκηση : Θεωρήστε στο είεδο x συράτινο βρόχο σχήατος ορθογωνίου τριγώνου ε κορυφές στα σηεία (,, (, και (,, ε > Θεωρήστε t / t είσης ότι για t > ο άξονας διαρρέεται αό ρεύα i ( t i ( e, όου i, t είναι σταθερές, ε φορά τη θετική φορά του Να βρεθεί η φορά και το έτρο του εαγώενου ρεύατος στον βρόχο, αν η αντίστασή του είναι Λύση: Κατ αναλογία ρος την Άσκηση Αυτοαξιολόγησης 75 έχοε: Το αγνητικό εδίο σε σηεία του τριγώνου ου αέχουν x αό τον άξονα είναι i ( x Η στοιχειώδης αγνητική ροή στη σκιασένη στοιχειώδη ειφάνεια ds dx( ( x dx( του σχήατος 79 [όου ( x είναι η εξίσωση της υοτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου και θεωρήσαε, χωρίς να είναι ααραίτητο, ότι το ds είναι αράλληλο του ] είναι i dφ ds ( x dx x
και η αγνητική ροή στο βρόχο είναι i ( x i dx x Φ dφ ( ln Η αγνητική ροή αυξάνεται ε τον χρόνο Εοένως, το εαγώγιο ρεύα ρέει να έχει φορά αντίθετη αυτής των δεικτών του ωρολογίου, ώστε να αντιτίθεται σ αυτή την αύξηση της αγνητικής ροής (κανόνας του Lenz Το έτρο της εαγώενης ΗΕ στον βρόχο είναι E dφ dt di ( ln dt i ( ln t e t t / και το εαγώενο ρεύα είναι E ( ln i t / t iε e t