ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΧΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η διαστατική ανάλυση είναι μια τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση προβλημάτων στη Ρευστομηχανική και στα Υδραυλικά Έργα. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι : Στον έλεγχο της διαστατικής ομοιογένειας οποιασδήποτε εξίσωσης της ροής των ρευστών. Στη διατύπωση των εξισώσεων της Μηχανικής των Ρευστών με αδιάστατες παραμέτρους Στο σχεδιασμό των πειραμάτων, στην παρουσίαση των πειραματικών αποτελεσμάτων και στην εύρεση ημιεμπειρικών νόμων από τη μελέτη ενός φαινομένου. Κατά τη μελέτη φυσικών επιστημών, συναντάμε πολλές φυσικές ποσότητες, όπως το μήκος, την ταχύτητα, κ.λπ. Κάθε μια από αυτές τις ποσότητες εκφράζεται από ένα αριθμό ακολουθούμενο από μια μονάδα μέτρησης, π.χ., 0.5 m, 3 in, 0.25 mm.
Σημειώνουμε ότι m, ft, in, mm, κ.λπ. είναιόλεςμονάδεςτηςίδιας ποσότητας, δηλαδή έχουν όλες τη διάσταση του μήκους, που συμβολίζεται με [L], από το αρχικό γράμμα της αγγλικής λέξης για το μήκος,length,το οποίο τοποθετούμε εντός αγκύλης. Η διάσταση είναι έτσι μια γενικευμένη μονάδα, με την έννοια ότι οι μονάδες της ίδιας διάστασης συνδέονται πάντα μεταξύ τους με μετατροπή παραγόντων, π.χ., 1mm = 10-3 m. Ποσότητες όπως εμβαδόν, ταχύτητα, δύναμη κ.λπ. μπορούν να εκφρασθούν με βάση τις θεμελιώδεις διαστάσεις. Αυτές οι διαστάσεις ονομάζονται εξαγόμενες διαστάσεις ή δευτερεύοντες διαστάσεις. Για παράδειγμα: Εμβαδόν = Μήκος Πλάτος=L L= L 2 =M O L 2 T O
Ταχύτητα = Αποσταση Χρονος = L T = 0 1 MLT Επιτάχυνση = Ταχυτητα Χρονος = MLT T 0 1 = 0 2 MLT Δύναμη = Μάζα Επιτάχυνση = M M LT 0 2 = MLT 2 Παροχή = Ογκος νερου Χρονο = MLT 0 3 0 T = 0 3 MLT 1. 2 Έργο = Δύναμη Μήκος = MLT L = MLT 2 2. πίεση = Δυναμη Εμβαδον = MLT L 2 2 = ML 1 T 2.
2 2 1 1 1 [ μ ] = [ τ /(dv x /dy)] = [(MLT / L ) /(LT / L)] = [ML T ] 2 1 [ ν ] = [ μ/ ρ ] = [LT ] και για τον αριθμο Re ynolds [Re] = [VL / ν ] = [(LT )L / L T ] = L M T 1 2 1 0 0 0 [ Δq] = [ qτελ qαρχ ] = [ q] για κάθε q [ v / y]=[lim( Δ v / Δ y )] [ v / y ] [ T 1 = = ] x Δy 0 x x
ΠΙΝΑΚΑΣ 2.1.1 Ποσότητα Εξίσωση Διαστάσεις Μονάδα Σύμβολο Γεωμετρική Γωνία Τόξο / Ακτίνα (λόγος) [M 0 L 0 T 0 ] ακτίνιο rad Μήκος (Εμπεριέχονται όλες οι [L] μέτρο m μονάδες μήκους) Eπιφάνεια Μήκος Μήκος [L 2 ] τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Επιφάνεια Μήκος [L 3 ] κυβικό μέτρο m 3 1η ροπή επιφάνειας Επιφάνεια Μήκος [L 3 ] μέτρο στην m 3 τρίτη 2η ροπή επιφάνειας Επιφάνεια Μήκος 2 [L 4 ] μέτρο στην m 4 τετάρτη Παραμόρφωση Επέκταση Μήκος [L 0 ] λόγος Κινηματική Χρόνος [T] s Ταχύτητα, Απόσταση / Χρόνος [LT -1 ] μέτρο ανά m s -1 γραμμική Επιτάχυνση, γραμμική Γραμμική ταχύτητα / Χρόνος [LT -2 ] μέτρο ανά στο τετράγωνο Ταχύτητα, γωνιακή Γωνία / Χρόνος [T -1 ] ακτίνια ανά Επιτάχυνση, Γωνιακή ταχύτητα / γωνιακή Χρόνος [T -2 ] ακτίνια ανά στο τετράγωνο Παροχή Όγκος / Χρόνος [L 3 T -1 ] κυβικά μέτρα ανά m s -2 rad s -1 rad s -2 m 3 s -1 Δυναμική Μάζα Δύναμη / Επιτάχυνση [M] χιλιόγραμμο kg Δύναμη Μάζα Επιτάχυνση [MLT -2 ] νευτώνιο N= kg m s -2 Βάρος Δύναμη [MLT -2 ] νευτώνιο N Πυκνότητα μάζας Μάζα / Όγκος [ML -3 ] χιλιόγραμμο ανά κυβικό μέτρο Ειδικό βάρος Βάρος / Όγκος [ML -2 T -2 ] νευτώνιο ανά κυβικό μέτρο kg m -3 N m -3
ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΧΡΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Πίεση (pressure) Τάση (stress) Μέτρο ελαστικότητας Ορμή (momentum) Στροφορμή Δύναμη / Επιφάνεια [ML -1 T -2 ] νευτώνιο ανά μέτρο στο τετράγωνο= Pascal Δύναμη / Επιφάνεια [ML -1 T -2 ] νευτώνιο ανά μέτρο στο Τάση / Σχετική Παραμόρφωση [ML -1 T -2 ] τετράγωνο νευτώνιο ανά μέτρο στο τετράγωνο Μάζα ταχύτητα [MLT -1 ] χιλιόγραμμομέτρο ανά Ροπή αδράνειας Γωνιακή ταχύτητα [ML 2 T -1 ] χιλιόγραμμοτετραγωνικό μέτρο ανά Έργο, (ενέργεια) Δύναμη Απόσταση [ML 2 T -2 ] νευτώνιομέτρο = joule Ισχύς Έργο / Χρόνος [ML 2 T -3 ] joule ανά (power) = Watt Ροπή δύναμης Δύναμη Απόσταση [ML 2 T -1 ] νευτώνιομέτρο Ιξώδες, δυναμικό Διατμητική τάση / Βαθμίδα [ML -1 T -1 ] χιλιόγραμμο ταχύτητας ανά μέτρο- Ιξώδες, κινηματικό Δυναμικό ιξώδες / Πυκνότητα μάζας Επιφανειακή τάση ( προσοχή : δεν έχει διαστάσεις τάσης) [L 2 T -1 ] τετραγωνικό μέτρο ανά Δύναμη /μήκος [MT -2 ] νευτώνιο ανά μέτρο = χιλιόγραμμο ανά στο τετράγωνο N m -2 =Pa N m -2 N m -2 kgms -1 kg m 2 s -1 N m = j j s -1 = W N m kg m -1 s -1 m 2 s -1 N m -1 = kg s -2
Δύο Είδη Αριθμών : αδιάστατοι και διαστατοί Ένας αδιάστατος «καθαρός» αριθμός είναι ένας αριθμός στον οποίο δεν προσαρτούνται μονάδες. Για παράδειγμα, ο τύπος του διαστήματος που διανύεται από ένα σωματίδιο που κινείται υπό τη δύναμη της βαρύτητας και ξεκινά από την ηρεμία περιέχει ένα αδιάστατο αριθμό ½ χ= 1 2 2 gt Ένας διαστατός αριθμός είναι ο αριθμός που ακολουθείται από μια μονάδα που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση. Για παράδειγμα, οι τιμές των χ, g, και t στην παραπάνω εξίσωση δεν είναι καθαροί αριθμοί, και πρέπει να δηλωθεί γι αυτές η αριθμητική τιμή τους και οι αντίστοιχες μονάδες. Είναι επομένως διαστατοί αριθμοί
Η αρχή της διαστατικής ομοιογένειας δηλώνει ότι η εξίσωση που εκφράζει ένα φυσικό φαινόμενο είναι αλγεβρικά σωστή εάν είναι διαστατικά ομοιογενής. Η εξίσωση είναι διαστατικά ομοιογενής εάν τα θεμελιώδη μεγέθη M, L και T είναι ισοδύναμα και στα δύο μέρη. Έστω M a L b T c = M d L e T f Αυτή η εξίσωση θα ονομάζεται ομοιογενής, εάν a = d, b = e, c = f Η αρχή της διαστατικής ομοιογένειας χρησιμοποιείται: τον έλεγχο της διαστατικής ομοιογένειας σε μια εξίσωση. την αλλαγή μονάδων από ένα σύστημα σε άλλο.
Το πρώτο πρόβλημα της διαστατικής ανάλυσης είναι ο καθορισμός του αριθμού m των αδιάστατων μονώνυμων π i. Το δεύτερο πρόβλημα είναι να προσδιορισθούν τα m ανεξάρτητα μονώνυμα π. Το θεώρημα των π (θεώρημα των Vaschy -Buckingham) - Πρακτικοί κανόνες - Γενικές οδηγίες Θεωρούμε ένα οποιοδήποτε πρόβλημα που περιέχει ζ φυσικές ποσότητες q 1,q 2,.q ζ, που συνδέονται με τη γενική συναρτησιακή σχέση Φ( q, q,..., q ) = 0 1 2 ζ Υποθέτουμε ότι οι θεμελιώδεις διαστάσεις που εμφανίζονται στις παραπάνω σχέσεις είναι γ (π.χ. αν το q 1 είναι ταχύτητα και το q 2 είναι πυκνότητα, τότε εμφανίζονται οι τρεις θεμελιώδεις διαστάσεις L, M, T και συνεπώς γ=3). Το θεώρημα των π βεβαιώνει ότι υπάρχουν m=ζ-γ ανεξάρτητα μεταξύ τους αδιάστατα μονώνυμα, τα π 1, π 2,..., π m, τα οποία περιγράφουν πλήρως το φαινόμενο, με την συναρτησιακή σχέση π = Ψ ( π, π,..., π ) 1 2 3 m
Πρακτικοί κανόνες για την διαστατική ανάλυση (0) Δημιουργήστε μια λίστα των αδιάστατων παραμέτρων α 1, α 2, α 3 κλπ, που αποτελούν μέρος του προβλήματος, π.χ. η γωνία ενός τριγωνικού υπερχειλιστή είναι μια αδιάστατη παράμετρος. (1) Δημιουργήστε μια λίστα των ζ διαστατών ποσοτήτων (φυσικών μεγεθών ) του προβλήματος,q 1,q 2,..., q ζ. (2) Βρείτε τις γ θεμελιώδεις διαστάσεις των παραπάνω φυσικών μεγεθών. (3) Γράψτε τη γενική έκφραση των π i σαν γινόμενα των δυνάμεων των φυσικών μεγεθών στη γενική τους μορφή: π i = q 1 q 2... q 2 j j j i ζ ζ (4) Αντικαταστήσετε τα φυσικά μεγέθη με τις θεμελιώδεις διαστάσεις τους (5) Εξισώστε το συνδυασμό των δεικτών κάθε θεμελιώδους ποσότητας με μηδέν. Αν ζ=γ, πηγαίνετε στο Βήμα (7).
(6) Επιλύστε το σύστημα των αλγεβρικών εξισώσεων επιλέγοντας τις ζ-γ κύριες (βασικές) ποσότητες, σύμφωνα με την ακόλουθη σειρά προτίμησης: ζητούμενη ποσότητα (το φυσικό μέγεθος που θέλουμε να προσδιορίσουμε συναρτήσει των άλλων) μ,g πτώση πίεσης Δp, το μήκος L, παροχή Q, M, ρ, V,...(με αυτή τη σειρά) Δώστε τιμές, διαδοχικά στον δείκτη της δύναμης της μίας από τις κύριες ποσότητες, το 1, και στους δείκτες των δυνάμεων των υπολοίπων κυρίων ποσοτήτων, το 0. Αν εμφανιστούν τα μονώνυμα (Δύναμη)/ρV 2 l 2, Δp/ρV 2, μ/ρvl, gl/v 2 χρησιμοποιήστε, αντί αυτών το συντελεστή αντίστασης C F =(Δύναμη)/(ρV 2 l 2 /2), τον συντελεστή πίεσης C Δp = Δp/(ρV 2 /2), τον αριθμό Reynolds Re = ρvl/μ, και τον αριθμό Froude Fr=V 2 /gl, αντίστοιχα
(7) Αν η παραπάνω διαδικασία οδηγήσει σε ζ-γ ανεξάρτητα μονώνυμα π, πηγαίνετε στο Βήμα (9). Αν προκύψει κάποιο πρόβλημα (εκτός αυτών των αλγεβρικών πράξεων), εγκαταλείψτε την επίλυση των αδύνατων π και προχωρήστε στο Βήμα (8). (8) Δείτε μήπως μια (ή περισσότερες) αλγεβρικές εξισώσεις μπορούν να προκύψουν από (γραμμικό) συνδυασμό των υπολοίπων, οπότε εμφανίζονται οι εξής τρεις περιπτώσεις: (Α) Αν ναι, εξαιρέστε τις περιττές εξισώσεις, μειώστε το γ κατά αριθμό ίσο με τις περιττές εξισώσεις, και πηγαίνετε στο Βήμα (5). (Β) Αν δεν προκύψει αδιάστατο μονώνυμο και ζ = γ, οι ποσότητες q 1,q 2,..., q ζ απλώς δεν σχηματίζουν καμία αδιάστατη παράμετρο. (Γ) Αν δεν προκύψει αδιάστατο μονώνυμο και ζ#γ, πηγαίνετε πίσω στο Βήμα (5α), επιλέξτε διαφορετικές κύριες ποσότητες, και προχωρήστε ξανά. (9) Το αποτέλεσμα της διαστατικής ανάλυσης είναι φ ( a, a,..., π, π,..., π ) = 0 1 2 1 2 m όπου m=ζ-γ
(10) Όποτε εμφανίζονται οι ποσότητες ρ, V, l και μ, αμέσως να καταχωρείτε τον αριθμό Reynolds Re σαν ένα από τα αδιάστατα π και παραλείψτε το μ. Ομοίως, αν εμφανίζονται οι ποσότητες V, g, l, τότε αμέσως να καταχωρείτε τον αριθμό Froude Fr και να παραβλέψτε το g Γενικές Οδηγίες και εμπειρίες Η διαστατική ανάλυση θα ήταν λάθος να θεωρηθεί απλώς σαν μια αλγεβρική αριθμητική διαδικασία. Η διαστατική ανάλυση είναι επιτυχής όταν συνδυάζεται με έντεχνη εμβάθυνση στο εξεταζόμενο πρόβλημα, και έχει τα χαρακτηριστικά της τέχνης, και λιγότερο της επιστήμης. Ο έμπειρος μηχανικός καταλήγει στα σωστά αδιάστατα μονώνυμα σχεδόν ενστικτωδώς.
Είναι σημαντικό να επιλεγούν οι σωστές μεταβλητές. Προφανώς ένα λανθασμένο σύνολο μεταβλητών θα δώσει λανθασμένα συμπεράσματα. Επίσης υπάρχει η ανάγκη το σύνολο των μεταβλητών να περιορίζεται στο δυνατόν μικρότερο αριθμό. Ένας μεγάλος αριθμός μεταβλητών συνεπάγεται ότι και ο αριθμός των π θα είναι εξίσου μεγάλος, συνεπώς χάνεται το πλεονέκτημα της διαστατικής ανάλυσης. Συνδυάστε, όπου είναι δυνατόν, πολλές μεταβλητές για να δημιουργήσετε μία μόνο μεταβλητή, που να έχει βέβαια φυσική σημασία. Για παράδειγμα, στην περίπτωση μιας εκροής από δεξαμενή με πυκνότητα ρ σε χώρο που η πυκνότητα είναι ρ-δρ, ηλίστατων μεταβλητών μπορούσε να περιλαμβάνει ρ, Δρ και g. Αλλά αφού το Δρ και το g είναι σχετικά όπως εμφανίζονται στο γινόμενο gδρ (ανωστική δύναμη ανά μονάδα όγκου), απαιτείται μόνο η απλή μεταβλητή gδρ αντί για τις δύο g και Δρ.
Κάντε δοκιμαστικές υποθέσεις βάσει της γνώσης σας στη ρευστομηχανική, όπως να παραλείψετε το ιξώδες σε ροές με μεγάλους αριθμούς Reynolds (αυτό μερικές φορές πετυχαίνει, αλλά όχι πάντα). Στο σχηματισμό των αδιάστατων ομάδων, ψάξτε για γνωστούς αδιάστατους αριθμούς στη ρευστομηχανική (Reynolds, Froude, Richardson, συντελεστές τριβής, συντελεστές εκροής, λόγο μηκών κλπ). Θυμηθείτε ότι δεν υπάρχει κάποιος μοναδικός τρόπος για να σχηματίσουμε τα αδιάστατα μονώνυμα π, επομένως μπορεί κανείς να επιμείνει στους γνωστούς αδιάστατους αριθμούς για τους οποίους έχουμε ήδη μία εμπειρία και διαίσθηση.
Σιγουρευτείτε ότι τα αδιάστατα μονώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα μεταξύ τους (το ένα να μην είναι συνδυασμός των άλλων). Για διευκόλυνση χρησιμοποιήστε την ανεξάρτητη μεταβλητή σε μια μόνο ομάδα (q 1 μόνο στην π 1 ) έτσι ώστε η συναρτησιακή σχέση στον αδιάστατο τύπο να είναι άμεση συνάρτηση των εξαρτημένων μεταβλητών. Εάν υπάρχουν υποψίες ότι μια μεταβλητή μπορεί να μην συμμετέχει ουσιαστικά σε κάποιο πρόβλημα, τότε σιγουρευτείτε ότι αυτή εμφανίζεται σε μια μόνο ομάδα. Στηνπερίπτωσηαυτήαποσύρονταςμιαμεταβλητή(όπως το ιξώδες), αποσύρεται και μια ομάδα, και ότι έχει μείνει είναι η επίλυση του προβλήματος με μια μεταβλητή λιγότερη. Αν εμφανίσετε μια ασήμαντη μεταβλητή σε δύο ομάδες μπορεί ακόμα και να μην προσέξετε ότι μπορούσε να αμεληθεί.