ZBIRKA REŠENIH PROBLEMOV IN NALOG

Transcript

1 Izr. Prof. dr. Andrej Kitanovski Asist. dr. Urban Tomc Prof. dr. Alojz Poredoš ZBIRKA REŠENIH PROBLEMOV IN NALOG Učni pripomoček pri predmetu Prenos toplote in snovi Ljubljana, 2017

2 V tem delu so zbrane rešene računske vaje iz pedagoških vaj, izpitov in kolokvijev, ki smo jih v zadnjih treh letih izvedli v okviru Laboratorija za hlajenje in daljinsko energetiko pri predmetu Prenos toplote in snovi. To delo je torej prvo izmed številnih v seriji, ki jih bomo v okviru predmeta ponudili v pomoč študentom v prihodnjih letih. Literatura, ki služi kot opora pri reševanju in razumevanju področja in ki jih posamezna naloga predstavlja, je sledeča: [1] T.L. Bergamn, A.S. Lavine, F.P. Incropera, D.P. Dewitt: Fundamentals of Heat and Mass Transfer. 7th edition, John Wiley & Sons, [2] H.D. Baehr, K. Stephan: Heat and Mass Transfer. Springer, [3] B. Gašperšič: Prenos Toplote. Univerza v Ljubljani, Fakulteta za strojništvo, [4] J.H. Lienhard V, JH. Lienhard IV: A Heat Transfer Textbook. Dover Publications, ISBN: [Preview with Google Books] A version of the textbook is available online, for free. [5] A. Kitanovski, A. Poredoš: Prenos toplote in snovi: učno gradivo skripta: študijsko leto 20011/2012. Ljubljana: Fakulteta za strojništvo, el. optični disk (CD-ROM). 1

3 KAZALO VSEBINE 1. Prevod toplote... 3 Naloga Naloga Naloga Naloga Naloga Naloga Naloga Prestop toplote zunanji tok Naloga Naloga Naloga Naloga Prestop toplote notranji tok Naloga Naloga Naloga Naloga Razširjene površine Naloga Naloga Naloga Kondenzacija in uparjanje Naloga Naloga Naloga Prenos snovi difuzija Naloga Naloga Naloga Prenos snovi konvekcija Naloga Naloga Naloga Naloga Naloga

4 1. Prevod toplote Naloga 1.1 Na levi strani stene imamo imamo vir toplote (npr. ogenj), ki nam je steno segrel do temperature T 1 =340 C. Iščemo temperaturo T 2 na drugi strani stene. PREDPOSTAVKE: - Plošča je ravna - Imamo stacionarno stanje - Toplotni tok po celotni površini je Q & =250 W ZAHTEVA: Poiščite temperaturo T 2, v primeru, da je stena iz: a) Kamene volne (λ kv =0.032 Wm -1 K -1 ) b) Lesa (λ les =0.17 Wm -1 K -1 ) c) Betona (λ bet =1.7 Wm -1 K -1 ) in da je stena debeline: - x=10 mm - x=50 mm - x=150 mm Narišite tudi graf temperature v odvisnosti od debeline in materiala. IZRAČUN: Najprej izračunamo specifični toplotni tok: = = =66.7 W m² Nato s pomočjo Fourie-jevega zakona prevoda toplote izrazimo računano temperaturo T 2 : = Δ Δ = Δ = Δ 3

5 a) Kamena volna Δ=10 mm = Δ=50 mm =235.8 C Δ=150 mm =27.5 C =319.2 C b) Les Δ=10 mm = Δ=50 mm =320.4 C Δ=150 mm =281.2 C =336.1 C c) Beton Δ=10 mm = Δ=50 mm =338.0 C Δ=150 mm =334.1 C =339.6 C Na koncu lahko narišemo še graf temperature T 2 v odvisnosti od debeline stene: 350 Kamena volna Les Beton 300 Temperatura ( C) Debelina stene (mm) 4

6 Naloga 1.2 Imamo podoben primer kot v Nalogi 1, le da steni dodamo izolacijo debeline 100 mm. PREDPOSTAVKE: - Toplotni tok po celotni površini je Q & =250 W ZAHTEVA: Poišči temperaturo T 2, v primeru, da je izolacija iz kamene volne, stena pa iz: d) Kamene volne (λ kv =0.032 Wm -1 K -1 ) e) Lesa (λ les =0.17 Wm -1 K -1 ) f) Betona (λ bet =1.7 Wm -1 K -1 ) In da je stena debeline: - x=10 mm - x=50 mm - x=150 mm IZRAČUN: Najprej izrazimo toplotne upornosti s pomočjo Fourie-jevega zakona: =! =! = Δ"! # "! # = Δ = $"! # "! # = $ Nato pa izrazimo končno enačbo za računanje temperature T 2 : %&'= + = = %&' Izračunamo toplotno upornost izolacije R 2, ki je enaka za vse primere: = =0.833K W Nato lahko izračunamo še toplotne upornosti R 1 za vsak posamezen primer ter pripadajočo temperaturo T 2 : a) Kamena volna Δ=10 mm = =0.0833K W =340 " # 250=110.9 C 5

7 Δ=50 mm =0.417 K W =27.5 C Δ=150 mm =1.25 K W = C b) Les Δ=10 mm = K W =127.5 C Δ=50 mm = K W =112.2 C Δ=150 mm =0.235 K W =73 C c) Beton Δ=10 mm = K W =131.4 C Δ=50 mm = K W =129.8 C Δ=150 mm = K W =125.9 C 6

8 Naloga 1.3 Jekleni nosilec cevi, skozi katero teče para temperature 150 C, ima presek 100 mm 20 mm. Ker je drugje izoliran, se večina toplotnega toka prevaja skozi jekleni nosilec. Tako lahko prenos toplote skozi izolacijo zanemarimo. Temperatura v nosilcu se spreminja po sledeči 2 enačbi: T( y) = 200y 400y PREDPOSTAVKE: - Imamo stacionarno stanje - Temperatura notranje stene cevi je enaka temperaturi pare - Debelino cevi zanemarimo - λ jekla =59 Wm -1 K -1 ZAHTEVA: Izračunajte kolikšen toplotni tok gre v beton in kolikšen v okolico. IZRAČUN: Fourie-jev zakona: = d d Temperaturni profil po nosilcu: "+#=200+² Odvod temperature po višini y je tako: d d+ = Celotni toplotni tok: %&' =,&-'. " #= " #=47.2 W Toplotni tok na stiku med nosilcem in betonom: /&012 =,&-'. " #= " #=37.8 W Toplotni tok, ki se prenaša v okolico: 1- = %&' /&012 = =9.4 W 7

9 Naloga 1.4 V proizvodnem procesu želimo s pomočjo sevanja utrditi polimerni film na substrat plošče s površino 2 m 2. Pri tem moramo vzdrževati temperaturo na stiku med polimernim filmom in substratom enako 50 C. Prav tako substrata ne želimo pregreti, zato vzdržujemo na dnu substrata temperaturo 25 C. Toplotni upor zaradi konvektivnega prenosa toplote je 0.03 KW -1. PREDPOSTAVKE: - Imamo stacionarno stanje - Enodimenzijski primer - Sevanje na okolico zanemarimo ZAHTEVA: a) Narišite shemo toplotnih uporov in toplotnih tokov b) Za dani primer določite potrebni specifični toplotni tok sevanja in vse toplotne tokove c) Narišite potek temperatur v smeri x IZRAČUN: a) Shema toplotnih uporov: T zrak =25 C q sevanja q konv R konv R film R subst q hlajenja T površine 1 =? T stik =50 C T površine 2 =25 C 8

10 Energijska bilanca: 3&4.2,. = '.,&2,. Določimo vse toplotne upore: = Δ = 6-124=0.03 K W 78'9= 6 7 : = = K W 3;/30= = =0.01K W b) Toplotni tokovi Hlajenje: 5'.,&2,. = 308- <14=š82& 5'.,&2,. = 5'.,&2,. 3;/30 = = =2500 W =1250 W m² 5'.,&2,. = <14=š82& <14=š82& 78'9+ 3;/30 <14=š82& = 5'.,&2,. " 78'9 + 3;/30 #+ <14=š82& =2500 " #+25=53.1 C Konvektivni toplotni tok: -124 = <14=š82&?= = = -124 =937 2 =468.5W m² =937 W Sevanje: 3&4.2,. = '.,&2,. = = W m² 9

11 c) Graf poteka temperature v smeri x: 10

12 Naloga 1.4 Imamo peč v obliki kocke, ki ima pri obratovanju temperaturo v notranjosti 1100 C, medtem ko je okolica temperature 30 C. Ovoj peči je sestavljen iz keramike debeline 20 mm, šamotne opeke debeline 70 mm, izolacije debeline 100 mm ter pločevine debeline 5 mm. OSTALI PODATKI: - λ keramika =20 Wm -1 K -1 - λ šamot =1.12 Wm -1 K -1 - λ izolacija =0.032 Wm -1 K -1 - λ pločevina =50 Wm -1 K -1 PREDPOSTAVKE: - Imamo stacionarno stanje - Enodimenzijski prevod toplote pravokotno na površino sten - Toplotni tok v z-smeri zanemarimo - Sevanje zanemarimo - Temperatura zunanje in notranje stene peči je enaka temperaturi okolice in notranjosti - Zaradi simetrije lahko obravnavamo šestino strukture peči - Presek površine stene se spreminja!! ZAHTEVA: Izračunajte kakšen toplotni tok se prenaša iz notranjosti peči, skozi stene, na okolico. T plinov =1100 C Pločevina Izolacija T plinov =1100 C Šamotna opeka Keramika Q.. q(x) x x T okolica =30 C T okolica =30 C x 400 mm 440 mm 580 mm 780 mm 790 mm z 790 mm x b x a x 11

13 IZRAČUN: Najprej izrazimo kako se površina stene A spreminja v odvisnosti od x: "#=4 "2 #² ker imamo 4 stranice, skozi katere teče toplotni tok Medtem, ko se toplotni tok ohranja (je konstanten), je specifični toplotni tok funkcija coordinate x: "#= d d = "# "# = 16 ² d d Zgornjo enačbo integriramo:! A C d=@ d"#! B 16 ² C B! A 1 C A d=@ d"#! B ² C B "# 16 E1 / 1. F= /. Nato izračunamo vse toplotne upornosti po sledeči enačbi: 3'1,=. / = 1. 1 / 16 3'1, -&=.98-.= š.910 = 8?1'.%8,.= <'1č&482. = =0.0014K W =0.061K W =1.727K W = IJ K W 12

14 %&'=K L = -&= š ?1'.%8,. + <'1č&482. = IJ =1.789 K W Sedaj lahko izračunamo toplotni tok iz notranjosti peči v okolico: = Δ %&' = =598 W 13

15 Naloga 1.5 Obravnavamo okno, ki ima lesen okvir ter dvojno plast stekla. Med dvema steklenima površinama, ločenima z razdaljo 15 mm, je plin argon. Steklo ima površino 1.21 m 2 ter debelino 1 mm, medtem ko ima lesen okvir površino 1.04 m 2 ter debelino 17 mm. Na notranji površini okna je temperatura 22 C, medtem ko je na zunanji površini -13 C. PREDPOSTAVKE: - Imamo stacionarno stanje - Enodimenzijski primer - λ steklo =0.76 Wm -1 K -1 - λ les =0.14 Wm -1 K -1 - λ argon = Wm -1 K -1 ZAHTEVA: Izračunajte kakšen toplotni tok teče skozi okno. 14

16 IZRAČUN: Najprej narišemo shemo toplotnih uporov: R les T zunaj R nad T notri R steklo R Ar R steklo Toplotni upori posameznih elementov: 30&-'1= 6 30&-'1 = &-'1 30&-' =0.0011K W M== 6 M= = M= NO =0.7K W '&3= 6 '&3 '&3 '&3 = =0.117K W Skupna toplotna upornost stekla in plina (zaporedna vezava): 2.P=2 30&-'. + M= = = K W Celotna toplotna upornost okna (vzporedna vezava): 1 %&'= 2.P+ 1 1 '&3 %&'=E I= F K W Toplotni tok skozi okno: = 210=8?;2., %&' = 22 " 13# 0.1 =350 W 15

17 Naloga 1.6 Za grelno ploščo na sliki moramo določiti tako debelino izolacije, kateri bo ustrezala maksimalna temperatura grelnika 400 C (del, ki generira toploto). Predebela izolacija bo vodila do previsoke temperature na spodnji strani grelnika, pretanka pa do previsoke temperature na pločevini na spodnji strani konstrukcije oziroma do večjih toplotnih izgub. Prenos toplote na vrhu grelne plošče se vrši s pomočjo konvekcije in sevanja. Določite debelino izolacije pri kateri bo ustrezala spodnja temperatura grelnika (maksimalno 400 C). PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Enodimenzijski primer - Prenos toplote na stranicah grelnika zanemarimo PODATKI (ostali podatki so podani na skici): - Površina grelnika A = 0.05 m 2 - Volumen dela, ki generira toploto V = m mm x 5 mm 3 mm 16

18 IZRAČUN: Najprej izračunamo kolikšen je konvektivni toplotni tok: -124 =Q R <14,?T?=.- U= " #=350 W Ker sevalni toplotni tok poznamo, lahko sedaj izračunamo koliko toplotnega toka teče iz grelnika navzgor: T1= = &4 = =1000 W Torej teče navzdol sledeči toplotni tok: P1' = T=&'28- T1= = =50 W Sedaj lahko izračunamo potrebno debelino izolacije: P1' = T=&',3< <14,3< L = T=&',3< <14,3< 8?1 8?1 = 8?1 W T T=&',3< <14,3< P1' 8?1 + 6 <'1č <'1č 6 <'1č <'1č Y 8?1 = E F 8?1 =11.2 mm 17

19 2. Prestop toplote zunanji tok Naloga 2.1 Skozi strešno okno na sliki, katerega tvorita leseni okvir in enojno steklo, teče toplotni tok. Okno obteka na zunanji strani zrak s hitrostjo 15 m s -1. Za dani primer narišite shemo toplotnih upornosti ter glede na prikazano sliko izračunajte kolikšen je toplotni tok. PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Enodimenzijski primer - popolnoma turbulenten tok zraka na zunanji strani okna - Konstantne lastnosti - Sevanje zanemarimo PODATKI (ostali podatki so podani na skici): Zunanji zrak - ν = m 2 - ρ = kg m -3 - c p = 1005 J kg -1 K -1 - λ = W m -1 K -1 - Karakteristična dolžina pri prestopu toplote = celotna dolžina okna = 2 m POMOČ: Z[=0.037 \ ].^ _` a 50 mm 2000 mm 18

20 IZRAČUN: Shema toplotnih uporov: T zunanja R les R konv, zun R konv,not R steklo T notranja Najprej izračunamo vse toplotne upornosti: -124,210 = 30&-'1= 1 Q 210=.2,. = =0.0208K W 6 30&-'1 = &-'1 30&-' = K W '&3= 6 '& = '&3 '&3 0.5 "2 1.9 # =0.2564K W Za toplotno upornost zaradi konvekcije na zunanji strani okna, moramo najprej izračunati toplotno prestopnost: \= c d e = IJ= Turbulentni tok " \ krit = ,za ploščo) _`= e t =e u v w = IJ =0.74 Z[=0.037 \ ].^ _` a = ].^ 0.74 a =4454 Z[= Q?;2.2,. d Q?;2.2,. = Z[ d = =49.2 W m K Sedaj izračunamo še toplotno upornost zaradi konvekcije na zunanji strani okna: -124,?;2= 1 Q?;2.2,. = 1 K = W 19

21 Nato izračunamo nadomestno toplotno upornost za okvir in steklo (vzporedna vezava): 1 2.P= 1 '&3 2.P=E &-' I= F K W Ter še celotno toplotno upornost okna (zaporedna vezava): %&'= -124,?;2 + 2.P ,210 = = K W Končno lahko določimo še toplotni tok, ki teče skozi okno: = Δ %&' = 210=.2,.?;2.2,. %&' = 20 " 20) =1529 W 20

22 Naloga 2.2 Kaljenje jekla je proces toplotne obdelave, ki jeklu poveča trdnost in trdoto. Proces je sestavljen iz štirih faz; segrevanja, gretja, gašenja in popuščanja. Poglejmo si natančneje postopek gašenja. Jekleno ploščo je po fazi gretja potrebno hitro ohladiti, da preprečimo tvorjenje karbidov, ki negativno vplivajo na korozijsko odpornost nerjavnega jekla. Navadno se jekla gasi z vodo, močno legirana pa tudi z zrakom. Gašenje z vodo traja nekaj minut, izračunaj koliko časa bi trajalo gašenje z zrakom pri naslednjih pogojih. a) Jeklena plošča dolžine 4 m, širine 2 m, debeline 30 mm ima temperaturo 990 C. Na ploščo pihamo zrak z vstopno temperaturo 10 C pod kotom tako, da je komponenta hitrosti, ki je vzporedna s ploščo 30 m s -1. Koliko časa moramo z obeh strani hladiti ploščo, da jo bomo ohladili na 190 C? Gostota jekla je 7800 kg m -3, c p = 460 J kg -1 K -1 in toplotna prevodnost 50 W m -1 K -1. Prenos toplote na robovih jeklene plošče zanemarimo. 30mm 2m 4m x b) Jeklena plošča dolžine 4 m, širine 2 m, debeline 30 mm ima temperaturo 990 C. Ploščo hitro ohladimo tako, da nanjo pihamo z zrakom iz šobe s karakteristično dolžino D=0.02 m z obeh strani, s temperaturo 10 C in hitrostjo 36 m s -1. Koliko časa moramo hladiti ploščo, da jo bomo ohladili na 190 C? Gostota jekla je 7800 kg m -3, cp = 460 J kg -1 K -1 in toplotna prevodnost 50 W m -1 K -1. Namig: Enačba, ki se v takem primeru uporablja je sledeča. Pri tem se Re število računa glede na šobo: Z[ xxxx \/a _`],y=0,1135 Tabela: Lastnosti zraka T ( C) ρ (kg/m 3 ) λ (W/mK) c p (J/kgK) ν (m 2 /s) Pr 10 1,246 0, , , ,9458 0, , , ,4565 0, , ,

23 IZRAČUN: a) Vse lastnosti za zrak vzamemo pri povprečni temperaturi 500 C in ne pri 10 C. Najprej določimo kritično Re kr število, ki je (za ravno ploščo), iz tega pa kritično dolžino, pri kateri imamo prehod iz laminarnega v turbulentni tok. Re kr v x = ν kr x Re ν = = = 1.3 m v kr kr 5 Sedaj je potrebno izračunati Bioto-ovo število, a za izračun potrebujemo toplotno prestopnost. Ker imamo opravka tako z laminarnim kot turbulentnim tokom, izračunamo Nusselt-ovo število za mešano območje: Nu = (0.037 Re A) Pr Pri tem je koeficient A: A = Re Re kr kr V primeru, da imamo le turbulentni tok, je A=0. Najprej izračunamo Reynolds-ovo število: v L 30 4 Re = = = ν In nato še Nusselt-ovo število po zgornji korelaciji: Nu = 2154 Sedaj lahko izračunamo toplotno prestopnost po osnovni enačbi za Nu: α L Nu = λ zrak α Nu λ W zrak = = = 30 2 L 4 m K 22

24 Nato izračunamo Biot-ovo število in tako preverimo, ali lahko zanemarimo temperaturni gradient znotraj plošče: α δ Bi = = = < 0.1 λ 50 jeklo Pri Biot-u smo vzeli 6/2, ker imamo prevod z obeh strani plošče. Ker je Bi<0.1 lahko čas gašenja plošče rešujemo s sledečo enačbo: α A ( T T ) = m c jeklo zrak jeklo p, jeklo dt jeklo dt m c 1 A T T t Tkon jeklo p, jeklo dt = α 0 Tzač jeklo zrak dt jeklo m c T T t = ln α A T T jeklo p, jeklo jeklo,kon zrak jeklo,zač zrak t = ln t = 3040 s b) Pri tem primeru, ko imamo po celotni dolžini plošče šobe (na obeh straneh), ki pihajo s temperaturo 10 C pa privzamemo lastnosti zraka pri 10 C. REŠITEV: Toplotna prestopnost: α = 166 W/m 2 K Čas gašenja plošče: t = 549 s 23

25 Naloga 2.3 Avtomobil prične enakomerno zavirati, zaradi česar se ustavi v 5 s. Pri tem se vsa kinetična energija prenese na prednji zavori. Vsaka izmed zavor je sestavljena iz dveh vzporednih zavornih diskov, kot kaže slika spodaj. Posledica tega je, da se v času 5 s generira na posameznem disku, debeline 7 mm, povprečna toplotna moč 20 kw (torej 80 kw na obeh zavorah s skupno 4 diski). Izračunajte temperaturo diska, ko se avtomobil ustavi. PREDPOSTAVKE: - Konstanten toplotni tok med zrakom in diskom - Posamezni disk se hladi samo z zunanje strani, na notranji strani pa ima adiabatno steno - Prenos toplote preko robov diskov ne obravnavamo - Upoštevamo samo ¾ površine diska (že podano pri podatkih za površino A disk ) OSTALI PODATKI: Zrak: - T zrak = 25 C - v zrak = 15 m s -1 - ν zrak = m 2 s -1 - c p,zrak = 1005 J kg -1 K -1 - ρ zrak = kg m -3 - λ zrak = W m -1 K -1 Disk: - T disk,zač = 25 C - c p,disk = 490 J kg -1 K -1 - ρ disk = 7900 kg m -3 - λ disk = 80 W m -1 K -1 - m disk = 3.4 kg (en disk) - Površina prenosa toplote enega diska, A disk =0.046 m 2 - Kakrakteristična dolžina diska z vidika hitrostnih razmer in prestopa toplote je 250 mm (uporabljena kot ekvivalent za ploščo) 24

26 IZRAČUN: Najprej preverimo, ali imamo laminarni, ali turbulentni tok, pri čemer uporabimo vrednost podane karakteristične dolžine: \= c d e?=.- = IJ= Laminarni tok " \ krit= ,za ploščo) Za izračun Nusselt-ovega števila, potrebujemo Prandtl-ovo število: _`= e?=.- = e?=.- u?=.- v w,?=.- = IJ =0.71 t?=.-?= Izračunamo povprečno Nusselt-ovo število pri laminarnem toku, pri čemer upoštevamo prej podano karakteristično dolžino: Z[ xxxx= Qx d =0.68 \ _` a= a=297.4?=.- ter povprečno toplotno prestopnost iz zavor na zrak: Qx = Z[ xxxx?=.- = =30.9 d 0.25 } ~ Preden zapišemo bilančno toplotno enačbo, preverimo, ali lahko pri izračunu zanemarimo temperaturni gradient v disku: = Qx 6 P83- = =0.0027<0.1 Lahko zanemarimo temperaturni gradient P83-80 Temperaturo diska lahko sedaj izračunamo po sledeči enačbi: T&2&=.%8,. Qx P83- " P83-?=.- )=} P83- v w,p83- d P83- d 1 } P83- v w,p83- d = 1 T&2&=.%8,. Qx P83- " P83-?=.- ) d P83- Sedaj zaradi lažjega izračuna uvedemo novo spremenljivko: [= T&2&=.%8,. Qx P83- " P83-?=.- ) d[= Qx P83- d P83-1 d P83- = d[ Qx P83-25

27 Enačbo sedaj integriramo v mejah. Za čas vzamemo vrednosti od začetnega časa t=0, do končnega časa t=t. Za vrednosti u vzamemo u 1 začetna vrednost ter u 2 končna vrednost. 1 d 1 } P83- v w,p83- Qx P83- [ d[ ] ˆ = } P83- v w,p83- Qx P83- ln [ [ = } P83- v w,p83- Qx P83- ln T&2&=.%8,. Qx P83- R P83-,-12?=.- U T&2&=.%8,. Qx P83- R P83-,?.č?=.- U e I Š N Œ Ž, = T&2&=.%8,. Qx P83- R P83-,-12?=.- U T&2&=.%8,. Qx P83- R P83-,?.č?=.- U P83-,-12 = T&2&=.%8,. e I Š N Œ Ž, T&2&=.%8,. Qx P83- R P83-,?.č?=.- U Qx P83- +?= eij a]. ].]y a.y y ] R "25 25#U P83-,-12 = P83-,-12 =84.9 š 26

28 Naloga 2.4 Trenje v krogličnem ležaju generira toplotni tok 120 W. Ko se prične ležaj vrteti, se toplota zaradi trenja prenaša na olje, ki ga dovajamo iz hladilnika olja in pri katerem predvidimo konstantno temperaturo olja enako 28 C. Po določenem času se vzpostavi stacionarno stanje. Določite temperaturo kroglic ležaja po času 10 s in temperaturo kroglic ležaja v stacionarnem stanju. PREDPOSTAVKE: - Na zunanjem plašču ležaja je adiabatna stena. PODATKI: - Masa vseh kroglic m kroglic = kg - Povprečna toplotna prestopnost α = 500 W m -2 K -1 - Površina vseh kroglic A kroglic = m 2 - Toplotna prevodnost kroglic λ kroglic = 90 W m -1 K -1 - Specifična toplota kroglic c p,kroglic = 380 J kg -1 K -1 - Karakteristična dolžina za kroglico d= - T olja = 28 C - T kroglic, začetna = 28 C POMOČ: Q R -=1T'8% 1',. U+ T =} -=1T'8% v w,-=1t'8% d -=1T'8% dœ Kroglice ležaja Hladilno olje med kroglicami T olje =28 C=konst 27

29 IZRAČUN: Nastavimo enačbo: Q R -=1T'8% 1',. U+ T=} -=1T'8% v w,-=1t'8% d -=1T'8% d } -=1T'8% v w,-=1t'8% d = Q R -=1T'8% 1',. U+ T d -=1T'8% Uvedemo novo spremenljivko: [= Q R -=1T'8% 1',. U+ T d[= Q d -=1T'8% d -=1T'8% = 1 Q d[ In d ] = } -=1T'8% v w,-=1t'8% 1 d[ [ ˆ = } -=1T'8% v w,-=1t'8% Q ln Q R -=1T'8%,-12 1',. U Q R -=1T'8%,?.č 1',. U ž Q R -=1T'8%,?.č 1',. UŸ e I N Ž Œ,Ž Œ = Q R -=1T'8%,-12 1',. U -=1T'8%,-12 = ž Q R -=1T'8%,?.č 1',. UŸ e Q I N Ž Œ,Ž Œ T + 1',. Sedaj lahko izračunamo kolikšna je temperatura kroglic po 10 s: I] J]] ^.J ] -=1T'8%,-12 = Ia "28 28# e ]. a^] Ia =41.3 C 28

30 Izračunamo še kolikšna je temperatura kroglic v stacionarnem stanju: =Q R -=1T'8%,-12 1',. U -=1T'8%,-12 = 1',. + Q = Ia=56.2 C 29

31 3. Prestop toplote notranji tok Naloga 3.1 Skozi cev, nameščeno v sprejemniku sončne energije se pretaka voda. Kolikšna je izstopna temperature vode, če enkrat upoštevamo konstanten toplotni tok na celotno cev, drugič pa konstantno temperature notranje površine cevi? OSTALI PODATKI: L=10 m (dolžina cevi) v=0.3 m s -1 (hitrost vode v cevi) ρ = 1000 kg m -3 (gostota vode) c p = 4200 J kg -1 K -1 (specifična toplota vode) d = 8 mm (notranji premer cevi) Q Š = 100 W m -2 K -1 (notranja povprečna toplotna prestopnost) T izstop =? T izstop =? T vstop =25 C T vstop =25 C q=500 W/m 2 =const T notranje_površine =60 C=const IZRAČUN: a) Naprej obravnavamo rešitev za konstantni toplotni tok. Sprememba temperature vzdolž cevi se bo vršila na sledeč način: dt 41P& = ª «}ª v w d 30

32 V kolikor zgornjo enačbo integriramo v mejah od začetka do konca cevi, potem dobimo: d 41P& C = ª «@ d }ª v w ] Sledi: C d 41P& C = ª «@ d }ª v w ] Oziroma: ª «8?301< = 4301< + d }ª v w Obseg O izračunamo s sledečim izrazom: «=π $= = m Masni tok izračunamo s sledečim izrazom: }ª =u c = π = kg/s Sedaj izračunamo temperature izstopa vode za konstanten toplotni tok: 8?301< = =26.98 C b) V drugem delu naloge izračunamo primer, ko imamo konstantno temperature notranje površine cevi. V tem primeru velja sledeči zapis: d 41P& = ª «d= Qx R 210=.2,&_<14=š82& 41P& U «d }ª v w }ª v w Sledi: d 41P& R 210=.2,&_<14=š82& 41P& U = Qx «}ª v w d 31

33 Sedaj zopet integriramo zgornjo enačbo v enakih mejah kot prej, za lažje reševanje pa uvedemo novo spremenljivko: [= 210=.2,&_<14=š82& 41P& Sledi d[= d 41P& Z integracijo od T vstop do T izstop po celotni dolžini cevi x=l dobimo naslednjo rešitev: ln 210=.2,&_<14=š82& 8?301< 210=.2,&_<14=š82& 4301< = Qx «}ª v w d Sledi: ln 210=.2,&_<14=š82& 8?301< 210=.2,&_<14=š82& 4301< = Qx «}ª v w d 8?301< = 210=.2,&_<14=š82& R 210=.2,&_<14=š82& 4301< U e I Š ª Sedaj s pomočjo že znanih podatkov izračunamo: 8?301< =60 "60 25# e I]] ].]J ].]J y]] ] =36.44 C 32

34 Naloga 3.2 Na danem primeru na sliki z dvema grelnikoma s konstantnim toplotnim tokom ogrevamo vodo, ki teče skozi kanal. DOLOČITE: a) Toplotni tok, ki se prenaša na vodo. b) Toplotni tok, ki predstavlja izgube na okolico c) Izstopno temperaturo vode d) Povprečno temperaturno razliko med vodo in notranjo steno grelnika PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Konstanten toplotni tok (POZOR, površina ogrevanja ni enaka celotni notranji površini kanala) - Polnorazvit tok PODATKI: - Temperatura stene vsakega grelnika na zunanji strani proti okolici je 60 C - Hitrost vode v voda = 0.07 m s -1 - Gostota vode ρ voda = kg m -3 - Specifična toplota vode c p,voda = 4183 J kg -1 K -1 - Kinematična viskoznost vode ν voda = m 2 s -1 - Toplotna prevodnost vode λ voda = W m -1 K -1 - Nu = 4.4 Popolna izolacija T stene = 60 C T fluid,i =?? Grelnik 100 W T okolice = 25 C α = 20 W/m 2 K T fluid,v = 25 C 25 mm 150 mm Popolna izolacija 10 mm 30 mm Grelnik 100 W 33

35 IZRAČUN: Najprej določimo hidravlični premer in Reynolds-ovo število: µ = 4 «= = m \= c 41P. µ = =2109 Tok je laminaren e 41P I Nato določimo Nusselt-ovo število pri laminarnem toku ter toplotno prestopnost na notranji strani kanala: Z[=4.4 Ker imamo laminarni tok in konstantni toplotni tok na stenah kanala Z[= Q 210 µ 41P. Q 210 = Z[ 41P. µ = =201.2 W m K Izračunamo toplotne izgube v okolico: 8?T =Q?;2?;2 R 30&2&,?;2 1-1'8%& U 8?T =20 " ) "60 25)=6 W Toplotni tok, ki se prenaša na vodo: P&, =2 T=&'28-8?T = =194 W Izstopna temperatura vode: P&, =} 41P. v w,41p. R 7';8P,8 7';8P,4 U P&, 194 7';8P,8 = 7';8P,4 + =25+ c 41P. u 41P. v w,41p =27.7 C 34

36 Povprečna temperaturna razlika med vodo in notranjo steno grelnika: P&, =Q Δ Δ = P&, 194 = Q =128.6 C 35

37 Naloga 3.3 Za hlajenje orodja v proizvodnji uporabljamo olje. Ker se olje v orodju segreje, ga je potrebno ohladiti in sicer iz 120 C na 70 C. Za hlajenje uporabimo protitočni prenosnik toplote cev-vcevi. Skozi notranji del prenosnika teče voda z vstopno temperaturo 20 C, obteka pa jo vroče olje, ki se pri tem ohlaja. Toplotna prehodnost med oljem in vodo je enaka 600 W m -2 K -1. Izračunajte kakšna je izstopna temperatura vode, kakšna je učinkovitost prenosnika toplote in potrebno površino prenosnika toplote (POZOR: površino izračunajte s pomočjo metode logaritemske srednje temperaturne razlike in metode ε-ntu). PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Konstantne lastnosti - Toplotne izgube zanemarimo PODATKI: - T olje,v = 120 C - T olje,i = 70 C - T voda,v = 20 C - k = 600 W m -2 K -1 m& = m& = 0.1 kg s -1 - voda olje - c p,voda = 4200 J kg -1 K -1 - c p,olje = 2100 J kg -1 K -1 36

38 IZRAČUN: Izstopna temperatura vode: 1',& =} 1',& v w,1',& R 1',&,4 1',&,8 U= "120 70)=10500 W 1',& = 41P. 41P. =} 41P. v w,41p. R 41P.,8 41P.,4 U 41P. 41P.,8 = 41P.,4 + = } 41P. v w,41p =45 C Najprej izračunamo toplotno kapacitivnost obeh tekočin: š 41P. =} 41P. v w,41p. = =420 W K š 1',& =} 1',& v w,1',& = =210 W K Ter nato učinkovitost prenosnika toplote: š 982 =š 1',& ¹= 1',& 9.º = 1',& š 982» 9.º = 1',& š 982 R 1',&,4 41P.,4 U = "120 20) =0.5 Površina prenosnika toplote: a) Izračun površine z metodo srednje logaritemske temperaturne razlike: Δ '2 = R 1',&,4 41P.,8 U R 1',&,8 41P.,4 U ln 1',&,4 41P.,8 1',&,8 41P.,4 Δ '2 = "120 45) "70 20) ln =61.6 C 37

39 =¼ Δ '2 = = =0.284 m ¼ Δ ' b) Izračun površine z ε-ntu metodo: š = = š 982 š 9.º = =0.5 Z½= ln 1 ¹ ¹ š = = ln = š = Z½= ¼ = Z½ š 982 = =0.284 m š 982 ¼

40 Naloga 3.4 Prenosnik toplote cev-v-cevi se uporablja za hlajenje olja, ki se uporablja kot hladivo orodja v industrijskem procesu. Po zunanji strani prenosnika z zunanjim premerom D zun = 60 mm teče olje z masnim tokom 0.03 kg s -1. Po notranji strani prenosnika premera D not = 30 mm pa teče voda s pretokom 0.06 kg s -1. Toplotna prehodnost je 50 W m -2 K -1. Vstopna temperatura olja v prenosnik toplote je 105 C, vstopna temperatura vode pa 35 C. Kako dolg mora biti prenosnik toplote, če želimo temperaturo olja na izstopu 60 C? Določite dolžino za primer protismernega in istosmernega toka. Za oba primera določite učinek prenosnika toplote na topli in hladni strani ter število prenosnih enot (NTU). PREDPOSTAVKE: - Toplotne izgube na okolico zanemarimo - Privzamemo kontstantne lastnosti PODATKI: - c p,olje = 2200 J kg -1 K -1 - c p,voda = 4200 J kg -1 K -1 Dzun Dnot 39

41 IZRAČUN: Najprej izračunamo toplotni tok, ki se prenaša iz olja na vodo: = 1',& v w,1',& R 1',&,4 1',&,8 U= "105 60)=2970 W Določimo še izstopno temperaturo vode: = 41P. v w,41p. R 41P.,8 41P.,4 U P.,8 = 41P.,4 + =35+ } 41P. v w,41p =46.8 C Zato, da lahko izračunamo površino ter dolžino prenosnika toplote, moramo najprej izračunati srednjo logaritemsko temperaturno razliko, ki se razlikuje za protitočni in sotočni prenosnik toplote: - Protitočni prenosnik toplote: Δ '2 = R 1',.,4 41P.,8 U R 1',.,8 41P.,4 U " ) "60 35) ln = 1',.,4 41P.,8 ln ',.,8 41P., =39.3 K - Sotočni prenosnik toplote: Δ '2 = R 1',.,4 41P.,4 U R 1',.,8 41P.,8 U "105 35) " ) ln = 1',.,4 41P.,4 ln ',.,8 41P., =34.1 K Sedaj lahko določimo površino in dolžino posameznega prenosnika toplote iz sledeče enačbe: =¼ Δ '2 - Protitočni prenosnik toplote = = 2970 =1.51 m ¼ Δ ' d= π µ 210 = 1.51 ¾ 0.03 =16 m 40

42 - Sotočni prenosnik toplote: = = 2970 =1.74 m ¼ Δ ' d= π µ 210 = 1.74 ¾ 0.03 =18.5 m 41

43 4. Razširjene površine Naloga 4.1 Izračunajte izgube toplotnega toka skozi celotno steno in teraso na sliki. PODATKI: Notranja temperatura zraka T n = 21 C Notranja toplotna prestopnost α n = 8 W m -2 K -1 Zunanja temperatura zraka T z = -5 C Zunanja toplotna prestopnost α z = 12 W m -2 K -1 Toplotna prevodnost stene in balkona λ stena = 1 W m -1 K -1 PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Adiabatni konec terase 42

44 IZRAČUN: Najprej določimo vse potrebne površine (notranjo, gladke-zunanji del, ter obe strani terase): 2 =5 " )=35.5 m T =5 7=35 m = =2 5 5=50 m Nato določimo produkt koeficienta m in dolžine terase L: } d= 2 Q 6 = d= =77.46 In izračunamo učinek enega rebra: À = = tanh "} d) } d = tanh "77.46) = Sedaj izračunamo celotno toplotno upornost, ki je sestavljena iz notranje toplotne prestopnosti, prevoda skozi steno ter prestopa toplote na zunanji steni in terasi (rebro): %&'= 2 + <=&41P +? %&'= &2. + Q & Q? R T +À = = U %&'= " ) %&'= K W Na koncu izračunamo še izgube toplotnega toka skozi steno in teraso sledeče: ª 8?T= 2? = 21 " 5) %&' =1822 W 43

45 Naloga 4.2 Za odvod toplote iz elektronske komponente uporabimo razširjeno (igličasto) površino reber okroglega preseka. OSTALI PODATKI: - Število reber N=61 - A r = m 2 (površina enega rebra) - A c = m 2 (presek rebra) - A b = m 2 (prosta površina baze) - α=15 W m -2 K -1 (toplotna prestopnost iz orebrene površine na zrak) - T =25 C (temperatura zraka) PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Enodimenzijski prevod toplote skozi rebra s konstantnim presekom - Prenos toplote na koncu rebra zanemarimo (adiabatni konec rebra) ZAHTEVA: - Kolikšen je celoten toplotni tok, ki se odvaja iz elektronske komponente ter učinek orebrene površine - Kakšna je temperatura na koncu rebra x=l? 0.1 mm 40 mm 3.4 mm L=30 mm 44

46 a) Celoten toplotni tok in učinek reber Shema toplotnih uporov: R lepilo R baza, prevod R orebrene površine T zunaj =60 C T notri =25 C Izračunamo celoten toplotni upor: %&'= '&<8'1 + /.?.,<=&41P + 1=&/=&2& <14=š82& = &'&-.-19<. Á %&' %&'= 6 '&<8'1 6 /.? '&<8'1 '&<8'1 /.?. /.?. Q %&' À %&Â Celotna površina za konvektivni prenos toplote A cel : %&' = / +Z " = % #= " I #= m Za celotni učinek reber potrebujemo najprej izračunati učinek enega rebra η r: }= Q Ã = % = 15 ¾ I =9.39 À = = tanh"} d# } d = tanh" # =0.974 Sedaj lahko izračunamo celoten učinek orebrene površine η cel : À %&' =1 Z = "1 À = #= " #=0.975 %&' Nadaljujemo z računanjem celotnega toplotnega upora: %&'= =3.35K W 45

47 Končno lahko izračunamo še celoten toplotni tok, ki se odvaja iz orebrene površine: %&' = &'&-.-19<. Á %&' = =10.42 W b) Temperatura na koncu rebra =&/&== /.?. Á %&' 1 /.?. = Á + 1=&/=&2& <14=š82& %&' = =59.65 C "=d# Á = coshr} "d #U "=0# Á cosh"} d# "=d#= Á +"T"=0# Á # coshr} "d d#u cosh"} d# "=d#=25+" # cosh"9.39 0# cosh" # "=d#=58.32 C 46

48 Naloga 4.3 Cilinder na majhnem motorju hladimo z orebreno aluminijasto površino, ko je prikazano na sliki. Zrak, ki obteka rebra, ima 20 C, pri čemer predpostavimo na vseh rebrih toplotno prestopnost na zrak enako 40 Wm -2 K -1. Temperatura notranje stene cilindra je enaka temperaturi vznožja (baze) reber. Na vsaki strani (simetrično) cilindra so nameščena po štiri rebra (skupno 16). IZRAČUNAJTE: a) Učinek enega rebra b) Učinek celotne orebrene površine na cilindru c) Toplotni tok, ki ga oddaja celotni cilinder na okolico preko orebrene površine OSTALI PODATKI: Temperatura zraka, ki obteka rebra?=.- =20 C Toplotna prestopnost na zrak Qx?=.- =40 W/m K Toplotna prevodnost reber M' =200 W/mK Temperatura notranje stene cilindra 2 =700 C Površina enega rebra: A r = m 2 Celotna površina vseh gladkih delov orebrene površine: A gladkih = m 2 PREDPOSTAVKE: - Adiabatni konec reber, pri čemer upoštevamo korekcijo za konec reber 6 mm 6 mm 47

49 IZRAČUN: K reševanju naloge lahko pristopimo na dva način in sicer iz stališča računanja koeficienta m za potrebe določevanja učinka rebra (glejte predavanja). Zato bosta v nadaljevanju predstavljena oba postopka, ki vodita do enake rešitve. PRVA REŠITEV a) Učinek enega rebra Upoštevamo da je širina večja od debeline w>>t. Izračunamo korekcijo dolžine po sledeči enačbi: d % =d+ 2 = =0,023 m Izračunamo površino preseka rebra A p : < =d % = = Iy m Sedaj lahko izračunamo produkt } d % : a } d % = 2 Qx a?= d 2 40 M' % = < Iy = =0.19 Na koncu lahko sedaj določimo učinek enega rebra (računamo v radianih) À = = tanh "} d %) "} d % ) = tanh "0.19) 0.19 = =0.988 b) Učinek celotne orebrene površine na cilindru Izračunamo celotno površino za prenos prenosa toplote: %&' = Z = + T'.P-85 = = m Sedaj lahko določimo učinek celotne orebrene površine: À %&' =1 Z = "1 À = )= %&' " )= c) Celotni toplotni tok, ki ga cilinder preko orebrene površine oddaja na okolico Določimo ga z naslednjo enačbo: ª%&'=Qx?= %&' " /?= ) À %&' = "700 20) =972 W 48

50 DRUGA REŠITEV a) Učinek enega rebra Izračunamo korekcijo dolžine po sledeči enačbi: d % =d+ 2 = =0.023 m Izračunamo površino preseka rebra A c : % = I = Iy m Koeficient m izračunamo sledeče: }= Qx?= «= 40 "36+6) 2 10Ia M' % Iy =8.819 m I Ter končno še učinek enega rebra: À = = tanh "} d %) "} d % ) = tanh " ) = =0.987 b) Učinek celotne orebrene površine na cilindru Izračunamo celotno površino za prenos prenosa toplote: %&' = Z = + T'.P-85 = = m Sedaj lahko določimo učinek celotne orebrene površine: À %&' =1 Z = "1 À = )= %&' " )=0.989 c) Celotni toplotni tok, ki ga cilinder preko orebrene površine oddaja na okolico Določimo ga z naslednjo enačbo: ª%&'=Qx?= %&' " /?= ) À %&' = "700 20) 0.989=971 W 49

51 5. Kondenzacija in uparjanje Naloga 5.1 Vodna para kondenzira na vertikalni steni. Izračunajte debelino kondenzata, masni tok kondenzata in toplotno prestopnost na treh višinah stene in sicer 0.1 m, 1 m ter 2 m. OSTALI PODATKI: - Tlak nasičenja vodne pare, p nas = MPa - Temperatura nasičenja vodne pare, T nas =35 C - Gostota kondezata, ρ L =994 kg m -3 - Gostota vodne pare, ρ G = kg m -3 - Toplotna prevodnost kondezata, λ L =0.621 W m -1 K -1 - Dinamična viskoznost kondenzata, η L = kg m -1 s -1 - Uparjalna toplota, q L =2413 kj kg -1 - Širina stene, b=1 m IZRAČUN: Debelino kondenzata na razdalji x izračunamo sledeče (glejte predavanja): 6")=W 4 Å À Å " &2& ) u Å "u Å u Æ ) Ç ;< Y y Ker je ρ L >>> ρ G, ga v nadaljevanju zanemarimo. 6(=0.1m)=W Iy (35 28) a Y= IJ m 6(=1m)= IJ m 6(=2m)= IJ m Za masni tok kondezata na razdalji x je potrebno najprej izračunati hitrost kondezata na razdalji x: È 9 ()= (u Å u Æ ) Ç 3 À Å 6() 50

52 È 9 "0.1m)= Iy " IJ ) =0.033 m s È 9 "1m)=0.104 m s È 9 "2m)=0.148 m s Sedaj pa lahko izračunamo še masni tok po sledeči enačbi: }ª")=È 9 ") u Å É 6") }ª"0.1m)= IJ = kg s }ª"1m) kg s }ª"2m)= kg s 51

53 Naloga 5.2 Želimo zavreti 100 l vode pri tlaku MPa. Za to uporabimo električni grelnik moči 10 kw, ki ima premer 0.6 m. ZAHTEVA: a) Kolikšen čas je potreben, da bo začela voda, z začetno temperaturo 20 C, vreti? Ob tem upoštevajte 30% toplotne izgube grelnika v okolico. b) Kolikšna je temperatura stene, ko voda vre? c) Kolikšen je maksimalen toplotni tok? d) Podajte odgovore na a), b) in c), če je tlak v posodi 10 bar. 0.6 m Grelnik IZRAČUN: Iz tabel za nasičeno vodno paro razberemo: T nas (p=1.013 bar) = 100 C ρ(t nas ) = 958 kg m -3 c p (T nas ) = 4216 J kg -1 K -1 a) Za izračun časa, da bo voda zavrela, moramo najprej določiti dejanski toplotni tok, ki greje vodo: P&, =0.7 ªT=&'28-=0.7 10=7 kw Ker je 30% izgub Toplota potrebna za segretje vode iz 20 C na 100 C: =u Ë v w " 2.3?.č )= (100 25)=30292 kj 52

54 Čas potreben za zavretje vode: = = =4327 s=1.2 h P&, 7 b) V posodi predvidimo mehurčkasto uparjanje v velikem prostoru ( pool boiling, glej predavanja). Najprej izračunamo specifični toplotni tok: = P&, =4 P&, π µ =4 7 10a π 0.6 =24757 W m Nato določimo še toplotno prestopnost pri mehurčkastem vrenju (velja v območju 0.5 < p < 20 bar): Q=1.95 ]. Í ].y = ] ].y =2850 W m K Pazite,da je tlak v enačbi v bar Sedaj lahko izračunamo temperaturo stene posode nad grelnikom, ko voda vre: =Q Δ & =Q " 30&2& 2.3 ) 30&2& = Q = =108.7 C c) Maksimalni teoretično možni toplotni tok izračunamo po sledeči enačbi: 9.º =0.149 ;< Ðu Ç "u u ) Ò y Iz tabel za vodo in vodno paro odčitamo pri T nas =100 C sledeče podatke iz zgornje enačbe: q up = h - h =2257 kj kg -1 (uparjalna toplota pri tlaku bar in temperaturi 100 C) ρ = 958 kg m -3 (gostota pare na meji s kapljevito fazo) ρ = kg m -3 σ = N m -1 (gostota pare na meji s pregreto paro) (površinska napetost vode) In izračunamo: 9.º = " ) Ia y=1166 kw m 53

55 d) Odgovori na a), b) in c), če je tlak v posodi 10 bar: Iz tabel za nasičeno vodno paro odčitamo pri tlaku 10 bar: T nas (p=10 bar) = 180 C ρ(t nas ) = 887 kg m -1 c p (T nas ) = 4405 J kg -1 K -1 d.a) Potreben čas, da vode zavre: Toplota potrebna za segretje vode iz 20 C na 180 C: =u Ë v w " 2.3?.č )= (180 25)=60562 kj Čas potreben za zavretje vode: = = =8652 Ô=2.4 h P&, 7 d.b) Temperatura stene, ko voda vre: Najprej izračunamo specifični toplotni tok: = P&, =4 P&, π µ =4 7 10a π 0.6 =24757 W m Najprej določimo toplotno prestopnost pri mehurčkastem vrenju (velja v območju 0.5 < p < 20 bar): Q=1.95 ]. Í ].y = ]. 10 ].y =4934 Pazite,da je tlak v enačbi v bar W m K Sedaj lahko izračunamo temperaturo stene posode nad grelnikom, ko voda vre: =Q Δ & =Q " 30&2& 2.3 ) 30&2& = Q = =185 C 54

56 d.c) Maksimalni teoretično možni toplotni tok: Podatki iz tabel za nasičeno vodno paro pri tlaku 10 bar: q up = h - h =2014 kj kg -1 ρ = 887 kg m -3 ρ = 5.15 kg m -3 σ = N m -1 In nato izračunamo: 9.º =0.149 ;< Ðu Ç "u u ) Ò y 9.º = " ) Ia y=2973 kw m 55

57 Naloga 5.3 V kondenzator, ki ga predstavlja cevni prenosnik toplote, vstopa vodna para pri tlaku 190 kpa in temperaturi 118 C. Hladilna voda vstopa s temperaturo 15 C in se segreje na 30 C. Konstrukcijo kondenzatorja predstavljajo bakrene cevi dolžine 2 m, zunanjega premera 12 mm in debeline 1 mm. Toplotni upor prevoda skozi steno cevi zanemarimo. ZAHTEVA: a) Kolikšen je toplotni tok, ki ga prejme hladilna voda? b) Kakšen mora biti masni tok hladilne vode za dani primer? c) Koliko cevi potrebujemo? d) Kakšna je toplotna prestopnost na zunanji strani cevi? OSTALI PODATKI: - } w= kg h -1 (masni tok pare) - c p = 4183 J kg -1 K -1 (specifična toplota hladilne vode) - α not = 2000 W m -2 K -1 (toplotna prestopnost na notranji strani cevi) - λ L = W m -1 K -1 (toplotna prevodnost pare na meji s kapljevito fazo) - ν L = m 2 s -1 (kinematična viskoznost pare na meji s kapljevito fazo) - c p,l = 4241 J kg -1 K -1 (specifična toplota pare na meji s kapljevito fazo) 56

58 IZRAČUN: Iz tabel za nasičeno vodno paro razberemo: p nas = 1.9 bar (tlak nasičenja) T nas = C (temperature nasičenja) ρ G = ρ = (v ) -1 = 1.08 kg m -3 (gostota pare na meji s pregreto paro) ρ L = ρ = (v ) -1 = kg m -3 (gostota pare na meji s kapljevito fazo) h G =h = kj kg -1 (entalpija vodne pare na meji s kapljevito fazo) h L =h = kj kg -1 (entalpija vodne pare na meji s pregreto paro) a) Potrebna moč, da vsa para kondenzira: Najprej določimo uparjalno (kondezacijsko) toploto pare: ;< =h Å h Æ = =2206 kj kg I Ter nato izračunamo potrebno moč: =} < ;< = 6 10a a =3.7MW b) Masni tok hladilne vode: =} 4 v w,4 Δ } 4= v w,4 Δ = "30 15) =58.97kg s c) Najprej določimo potrebno površino (glede na zunanjo površino cevi) ter nato število cevi: =¼?;2 Δ '2 Določimo srednjo logaritemsko temperature razliko: Δ '2 = Δ. Δ / ln Δ. Δ / Δ '2 = " ) " ) ln =95.9K 57

59 Določimo vrednost k A zun : ¼?;2 = = =38581 W Δ ' K Kjer je: 1 ¼?;2 = Q Q?;2?;2 =π µ d, 210 =π $ d?;2 Pri čemer smo zanemarili toplotni upor zaradi prevoda toplote skozi stene cevi: 1 ¼ = 1 Q 210 $ + 1 Q µ Q?;2 =Q 9 Glejte predavanja!?;2 Za izračun toplotne prestopnosti na strani kondenzata ter za eno cev služi naslednja enačba: } %&4 d À Å I a Å Q 9, = I À W Å u Å "u Å u Æ ) Ç Y a Ker pa ne poznamo masnega toka pare/kondenzata okoli ene cevi (} ÙÚ ), lahko le-tega določimo tudi, če poznamo število cevi, ali pa njihovo površino. Zato bomo za začetek predpostavili toplotno prestopnost na zunanjih ceveh in jo nato nazaj preverili: Predpostavka: α m,1 = W m -2 K ¼=Û Ü I =1500 W m K Nato izračunamo zunanjo površino:?;2 = "¼?;2) ¼ = =25.72 m Določimo še število cevi: Ý=?;2 π µ d = Ia π

60 d) Sedaj določimo/preverimo prej določeno toplotno prestopnost na strani kondenzata: - Masni tok, reduciran na eno cev kondezatorja: } %&4 = } < Ý = 6 10a =0.0049kg s - Dinamična viskoznost pare v področju na meji s kapljevito fazo: À Å =e Å ρ Å = I 944.2= Iy Pas - Toplotna prestopnost: I Q 9, = Iy a " E Iy ) I " ) 9.81 F a =16217 W m K Vendar je potrebno za celoten snop cevi sedaj α m,1 korigirati, saj se zaradi spreminjanja količine kondenzata na posamični cevi spreminja tudi toplotna prestopnost na posamični cevi. Najprej določimo povprečno temperaturo na zunanji strani cevi: =Q 9?;2 ( &2& ) 30&2& = 2.3 = Q 9?; =109.7 C Privzamemo tudi, da so cevi porazdeljene v kvadratno polje cevi in je torej število cevi, ki so ena nad drugo: à= Ý= cevi Končno lahko izračunamo korigirano toplotno prestopnost: Q 9,2 =á v w,å ( &2& ) ª;< (à 1)â à I y Q 9, Q 9,2 =á ( ) a (18 1)â 18 I y 16218=8332 W m K 59

61 6. Prenos snovi difuzija Naloga 6.1 Skozi dvoplastno steno teče tok vodne pare (prehod snovi). Površina stene je 20 m 2, absolutni tlak je povsod enak in znaša 1 bar. Izračunajte kolikšen tok vodne pare teče skozi dvoplastno steno (izrazite v g h -1 ). PREDPOSTAVKE: - Stacionarno stanje - Konstantne lastnosti - Ravna površina stene PODATKI: - A = 20 m 2 - p = 1 bar - T 1 = 20 C 5 - T 2 = 35 C - ϕ = 60% - M para = 18 kg kmol -1 - R 0 = J kmol -1 K -1 - p nas (T=20 C) = 2337 Pa - p nas (T=37 C) = 5623 Pa POMOČ: Analogija prevoda toplote in difuzije ter na to vezanih upornosti. 60

62 IZRAČUN: Masni tok vodne pare lahko izračunamo po naslednji enačbi: } M=~ 9 "u M u M ) Vendar pa moramo najprej izračunati snovsko prehodnost: 1 ~ 9 = 1 ã + 6 µ M + 6 µ M + 1 ã ~ 9 =E 9 10 I IJ I= I I F I m s In nato še gostoto vodne pare na obeh straneh stene: Í M =Í 2.3 "20 C) ä = = Pa Í M =Í 2.3 "35 C) ä = = Pa Plinska kosntanta vodne pare je določena z naslednjo relacijo: M= ] å M "æ «) = =461.9 J 18 kgk Parcialne gostote vodne pare izračunamo s sledečimi enačbami: u M = Í M M = = kg m a u M = Í M M = = kg m a Sedaj lahko izračunamo masni tok vodne pare: } M= I 20 " )= I kg s =2.27g h 61

63 Naloga 6.2 Skozi troplastno steno površine 4 m 2 prehaja vodna para, kot prikazuje slika. Na notranji strani stene je vlažen zrak temperature 22 C in relativne vlažnosti 40%. Na drugi, zunanji strani stene je zrak temperature 1 C in relativne vlažnosti 80%. Betonska stena debeline 200 mm je obdana s 150 mm izolacijo in fasado debeline 3 mm. Difuzijski koeficient betona je m 2 s -1, izolacije m 2 s -1 in fasade m 2 s -1. Plinska konstanta vodne pare je J kg -1 K -1. IZRAČUNAJTE IN DOLOČITE: a) nadomestno snovsko upornost, b) v katero smer teče vodna para, c) masni tok pare. OSTALI PODATKI: D 1 = m 2 s -1 D 2 = m 2 s -1 D 3 = m 2 s -1 β 1 = β 2 = m s -1 R pare =461.5 J kg -1 K -1 A=4 m 2 T 1 = 22 C φ 1 =40% T 2 = 1 C φ 2=80% δ 1 = 200 mm δ 2 = 150 mm δ 3 = 3 mm p pare,nas,1 (22 C) = 1587 Pa p pare,nas,2 (1 C) = 657 Pa PREDPOSTAVKE: Stacionaren, enodimenzijski prenos snovi. Vodna para se lahko obravnava kot idealni plin. Difuzijski koeficienti so konstantni in neodvisni od temperature. 62

64 beton izolacija fasada T=22 C D 1 D 2 D 3 ϕ 1 =0.4 β 1 β 2 T=1 C ϕ 1 =0.8 δ 1 =0.2 m δ 2 =0.15 m δ 3 =0.003 m IZRAČUN: a) Ker je stena ravna in gre za stacionarno stanje, je masni tok (molski tok) skozi strukturo konstanten, torej bodo profili porazdelitve gostote skozi posamezni sloj linearni. Nadomestno snovsko upornost računamo analogno z upornostjo pri prehodu toplote. ç = ª = u }ª é = v ઠIz tega sledi, da je snovska upornost pri dufuziji enaka: = u L }ª = 1 µ L Podobno lahko upornost določimo za snovsko prestopnost: = u L }ª = 1 ã L Sedaj analogno z nadomestno upornostjo pri prehodu toplote za dani primer troplastne ravne stene zapišemo naslednjo relacijo:,%&'= 1 ã + 6 µ + 6 µ + 6 a µ a + 1 ã 63

65 Izračunamo celotno upornost:,%&'= IJ I I IJ IJ,%&'= = s m a b) Parcialni tlak pare lahko določimo s pomočjo relativne vlažnosti zraka: ê= Í <.=& Í <.=&_2.38č&2& Izračunajmo najprej parcialna tlaka pare na vsaki strani stene Í <.=& =ê Í <.=&,2.3, = =634.8 Pa Í <.=& =ê Í <.=&,2.3, = =525.6 Pa Ker obravnavamo vodno paro kot idealni plin, lahko gostoto pare zapišemo tudi kot: u <.=& = Í <.=& <.=& <.=& Izračunamo gostoto pare na vsaki strani stene u <.=& = Í <.=& = = kg/ma <.=& <.=& "22+273) u <.=& = Í <.=& = = kg/ma <.=& <.=& "1+273) Ker je gostota pare večja na notranji strani stene, teče para iz notranjosti skozi steno proti okolici. 64

66 c) Masni tok pare skozi dano strukturo lahko sedaj izračunamo kot: }ª = u,%&' Pri čemer razlika gostot v zgornji enačbi predstavlja razliko gostot pare v vlažnem zraku na eni strani in na drugi strani strukture stene. }ª = u,%&' }ª = u <.=& u <.=&,%&' = kg kg I = = IJ s h =0.026g h Vidimo, da v danih pogojih skoraj nimamo masnega toka vodne pare skozi steno. 65

67 Naloga 6.3 Dve posodi sta povezani s konično cevjo. Premer pri prvi posodi je 200 mm ter 100 mm pri drugi posodi. Dolžina cevi je 0.5 m. Temperatura v obeh posodah je 20 C, tlak pa 1 bar. V prvi posodi je 70 molskih odstotkov N 2, preostanek je O 2. Koeficient difuzivnosti je m 2 s -1 (pri 20 C). ZAHTEVA: a) Izračunaj začetni masni in molski tok N 2. b) Kakšen bi bil koeficient difuzivnosti, če bi bila temperatura 47 C? c) Kakšen bi bil začetni masni in molski tok N 2, če bi povezovalna cev imela povsod enak premer 200 mm? OPOZORILO: Pri stacionarni, enodimenzijski difuziji, brez kemijskih reakcij, mora biti molski tok konstanten. 66

68 IZRAČUN: a) Začetni molski in masni tok N 2 : Najprej izračunamo parcialna tlaka N 2 v obeh posodah: Í M = M Í =0.7 1=0.7 bar Í M = M Í =0.3 1=0.3 bar Nato lahko računamo začetni molski tok N 2 : ë= µ Mì dv M d ë= à, v M= Í M ] à = µ Mì ] dí M d Sedaj uvedemo novo spremenljivko: ")=π R`")U `")= + d d`")= d d= d d` d In jo uvedemo na levo stran enačbe: í 1 d π ` d` íˆ = µ Mì ] "Í M Í M ) à π d E 1 1 F= µ Mì ] "Í M Í M ) à π d E 1 1 F= µ Mì ] "Í M Í M ) à = π µ Mì d ] "Í M Í M ) 67

69 Izračunamo še oba polmera R 1 in R 2 : = π = =0.1 m π = π = =0.05 m π In končno izračunamo začetni molski tok N 2 : à = π I " ) 10 J = I kmol s Začetni masni tok N 2 pa izračunamo sledeče: } =à å M å M "N )=2 14=28 kg kmol } =4.7 10I 28= I kg s b) Koeficient difuzivnosti, če bi bila temperatura 47 C: µ ï µ ïˆ =E.^ F µ ï =µ.^ ïˆ E F = I E ^ F = IJm s c) Začetni molski in masni tok, če bi bila cev po dolžini enakega premera 200 mm: à = µ Mì ] ΔÍ. Δ π µ = I " ) 10J π 0.2 = I kmol s } =à å= I 28= I kg s 68

70 7. Prenos snovi konvekcija Naloga 7.1 V posodi z notranjim premerom 12 cm in višine 250 mm je kapljeviti metanol do višine 100 mm. Temperatura zraka v prostoru je 20 C, tlak pa 1 bar. Kolikšen je začetni masni tok hlapečega metanola? V kolikšnem času izhlapi iz posode ves metanol, če je parcialni tlak metanola na vrhu posode 1000 Pa in je tam konstanten? OSTALI PODATKI: - Tlak nasičenja pri 20 C: p A,nas = Pa privzamemo ob površini gladine - Tlak na vrhu posode: p A = 1000 Pa - D AB = m 2 s -1 - ρ metanol = 790 kg m -3 - R A = J kg -1 K mm H=250 mm IZRAČUN: Skupno gostoto masnega toka lahko izračunamo s sledečim izrazom: } M=ð M +} Mñò Pri čemer predstavljata člena na desni strain enačbe: difuzijo: ð M = µ Mì M dí M d 69

71 ter advekcijo: } Mñò = Í M M c= µ Mì Í ì Í M M dí M d Sedaj lahko zapišemo: } M=+E µ Mì M +µ Mì Í ì Í M M F dí M d Pozitivni predznak uvedemo zato, ker je smer masnega pretoka nasprotna smeri koordinate x, kot smo jo postavili v podani skici. } M=+ µ Mì M E1+Í M F dí M Í ì d } M=+ µ Mì M Í M+Í ì dí M Í ì d Ker parcialnega tlaka zraka p B ne poznamo, poznamo pa absolutni tlak, lahko uporabimo sledeči izraz: Í=Í M +Í ì (absolutni tlak je vsota parcialnih tlakov zraka p B in p A ) ter ga vstavimo v enačbo: } M=+ µ Mì M Í Í M+Í M dí M Í Í M d } M=+ µ Mì M Í dí M Í Í M d } M@ d ] w ób =+ µ Mì Í 1 dí Í Í M M w ô Za rešitev enačbe uvedemo novo spremenljivko: [=Í Í M d[= dí M In tako zapišemo enačbo: } M@ $ ] = µ (w Mì Í ô (!õ )) d[ [ (w ô (!õ])) pri čemer je L = 250 mm 100 mm = 150 mm. 70

72 Dobimo sledeči izraz: } M d= µ Mì Í M lní Í M,2.3 Í Í M In nato še končno rešitev za gostoto masnega toka: } M= µ Mì Í M d lní Í M,2.3 Í Í M a) Sedaj lahko izračunamo masni tok hlapečega metanola: } M= IJ 10 J kg ln10j 10 J = IJ 1000 m s Ker poznamo površino gladine metanola, lahko določimo masni tok: } M=} M = IJ ¾ = I kg s b) Izračunamo še čas, ko iz posode izhlapi ves metanol. Pri tem moramo upoštevati, da se gladina metanola spreminja. Ker gre za zelo počasen proces, lahko privzamemo kvazistacionarno stanje, kljub temu, da gre za nestacionarni problem. Gladina metanola se spreminja od začetne L=150 mm do končne H=250 mm: Najprej izrazimo masni tok kot spremembo mase metanola po času oziroma kot spremembo višine gladine po času: } M= d} d =u dë d =u d d Masni tok nato izrazimo z gostoto masnega toka in ga vstavimo v zgornjo enačbo: } M= } M 1 d =u } M d } M")= µ Mì Í M d lní Í M,2.3 Í Í M Sedaj integriramo enačbo v mejah, da izhlapi ves d ] u M = µ Mì Í ln Í M,2.3 Í Í M! Ž ó õ! Bč õ d 71

73 In dobimo: u M æ d t= µ Mì Í ln Í Í M,2.3 2 Í Í M Sedaj vstavimo vrednosti v zgornjo enačbo in izračunamo čas, da izhlapi ves metanol: = IJ 10 J 1 ln 10J J = s 66 dni 72

74 Naloga 7.2 Ptujsko jezero je s 345 ha največje slovensko umetno jezero. Služi kot akumulacija za hidroelektrarno Formin. Izračunaj koliko vode izhlapi iz jezera v eni uri, če je temperatura zraka 25 C. Zrak imaa relativno vlažnost 50% in piha preko, v povprečju 1.6 km širokega jezera, s hitrostjo 0.9 m s -1. Difuzijski koeficient pare v zrak je m 2 s. Kinematična viskoznost zraka pri temperaturi 25 C je m 2 s. Gostota vodne pare je pri 20 C kg m -3. OSTALI PODATKI: µ= Iy m /s ν= IJ m /s ê=50 % =25 C =1 h d=1.6 km c=0.9 m/s u w OÙ =0.023 ¼Ç } a IZRAČUN: Najprej izračunamo Reynolds-ovo število, da določimo laminarni ali turbulentni režim. Gladino jezera aproksimiramo s ploščo, zato je \ øo =5 10 J. \ = c d e = = IJ Vidimo, da imamo opravka s turbulentnim tokom in laminarnim tokom pri toku zraka nad površino jezera. Povprečno Sherwood-ovo število za dani primer določimo z enačbo ùh xxx="0.037 \ y/j ) ùv /a V enačbi je =0.037 \ û øo \ øo =871 ú ˆ 73

75 Izračunamo še Schmidt-ovo število ùv= e µ = IJ = Iy Ter nato določimo povprečno Sherwood-ovo število in iz njega snovsko prestopnost: ùh xxx=r0.037 " ) y/j 871U 0.6 a= ã = ùh xxx µ = Iy = Ia m/s d 1600 Sedaj lahko izračunamo masni pretok vodne pare iz jezera v zrak: }ª = ã "u u )= y Ia " )=46.82 kg/s Končno izračunamo koliko vode izhlapi iz jezera v eni uri: }=}ª = = kg=168,6 ton 74

76 Naloga 7.3 Aluminijevi obdelovanci na sliki potujejo po tekočem traku iz pralnice v sušilno komoro, kjer je temperatura zraka 50 C, relativna vlažnost pa 20%. Zrak prepihuje obdelovance s hitrostjo 3 ms -1. Pri tem je debelina filma vode na obdelovancu 0.1 mm. Določite potreben čas, da izhlapi vsa voda ter maksimalno hitrost tekočega traku, da bo vsa voda lahko izhlapela. Upoštevajte temperaturno odvisnost difuzivnosti med vodo in zrakom: µ Mì ")= E.^ Í 273 F OSTALI PODATKI: - p nas = Pa - p abs = 1 bar - ν = m 2 s -1 - ρ H2O = 988 kg m -3 - R pare = J kg -1 K -1 Dimenzije obdelovanca in filma vode (začetno stanje) 0.1 mm 50 mm 1 m Smer gibanja obdelovanca 75

77 IZRAČUN: Najprej preverimo, ali imamo laminarni, ali turbulentni tok zraka na podani dolžini tekočega traku (ker so obdelovanci naloženi na trak tesno drug ob drugem, predpostavimo, da gre za ravno ploščo dolžine 2 m): \= c?=.- d e = I =260191< \ -== ýt} àt`à ü Masa vode, ki mora izhlapeti iz posameznega obdelovanca: }=u Ë= = kg Parcialni tlak vodne pare v zraku: ä?=.- = Í <.=& Í 2.3 Í <.=& =ä?=.- Í 2.3 = =2422 Pa S pomočjo difuzijskega koeficienta določimo brezdimenzijsko Schmidt-ovo število: µ Mì "50 š)= ^ 10 J E F = IJm s e ùv= µ Mì "50 š) = I = IJ Sedaj določimo brezdimenzijsko povprečno Sherwood-ovo število: ùh xxx=0.664 \ ùv a= a=305 Iz tega sledi povprečna snovska prestopnost: ùh xxx= ã d ã = ùh xxx µ Mì = IJ = m µ Mì d 2 s Povprečni masni tok vodne pare iz obdelovanca v zrak: } = ã RÍ 2.3 Í <.=& U= <.=&?= " )= IJkg s 76

78 Čas, da izhlapi vsa voda iz obdelovanca: = } } = IJ=312 Ô= 5.2 min Maksimalna hitrost traku, da izhlapi vsa voda: c?=.-,9.º = d = =0.0064m s =23 m h Vidimo, da je hitrost traku zelo majhna. Razmislite kaj lahko storimo, da povečamo snovsko prestopnost, ali difuzijski koeficient. 77

79 Naloga 7.3 Plošča po postopku barvanja preide v sušilno komoro. Barva, ki je topna v vodi, se sestoji iz 25% suhega deleža ter 75% vode. V sušilni komori barvo obteka topel zrak temperature 40 C in relativne vlažnosti 15% (prikazano na sliki). Kolikšen čas je potreben, da vsa voda iz barve na plošči dolžine 0.4 m in širine 2 m izhlapi? IZRAČUNAJTE: a) Povprečno snovsko prestopnost b) Čas, potreben, da se barva popolnoma posuši OSTALI PODATKI: Difuzijski koeficient za vodno paro v zrak D AB = m 2 s -1 Kinematična viskoznost zraka ν = m 2 s -1 ν 19.1 Schmidtovo število: Sc = = = DAB 27.2 Plinska konstanta za vodno paro R pare =461.5 J kg -1 K -1 Zrak na površini barve je nasičen. Pri temperaturi 40 C je tlak nasičenja p nas,pare = 7374 Pa Relativna vlažnost vpihovanega zraka je φ = 15%. Gostota barve je ρ = 1300 kg m -3 PREDPOSTAVKE: - Vodno paro obravnavamo kot idealen plin - Predpostavimo konstanten masni tok pare pri izhlapevanju 78