KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός p > καλείται πρώτος, εάν οι µόνοι διαιρέτες του είναι οι ακέραιοι αριθµοί ± και ± p Σε αντίθετη περίπτωση ο p καλείται σύνθετος Ορισµός ύο ακέραιοι αριθµοί, m καλούνται πρώτοι µεταξύ τους, εάν ο µέγιστος κοινός διαιρέτης τους ισούται µε, δηλαδή gcd(, m)=, ή ποιο απλά (, m) = Θεµελιώδες Θεώρηµα Θεωρίας Αριθµών: Κάθε φυσικός αριθµός > αναλύεται κατά µοναδικό τρόπο σε γινόµενο πρώτων παραγόντων (εάν παραβλέψουµε τη τάξη των παραγόντων στο γινόµενο), δηλαδή: = p p p p πρώτοι :, i i Θεώρηµα Εστω, Εάν, είναι πρώτοι µεταξύ τους, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθµοί r, s : r + s = Ορισµός 3 Έστω, η συνάρτηση { { } ( ) } ϕ:, ϕ( ) = #,,, : gcd, =, όπου ο συµβολισµός #A υποδηλώνει το πλήθος των στοιχείων του συνόλου Α, καλείται συνάρτηση ϕ του Euler H τιµή ϕ ( ) παριστάνει το πλήθος των φυσικών αριθµών στο διάστηµα [, ] που είναι πρώτοι προς τον 4
Θεώρηµα (i) Εάν o p είναι πρώτος αριθµός, τότε ϕ ( p) = p (ii) Εάν m, είναι πρώτοι µεταξύ τους, τότε ϕ( m) = ϕ( ) ϕ( m) (iii) Εάν = p p p, τότε: ϕ( ) = p p p Ορισµός 4 Ένα ζεύγος ( G, ) όπου G είναι ένα µη κενό σύνολο και είναι µια πράξη στο G, δηλαδή: : G G G, ( x, y) x y καλείται αβελιανή οµάδα, εάν η πράξη είναι: αντιµεταθετική, δηλ x y= yx x, y G, x y * z = x* y* z x, y, z G, προσεταιριστική, δηλ ( ) ( ) µοναδικό στοιχείο e G: x e= e x= x, x G, µοναδικό στοιχείο x G : x * x x * x e, x G = = Ορισµός 5 Αντιµεταθετικός δακτύλιος καλείται µια τριάδα ( G, +, ) που αποτελείται από ένα µη κενό σύνολο G, και δυο πράξεις: (α) την πρόσθεση, ως προς την οποία το σύνολο το Α αποτελεί αβελιανή οµάδα, (β) τον πολλαπλασιασµό ως προς τον οποίο ισχύουν οι ιδιότητες: αντιµεταθετική, δηλ xy= yx x, y G, προσεταιριστική, δηλ ( xy) z = x( yz) x, y, z G, µοναδικό µοναδιαίο στοιχείο G: x = x = x, x G, επιµεριστική, δηλ: x( y + z) = xy + xz x, y, z G 5
Oρισµός 6 Ένας αντιµεταθετικός δακτύλιος G καλείται σώµα, εάν κάθε µη µηδενικό στοιχείο του G είναι αντιστρέψιµο, δηλ µοναδικό στοιχείο x G: xx x x x G = = Το σύνολο των κλάσεων υπολοίπων mod Ορισµός 7 Έστω Ένας ακέραιος αριθµός καλείται ισότιµος µε τον ακέραιο αριθµό b mod, συµβολικά: bmod, εάν ( b), ή ισοδύναµα εάν = b + για κάποιον ακέραιο Ορισµός 8 Eστω, στο εξής θα συµβολίζουµε µε το σύνολο { : mod } ={ x : x= + λ, λ } = x x το οποίο καλείται κλάση υπολοίπων του mod, Ορισµός 9 Eστω και είναι η κλάση υπολοίπων του modm Ορίζουµε το σύνολο Το σύνολο { } = :, αυτό περιέχει ακριβώς διαφορετικά στοιχεία, τα εξής: { } = 0,,,, και καλείται σύνολο των κλάσεων υπολοίπων mod Το σύνολο αποτελεί αντιµεταθετικό δακτύλιο εάν το εφοδιάσουµε µε τις πράξεις: + b= + b b = b 6
Όλες οι πράξεις στο γίνονται mod Ο ποιο απλός τρόπος, είναι να βρούµε το αποτέλεσµα στο και στη συνέχεια να κάνουµε αναγωγή στο Υπάρχει προφανώς µια - αντιστοιχία: {0,,, } Παράδειγµα: Έστω = 8, b = Υπολογίστε στο 8 τις τιµές + b, b, b Απάντηση: + b= 8+ = 9 mod8 + b= b= 8 = 3 5mod8 b= 5 b = 8 = 88 6mod8 b = 6 Πως θα ορίσουµε την έννοια του αντιστρόφου στοιχείου στο ; Ορισµός 0 Ενα στοιχείο λέµε ότι είναι αντιστρέψιµο, εάν υπάρχει στοιχείο x τέτοιο ώστε: x mod Το x καλείται αντίστροφος του στο και συµβολίζεται µε x = Από τον παραπάνω ορισµό είναι φανερό ότι όλα τα στοιχεία του έχουν αντίστροφο στοιχείο Πράγµατι: δεν ( ) ( ) x mod / x x = x = gcd, = άρα: βλ Θ Θεώρηµα 3 αντιστρέφεται (,) πρώτοι µεταξύ τους Αµεση συνέπεια είναι το ακόλουθο: Πόρισµα είναι σώµα είναι πρώτος αριθµός Παράδειγµα Έστω = 7, b = 3 Υπολογίστε στο 3 την τιµή b/ 7
Απάντηση: O µέγιστος κοινός διαιρέτης gcd(,) δύο αριθµών υπολογίζεται από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη που παρατίθεται ευθύς αµέσως για α = 7, = 3: 3 = 3 7 + (διαιρώ / ) 7 = 3 + (διαιρώ π / υ, όπου π, υ είναι το πηλίκο, υπόλοιπο της παραπάνω διαίρεσης κλπ Όταν βρω υπόλοιπο στην τελευταία διαίρεση, οι αριθµοί (,) είναι πρώτοι µεταξύ τους) Προφανώς από την παραπάνω διαδικασία συνάγουµε ότι gcd(7,3)=, άρα από την ισχύ του Θεωρήµατος 3 το στοιχείο αντιστρέφεται To αντίστροφο στοιχείο υπολογίζεται από την αντίστροφη διαδικασία του αλγορίθµου του Ευκλείδη, δηλαδή: άρα = 7-3 = 7-3 (3-3 7) = -3 3 + 0 7 = 3 3+ 0 7 οπότε 0 Τελικά λοιπόν: b/ = b = 3 0= 7 3 Η πολλαπλασιαστική οµάδα Ορισµός Η πολλαπλασιαστική οµάδα { :gcd(, ) } = =, ορίζεται ως εξής: είναι δηλαδή η οµάδα που αποτελείται µόνον από τα αντιστρέψιµα στοιχεία του Προφανώς η τάξη της οµάδας (δηλαδή το πλήθος των στοιχείων της οµάδας ), ισούται µε την τιµή ϕ ( ) της συνάρτησης του Euler Θεώρηµα 4 (Euler) Εάν, τότε ϕ ( ) mod Πόρισµα (Fermt) Εάν ( p, ) είναι πρώτοι µεταξύ τους, τότε: 8
p mod p Ορισµός Έστω και : gcd(,) = O ελάχιστος φυσικός αριθµός r µε την ιδιότητα r mod καλείται τάξη (order) του στοιχείου mod Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι η τάξη στοιχείου ορίζεται µόνον για αντιστρέψιµα στοιχεία του Το Θεώρηµα 4 υπονοεί ότι η τάξη οποιουδήποτε στοιχείου του ισούται µε την τιµή ϕ ( ), είτε διαιρεί την τιµή ϕ ( ) είτε Oρισµός 3 Αν η τάξη ενός στοιχείου ισούται µε ϕ ( ), τότε το στοιχείο καλείται γεννήτορας του, ή αρχική ρίζα, ή πρωταρχική ρίζα του Οι αρχικές ρίζες υπολογίζονται από το ακόλουθο: Θεώρηµα 5 Έστω και έτσι ώστε gcd(,)= Εάν p, p,, p s είναι όλοι οι διαφορετικοί πρώτοι παράγοντες της συνάρτησης του Euler ϕ ( ), τότε: ϕ ( ) p αρχική ρίζα mod,, ϕ ( ) p s mod Θεώρηµα 6 Εάν ο p> είναι πρώτος αριθµός, τότε υπάρχουν πάντοτε ϕ p αρχικές ρίζες mod, το δε πλήθος τους είναι ( ) Προφανώς, εάν είναι µία αρχική ρίζα mod, τότε η πολλαπλασιαστική οµάδα γράφεται ως εξής: i { mod : 0,, ϕ( ) } = i= Tότε µπορούµε να ορίσουµε την έννοια του διακριτού λογάριθµου ως εξής: 9
Oρισµός 4 Eστω είναι φυσικός αριθµός για τον οποίο υπάρχει µία αρχική ρίζα mod, έστω η w Tότε: { ϕ }, µοναδικος φυσικος r 0,, ( ) : w r mod O µοναδικός φυσικός αριθµός r καλείται διακριτός λογάριθµος του ως προς τη βάση w και συµβολίζεται ως r = log w ηλαδή: r r = log w mod w Oρισµός 5 Έστω η ισοτιµία x mod, όπου φυσικός αριθµός και ακέραιος αριθµός πρώτος προς τον, τότε ο καλείται τετραγωνικό υπόλοιπο modulo Θεώρηµα Υπολοίπου του Κινέζου Εάν οι φυσικοί αριθµοί,,, είναι πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο, τότε το σύστηµα ισοτιµιών x mod, έχει µοναδική λύση ( ) mod Παράδειγµα Εάν x 3mod5 και x 5mod7, ποια είναι η µοναδική λύση mod35 αυτών των ισοτιµιών; Απάντηση: Η γενική λύση δίνεται από τη σχέση: x N M (mod 35), όπου Ni i= i i i = και M + M = i Θεωρούµε = 5, = 7, άρα: N = 7, N = 5 Eπίσης, από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη έχουµε: 7= 5+, 5= +, άρα: = 5 = 5 (7 5) = 7 + 3 5, συνεπώς: δηλαδή: M =, M = 3, άρα: 7+ 3 5=, 0
x (3 7 ( ) + 5 5 3)mod35 ( 4 + 75)mod35 33mod35 ηλαδή εάν για κάποιο x ισχύει x 3mod5και x 5mod7, τότε οι πιθανές τιµές του x είναι 33, 68, 03, κλπ 4 Πολυώνυµα Έστω f ( x) = 0 + x+ + x ένα πολυώνυµο Εάν όλοι οι συντελεστές του πολυωνύµου ανήκουν σε ένα σώµα, ή δακτύλιο, ή οµάδα G, τότε θα γράφουµε: f ( x) G[ x] Oρισµός 6 Πολυώνυµα τα οποία µπορούν να γραφούν σαν γινόµενο δυο άλλων πολυωνύµων µε µικρότερο βαθµό καλούνται αναγώγιµα, αλλιώς ονοµάζονται ανάγωγα Ένα ανάγωγο πολυώνυµο f ( x) G[ x] προφανώς δεν έχει ρίζες στο G 5 Ο συµβολισµός Ο Ορισµός 7 Έστω συναρτήσεις f, g :, ορίζουµε το σύνολο Ο(g) ως εξής: f Og ( ) c> 0, : f( ) g ( ) 0 0 Συνήθως αντί να γράφουµε f Og ( ) γράφουµε f = Og ( ) Παραδείγµατα: = όταν b b O( ) αν f O( g) και g O( h) f O( h) = = = αν f = O( g) και h= O( g) f + h= O( g) d d αν f ( ) d ++ 0, d 0, τοτε: f = O( ) = + d Ισχύει = O( e ), d
Επίσης: = O( e ε ), ε > 0 Πρακτικό ενδιαφέρον όταν 0 < ε < Αν για µία συνάρτηση f : υπάρχει πολυώνυµο p : τέτοιο ώστε f = O( p), τότε θα λέµε ότι η f είναι πολυωνυµικά φραγµένη 6 Πολυπλοκότητα αλγορίθµου Έστω αλγόριθµος που έχει είσοδο µήκους Υπενθυµίζουµε ότι µήκος ενός φυσικού αριθµού καλείται το πλήθος των ψηφίων της δυαδικής του αναπαράστασης Εάν δηλαδή = + + +, 0, τότε: 0 ( ) ( ) < log < = log + Είναι εύκολο να δει κανείς ότι: µήκος ( ) s s (,,, s έχουν µήκος ), µήκος ( + + + ) +µήκος (s), µήκος ( m!) = Ο(m log(m)) s Oρισµός 8 Καλούµε χρόνο εκτέλεσης µιας διαδικασίας το πλήθος των δυαδικών πράξεων που απαιτούνται για την εκτέλεση της Είναι εύκολο να δει κανείς ότι: ( ) χρόνος ± b= O mx{ log, log b} χρόνος b = O( log log b ) χρόνος / b O( log log b) = Ο χρόνος εκτέλεσης καλείται και ως πολυπλοκότητα εκτέλεσης Παράδειγµα Έστω, τότε ο χρόνος που απαιτείται για την πρόσθεση και τον πολ/σµό δύο στοιχείων του είναι Ο(µήκους ()) και Ο(µήκους ( )) αντιστοίχως
Απάντηση: Πράγµατι, έστω η κλάση υπολοίπων (mod) Έστω b,, τότε υπολογίζουµε το άθροισµα c = + b σε Ο(mx(log,log b)) = O(log) χρόνο Προφανώς, είτε ισχύει 0 c, είτε ισχύει c<, άρα 0 < - + c < πάλι σε Ο(log()) χρόνο Άρα το άθροισµα υπολογίζεται σε Ο(log()) χρόνο Για τον πολ/σµό, πρώτα γίνεται η πράξη c = b σε Ο(log() log(b)) = O ( log ) χρόνο Στη συνέχεια γίνεται η διαίρεση c/ σε Ο(log() ( ) ( log ) log()) = O ( ) χρόνο Παράδειγµα Έστω,,, πρώτοι µεταξύ τους, τότε η ισοτιµία επιλύεται σε χρόνο Ο(log() log(b)) x mod Απάντηση: H λύση της ισοτιµίας ανάγεται στην εύρεση, λ : +λ =, ή γενικότερα στην εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη των και H εύρεση όµως µέγιστου κοινού διαιρέτη αποδεικνύεται ότι γίνεται σε O log( )log( ) χρόνο ( ) ΑΣΚΗΣΗ Το Θεώρηµα Υπολοίπων του Κινέζου υπολογίζεται σε (( log ) ) O χρόνο ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να γίνουν οι πράξεις: + b, b, b, / b όταν: = 4, b = 9 στην οµάδα 6 = 3, b = 7 στην οµάδα Εάν =, να υπολογίσετε µία αρχική ρίζα της πολ/κής οµάδας Γράψτε τα στοιχεία της οµάδας * * 3
3 Εάν x 3mod7 και x 8mod, ποια είναι η µοναδική λύση mod77 αυτών των ισοτιµιών; 4 ίνεται η πολ/κή οµάδας * 9 Υπολογίστε την τάξη του στοιχείου Είναι η κυκλική οµάδα; Αν ναι, βρείτε έναν γεννήτορά της * 9 5 Να επιλυθεί στο η ισοτιµία x 3mod 4