.Π.Μ.Σ.: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.Π.Μ.Σ.: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Ανάλυση Χρονοσειρών και Έλεγχοι µη Συµµετρικών Συσχετίσεων στις Χρηµατιστηριακές Αγορές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νικόλαος Ε. Μαρινάκης Επιβλέπων : Πολυχρόνης Οικονόµου ιδάκτωρ Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούνιος 2008

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.Π.Μ.Σ.: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ σε ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ και την ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Ανάλυση Χρονοσειρών και Έλεγχοι µη Συµµετρικών Συσχετίσεων στις Χρηµατιστηριακές Αγορές ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Νικόλαος Ε. Μαρινάκης Επιβλέπων : Πολυχρόνης Οικονόµου ιδάκτωρ Ε.Μ.Π. Εγκρίθηκε από την τριµελή εξεταστική επιτροπή :... Πολυχρόνης Οικονόµου ιδάκτωρ Ε.Μ.Π.... Χρυσηίς Καρώνη Αναπλ. Καθηγήτρια Ε.Μ.Π.... Χρήστος Κουκουβίνος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Αθήνα, Ιούνιος 2008

... Νικόλαος Ε. Μαρινάκης MSc, ιπλωµατούχος Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Copyright Νικόλαος Ε. Μαρινάκης, 2008. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανοµή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τµήµατος αυτής, για εµπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανοµή για σκοπό µη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν µήνυµα. Ερωτήµατα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συµπεράσµατα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερµηνευθεί ότι αντιπροσωπεύουν τις επίσηµες θέσεις του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου.

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο σκοπός της παρούσας µεταπτυχιακής διπλωµατικής εργασίας είναι ουσιαστικά διττός και συγκεκριµένα αφορά στην ανάλυση χρονοσειρών και στον έλεγχο µη συµµετρικών συσχετίσεων στις χρηµατιστηριακές αγορές. Αρχικά, παρουσιάζονται βασικές έννοιες της θεωρίας χρονοσειρών όπως τάση, εποχικότητα, µέση τιµή, αυτοσυνδιακύµανση, αυτοσυσχέτιση, στασιµότητα και εργοδικότητα και παρατίθενται συνοπτικά τα πρώτα στάδια ανάλυσης µιας χρονοσειράς. Στη συνέχεια, γίνεται εκτενής παρουσίαση των διαφόρων κατηγοριών στάσιµων ARMA χρονοσειρών και συγκεκριµένα, ξεκινώντας από το λευκό θόρυβο, παρουσιάζονται οι χρονοσειρές κινητού µέσου (ΜΑ), οι αυτοπαλινδροµικές χρονοσειρές (AR) καθώς και η γενική περίπτωση των ολοκληρωµένων ARΙMA χρονοσειρών. Στο τέλος του πρώτου µέρους, αναλύεται η µέθοδος µεγιστοποίησης πιθανοφάνειας για την εκτίµηση των παραµέτρων ARMA χρονοσειρών, για καθεµία κατηγορία χρονοσειράς ξεχωριστά. Στο δεύτερο µέρος, εξετάζεται το ζήτηµα του ελέγχου ανίχνευσης µη συµµετρικών συσχετίσεων µεταξύ δύο χρηµατοοικονοµικών χρονοσειρών, οι οποίες κατά κύριο λόγο συνιστούν τις αποδόσεις δύο επενδύσεων ή δύο δεικτών. Τέτοιου είδους ασυµµετρίες εµφανίζονται στις περιπτώσεις όπου η συσχέτιση µεταξύ των εν λόγω χρονοσειρών αποδόσεων όταν είναι θετικές είναι διαφορετική σε σχέση µε την αντίστοιχη συσχέτισή τους όταν είναι ανάλογα αρνητικές. Το πρόβληµα διατυπώνεται µε µαθηµατικό τρόπο και έπειτα παρατίθενται στατιστικές µέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί για την υλοποίηση του ελέγχου. Κλείνοντας, γίνεται εφαρµογή των θεωριών ανάλυσης και µοντελοποίησης χρονοσειρών µέσω στατιστικού πακέτου, καθώς και του ελέγχου µη συµµετρικών συσχετίσεων στις αποδόσεις µέσω προγράµµατος που συντάχθηκε, χρησιµοποιώντας τις ηµερήσιες τιµές κλεισίµατος για την πενταετία 2003 2007 του γενικού δείκτη καθώς και τεσσάρων επιµέρους κλαδικών δεικτών του Χρηµατιστηρίου Αξιών Αθηνών. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ Χρονοσειρά, τάση και εποχικότητα, µέση τιµή και αυτοσυσχέτιση, στασιµότητα, ARIMA µοντελοποίηση, εκτίµηση παραµέτρων, µη συµµετρικές συσχετίσεις στις αποδόσεις, έλεγχος ανίχνευσης ασυµµετριών, χρηµατιστηριακοί δείκτες.

ABSTRACT The scope of this master thesis is actually double and includes time series analysis and testing asymmetric correlations in stock markets. Firstly, basic time series concepts are presented, such as trend, seasonal, expected value, autocovariance, autocorrelation, stationarity and ergodicity and the first steps of analysing a time series are mentioned. The next part is a full description of all different categories of stationary ARMA time series models, beginning with white noise process and continuing with moving average (ΜΑ) and autoregressive (AR) time series as well as the general case of integrated ARIMA processes. In the end of the first section, maximum likelihood estimation method is used, in order to estimate the parameters of each ARMA time series model seperately. The second part includes the issue of testing the existence of asymmetric correlations between two financial time series, which mainly represent returns of two investments or two stock indices. Such asymmetries take place in the cases whenever correlation between these two time series of returns is different when they both take positive values than when they both take equivalent negative values. The issue is stated in a formal mathematical way and statistical methods, which have been developed for the implementation of the test, are then described. At the end, theory of time series analysis and modeling is applied using appropriate statistical software, as well as theory of testing asymmetric correlations in returns is also applied using an implemented program. Datasets include daily closure prices for the five year period 2003 2007 of the general market index as well as of four other market indices of Athens stock market. KEY WORDS Time series, trend and seasonal, expected value and autocorrelation, stationarity, ARIMA modeling, parameter estimation, asymmetric correlations in returns, test of asymmetries existence, stock market indices.

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα µεταπτυχιακή διπλωµατική εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του.π.μ.σ.: Μαθηµατική Προτυποποίηση σε Σύγχρονες Τεχνολογίες και την Οικονοµία της Σχολής Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου, υπό την επίβλεψη του διδάκτορα Ε.Μ.Π. κ. Πολύχρονη Οικονόµου. Πρωτίστως λοιπόν, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον κ. Οικονόµου που µε εµπιστεύτηκε για την εργασία και µου παρείχε τις πολύτιµες γνώσεις του και την βοήθειά του σε οποιοδήποτε πρόβληµα αντιµετώπισα. Η καθοδήγησή του υπήρξε καταπληκτική και η εν γένει συνεργασία µας καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της εργασίας υπήρξε άψογη. Επίσης, ευχαριστώ πολύ την αναπληρώτρια καθηγήτρια Ε.Μ.Π. κ. Χρυσηίδα Καρώνη, η οποία µου σύστησε τον κ. Οικονόµου και βοήθησε σηµαντικά σε ένα κρίσιµο σηµείο της πορείας της εργασίας. Στο σηµείο αυτό οφείλω και ένα µεγάλο ευχαριστώ στον συµφοιτητή και φίλο µου Γιώργο Κούµουλο, ο οποίος µε τις γνώσεις του στον προγραµµατισµό ήταν πάντα πρόθυµος να µου λύσει οποιαδήποτε απορία µου γεννιόταν κατά τη διάρκεια σύνταξης του προγράµµατος σε java. Παράλληλα, θα ήθελα να ευχαριστήσω όλα τα εκείνα τα πρόσωπα εντός κι εκτός Ε.Μ.Π. τα οποία µε ενίσχυσαν ηθικά και συνέβαλαν στο να περνάω ευχάριστα τον ελεύθερο χρόνο µου όλα αυτά τα χρόνια. Ιδιαιτέρως ευχαριστώ τη Σοφία Κατσούλη για τη συµπαράσταση και τη στήριξη που µου παρέχει και τη σηµαντική συµβολή της στο να οµορφαίνει η καθηµερινότητά µου. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά την οικογένειά µου, τον αδελφό µου Αχιλλέα και του γονείς µου Βαγγέλη και Θέκλα, οι οποίοι µου παρέχουν την υποστήριξή τους όλα αυτά τα χρόνια. Είναι βέβαιο ότι χωρίς τη συµπαράσταση της οικογένειάς µου δεν θα είχα καταφέρει τίποτα σηµαντικό έως τώρα. Νίκος Μαρινάκης

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ............. 11 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ................................ 11 1.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ......................... 13 1.2.1 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ........................................... 13 1.2.2 ΑΥΤΟΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ............................... 14 1.2.3 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ...................................... 16 1.3 ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ.............................................. 17 1.3.1 ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ.............................. 17 1.3.2 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ.............. 20 1.4 ΕΡΓΟ ΙΚΟΤΗΤΑ............................................. 21 1.5 ΠΡΩΤΑ ΣΤΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ.................................. 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ....................... 27 2.1 ΛΕΥΚΟΣ ΘΟΡΥΒΟΣ.......................................... 27 2.2 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (ΜΑ)....................... 29 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 2.2.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ..................... 30 2.2.2 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΑ ΤΑΞΗΣ q............................ 33 2.3 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝ ΡΟΜΙΚΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ (AR)................... 36 2.3.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ AR ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ...................... 36 2.3.2 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ AR ΤΑΞΗΣ p............................ 41 2.3.3 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ............................. 42 2.4 ΣΥΝ ΥΑΣΜΟΙ AR ΚΑΙ ΜΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ (ARMA)........... 44 2.4.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ARMA(1,1)............................. 45 2.5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΕΣ ARMA ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ (ARIMA)........... 48 2.6 ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ARIMA ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ........................ 50 2.7 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ARMA ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΜΕΘΟ ΟΣ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ............... 52 2.8 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ AR ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ............ 53 2.8.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ AR ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ..................... 59 2.9 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ MA ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ............ 62 2.9.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ..................... 67 2.10 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ARMA ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ........ 69 2.10.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ARMA(1,1)............................. 72 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΛΕΓΧΟΙ ΜΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ................... 75 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΕ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ......... 75 3.2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ................ 78 8

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.3 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΩΝ ΣΤΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ............................................. 80 3.3.1 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ LONGIN ΚΑΙ SOLNIK................... 80 3.3.2 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ ANG ΚΑΙ CHEN........................ 87 3.3.3 ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΩΝ HONG, TU ΚΑΙ ZHOU................... 92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΕΙΚΤΩΝ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΑΞΙΩΝ ΑΘΗΝΩΝ.......................... 99 4.1 ΒΑΣΙΚΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ............................. 99 4.2 ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ....... 103 4.2.1 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ................ 103 4.2.2 ARIMA ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΝΕΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ.......................... 106 4.3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΜΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΣΧΕΤΙΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΑΠΟ ΟΣΕΙΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΕΙΚΤΗ ΕΠΙΜΕΡΟΥΣ ΕΙΚΤΩΝ....... 113 4.3.1 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΥΠΕΡΒΑΣΗΣ......................... 116 4.3.2 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΤΩΝ HONG, TU ΚΑΙ ZHOU................................. 119 4.4 ΣΥΝΟΨΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑΣ ΚΑΙ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΤΕΛΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ.................................. 120 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ................................................. 123 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΩ ΙΚΑΣ ΚΛΑΣΕΩΝ JAVA ΚΑΙ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΗ ΕΞΟ ΟΣ ΣΤΟ ΤΕΡΜΑΤΙΚΟ................................... 125 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣ Η χρονοσειρά µπορεί να ορισθεί ως µια συλλογή διαδοχικών χρονικών παρατηρήσεων της τιµής κάποιου µεγέθους. Πρόκειται ουσιαστικά για µια στοχαστική διαδικασία, µιας και η εξέλιξη των τιµών του µεγέθους επηρεάζεται από τυχαίους παράγοντες, ενώ η τιµή κάθε χρονικής στιγµής συνιστά και µια ξεχωριστή τυχαία µεταβλητή. Επί παραδείγµατι, στο σχήµα 1.1 που ακολουθεί παρουσιάζεται το γράφηµα της ετήσιας τιµής του αργού πετρελαίου σε αµερικανικά δολάρια ανά βαρέλι. Σχήµα 1.1: Γράφηµα χρονοσειράς τιµής αργού πετρελαίου σε δολάρια ανά βαρέλι. 11

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Ο χρονικός ορίζοντας είναι 117 χρόνια, από το έτος 1870 έως το έτος 1987, ενώ ως έτος βάσης έχει θεωρηθεί το 1967. Το γράφηµα ελήφθη από το βιβλίο των R. Pindyck και D. Rubinfeld (1998). Η συστηµατική µελέτη µιας χρονοσειράς ξεκινάει µε την επισκόπηση του γραφήµατός της στο πεδίο του χρόνου, από το οποίο µπορούν αρχικά να ανιχνευθούν τρία βασικά ποιοτικά χαρακτηριστικά της: Η τάση, η εποχικότητα και οι ακραίες παρατηρήσεις. Η τάση (trend) γενικά θα µπορούσε να ορισθεί ως η µακροπρόθεσµη µεταβολή του µέσου επιπέδου των τιµών µιας χρονοσειράς. Έτσι, µπορεί η τάση των τιµών να είναι αυξητική, πτωτική ή σταθερή σε ένα συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα, ενώ µπορεί και να έχει τη µορφή κάποιας συνάρτησης στο εν λόγω διάστηµα. Να σηµειωθεί ότι η έννοια µακροπρόθεσµη µεταβολή εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρµογή που εξετάζεται. Η εποχικότητα (seasonal) µπορεί να ορισθεί σαν µια περιοδική διακύµανση που έχει σταθερό µήκος. Η εν λόγω διακύµανση τις περισσότερες φορές διακρίνεται εύκολα και µπορεί να ερµηνευθεί στα πλαίσια του υπό µελέτη φαινοµένου. Επί παραδείγµατι, αν κανείς επιθυµούσε να αναλύσει τη χρονοσειρά των τιµών των καυσίµων σε βάθος χρόνων, είναι λογικό να περιµένει να παρατηρήσει µια σχετική άνοδο κατά τους χειµερινούς µήνες κάθε έτους. Οι ακραίες παρατηρήσεις (outliers) είναι οι αποµονωµένες παρατηρήσεις που εµφανίζονται στο γράφηµα κάποιας χρονοσειράς ως απότοµες αλλαγές στο πρότυπο συµπεριφοράς της. Τα outliers µελετήθηκαν αρχικά κατά κύριο λόγο από τον A. J. Fox (1972), ο οποίος µάλιστα εισήγαγε δύο τύπους. Ο τύπος I αφορά περιπτώσεις όπου η ύπαρξη µιας ακραίας τιµής δεν έχει καµία επίδραση στις ακόλουθες παρατηρήσεις. Αντιθέτως, ο τύπος ΙΙ αφορά περιπτώσεις όπου υπάρχει επίδραση στη µετέπειτα συµπεριφορά των τιµών της χρονοσειράς, παράγοντας µια σειρά λιγότερο ή περισσότερο ακραίων παρατηρήσεων ή αλλάζοντας εξ ολοκλήρου τα χαρακτηριστικά της. Στη συνέχεια του παρόντος εισαγωγικού κεφαλαίου, αναλύονται βασικά στατιστικά µεγέθη χρονοσειρών, όπως η µέση τιµή, η αυτοσυνδιακύµανση και η αυτοσυσχέτιση και περιγράφονται οι βασικές έννοιες της στασιµότητας και της εργοδικότητας. Τέλος, γίνεται µια σύντοµη αναφορά στα πρώτα στάδια ανάλυσης µιας χρονοσειράς. 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1.2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Όπως ήδη έχει αναφερθεί, µια χρονοσειρά συνιστά µια στοχαστική διαδικασία, δηλαδή κάθε παρατήρησή της αποτελεί µια τυχαία µεταβλητή. Οι συµβολισµοί που θα χρησιµοποιηθούν στη συνέχεια για την παρουσίαση των κυριότερων στατιστικών µεγεθών µιας χρονοσειράς βασίζονται στο βιβλίο του J. Hamilton (1994). Υποθέτουµε ότι µελετούµε την χρονική εξέλιξη των τιµών ενός µεγέθους Υ. Έτσι, την χρονική στιγµή t η τιµή του µεγέθους θα είναι µια τυχαία µεταβλητή Υ t µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Υt (y t ). Έστω ακόµη ότι έχουµε παρατηρήσει ένα δείγµα τιµών µεγέθους Τ, δηλαδή έχουµε συλλέξει τις τιµές για t = 1, 2,, T Y 1, Y 2,, Y T. (1.1) Το ανωτέρω δείγµα τιµών αναπαριστά µια συγκεκριµένη έκβαση της στοχαστικής διαδικασίας που γεννά τα δεδοµένα. Αν τώρα η εν λόγω στοχαστική διαδικασία Υ επαναληφθεί Ν ανεξάρτητες φορές, θα έχουµε ένα σύνολο Ν πραγµατοποιήσεων όλων των παρατηρήσεων τυχαίων µεταβλητών Υ t που συνθέτουν τη χρονοσειρά. Συνεπώς, όσον αφορά το ανωτέρω δείγµα τιµών µεγέθους Τ, για την κάθε µία παρατήρηση Υ t θα έχουµε το εξής σύνολο Y t (1), Y t (2),, Y t (Ν), " t = 1, 2,..., Τ. (1.2) 1.2.1 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Η µέση ή αναµενόµενη τιµή µ t της t οστής παρατήρησης (τυχαίας µεταβλητής) Υ t της ανωτέρω χρονοσειράς Υ δίδεται από τη σχέση 13

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ + µ = E(Y ) = y f (y ) dy. (1.3) t t t Yt t t - Η ανωτέρω ποσότητα εκφράζεται και ως το όριο κατά πιθανότητα για N της µέσης τιµής των Ν παρατηρήσεων της τυχαίας µεταβλητής Υ t του συνόλου (1.2) N 1 (i) µ t = plim Yt N N. (1.4) i = 1 Στο σηµείο αυτό µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι η µέση τιµή µ t σχετίζεται άµεσα µε την έννοια της τάσης της χρονοσειράς, εφόσον εκφράζεται ως συνάρτηση της χρονικής στιγµής t της παρατήρησης Υ t. Συγκεκριµένα, αν µια χρονοσειρά παρουσιάζει αυξητική ή πτωτική τάση αντιστοίχως σε ένα χρονικό διάστηµα, αυτό θα αποτυπώνεται και στη µέση τιµή της µ t ως συνάρτηση του χρόνου. Ακόµη, η µη ύπαρξη τάσης σε ένα χρονικό διάστηµα αποτυπώνεται στη σταθερή αναµενόµενη τιµή µ t στο εν λόγω διάστηµα. 1.2.2 ΑΥΤΟΣΥΝ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Υποθέτουµε τώρα ότι έχουµε δύο τυχαίες µεταβλητές X και W. Η συνδιακύµανση (covariance) των εν λόγω τυχαίων µεταβλητών δίδεται από τη σχέση Cov(X, W) = E(X µ Χ )(W µ W ). (1.5) Σε πλήρη αντιστοιχία, για την περίπτωση της χρονοσειράς Υ που µελετούµε, ορίζεται η αυτοσυνδιακύµανση (autocovariance) j οστής τάξης γ jt της τυχαίας µεταβλητής Υ t µε µια καθυστερηµένη (lagged) εκδοχή της Υ t j σύµφωνα µε τη σχέση 14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 γ jt = Ε(Υ t µ t )(Υ t j µ t j ) = + + +... (y µ )(y µ ) = t t t j t j t t 1 t j fy, Y,..., Y (y t, y t 1,..., y t j) dytdy t 1... dy t j, (1.6) όπου µε f (y, y,..., y ) συµβολίζεται η από κοινού συνάρτηση Y, Y,..., Y t t 1 t j t t 1 t j πυκνότητας πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών Υ t, Υ t 1,..., Υ t j. Επίσης, αν θεωρηθεί ένα σύνολο Ν παρατηρήσεων των τυχαίων µεταβλητών Υ t και Υ t j όπως το σύνολο (1.2), η αυτοσυνδιακύµανση µπορεί να εκφρασθεί και ως το όριο κατά πιθανότητα για N του αθροίσµατος γ jt = N 1 (i) (i) plim (Y t µ t )(Y t j µ t j). (1.7) N N i = 1 Στην ειδική περίπτωση όπου j = 0, προκύπτει η διακύµανση της τυχαίας µεταβλητής Υ t η οποία δίδεται από τη σχέση γ 0t = Ε(Υ t µ t ) 2 = + 2 (y t µ (y t ) f Yt t) dyt. (1.8) - Λαµβάνοντας υπόψη τις Ν παρατηρήσεις της τυχαίας µεταβλητής Υ t σε πλήρη αντιστοιχία µε τη σχέση (1.7) για j = 0 προκύπτει η σχέση (1.9) που εκφράζει τη διακύµανση ως το όριο κατά πιθανότητα για N του αθροίσµατος γ 0t = N 1 (i) 2 plim (Y t µ t). (1.9) N N i = 1 15

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 1.2.3 ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Η έννοια της αυτοσυσχέτισης (autocorrelation) j οστής τάξης ρ jt της τυχαίας µεταβλητής Υ t µε µια καθυστερηµένη εκδοχή της Υ t j ορίζεται ως το πηλίκο της αυτοσυνδιακύµανσης γ jt προς τη διακύµανση γ 0t δηλαδή ρ jt = γ γ jt 0t = E(Y µ )(Y µ ). (1.10) t t t j t j 2 E(Y t µ t) Εξ ορισµού, η τιµή της αυτοσυσχέτισης ρ jt στην ειδική περίπτωση όπου j = 0 είναι 1 για κάθε εξεταζόµενη χρονική στιγµή t, αφού ρ 0t = γ γ 0t 0t = 1, " t. (1.11) Ακόµη, όλες οι δυνατές τιµές της αυτοσυσχέτισης ρ jt βρίσκονται εντός του διαστήµατος [ 1, 1], ικανοποιώντας τη συνθήκη 1 ρ jt 1, " j, t. (1.12) Η αυτοσυσχέτιση συνιστά µια πολύ σηµαντική ποσότητα στη µελέτη χρονοσειρών. Χαράσσοντας το γράφηµα της αυτοσυσχέτισης συναρτήσει της καθυστέρησης j µπορεί κανείς να αντλήσει συµπεράσµατα σχετικά µε τα χαρακτηριστικά της χρονοσειράς. Αν για κάποια τιµή του j είναι ρ jt 0, προκύπτει άµεσα το συµπέρασµα ότι οι παρατηρήσεις (τυχαίες µεταβλητές) Υ t και Υ t j είναι ασυσχέτιστες. Αντιθέτως, αν ρ jt ± 1, τότε οι παρατηρήσεις Υ t και Υ t j είναι ισχυρά συσχετισµένες, είτε θετικά είτε αρνητικά αντίστοιχα. Έτσι, µε τη βοήθεια της αυτοσυσχέτισης µπορούν να µελετηθούν ποιοτικά χαρακτηριστικά της χρονοσειράς όπως η εποχικότητα και η στασιµότητα. Η έννοια της 16

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 στασιµότητας ορίζεται στην επόµενη ενότητα. Από την άλλη, όπως έχει ήδη αναφερθεί, η εποχικότητα εκφράζει την περιοδικότητα µιας χρονοσειράς. Επί παραδείγµατι, έστω ότι µελετούµε µια χρονοσειρά η οποία παρουσιάζει απότοµη αύξηση τιµών ένα συγκεκριµένο µήνα κάθε έτους. Τότε αν ο εν λόγω µήνας θεωρηθεί µήνας αναφοράς, στο γράφηµα της αυτοσυσχέτισης συναρτήσει της καθυστέρησης j θα παρατηρηθούν απότοµες αυξήσεις στα σηµεία όπου j = 0, j = ± 12, j = ± 24, j = ± 36 κτλ. Έτσι, µπορεί να ανιχνευθεί η εποχικότητα που παρουσιάζει η συγκεκριµένη χρονοσειρά. 1.3 ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ Οι έννοιες της στασιµότητας (stationarity) και της εργοδικότητας (ergodicity) είναι ιδιαίτερα σηµαντικές στη µελέτη των χρονοσειρών. Προκειµένου να εφαρµοσθούν οποιεσδήποτε τεχνικές ανάλυσης και πρόβλεψης θα πρέπει πρώτα να έχει εξασφαλισθεί ότι η υπό µελέτη χρονοσειρά είναι στάσιµη και εργοδική. Ευθύς αµέσως αναλύονται οι ιδιότητες των στάσιµων χρονοσειρών, ενώ η έννοια της εργοδικότητας, η οποία επεκτείνει τη στασιµότητα αναλύεται στην επόµενη ενότητα 1.4. 1.3.1 ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Μια χρονοσειρά Υ ονοµάζεται ασθενώς στάσιµη (weakly stationary or covariance stationary) εάν η µέση τιµή µ t και η αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης γ jt των τυχαίων παρατηρήσεων Υ t και Υ t j δεν εξαρτώνται από τη χρονική στιγµή t, δηλαδή µ t = Ε(Υ t ) = µ, " t, (1.13) γ jt = Ε(Υ t µ)(υ t j µ) = γ j, " j, t. (1.14) Από τον ανωτέρω ορισµό, είναι προφανές ότι για να είναι µια χρονοσειρά ασθενώς στάσιµη δεν µπορεί να έχει αυξητική ή πτωτική τάση, εφόσον η µέση τιµή µ t των 17

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ παρατηρήσεών της πρέπει να είναι σταθερή. Ακόµη, η αυτοσυνδιακύµανση γ jt πρέπει να εξαρτάται µόνο από την τάξη j, δηλαδή το χρονικό διάστηµα µεταξύ των δύο παρατηρήσεων Υ t και Υ t j και όχι από την ίδια τη χρονική στιγµή t. Χρησιµοποιώντας το τελευταίο συµπέρασµα, µπορεί κανείς να θέσει στον τύπο (1.14) όπου t το (t + j), λαµβάνοντας γ j = Ε(Υ t µ)(υ t + j µ) fl fl γ j = γ j, " j. (1.15) Το τελευταίο αποτέλεσµα σηµαίνει ότι σε µια ασθενώς στάσιµη χρονοσειρά η αυτοσυνδιακύµανση γ j είναι συµµετρική ως προς την τιµή της χρονικής µετατόπισης j, δηλαδή η αυτοσυνδιακύµανση για µια θετική χρονική µετατόπιση είναι ταυτόσηµη µε την αυτοσυνδιακύµανση για µια ίδια αρνητική χρονική µετατόπιση. Ακόµη, θέτοντας στον τύπο (1.14) j = 0, προκύπτει ότι και η διακύµανση των παρατηρήσεων Υ t µιας ασθενώς στάσιµης χρονοσειράς είναι σταθερή ως προς τον χρόνο t γ 0t = Ε(Υ t µ) 2 = γ 0, " t. (1.16) Όσον αφορά την αυτοσυσχέτιση j οστής τάξης ρ jt των τυχαίων παρατηρήσεων Υ t και Υ t j, οµοίως δεν εξαρτάται από τη χρονική στιγµή t παρά µόνο από το χρονικό διάστηµα j µεταξύ των δύο παρατηρήσεων και είναι συµµετρική ως προς την τιµή της χρονικής µετατόπισης j, αφού ρ j = γ j γ, (1.17) 0 ρ j = ρ j, " j. (1.18) 18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Όπως ήδη έχει αναφερθεί στην προηγούµενη ενότητα, η αυτοσυσχέτιση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να ανιχνευθεί η στασιµότητα µιας χρονοσειράς. Συγκεκριµένα, η αυτοσυσχέτιση µειώνεται κατ απόλυτο τιµή προσεγγίζοντας το µηδέν καθώς αυξάνεται η τιµή της χρονικής µετατόπισης j για µια ασθενώς στάσιµη χρονοσειρά. Έτσι, παρατηρώντας το γράφηµα της αυτοσυσχέτισης συναρτήσει της χρονικής µετατόπισης j µπορούµε να έχουµε µια ένδειξη αν η χρονοσειρά είναι ασθενώς στάσιµη. Ακόµη, πρέπει να σηµειωθεί ότι µια χρονοσειρά που εµφανίζει εποχικότητα δεν µπορεί να είναι ασθενώς στάσιµη, αφού η αυτοσυσχέτισή της θα λαµβάνει στατιστικά σηµαντικές τιµές διάφορες του µηδενός, για συγκεκριµένες τιµές της χρονικής µετατόπισης j, µε συνέπεια να µην τείνει προς το µηδέν καθώς αυξάνεται η τιµή του j. Έτσι, από την έως τώρα ανάλυση προκύπτει ότι δύο αναγκαία βήµατα προκειµένου να µετατραπεί µια χρονοσειρά σε ασθενώς στάσιµη είναι η αφαίρεση της τάσης και της εποχικότητας. Για λόγους πληρότητας, πρέπει να σηµειωθεί ότι µια πιο αυστηρή έννοια είναι η έννοια της αυστηρής στασιµότητας (strict stationarity). Μια χρονοσειρά θα λέγεται αυστηρώς στάσιµη αν, για οποιεσδήποτε τιµές χρονικών µετατοπίσεων j 1, j 2,..., j n η από κοινού κατανοµή των τυχαίων µεταβλητών Y t, Yt j 1, Yt j 2,..., Yt j n (1.19) εξαρτάται µόνο από τις χρονικές µετατοπίσεις και όχι από τη χρονική στιγµή t. Τονίζεται ότι αν µια χρονοσειρά είναι αυστηρώς στάσιµη µε πεπερασµένες ροπές µέχρι και δεύτερης τάξης (µέση τιµή, j οστή αυτοσυνδιακύµανση) τότε θα είναι και ασθενώς στάσιµη. Εντούτοις το αντίστροφο δεν ισχύει, µιας και µπορεί να υπάρξει περίπτωση όπου για µια χρονοσειρά η µέση τιµή και η j οστή αυτοσυνδιακύµανση µπορεί µεν να είναι ανεξάρτητες της χρονικής στιγµής t, αλλά ροπές υψηλότερης από δεύτερης τάξης δεν είναι. Στις περιπτώσεις αυτές η χρονοσειρά είναι ασθενώς στάσιµη αλλά όχι και αυστηρώς στάσιµη. 19

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Μια ευρέως χρησιµοποιούµενη χρονοσειρά είναι η αποκαλούµενη Gaussian χρονοσειρά, της οποίας η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f (y, y,..., y ) (1.20) Y, Y,..., Y t t j t j t t j 1 t jn 1 n ακολουθεί την πολυδιάστατη κανονική (Gaussian) κατανοµή για οποιεσδήποτε τιµές χρονικών µετατοπίσεων j 1, j 2,..., j n. Μια ιδιαίτερα σηµαντική ιδιότητα µιας Gaussian χρονοσειράς είναι ότι αν είναι ασθενώς στάσιµη θα είναι ταυτόχρονα και αυστηρώς στάσιµη. Στη συνέχεια της εργασίας, χάριν συντοµίας ο όρος στάσιµη χρονοσειρά θα αναφέρεται σε ασθενώς στάσιµη χρονοσειρά. 1.3.2 ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ ΜΗ ΣΤΑΣΙΜΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Όπως έχει ήδη τονισθεί παραπάνω, µια χρονοσειρά θα πρέπει να είναι στάσιµη προκειµένου να εφαρµοσθούν τεχνικές ανάλυσης και πρόβλεψης. Στην πραγµατικότητα όµως, πολύ µικρός αριθµός χρονοσειρών που συναντώνται στην πράξη είναι στάσιµες. Εντούτοις, πολλές µη στάσιµες χρονοσειρές µπορούν εύκολα να µετατραπούν σε στάσιµες αν εφαρµοσθεί σε αυτές ένας κατάλληλος διαφορικός τελεστής όσες φορές απαιτείται. Τέτοιες µη στάσιµες χρονοσειρές αποκαλούνται οµογενείς τάξης n (n order homogeneous), όπου η τάξη n συνιστά τον αριθµό των φορών που πρέπει να εφαρµοσθεί ο διαφορικός τελεστής στην αρχική χρονοσειρά προκειµένου να προκύψει µια νέα στάσιµη χρονοσειρά. Πιο συγκεκριµένα, αν η Υ είναι µια µη στάσιµη οµογενής χρονοσειρά πρώτης τάξης, η νέα χρονοσειρά W W t = Υ t = Υ t Υ t 1, (1.21) 20

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 που προκύπτει ύστερα από εφαρµογή του διαφορικού τελεστή µια φορά θα είναι στάσιµη. Αντιστοίχως, αν η Υ είναι οµογενής χρονοσειρά δεύτερης τάξης, τότε εφαρµόζοντας τον διαφορικό τελεστή δύο φορές προκύπτει η στάσιµη χρονοσειρά W W t = 2 Υ t = Υ t Υ t 1. (1.22) Γενικά, αν η Υ είναι οµογενής n οστής τάξης, τότε ο διαφορικός τελεστής θα εφαρµοσθεί n φορές προκειµένου να προκύψει η στάσιµη χρονοσειρά W W t = n Υ t. (1.23) Με τον τρόπο αυτό, αν κανείς µελετά µια οµογενή µη στάσιµη χρονοσειρά, µπορεί εύκολα να την µετατρέψει σε στάσιµη και να εφαρµόσει τεχνικές ανάλυσης στη νέα στάσιµη χρονοσειρά. 1.4 ΕΡΓΟ ΙΚΟΤΗΤΑ Η έννοια της εργοδικότητας (ergodicity) για µια χρονοσειρά επεκτείνει την έννοια της στασιµότητας. Προκειµένου µια χρονοσειρά να είναι εργοδική πρέπει απαραιτήτως να είναι και στάσιµη. Αρχικά θεωρούµε ένα δείγµα τιµών µεγέθους Τ µιας στάσιµης χρονοσειράς Υ, δηλαδή έχουµε συλλέξει τις τιµές της χρονοσειράς Υ t για t = 1, 2,, T όπως στο σύνολο (1.1) της ενότητας 1.2. Το εν λόγω δείγµα τιµών µεγέθους Τ αναπαριστά µια συγκεκριµένη έκβαση της στοχαστικής διαδικασίας που γεννά τα δεδοµένα. Υπολογίζουµε τη χρονική µέση τιµή του δείγµατος Y = 1 T Yt T. (1.24) t = 1 21

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Η στάσιµη χρονοσειρά Υ καλείται εργοδική για τη µέση τιµή µ (ergodic for the mean µ) αν η χρονική µέση τιµή του δείγµατος Y συγκλίνει κατά πιθανότητα στη µέση τιµή της χρονοσειράς Ε(Υ t ) = µ καθώς το µέγεθος Τ του δείγµατος απειρίζεται 1 T plim Y = plim Y t = E(Y t) = µ. (1.25) T T T t = 1 Έχει ήδη επισηµανθεί ότι για µια στάσιµη χρονοσειρά. η αυτοσυνδιακύµανση µειώνεται κατ απόλυτο τιµή προσεγγίζοντας το µηδέν καθώς αυξάνεται η τιµή της χρονικής µετατόπισης j. Προκειµένου η εν λόγω χρονοσειρά να είναι και εργοδική για τη µέση τιµή µ θα πρέπει η αυτοσυνδιακύµανση να τείνει αρκετά γρήγορα απολύτως προς το µηδέν. Επειδή ο ανωτέρω ορισµός είναι κατά βάση θεωρητικός και δεν έχει πρακτική αξία, υπάρχει ένα κριτήριο το οποίο εξασφαλίζει ότι µια στάσιµη χρονοσειρά είναι και εργοδική για τη µέση τιµή µ. Σύµφωνα µε το κριτήριο αυτό, θα πρέπει οι αυτοσυνδιακυµάνσεις γ j όπου j = 0, 1, 2,, να ικανοποιούν την εξής συνθήκη γ j <. (1.26) j = 0 Με ακριβώς αντίστοιχη λογική, µια στάσιµη χρονοσειρά Υ καλείται εργοδική για τις ροπές δεύτερης τάξης (ergodic for second moments) αν η χρονική αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης ενός δείγµατος τιµών µεγέθους Τ συγκλίνει κατά πιθανότητα στην αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης της χρονοσειράς γ j καθώς το µέγεθος Τ του δείγµατος απειρίζεται 1 T plim (Y t µ)(y t j µ) = γ j T T j, " j. (1.27) t = j + 1 22

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Στην ειδική περίπτωση όπου η στάσιµη χρονοσειρά Υ είναι και Gaussian, η συνθήκη (1.26) είναι ικανή να εξασφαλίσει εργοδικότητα για τις ροπές οποιασδήποτε τάξης. Όταν µια χρονοσειρά είναι στάσιµη και εργοδική µπορεί κανείς µέσω ενός δείγµατος τιµών κατάλληλου µεγέθους Τ να υπολογίσει αρκετά καλές εκτιµήσεις (estimates) των στατιστικών µεγεθών της χρονοσειράς. Συγκεκριµένα, η εκτίµηση της µέσης τιµής της χρονοσειράς ˆµ γίνεται µέσω υπολογισµού της χρονικής µέσης τιµής του δείγµατος Y από τη σχέση (1.24), δηλαδή ˆµ = Y = 1 T Yt T. (1.28) t = 1 Επίσης, µια εκτίµηση της διακύµανσης ˆγ 0 της χρονοσειράς, προκύπτει µέσω της διακύµανσης του δείγµατος T 1 ˆγ 2 0 = (Y t Y). (1.29) T t = 1 Αντιστοίχως, η αυτοσυσχέτιση του δείγµατος (sample autocorrelation) ˆρ j συνιστά µια εκτίµηση της αυτοσυσχέτισης της χρονοσειράς και προκύπτει µέσω της σχέσης ˆρ = T t = j + 1 (Y Y)(Y Y) t t j j T 2 t = 1 (Y Y) t. (1.30) Να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση αυτή η αυτοσυσχέτιση του δείγµατος ˆρ j είναι συµµετρική ως προς την τιµή της χρονικής µετατόπισης j όπως ακριβώς και η αυτοσυσχέτιση της χρονοσειράς ρ j, δηλαδή 23

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ˆρ j = ˆρ j, " j. (1.31) Κλείνοντας, σηµειώνεται ότι ενώ για να είναι µια χρονοσειρά εργοδική πρέπει απαραιτήτως να είναι και στάσιµη, εντούτοις το αντίστροφο δεν ισχύει δηλαδή µια στάσιµη χρονοσειρά δεν είναι και απαραιτήτως εργοδική. Οι χρονοσειρές που θα µελετηθούν στη συνέχεια θα µετατρέπονται πρώτα σε στάσιµες και εργοδικές και έπειτα θα αναλύονται. 1.5 ΠΡΩΤΑ ΣΤΑ ΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Στο τέλος του παρόντος εισαγωγικού κεφαλαίου παρουσιάζονται εν συντοµία ορισµένα αρχικά στάδια ανάλυσης για µια τυχαία περίπτωση χρονοσειράς, που στόχο έχουν τη µετατροπή της χρονοσειράς σε στάσιµη. Στο πρώτο στάδιο εφαρµόζεται κατάλληλος µετασχηµατισµός των δεδοµένων της χρονοσειράς. Εν συνεχεία, στο δεύτερο στάδιο αφαιρείται η τάση που ενδεχοµένως να έχει η χρονοσειρά, ενώ στο τρίτο στάδιο γίνεται αποσύνθεση της εποχικότητας. Τονίζεται ότι µπορεί ένα ή περισσότερα από τα ανωτέρω στάδια να µην είναι αναγκαία και να παραληφθούν. Ο αριθµός των απαιτούµενων σταδίων ανάλυσης εξαρτάται από την εκάστοτε ειδική περίπτωση της υπό µελέτη χρονοσειράς. Αρχικά, µε απλή επισκόπηση του γραφήµατος της χρονοσειράς, µπορεί να κριθεί αναγκαία η εφαρµογή ενός κατάλληλου µετασχηµατισµού στα δεδοµένα της χρονοσειράς. Σκοπός επί παραδείγµατι µπορεί να είναι η γραµµικοποίηση της τάσης της χρονοσειράς. Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγµα όπου τα δεδοµένα εµφανίζουν εκθετική τάση, δηλαδή το γράφηµα της χρονοσειράς έχει την τυπική µορφή του σχήµατος 1.2(α). Λογαριθµίζοντας στην περίπτωση αυτή τα δεδοµένα, προκύπτει µια νέα χρονοσειρά η οποία έχει µία γραµµική αυξητική τάση. Μια άλλη περίπτωση µετασχηµατισµού των δεδοµένων της χρονοσειράς είναι η εφαρµογή του διαφορικού τελεστή, η οποία ήδη εξετάστηκε στην ενότητα 1.3.2. 24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Στόχος της εφαρµογής του διαφορικού τελεστή είναι η µετατροπή οµογενών µη στάσιµων χρονοσειρών σε στάσιµες. Όπως ήδη έχει τονισθεί, προκειµένου µια χρονοσειρά να είναι στάσιµη δεν πρέπει να έχει τάση. Η γενική µεθοδολογία αφαίρεσης της τάσης έγκειται στη εύρεση της συνάρτησης της τάσης Χ t και στον υπολογισµό των υπολοίπων (detrended data) µεταξύ των παρατηρήσεων Υ t και της εν λόγω συνάρτησης. Στην περίπτωση της απλούστερης µορφής τάσης που είναι η γραµµική, η συνάρτηση της τάσης Χ t δίνεται από τη σχέση Χ t = β 0 + β 1 t. (1.32) Στο σχήµα 1.2(β) παρουσιάζεται ένα τυπικό γράφηµα χρονοσειράς όπου η τάση είναι γραµµική και φθίνουσα. Στην περίπτωση γραµµικής τάσης, η εξεύρεση των υπολοίπων γίνεται µέσω της προσαρµογής του απλού γραµµικού µοντέλου, ενώ η νέα χρονοσειρά των υπολοίπων δεν θα έχει τάση. Πανοµοιότυπη είναι και η διαδικασία όσον αφορά τµηµατικά γραµµικές µορφές τάσης, όπου προσαρµόζεται το απλό γραµµικό µοντέλο σε καθένα από τα τµήµατα. Πιο σύνθετη περίπτωση συνιστά το πολυωνυµικό µοντέλο k οστού βαθµού, στο οποίο η συνάρτηση της τάσης Χ t δίνεται από τη σχέση Χ t = β 0 + β 1 t + β 2 t 2 +... + β k t k. (1.33) (α) Εκθετική τάση. (β) Γραµµική φθίνουσα τάση. Σχήµα 1.2: Τυπικά γραφήµατα χρονοσειρών (α) µε εκθετική τάση και (β) µε γραµµική φθίνουσα τάση. 25

ΕΙΣΑΓΩΓΗ: ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ Εν συνεχεία, το επόµενο στάδιο για επίτευξη στασιµότητας συνιστά η αποσύνθεση της εποχικότητας της χρονοσειράς (seasonal decomposition). Για τη διαδικασία αποσύνθεσης της εποχικότητας απαραίτητος είναι ο εντοπισµός της περιοδικότητας των τιµών της χρονοσειράς και στη συνέχεια ο προσδιορισµός της περιόδου p της χρονοσειράς. Στόχος είναι η λήψη µιας οµαλοποιηµένης, χωρίς περιοδικότητα χρονοσειράς (deseasonalised data). Προς αυτή την κατεύθυνση έχουν αναπτυχθεί δύο βασικά µοντέλα, το αθροιστικό (additive) και το πολλαπλασιαστικό (multiplicative), τα οποία εκφράζονται µέσω των σχέσεων (1.34) και (1.35) αντιστοίχως, Υ t = Μ t + S t + Ε t, (1.34) Υ t = Μ t S t Ε t, (1.35) όπου το Υ t συνιστά την t οστή παρατήρηση, το Μ t εκφράζει την (πιθανή) ύπαρξη τάσης µέσα σε χρονικά διαστήµατα ίσα µε την περίοδο p, οι ποσότητες S t αποτελούν τους δείκτες εποχικότητας (seasonal indices) και το Ε t συµβολίζει το τυχαίο τµήµα της χρονοσειράς. Ένα πιο σύνθετο και σπάνιο µοντέλο συνιστά το µικτό των δύο ανωτέρω. Υπάρχουν συγκεκριµένες µεθοδολογίες υπολογισµού των ποσοτήτων Μ t και S t, η παράθεση των οποίων ξεφεύγει από τους σκοπούς της παρούσας εργασίας, ενώ για t > p οι τιµές των S t ισούνται µε τις αντίστοιχες τιµές S t p. Οι δείκτες εποχικότητας S t για το πολλαπλασιαστικό µοντέλο σχετίζονται µε τα ποσοστά µεταβλητότητας των τιµών που αντιστοιχούν σε µία περίοδο ως προς τη µέση τιµή τους. Αντιστοίχως, για το αθροιστικό µοντέλο τα S t σχετίζονται µε τις αποκλίσεις των τιµών σε µια περίοδο από τη µέση τιµή τους. Ακόµη, το πολλαπλασιαστικό µοντέλο υιοθετεί την υπόθεση ότι η επίδραση του δείκτη εποχικότητας εξαρτάται από το επίπεδο των τιµών της χρονοσειράς, εν αντιθέσει µε το αθροιστικό που υιοθετεί την υπόθεση της σταθερής επίδρασης του δείκτη εποχικότητας ανεξάρτητα από το επίπεδο τιµών της χρονοσειράς. Κλείνοντας, η οµαλοποιηµένη χωρίς περιοδικότητα χρονοσειρά προκύπτει είτε διαιρώντας τις τιµές της χρονοσειράς Υ t µε τους δείκτες εποχικότητας S t αν εφαρµόζεται το πολλαπλασιαστικό µοντέλο, είτε µε αφαίρεση των δεικτών εποχικότητας S t από τις τιµές της χρονοσειράς Υ t, αν εφαρµόζεται το αθροιστικό µοντέλο αντιστοίχως. 26

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ Αντικείµενο του παρόντος κεφαλαίου είναι η λεπτοµερής παρουσίαση και ανάλυση των σηµαντικότερων κατηγοριών στάσιµων χρονοσειρών, καθώς και η εκτίµηση των παραµέτρων τους. 2.1 ΛΕΥΚΟΣ ΘΟΡΥΒΟΣ Η πιο απλή στάσιµη χρονοσειρά, η οποία συνιστά και δοµική µονάδα όλων των υπολοίπων χρονοσειρών που θα εξετασθούν στη συνέχεια ονοµάζεται λευκός θόρυβος (white noise). Η χρονοσειρά λευκού θορύβου ορίζεται από τη σχέση Υ t = ε t. (2.1) Οι παρατηρήσεις µιας χρονοσειράς λευκού θορύβου ε t ικανοποιούν τις εξής τρεις βασικές συνθήκες µ t = Ε(ε t ) = 0, " t, (2.2) γ 0t = Ε(Υ t µ t ) 2 = Ε(ε t 2 ) = σ 2, " t, (2.3) 27

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ γ jt = Ε(Υ t µ t )(Υ t j µ t j ) = = Ε(ε t ε t j ) = 0, " t, j 0. (2.4) Από τις ανωτέρω συνθήκες εξάγονται και οι τρεις βασικές ιδιότητες της χρονοσειράς λευκού θορύβου, δηλαδή ότι όλες οι παρατηρήσεις ε t έχουν αναµενόµενη τιµή ίση µε το µηδέν και σταθερή διακύµανση όλες τις χρονικές στιγµές. Ακόµη, όλες οι παρατηρήσεις ε t είναι ασυσχέτιστες µεταξύ τους, δηλαδή η αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης γ jt είναι µηδενική " j 0. Έτσι, µια χρονοσειρά θα ονοµάζεται λευκός θόρυβος αν ικανοποιούνται οι παραπάνω τρεις συνθήκες (2.2) έως (2.4). Εξ ορισµού, ο λευκός θόρυβος είναι στάσιµη χρονοσειρά. Ακόµη, είναι προφανές ότι το κριτήριο (1.26) που εξασφαλίζει εργοδικότητα για τη µέση τιµή µ ικανοποιείται. Η αυτοσυσχέτιση της χρονοσειράς λευκού θορύβου δίδεται από τις σχέσεις ρ 0 = 1, (2.5) ρ j = 0, " j 0. (2.6) Στο σχήµα 2.1 παρουσιάζεται το γράφηµα της αυτοσυσχέτισης συναρτήσει της καθυστέρησης j για µια χρονοσειρά λευκού θορύβου. Αν αντικατασταθεί η συνθήκη (2.4) µε την αυστηρότερη της ανεξαρτησίας των παρατηρήσεων ε t προκύπτει η ανεξάρτητη (independent) χρονοσειρά λευκού θορύβου. Επιπροσθέτως, αν ισχύει και η παρακάτω συνθήκη ε t ~ Ν(0, σ 2 ), (2.7) προκύπτει η Gaussian χρονοσειρά λευκού θορύβου, η οποία είναι εργοδική για τις ροπές οποιασδήποτε τάξης. Στο σχήµα 2.2 παρουσιάζεται ένα τυπικό γράφηµα µιας Gaussian χρονοσειράς λευκού θορύβου στην περίπτωση όπου σ 2 = 1. 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σχήµα 2.1: Αυτοσυσχέτιση χρονοσειράς λευκού θορύβου. Σχήµα 2.2: Τυπικό γράφηµα Gaussian χρονοσειράς λευκού θορύβου µε σ 2 = 1. Μία άλλη απλή στάσιµη χρονοσειρά προκύπτει άµεσα από την υπέρθεση µιας σταθεράς και µιας Gaussian χρονοσειράς λευκού θορύβου Υ t = µ + ε t. (2.8) Η αναµενόµενη τιµή της εν λόγω χρονοσειράς δίδεται από τη σχέση µ t = Ε(Υ t ) = µ, " t, (2.9) ενώ η διακύµανση και η j οστή αυτοσυνδιακύµανση δίδονται από τους τύπους (2.3) και (2.4) αντιστοίχως. 2.2 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ (ΜΑ) Μια χρονοσειρά Υ καλείται χρονοσειρά κινητού µέσου τάξης q (moving average process of order q MA(q)) όταν κάθε παρατήρηση Υ t εκφράζεται ως ένα σταθµισµένο 29

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ άθροισµα µιας σταθεράς µ, µιας χρονοσειράς λευκού θορύβου ε t και q καθυστερηµένων εκδοχών της χρονοσειράς λευκού θορύβου. Η γενική σχέση ορισµού µιας MA(q) χρονοσειράς είναι η εξής Υ t = µ + ε t + θ 1 ε t 1 + θ 2 ε t 2 +... + θ q ε t q. (2.10) Στην ανωτέρω γενική σχέση ορισµού, η χρονοσειρά ε t ικανοποιεί της συνθήκες (2.2) έως (2.4) εφόσον αποτελεί χρονοσειρά λευκού θορύβου, ενώ οι παράµετροι µ και (θ 1, θ 2,..., θ q ) µπορούν να είναι οποιοιδήποτε πραγµατικοί αριθµοί. Σε µια MA(q) χρονοσειρά, η τρέχουσα παρατήρηση Υ t εξαρτάται από ένα επίπεδο τιµών µ, στο οποίο προστίθενται µια τυχαία απόκλιση ε t καθώς και οι τιµές των τυχαίων αποκλίσεων από τις παρελθούσες παρατηρήσεις, που καταγράφηκαν κατά τις προηγούµενες q χρονικές στιγµές ε t 1, ε t 2,..., ε t q πολλαπλασιασµένες επί συγκεκριµένων σταθερών. Οι σταθερές αυτές κρίνουν και τη βαρύτητα της επίδρασης της εκάστοτε παρελθούσας απόκλισης στην τιµή της τρέχουσας παρατήρησης Υ t. Η ανάλυση ξεκινά µε την απλούστερη περίπτωση MA(q) χρονοσειράς πρώτης τάξης, δηλαδή µε την περίπτωση όπου q = 1. 2.2.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΑ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Η σχέση ορισµού µιας χρονοσειράς ΜΑ πρώτης τάξης προκύπτει άµεσα από τη γενική σχέση (2.10) θέτοντας q = 1 Υ t = µ + ε t + θε t 1. (2.11) Η µέση τιµή µ t, η διακύµανση γ 0t καθώς και η αυτοσυνδιακύµανση πρώτης τάξης γ 1t µιας ΜΑ(1) χρονοσειράς υπολογίζονται ως εξής 30

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 µ t = Ε(Υ t ) = Ε(µ + ε t + θε t 1 ) = = µ + Ε(ε t ) + θε(ε t 1 ) = µ, (2.12) γ 0t = Ε(Υ t µ) 2 = Ε(ε t + θε t 1 ) 2 = = Ε(ε t 2 + 2θε t ε t 1 + θ 2 ε 2 t 1) = = σ 2 + 0 + θ 2 σ 2 = (1 + θ 2 )σ 2, (2.13) γ 1t = Ε(Υ t µ)(υ t 1 µ) = = Ε(ε t + θε t 1 )(ε t 1 + θε t 2 ) =... = θσ 2. (2.14) Οι αυτοσυνδιακυµάνσεις µεγαλύτερης από πρώτης τάξης είναι όλες µηδενικές αφού γ jt = Ε(Υ t µ)(υ t j µ) = = Ε(ε t + θε t 1 )(ε t j + θε t j 1 ) =... = 0, " j > 1. (2.15) Εφόσον η µέση τιµή και οι αυτοσυνδιακυµάνσεις δεν εξαρτώνται από τη χρονική στιγµή t, µια χρονοσειρά ΜΑ(1) είναι στάσιµη ανεξαρτήτως της τιµής της παραµέτρου θ. Ακόµη, η συνθήκη (1.26) ικανοποιείται αφού γ j = (1 + θ 2 )σ 2 + θσ 2 = (1 + θ 2 + θ )σ 2 <. (2.16) j = 0 Έτσι, αν η ε t είναι µια Gaussian χρονοσειρά λευκού θορύβου, τότε η ΜΑ(1) χρονοσειρά θα είναι και εργοδική για όλες τις ροπές. Η αυτοσυσχέτιση της χρονοσειράς ΜΑ(1) δίδεται από τις σχέσεις ρ 0 = 1, (2.17) γ1 ρ 1 = γ 0 = 2 θ 1 + θ, (2.18) 31

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ ρ j = 0, " j > 1. (2.19) Το γεγονός ότι οι αυτοσυσχετίσεις µεγαλύτερης από πρώτης τάξης είναι όλες µηδενικές σηµαίνει πρακτικά ότι η ΜΑ(1) χρονοσειρά έχει µνήµη µόνο µιας περιόδου, δηλαδή καθεµία παρατήρηση Υ t συσχετίζεται µόνο µε την προηγούµενη παρατηρηθείσα απόκλιση ε t 1. Ακόµη, θετική τιµή της παραµέτρου θ σηµαίνει θετική αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης ρ 1, ενώ αντιστοίχως αρνητική τιµή σηµαίνει αρνητική αυτοσυσχέτιση. Επίσης, η µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να λάβει η ρ 1 είναι 0.5 για θ = 1, ενώ η µικρότερη τιµή είναι 0.5 για θ = 1. Κάθε άλλη τιµή της ρ 1 στο ( 0.5, 0.5) µπορεί να προκύψει από δύο διαφορετικές τιµές της παραµέτρου θ, αφού η ρ 1 δεν µεταβάλλεται αν η θ αντικατασταθεί από την 1/θ. Το γεγονός αυτό συνιστά πρόβληµα στον προσδιορισµό της ενδεδειγµένης παραµέτρου θ µεταξύ των δύο δυνατών επιλογών. Το πρόβληµα αντιµετωπίζεται µε την εκλογή της τιµής της παραµέτρου θ για την οποία η ρίζα του παρακάτω χαρακτηριστικού πολυωνύµου 1 + θz = 0 (2.20) κείται εκτός του µοναδιαίου κύκλου. Αυτό συµβαίνει όταν ικανοποιείται η συνθήκη θ < 1. (2.21) Το ανωτέρω κριτήριο επιλογής της παραµέτρου θ βασίζεται στην έννοια της αντιστρεψιµότητας των χρονοσειρών, η οποία θα αναλυθεί στη συνέχεια. Στα σχήµατα 2.3 και 2.4 αντιστοίχως, παρουσιάζεται ένα τυπικό γράφηµα καθώς και η αυτοσυσχέτιση ενός παραδείγµατος ΜΑ(1) χρονοσειράς µε θ > 0. Να σηµειωθεί ότι όλα τα γραφήµατα και οι αυτοσυσχετίσεις διαφόρων παραδειγµάτων χρονοσειρών που θα παρουσιασθούν στο παρόν κεφάλαιο έχουν ληφθεί από το βιβλίο των R. Pindyck και D. Rubinfeld (1998). 32

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σχήµα 2.3: Τυπικό γράφηµα της ΜΑ(1) χρονοσειράς Υ t = 2 + ε t + 0.8ε t 1. Σχήµα 2.4: Αυτοσυσχέτιση της ΜΑ(1) χρονοσειράς Υ t = 2 + ε t + 0.8ε t 1. 2.2.2 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΜΑ ΤΑΞΗΣ q Η γενική σχέση ορισµού µιας ΜΑ(q) χρονοσειράς είναι η (2.10), η οποία µπορεί να γραφτεί και ως εξής Υ t = µ + q θ jεt j, (2.22) j = 0 όπου θ 0 1. Η µέση τιµή µ t, η διακύµανση γ 0t καθώς και η αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης µε j < q γ jt µιας ΜΑ(q) χρονοσειράς υπολογίζονται µε ακριβώς τον ίδιο τρόπο όπως στην απλή περίπτωση µιας ΜΑ(1) χρονοσειράς. Τα αποτελέσµατα παραλείποντας τις πράξεις είναι τα εξής 33

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ µ t = Ε(Υ t ) = µ, (2.23) γ 0t = Ε(Υ t µ) 2 = σ 2 q 2 θi, (2.24) i = 0 γ jt = Ε(Υ t µ)(υ t j µ) = = σ 2 q j θ j + iθi, j = 1, 2,..., q. (2.25) i = 0 Οι αυτοσυνδιακυµάνσεις µεγαλύτερης από q οστής τάξης είναι όλες µηδενικές γ jt = Ε(Υ t µ)(υ t j µ) = 0, " j > q. (2.26) Είναι προφανές ότι για όλες τις τιµές των παραµέτρων (θ 1, θ 2,..., θ q ) µια ΜΑ(q) χρονοσειρά θα είναι στάσιµη. Ακόµη, η συνθήκη (1.26) ικανοποιείται, οπότε αν η ε t είναι µια Gaussian χρονοσειρά λευκού θορύβου, τότε η ΜΑ(q) χρονοσειρά θα είναι και εργοδική για όλες τις ροπές. Η αυτοσυσχέτιση της χρονοσειράς ΜΑ(q) δίδεται από τις σχέσεις ρ 0 = 1, (2.27) ρ j = γ γ j 0 = q j θ i = 0 q i = 0 j + i θ 2 i θ i, j = 1, 2,..., q, (2.28) ρ j = 0, " j > q. (2.29) Έτσι, στη γενική περίπτωση ΜΑ(q) χρονοσειράς, οι αυτοσυσχετίσεις µεγαλύτερης από q οστής τάξης είναι όλες µηδενικές. Έτσι, κανείς µπορεί να ανιχνεύσει την τάξη q µιας ΜΑ χρονοσειράς χαράσσοντας το γράφηµα της αυτοσυσχέτισης ενός δείγµατος κατάλληλου µεγέθους Τ συναρτήσει της χρονικής µετατόπισης j, αφού για τιµές του j > q οι υπολογισµένες δειγµατικές αυτοσυσχετίσεις θα είναι κοντά στο µηδέν. 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στο σηµείο αυτό πρέπει να τονισθεί ότι µπορεί µια ΜΑ(q) χρονοσειρά να είναι στάσιµη για όλες τις τιµές των παραµέτρων (θ 1, θ 2,..., θ q ), εντούτοις υπάρχει και εδώ ένα κριτήριο επιλογής ακριβώς αντίστοιχο µε την απλή περίπτωση της ΜΑ(1) χρονοσειράς, το οποίο βασίζεται στην έννοια της αντιστρεψιµότητας των χρονοσειρών, η οποία θα αναλυθεί στη συνέχεια. Έτσι, επιλέγουµε τις τιµές των παραµέτρων έτσι ώστε οι ρίζες του παρακάτω χαρακτηριστικού πολυωνύµου 1 + θ 1 z + θ 2 z 2 +... + θ q z q = 0 (2.30) να κείνται εκτός του µοναδιαίου κύκλου. Κλείνοντας την ανάλυση των ΜΑ(q) χρονοσειρών, αξίζει να σηµειωθεί ότι λαµβάνοντας το όριο για q της γενικής σχέσης ορισµού (2.22) ορίζεται η ΜΑ( ) χρονοσειρά. Προκειµένου να ικανοποιείται η συνθήκη (1.26) η οποία εξασφαλίζει εργοδικότητα για τη µέση τιµή µ µιας ΜΑ( ) χρονοσειράς, αρκεί το απόλυτο άθροισµα των παραµέτρων θ j να είναι πεπερασµένο θ j <. (2.31) j = 0 Αν ακόµη η ε t είναι µια Gaussian χρονοσειρά λευκού θορύβου, τότε η ΜΑ( ) χρονοσειρά θα είναι και εργοδική για όλες τις ροπές. Η µέση τιµή µ, η διακύµανση γ 0 καθώς και η αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης γ j µιας ΜΑ( ) χρονοσειράς για την οποία η ανωτέρω συνθήκη επαληθεύεται δίδονται λαµβάνοντας το όριο για q των σχέσεων (2.23) έως (2.25) της ΜΑ(q) χρονοσειράς. 35

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ 2.3 ΑΥΤΟΠΑΛΙΝ ΡΟΜΙΚΕΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ (ΑR) Μια χρονοσειρά Υ καλείται αυτοπαλινδροµική χρονοσειρά τάξης p (autoregressive process of order p AR(p)) όταν κάθε παρατήρηση Υ t εκφράζεται ως ένα σταθµισµένο άθροισµα µιας σταθεράς c, p καθυστερηµένων εκδοχών της χρονοσειράς Y καθώς και µιας χρονοσειράς λευκού θορύβου ε t. Η γενική σχέση ορισµού µιας AR(p) χρονοσειράς είναι η εξής Υ t = c + Φ 1 Υ t 1 + Φ 2 Υ t 2 +... + Φ p Υ t p + ε t. (2.32) Στην ανωτέρω γενική σχέση ορισµού, η χρονοσειρά ε t ικανοποιεί της συνθήκες (2.2) έως (2.4), εφόσον αποτελεί χρονοσειρά λευκού θορύβου. Η παράµετρος c σχετίζεται µε τη µέση τιµή της χρονοσειράς, ενώ οι παράµετροι (Φ 1, Φ 2,..., Φ p ) οφείλουν να ικανοποιούν µια συγκεκριµένη συνθήκη η οποία θα αναφερθεί στη συνέχεια, προκειµένου η χρονοσειρά να είναι εργοδική. Σε µια ΑR(p) χρονοσειρά, η τρέχουσα παρατήρηση Υ t εξαρτάται από ένα επίπεδο τιµών, στο οποίο προστίθενται µια τυχαία απόκλιση ε t καθώς και οι τιµές των παρελθουσών παρατηρήσεων, που καταγράφηκαν κατά τις προηγούµενες p χρονικές στιγµές Υ t 1, Υ t 2,..., Υ t p πολλαπλασιασµένες επί συγκεκριµένων σταθερών. Οι σταθερές αυτές κρίνουν και τη βαρύτητα της επίδρασης της εκάστοτε παρελθούσας παρατήρησης στην τιµή της τρέχουσας παρατήρησης Υ t. Η ανάλυση ξεκινά µε την απλούστερη περίπτωση AR(p) χρονοσειράς πρώτης τάξης, δηλαδή µε την περίπτωση όπου p = 1. 2.3.1 ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ ΑR ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ Η σχέση ορισµού µιας χρονοσειράς ΑR πρώτης τάξης προκύπτει άµεσα από τη γενική σχέση (2.32) θέτοντας p = 1 Υ t = c + ΦΥ t 1 + ε t. (2.33) 36

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Σύµφωνα µε την έννοια της αντιστρεψιµότητας (invertibility) των χρονοσειρών, οποιαδήποτε AR(p) στάσιµη χρονοσειρά µπορεί να αντιστοιχηθεί σε µια ΜΑ( ) χρονοσειρά. Επίσης, αν ικανοποιούνται συγκεκριµένες συνθήκες, οποιαδήποτε ΜΑ(q) στάσιµη χρονοσειρά µπορεί οµοίως να αντιστοιχηθεί µε µια AR( ) χρονοσειρά, η οποία προκύπτει λαµβάνοντας το όριο για p της γενικής σχέσης ορισµού (2.32). Επί παραδείγµατι, κατά την ανάλυση των ΜΑ(1) χρονοσειρών είδαµε ότι η παράµετρος θ µπορεί να λάβει δύο δυνατές τιµές, από τις οποίες επιλέγεται η τιµή η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη (2.21). Όταν η συνθήκη αυτή ικανοποιείται τότε η ΜΑ(1) χρονοσειρά (2.11) µπορεί να αντιστοιχηθεί µε µια AR( ) χρονοσειρά η οποία δίδεται από τη σχέση (1 θl + θ 2 L 2 θ 3 L 3 +...)(Υ t µ) = ε t, (2.34) όπου µε L συµβολίζεται ο τελεστής καθυστέρησης, ο οποίος ορίζεται ως εξής L j Υ t = Υ t j, " j = 1, 2,... 1 (2.35) Στην περίπτωση που η συνθήκη (2.21) δεν ικανοποιείται, η ΜΑ(1) χρονοσειρά (2.11) δεν είναι αντιστρέψιµη αφού η AR( ) χρονοσειρά (2.34) δεν είναι καλώς ορισµένη. Οµοίως, στην γενική περίπτωση της ΜΑ(q) χρονοσειράς, αν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου (2.30) κείνται εκτός του µοναδιαίου κύκλου, η χρονοσειρά αντιστοιχίζεται µε µια ΑR( ) εργοδική χρονοσειρά, όπως ακριβώς ισχύει και στην απλή περίπτωση της MA(1) χρονοσειράς. Όσον αφορά στην περίπτωση της AR(1) χρονοσειράς (2.33), προκειµένου να επιτευχθεί εργοδικότητα για τη µέση τιµή µ θα πρέπει η ρίζα του παρακάτω χαρακτηριστικού πολυωνύµου 1 Φz = 0 (2.36) 1 Η ΜΑ(1) χρονοσειρά (2.11) µπορεί να εκφρασθεί ισοδύναµα ως Υ t µ = (1 + θl)ε t. Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της τελευταίας σχέσης µε (1 + θl) 1 προκύπτει η σχέση (2.34) αφού (1 + θl) 1 = (1 ( θ)l) 1 = 1 + ( θ)l + ( θ) 2 L 2 + ( θ) 3 L 3 +... 37

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ να κείται εκτός του µοναδιαίου κύκλου. Αυτό συµβαίνει όταν ικανοποιείται η συνθήκη Φ < 1. (2.37) Στην περίπτωση που η ανωτέρω συνθήκη ικανοποιείται, η AR(1) χρονοσειρά (2.33) αντιστοιχεί στη ΜΑ( ) χρονοσειρά Υ t = c 1 Φ + ε t + Φε t 1 + Φ 2 ε t 2 + Φ 3 ε t 3 +..., (2.38) της οποίας οι συντελεστές ορίζονται ως θ j = Φ j, " j = 0, 1, 2,... (2.39) Στην περίπτωση που η συνθήκη (2.37) δεν ικανοποιείται, η ΑR(1) χρονοσειρά (2.33) δεν είναι αντιστρέψιµη, αφού η ΜΑ( ) χρονοσειρά (2.38) δεν είναι καλώς ορισµένη. Ακόµη, µε δεδοµένο ότι ικανοποιείται η συνθήκη (2.37), τότε ικανοποιείται άµεσα και η συνθήκη (2.31) η οποία εξασφαλίζει εργοδικότητα για τη µέση τιµή µ µιας ΜΑ( ) χρονοσειράς αφού 1. (2.40) j θ j = Φ = < j = 0 j = 0 1 Φ Επιπλέον, αν η ε t είναι Gaussian χρονοσειρά λευκού θορύβου, τότε η ΜΑ( ) χρονοσειρά (2.38) θα είναι εργοδική για όλες τις ροπές. Οπότε, και η αντίστοιχή της AR(1) χρονοσειρά (2.33) θα είναι οµοίως εργοδική για όλες τις ροπές. Η µέση τιµή µ, η διακύµανση γ 0 καθώς και η αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης γ j της εργοδικής AR(1) χρονοσειράς (2.33) µπορούν να υπολογισθούν µε τους εξής δύο τρόπους: Είτε θεωρώντας την αντίστοιχη ΜΑ( ) χρονοσειρά (2.38), είτε µε απευθείας 38

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 υπολογισµό από τη σχέση ορισµού (2.33). Επί παραδείγµατι, στην περίπτωση της µέσης τιµής µ, από τη σχέση (2.38) προκύπτει άµεσα ότι µ = Ε(Υ t ) = c 1. (2.41) Φ Με τον δεύτερο τρόπο, χρησιµοποιείται ο τύπος (2.33) και το γεγονός ότι η AR(1) χρονοσειρά είναι στάσιµη Ε(Υ t ) = c + ΦΕ(Υ t 1 ) + Ε(ε t ) µ = c + Φµ. (2.42) Από την τελευταία σχέση προκύπτει άµεσα η σχέση (2.41) που δίνει τη µέση τιµή µ. Τα αποτελέσµατα για τη διακύµανση γ 0 καθώς και την αυτοσυνδιακύµανση j οστής τάξης γ j παραλείποντας τις πράξεις είναι τα εξής γ 0 = Ε(Υ t µ) 2 = σ 1 2 2 Φ γ j = Ε(Υ t µ)(υ t j µ) =, (2.43) = Φ j γ 0 = Φ j 2 σ 1 2 Φ, " j. (2.44) Η αυτοσυσχέτιση της χρονοσειράς ΑR(1) δίδεται από τη σχέση ρ j = γ γ j 0 = Φ j, " j. (2.45) Έτσι, µε δεδοµένη την ισχύ της συνθήκης (2.37) η αυτοσυσχέτιση συνιστά µια φθίνουσα γεωµετρική πρόοδο µε πρώτο όρο το 1 για j = 0, ενώ οι όροι τείνουν στο 0 καθώς αυξάνεται η τιµή της καθυστέρησης j. Η χρονοσειρά ΑR(1) έχει άπειρη µνήµη, δηλαδή 39

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΑΣΙΜΩΝ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥΣ καθεµία παρατήρηση Υ t συσχετίζεται µε όλες τις παρελθούσες αποκλίσεις που παρατηρήθηκαν, µε τη συσχέτιση να µειώνεται καθώς αυξάνεται η καθυστέρηση. Το συµπέρασµα της άπειρης µνήµης συνάγεται άµεσα και από την αντιστοιχία της AR(1) χρονοσειράς µε µια ΜΑ( ) χρονοσειρά. Τέλος, σηµειώνεται ότι θετική τιµή της παραµέτρου Φ σηµαίνει θετική αυτοσυσχέτιση κάθε τάξης, ενώ αρνητική τιµή της παραµέτρου Φ σηµαίνει αρνητική αυτοσυσχέτιση για τις περιττές τιµές του j και θετική για τις άρτιες τιµές του j. Στα σχήµατα 2.5 και 2.6 παρουσιάζεται ένα τυπικό γράφηµα καθώς και η αυτοσυσχέτιση ενός παραδείγµατος ΑR(1) χρονοσειράς µε 0 < Φ < 1. Αντιστοίχως, στο σχήµα 2.7 παρουσιάζεται η αυτοσυσχέτιση της AR(1) χρονοσειράς που προκύπτει θέτοντας την αντίθετη τιµή της παραµέτρου Φ. Σχήµα 2.5: Τυπικό γράφηµα της ΑR(1) χρονοσειράς Υ t = 2 + 0.9Y t 1 + ε t. Σχήµα 2.6: Αυτοσυσχέτιση της ΑR(1) χρονοσειράς Υ t = 2 + 0.9Y t 1 + ε t. 40