1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες

Transcript

1 Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο ου βθµού. Πράδειγµ: -, εδώ έχω, β κι γ - ( συντελεστής του, β συντελεστής του κι γ ο στθερός όρος). Έστω P() βγ τριώνυµο, ν στη θέση της µετβλητής ντικτστήσω κάποιο ριθµό ρ η πράστση θ πάρει τη µορφή ριθµητικής πράστσης P(ρ)ρ βργ κι ν εκτελέσω τις πράξεις ο ριθµός που θ βρω λέγετι ριθµητική τιµή. Πράδειγµ: P() γι έχω P() , πρτηρώ όµως γι P() Θ λέµε ρίζ του τριωνύµου P() κάθε πργµτικό ριθµό ρ γι τον οποίο ισχύει P(ρ). (δηλδή δίνει τιµή µηδέν). Θ λέµε εξίσωση ου βθµού κάθε πράστση της µορφής βγ όπου, β,γ πργµτικοί ριθµοί µε κι ρίζ ή λύση κάθε πργµτικό ριθµό ρ που ληθεύει την ισότητ ρ βργ (σωστή). Πράδειγµ: - -6 είνι µί εξίσωση β βθµού γι έχω Λάθος γι έχω Σωστή άρ το είνι µί ρίζ της εξίσωσης. 4. Στην εξίσωση ου βθµού οι συντελεστές β, γ σν πργµτικοί ριθµοί δεν ποκλείετι ν είνι κι µηδέν κι προκύπτουν εξισώσεις µε ελλιπή µορφή. γι β γ γι γ β γι β & γ

2 Λύση της o/βάθµις εξίσωσης Σελ. 9. Μορφή γ γ -γ χ ) ν το κλάσµ β) ν το κλάσµ γ γ γ θετικό η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις γ κι - ρνητικό η εξίσωση δεν έχει δύο λύσεις (Αδύντη). ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 8 ii) 6 ΛΥΣΗ i) έχουµε ± 9 ± δύο ντίθετες λύσεις γ ii) όµοι < Α ΥΝΑΤΗ. Μορφή β έχει πάντ λύση την: β (β) ή β ή - β ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) 8 ii) - 6 ΛΥΣΗ i) έχουµε ( 8) ή 8 ή - 8 ή - 9 ii) όµοι ( - 6) ή - 6 ή 6 ή πάντ δύο λύσεις µε σίγουρη το (µηδέν). Μορφή έχει πάντ λύση την 4. Γενική µορφή βγ, Βήµ ο Βρίσκω την τιµή της πράτσης β - 4γ που ονοµάζετι δικρίνουσ της εξίσωσης. Βήµ ο Συγκρίνω την δικρίνουσ µε το µηδέν: i. ν < (ρνητική) η εξίσωση δεν έχει πργµτικές ρίζες Αδύντη

3 Σελ. 4 β ii. ν η εξίσωση έχει µί διπλή ρίζ την ρ iii. ν > (Θετική) η εξίσωση έχει δύο διφορετικές πργµτικές ρίζες που δίνοντι πό τον τύπο ρ, β ±, όπου η δικρίνουσ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ν λυθούν οι εξισώσεις: i) ii) ΛΥΣΗ i) έχουµε: β γ Άρ οι ρίζες της εξίσωσης είνι: Έτσι β 4γ (-) >, β ± ± 4 ± 4 / 4 8/ 4 ii) έχουµε: β Έτσι γ Άρ η εξίσωση είνι δύντη. β 4 γ ( ) 4 <. Πργοντοποίηση του τριωνύµου βγ, Εργάζοµι όπως πρπάνω κι βρίσκω τις ρίζες του τριωνύµου: ν < δεν έχει ρίζες - εν πργοντοποιείτι. β ν έχει µί διπλή ρίζ την ρ, το τριώνυµο είνι τέλειο τετράγωνο κι ισχύει: βγ (χ-ρ). ν > έχει δύο ρίζες διφορετικές κι ισχύει: βγ (-ρ )(-ρ ). ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ν πργοντοποιηθεί η πράστση ΛΥΣΗ Έχουµε ( ) 4 >. β ± ( ) ± ± άρ οι ρίζες είνι, 4 Άρ ( ) ( )( ).

4 Σελ Άθροισµ κι γινόµενο ριζών του τριωνύµου χ βχγ, -β -β- i. ν > οι δύο ρίζες είνι κι. Αν πάρουµε Σ κι Γ ( ) β - β -4γ 4γ γ β β β β β β (-β ) ( -β- ) (-β) -( ) -β -β β ii. Όµοι ν τότε Σ ( ) β - κι β β β 4γ γ Σ Πρτήρηση: Κάθε εξίσωση β γ β γ, γράφετι - - Σ Γ ( ) β γ - -, Άρ πό την εξίσωση βρίσκω τις ρίζες κι ντίστροφ πό τις ρίζες βρίσκω την εξίσωση. ΕΦΑΡΜΟΓΗ N βρείτε το άθροισµ κι το γινόµενο των ριζών της εξίσωση ΛΥΣΗ Α. Επειδή β 4γ > έχει δύο ρίζες, πργµτικές κι άνισες. 98 χωρίς ν την λύσετε. το γινόµενο των δύο ριζών είνι θετικό, οπότε οι, είνι οµό- γ 98 Β. Αφού Γ > σηµοι ριθµοί. β Γ. Αφού Σ < ριθµός. το άθροισµ ρνητικό, έτσι η κάθε ρίζ είνι ένς ρνητικός

5 Σελ Λύση Κλσµτικών εξισώσεων Κλσµτικές εξισώσεις λέγοντι οι εξισώσεις που περιέχουν κλάσµτ µε άγνωστο στους προνοµστές. Επίλυση κλσµτικών εξισώσεων µε βήµτ.. Πργοντοποιούµε τους προνοµστές.. Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π, των προνοµστών, πίρνοντς τον κάθε διφορετικό εµφνιζό- µενο πράγοντ κι µε το µεγλύτερο εκθέτη.. Θέτουµε περιορισµούς: το Ε.Κ.Π. κι βρίσκω τις ντίστοιχες πορριπτόµενες τιµές. 4. Κάνουµε πλοιφή πρνοµστών πολλπλσιάζοντς τ µέλη µε το Ε.Κ.Π.. Απλοποιούµε κι εφρµόζουµε την επιµεριστική ιδιότητ (πολλπλσιάζουµε). 6. Κάνουµε νγωγές όµοιων όρων κι διτάσσουµε κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του κι µε βάση τ πρπάνω λύνουµε την εξίσωση. 7. Τέλος, ελέγχουµε ν οι ρίζες που βρήκµε ικνοποιούν τον περιορισµό. Όσες δεν τον ικνοποιούν τις πορρίπτουµε.

6 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σελ. 4 Στις εξισώσεις ου βθµού. Ν λυθούν οι πρκάτω ο/βάθµιες εξισώσεις: Μήπως οι εξισώσεις της ίδις γρµµής έχουν την ίδι λύση; Όσες έχουν την ίδι λύση λέγοντι ισοδύνµες. Ποι πό τις τρεις συµφέρει ν λύσω κι γιτί;. Ν λυθούν οι πρκάτω εξισώσεις: Κι εδώ οι τέσσερις εξισώσεις της ίδις γρµµής έχουν την ίδι λύση. Άρ είνι ισοδύνµες. Ποι πό όλες συµφέρει ν λύσω;. Ν λυθούν οι πρκάτω εξισώσεις: ( -8) (-) (-) ( -6) 4 ( -8) 4 (-) (-) () (-)() (-) ( -6 8 / )( ) ()( -)( ) (-)( -4) 4. Ν λυθούν οι εξισώσεις: ( ) 4 ( )

7 Σελ. 44 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΏΣΕΙΣ. Μορφή δύο ίσων κλσµάτων: 6 7 ή 4 4 ή 8 6. Μορφή πολλών κλσµάτων: 9 8 ) )( ( ) ( 8

8 ( ) Σελ , - 4 ( ) - 4 Προβλήµτ που λύνοντι µε εξίσωση ου βθµού. Ν βρεθεί ο ριθµός του οποίου το µισό του τετργώνου του ν υξηθεί κτά θ γίνει ίσο µε το διπλάσιο του ριθµού υτού.. Ν βρείτε δύο ριθµούς που έχουν άθροισµ Σ 6 κι γινόµενο Γ 6.. Όµοι Σ / κι Γ, Σ - κι Γ, Σ - κι Γ Ν βρείτε δύο ριθµούς µε διφορά κι γινόµενο Γ 4 όµοι µε διφορά - κι γινόµενο Γ - όµοι µε διφορά 7 κι γινόµενο Γ.. Ν βρεθεί ο ριθµός του οποίου το γινόµενο µε το υξηµένο κτά 4 ευτό του δίνει. 6. Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε µήκη κάθετων πλευρών, 4- κι υποτείνουσ - ν βρεθεί το κι µετά τ µήκη των πλευρών του. 7. Όµοι γι κάθετες πλευρές 4, - κι υποτείνουσ Σε τετράγωνο ν οι πλευρές υξηθούν κτά µονάδες το εµβδό του γίνει 49 τετργωνικές µονάδες ν βρείτε την πλευρά κι το εµβδό του ρχικού τετργώνου. 9. Ν βρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου µε περίµετρο 68 µ. κι διγώνιο 6 µ.. Αν υξήσουµε τις δύο πένντι πλευρές ενός τετργώνου κτά µ. κι τις άλλες δύο κτά µ., προκύπτει ορθογώνιο που έχει εµβδό 68 τ.µ. Ν βρεθεί η πλευρά κι το εµβδό του τετργώνου.. Ν βρείτε τις κάθετες πλευρές κι το εµβδό ενός ορθογωνίου τριγώνου µε υποτείνουσ µ. ν γνωρίζουµε ότι η µί κάθετη είνι µικρότερη της άλλης κτά 7 µ.

9 . Ν υπολογιστεί η περίµετρος ενός ορθογώνιου τριγώνου µε κάθετες πλευρές - µ. κι 4 µ. εµβδό 7 τ.µ. Σελ. 46. Ν υπολογίσετε δύο διδοχικούς περιττούς φυσικούς ριθµούς που έχουν άθροισµ τετργώνων *Σήµερ ηλικί του Νίκου είνι διπλάσι πό την ηλικί του Βσίλη. Πριν πό πέντε χρόνι η ηλικί του Νίκου ήτν τ /4 της ηλικίς του Βσίλη. Πόσων χρονών είνι σήµερ κι οι δύο;. ***Αν ο Μέγς Αλέξνδρος πέθινε 9 χρόνι νωρίτερ, τότε ο χρόνος της βσιλείς του θ ήτν ίσος µε το του χρόνου της ζωής του. Αν όµως πέθινε 9 χρόνι ργότερ 8 κι εξκολουθούσε ν βσιλεύει, τότε ο χρόνος της βσιλείς του θ ήτν ίσος µε το του χρόνου της ζωής του. Ν βρεθεί πόσ χρόνι έζησε ο Μέγς Αλέξνδρος κι πόσ βσίλεψε. 6. * ύο τετράγων µε κέντρο Ο βρίσκοντι το έν µέσ στο άλλο. Η διφορά των περιµέτρων τους είνι ίση µε 4 m. Το εµβδόν του γρµ- µοσκισµένου τµήµτος είνι ίσο µε m. Πόσο είνι το εµβδόν του κάθε τετργώνου; είνι ο βθµός δυσκολίς της άσκησης.

10 ιάτξη κι πράξεις Σελ. 47 Ορισµοί: Έστω κι β δύο πργµτικοί ριθµοί (, β R). Λέµε ο µεγλύτερος του β κι συµβολίζουµε > β, ότν η διφορά β >, δηλδή είνι θετικός ριθµός. > β - β > Όµοι λέµε < β ότν -β < κι β ότν -β Από τ πρπάνω προκύπτει: κάθε θετικός είνι µεγλύτερος του µηδενός. κάθε ρνητικός µικρότερος του µηδενός. Αν τ κι β είνι οµόσηµ ( β > ) µπορεί ν γίνει σύγκριση του πηλίκου τους µε την µονάδ δηλδή: Ι] >, τότε >β, ΙΙ] <, τότε <β, ΙΙΙ], τότε β, β β β Πρτηρήσεις:. Τ > κι < λέγοντι σύµβολ της νισότητς.. Η σχέση < β λέγετι νισότητ. Tο λέγετι ο µέλος της νισότητς κι το β λέγετι ο µέλος.. ύο νισότητες µε το ίδιο σύµβολο π.χ. < β κι γ < δ λέγοντι οµοιόστροφες ενώ µε διφορετικό ετερόστροφες. 4. Γι πργµτικούς κι β που ισχύει: > β ή β συµβολίζω β. Ι δ ι ό τ η τ ε ς ν ι σ ο τ ή τ ω ν Α] Αν > β γ > β γ γι κάθε, β, γ πργµτικούς. Αν προσθέσουµε (ή φιρέσουµε) στ µέλη µις νισότητς τον ίδιο ριθµό, θ προκύψει ο- µοιόστροφη νισότητ. Απόδειξη: > β β > β γ γ > περνάω το β στο πρώτο µέλος προσθέτω το µηδέν σε µορφή θροίσµτος ντιθέτων γ γ] γ β γ > ντιµετθετική β γ γ β γ (βγ)> γ > βγ επιµεριστική (β γ) β γ περνάω στο ο µέλος το (β γ) λλάζει κι πρόσηµο

11 Σελ. 48 Σηµείωση. Η φράση περνάω στο άλλο µέλος κάποιο ριθµό κι λλάζει πρόσηµο είνι πρκτική έκφρση που γνωστή πό τις εξισώσεις της β γυµνσίου. Β] Αν > β κι β > γ τότε > γ µετβτική ιδιότητ Απόδειξη: > β β > β > γ β γ > -β β-γ > -γ > > γ το άθροισµ θετικών ριθµών είνι θετικό Γ] Αν > β κι γ > δ τότε γ > βδ πρόσθεση νισοτήτων κτά µέλη Απόδειξη: > β γ > βγ γ > δ βγ > βδ πρόσθεση στ δύο µέλη του γ πρόσθεση στ δύο µέλη του β πό µετβτική έχω γ > βγ > βδ άρ γ > βδ. ] Αν γ > τότε > β γ > β γ Αν πολλπλσιάσουµε (ή διιρέσουµε) τ µέλη µις νισότητς µε έν θετικό ριθµό, θ προκύψει οµοιόστροφη νισότητ. Απόδειξη: > β -β > (θετικό) κι γ > (θετικό) άρ γι το γινόµενο οµόσηµων (-β)γ > γ-βγ > γ > βγ Ε] Αν γ < τότε > β γ < β γ Αν πολλπλσιάσουµε (ή διιρέσουµε) τ µέλη µις νισότητς µε ένν ρνητικό ριθµό, θ προκύψει ετερόστροφη νισότητ. Απόδειξη: >β -β> (θετικό) κι γ< (ρνητικό) άρ γι το γινόµενο ετερόσηµων (-β)γ< γ-βγ< γ<βγ ΣΤ] > β κι γ > δ τότε γ > β δ Μόνο γι, β, γ, δ θετικούς πργµτικούς ισχύει ο πολλπλσισµός νισοτήτων κτά µέλη. Απόδειξη: > β κι γ > γ > βγ (), όµοι

12 Σελ. 49 γ > δ κι β > βγ > βδ () µετβτικά πό τ() κι () έχω γ> βγ > βδ δηλδή γ > βδ. Σηµείωση: Πρέπει ν ξέρω κόµη γι, β πργµτικούς ριθµούς:. Αν > κι β> τότε β> β. Αν < κι β< τότε β< γ. Αν, β οµόσηµοι τότε β> κι :β/β> όπου β δ. Αν, β ετερόσηµοι τότε β< κι :β/β< κι β ε. Γι κάθε ισχύει > ΕΦΑΡΜΟΓΗ. Γι πργµτικούς κι οµόσηµους ριθµούς, β (συµβολίζω β > ) ισχύει: < β > β Απόδειξη: < β - β < β < (γιτί τ -β κι β ετερόσηµ) β a β < < < ή >. aβ aβ β β β

13 Σελ. Λύση νίσωσης (πρώτου βθµού) β>, Η νίσωση που µπορεί ν γρφεί µε τη µορφή β > ή β <, όπου ο άγνωστος κι, β στθεροί ριθµοί (που δεν εξρτώντι πό το ), λέγετι νίσωση βθµού µε ένν άγνωστο. β > > -β (προσθέτω κι στ δύο µέλη το -β, δηλδή χωρίζω γνωστά πό άγνωστ). Αν >, > -β/ ή > -β: (πολ/ζω κι πό τις δύο µεριές µε το θετικό /). Αν <, < -β/ ή > -β: (πολ/ζω µε το ρνητικό /). Αν, > -β Ι) Αληθεύει γι κάθε πργµτικό χ ν β θετικό (-β<) ΙΙ) Α ΥΝΑΤΗ, ν β ρνητικό (-β>) Πρδείγµτ:. Ν λυθεί η νίσωση. 7 ΛΥΣΗ Γι πλοιφή προνοµστών πολ/ζουµε τ µέλη µε το ΕΚΠ(,7,) 7 ( ) ( ) () 4 () επιµεριστική 44 4 χωρίζουµε γνωστά πό άγνωστ ή ή 6 νγωγή όµοιων όρων διίρεση µε το συντελεστή του γνώστου -6. Ν βρείτε τις κοινές λύσεις των νισώσεων 6 (6) κι () > 4 7. ΛΥΣΗ Λύνουµε χωριστά τις νισώσεις κι έχουµε: 6 (6) () > > > > > ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Ότν σε µι νίσωση έχουµε σύµβολο ή, τότε περιλµβάνετι το άκρο του διστήµτος κι το ση- µείο του άξον θ έχει «µύρη τελεί», διφορετικά «άσπρη».

14 Ασκήσεις - ιάτξη κι πράξεις Σελ. Οµάδ Ι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (βάλε σε κύκλο το κεφλίο γράµµ µε την σωστή πάντηση). Αν, β πργµτικοί ριθµοί κι ισχύει >β, πολ/ζω κι τ δύο µέλη µε - τότε: Α. -<-β Β. ->-β Γ.- -β.- -β Ε.- -β. Αν, β πργµτικοί ριθµοί κι ισχύει <β, πολ/ζω κι τ δύο µέλη µε µηδέν τότε: Α. < β Β. > β Γ. β. β Ε. β. Αν >β κι πολ/σω τ δύο µέλη µε το όπου πργµτικός τότε: Α. <β Β. β Γ. β. β < Ε. β 4. Αν β κι πολ/σω τ δύο µέλη µε το - όπου πργµτικός τότε: Α. - < β - Β. - β - Γ. - β -. - < β - Ε. - β -. Αν β θετικοί πργµτικοί ριθµοί µε >β τότε ισχύει: Α. > & β> Β. -β< Γ. /β. /β> Ε. /β< 6. Αν >β κι β>γ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί ισχύει: Α. <γ Β. β>γ Γ. > γ. β < γ Ε. β> γ 7. Αν >β κι γ>δ ισχύει κι γ>βδ µε την προϋπόθεση: Α. >δ Β.,β θετικά γ,δ ρνητικά Γ.,β,γ,δ πργµτικούς. ποτέ Ε. βγδ> 8. Η νίσωση β> όπου < έει λύση την: Α. > Β. > Γ. < /β. <-β: Ε. >β Οµάδ ΙΙ - (Σύντοµης πάντησης ). Αν < < κι < β < τότε µετξύ ποιών τιµών περιέχοντι οι τιµές των πρστάσεων: β -β β -β : β-. Ν λυθούν πό κοινού οι νισώσεις (-) < 7 κι, <, Οµάδ ΙΙΙ- ( ιάτξης σε σειρά πό µικρότερο προς µεγλύτερο). Αν, β θετικοί πργµτικοί κι >β ν γίνει διάτξη στ πρκάτω: β,, β β,, β β

15 . Αν γι πργµτικό ισύει << ν γίνει διάτξη στ:. Όµοι ν > στ,,,, 4. Όµοι ν > β θετικοί πργµτικοί κι > στ:,, β β β χ, β χ β,,,,, Σελ.. Αν < 4 τότε. Αν - > -6 τότε χ - χ.. Αν < -β τότε -.. β 6 4. Αν <<β<γ, όπου, β, γ πργµτικοί ριθµοί ν ποδείξετε την νισότητ: ] < β β] < β γ] < β γ < γ. Αν, β πργµτικοί όπου > κι β> ν ποδείξετε: β < β γ 6. Αν,β,γ πργµτικοί όπου <β< κι γ> ν ποδείξετε < β γ β 7. Γι τους πργµτικούς ριθµούς, β ισύει > κι β> ν ποδείξετε.β>6 8. Όµοι > κι β<- τότε.β - < (β-). 9. Γι πργµτικούς >, β> κι > ν ποδείξετε ότι - <β -. Ν λυθούν οι νισώσεις: Α. ( ) > Β. > ( 8 7) 8 Γ. 7(4-) > (8-7). < 6 Ε. > ΣΤ. < 6 4. Ν βρείτε γι ποιες τιµές του συνληθεύουν οι νισώσεις: ( ) < κι 4 7 > (4) (6) κι () 6