13. poglavje: Energija

13. poglavje: Energija 1. (Naloga 3) Koliko kilovatna je peč za hišno centralno kurjavo, ki daje 126 MJ toplote na uro? Podatki: Q = 126 MJ, t = 3600 s; P =? Če peč z močjo P enakomerno oddaja toploto, velja (II, 11) Q = P t. Poznamo toploto (Q), ki jo odda peč v času t, zato dobimo moč kot P = Q t = 126 106 J 3600 s = 35 kw. Odgovor: Peč, ki daje 126 MJ toplote na uro, ima moč 35 kw. 2. (Naloga 6) Kolesar se pelje navzdol po enakomerno strmem klancu in zavira z zadnjo zavoro. Oceni približno, za koliko največ se segreje vsa zavora (skupaj z ležaji, gredjo in ohišjem), ki je iz železa in tehta 1 kg, če se kolesar spusti za 20 metrov niže! Kolesar s kolesom vred tehta 90 kg. Podatki: m k = 90 kg, m = 1 kg, h = 20 m; T =? Energijski zakon (II, 65) za kolesarja s kolesom vred pravi, da je sprememba celotne energije (kinetične, potencialne in notranje) enaka vsoti prejetega dela (A) in toplote (Q): W k + W p + W n = A + Q (A je delo vseh zunanjih sil razen sile teže; delo sile teže je upoštevano v W p ). Kolesarju, ki vozi po klancu enakomerno navzdol, se kinetična energija ne spreminja (saj je hitrost ves čas enaka): W k = 0. Se mu pa 0

zmanjšuje potencialna energija W p. Ko se spusti za višino h, je sprememba potencialne energije W p = m k gh. Spreminja se tudi notranja energija. Vzeli bomo, da se segreva le zavora in da se le zavori povečuje notranja energija. Edina sila, ki na sistemu kolesar-kolo opravlja delo, je sila teže (delo sile trenja med kotalečimi se kolesi in tlemi zanemarimo). Torej je A = 0. Tudi toplote sistem od zunaj ne prejema. Torej je Q = 0. Tako od energijskega zakona ostane 0 + ( m k gh) + W n = 0. Sprememba notranje energije zavore z maso m je povezana s temperaturno spremembo: W n = mc p T, c p je specifična toplota železa (tabela 13.1, II, 68). Tako dobimo m k gh = mc p T, odkoder izračunamo, za koliko stopinj se največ segreje zavora: T = m kgh mc p = 90 kg 9,8 m s 2 20 m 1 kg 450 J kg 1 K 1 = 39 K. Odgovor: Ko se kolesar, ki tehta s kolesom vred 90 kg, pelje po klancu navzdol tako, da zavira in vozi enakomerno, ter se spusti za 20 metrov, se železna zavora, ki tehta 1 kg, segreje za največ 39 stopinj. 3. (Naloga 12) *Koliko toplote je treba, da segrejemo pri tlaku 1 bar zrak v sobi z velikostjo 4 m 5 m 3 m od 10 C do 20 C? Podatki: p = 1 bar, V = 4 m 5 m 3 m, T 1 = 10 C, T 2 = 20 C; Q =? Prostornina sobe je ves čas enaka, V s = 4 m 5 m 3 m = 60 m 3. Množina zraka v sobi pa se spreminja. Ko ga namreč pri stalnem tlaku segrevamo, se razteza in uhaja iz sobe v okolico skozi špranje pri oknih in vratih. Zato se masa zraka v sobi zmanjšuje. Iz enačbe stanja za idealni plin (I, 120), pv = (m/m)rt (p, V in T so tlak, prostornina in temperatura plina, m in M sta njegova masa in kilomolska masa, R pa je splošna plinska konstanta) izrazimo maso zraka v sobi: m = pmv s /RT. Ker je tlak stalen, se s segrevanjem zmanjšuje masa zraka v sobi. Naj bosta T 1 in m 1 = pmv s /RT 1 temperatura in masa zraka na začetku segrevanja. Tedaj lahko izrazimo maso 1

zraka v sobi v odvisnosti od temperature kot m(t ) = pmv s /RT = (pmv s /RT ) (T 1 /T 1 ) = (pmv s /RT 1 ) (T 1 /T ) = m 1 T 1 /T. Toplota, ki je potrebna, da zrak segrejemo od temperature T na T +dt, je (II, 68) dq = m(t ) c p dt, kjer smo z m(t ) zaznamovali maso zraka v sobi, ko je temperatura enaka T. Celotna toplota pa je enaka vsoti prispevkov dq, ki jih je treba dovesti, da zraste temperatura od T 1 do T 2 : Q = T2 T 1 m(t ) c p dt = T2 T 1 m 1 T 1 c p dt T = m 1 T 1 c p T2 T 1 dt T. Izračunajmo Q! Pri računanju produkta m 1 T 1 c p upoštevamo, da je m 1 T 1 = pmv s /R in vzamemo p = 1 bar = 10 5 Pa, kilomolska masa zraka je (II, 71) M = 29 kg, R = 8300 J/K, specifična toplota zraka pa (II, 71) c p = 1010 J/kg K. Tako dobimo m 1 T 1 c p = pmv sc p R = 105 Pa 29 kg 60 m 3 1010 J kg 1 K 1 8300 J K 1 = 2,1 10 7 J. Vsoto dt/t izračunamo tako, da celotni temperaturni interval od T 1 = 10 C do T 2 = 20 C razdelimo npr. na 5 delov širine dt = 2 K; prvi podinterval gre od 10 C = 283 K do 12 C = 285 K, drugi od 12 C = 285 K do 14 C = 287 K itn. V kvocientu dt/t vzamemo vsakokrat temperaturo na sredini podintervala. Pri prvem podintervalu je to T 1,s = 11 C = 284 K, pri drugem T 2,s = 13 C = 286 K itn. Tako dobimo dt T = 2 K 284 K + 2 K 286 K + 2 K 288 K + 2 K 290 K + 2 K 292 K = 0,0347. (Kdor že zna računati integrale, si lahko prihrani zadnji račun: T 2 T 1 dt/t = ln(t 2 /T 1 ) = ln(293 K/283 K) = 0,0347.) Celotna toplota Q, ki jo potrebujemo, da segrejemo sobo, je Q = m 1 T 1 c p T2 T 1 dt T = (2,1 107 J) 0,0347 = 730 kj. Odgovor: Da pri tlaku 1 bar segrejemo zrak v sobi velikosti 4 m 5 m 3 m od 10 C do 20 C, je treba dovesti 730 kj toplote. 2

4. (Naloga 13) *1 dm 3 zraka z začetnim tlakom 1 bar pri stalni temperaturi 20 C počasi stisnemo na prostornino 0,9 dm 3. Koliko toplote odda zrak pri tem? Za koliko se mu spremeni notranja energija? Kolikšen je končni tlak? Podatki: V 1 = 1 dm 3, p 1 = 1 bar, T 1 = 20 C, V 2 = 0,9 dm 3 ; Q =?, W n =?, p 2 =? Ker stiskamo plin pri stalni temperaturi (T = const), velja Boylov zakon (I, 100): produkt tlaka in prostornine plina se ne spreminja, pv = p 1 V 1. Najprej izračunajmo delo, ki ga plin prejme pri stiskanju. To je delo tlaka, ki je enako (II, 31) A = p dv. Ko plin stiskamo, se hkrati s prostornino spreminja tudi tlak; odvisnost tlaka od prostornine je po Boylovem zakonu p(v ) = p 1 V 1 /V, tako da je delo A = p dv = p 1 V 1 dv/v. Pri izračunu A = p dv bomo za prostonino V, ki se spreminja od V 1 = 1 dm 3 do V 2 = 0,9 dm 3, vzeli kar srednjo vrednost V s = 1 2 (V 1 + V 2 ) = 0,95 dm 3, sprememba prostornine pa je seveda V = V 2 V 1 = 0,1 dm 3. Tako dobimo A = p 1 V 1 dv V = p 1V 1 ( V V s ) ( ) = 10 5 Pa 10 3 m 3 0,1 dm 3 = 10,5 J. 0,95 dm 3 Vemo, da je notranja energija (W n ) plinov odvisna le od temperature (II, 71). Če je temperatura stalna, se tudi notranja energija ne spreminja. V našem primeru, ko plin stiskamo izotermno, tj. pri stalni temperaturi, je potemtakem W n = 0. Po drugi strani nam energijski zakon (II, 65) pove, da je sprememba energije telesa enaka vsoti prejetega dela in toplote: W n = A + Q 3

(kinetična in potencialna energija se ne spreminjata, saj plin miruje). Ker je W n = 0, to pomeni, da je toplota Q = A = 10,5 J. Ko plin izotermno stisnemo, se mu notranja energija ne spremeni; plin odda toliko toplote, kolikor prejme dela. Končni tlak plina dobimo spet iz Boylovega zakona: produkt tlaka in prostornine je konstanten, kar pomeni, da je enak tudi na začetku in na koncu: p 1 V 1 = p 2 V 2. Odtod dobimo za končni tlak p 2 = p 1V 1 V 2 = 1 bar 1,0 dm3 0,9 dm 3 = 1,1 bar Dodatek: Če znamo integrirati, lahko delo, ki ga opravimo pri stiskanju plina, izračunamo iz A = p dv (II, 29): V2 V2 dv A = p(v ) dv = p 1 V 1 V 1 V 1 V = p 1V 1 ln ( ) 1,0 dm = 10 5 Pa 10 3 m 3 3 ln 0,9 dm 3 = 10,5 J. ( ) V2 V 1 = +p 1 V 1 ln ( ) V1 Toplota, ki jo plin izmenja pri izotermnih spremembah ( T = 0 in zato W n = 0), je torej enaka Q = A = p 1 V 1 ln ( V2 če se temperatura plina ne spreminja, plin pri stiskanju toploto oddaja, pri razpenjanju pa mu jo je treba dovajati. Odgovor: Ko počasi stisnemo 1 dm 3 zraka z začetnim tlakom 1 bar pri stalni temperaturi 20 C na prostornino 0,9 dm 3, odda pri tem toploto 10,5 J. Notranja energija se mu pri stiskanju ne spremeni, končni tlak pa je 1,1 bara. V 1 ) ; V 2 4

5. (Naloga 14) *Kako pa je, če zrak iz prejšnje naloge tako hitro stisnemo, da lahko računamo, kakor da je toplotno izoliran? Za koliko se zrak segreje? Kolikšen je končni tlak? Podatki: V z = 1 dm 3, p z = 1 bar, T z = 20 C, V k = 0,9 dm 3 ; T =?, p k =? Energijski zakon pove, da je sprememba notranje energije sistema enaka vsoti dovedenega dela in toplote (II, 65, 70): dw n = da + dq. Pri adiabatnih spremembah, pri katerih sistem ne prejme in ne odda nič toplote, je dq = 0 in dw n = da. Sprememba notranje energije je (II, 71) dw n = mc V dt, delo tlaka pa je (II, 29, 70) da = pdv. Tako ostane m c V dt = p dv. (13.1) Izrazimo tlak p iz enačbe stanja (I, 120): pv = (m/m)rt in p = m(r/m)(t/v ). To vstavimo v (13.1): m c V dt = m(r/m)(t/v )dv. Enačbo krajšajmo z m in preuredimo, pa dobimo c V dt T = (R/M) dv V. (13.2) Uporabimo zvezo c p c V = R/M (II, 71) in označimo κ = c p /c V. Ko delimo enačbo (13.2) na obeh straneeh s c V, dobimo dt T = (κ 1) dv V. (13.3) Enačba (13.3) povezuje relativno spremembo temperature z relativno spremembo prostornine. Ker poznamo le začetno temperaturo zraka (T z ), temperatura pa se pri stiskanju spreminja, bomo celotno spremembo temperature T izračunali tako, da bomo stiskanje od začetne prostornine V z do končne prostornine V k razdelili na več delov in za vsakega izračunali dt in novo temperaturo T. Celotno spremembo prostornine V k V z = 0,1 dm 3 razdelimo npr. na 5 delov, tako da je dv = 0,02 dm 3. Prvi prostorninski podinterval gre tako od V z V 1 = 1 dm 3 do V 2 = 0,98 dm 3, drugi gre od V 2 = 0,98 dm 3 do V 3 = 0,96 dm 3 itn. V kvocientu dv/v bomo jemali prostornino na 5

sredini teh podintervalov: za prvega je V 1,s = 0,99 dm 3, za drugega V 2,s = 0,97 dm 3 itn. Temperaturo bomo računali iz enačbe (13.3). Najprej bomo izračunali dt za zaporedne korake, dt = (κ 1) T (dv/v ). Sprememba temperature, ko zrak prvič stisnemo za en dv, je dt 1 = (κ 1) T 1 (dv/v 1,s ) (pri tem je T 1 = T z začetna temperatura), tako da je nova temperatura T 2 = T 1 + dt 1. Ko stisnemo zrak še za dv, se temperatura spremeni za dt 2 = (κ 1) T 2 (dv/v 2,s ) in nova temperatura je T 3 = T 2 + dt 2. Tako nadaljujemo; pri n-tem koraku je dt n = (κ 1) T n (dv/v n,s ) in T n+1 = T n + dt n. Izračun je podrobno prikazan v spodnji tabeli. n V n,s [dm 3 ] T n [K] dt n [K] 1 0,99 293 2,37 2 0,97 295,37 2,49 3 0,95 297,85 2,51 4 0,93 300,36 2,58 5 0,91 302,95 2,66 6 305,61 Pri računanju smo vzeli (II, 71) κ = c p /c V = 1010 J kg 1 K 1 /720 J kg 1 K 1 = 1,4 (ob tem omenimo, da je κ = 7/5 za vse dvoatomne pline). Po petih korakih smo prišli do končne temperature T k = T 6 = 305,6 K = 32,6 C. Sprememba temperature pa je T = T k T z = 12,6 K. Končni tlak izračunamo iz enačbe stanja (I, 120) pv/t = const: od koder dobimo p k = p z ( Tk T z p z V z T z ) ( ) Vz = 1 bar V k 6 = p k V k T k, ( ) ( ) 305,6 K 1 dm 3 = 1,16 bar. 293 K 0,9 dm 3

Dodatek: Če znamo integrirati, si računanje poenostavimo. Ko enačbo (13.3) integriramo, tako da na obeh straneh izhajamo iz začetnega in končamo v končnem stanju, dobimo Tk T z dt T = (κ 1) Vk V z dv V, ln(t k /T z ) = (κ 1) ln(v k /V z ) = ln(v z /V k ) κ 1. Logaritma sta enaka, če sta enaka njuna argumenta: T k /T z = (V z /V k ) κ 1, kar prepišemo kot T k Vk κ 1 = T z Vz κ 1. (13.4) Odtod takoj dobimo končno temperaturo ( ) ( ) κ 1 Vz 1 dm 3 1,4 1 T k = T z = 293 K V k 0,9 dm 3 = 305,6 K = 32,6 C. Če temperaturi v enačbi (13.4) izrazimo z enačbo stanja, T z = p z V z M/mR in T k = p k V k M/mR, pa dobimo p z V κ z Odtod lahko neposredno izračunamo končni tlak: = p k V κ k. (13.5) ( ) ( ) κ Vz 1 dm 3 1,4 p k = p z = 1 bar V k 0,9 dm 3 = 1,16 bar. Odgovor: Ko zrak s temperaturo 20 C in pri tlaku 1 bar stisnemo od prostornine 1 dm 3 na prostornino 0,9 dm 3 tako hitro hitro, da lahko računamo, kakor da je toplotno izoliran, se zrak segreje za 12,6 K, tlak pa se mu poveča na 1,16 bara. 6. (Naloga 16) V 2 kg vode, ki ima 50 C, primešaj 0,5 kg ledu s temperaturo 10 C. Kolikšna je končna temperatura? Podatki: m v = 2 kg, T v = 50 C, m l = 0,5 kg, T l = 10 C; T =? 7

Vodo in led obravnavamo kot en toplotno izoliran sistem. Sistem tako z okolico ne izmenja nič toplote. Se pa toplota znotraj sistema preliva med deli, ki imajo različno temperaturo. Toplotni tokovi zamrejo, ko se po celem sistemu vzpostavi enaka (končna) temperatura. Topla voda z maso m v toploto oddaja in se ohladi od začetne temperature T v = 50 C do končne temperature T. Topota, ki jo odda voda, je Q v = m v c v (T T v ), c v je specifična toplota vode. Toplota Q v je negativna, ker jo toplota odda. Led z maso m l toploto prejema, najprej toliko, da se segreje od začetne temperature T l = 10 C na T 0 = 0 C. Ta toplota znaša Q l,1 = m l c l (T 0 T v ), c l je specifična toplota ledu. Ko pri temperaturi T 0 = 0 C ledu še naprej dovajamo toploto, se začne (pri stalni temperaturi) taliti, dokler se ves ne stali. Pri tem prejme toploto Q l,2 = m l q t, q t je talilna toplota ledu. Ko se ves led stali in nastala voda še vedno prejema toploto, se segreva, dokler ne doseže končne temperature T. Toplota, ki jo prejme, je Q l,3 = m l c v (T T 0 ). Toplote Q l,1, Q l,2 in Q l,3 so pozitivne, ker jih led oz. nastala voda prejemajo. V celoti je med deli sistema izmenjana toplota enaka nič, Q v + Q l,1 + Q l,2 + Q l,3 = 0 oziroma m v c v (T T v ) + m l c l (T 0 T l ) + m l q t + m l c v (T T 0 ) = 0. (16.1) Enačbo preuredimo. Najprej zapišimo in to vstavimo (16.1): T T v = (T T 0 ) + (T 0 T v ) m v c v [(T T 0 ) + (T 0 T v )] + m l c l (T 0 T l ) + m l q t + m l c v (T T 0 ) = 0. Zberimo člene s faktorjem T T 0 : (m v c v + m l c v )(T T 0 ) + m v c v (T 0 T v ) + m l c l (T 0 T l ) + m l q t = 0. (16.2) Temperaturni razliki T v T 0 in T 0 T l, ki nastopata v gornji enačbi, sta T v T 0 = 50 C 0 C = 50 C = 50 K in T 0 T l = 0 C ( 10 C) = 10 C = 10 K. 8

Sedaj iz (16.2) izrazimo temperaturno razliko T T 0 : T T 0 = m v c v (T v T 0 ) m l c l (T 0 T l ) m l q t (m v + m l ) c v = 2 kg 4200 J kg 1 K 1 50 K 0,5 kg (2100 J kg 1 K 1 10 K + 336 000 J kg 1 ) (2 kg + 0,5 kg) 4200 J kg 1 K 1 = 23 K = 23 C. Končna temperatura je potemtakem T = T 0 + 23 K = 0 C + 23 C = 23 C. Opomba: Enačbo (16.2) lahko zelo nazorno interpretiramo. Najprej jo nekoliko preuredimo: m v c v (T v T 0 ) m l c l (T 0 T l ) m l q t = (m v + m l ) c v (T T 0 ). (16.2 ) Na levi strani (16.2 ) je toplota, ki jo voda odda, ko jo v mislih ohladimo na 0 C (prvi člen); od te toplote odštejemo toploto, ki je potrebna za segrevanje ledu na 0 C (drugi čen) in toploto, ki je potrebna za taljenje ledu (tetji člen). Na desni strani je toplota, ki se porabi za segrevanje prvotne vode in vode, ki je nastala iz ledu, od 0 C do končne temperature T. Odgovor: Ko v 2 kg vode s temperaturo 50 C stresemo 0,5 kg ledu s temperaturo 10 C, dobimo vodo s končno temperaturo 23 C. 7. Koliko pare s temperaturo 100 C moraš napeljati v 1 kg ledeno mrzle vode, da se segreje do 100 C? Podatki: T p = 100 C, m v = 1 kg, T 0 = 0 C, T v = T p ; m p =? Ledenomrzla voda z maso m v se mora segreti do T p = 100 C na račun toplote, ki jo prejme od vodne pare z maso m, ki se pri temperaturi 100 C ravno vsa utekočini, tako da imamo na koncu maso m v +m vode pri 100 C. Torej imamo m v c p (T p T 0 ) = mq i, 9

c p = 4200 J/kg K in q i = 2,26 MJ/kg sta specifična toplota in izparilna toplota vode (tabela 13.3, II, 74). Temperaturna razlika T p T 0 znaša 100 C 0 C = 100 C = 100 K, tako da dobimo za neznano maso m m = m v c p (T p T 0 ) q i = 1 kg 4200 J kg 1 K 1 100 K 2,26 10 6 J kg 1 = 0,186 kg. Odgovor: Da se 1 kg ledenomrzle vode segreje do 100 C, moramo vanjo napeljati 0,186 kg vodne pare s temperaturo 100 C. 10