Φροντιστήριο #3 Λυμένες Ασκήσεις σε Σύνολα/ Αποδείξεις /Μαθηματική Επαγωγή 24/3/2016

Φροντιστήριο #3 Λυμένες Ασκήσεις σε Σύνολα/ Αποδείξεις /Μαθηματική Επαγωγή 24/3/2016 Άσκηση Φ3.1 Αποδείξτε τις παρακάτω ταυτότητες. (1) B (Ø A) = B (2) ( A U) = A (3) ( A B) ( A B) = A (4) ( A B) ( B A) = B (5) A (A B) = A Λύση Άσκησης Φ3.1 Όλες προκύπτουν πολύ εύκολα χρησιμοποιώντας για παράδειγμα γνωστές ταυτότητες του προτασιακού λογισμού: (1) B (F A) = B F = B (2) ( A T) = A = A (3) (A B) (A B)=A (B B)=A T=A (4) ( (A B) (B-A)) = (A B) (B-A)) = (A B) (B A)) =B (A A)=B F=B (5) A (A B)=(A A) (A B) = A (A B) = A Μπορεί επίσης κανείς να χρησιμοποιήσει διαγράμματα Venn, κλπ. Άσκηση Φ3.2 Βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς και ποιες ψευδείς. (1) Ø Ø, (2) Ø Ø, (3) Ø {Ø}, (4) Ø {Ø}, (5) {Ø} Ø, (6) {Ø} Ø, {7} {Ø} { Ø}, (8){Ø} {Ø}, (9) {α, β} {α, β, γ, {α, β, γ}}, (10) {α, β} {α, β, γ, {α, β, γ}}, (11) {α, β} {α, β, {{α, β}}}, (12) {α, β} {α, β, {{α, β}}}, (13) {α, Ø } {α,{α, Ø }}, (14) {α,β} 2 {α,β} (15) {α,β} 2 {α,β} Λύση Άσκησης Φ3.2 (1) ναι, (2) όχι, (3) ναι, (4) ναι, (5) όχι, (6) όχι, {7} ναι, (8)όχι, (9) ναι, (10) όχι, (11) ναι, (12) όχι, (13) όχι, (14) όχι, (15) ναι Άσκηση Φ3.3 Έστω το σύνολο A = {{Ø}, {{Ø}}}. Υπολογίστε το δυναμοσύνολο του Α. Λύση Άσκησης Φ3.3 P(A)= {Ø, {{Ø}}, {{{Ø}}}, {{Ø}, {{Ø}}}}

Άσκηση Φ3.4 Έστω A, B, και C σύνολα με τις ακόλουθες ιδιότητες: A = 100, B = 50, and C = 48. Ο αριθμός των στοιχείων που ανήκουν σε ακριβώς ένα από τα τρία σύνολα είναι διπλάσιος από τον αριθμό των στοιχείων που ανήκουν σε ακριβώς δύο από τα σύνολα. Το πλήθος των στοιχείων που ανήκουν σε ακριβώς ένα από τα τρία σύνολα είναι τριπλάσιο από το πλήθος των στοιχείων που ανήκουν και στα τρία σύνολα. (a) Πόσα στοιχεία ανήκουν σε όλα τα σύνολα; (b) Πόσα στοιχεία ανήκουν σε ακριβώς ένα από σύνολα; Λύση Άσκησης Φ3.4 Έστω το παρακάτω διάγραμμα Venn Δεδομένου ότι Α = 100, προκύπτει ότι α+β+δ+ε=100 (1) Δεδομένου ότι Β =50 προκύπτει ότι β+γ+ε+ζ = 50 (2) Δεδομένου ότι C =48 προκύπτει ότι η+δ+ε+ζ = 48 (3) Δεδομένου ότι το πλήθος των στοιχείων που ανήκουν σε ακριβώς ένα από τα τρία σύνολα είναι διπλάσιος από τον αριθμό των στοιχείων που ανήκουν σε ακριβώς δύο από τα σύνολα γνωρίζουμε οτι α+γ+η = 2(β+δ+ζ) (4) Δεδομένου ότι το πλήθος των στοιχείων που ανήκουν σε ακριβώς ένα από τα τρία σύνολα είναι τριπλάσιος από το πλήθος των στοιχείων που ανήκουν και στα τρία σύνολα, γνωρίζουμε ότι α+γ+η = 3ε (5) Το άθροισμα των (1), (2) και (3) δίνει α + γ + η + 2β + 2δ + 2ζ + 3ε = 198

3 ε + 3 ε + 3 ε = 198 9 ε = 198 ε=22. (a) Μας ενδιαφέρει να βρούμε το Χ = α+β+γ+δ+ε+ζ+η = α+γ+η + β+δ+ζ + ε = 3 ε + 3/2 ε + ε = 66+33+22 = 121. (b) Μας ενδιαφέρει να βρούμε το α+γ+η = 3 ε = 66. Άσκηση Φ3.5 Έστω A= { m Z i Z : m= 5i 1}, B = { n Z j Z : n= 3 j+ 2}, C = { p Z r Z : p = 5r+ 4} και D = { q Z s Z : q = 3s 1}. (1) Ισχύει ότι Α=Β; Εξηγείστε. (2) Ισχύει ότι Α=C; Εξηγείστε. (3) Ισχύει ότι Α=D; Εξηγείστε. (4) Ισχύει ότι B=D; Εξηγείστε. Λύση Άσκησης Φ3.5 Δύο σύνολα είναι ίσα αν και μόνο αν περιέχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. S = T : x : x S x T (1) ΟΧΙ Αρκεί να βρω ένα στοιχείο που ανήκει στο ένα από τα σύνολα αλλά δεν ανήκει στο άλλο. Π.χ. 4 Α (για i = 1) αλλά 4 Β ( j Z : n = 3 j+ 2= 4). Επομένως, τα σύνολα Α,Β δεν είναι ίσα. (2) ΝΑΙ Αρκεί να δείξω ότι (α) A C και (β) C A. (α) Έστω x A τότε i Z : x = 5i 1= 5i 5+ 4= 5( i 1) + 4 άρα x C αφού r Z και μάλιστα r = i 1. Επομένως, A C. (β) Έστω x C τότε p Z : x = 5r + 4= 5r + 5 1= 5( r+ 1) 1 άρα x Aαφού i Zκαι μάλιστα i = r + 1. Επομένως, C A. Οπότε Α=C. (3) ΟΧΙ

Αρκεί ένα αντιπαράδειγμα. 4 A(για i = 1) αλλά s Z : q = 3s 1= 4, άρα 4 D. Επομένως A D. (4) ΝΑΙ Αρκεί να δείξω ότι (α) B D και (β) D B. (α) Έστω x Bτότε j Z : x= 3 j+ 2= 3 j+ 3 1= 3( j+ 1) 1 άρα x D αφού s Z και μάλιστα s = j+ 1. Επομένως, B D. (β) Έστω x D τότε s Z : x = 3s 1= 3s 3+ 2= 3( s 1) + 2 άρα x Bαφού j Zκαι μάλιστα j = s 1. Επομένως, D B. Οπότε B = D. Άσκηση Φ3.6 Έστω τα σύνολα A0, A1, A2, A3τα οποία ορίζονται ως εξής: A = { n Z k Z : n = 4 k} 0 A1 = { n Z k Z : n = 4k + 1}, A = { n Z k Z : n = 4k + 2} 2 A = { n Z k Z : n = 4k + 3} 3 Αποτελούν τα A0, A1, A2, A 3 μία διαμέριση του συνόλου Z; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Λύση Άσκησης Φ3.6 Έστω n μη κενά σύνολα A i, i = 1,2..., n. Τα σύνολα Αi αποτελούν μία διαμέριση του συνόλου Zαν και μόνο αν: (i) Z n = i= 1 Ai (ii) Τα A i είναι αμοιβαία ξένα σύνολα. Για να δείξω το (i), δηλαδή ότι ισχύει Z = A0 A1 A2 A3 αρκεί να δείξω ότι ισχύουν ταυτόχρονα τα (α) Z A0 A1 A2 A3 και (β) A0 A1 A2 A3 Z (α) Αν x Zτότε το ακέραιο υπόλοιπο της διαίρεσης του x με το 4 ανήκει στο σύνολο {0,1,2,3}. x%4 = i, i {0,1, 2,3} και ισχύει x = 4k + i, όπου k είναι το πηλίκο της διαίρεσης. Άρα, το x ανήκει σε ένα από τα σύνολα A i, δηλαδή x A0 A1 A2 A3. (β) Αν x A0 A1 A2 A3 τότε ο x ανήκει σε κάποιο από τα σύνολα A0, A1, A2, A 3, καθένα από τα οποία περιλαμβάνει ακέραιους, επομένως x Z. Επομένως, αποδείξαμε ότι Z = A0 A1 A2 A3.

Για να δείξω το (ii), δηλαδή ότι τα A i είναι αμοιβαία ξένα σύνολα, αρκεί να δείξω ότι οποιοσδήποτε από τους ακεραίους που ανήκει σε ένα σύνολο δεν μπορεί να ανήκει σε οποιοδήποτε άλλο. Πράγματι n A k Z : n = 4 k (1) 0 n A l Z : n = 4l + 1 (2) 1 (1),(2) k. l Z : 4k 4l = 1 4( k l) = 1 πράγμα που είναι άτοπο. Ομοίως ελέγχουμε τους υπόλοιπους συνδυασμούς και αποδεικνύουμε ότι τα A i είναι αμοιβαία ξένα σύνολα. Επομένως, αποδείξαμε ότι τα σύνολα A0, A1, A2, A 3 αποτελούν διαμέριση του συνόλου Z. Άσκηση Φ3.7 Έστω Α Β και C D. Αποδείξτε ότι (A C) (B D και ότι (A C) (B D); Λύση Άσκησης Φ3.7 Έστω k A C, τότε k Α άρα και k B αφού Α Β ή k C άρα και k D αφού C D Συνεπώς θα ανήκει πάντα είτε στο Β είτε στο D και επομένως στην ένωσή τους. Έστω k A C, τότε k Α άρα και k B αφού Α Β και k C άρα και k D αφού C D Συνεπώς θα ανήκει πάντα και στο Β και στο D επομένως και στην τομή τους. Ασκήση Φ3.8 Έστω A, Bκαι C σύνολα και θεωρείστε το σύνολο D = C ( A B). Έχουν οι παρακάτω προτάσεις γενική ισχύ; Δικαιολογείστε συνοπτικά την απάντησή σας. B D C D C B D Λύση Άσκησης Φ3.8 a) Δεν ισχύει γενικά ότι B D, καθώς το Α ή το Β μπορεί να μήν ανήκουν κάν στο D όπως φαίνεται και στο διπλανό διάγραμμα. Η μοναδική περίπτωση που θα ισχύει η παραπάνω συνθήκη είναι αν το Α = B. b) To C D ισχύει διότι το D εξ' ορισμού είναι ένωση του C με την τομή του Α και Β.

c) B D. Το C είναι υποσύνολο του D αλλά το B δεν είναι. Η μοναδική περίπτωση που θα ίσχυε είναι αν το Α = Β. Άσκηση Φ3.9 Έστω τα σύνολα Α={{1, 2, 3}, {2, 3}, {a, b}} και B={{a, b}, {1, 2}}. Βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς. Εξηγείστε σύντομα την απάντησή σας. (1) {a, b} B, (2) {{1, 2, 3}} A, (3) B A, (4) Ø A, (5) 1 A, (6) {2, 3} A. Λύση Άσκησης Φ3.9 1. Ψευδής: το {a, b} είναι στοιχείο του Α, και όχι υποσύνολο. 2. Αληθής 3. Ψευδής. {1, 2} Α 4. Ψευδής (το κενό είναι υποσύνολο κάθε στοιχείου). Για να ίσχυε η (4) θα έπρεπε το σύνολο να ήταν της μορφής {Ø,...} 5. Ψευδής 6. Αληθής Άσκηση Φ3.10 Υπάρχουν σύνολα Α,Β και C τέτοια ώστε A = 6, B = 3, C = 4, A B C = 10, A C = 2 και A B C = 1; Λύση Άσκησης Φ3.10 A = 6, B = 3, C = 4, A B C = 10, A C = 2 (1) A B C = 1 (2) Ξέρουμε ότι A B C = A + B + C A B A C B C + A B C (3). από (1) και (3) έχουμε: 10 = 6 + 3 + 4 A B 2 B C + 1 A B + B C = 2 (4) Τα πλήθη είναι πάντα θετικοί ακέραιοι αριθμοί, άρα αυτό μπορεί να να ισχύει σε 3 περιπτώσεις: A B = 2 και B C = 0 A B = 0 και B C = 2 A B = 1 και B C = 1 Λόγω της σχέσης (2) υπάρχει ένα στοιχείο που ανήκει και στα 3 σύνολα. Αυτό συνεπάγεται ότι και το A B αλλά και το Β C θα έχουν τουλάχιστον ένα κοινό στοιχείο. Η μοναδική περίπτωση από τις παραπάνω που ικανοποιεί αυτή την συνθήκη είναι η 3η. Άρα θα ισχύει και η αρχική ισότητα οπότε υπάρχουν τέτοια σύνολα A,B,C. Ένα παράδειγμα: Α={1,2,3,4,5,6}, Β={1,9,10}, C={1,2,7,8}

Άσκηση Φ3.11 Έστω A, B σύνολα και P (Α), P (Β) τα αντίστοιχα δυναμοσύνολα τους. Αποδείξτε κατά πόσον ισχύει ότι P (Α) P (Β) = P(Α Β) Λύση Άσκησης Φ3.11 Έστω X P(Α Β) X A B X A X B X P(Α) X P(B) X P(Α) P(B) Άσκηση Φ3.12 Έστω τρία σύνολα Α, Β, C, υποσύνολα ενός συνόλου U. Αποδείξτε χωρίς να κάνετε χρήση διαγραμμάτων Venn ότι εάν Α Β=Α C και A B = A C, τότε Β=C. Λύση Άσκησης Φ3.12 Α Β=Α C (1) A B = A C (2) Από (1) και (2) ( Α B) ( A Β ) = ( Α C) ( A C) ( Α A) Β ) = ( Α A) C) ( U Β ) = ( U C) B=C Άσκηση Φ3.13 Δοσμένων των συνόλων B = {t, u, r, k, e, y} και A = {b, r, u, t, e}, υπολογίστε την ποσότητα P(B)-P(Α). Σημείωση: με Ρ(Χ) συμβολίζουμε εδώ το δυναμοσύνολο του συνόλου Χ. Λύση Άσκησης Φ3.13 Β =6, Α =5 άρα P(B) =2 6 και P(A) =2 5. Επίσης A B={r,u,t,e} και P(A B) =2 4 Τότε P(B) - P(A) = P(B) - P(A B) = 2 6 2 4 = 64 16 = 48 Άσκηση Φ3.14 Έστω σύνολο = {1,2}. Υπολογίστε το ((!! (με P(A) συμβολίζεται το δυναμοσύνολο του συνόλου Α). Λύση Άσκησης Φ3.14 (! = {,{1},{2},{1,2}}

#(!$ = {, { },{{1}},{{2}},{{1,2}}, %,{1}&,%,{2}&,%,{1,2}&,%{1},{2}&,%{1},{1,2}&,%{2},{1,2}&, %,{1},{2}&,%,{1},{1,2}&,%,{2},{1,2}&,%{1},{2},{1,2}&, {{,{1},{2},{1,2}}} Άσκηση Φ3.15 Θεωρείστε τις παρακάτω πληροφορίες για τρία σύνολα Α,Β και C: ( = 14, ) = 10, ( ) = 24 και ( + = 6 Θεωρείστε επίσης τις παρακάτω προτάσεις: (1) Το σύνολο C έχει το πολύ 24 στοιχεία. (2) Το ( ) έχει ακριβώς 18 στοιχεία. (3) Το σύνολο C έχει τουλάχιστον 6 στοιχεία. Ποιες από αυτές είναι αληθείς; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Λύση Άσκησης Φ3.15 (1) Αληθεύει. Το C δεν μπορεί να έχει περισσότερα στοιχεία από το ( ). Επομένως, αφού ( ) = 24 ο μέγιστος πληθικός αριθμός για το C είναι 24. (2) Αληθεύει. Αφού, + = 18 και, ( ) = 24 τότε το πρέπει να είναι τουλάχιστον 6. Άσκηση Φ3.16 Πόσοι ακέραιοι ανάμεσα στο 1 και στο 2015 δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 2, ούτε του 3 ούτε του 5; Λύση Άσκησης Φ3.16 Έστω Υ το σύνολο των ακέραιων ανάμεσα στο 1 και στο 2015 που δεν είναι πολλαπλάσια ούτε του 2, ούτε του 3 ούτε του 5. Έστω Χ2 το σύνολο των αριθμών στο [1.. 2015] που είναι πολλαπλάσια του 2 Έστω Χ3 το σύνολο των αριθμών στο [1.. 2015] που είναι πολλαπλάσια του 3 Έστω Χ5 το σύνολο των αριθμών στο [1.. 2015] που είναι πολλαπλάσια του 5 Τα Χ2, Χ3, Χ5 είναι υποσύνολα του Χ που περιλαμβάνει τους ακεραίους από 1 έως 2015. Χ = 2015. Τότε ξέρουμε ότι Υ = X - X2 X3 X5 Όμως X2 X3 X5 = Χ2 + Χ3 + Χ5 - Χ2 Χ3 - Χ2 Χ5 - Χ3 Χ5 + Χ2 Χ3 Χ5 Το σύνολο Χ2 Χ3 περιέχει αυτούς που διαιρούνται και με το 2 και με το 3, επομένως αυτούς που διαιρούνται με το 6 άρα Χ2 Χ3 = 2015 div 6 (div σημαίνει ακέραια διαίρεση) Το σύνολο Χ2 Χ5 περιέχει αυτούς που διαιρούνται και με το 2 και με το 5, επομένως αυτούς που διαιρούνται με το 10 άρα Χ2 Χ5 = 2015 div 10

Το σύνολο Χ3 Χ5 περιέχει αυτούς που διαιρούνται και με το 3 και με το 5, επομένως αυτούς που διαιρούνται με το 15 άρα Χ3 Χ5 = 2015 div 15 Το σύνολο Χ2 Χ3 Χ5 περιέχει αυτούς που διαιρούνται και με το 2 και με το 3 και με το 5, επομένως αυτούς που διαιρούνται με το 30 άρα Χ3 Χ5 = 2015 div 30 Άρα X2 X3 X5 = = 2015 div 2 + 2015 div 3 + 2015 div 5 2015 div 6 2015 div 10 2015 div 15 + 2015 div30 = 1007 + 671 + 403-335 201 134 + 67 = 1478. Άρα Υ = X - X2 X3 X5 = 2015 1478 = 537. Άσκηση Φ3.17 Έστω ότι = {, δ}. Κατασκευάστε τα παρακάτω σύνολα: 1. 2. { } 3. P( ) 4. P( ) 5. P( ) όπου P(Δ) είναι το δυναμοσύνολο του Δ. Λύση Άσκησης Φ3.17 1. = 2. { } = { } {, δ} = 3. P( ) = {, δ} {,{ },{ δ},{, δ}} = {, δ,{ },{ δ},{, δ}} 4. P( ) = {, δ} {,{ },{ δ},{, δ}} = { } 5. P( ) = {, δ} {,{ },{ δ},{, δ}} = {, δ,{ },{ δ},{, δ}} { } = { δ,{ },{ δ},{, δ}} Άσκηση Φ3.18 Τα μέλη μίας ομάδας 100 ατόμων ερωτήθηκαν σχετικά με το ποια θεωρούν πως είναι μια καλή ποδοσφαιρική ομάδα. Από αυτούς, 32 ψήφισαν τον «ΟΦΗ», 20 ψήφισαν τον «ΕΡΓΟΤΕΛΗ», 45 ψήφισαν τον «ΑΤΡΟΜΗΤΟ», 15 ψήφισαν και τον «ΟΦΗ» και τον «ΑΤΡΟΜΗΤΟ», 7 ψήφισαν και τον «ΟΦΗ» και τον «ΕΡΓΟΤΕΛΗ», 10 ψήφισαν και τον «ΕΡΓΟΤΕΛΗ» και τον «ΑΤΡΟΜΗΤΟ» και 30 δεν ψήφισαν καμία από τις τρεις αυτές ομάδες. (1) Βρείτε τον αριθμό των ατόμων που ψήφισαν και τις τρεις αυτές ομάδες. (2) Βρείτε τον αριθμό των ατόμων που ψήφισαν ακριβώς μία από τις παραπάνω ομάδες. Λύση Άσκησης Φ3.18 (1) Έστω Α = «αυτοί που θεωρούν τον ΟΦΗ καλή ομάδα», Β = «αυτοί που θεωρούν τον ΕΡΓΟΤΕΛΗ καλή ομάδα», C=«αυτοί που θεωρούν τον ΑΤΡΟΜΗΤΟ καλή ομάδα». Μας δίνεται:

Σύνολο ψηφισάντων = 100, A = 32, Β = 20, C = 45, Α C =15, A B =7, B C =10, ( A) ( B) ( C) = (AUBUC) =30 (1) Έχουμε AUBUC =100- (AUBUC) =100-30=70, ενώ AUBUC = Α + Β + C - A B - Α C - B C + A B C => 70=32+20+45-7-15-10 + A B C => A B C =70-65=5 Αυτοί που ψήφισαν και τις τρεις ομάδες είναι 5 (2) Α Β C =α+β+γ+δ+ε+ζ+η = 70 Α = α+β+δ+ε = 32 Β = β+ε+γ+ζ = 2 C = δ+ε+ζ+η = 45 A B C = ε=5 A C = δ+ε=15 δ=10 A Β = β+ε= 7 β = 2 Β C = ζ+ε=10 ζ = 5 Από τα παραπάνω δεδομένα (8 εξισώσεις με 8 αγνώστους, μπορεί να προκύψει η τιμή για καθένα από τα α, β, γ, δ, ε, ζ, η, και θ) και επομένως και για το α+γ+η το οποίο ζητάμε (=48). Εναλλακτικά, μπορούμε να σκεφτούμε ως εξής: Ζητάμε το α+γ+η = (α+β+γ+δ+ε+ζ+η) (β+δ+ε+ζ) = Α Β C -(2+10+5+5)=70-22=48. Άσκηση Φ3.19 Σε μία δημοσκόπηση που έγινε με στόχο να διερευνηθούν οι προτιμήσεις των ανθρώπων σε σχέση με το χρώμα ενός αυτοκινήτου, βρέθηκε ότι: Σε 22 αρέσουν τα κόκκινα αυτοκίνητα Σε 25 αρέσουν τα άσπρα αυτοκίνητα Σε 39 αρέσουν τα μαύρα αυτοκίνητα Σε 9 αρέσουν και τα άσπρα αυτοκίνητα και τα κόκκινα αυτοκίνητα Σε 17 αρέσουν και τα κόκκινα αυτοκίνητα και τα μαύρα αυτοκίνητα Σε 20 αρέσουν και τα άσπρα αυτοκίνητα και τα μαύρα αυτοκίνητα Σε 6 αρέσουν και τα τρία χρώματα. Δεδομένου ότι σε 4 ανθρώπους δεν αρέσει κανένα από τα χρώματα, πόσοι άνθρωποι συμμετείχαν στη δημοσκόπηση;

Λύση Άσκησης Φ3.19 Έστω Κ το σύνολο των ανθρώπων που τους αρέσουν τα κόκκινα αυτοκίνητα, τότε Κ = 22. Ομοίως για τα άσπρα και τα μαύρα, με Α =25 και Μ =39 αντίστοιχα. Τότε ΚUAUM = K + A + M - K A - K M - A M + K A M = 22 + 25 + 39 9 17 20 + 6 = 92 46 = 46 Υπάρχουν και 4 άτομα που δεν τους αρέσει κανένα χρώμα, άρα το σύνολο των ατόμων που συμμετείχαν στη δημοσκόπηση θα είναι 46 + 4 = 50 άτομα. Άσκηση Φ3.20 Από 200 φοιτητές ενός Τμήματος Πληροφορικής, 140 έχουν περάσει την Οργάνωση Υπολογιστών, 50 τα ιακριτά Μαθηματικά και 24 και τα δύο αυτά μαθήματα. Από τους 200 αυτού του Τμήματος, 60 φοιτητές συμμετέχουν σε ένα συνέδριο. Από αυτούς τους 60, 20 έχουν περάσει τα ιακριτά Μαθηματικά, 45 την Οργάνωση Υπολογιστών και 16 και τα δύο αυτά μαθήματα. Πόσοι φοιτητές που δεν συμμετέχουν στο συνέδριο δεν έχουν περάσει ούτε Οργάνωση Υπολογιστών ούτε ιακριτά Μαθηματικά; Λύση Άσκησης Φ3.20 Έστω Φ το σύνολο των φοιτητών, Ο το σύνολο των φοιτητών που πέρασαν την Οργάνωση και Δ το σύνολο των φοιτητών που πέρασαν τα Διακριτά Μαθηματικά, οπότε Φ =200, Ο =140, Δ =50, Ο Δ =24 Έστω Σ το σύνολο των φοιτητών που πάνε στο συνέδριο, ΟΣ οι φοιτητές που δεν πάνε στο συνέδριο και που πέρασαν την Οργάνωση, ΔΣ οι φοιτητές που δεν πάνε στο συνέδριο και που πέρασαν τα Διακριτά Μαθηματικά, οπότε Σ =60, ΔΣ =20, ΟΣ =45 και ΔΣ ΟΣ =16 Έστω Χ το σύνολο των φοιτητών που δεν πάνε στο συνέδριο, Οx οι φοιτητές που δεν πάνε στο συνέδριο αλλά πέρασαν την Οργάνωση, ΟΔ αυτοί που δεν πάνε στο συνέδριο αλλά πέρασαν τα Διακριτά. Ζητώ να βρω το Χ - ΟΔU ΟΣ Χ = Φ - Σ =140 (1) ΟΧ U ΔΧ = ΟΧ + ΔΧ - ΟΧ ΔΧ (2) ΟΧ = Ο - ΟΣ =140-45=95 (3) ΔΧ = Δ - ΔΣ =50-20=30 (4) ΟΧ ΔΧ = Ο Δ - ΔΣ ΟΣ =24-16=8 (5) Άρα Χ - ΟΔU ΟΣ = 140-(95+30-8)=140-117=23 Στο ίδιο αποτέλεσμα μπορούμε να καταλήξουμε με διαγράμματα Venn και διαμέριση Άσκηση Φ3.21 Έστω τρία σύνολα Α, Β, C. Αποδείξτε χωρίς να κάνετε χρήση διαγραμμάτων Venn ή πινάκων μελών ότι (A C) (B C) = (Α Β) C. Λύση Άσκησης Φ3.21

Αποδεικνύω πρώτα ότι A B = A B Αν. ( ). ( x B. ( x ) x ( ) ο.ε.δ Βάσει αυτού, (Α C! (B C! = (Α C! #B C$ = (Α C! 1B C2 = (Α C! #B C$ = #A C B$ #A C C$ = #A C B$ = A C B = (A B! C ο.ε.δ. Άσκηση Φ3.22 Αποδείξτε τις παρακάτω ισότητες, θεωρώντας ότι τα σύνολα A, B, C είναι υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλουu. (1) A B = B A (2) A A= U (3) A = A (4) A A= (5) A ( B C) = ( A B) C Λύση Άσκησης Φ3.22 (1) A B B A = A B = ( ορισµ ός ) ( A B) ( A B) = ( B A) ( B A) = B A (2) A A= U A A= ( ορισµ ός ) ( A A) ( A A) = U = U (3) Α = ( ορισµ ός ) ( Α ) ( Α ) = Α = Α

(4) Α Α = ( ορισµ ός ) ( Α Α) ( Α Α ) = Α Α = (5) Αληθής π.χ., με χρήση Πίνακα Μελών. A B C B C A B A ( B C) ( A B) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Άρα A ( B C) = ( A B) C Ή με διάγραμμα Venn Άσκηση Φ3.23 Αποδείξτε ότι για τυχαία σύνολα A,B και C ισχύει πως ( ()! = (( )!. Δώστε δύο διαφορετικές αποδείξεις (α) μία με χρήση πίνακα μελών και (β) μία βασισμένη στο γεγονός ότι για τυχαία σύνολα X,Y ισχύει ότι = 3 ( 3! (3! Λύση Άσκησης Φ3.23 α) A B C ( ) (( )! ) ( ()! 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 Στον πίνακα μελών βλέπουμε ότι οι στήλες ( ()! και (( )! συναληθεύουν άρα ισχύει η ισότητα. β) Για να ισχύει η ισότητα ( ()! = (( )! αρκεί να αποδείξουμε ότι ( ()! (( )! και (( )! ( ()!.. ( ()!. ( 567. ()!. ( 567. ) 567.. ( ) 567.. (( )! άρα ( ()! (( )! (1). (( )!. ( ) 567.. ( 567. ) 567.. ( 567. ()!. ( ()! άρα (( )! ( ()! (2) Από (1) και (2) αποδεικνύεται και η ισότητα. Άσκηση Φ3.24 Έστω σύνολο A = {a,b}. Υπολογίστε το P(A) P(A) (με P(Α) συμβολίζεται το δυναμοσύνολο του συνόλου Α και με " " το καρτεσιανό γινόμενο). Λύση Άσκησης Φ3.24 P(A) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} P(A) P(A) = {Ø, {a}, {b}, {a, b}} x {Ø, {a}, {b}, {a, b}} = {(Ø, Ø), (Ø, {a}), (Ø, {b}), (Ø, {a, b}), ({a}, Ø), ({a}, {a}), ({a}, {b}), ({a}, {a, b}), ({b}, Ø), ({b}, {a}), ({b}, {b}), ({b}, {a, b}), ({a, b}, Ø), ({a, b}, {a}), ({a, b}, {b}), ({a, b}, {a, b})} Άσκηση Φ3.25 Έστω Α,Β,Γ σύνολα. Αποδείξτε ότι a. (( )! 9 = (( 9! (+ 9!. b. A ( B Γ ) = ( A B) ( A Γ ).

Λύση Άσκησης Φ3.25 a. Για να δείξω ότι (( )! 9 = (( 9! (+ 9! αρκεί να δείξω ότι (( )! 9 (( 9! (+ 9! και (( 9! (+ 9! (( )! 9. Άρα, πρέπει να αποδείξω ότι ένα τυχαίο στοιχείο του ενός συνόλου ανήκει στο άλλο και αντιστρόφως. Πράγματι, έστω (6 :,6 ;! τυχαίο στοιχείο του (( )! 9. Έχουμε: (6 :,6 ;! (( )! 9 6 : (( )! 6 ; 9 (6 : ( 6 : )! 6 ; 9 (6 : ( 6 ; 9! (6 : + 6 ; 9! (6 :,6 ;! (( 9! (6 :,6 ;! (+ 9! (6 :,6 ;! (( 9! (+ 9! (1) Έστω (6 :,6 ;! τυχαίο στοιχείο του (( 9! (+ 9!. Λόγω διπλής συνεπαγωγής στην προηγούμενη απόδειξη, έχουμε ότι (6 :,6 ;! (( )! 9 (2) Άρα, από (1) και (2), προκύπτει (( )! 9 = (( 9! (+ 9! b. Για να δείξω ότι A ( B Γ ) = ( A B) ( A Γ ) αρκεί να δείξω ότι A ( B Γ) ( A B) ( A Γ ) και ότι ( A B) ( A Γ) A ( B Γ ) Έστω (6 :,6 ;! στοιχείο του A ( B Γ ) (6 :,6 ;!, () 9! 6 : Α (6 ; + 6 ; 9! (6 : Α 6 ; +! (6 : Α 6 ; 9! (6 :,6 ;! (( 9! (6 :,6 ;! (+ 9! (6 :,6 ;! (( +! (, 9! Η διαδικασία που ακολουθήσαμε είναι αμφίδρομη (διπλή συνεπαγωγή) άρα για τον ίδιο λόγο ( A B) ( A Γ) A ( B Γ ) Άσκηση Φ3.26 Έστω Α, Β, Γ, σύνολα. Αποδείξτε ότι ( Α Β ) ( Γ ) = ( Α Γ) ( Β ). Λύση Άσκησης Φ3.26 (A B! (Γ Δ! = (A Γ! (Β Δ! Για να ισχύει αυτό αρκεί να αποδείξουμε ότι α) (A B! (Γ Δ! (A Γ! (Β Δ! και β) (A B! (Γ Δ! (A Γ! (Β Δ! α) (A B! (Γ Δ! (A Γ! (Β Δ! δηλαδή ότι κάθε τυχαίο στοιχείο που ανήκει στο (A B! (Γ Δ! ανήκει και στο (A Γ! (Β Δ!. Έστω (a :, a ;! τυχαίο στοιχείο του (A B! (Γ Δ!. Έχουμε: (a :, a ;! (A B! (Γ Δ! a : (A B! a ; (Γ Δ! (από ορισμό καρτεσιανού γινομένου) a : A a : B a ; Γ a ; Δ (από ορισμό τομής) (a : A a ; Γ! (a : Β a ; Δ! (λόγω της προσετεριστικότητας του τελεστή ) (a :, a ;! A Γ (a :, a ;! Β Δ (από ορισμό καρτεσιανού γινομένου)

(a :, a ;! (A Γ! (Β Δ! (1) (από ορισμό τομής) άρα ισχύει. β) (A B! (Γ Δ! (A Γ! (Β Δ! δηλαδή ότι κάθε τυχαίο στοιχείο που ανήκει στο (A Γ! (Β Δ!ανήκει και στο (A B! (Γ Δ!. Έστω #a :, a ; $ τυχαίο στοιχείο του(a Γ! (Β Δ! Έχουμε:(a :, a ;! (A Γ! (Β Δ! από την προηγούμενη απόδειξη λόγω διπλής συνεπαγωγής έχουμε και (a :, a ;! (A B! (Γ Δ! (2) άρα ισχύει. Από (1) και (2) προκύπτει και ότι (A B! (Γ Δ! = (A Γ! (Β Δ! Άσκηση Φ3.27 Για καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις, και για σύνολα A, B, C, αν είναι αληθής αποδείξτε την ενώ αν είναι ψευδής, βρείτε ένα αντιπαράδειγμα. Υποθέτουμε ότι όλα τα σύνολα είναι υποσύνολα ενός ευρύτερου συνόλου U. (1) A, B, C( A ( B C) = ( A B) C) (2) A, B( A ( A B) = A) (3) A, B, C(( A B) ( C B) = A ( B C)) (4) A, B(( A B= ) ( A B= )) (5) A, B( P( A B) = P( A) P( B)) Λύση Άσκησης 3.27 Οι ενδεικτικές λύσεις βασίζονται σε πράξεις μεταξύ συνόλων. Εναλλακτικές λύσεις μπορούν να δοθούν με χρήση πινάκων μελών ή διαγραμμάτων Venn. (1) A, B, C( A ( B C) = ( A B) C) Ψευδής Αντιπαράδειγμα: Έστω τα σύνολα A= {1, 2,3}, B = {1,4}, C = {1,5} τότε διαδοχικά, B C = {4}, A B = {2,3} και A ( B C) = {1,2,3}, ( A B) C = {2,3}, επομένως, A ( B C) ( A B) C. (2) A, B( A ( A B) = A) Αληθής Απόδειξη : A ( A B) = ( A ) ( A B) = A ( B) = ( A )

= A (3) A, B, C(( A B) ( C B) = A ( B C)) Ψευδής Αντιπαράδειγμα: Έστω τα σύνολα A= {1, 2,3, 4}, B = {3,4}, C = {1,4,5} τότε διαδοχικά, A B = {1, 2}, C B = {1,5}, ( A B) ( C B) = {1} και B C = {1,3, 4,5}, A ( B C) = {2}, άρα η έκφραση δεν είναι αληθής. (4) A, B(( A B = ) ( A B = )) Ψευδής Αντιπαράδειγμα Έστω A= {0,1, 2}, B = {3, 4} τότε A B = και A B = {(0,3),(0,4),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}. (5) A, B( P( A B) = P( A) P( B)) Ψευδής Αντιπαράδειγμα Έστω A= {0,1} καιβ= {1, 2} τότε Α Β= {0,1, 2} Οπότε P( A B) = {, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1,2}, {0,2}, {0,1,2} } P( A ) = {,{0},{1},{0,1}} P( B ) = {,{1},{2},{1,2}} Άρα P( A B) P( A) P( B) Άσκηση Φ3.28 Έστω τα σύνολα Α={{1, 2, 3}, {2, 3}, {a, b}} και B={{a, b}, {1, 2}}. (1) Βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς. a. {a, b} B, b. {{1, 2, 3}} A, c. B A, d. 1 A, e. {2, 3} A. (2) Περιγράψτε τα σύνολα a.2 b.2 c.2 d.2 A B A B B A A B B Λύση Άσκησης Φ3.28

1.α ΟΧΙ ({a, b} B), 1.b ΝΑΙ, 1.c ΟΧΙ, 1.d ΟΧΙ, 1.e NAI 2.a: A B = {{a,b}} άρα 2 A B ={Ø, {{a,b}}} 2.b: A-B = {{1, 2, 3}, {2, 3}} άρα 2 A-B ={Ø, {{1,2,3}}, {{2,3}}, {{1,2,3}, {2,3}}} 2.c: B-A = {{1, 2}} άρα 2 B-A ={Ø,{{1,2}}} 2.d: 2 A B ={Ø, {{a,b}}}, άρα {Ø, {{a,b}}} Χ Β = {Ø, {{a,b}}} Χ {{a, b}, {1, 2}} = {(Ø, {a, b}), (Ø, {1, 2}), ({{a,b}}, {a, b}), ({{a,b}}, {1, 2})} Άσκηση Φ3.29 a. Αποδείξτε χωρίς να χρησιμοποιήσετε διαγράμματα Venn, ότι για οποιαδήποτε σύνολα A, B, C, ισχύει ότι ( A B) C = ( A C) ( B C) Λύση Άσκησης Φ3.29 Έστω x (A B)-C x (A B) x C (x A x B) x C (x C x A) (x C x B) x (A-C) (B-C) x (A-C) (B-C) (A B)-C (A-C) (B-C) Έστω τώρα x (A-C) (B-C) (x C x A) (x C x B) x C (x A x B) x (A B)- C (A-C) (B-C) (A B)-C Άρα ( A B) C = ( A C) ( B C) Άσκηση Φ3.30 Να προσδιορίσετε αν καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθής ή ψευδής: a. { } b. %,{ }& c. { } { } d. { {{ }}} e. { } {,{ }} f. {{ }} {,{ }} g. {{ }} {{ },{ }} Λύση Άσκησης Φ3.30 a) True b) True c) False d) Δεν είναι καν πρόταση e) True f) True g) False (το 2 ο είναι το σύνολο {{ }} και γνωρίζουμε ότι ένα σύνολο δεν είναι γνήσιο υποσύνολο του εαυτού του). Άσκηση Φ3.31

Πόσα στοιχεία περιέχει καθένα από τα παρακάτω σύνολα, αν τα a, b είναι διαφορετικά στοιχεία; a. P({a,b,{a,b}}) b. P({Ø,a,{a},{{a}}}) c. P(P(Ø)) Λύση Άσκησης Φ3.3

a. 8, b. 16, c. 2 Άσκηση Φ3.32 Έστω ότι Α Χ Β = Ø, όπου τα Α, Β είναι σύνολα. Τι μπορείτε να συμπεράνετε; Λύση Άσκησης Φ3.32 Τουλάχιστον το ένα από τα Α,Β είναι το κενό σύνολο Άσκηση Φ3.33 Έστω ότι Α, Β είναι υποσύνολα ενός καθολικού συνόλου U. Να δείξετε ότι Α + 6E 567 FόEH 6E +I, Λύση Άσκησης Φ3.33 Ευθύ: Έστω ότι Α + Έστω xє +I x B x A xє, +I, Αντίστροφο : Έστω ότι +I, Έστω xєα x, x +I xєβ Α + Άσκηση Φ3.34 Μια φαρμακοβιομηχανία δοκιμάζει τρία νέα παυσίπονα τα Α, Β και C - σε 40 άτομα. Τα αποτελέσματα που καταγράφηκαν είναι: 23 δήλωσαν ότι το παυσίπονο Α ήταν αποτελεσματικό 18 δήλωσαν ότι το παυσίπονο Β ήταν αποτελεσματικό 31 δήλωσαν ότι το παυσίπονο C ήταν αποτελεσματικό 11 δήλωσαν ότι και το Α και το Β ήταν αποτελεσματικά 19 δήλωσαν ότι και το Α και το C ήταν αποτελεσματικά 14 δήλωσαν ότι και το Β και το C ήταν αποτελεσματικά 37 δήλωσαν ότι τουλάχιστον ένα από τα παυσίπονα ήταν αποτελεσματικό Να υπολογίσετε: α. Πόσοι άνθρωποι δεν ανακουφίστηκαν από κανένα από τα παυσίπονα; β. Πόσοι άνθρωποι ανακουφίστηκαν και από τα 3 παυσίπονα; γ. Πόσοι άνθρωποι ανακουφίστηκαν μόνο από το παυσίπονο Α; Λύση Άσκησης Φ3.34 Έστω: P το σύνολο των ανθρώπων που συμμετείχαν στη δοκιμή. P =40 P A το σύνολο των ανθρώπων που βρήκαν αποτελεσματικό το παυσίπονο Α. P A =23 P B το σύνολο των ανθρώπων που βρήκαν αποτελεσματικό το παυσίπονο B. P B =18 P C το σύνολο των ανθρώπων που βρήκαν αποτελεσματικό το παυσίπονο C. P C =31 Γνωρίζω επίσης ότι P A P B =11, P Α P C =19, P B P C =14 και P A P B P C =37 a. Οι άνθρωποι που δεν βρήκαν αποτελεσματικό κανένα φάρμακο είναι P - P A P B P C =40-37=3 β. P A P B P C = P A + P B + P C - P A P B - P Α P C - P B P C + P A P B P C

37=23+18+31-11-19-14+ P A P B P C P A P B P C =9 γ. Έστω το παρακάτω διάγραμμα Venn O ζητούμενος αριθμός είναι ο α που είναι ο πληθικός αριθμός του συνόλου που φαίνεται σκιαγραφημένο. Βλέπουμε ότι P A =α+β+δ+ε=23 P A P B =β+ε=11 P Α P C =δ+ε=19 P A P B P C =ε=9 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι α=2 Άσκηση Φ3.35 Σε ένα σύνολο 40 ατόμων, οι 30 δεν έχουν Γαλλική υπηκοότητα και οι 10 έχουν Γερμανική υπηκοότητα. 5 από τα άτομα που έχουν Γαλλική υπηκοότητα δεν έχουν Γερμανική υπηκοότητα. Πόσα άτομα δεν έχουν ούτε Γαλλική, ούτε Γερμανική υπηκοότητα; Λύση Άσκησης Φ3.35 Έστω S το σύνολο όλων των ατόμων, F το σύνολο αυτών που έχουν Γαλλική υπηκοότητα και G το σύνολο αυτών που έχουν Γερμανική υπηκοότητα. Γνωρίζουμε ότι S =40, S - F =30 F =10, G =10. Επίσης F - F G =5 F G =5 Ψάχνουμε το S - F G S - F G = S -( F + G - F G )=40-(10+10-5)=25 Το ίδιο με διάγραμμα

Γνωρίζουμε ότι a+b+c+d=40 (1) a+d=30 (2) c+d=10 (3) b=5 (4) Ψάχνουμε το a (2)+(3)+(4): a+d+c+d+b=45 (a+b+c+d)+d=45 40+d=45 d=5 (5) Από (2) και (5) προκύπτει ότι a=25 Άσκηση Φ3.36 Έστω σύνολο Α={Ø, a} και το σύνολο Β={(a,b), (Ø,c)}. Υπολογίστε τα δυναμοσύνολα των συνόλων Α και Β, καθώς και το καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β. Λύση Άσκησης Φ3.36 P (A)=P({Ø,a})={ Ø,{Ø},{a},{ Ø,a}} P (B)=P({(a,b), (Ø,c)})={ Ø,{(a,b)},{(Ø,c)},{(a,b),( Ø,.c)}} AxB={(Ø, (a,b)),(ø,( Ø,c)),(a,(a,b)),(a,(Ø,c))} Άσκηση Φ3.37 (1) Έστω τρία σύνολα Α, Β, C, υποσύνολα ενός συνόλου Ω. Αποδείξτε ότι (Α Β) C = Α (B C) αν και μόνο αν C A. Λύση Άσκησης Φ3.37 (1) (ι) Aς υποθέσουμε ότι C A. Τότε (Α Β) C= (Α C) (Β C). Αφού C A έχουμε ότι Α C= Α. Επομένως, (Α Β) C= (Α C) (Β C) = Α (B C). (ιι)ας υποθέσουμε ότι Α (Β C)=(Α Β) C. Έστω ότι δεν ισχύει το C A. Άρα x, x C x A x A x A ( B C) (1)

x C x ( A B) C) (2) Από (1) και (2) Α (Β C) (Α Β) C) Άτοπο! (Έμμεση απόδειξη) Άσκηση Φ3.38: Για καθένα από τους παρακάτω ισχυρισμούς, είτε αποδείξτε τον, είτε δώστε αντιπαραδείγματα που να αποδεικνύουν ότι δεν ισχύει 1. Εάν ο n είναι άρτιος, τότε ο n+1 διαιρείται ακέραια με το 3 2. Αν ο n είναι περιττός, τότε και ο 3n είναι περιττός 3. Αν ο n ή ο m είναι άρτιος, τότε ο n m είναι άρτιος 4. Εάν το τελευταίο ψηφίο ενός ακεραίου αριθμού n είναι το 3, τότε ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 3. 5. Αν ο n διαιρείται με το 3, τότε ο n(n+1)(n+2) διαιρείται με το 4. 6. Αν ο n είναι περιττός, τότε ο n 3 -n διαιρείται με το 12. 7. Αν ο n είναι άρτιος και ο m περιττός, τότε ο n+m διαιρείται με το 3. 8. Αν ο n διαιρείται με το 3 τότε ο n 2-1 διαιρείται με το 4. 9. Αν ο n 2-1 δεν διαιρείται με το 8 τότε ο n είναι άρτιος 10. Το άθροισμα δύο περιττών ακεραίων είναι άρτιος ακέραιος Λύση Άσκησης 3.38 1. «Εάν ο n είναι άρτιος, τότε ο n+1 διαιρείται ακριβώς με το 3» Αντιπαράδειγμα: το 6 είναι άρτιος αλλά το 7 δεν διαιρείται ακριβώς με το 3. 2. «Αν ο n είναι περιττός, τότε και ο 3n είναι περιττός» Απόδειξη: Εφόσον ο n είναι περιττός, υπάρχει ακέραιος m τέτοιος ώστε n=2m+1. Επομένως, 3n=3(2m+1)=6m+3=(6m+2)+1=2(3m+1)+1. Επομένως, υπάρχει l=3m+1 τέτοιος ώστε 3n=2l+1, επομένως ο 3n είναι περιττός. 3. «Αν ο n ή ο m είναι άρτιος, τότε ο n m είναι άρτιος» Απόδειξη: 1η περίπτωση: o n είναι άρτιος και ο m περιττός: τότε n m=2k(2l+1)= 2[k(2l+1)] άρτιος. 2 η περίπτωση: o n είναι περιττός και ο m άρτιος: τότε n m=(2k+1)2l= 2[(2k+1)l] άρτιος. 3 η περίπτωση: o n είναι άρτιος και ο m άρτιος: τότε n m=2k2l= 2[2kl] άρτιος. Άρα σε κάθε περίπτωση, ο n m είναι άρτιος 4. «Εάν το τελευταίο ψηφίο ενός ακεραίου αριθμού n είναι το 3, τότε ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 3» Αντιπαράδειγμα: o 13 πληροί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος αλλά δεν διαιρείται με το 3. 5. «Αν ο n διαιρείται με το 3, τότε ο n(n+1)(n+2) διαιρείται ακριβώς με το 4». Αντιπαράδειγμα: Ο 9 διαιρείται με το 3, αλλά ο 9*10*11=990 δεν διαιρείται ακριβώς με το 4. 6. Αν ο n είναι περιττός, τότε ο n 3 -n διαιρείται ακριβώς με το 12. Απόδειξη: n 3 -n = n(n 2-1) = n(n-1)(n+1) = (2k+1)2k(2k+2) = (4k 2 +2k)(2k+2) = 8k 3 +8k 2 +4k 2 +4k = 8k 3 +12 k 2 +4k = 4(2k 3 +3k 2 +k). Άρα ο n 3 -n διαιρείται ακριβώς με το 4.

Επίσης, ο n(n-1)(n+1) διαιρείται ακριβώς με το 3. Αυτό συμβαίνει γιατί An (α) αν ο n διαιρείται ακριβώς με το 3, και ο n(n-1)(n+1) διαιρείται ακριβώς με το 3. (β) Αν ο n διαιρούμενος με το 3 δίνει υπόλοιπο 1 τότε ο n-1 διαιρείται ακριβώς με το 3, οπότε και ο n(n-1)(n+1) διαιρείται ακριβώς με το 3. (γ) Αν ο n διαιρούμενος με το 3 δίνει υπόλοιπο 2 τότε ο n+1 διαιρείται ακριβώς με το 3, οπότε και ο n(n-1)(n+1) διαιρείται ακριβώς με το 3. Άρα ο n(n-1)(n+1) διαιρείται ακριβώς με το 3 και με το 4. 7. «Αν ο n είναι άρτιος και ο m περιττός, τότε ο n+m διαιρείται με το 3» Αντιπαράδειγμα: o 2 είναι άρτιος, ο 3 περιττός αλλά ο 5 δεν διαιρείται ακριβώς με το 3. 8. Αν ο n διαιρείται με το 3 τότε ο n 2-1 διαιρείται με το 4. Αντιπαράδειγμα: ο 6 διαιρείται με το 3 αλλά ο 6*6-1=35 δεν διαιρείται με το 4. 9. «Αν ο n 2-1 δεν διαιρείται με το 8 τότε ο n είναι άρτιος» Απόδειξη: Έστω ότι ο n 2-1 δεν διαιρείται με το 8 και ότι ο n είναι περιττός. Τότε n=2k+1 και n 2-1=(n-1)(n+1) = 2k(2k+2)=4k*k+4k=4k(k+1). O k(k+1) όμως είναι άρτιος γιατί είτε ο k είτε ο k+1 είναι άρτιος. Άρα ο n 2-1 = 4k(k+1) μπορεί να γραφεί ως 4*2m=8m και άρα διαιρείται με το 8 (άτοπο). Άρα, aν ο n 2-1 δεν διαιρείται με το 8 τότε ο n είναι άρτιος. 10. «Το άθροισμα δύο περιττών ακεραίων είναι άρτιος ακέραιος» Απόδειξη: (2k+1)+(2l+1)=2(k+l)+2 = 2(k+l+1) άρτιος. Άσκηση Φ3.39: Έστω η παρακάτω απόδειξη της πρότασης ότι «εάν n και m είναι δύο άρτιοι ακέραιοι αριθμοί, τότε ο m+n διαιρείται ακριβώς με το 4 : «Εφόσον ο n είναι ακέραιος, τότε υπάρχει κάποιος ακέραιος k τέτοιος ώστε n=2k. Επίσης, εφόσον ο m είναι ακέραιος, τότε υπάρχει κάποιος ακέραιος k τέτοιος ώστε m=2k. Επομένως, n+m=2k+2k=4k. Άρα, ο n+m διαιρείται με το 4». Από την άλλη, μπορούμε εύκολα να δούμε ότι ενώ ο 4 και ο 14 είναι άρτιοι ακέραιοι, το άθροισμά τους δεν διαιρείται ακριβώς με το 4. Επομένως, πρέπει να υπάρχει κάποιο λάθος στην παραπάνω «απόδειξη». Ποιό είναι το λάθος αυτό; Εξηγείστε την απάντησή σας. Λύση Άσκησης Φ3.39 Το σφάλμα είναι ότι ο ακέραιος k για τον οποίο ισχύει ότι n n=2k θεωρείται ίσος με τον ακέραιο για τον οποίο ο m είναι άρτιος. Με αυτόν τον τρόπο, οι ακέραιοι θεωρούνται ίσοι ενώ στην γενική περίπτωση δεν είναι. Η απόδειξη αυτή κάνει κατ ουσία εφαρμογή «καθολικής γενίκευσης» που δεν είναι ορθός κανόνας συμπερασμού. Άσκηση Φ3.40: Αποδείξτε ότι (1) Αν ο n 2 είναι άρτιος τότε και ο n είναι άρτιος. (2) Εάν ο 10 n -1 διαιρείται ακριβώς με το 9, τότε και ο 10 n+1-1 διαιρείται ακριβώς με το 9. (3) Για κάθε n>=9, εάν ο n είναι τέλειο τετράγωνο, τότε ο n-1 δεν είναι πρώτος αριθμός. (4) Αν ο n 2-1 διαιρείται ακριβώς με το 3, τότε ο n δεν διαιρείται ακριβώς με το 3. Λύση Άσκησης Φ3.40

(1) «Αν ο n 2 είναι άρτιος τότε και ο n είναι άρτιος.» Έστω ότι ο n 2 είναι άρτιος και ο n-περιττός. Τότε n 2 =(2k+1) 2 =4k 2 +4k+1=4k(k+1)+1 περιττός. Άρα αν ο n 2 είναι άρτιος τότε και ο n είναι άρτιος. (2) «Εάν ο 10 n -1 διαιρείται ακριβώς με το 9, τότε και ο 10 n+1-1 διαιρείται ακριβώς με το 9.» 10 n+1-1 = 10*10 n -1= 10(10 n -1)+9. Το 10 n -1 διαιρείται ακριβώς με το 9 άρα και το 10(10 n -1) διαιρείται ακριβώς με το 9. Επίσης, το 9 διαιρείται ακριβώς με το 9. Άρα και το 10(10 n -1)+9 = 10 n+1-1 διαιρείται ακριβώς με το 9. (3) «Για κάθε n 9, εάν ο n είναι τέλειο τετράγωνο, τότε ο n-1 δεν είναι πρώτος αριθμός.» Εάν ο n είναι τέλειο τετράγωνο, τότε n = m² για κάποιο ακέραιο m. Τότε, n - 1 = m² - 1 = (m - 1)(m + 1) Παρατηρούμε ότι ο n 1 γράφεται ως γινόμενο δύο ακεραίων, καθένας από τους οποίους είναι διαφορετικός της μονάδας εφόσον n 9. Επομένως, ο n - 1 δεν είναι πρώτος. (4) Αν ο n 2-1 διαιρείται ακριβώς με το 3, τότε ο n δεν διαιρείται ακριβώς με το 3. Έστω ότι ο n 2-1 διαιρείται ακριβώς με το 3 και ότι ο n διαιρείται ακριβώς με το 3. Τότε υπάρχει ακέραιος k τέτοιος ώστε n=3k και επομένως n 2-1 = 9k 2-1. Εφόσον ο 9k 2 διαιρείται ακριβώς με το 3, ο 9k 2-1 και επομένως και ο n 2-1 δεν διαιρείται ακριβώς με το 3. Αντίφαση! Επομένως, αν ο n 2-1 διαιρείται ακριβώς με το 3, τότε ο n δεν διαιρείται ακριβώς με το 3. Άσκηση Φ3.41: Αποδείξτε ότι ο log58 είναι άρρητος αριθμός. Λύση Άσκησης Φ3.41 Ας υποθέσουμε ότι ο log58 είναι ρητός. Τότε υπάρχουν ακέραιοι a και b τέτοιοι ώστε log58 = a/b. Αυτό σημαίνει ότι 8 = 5 a/b, δηλαδή ότι 8 b = 5 a Το αριστερό μέλος της ισότητας είναι άρτιος (το γινόμενο αρτίων είναι άρτιος), ενώ το δεξιό περιττός (το γινόμενο περιττών είναι περιττός). Άρα η ισότητα δεν μπορεί να ισχύει. Επομένως, ο log58 είναι άρρητος. Άσκηση Φ3.42: Ας ορίσουμε ως «παρέα» μία τριάδα ανθρώπων για τους οποίους ισχύει είτε ότι όλοι έχουν κάνει χειραψία με τους υπόλοιπους δύο, είτε κανείς δεν έχει κάνει χειραψία με κανέναν από τους άλλους δύο. Δείξτε ότι αναγκαστικά, σε ένα σύνολο 6 ανθρώπων υπάρχει «παρέα». Λύση Άσκησης Φ3.42 Χρησιμοποιούμε απόδειξη με περιπτώσεις. Έστω X ένας από τους 6 ανθρώπους. Υπάρχουν δύο δυνατότητες: 1. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία άτομα που έκαναν χειραψία με τον X. Τώρα υπάρχουν άλλες δύο υποπεριπτώσεις: (a) Ανάμεσα σε αυτούς τους 3, κάποιο ζευγάρι έκανε χειραψία. Τότε αυτοί οι 2 και ο Χ αποτελούν παρέα. (b) Μεταξύ αυτών των τριών κανένα ζεύγος δεν έκανε χειραψία. Tότε αυτοί οι 3 αποτελούν παρέα.

2. Υπάρχουν τουλάχιστον τρία άτομα που δεν έκαναν χειραψία με τον X. Σε αυτή την περίπτωση το πολύ δύο άτομα έκαναν χειραψία με τον Χ. Πάλι, υπάρχουν δύο υποπεριπτώσεις: (a) Ανάμεσα σε αυτούς τους 3, κάθε ζευγάρι έκανε χειραψία. Τότε αυτοί οι τρεις αποτελούν παρέα. (b) Ανάμεσα σε αυτούς τους 3, τουλάχιστον ένα ζευγάρι δεν έκανε χειραψία. Τότε αυτοί οι δύο και ο Χ αποτελούν παρέα. Άσκηση Φ3.43: Έστω x και y θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ο αριθμητικός μέσος των x και y ορίζεται ως ο (x+y)/2 και ο γεωμετρικός μέσος ως ο (xy) 1/2. Αποδείξτε ότι ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός μέσος συμπίπτουν αν και μόνο αν x=y. Λύση Άσκησης Φ3.43 x+ y = xy 2 x+ y = xy 2 + + = 2 2 2 x 2xy y 4xy 2 2 + = x 2xy y 0 x y = 2 ( ) 0 x y = 0 x = y Άσκηση Φ3.44: Κάποιος ιδιόρρυθμος δικαστής ρωτήθηκε κατά πόσον ο κατηγορούμενος Α είναι ένοχος. Εκείνος απάντησε ότι και οι τρεις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς: (i) O A είναι αθώος ή ο Β είναι ένοχος (ii) Ο B είναι αθώος ή ο Γ είναι αθώος. (iii) Εάν ο Α είναι ένοχος, τότε οι Β και Γ είναι και οι δύο ένοχοι Θεωρώντας δεδομένο ότι ο δικαστής λέει την αλήθεια, ο Α είναι τελικά αθώος ή ένοχος; Δικαιολογείστε την απάντησή σας Λύση Άσκησης Φ3.44 Έστω Α η πρόταση «Ο Α είναι ένοχος», Β η πρόταση «Ο Β είναι ένοχος» και Γ η πρόταση «ο Γ είναι ένοχος». Τότε ο δικαστής μας διαβεβαιώνει ότι και οι τρεις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς: 1. Α Β

2. Β Γ 3. Α Β Γ. Από την (3) προκύπτει ότι η Α (Β Γ) είναι αληθής Άρα η Α ( Β Γ) είναι αληθής Άρα εξαιτίας της (2) η Α Τ είναι αληθής Άρα η Α F είναι αληθής Άρα η Α είναι αληθής Άρα η Α είναι ψευδής. Άρα ο Α είναι αθώος. Άσκηση Φ3.45 Δείξτε χρησιμοποιώντας κανόνες εξαγωγής συμπερασμάτων ότι αν ισχύει ότι xp( x)τότε ισχύει ότι xp(x) Δείξτε ότι οι προϋποθέσεις xp( x)και x(p(x)q(x)) οδηγούν στο συμπέρασμα ότι x Q(x). Λύση Άσκησης Φ3.45 xp(x) Άρα P(O) για κάποια σταθερά Ο (καθολική συγκεκριμενοποίηση) Άρα xp(x) (υπαρξιακή γενίκευση) Άλλος τρόπος Έστω ότι ισχύει xp(x) και δεν ισχύει xp(x) δηλαδή x P(x) x P(x) το οποίο είναι αντίφαση γιατί ξέρουμε από την υπόθεση ότι ισχύει x P(x). Άρα αν ισχύει x P(x) τότε ισχύει ότι x P(x) 2. xp(x) Επομένως P(O) για κάποια σταθερά Ο Εφόσον ισχύει x (P(x) Q(x)) θα ισχύει και ότι P( Ο) Q(Ο) Και επειδή ισχύει P( Ο), θα ισχύει (modus ponens) Q(Ο) Άρα xq(x) Άσκηση Φ3.46 Αποδείξτε χρησιμοποιώντας περιπτώσεις ότι εάν., K R, τότε x+ y = min( x, y) + max( x, y). Λύση Άσκησης Φ3.46 1η περίπτωση: x > y με x,y R αφού x > y τότε: x + y = min(x,y! RSTSU άρα x + y = y + x κάτι που ισχύει V + max(x,y! RSTSU W

2η περίπτωση: x < y με x,y R αφού x < y tότε: x + y = min(x,y! RSTSU άρα x + y = x + y κάτι που ισχύει W + max(x,y! RSTSU V 3η περίπτωση: x = y με x,y R αφού x = y τότε: x + y RTU WYW άρα x + x = min(x,x! RSTSU W = min(x,y! RSTSU Z[\(W,W! + max(x,x! RSTSU W + max(x,y! RSTSU Z]W(W,W! κάτι που ισχύει Άσκηση Φ3.47 (α) Αποδείξτε ότι ένας ακέραιος n είναι περιττός αν και μόνο αν ο 7n+8 είναι περιττός (β) Έστω ότι ^ Z. Αποδείξτε ότι εάν ο 6 ; 26 + 7 είναι άρτιος, τότε ο αείναι περιττός. Λύση Άσκησης Φ3.47 Για να αποδείξουμε την πρόταση, πρέπει να αποδείξουμε και το ευθύ και το αντίστροφο. Ευθύ: αν ο n είναι περιττός τότε: 7n + 8 = 7(2k + 1! + 8 = 14k + 15 = 2(7k RSTSU + 7! + 1που είναι περιττός άρα ισχύει. Αντίστροφο: Για να αποδείξουμε ότι αν 7n+8 είναι περιττός τότε και ο n περιττός αρκεί να αποδείξουμε ότι αν ο n είναι άρτιος τότε ο 7n+8 είναι άρτιος (έμμεση απόδειξη q p p q) αν ο n είναι άρτιος τότε: 7n + 8 = 7(2k! + 8 = 14k + 8 = 2(7k RSTSU + 4! είναι άρτιος άρα ισχύει. c c Για να αποδείξουμε ότι αν ο a ; 2a + 7 είναι άρτιος τότε ο α είναι περιττός, αρκεί να αποδείξουμε ότι αν ο α είναι άρτιος το ο a ; 2a + 7 είναι περιττός. Αν ο a άρτιος τότε a ; 2a + 7 = (2κ! ; 2(2k! + 7 = 4k ; 4k + 7 = 2(2k RSSSSTSSSSU ; 2k + 3! + 1 c είναι περιττός άρα ισχύει. Άσκηση Φ3.48 Αποδείξτε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει ότι x+ y + x y x + y.

Λύση Άσκησης Φ3.48 1 η περίπτωση x>0, y>0. Τότε x =., y = K και x + y =. + K Επομένως: x + y + x y x + y x + y + x y x + y x y 0 πράγμα που ισχύει 2 η περίπτωση x<0, y<0. Τότε x =., y = K και x + y =. + K Επομένως : x + y + x y x + y x + y + x y x + y x y 0 πράγμα που ισχύει 3 η περίπτωση x<0, y>0, ή x>0, y<0. Τότε x y =. + K Πάλι η αρχική σχέση οδηγεί στο ότι μία απόλυτη τιμή είναι μεγαλύτερη ή ίση του 0, πράγμα που ισχύει. Εύκολα αποδεικνύεται επίσης η πρόταση αν κάποιος από τους x και y είναι ίσος με το μηδέν. Άσκηση Φ3.49 Αποδείξτε ότι για κάθε ακέραιο n, o 4(n 2 + n +1) 3n 2 είναι τέλειο τετράγωνο. Λύση Άσκησης Φ3.49 4(n 2 +n+1)-3n 2 = 4n 2 +4n+4-3n 2 = n 2 +4n+4 = (n+2) 2 Άσκηση Φ3.50 Αποδείξτε ότι για ακεραίους n,k,m αν ο n δεν διαιρεί ακριβώς τον k*m, τότε ο n δεν διαιρεί ακριβώς τον k. Λύση Άσκησης Φ3.50 Αρκεί να αποδείξουμε την αντιστροφοαντίθετη αυτής της πρότασης, η οποία είναι ότι «για ακέραιους n,k,m αν ο n διαιρεί ακριβώς τον k τότε διαιρεί ακριβώς τον k*m». Πράγματι, εφόσον ο n διαιρεί τον k, υπάρχει ακέραιος αριθμός. Z τέτοιος ώστε : j =. l. Ο j m γράφεται j m =. l m = l (. m! και εφόσον.,m Z, υπάρχει ακέραιος K =. m τέτοιος ώστε j m = l K, δηλαδή ο n διαιρεί τον j m. Άσκηση Φ3.51 Έστω ακέραιοι a,b. Αποδείξτε ότι αν ο 4 διαιρεί ακέραια το 6 ; + n ; τότε οι a,b δεν είναι και οι δύο περιττοί. Λύση Άσκησης Φ3.51 Το γεγονός ότι 4 (^; + n ;! σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος m τέτοιος ώστε 6 ; + n ; = 4m. Έστω τώρα ότι οι a,b είναι και οι δύο περιττοί (^ = 2j + 1,n = 2l + 1! Τότε, ^; + n ; = 4m => (2j + 1! ; + (2l + 1! ; = 4m => = 4(j ; + j + l ; + l!+ 2 = 4m =2(j ; + j + l ; + l! + 1 = 2m (1)

Στη σχέση (1), ένας περιττός αριθμός (αριστερό μέλος) είναι ίσος με ένα άρτιο αριθμό (δεξιό μέλος). Αυτό είναι άτοπο. Επομένως, οι a,b δεν μπορεί να είναι και οι δύο περιττοί. Άσκηση Φ3.52 Αποδείξτε ότι για όλους τους θετικούς ακεραίους a, b, ισχύει ότι a b 2 2 1. Λύση Άσκησης Φ3.52 2 2 α. Έστω a=b. Τότε a b = 0 1. β. Έστω a>b Τότε λ, λ>0 τέτοιο που a+λ=b. Εφόσον a,b ακέραιοι, λ>1 Άρα 2 2 2 2 2 2 2 2 a b = ( b+ λ) b = b + 2λb+ λ b = 2λb+ λ > 1 γ. Έστω a<b. Τότε a b 2 2 < 0 1. Άσκηση Φ3.53 Αποδείξτε με απαγωγή σε άτοπο ότι για κάθε πραγματικό αριθμό x ϵ[0, π/2], ισχύει ότι sin x + cos x 1 Λύση Άσκησης Φ3.53 Έστω ότι sinx + cosx < 1, xϵ[0,π/2]. Αφού sinx, cosx 0 τότε (sinx + cosx) 2 <1 2 => sin 2 x + 2sinxcosx + cos 2 x < 1 => 2sinxcosx + 1 < 1 => 2sinxcosx < 0, Άτοπο καθώς sinx, cosx 0 Άσκηση Φ3.54 Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n αν ο n είναι τέτοιος ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 4 να είναι 2 ή 3, τότε ο n δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Λύση Άσκησης Φ3.54 Έστω ότι ο n είναι τέλειο τετράγωνο. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ακέραιος k τέτοιος ώστε n=k*k. Έστω ότι ο k είναι άρτιος. Τότε, n=k*k=2λ*2λ = 4λ 2 και επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 4 είναι 0. Έστω ότι ο k είναι περιττός. Τότε, n=(2λ+1)(2λ+1)= 4λ 2 + 4λ + 1 = 4λ(λ+1) +1 και επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το 4 είναι 1. Άσκηση Φ3.55 Χρησιμοποιώντας επαγωγή, αποδείξτε ότι ο 4 n +15n - 1 διαιρείται ακριβώς με το 9, για κάθε nϵn, n 1

Λύση Άσκησης Φ3.55 Για n=1, 4 + 15 1 1 = 18, που διαιρείται ακριβώς με το 9. Έστω ότι ισχύει και για n=k, δηλαδή ο 4k + 15k 1 διαιρείται ακριβώς με το 9. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για k+1, δηλαδή ο 4 k+1 + 15(k+1) 1 διαιρείται ακριβώς με το 9. 4 k+1 + 15(k+1) 1 = 4 κ 4 + 15k + 15 1 = 3 4 k + 15 + (4 k + 15k 1). O 4 k + 15k 1 διαιρείται ακριβώς με το 9 λόγω επαγωγικής υπόθεσης άρα αρκεί να δείξουμε ότι και ο 3 4 k + 15 διαιρείται ακριβώς με το 9. Για k=1, 3 4 + 15 = 27, που διαιρείται ακριβώς με το 9. Έστω ότι ισχύει και για k=μ, δηλαδή ο 3 4 μ + 15 διαιρείται ακριβώς με το 9. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για μ+1, δηλαδή ο 3 4 μ+1 + 15 διαιρείται ακριβώς με το 9. 3 4 μ+1 + 15 = 3 4 μ 4 + 15 = 3 4 μ 4 + 60 45 =4(3 4 μ + 15) 45, ο πρώτος όρος είναι πολ/σιο του 9 λόγω επαγωγικής υπόθεσης, ο δεύτερος είναι πολ/σιο του 9 άρα και ο 3 4 μ+1 + 15. Οπότε και ο 3 4 k + 15 + (4 k + 15k 1) διαιρείται ακριβώς με το 9 άρα το ζητούμενο αποδείχτηκε. Άσκηση Φ3.56 Αποδείξτε επαγωγικά ότι για κάθε n ϵ N, n 0, 1 1! + 2 2! + + n n! = (n+1)! 1. Λύση Άσκησης Φ3.56 Για n=0, 0 0! = 1! 1 = 0, ισχύει Έστω ότι ισχύει για n=k, δηλαδή 1 1! + +k k! = (k + 1)! 1 Θα δείξουμε ότι ισχύει και για k+1, δηλαδή 1 1! + +k k! + (k+1)(k+1)! = (k + 1 + 1)! 1 1 1! + 2 2! + +k k! + (k+1)(k+1)! = (k + 1)! 1 + (k+1)(k+1)! = (k+1)! (1 + k + 1) 1 = (k+1)! (k + 2) 1 = (k + 2)! 1 Άσκηση Φ3.57 1. Αποδείξτε επαγωγικά ότι n 1, (n N), ισχύει ότι ο n 3 -n διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό 3. 2. Αποδείξτε την ίδια πρόταση με αυτή του προηγούμενου ερωτήματος, χωρίς να κάνετε χρήση επαγωγής. Λύση Άσκησης Φ3.57 1. (Επαγωγική απόδειξη) Για n=1, n 3 -n = 1-1 = 0, διαιρείται ακέραια με το 3. Έστω ότι ο k 3 -k = 3z για κάποιο ακέραιο z Θα δείξω ότι (k+1) 3 -(k+1) = 3μ για κάποιο ακέραιο μ Πράγματι (k+1) 3 -(k+1) = k 3 +3k 2 +3k+1-k-1= 3k 2 +3k+ k 3 -k=3(k 2 +k)+3z=3m+3z=3(m+z) ο.ε.δ

2. (Mη επαγωγική απόδειξη) k 3 -k=k(k 2-1)=k(k-1)(k+1) O αριθμός εκφράζεται σαν το γινόμενο τριών διαδοχικών ακεραίων εκ των οποίων ο ένας είναι οπωσδήποτε πολλαπλάσιο του 3, άρα κι αυτός είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 3 Άσκηση Φ3.58 Αποδείξτε ότι ο 23 o 1 διαιρείται ακριβώς από το 11 για κάθε θετικό ακέραιο n. Λύση Άσκησης Φ3.58 23 n -1, n Є Z, n>0 n=1: 23 1-1=22, όπου 11 22. Έστω 11 (23 k -1) k Є Z+. Θα δείξω ότι 11 (23 k+1-1) Πράγματι, 23 κ+1-1 = 23 k * 23-1 = 22*23 k + 23 k -1. Από υπόθεση, 11 23 k-1. Επίσης, είναι προφανές ότι 11 23 k *22, καθώς το 22 είναι πολλαπλάσιό του. Επομένως, για κάθε ακέραιο n>0 ισχύει : 11 (23 n -1). Άσκηση Φ3.59 Αποδείξτε επαγωγικά ότι n 1 (n N), ισχύει: n(3n 1) 1+ 4+ 7 +... + (3n 2) = 2 Λύση Άσκησης Φ3.59 Η πρόταση P(1) ισχύει επειδή 1 = 1*(3*1-1)/2 Έστω ότι ισχύει η πρόταση P(n) δηλαδή ότι n(3n 1) 1+ 4+ 7 +... + (3n 2) = 2 Πρέπει να δείξουμε την P(n+1) δηλαδή ότι ( n+ 1)[3( n+ 1) 1)] 1+ 4+ 7 +... + (3n 2) + [3( n+ 1) 2] = Πράγματι (n+1)[3(n+1)-1]/2 = = [3(n+1) 2 (n+1)]/2 =[3(n 2 +2n+1) (n+1)]/2 =(3n 2 + 6n + 3 n - 1)/2 = (3n 2 n)/2 + (6n+2)/2 = n(3n-1)/2 + (3n+1) = 1+4+7+ +(3n-2) + (3n+1) = 1+4+7+(3n-2) + [3(n+1)-2] ο.ε.δ 2

Άσκηση Φ3.60 Αποδείξτε επαγωγικά ότι για κάθε n>1, n N n! < n Λύση Άσκησης Φ3.60 Για n=2 (n>1) ισχύει (2!<2 2 2<4) Έστω ότι ισχύει για n=k, οπότε k! < k k Θέλω να αποδείξω ότι ισχύει για n=k+1, δηλαδή ότι (k+1)!<(k+1) k+1 k N k<k+1 k k <(k+1) k (k+1) k k <(k+1) (k+1) k (1) Από υπόθεση k! < k k ( k+1)k!<(k+1) k k <(k+1) (k+1) k (από (1)) (k+1)!< (k+1) k+1 ο.εδ. n Άσκηση Φ3.61 Για όλα τα πεπερασμένα σύνολα A, εάν A =n τότε P(A) = 2 n. Λύση άσκησης Φ3.61 Βάση επαγωγής: Εάν A =0 τότε P(A) = 2 0 =1. Υποθέτουμε ότι για κάθε σύνολο A τέτοιο ώστε A =n, ισχύει ότι P(A) = 2 n Έστω τώρα οποιοδήποτε σύνολο B τέτοιο ώστε B =n+1. Πρέπει να δείξουμε ότι: P(B) =2 n+1 Αν Β={α1, α2,α3,...,αn,αn+1}={α1, α2,α3,...,αn} ( αn+1}=α { αn+1} Το P(B) έχει στοιχεία όλα τα στοιχεία του P(A) συν αυτά που προκύπτουν αν σε όλα τα στοιχεία του P(A) προσθέσουμε το αn+1. Συνεπώς προκύπτουν ακόμη P(A) στοιχεία Άρα P(B) =2 P(A) =2*2 n =2 n+1 Άσκηση Φ3.62 Με βάση την τριγωνική ανισότητα, για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x και y ισχύει ότι x+ y x + y. Αποδείξτε με επαγωγή ότι για κάθε n>2, x + x +... + x x + x +... + x 1 2 n 1 2 n Λύση άσκησης Φ3.62 Για n=2 ισχύει εφόσον x1 + x2 x1 + x2 (από την τριγωνική ανισότητα). Έστω ότι η πρόταση ισχύει για n=k, δηλαδή, x + x +... + x x + x +... + x 1 2 k 1 2 k Θα δείξω ότι ισχύει για n=k+1, δηλαδή ότι x1 + x2 +... + xk + xk+ 1 x1 + x2 +... + xk + xk+ 1. Πράγματι,

x + x +... + x + x = ( x + x +... + x ) + x x + x +... + x + x 1 2 k k+ 1 1 2 k k+ 1 1 2 k k+ 1 x + x +... + x + x 1 2 k k+ 1 Άσκηση Φ3.63 Δείξτε με επαγωγή ότι για κάθε n>0 και για x y, ο x n -y n διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό x-y. Λύση Άσκησης Φ3.63 Για n=1, x n -y n = x-y, ο οποίος διαιρείται με το x-y. Έστω ότι η πρόταση ισχύει για n=k, δηλαδή έστω ότι o x k -y k διαιρείται με το x-y. Θα δείξω ότι τότε, και ο x k+1 -y k+1 διαιρείται ακριβώς από τον αριθμό x-y. Πράγματι, x k+1 -y k+1 = xx k -yy k = xx k -yy k + xy k -xy k = x(x k -y k )+(x-y)y k Όμως το x(x k -y k ) διαιρείται με το x-y γιατί το x k -y k διαιρείται με το x-y. Επίσης, το (x-y)y k διαιρείται με το x-y. Επομένως, το x(x k -y k )+(x-y)y k διαιρείται με το x-y, κι επομένως και το x k+1 -y k+1 διαιρείται με το x-y. Άσκηση Φ3.64: Δείξτε ότι για κάθε n>0, ο 133 διαιρεί ακριβώς τον 11 (n+1) +12 (2n-1) Λύση Άσκησης Φ3.64 Για n=1, 11 (n+1) +12 (2n-1) = 11 2 +12 = 121+12=133, ο οποίος διαιρείται ακριβώς από τον 133. Έστω ότι ο 133 διαιρεί ακριβώς τον 11 (k+1) +12 (2k-1), δηλαδή έστω ότι 11 (k+1) +12 (2k-1) = 133λ για κάποιο ακέραιο λ. Θα δείξω ότι η πρόταση ισχύει και n=k+1, δηλαδή ότι ο 11 (k+1+1) +12 2(k+1)-1 διαιρείται από τον 133. Πράγματι, 11 (k+1+1) +12 2(k+1)-1 = 11 k+2 +12 2k+1 = 11*11 k+1 +144*12 2k-1 = 11*11 k+1 +133*12 2k-1 +11*12 2k-1 = 11*(11 k+1 +12 2k-1 )+ 133*12 2k-1 = 11*133λ + 133*12 2k-1 = 133*(11λ+12 2k-1 ), το οποίο διαιρείται με το 133. Άσκηση Φ3.65:

Αποδείξτε ότι για όλους τους ακεραίους n 1, Λύση Άσκησης Φ3.65 Βασικό βήμα - για n = 1: 3 1(1 + 1) 1 = = 1 (ισχύει). 2 3 3 3 3 k( k + 1) Υποθέτω ότι 1 + 2 + 3 +... + k = 2 2 2 3 3 3 3 n( n+ 1) 1 + 2 + 3 +... + n =. 2 3 3 3 3 3 ( k + 1)( k + 2) Θα δείξουμε ότι ισχύει ότι 1 + 2 + 3 +... + k + ( k + 1) = 2 Έχουμε : 2 3 3 3 3 3 k( k + 1) 3 1 + 2 + 3 +... + k + ( k + 1) = + ( k + 1) = 2 2 2 2 2 3 k ( k + 1) 3 k ( k + 1) + 4( k + 1) + ( k + 1) = = 4 4 2 2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2) k + k + k + k + = 4 2 2 2 2 Επομένως, αποδείξαμε ότι 3 3 3 3 n( n+ 1) n 1,1 + 2 + 3 +... + n = 2 2 Άσκηση Φ3.66: Αποδείξτε ότι εάν x 1, τότε n 0, n i= 0 x i = n+ 1 x 1 x 1 Λύση Άσκησης Φ3.66 x 1 (ι) Βασικό βήμα: Για n=0, ισχύει γιατί η σχέση δίνει 1=, το οποίο ισχύει. x 1 (ιι) Έστω ότι η πρόταση ισχύει για n = k, δηλαδή ότι ισχύει: Θα δείξουμε ότι ισχύει για n = k + 1. Πράγματι: k+ 1 k k+ 1 k+ 1 k+ 2 i i k+ 1 x 1 k+ 1 x 1 k+ 1 x 1 x 1 x = x + x = + x = + x = x 1 x 1 x 1 x 1 i= 0 i= 0 k i= 0 x i = k+ 1 x 1 x 1

Άσκηση Φ3.67 n n! Έστω ότι n, r N, n r, =. Η φόρμουλα του Pascal λέει ότι r r!( n r)! n n 1 n 1 = +. Χρησιμοποιείστε τη προκειμένου να αποδείξετε ότι n 5, r r r 1 n j n+ 1 = j= 5 5 6 Λύση Άσκησης Φ3.67 (ι) Βασικό βήμα: Για n=5 ισχύει, εφόσον 5 j 5 6 5+ 1 = = 1= = j= 5 5 5 6 6 (ιι) Έστω ότι ισχύει ότι: k j k + 1 = j= 5 5 6 (iii) Θα πρέπει να δείξουμε ότι: k+ 1 j ( k + 1) + 1 = j= 5 5 6 Πράγματι, k+ 1 k j j k + 1 k + 1 k + 1 k + 2 ( k + 1) + 1 j= 5 5 = + = + = = j= 5 5 5 6 5 6 6 Άσκηση Φ3.68: Αποδείξτε χρησιμοποιώντας μαθηματική επαγωγή ότι για κάθε ακέραιο n 1, ο ακέραιος 3 2 2n + 3n + n διαιρείται ακριβώς με το 6. Λύση Άσκησης Φ3.68 3 2 Βάση της επαγωγής: Για n = 1, 2n + 3n + n = 2+ 3+ 1= 6, το οποίο διαιρείται ακριβώς με το 6. Άρα ισχύει. 3 2 Έστω ότι ο 2k + 3k + k διαιρείται ακριβώς με το 6. 3 2 Θα αποδείξω ότι ο 2( k + 1) + 3( k + 1) + ( k + 1) διαιρείται ακριβώς με το 6. Πράγματι,

3 2 2( 1) 3( 1) ( 1) k + + k + + k + = 3 2 2 2 2( 3 3 1) 3( 2 1) ( 1) k + k + k + + k + k + + k + = 3 2 2 2 6 6 2 3 6 3 1 k + k + k + + k + k + + k + = 3 2 2 9 13 6 k + k + k + = 3 2 2 (2 3 ) (6 12 6) k + k + k + k + k + = 3 2 2 (2 + 3 + ) + 6( + 2 + 1) k k k k k Στην τελευταία σχέση, ο πρώτος όρος διαιρείται ακριβώς με το 6 (από την επαγωγική υπόθεση) και ο δεύτερος επίσης (εφόσον γράφεται ως γινόμενο του 6 με κάποιο ακέραιο). 3 2 Επομένως ο 2( k + 1) + 3( k + 1) + ( k + 1) διαιρείται ακριβώς με το 6, πράγμα που ολοκληρώνει την απόδειξη του βήματος της επαγωγής και την επαγωγική απόδειξη. Άσκηση Φ3.69 n 1 n( n+ 1)( n 1) Αποδείξτε ότι για όλους τους ακεραίους n 2, i( i+ 1) =. i= 1 3 Λύση άσκησης Φ3.69 \r: : Για n = 2 έχουμε: [s: i(i + 1! = [s: i(i + 1! = 1 2 = 2 (1) = ;(;Y:!(;r:! = 2 (2) και \(\Y:!(\r:! t t \r: [s: = ; t : t από (1) κ (2) ισχύει και i(i + 1! ur: Έστω ότι για n = k ισχύει [s: i(i + 1! = \(\Y:!(\r:! t = u(uy:!(ur:! t u [s: για n = 2 (3) τότε για n = k + 1 αρκεί να αποδείξουμε i(i + 1! = uy:(uy;!u : t u [s: i(i + 1! = 1(1 RSSSSSSSSSSSSSSTSSSSSSSSSSSSSSU + 1! + 2(2 + 1! + + (k 1!(k 1+ 1! ur: = i(i + 1! [s: + k(k + 1! + k(k + 1! = u(uy:!(ur:! t = u(uy:!(ur:!ytu(uy:! t = (tyur:!u(uy:! t (4) = u(uy:!(uy;! t άρα ισχύει και για n = k + 1 wxy z{y [([Y:! \r: από (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι [s: i(i + 1! = \(\Y:!(\r:! t + k(k + 1! = ισχύει για n 2 Άσκηση Φ3.70 Αποδείξτε ότι για όλους τους ακεραίους n 0, Λύση άσκησης Φ3.70 n+ 1 i= 1 i n+ 2 2 i = 2 n+ 2.

[s\y: Για n = 0 έχουμε: [s: 2 [ i = 2 (1) και 2 \Y; n + 2 = 2 ; 0 + 2 = 2 (2) [s\y: από (1) και (2) ισχύει και [s: 2 [ i = 2 \Y; n + 2 για n = 0 (3) [suy: Έστω ότι για n = k ισχύει [s: 2 [ i = 2 uy; k + 2 [suy:y: τότε για n = k + 1 αρκεί να αποδείξουμε [s: 2 [ i = 2 uy:y; (k + 1! + 2: [suy; [s: 2 [ i = 2 RSSSSSSSSSSTSSSSSSSSSSU : 1 + 2 ; 2 + + 2 uy: (k + 1! + 2 uy; (k + 2! = z{w y z{y ; z [ = 2 uy; k + 2+ 2 uy; (k + 2! = 2 uy; (k + k + 2! + 2 = 2 uy; (2k + 2! + 2 = 2 2 uy; (k + 1! + 2 = 2 uyt (k + 1! + 2 (4) άρα ισχύει και για n = k + 1 [s\y: από (3) και (4) συμπεραίνουμε ότι [s: 2 [ i = 2 \Y; k + 2 ισχύει για n 0 Άσκηση Φ3.71 Έστω a, b θετικοί ακέραιοι. Δείξτε ότι αν ο a και b είναι περιττός. a + b είναι περιττός τότε ακριβώς ένας από τους 3 3 Λύση άσκησης Φ3.71 Αρκεί να δείξω την αντιστροφοαντίθετη της, δηλαδή ότι «εάν δεν είναι ακριβώς ένας από τους 3 3 a και b περιττός, τότε ο a + b είναι άρτιος». Η υπόθεση της τελευταίας πρότασης αντιστοιχεί σε δύο περιπτώσεις (ι) κανένας από τους a και b να μην είναι περιττός (και οι δύο άρτιοι) και (ιι) και οι δύο να είναι περιττοί. 3 3 3 3 3 3 3 3 (ι) Αν και οι δύο είναι άρτιοι τότε a + b = (2 κ ) + (2 λ) = 8κ + 8λ = 8( κ + λ ), ο οποίος είναι άρτιος (ο.ε.δ.). (ιι) Αν και οι δύο είναι περιττοί τότε 3 3 3 3 a + b = (2κ + 1) + (2λ + 1) = 3 2 3 2 8 6 6 1 6 6 6 1 κ + κ + κ + + λ + λ + λ + = 3 3 2 2 8( ) 6( ) 2 κ + λ + κ + λ + κ + λ + = 3 3 2 2 ( κ + λ + κ + λ + κ + λ + ) 2 4( ) 3( ) 1 ο οποίος είναι άρτιος (ο.ε.δ.). Προφανώς, υπάρχουν και άλλοι τρόποι απόδειξης. Άσκηση Φ3.72 2 2 3 3 3 ( n+ 1) n Αποδείξτε επαγωγικά ότι l N,l > 0 ισχύει ότι 1 + 2 +... + n =. 4 Λύση άσκησης Φ3.72 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 2 (1+ 1) 1 ( n+ 1) n Για n = 1, ισχύει ότι 1 + 2 +... + n = 1 = 1= = = =, ισχύει. 4 4 4 4