Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύγχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεχος Σχεδίαση Σ.Α.Ε: Σύχρονες Μέθοδοι Σχεδίασης Σ.Α.Ε 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Βιβλιοραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο : Ενότητες.-.3 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµοές, Κεφάλαιο : Ενότητες.-.5 DiSeo [995]: Chper, Seio. -.3 Tewri [5]: Chper 5: Seio 5.-5.4 6 Niol Tpouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Εισαωή Οι σύχρονες µέθοδοι σχεδίασης συστηµάτων αυτοµάτου ελέχου βασίζονται σε περιραφές των συστηµάτων αυτών στο πεδίο του χρόνου και συκεκριµένα υπό τη µορφή εξισώσεων κατάστασης. Οι τεχνικές αυτές µπορούν να διαιρεθούν σε δύο κατηορίες: Αλεβρικές Τεχνικές Ελέχου Η δοµή του αντισταθµιστή είναι εκ των προτέρων προσδιορισµένη και ζητείται η εύρεση των παραµέτρων. ιακρίνουµε τρεις µεθοδολοίες: Μετατόπιση Ιδιοτιµών Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων Τέλειο ταίριασµα σε πρότυπο Τεχνικές Βέλτιστου Ελέχου Ζητείται η εύρεση της βέλτιστης στρατηικής οποιασδήποτε δοµής ελέχου του Σ.Α.Ε η οποία ελαχιστοποιεί το κριτήριο κόστους: T T J lim e e T T όπου ey-y m είναι η διαφορά ανάµεσα στην επιθυµητή συµπεριφορά έξοδο y m και στην πραµατική συµπεριφορά y του υπό έλεχο συστήµατος Στο πλαίσιο του µαθήµατος θα εξεταστούν οι Αλεβρικές Τεχνικές Ελέχου 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Γραµµικός νόµος ανατροφοδότησης κατάστασης Στη σχεδίαση Σ.Α.Ε µε αλεβρικές τεχνικές χρησιµοποιούνται συνήθως αντιστασθµιστές-ρυθµιστές οι οποίοι είναι ραµµικοί είτε ως προς το διάνυσµα κατάστασης αντισταθµιστές µε ανατροφοδότηση κατάστασης είτε ως προς το διάνυσµα εξόδου αντισταθµιστές µε ανατροφοδότηση εξόδου. Αντισταθµιστές µε ανατροφοδότηση κατάστασης Η µορφή ενός αντισταθµιστή µε ανατροφοδότηση κατάστασης δίνεται στο επόµενο σχήµα. Το υπό έλεχο σύστηµα Γ.Χ.Α. περιράφεται από τις εξισώσεις κατάστασης: x& x u y Cx m p όπου x R, u R, y R και οι πίνακες,,c έχουν τις κατάλληλες διαστάσεις ώστε να ικανοποιούνται οι εξισώσεις κατάστασης y u x u y y u x x y p um x 6 Niol Tpouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Νόµος ανατροφοδότησης κατάστασης ΙΙ Ο αντισταθµιστής είναι της µορφής: u Fx Gω m* όπου ω R είναι ένα νέο διάνυσµα εισόδου µε m* εισόδους και F,G είναι οι άνωστοι πίνακες του αντισταθµιστή, διαστάσεων mx, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει τα επιθυµητά χαρακτηριστικά. Τα επιθυµητά χαρακτηριστικά µας προσδιορίζουν συνήθως και τη µεθοδολοία σχεδίασης που πρέπει να ακολουθηθεί Το αντισταθµισµένο σύστηµα περιράφεται από τις σχέσεις: x& F y Cx x Gω y u x u y y u x x y p um x 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Γραµµικός νόµος ανατροφοδότησης εξόδου Στο επόµενο σχήµα εµφαίνεται η µορφή ενός αντισταθµιστή µε ανατροφοδότηση εξόδου. Ο αντισταθµιστής είναι της µορφής: u Ky Nω όπου Κ,Ν είναι οι άνωστοι πίνακες του αντισταθµιστή, διαστάσεων mxp, mxm* αντίστοιχα οι οποίοι και πρέπει να προσδιοριστούν κατά τη διαδικασία σχεδίασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει τα επιθυµητά χαρακτηριστικά. Το αντισταθµισµένο σύστηµα περιράφεται από τις σχέσεις: x& KC x Nω y Cx 6 Niol Tpouli 3

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Συσχετισµός ανατροφοδότησης κατάστασης Από την περιραφή των αντισταθµισµένων συστηµάτων µε ανατροφοδότηση κατάστασης προκύπτει ότι: F KC G N δηλαδή η ύπαρξη λύσης στο πρόβληµα σχεδίασης µε ανατροφοδότηση κατάστασης συνεπάεται και λύση στο πρόβληµα σχεδίασης µε ανατροφοδότηση εξόδου. Οι κύριες διαφορές ανάµεσα στις δύο ανωτέρω µεθόδους είναι: Η σχεδίαση µε ανατροφοδότηση κατάστασης παρέχει µεαλύτερο βαθµό ελευθερίας όσον αφορά την επιλοή των παραµέτρων του αντισταθµιστή δεδοµένου ότι ο πίνακας F έχει m* στοιχεία ενώ ο πίνακας Κ έχει m*p<m* στοιχεία. Από πρακτική άποψη η σχεδίαση µε ανατροφοδότηση εξόδου είναι ευκολότερη ιατί το διάνυσµα εξόδου είναι σχεδόν πάντοτε νωστό και µετρήσιµο σε αντίθεση µε το διάνυσµα κατάστασης το οποίο συνήθως εκτιµάται µε χρήση παρατηρητών κατάστασης. 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Μετατόπιση Ιδιοτιµών Επειδή οι ιδιοτιµές ενός συστήµατος µε περιραφή στο χώρο κατάστασης ταυτίζονται µε τους πόλους του συστήµατος και επειδή οι πόλοι του συστήµατος καθορίζουν και τη συµπεριφορά του η µετατόπιση ιδιοτιµών είναι µια προσφιλής τεχνική σχεδίασης Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης. Το πρόβληµα διατυπώνεται ως εξής: ίνεται το Γ.Χ.Α x& x u y Cx ζητείται να προσδιορισθεί ο πίνακας F ή Κ ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει ιδιοτιµές τις λ,λ,,λ, δηλαδή: I F I KC i i λ i λ i αν έχουµε ανατροφοδότηση κατάστασης αν έχουµε ανατροφοδότηση εξόδου 6 Niol Tpouli 4

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Μετατόπιση Ιδιοτιµών ΙΙ Θεώρηµα: Οι ιδιοτιµές του συστήµατος x& x u y Cx µπορούν να µετατοπιστούν σε οποιεσδήποτε αυθαίρετες θέσεις λ,λ,,λ, τότε και µόνο τότε το σύστηµα είναι ελέξιµο, δηλαδή η τάξη του πίνακα S διαστάσεων xm είναι ίση µε υπάρχουν δηλαδή ανεξάρτητες στήλες στον πίνακα S S [ ] αν µια από τις ιδιοτιµές λ i είναι µιαδική τότε πρέπει να συµπεριληφθεί και η συζυής της. 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Μετατόπιση Ιδιοτιµών ΙΙΙ Στη περίπτωση στην οποία το σύστηµα µας είναι µιας εισόδου m και ευρίσκεται ή µπορεί να µετατραπεί σε κανονική µορφή φάσης, δηλαδή οι πίνακες και b έχουν τη µορφή: b τότε ο πίνακας Αb T του αντισταθµισµένου συστήµατος έχει τη µορφή: b T 3 6 Niol Tpouli 5

6 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Μετατόπιση Ιδιοτιµών ΙV O υπολοισµός των τιµών του διανύσµατος δίνεται από τις σχέσεις: όπου T b I λ i i ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Μετατόπιση Ιδιοτιµών V Στη περίπτωση που το σύστηµα µιας εισόδου δεν είναι σε κανονική µορφή φάσης ο υπολοισµός των τιµών του διανύσµατος δίνεται από τις σχέσεις: α S W ~ ~ T T W ~ ~ α

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα Έστω το σύστηµα µιας εισόδου x & x bu µε: b Να βρεθεί το διάνυσµα ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους ιδιοτιµές τους -,-. Λύση: Το σύστηµα είναι κανονική µορφή φάσης άρα είναι ελέξιµο, εποµένως το πρόβληµα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τη σχέση: όπου: i 3 3 λ 3 i 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα συν. Σηµειώνεται ότι το αρχικό σύστηµα ήταν ασταθές ια την ακρίβεια ταλαντούµενο αφού οι ιδιοτιµές του πίνακα βλέπε και εντολή eig στη Mlb είναι: ρ, ±j Η ελεξιµότητα ενός συστήµατος στο χώρο κατάστασης µπορεί να διαπιστωθεί χρησιµοποιώντας τις εντολές rb και rk της Mlb. Η πρώτη σχηµατίζει τον πίνακα ελεξιµότητας S ενώ η δεύτερη ελέχει την τάξη ενός πίνακα 6 Niol Tpouli 7

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα ΙΙ Έστω το σύστηµα µιας εισόδου x & x bu µε: b Να βρεθεί το διάνυσµα ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους ιδιοτιµές τους -j, --j. Λύση: Το σύστηµα δεν είναι σε κανονική µορφή φάσης άρα χρειάζεται να διερευνήσουµε πρώτα την ελεξιµότητα του: S [ b b] ο πίνακας S είναι τάξης, άρα το σύστηµα είναι ελέξιµο. 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα ΙΙ συν. Το σύστηµα δεν είναι σε κανονική µορφή φάσης αλλά ελέξιµο, εποµένως το πρόβληµα σχεδίασης έχει λύση η οποία δίνεται από τις σχέσεις: T T W S α ~ ~ Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: I οπότε: I το επιθυµητό πολυώνυµο είναι: λ i j j i Ο πίνακας W είναι: W 6 Niol Tpouli 8

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα ΙΙ συν. Οπότε τελικά έχουµε: T T W S α ~ ~ Σηµειώνεται η µετατόπιση ιδιοτιµών υλοποιείται στη Mlb µε τη συνάρτηση ple, η οποία συντάσσεται ως: ple,b,p; όπου p είναι το διάνυσµα των επιθυµητών ιδιοτιµών. Η συνάρτηση αυτή επιλύει το πρόβληµα της µετατόπισης ιδιοτιµών και ια συστήµατα πολλών εισόδων 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα ΙΙΙ Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα: x & x u µε. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης F ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους ιδιοτιµές οπουδήποτε επιθυµούµε.. Να βρεθεί αν υπάρχει πίνακας ανατροφοδότησης κατάστασης της µορφής F ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πόλους ιδιοτιµές τους -j, --j 6 Niol Tpouli 9

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα ΙΙΙ συν. Λύση: Το πρόβληµα της µετατόπισης ιδιοτιµών έχει λύση αν το σύστηµα είναι ελέξιµο. Για το σκοπό αυτό σχηµατίζουµε το πίνακα S: S [ ] ο πίνακας S είναι τάξης, άρα το σύστηµα είναι ελέξιµο. Για το δεύτερο ερώτηµα χρειάζεται να ελέξουµε αν υπάρχει πίνακας F µε τους περιορισµούς,. Το ζητούµενο πολυώνυµο είναι: Για να υπάρχει λύση στο πρόβληµα χρειάζεται: > >, i λ i j j I F 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Αποσύζευξη Εισόδων - Εξόδων Η µελέτη αλλά και ο έλεχος Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων διευκολύνεται αν κάθε είσοδος επηρεάζει µία και µόνο έξοδο, και κάθε έξοδος επηρεάζεται από µια και µόνο είσοδο. Η µετατροπή σε τέτοια µορφή καθιστά ένα Σ.Α.Ε πολλών εισόδων - πολλών εξόδων ισοδύναµο µε πολλαπλά Σ.Α.Ε µίας εισόδου-µίας εξόδου τα οποία είναι σαφώς πιο εύκολα στη µελέτη. Το πρόβληµα της αποσύζευξης εισόδων εξόδων ορίζεται ως εξής: ίνεται το Γ.Χ.Α σύστηµα x& x u y Cx ια το οποίο έχουµε ίσο αριθµό εισόδων και εξόδων δηλαδή mp. Ζητείται να προσδιορισθούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης έτσι ώστε κάθε είσοδος ω i του κλειστού συστήµατος να επηρεάζει µια και µόνο έξοδο του, και αντίστροφα, δηλαδή να ισχύει η σχέση: y i ω i x& F y Cx x Gω 6 Niol Tpouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων ΙΙ Ο πίνακας των συναρτήσεων µεταφοράς του κλειστού συστήµατος x& F x Gω y Cx δίνεται από τη σχέση έινε χρήση του µετασχηµατισµού Lple: H C I F G εδοµένου ότι ΥHΩ ένας ισοδύναµος ορισµός του προβλήµατος της αποσύζευξης εισόδων-εξόδων είναι ο προσδιορισµός των πινάκων F και G έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H να είναι οµαλός και διαώνιος, να έχει δηλαδή τη µορφή: h H h h mm h mm 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων ΙΙΙ Θεώρηµα: Το Γ.Χ.Α x& x u y Cx είναι αποσυξεύξιµο µε το νόµο ανατροφοδότησης κατάστασης u Fx Gω τότε και µόνο τότε ο πίνακας m m m m είναι οµαλός δηλαδή ισχύει. i είναι η i- οστή ραµµή του πίνακα C και,,, m είναι ακέραιοι αριθµοί οι οποίοι υπολοίζονται ως εξής: j mij : i j,,, i j αν i ια όλα τα j 6 Niol Tpouli

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Αποσύζευξη Εισόδων Εξόδων IV Αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο ένα ζεύος πινάκων που καθιστούν την αποσύζευξη εφικτή δίνεται από τις σχέσεις: F G όπου: m m m m ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H έχει τη µορφή H m m 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα Ι Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα µε: x& x u y Cx C. Να βρεθεί αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο και στην περίπτωση που είναι να υπολοιστούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης.. Να υπολοιστεί ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευµένου συστήµατος. 6 Niol Tpouli

3 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Παράδειµα Ι συν. Λύση: Σχηµατίζουµε τον πίνακα ια να ελέξουµε αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο Αφού το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο. Για να βρούµε τους πίνακες F και G σχηµατίζουµε τον πίνακα Α οπότε 3 C ] [ ] [ > 3] [ ] [ > C 3 3 G 3 3 G F ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Παράδειµα Ι συν. Λύση συν.: Ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς του αντισταθµισµένου συστήµατος δίνεται από τη σχέση: H

4 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Παράδειµα ΙΙ Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα µε:. Να βρεθεί αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο και στην περίπτωση που είναι να υπολοιστούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης.. Να υπολοιστεί ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς του αρχικού αλλά και του αποσυζευµένου συστήµατος. Cx y u x x & C ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Παράδειµα ΙΙ συν. Λύση: Σχηµατίζουµε τον πίνακα ια να ελέξουµε αν το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο 4 ] [ ] [ > ] [ ] [ 4] [ ] [ >

ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Παράδειµα ΙΙ συν. Λύση συν.: Αφού 4 το σύστηµα είναι αποσυζεύξιµο. Για να βρούµε τους πίνακες F και G σχηµατίζουµε τον πίνακα Α οπότε G 4 4 4 5 F H 4 4 8 G 4 5 4 3 5 6 Niol Tpouli ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος Τέλειο Ταίριασµα σε Πρότυπο H C H C I KC N I F G Στο πρόβληµα του τέλειου ταιριάσµατος προς πρότυπο αναζητείται αντισταθµιστής τέτοιος ώστε το κλειστό αντισταθµισµένο σύστηµα να ακολουθεί όσο πιο πιστά ίνεται τη συµπεριφορά του προτύπου. Το πρόβληµα του τέλειου ταιριάσµατος προς πρότυπο ορίζεται ως εξής: ίνεται το Γ.Χ.Α σύστηµα x& x u y Cx και το πρότυπο σύστηµα µε πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς H m. Ζητείται να προσδιορισθούν οι πίνακες F και G του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης ή οι πίνακες Κ και Ν του νόµου ανατροφοδότησης εξόδου έτσι ώστε ο πίνακας συναρτήσεων µεταφοράς H του αντισταθµισµένου συστήµατος να ταυτίζεται µε τον H m δηλαδή να ισχύει: H C I F G H m 6 Niol Tpouli 5

6 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεχος 6 Niol Tpouli Παράδειµα Ι Έστω το Γ.Χ.Α σύστηµα µε:. Να υπολοιστούν τα διανύσµατα [ ] T και Gg του νόµου ανατροφοδότησης κατάστασης ώστε το αντισταθµισµένο σύστηµα να έχει πίνακα συναρτήσεων µεταφοράς: b u Cx y b x x & C m H