ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων εξέτασης προόδου στο μάθημα «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Θέμα. (μονάδες.0) Οι ορίζουσες των πινάκων ABC,, βρεθούν οι ορίζουσες των πινάκων: 8 8 Ηράκλειο, 9 Νοεμβρίου 009 είναι det A = 5, det B =, det C = 0. Να A, A, 5 B, AB C, ( A ) T B det( A) = det( A) = ( ) deta= deta= 5 8 8 8 det( A) = ( ) det A= ( 5) = 80 5 5 5 det( B ) = (det B) = = det( AB C) = (det A)(det B )(det C) = 0 T 8 T 8 T det ( A ) B = ( ) det ( A ) ( B ) = ( ) det ( A ) det ( B ) = 8 8 8 A B det A det B 5 5 = ( ) det( ) det( ) = ( ) = ( ) = Θέμα. (μονάδες.0) Εξετάστε αν υπάρχουν οι αντίστροφοι των παρακάτω πινάκων και βρείτε τους, εφόσον υπάρχουν: 6 A = 5 4, B = 4 8 det A = ( )4 ( 5) = 0 και άρα ο A είναι αντιστρέψιμος. Από το γεγονός ότι a b ένας πίνακας της μορφής A = c d με det A 0 έχει αντίστροφο τον d b 4 A = det A c a συμπεραίνουμε ότι A = 5 δηλ. A = 5/ / Για τον πίνακα B έχουμε: det B = ( )( 8) (4)6 = 0 και άρα δεν υπάρχει ο B
Θέμα. (μονάδες.0) Δίνεται ο τετραγωνικός πίνακας Α για τον οποίο ισχύει ότι A 6A + 4A+ I = O. Δείξτε ότι υπάρχει ο A και γράψτε τον ως συνάρτηση του Α και του Ι. Έχουμε: A 6A + 4A+ I = O A 6A + 4A= I A + A A= I A A + A I = I αλλά και A + A I Α = I δηλαδή, ο πίνακας Β = A + A I ικανοποιεί τις σχέσεις: ΑΒ = ΒΑ = Ι. Άρα, από τον ορισμό του αντιστρόφου, προκύπτει ότι ο Α είναι αντιστρέψιμος και Α = Β, δηλαδή: Α = A + A I Θέμα 4. (μονάδες.8) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε την ορίζουσα του παρακάτω πίνακα συναρτήσει της παραμέτρου λ 0 λ A = 5 9 β) [μονάδες: 0.] Για ποιες τιμές της παραμέτρου λ ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος γ) [μονάδες:.0] Επιλέξτε στην τύχη μια από τις τιμές του λ που βρήκατε στο ερώτημα (β), και υπολογίστε τον αντίστροφο του A γι αυτήν την τιμή. δ) [μονάδες: 0.5] Χρησιμοποιήστε την τιμή του λ που επιλέξατε στο ερώτημα (γ) και βρείτε τη λύση του συστήματος Ax = b, όπου b = (,,5). ε) [μονάδες:.] Εφαρμόστε απαλοιφή Gauss για να λύσετε το σύστημα Ax = b, όπου b = (,,5), για τις τιμές (ή τιμή) του λ για τις οποίες (ή οποία) ο A είναι μηαντιστρέψιμος. (Σημείωση: να διακρίνετε τις βασικές μεταβλητές και τις ελεύθερες μεταβλητές πριν κάνετε ανάδρομη αντικατάσταση). Ποια είναι η λύση του αντίστοιχου ομογενούς συστήματος Ax = 0
0 λ λ λ α) det A = 5 = = ( 9 + 9 λ) (6 5 λ) = 9 5 9 = 9 9λ + 0λ = λ β) Ο A είναι αντιστρέψιμος αν και μόνο αν det A 0 δηλ. ανν λ γ) Επιλέγω στην τύχη ένα πραγματικό αριθμό λ. Έστω λ = Εφαρμόζοντας τη διαδικασία απαλοιφής Gauss-Jordan έχουμε: 0 0 0 = 5 0 0 9 0 0 [ A I ] εναλλαγή 5 0 0 0 0 0 9 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 ( /) 5 0 0 0 0 0 0 0 / / ( /) ( ) Επομένως: 5 0 5 0 0 / / ( 5/) 0 0 / / 0 0 / 0 / 0 0 / / / 0 0 / / / 0 0 / 0 / 0 0 / / = I A 0 0 / / / 0 / / / / / A = δ) Αφού det A 0, το σύστημα Ax = b θα έχει μοναδική λύση τη x = A b, δηλαδή 9 5 / 0 / 7 5 x / / = x = + x = / / 5 0 5 6 +
0 ε) Για λ =, έχουμε: A 5 =. Για να βρούμε τη λύση του Ax = b 9 εφαρμόζουμε απαλοιφή Gauss: 0 Ab = 5 9 5 5 0 9 5 εναλλαγή 5 0 ( /) 0 5 0 = U d 0 0 0 0 5 x Ax = b Ux = d 0 y= 0 0 0 z 0 Βασικές μεταβλητές: x, y (αντιστοιχούν στις στήλες του U που έχουν τους οδηγούς) Ελεύθερη μεταβλητή: z (αντιστοιχούν στις στήλες του U που δεν έχουν οδηγούς) Ανάδρομη αντικατάσταση: η εξίσωση: 0x + 0y+ 0z = 0 που ισχύει ( xyz,, ) η εξίσωση: y+ z = y = z η εξίσωση: x + 5y+ z = x+ 5( z) + z = x = 7 + z Άρα, το Ax = b γράφεται και ως: έχει άπειρες λύσεις της μορφής: 7 x = + z 0 γενική λύση του Ax= 0, με z 7+ z x = z, με z, η οποία z Από τη μορφή αυτή προκύπτει ότι το αντίστοιχο ομογενές σύστημα Ax = 0 άπειρες λύσεις της μορφής: x = z, με z έχει
Θέμα 5. (μονάδες.0) 8 8 Η ορίζουσα ενός πίνακα A είναι det A = 7. Απαντήστε στα παρακάτω αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας: α) [μονάδες: 0.4] Ποια είναι η τάξη του πίνακα β) [μονάδες: 0.4] Πόσες μη-μηδενικές γραμμές θα έχει ο κλιμακωτός πίνακας U που προκύπτει από τον A κάνοντας απαλοιφές μεταξύ γραμμών γ) [μονάδες: 0.4] Πόσες βασικές και πόσες ελεύθερες μεταβλητές θα έχετε σε ένα τυχαίο συγκεκριμένο σύστημα Ax = b δ) [μονάδες: 0.4] Πόσες λύσεις θα έχει ένα τυχαίο συγκεκριμένο σύστημα Ax = b, με b 0 ε) [μονάδες: 0.4] Να λυθεί το ομογενές σύστημα Ax = 0 α) Επειδή ο A είναι τετραγωνικός, έχουμε: det A 0 ανν ra ( ) = n(όπου n το πλήθος στηλών του A). Άρα: ra= ( ) 8 β) Επειδή ra= ( ) [πλήθος μη-μηδενικών γραμμών του U ], ο U θα έχει 8 μη-μηδενικές γραμμές γ) Έχουμε: [πλήθος βασικών μεταβλητών] = ra ( ) και [πλήθος ελεύθερων μεταβλητών] = n r( A) Άρα, 8 βασικές μεταβλητές και καμία ελεύθερη μεταβλητή δ) Επειδή ο A είναι τετραγωνικός, έχουμε: det A 0 ανν Ax = b έχει μοναδική λύση. Άρα, το σύστημα Ax = b, με b 0 θα έχει μία και μοναδική λύση. ε) Επειδή ο A είναι τετραγωνικός, έχουμε: det A 0 ανν Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0. Άρα, το σύστημα Ax = 0 θα έχει μοναδική λύση τη x = (0,0,0,0,0,0,0,0)
Θέμα 6. (μονάδες.) 58 Η τάξη ενός πίνακα A είναι ra= ( ) 5. Απαντήστε στα παρακάτω αιτιολογώντας τις απαντήσεις σας: α) [μονάδες: 0.4] Πόσες βασικές και πόσες ελεύθερες μεταβλητές θα έχετε σε ένα τυχαίο συγκεκριμένο σύστημα Ax = b β) [μονάδες: 0.4] Πόσες λύσεις θα έχει ένα τυχαίο συγκεκριμένο σύστημα Ax = b, με b 0 γ) [μονάδες: 0.4] Πόσες λύσεις θα έχει το ομογενές σύστημα Ax = 0 α) Έχουμε: [πλήθος βασικών μεταβλητών] = ra ( ) και [πλήθος ελεύθερων μεταβλητών] = n r( A) Άρα, 5 βασικές μεταβλητές και 8-5= ελεύθερες μεταβλητές β) Επειδή το σύστημα Ax = b έχει λιγότερες εξισώσεις (δηλ. 5) από αγνώστους (δηλ. 8), δεν μπορεί να έχει μοναδική λύση. Επιπλέον, επειδή ra ( ) = 5= m(όπου m το πλήθος γραμμών του A) ο U δεν έχει καμία μηδενική γραμμή. Άρα, το σύστημα δεν μπορεί να είναι ούτε αδύνατο. Επομένως, θα έχει άπειρες λύσεις. γ) Γενικά ξέρουμε ότι: το Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0 έχουμε ra ( ) = 5< 8= n. Άρα, το σύστημα Ax = 0 Άλλη εξήγηση: το Ax = 0 έχει μοναδική λύση τη x = 0 ανν ra ( ) = n. Εδώ θα έχει άπειρες λύσεις. ανν [πλήθος ελεύθερων μεταβλητών = 0]. Εδώ έχουμε τρεις ελεύθερες μεταβλητές. Άρα, το σύστημα Ax = 0 θα έχει άπειρες λύσεις.