ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη, δηλδή. Έτσι π.χ. έχουµε τη κολουθί =-4, v N *. Ο λέγετι γεικός όρος ή ος όρος της κολουθίς. Ατικθιστώτς το µε τις τιµές,,, πίρουµε τίστοιχ το πρώτο, το δεύτερο, το τρίτο όρο της κολουθίς. Στο πράδειγµά µς δηλδή είι: =-4=-, =6-4=, =9-4=5, κ.λ.π. Αδροµικές κολουθίες Υπάρχου κολουθίες γι τις οποίες είι δύσκολο βρεθεί ο γεικός τους όρος ή δε υπάρχει κθόλου. Τέτοιο πράδειγµ είι η κολουθί τω πρώτω φυσικώ ριθµώ,,, 5, 7,,,. Σε µερικές περιπτώσεις όµως είι δυτό βρεθεί ές «δροµικός τύπος» όπως λέµε, δηλδή ές τύπος ο οποίος συδέει κάποιους γεικούς όρους της κολουθίς. Έτσι, δοθεί ικός ριθµός πρώτω όρω της κολουθίς, ο «δροµικός» υτός τύπος µπορεί µς δώσει τους υπόλοιπους όρους της. Η ποιο πλή µορφή δροµικού τύπου είι υτή µε γεικό τύπο : + =f( ), =. Π.χ. + = +, =. Γι = πίρουµε: = + = 5, γι =: = + =, κ.λ.π. Πρδείγµτ στις κολουθίες. Ν γράψετε τους 4 πρώτους όρους τω κολουθιώ + v i) =, ii) = (-) v. ΛΥΣΗ + + 9 + 9 4 + i) = =, = =, = =, 4 = =. 4 9 4 6 4 4 = =, = = 4, = = 9, = 4 = 6. ii) ( ) ( ) ( ) ( ). Ν γράψετε τους 4 πρώτους όρους τω κολουθιώ i ) = +, =, ii) = -, =. ΛΥΣΗ + + i) =, = + = 4, = 4+ = 0, 4 = 0+ =. ii ) =, = =, = = 4, = 4 = 7. 4. ίετι η δροµική κολουθί + = +4, =-. Ν βρεθεί ο γεικός όρος της κολουθίς. ΛΥΣΗ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 7 = +4 = +4 4 = +4 (προσθέτωκτάµέλη)...... = -+4 / + / + / +... =4 - + + / +.../ ( ) 4 - =4-6. =4-4+ 4. ίετι η κολουθί =. Ν ορισθεί δροµικά. ΛΥΣΗ Γι = έχουµε: =. Θέτω όπου το + κι πίρω: + += = + = +. = Άρ είι:. + = + 5. Ν οριστού δροµικά οι κολουθίες: ) =-8, β) = +4, γ) = +4. 6. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις κολουθίς είι S = +. Ν βρεθεί ο γεικός όρος της κολουθίς κι οριστεί δροµικά. 7. Ν βρεθεί ο γεικός όρος τω πρκάτω δροµικώ κολουθιώ: ) = κι + = -5. β) = κι + =. **************** ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 8 Αριθµητική - γεωµετρική πρόοδος Αριθµητική πρόοδος. Ορισµός Αριθµητική πρόοδος λέγετι µί κολουθί, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο µε πρόσθεση του ίδιου πάτ ριθµού. ηλδή: + = +ω ή + - =ω. (ω = διφορά της ριθµητικής προόδου) β. Πρότση. Ο ος όρος µις ριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο κι διφορά ω είι = +(-)ω. Απόδειξη Είι: = = +ω = +ω... - = - +ω = - +ω (προσθέτω κτά µέλη) + + + - + = + +ω+ +ω+ + - +ω+ - +ω = +(-)ω. γ. Πρότση. Τρεις ριθµοί,β,γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι µόο : + γ β=. Απόδειξη Α ω η διφορά της ριθµητικής προόδου κι, β, γ οι διδοχικοί όροι τότε είι:ω=β- κι ω=γ-β β γ+ + γ Άρ β-=γ-β β+β=γ+ = β=. δ. Πρότση. Το άθροισµ τω πρώτω όρω ριθµητικής προόδου µε διφορά ω είι: S = ( + )= [ +(-)ω] Απόδειξη Το άθροισµ S = + + + - + γράφετι: S = +( +ω)+( +ω)+ +( +ω)+( +ω)+ Προσθέτω κτά µέλη κι πίρω: S =( + )+( + )+ +( + )+( + ) S =( + ) S = ( + ) () Α θέσω = +(-)ω η σχέση () γίετι: S = [ +(-)ω] ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 9 Γεωµετρική πρόοδος. Ορισµός Γεωµετρική πρόοδος λέγετι µι κολουθί, κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούµεο µε πολλπλσισµό επί το ίδιο πάτ µη µηδεικό ριθµό. ηλδή: + =.λ ή + = λ (λ ο λόγος της Γ.Π. κι λ 0) β. Πρότση. Ο ος όρος µις γεωµετρικής προόδου µε πρώτο όρο κι λόγο λ είι =.λ -. Απόδειξη Έχω διδοχικά: = =.λ =.λ... - = -.λ = -.λ (πολλπλσιάζω κτά µέλη) - = λ λ - λ - λ = λ λ... λ = λ - γ. Πρότση. Τρεις µη µηδεικοί ριθµοί,β,γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, κι µόο ισχύει β =.γ. Απόδειξη Έστω,β,γ διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι λ ο λόγος. Είι: β =λ κι β γ =λ. Άρ β =β γ β =γ Ατίστροφ β =.γ β.β=.γ β =β γ =λ Άρ,β,γ διδοχικοί όροι γεωµετρικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Σηµείωση: Ο β= γ, λέγετι γεωµετρικός µέσος τω ριθµώ κι γ. δ. Πρότση. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου ( ) µε λόγο λ είι: λ S = λ Απόδειξη S = + + + + - + S = + λ+ λ + + λ - + λ - () Πολλπλσιάζω τη () µε λ κι έχω: λs = λ+ λ + λ + + λ - + λ () Αφιρώ τη () πό τη () κτά µέλη: λs -S = λ+ λ + λ + + λ - + λ - + λ+ λ + + λ - + λ - λs -S = λ - S (λ-)= (λ (λ ) -) S = λ λ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 40 ε. Πρότση 4. (χωρίς πόδειξη) Άθροισµ πείρω όρω γεωµετρικής προόδου µε λ < Το άθροισµ τω πείρω όρω µις γεωµετρικής προόδου που έχει πρώτο όρο κι λόγο λ, µε λ <, είι: S= Πράδειγµ -λ Ν υπολογιστεί το άθροισµ: S=+ + +... Λύση + x (+ x ) + x (+ x Οι ριθµοί,,,... είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου µε λ <, γιτί: λ = + x = <, άρ υπάρχει το άθροισµ τω άπειρω όρω της κι είι: S= + x -λ + x = = + x - x + x + x S= + x S= x ) Πρτηρήσεις γι τις σκήσεις Ότ στ προβλήµτ ζητούµεο είι βρεθεί η πρόοδος, εοείτι ότι πρέπει βρεθού τ κι ω. Τότε εκµετλλευόµστε δύο σχέσεις κι οδηγούµστε σε σύστηµ δύο εξισώσεω µε γώστους τ κι ω. ο Πράδειγµ Ο 4 ος όρος ριθµητικής προόδου είι 5 κι ο 5 ος είι 59. Ν βρεθεί η πρόοδος. Λύση ο Πράδειγµ Σε µι γεωµετρική πρόοδο ο ος όρος είι 0 κι ο 7 ος είι 0. Ν βρεθεί η πρόοδος. Λύση Σε µι ριθµητική πρόοδο γωρίζω το άθροισµ µερικώ όρω της περιττού κι µικρού πλήθους, τότε βάζω x το µεσίο κι ω τη διφορά κι έχω: ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 4 Γι τρεις όρους: x-ω, x, x+ω Γι πέτε όρους: x-ω, x-ω, x, x+ω, x+ω Σε µι ριθµητική πρόοδο γωρίζω το άθροισµ µερικώ όρω άρτιου κι µικρού πλήθους, τότε βάζω x-ω κι x+ω τους δύο µεσίους, κι ω τη διφορά τους κι έχω: Γι τέσσερις όρους: x-ω, x-ω, x, x+ω, x+ω ο Πράδειγµ Βρείτε τρεις ριθµούς διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου το άθροισµά τους είι κι το γιόµεό τους είι 5. Λύση ο Πράδειγµ Βρείτε τέσσερις ριθµούς που ποτελού ριθµητική πρόοδο το γιόµεο τω άκρω τους είι 45 κι το γιόµεο τω µέσω είι 77. Λύση Σε γεωµετρική πρόοδο γωρίζω το γιόµεο µικρού κι περιττού πλήθος όρω, τότε, πριστάω µε x το µεσίο όρο κι λ το λόγο κι έχω: Γι τρεις όρους: λ x, x, x.λ x x Γι πέτε όρους:,, x, x.λ, x.λ λ λ Σε γεωµετρική πρόοδο γωρίζω το γιόµεο µικρού κι άρτιου πλήθους όρω, τότε, πριστάω µε λ x, x.λ τους δύο µεσίους κι µε λ το λόγο κι έχω: x x Γι τέσσερις όρους:,, x.λ, x.λ λ λ ο Πράδειγµ Οι διστάσεις ορθογωίου πρλληλεπιπέδου ποτελού γεωµετρική πρόοδο. Α το άθροισµ τριώ κµώ µε κοιή κορυφή είι 6 κι ο όγκος του είι 6, βρεθού οι διστάσεις του. Λύση ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 4 ο Πράδειγµ Βρείτε τέσσερις ριθµούς διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου το γιόµεό τους είι 79 κι ο τέτρτος ισούτι µε το γιόµεο τω δύο µεσίω. Λύση - Γι δείξω ότι τρεις ριθµοί,β,γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ρκεί δείξω ότι ισχύει: β=+γ, εώ γεωµετρικής προόδου ρκεί δείξω ότι ισχύει: β =+γ. ο Πράδειγµ Α οι ριθµοί,, είι διδοχικοί όροι ριθµητική προόδου δείξτε ότι + β β+ γ γ+ κι οι β,, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Λύση ο Πράδειγµ Α οι ριθµοί,β,γ ποτελού γεωµετρική πρόοδο δειχθεί ότι: Λύση (+ β) (β+ γ) = γ. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 4 Ασκήσεις Αριθµητική πρόοδος. Βρείτε το ιοστό όρο τω ριθµητικώ προόδω: 5. 0,,6,9,. β.,-,-6,.. γ.,,,. δ. -,-7,-,. Ν βρεθεί ο 5 ος όρος της ριθµητικής προόδου,7,, κι ο ος της,,,.... Ποιος όρος της ριθµητικής προόδου 9, 5,, -,. Ισούτι µε 67; Υπάρχει όρος της που ισούτι µε 000; 4. Στη ριθµητική πρόοδο,, 7,,,,.., βρείτε το ώστε = κι υπολογίσετε το άθροισµ S -. Επίσης υπολογιστεί το άθροισµ + + 5 + + 0. 5. Ο ος όρος ριθµητικής προόδου είι 8 κι ο 7 ος είι 50. Ν βρεθεί η πρόοδος. 6. Ν βρεθεί ο µις ριθµητικής προόδου είι 9 =5 κι S =65. 7. Σε ριθµητική πρόοδο ( ) είι 0 =5 κι 5 =45. Ν βρείτε τη πρόοδο κι το ιοστό της όρο. Επίσης υπολογίσετε το άθροισµ τω 00 πρώτω όρω της κι το άθροισµ πό το 0 µέχρι κι το 000. 8. Η διφορά ριθµητικής προόδου είι η µικρότερη ρίζ της εξίσωσης x -x+=0, εώ η µεγλύτερη ρίζ της εξίσωσης είι ίση µε το τρίτο όρο της. Ν βρείτε της πρόοδο κι το άθροισµ τω 00 πρώτω όρω της. 9. ) Ποιος όρος της ριθµητικής προόδου, 5, 9,. ισούτι µε 85; β) Πόσοι όροι υτής της προόδου έχου άθροισµ 9900; 0. Πόσοι όροι της ριθµητικής προόδου, 9, 5,.έχου άθροισµ 98;. Ν βρείτε τη ριθµητική πρόοδο γι τη οποί ισχύει: 8 =40 κι S 4 =55.. ίετι η ριθµητική πρόοδος (+β), +β, (-β),.. ) Ν γράψετε το πρώτο όρο της. β) Ν βρείτε το ιοστό όρο κι το άθροισµ τω 0 πρώτω όρω της.. Ν βρεθεί ριθµητική πρόοδος γωρίζω ότι το άθροισµ του ου κι 8 ου όρου είι 8, κι το άθροισµ του 5 ου κι 9 ου όρου είι 40. 4. Σε ριθµητική πρόοδο δίοτι ω=5, =4 κι S =567. Ν βρεθού ο κι το πλήθος τω όρω. 5. Τρεις ριθµοί είι άλογοι µε τους ριθµούς, 5, 8. Α υξηθεί ο δεύτερος κτά, τότε γίοτι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. Ν βρείτε τους τρεις υτούς ριθµούς. 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 44 6. Α τ µήκη τω πλευρώ εός ορθογωίου τριγώου είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι είι άλογοι µε τους ριθµούς, 4, 5. 7. Ν υπολογιστεί το άθροισµ: S=+++ +. 8. Ν ποδείξετε ότι: +6+9++.+= (+ ). 9. Ν βρεθού τ κι ω µις ριθµητικής προόδου το άθροισµ τω πρώτω όρω ισούτι µε (+). 0. Σε ριθµητική πρόοδο ο ος κι ο 8 ος όρος διφέρου κτά 4, εώ το άθροισµ του 4 ου κι ου όρου είι 70. Ν βρεθεί η πρόοδος:. είι ύξουσ. β. είι φθίουσ. Ν βρεθεί η σχέση που συδέει τους, β, γ ώστε οι ριθµοί +x, β+x, γ+x ποτελού ριθµητική πρόοδο.. Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί x, x 4, 4 είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου.. Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί 5x-, x +7, 4x+5 είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. 4. Α οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συµβίει κι µε τους ριθµούς +β+β, +γ+γ, β +βγ+γ. 5. Α οι θετικοί ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συµβίει κι µε τους ριθµούς,,. β+ γ γ + + β 6. Α οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, ποδείξετε ότι το ίδιο συµβίει κι µε τους ριθµούς x= -βγ, ψ=β -γ, z=γ -β. 7. Τρεις ριθµοί που σχηµτίζου ριθµητική πρόοδο έχου γιόµεο 000. Α ο µικρότερος είι 0, βρεθού οι άλλοι. 8. Ν βρείτε διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 6 κι γιόµεο 0. 9. Ν βρείτε 4 διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 0 κι γιόµεο 84. 0. Ν βρείτε 5 διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 5 κι άθροισµ τετργώω 45.. Ν βρείτε 5 διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου µε άθροισµ 0 κι το άθροισµ τω τίστροφω τους είι 7/0.. Α οι ριθµοί, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου δειχθεί ότι: -β +γ -δ =0.. Το άθροισµ του 5 ου κι 8 ου όρου µις ριθµητικής προόδου είι, το δε άθροισµ τω κύβω τους είι 457. Ν βρεθεί η πρόοδος. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 45 4. Σε µι ριθµητική πρόοδο ο ος κι ο 5 ος όρος έχου άθροισµ 4, το δε άθροισµ τω κύβω τους είι 064. Ν βρείτε τη πρόοδο κι το άθροισµ τω όρω της που βρίσκοτι άµεσ στο 7 ο κι το ο όρο της. 5. Αάµεσ στους ριθµούς 4 κι 5 πρεµβάλετε άλλους ριθµούς έτσι, ώστε όλοι µζί ποτελού διδοχικούς όρους µίς ριθµητικής προόδου. 6. Πόσους ριθµητικούς εδιάµεσους µπορούµε πρεµβάλουµε άµεσ στους ριθµούς κι 5, ώστε ο τέτρτος εδιάµεσος προς το τελευτίο έχει λόγο /; 7. Ν ποδείξετε ότι είι ριθµητική πρόοδος η κολουθί ( ) µε γεικό όρο: ) =+5 β) =4-, v 5 γ) = κι βρείτε τ κι ω σε κάθε περίπτωση. 8. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς κολουθίς είι S v =. Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είι ριθµητική πρόοδος κι βρείτε τ κι ω. 9. Όµοι : ) S v = 5 - v, β) Sv =-. 40. Σε µι κολουθί ( ) το άθροισµ τω πρώτω όρω της είι S = +β (,β R). Ν δείξετε ότι η κολουθί υτή είι ριθµητική πρόοδος µε πρώτο όρο +β κι διφορά ω=. 4. Α η κολουθί ( ) είι ριθµητική πρόοδος, ποδείξετε ότι γι κάθε ισχύει: + = + + κι τιστρόφως. 4. Α S, S, S είι τ θροίσµτ τω,, πρώτω όρω τίστοιχ µίς ριθµητικής προόδου, δειχθεί ότι: S =(S -S ). 4. Ν βρεθεί η κέρι τιµή του x που είι λύση της εξίσωσης +5+7+ +5x=808. 44. Ν λυθεί η εξίσωση: x ++x +7+x ++ +x +5=4. Γεωµετρική πρόοδος 45. Ν βρείτε τη γεωµετρική πρόοδο, :. 4 - =4, + =6 β. 4 = 4κι. 8 = 4 46.. Α σε µι γεωµετρική πρόοδο είι 4 =, 6 =7 κι =9477 βρείτε το. β. Ν βρεθεί το πλήθος τω όρω µις γεωµετρικής προόδου ( ), έχουµε: =4, =97 κι S =456. 47. Ν βρείτε τη γεωµετρική πρόοδο που έχει τρίτο όρο κι όγδοο όρο 84. 48. Α η ( ) είι γεωµετρική πρόοδος µε =6 κι 5 =048, βρείτε το 7. 6 * Ν 49. Ν βρεθεί ο ώστε οι ριθµοί 6 ηµ, συ, εφ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 46 50. Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί, x, 6-x είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 5. Ν εξετστεί υπάρχει x, ώστε οι ριθµοί +x, +x, +x είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 6 5. Ν βρεθεί ο x ώστε οι ριθµοί x, x, x+ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής 8 προόδου. 5. Σε µι γεωµετρική πρόοδο ( ) είι =x-, =x+6 κι ο ριθµητικός µέσος τω 5 κι έχει µε το λόγο. Ν βρεθεί ο x. 54. A οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξετε ότι: ) (+β+γ)(-β+γ)= +β +γ + β. β) =. β+ γ γ 55. A οι ριθµοί, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξετε ότι: (+δ)(β+γ)-(+γ)(β+δ)=(β-γ). 56. A οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, δείξετε ότι: (β+βγ+γ) -βγ(+β+γ) =0. 57. Βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισµ 4 κι γιόµεο 64. 58. Βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισµ 4 κι άθροισµ τίστροφω. 9 59. Βρείτε τρεις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, οι οποίοι έχου άθροισµ κι άθροισµ τετργώω. 60. Βρείτε τέσσερις διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου., οι οποίοι έχου γιόµεο 6 κι άθροισµ µεσίω όρω 5. 6. Ν χωρίσετε το ριθµό 4 σε τρί µέρη που είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι το ο µέρος υπερβίει το ο κτά 0. 6. Αάµεσ στις ρίζες της εξίσωσης 6x -65x+4=0 πρεµβληθού 5 γεωµετρικοί εδιάµεσοι. 6. Μετξύ τω ριθµώ 9 κι 87 πρεµβληθού 4 ριθµοί ώστε κι οι 6 µζί είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 64. Ν λυθεί η εξίσωση + + + + x =046 65. Σε κάθε γεωµετρική πρόοδο µ κι κ είι οι όροι µ κι κ τάξης τίστοιχ, δείξτε ότι ισχύει µ =λ µ-κ. κ, κ,µ ΙΝ. 66. Σε µι γεωµετρική πρόοδο έχουµε + 4 = +. Ν βρεθεί ο λόγος της. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 47 67. ίετι η κολουθί µε γεικό όρο =... Βρείτε το όρο +. β. είξτε ότι υτή είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε το λόγο λ κι το. γ. Ποιος όρος της είι ίσος µε 07; 68. Ο ιοστός όρος µίς κολουθίς είι a v =. Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή v 5 είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε το άθροισµ τω 8 πρώτω όρω της. 69.Το άθροισµ τω πρώτω όρω µίς κολουθίς είι S v = -.. Ν βρείτε το όρο S - β. Ν βρείτε το γ. Ν βρείτε το + δ. Ν δείξτε ότι είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε τ λ κι. v 4 69.. ίετι η κολουθί µε S =( -). Ν ποδείξετε ότι η κολουθί υτή είι γεωµετρική πρόοδος κι βρείτε το πρώτο όρο κι το λόγο λ. 70. Ν υπολογίσετε το άθροισµ τω πρώτω όρω της κολουθίς µε γεικό όρο: v v + =. v 6 v + + +...+ 7. Ν υπολογιστεί η τιµή της πράστσης: Κ=. + + +...+ v 7. Ν βρείτε το γιόµεο τω 0 πρώτω όρω της γεωµετρικής προόδου µε πέµπτο όρο το κι δέκτο όρο το. 7. Ν ποδείξετε ότι:... =. Μεικτές σκήσεις vριζικά 74. Α,β,γ ποτελού διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου, τότε δείξτε ότι οι,, ποτελού διδοχικούς όρους ριθµητικής προόδου. β γ + β 75. Α οι ριθµοί, 5, β είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι οι,, β είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου βρεθού οι ριθµοί κι β. 76. Ν βρεθού τρεις ριθµοί, β, γ γωρίζουµε ότι οι, β, γ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου, οι, γ, β είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου κι το άθροισµά τους είι 99. 77. Τρεις θετικοί ριθµοί είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου κι έχου άθροισµ 5.Α ο πρώτος κι ο δεύτερος υξηθού κτά κι ο τρίτος κτά 4 οι ριθµοί που προκύπτου είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. Ν βρεθού οι ριθµοί υτοί. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 48 78. Ν βρείτε τρεις κέριους ριθµούς γι τους οποίους τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. β. Α υξηθεί ο δεύτερος κτά 8, η πρόοδος γίετι ριθµητική. γ. Α υξηθεί ο τρίτος κτά 64 γίετι πάλι γεωµετρική. 79. Βρείτε τρεις ριθµούς γι τους οποίους ισχύου τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. β. Έχου άθροισµ 5. γ. Α σ υτούς προσθέσουµε τους ριθµούς,4,9 τίστοιχ θ γίου διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. 80. Θεωρούµε µι ριθµητική κι µι γεωµετρική πρόοδο µε κοιούς τους δύο πρώτους όρους. Στη ριθµητική ο 4 ος υπερβίει το ο κτά 6, εώ στη γεωµετρική ο ος υπερβίει το ο κτά 5. Ν βρείτε τις δύο προόδους. 8. Βρείτε τρεις κέριους ριθµούς γι τους οποίους ισχύου τ εξής:. Είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου. β. Ελττώοτς το τρίτο κτά 4 γίοτι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου. γ. Ελττώοτς το δεύτερο κι το τρίτο της ριθµητικής προόδου κτά σχηµτίζετι πάλι γεωµετρική πρόοδος. ******************** Ερωτήσεις τύπου «ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ». Μι κολουθί είι ριθµητική πρόοδος κι µόο ισχύει = + -ω. Ο ιοστός όρος µις ριθµητικής προόδου είι = +(-)ω.. Α, β, γ διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου τότε β-=γ-β. 4. Α β, γ, δ διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου τότε +δ=β+γ 5. Η κολουθί = - +007 είι ριθµητική πρόοδος. 6. Σε κάθε ριθµητική πρόοδο ισχύει + = +ω. 7. Α οι ριθµοί, β, γ είι διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου τότε οι ριθµοί γ, β, είι επίσης διδοχικοί όροι µις ριθµητικής προόδου 8. Οι ριθµοί, +4, - είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου =9/. 9. Α άµεσ στους ριθµούς 9 κι 4 πρεµβάλλουµε 9 ριθµητικούς εδιάµεσους, τότε ω=,5. 0. Α ριθµητική πρόοδος µε =8 κι ω=, τότε, ο πρώτος όρος που ξεπερά το 9 είι ο 7.. Σε κάθε ριθµητική πρόοδο ισχύει = 0 + 4. ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 49. Α οι ριθµοί, x, ψ, z, 4 ποτελού ριθµητική πρόοδο, τότε υτή η πρόοδος έχει διφορά ω=4.. Α οι ριθµοί, x, ψ, z, 4 ποτελού ριθµητική πρόοδο, τότε ψ=8. 4. Α οι ριθµοί, 4, γ, δ, ε, 6 ποτελού ριθµητική πρόοδο, τότε =. 5. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις ριθµητικής προόδου είι ω Σ =[ +(-) ]. 6. Οι ριθµοί κ, κλ,λµε κ, λ>0 ποτελού διδοχικούς όρους γεωµετρικής προόδου. 7. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι -λ Σ =, λ. λ- 8. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι λ - Σ, λ. = λ- 9. Α οι ριθµοί,, β, γ, 6 είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε β=8. 0. Α οι ριθµοί,, β, γ, 54 είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε =.. Α οι ριθµοί x, x+, x+4 είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου τότε x=/.. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι S v =( -). Τότε ο είι ίσος µε.. Το άθροισµ τω πρώτω όρω µις γεωµετρικής προόδου είι S v =( -). Τότε ο είι ίσος µε. 4. Είι 5. Α 7 + + +... + 7 =. 7 9 54 4 = τότε η είι γεωµετρική πρόοδος. +, + ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 50 Ερωτήσεις ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ.Η ριθµητική πρόοδος µε τύπο =- είι: Α: γ. ύξουσ, Β: γ. φθίουσ, Γ: στθερή, : δε βγίει συµπέρσµ..γι οριστεί πλήρως µί ριθµητική πρόοδος είι πρίτητο δοθεί: Α: ο, Β: τ κι ω, Γ: το S v, : τ κι, Ε: µόο το..ο ριθµητικός µέσος τω ριθµώ κι 55 είι ο : Α: 6, Β: 7, Γ: 8, : 9, Ε: 40. 4.Η κολουθί µε γεικό όρο =5-8, είι: Α: Αριθµητική πρόοδος µε = κι ω=5. Β: Αριθµητική πρόοδος µε = - κι ω= -5. Γ: Αριθµητική πρόοδος µε = - κι ω=5. : ε είι ριθµητική πρόοδος. 5.Α σε ριθµητική πρόοδο είι = κι ω=-5, η τάξη του όρου είι: Α: 48, Β: 48, Γ: 50, : 5, Ε: ε είι όρος της προόδου. 6. Α οι ριθµοί,, β γ Α: είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου τότε ισχύει: ( ) +γ γ +γ β =, Β:β=, Γ: =, : = +. β +γ β γ γ 7.Α οι ριθµοί x-, x+, x+ είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου τότε o x ισούτι µε: Α: 0, Β: -, Γ: 4, :, Ε: 8. Οι ριθµοί x, x 4, 4 είι διδοχικοί όροι ριθµητικής προόδου : Α: x=4 ή x= -, B: x=4 ή x=, Γ: x= -4 ή x=4, : x= - ή x=. 9.Σε ριθµητική πρόοδο είι = -+. Τότε το S v είι: Α: S v =v(-v), B: S v = (-), Γ: S v =v -v, : S v = v+. 0. Σε ριθµητική πρόοδο είι 6 + 9 + + 5 =0. Τότε το άθροισµ S= + + + 0 είι ίσο µε: Α: 00, Β: 00, Γ: 00, : 400, Ε: άλλο.. Ποι πό τις πρκάτω κολουθίες είι γεωµετρική πρόοδος: 4 Α: =5, Β: = +, Γ:5, :. 4- ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 5. Μι γεωµετρική πρόοδος είι γησίως ύξουσ ότ: Α: λ>, Β: λ>0, Γ: λ<, : λ<0, Ε: λ <.. Α είι γεωµετρική πρόοδος τότε είι: Α: =λ +, Β: + =λ, Γ: + = +λ., : - =+λ. 4. Α =, =0,4, =0,6 τότε γι υτή τη γεωµετρική πρόοδο είι: Α: - - =, Β: =, Γ: =, : =. 4 5 5 5. Α είι γεωµετρική πρόοδος µε 5 =/ κι λ=, τότε: Α: =, Β: =/, Γ: =/, : =4/, Ε: άλλο. 6. Α, β θετικοί ριθµοί κι σε µί γεωµετρική πρόοδο είι 4 = κι 6 =β, τότε: Α: β β β λ=, Β:λ=, Γ:λ=, :λ=, Ε:. β β 7. Σε µί γεωµετρική πρόοδο είι =6 κι Α: =. + Ο ιοστός όρος της είι: +, Β :, Γ :, :, Ε :. 8. Στη γεωµετρική πρόοδο x, x+, x+, ο τέτρτος όρος της είι: Α: -7, Β:, Γ:,5, : -,5, Ε: 7 9. Α οι ριθµοί, β, γ, δ είι διδοχικοί όροι γεωµετρικής προόδου, τότε δε ισχύει: Α: βγ=δ, Β: γ=β, Γ: γ =βδ, : βγ=δ, Ε: δ = β. γ 0. Σε γεωµετρική πρόοδο µε 0 όρους, το γιόµεο τω όρω της είι 0. Τότε το γιόµεο τω δύο µεσίω όρω της είι: Α:, Β:, Γ: 9, : 7, Ε: 8.. Στη γεωµετρική πρόοδο 6,,,...ο 5 ος όρος της ισούτι µε: Α:, Β: 6, Γ: 6, : 6 9, Ε: 6. 9. Σε µί γεωµετρική πρόοδο είι λ=, S v =, v>. Α ο πρώτος όρος της είι κέριος, τότε ο ισούτι µε: Α:, Β:, Γ: 4, : 5, Ε: 6. ************** ********* **** * ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 5 ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 5 - ΠΡΟΟ ΟΙ ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ: 40504-6970667