ΟΡΙΜΟ Έςτω ότι ϋχουμε δύο μεγϋθη χ,ψ τα οπούα ςυνδϋονται με τη ςχϋςη ψ=f(χ) και η ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςτο χ 0. Ονομϊζουμε ρυθμό μεταβολόσ του ψ ωσ προσ χ ςτο ςημεύο χ 0 την παρϊγωγο f (χ 0 ) Ο ρυθμόσ μεταβολόσ με τον ςυμβολιςμό Leibniz dy dx χ=χ0 Παρατηρόςεισ Ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ μετατόπιςησ(ςυνϊρτηςη θϋςησ) ενόσ κινητού εύναι η ταχύτητα του κινητού και ο ρυθμόσ μεταβολόσ τη ταχύτητασ υ(t) εύναι η επιτϊχυνςη α(t) του κινητού Αν το κινητό κινεύται πϊν ςε μια ευθεύα και η ςυνϊρτηςη θϋςησ εύναι χ(t) τότε χ (t) εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ μετατόπιςόσ του και η ταχύτητϊ του. Στην οικονομύα το κόςτοσ παραγωγόσ Κ, η εύςπραξη Ε και το κϋρδοσ Π εκφρϊζονται ςυναρτόςει μιασ ποςότητασ χ του παραγόμενου προώόντοσ. Ο ρυθμόσ μεταβολόσ του κϋρδουσ ωσ προσ χ λϋγεται οριακό κϋρδοσ και ςυμβολύζεται με Π (χ), το οριακό κόςτοσ με Κ (χ) και η οριακό εύςπραξη με Ε (χ) Όταν ϋνα μϋγεθοσ μειώνεται ο ρυθμόσ μεταβολόσ εύναι αρνητικόσ και όταν ϋνα μϋγεθοσ αυξϊνεται ο ρυθμόσ μεταβολόσ εύναι θετικόσ Όταν ϋνα κινητό (ςημεύο) απομακρύνεται από την αρχό των αξόνων, εύτε πϊνω ςτον χ χ, εύτε ςτον ψ ψ, ςτουσ θετικούσ ημιϊξονεσ ϋχουμε θετικούσ ρυθμούσ, ενώ όταν πληςιϊζει την αρχό των αξόνων, ςτουσ θετικούσ ημιϊξονεσ ϋχουμε αρνητικούσ ρυθμούσ. Τα αντύθετα ςυμβαύνουν όταν το κινητό κινεύται ςτουσ αρνητικούσ ημιϊξονεσ. ΓΕΝΙΚΑ τα προβλόματα ςτο ρυθμό μεταβολόσ διακρύνονται ςε δύο μεγϊλεσ κατηγορύεσ Η πρώτη κατηγορύα εύναι τα προβλόματα όπου μασ δύδεται η ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ του οπούου μασ ζητούν το ρυθμό μεταβολόσ, όπωσ παρϊδειγμα 2 Η δεύτερη κατηγορύα εύναι τα προβλόματα όπου δεν μασ δύδεται η ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ του οπούου μασ ζητούν το ρυθμό μεταβολόσ. Τότε πρϋπει να την βρούμε εμεύσ. Αυτϊ τα προβλόματα εύναι ενύοτε και πιο δύςκολα. Όπωσ παρϊδειγμα 1, και 4 Παρϊδειγμα 1. Το κόςτοσ παραγωγόσ Κ(χ) και η τιμό πώληςησ Π(χ), χ μονϊδων ενόσ προώόντοσ δύνεται από τη ςυνϊρτηςη: Κ(χ) = αχ + βχ 2 + γχ + δ με α, β, γ, δ θετικούς αριθμούς και Π(χ) = λχ, όπου λ σταθερϊ. Να βρεθεύ πότε ο ρυθμόσ μεταβολόσ του κϋρδουσ εύναι θετικόσ Το κϋρδοσ εύναι Τ(χ)=Π(χ)-Κ(χ) και επομϋνωσ ο ρυθμόσ μεταβολόσ του κϋρδουσ ό οριακό κϋρδοσ Τ (χ) = Π (χ) Κ (χ) = λ αχ 2 2βχ γ = αχ 2 2βχ γ + λ. Και επειδό το α < 0 το τριώνυμο γύνεται θετικό όταν η διακρύνουςα Δ > 0. Τότε όμωσ ϋχουμε δύο ρύζεσ ϋςτω τισ ρ 1, ρ 2 και θα πρϋπει ρ 1 < χ < ρ 2 Παρϊδειγμα 2 1
Η θϋςη ενόσ κινητού που κινεύται ςε μια ευθεύα δύνεται κϊθε χρονικό ςτιγμό από τη ςυνϊρτηςη θϋςησ: χ(t) = t 6t 2 + 9t 4 με t 0,5 και το t ςε min α. Να βρεθεύ η θϋςη του κινητού τη χρονικό ςτιγμό t = 0 β. Να βρεθεύ η ταχύτητϊ του για κϊθε χρονικό ςτιγμό,καθώσ και η επιτϊχυνςό του γ. Να βρεθούν οι χρονικϋσ ςτιγμϋσ κατϊ τισ οπούεσ αλλϊζει φορϊ το κινητό δ. Ποια χρονικϊ διαςτόματα το κινητό κινεύται προσ τα δεξιϊ και ποια προσ τα αριςτερϊ ε. Να βρεθεύ το ςυνολικό διϊςτημα ςτ. Να βρεθεύ η μϋςη ταχύτητα του κινητού α. Θα πρϋπει να θϋςουμε t=0. Οπότε χ(0)=-4 β. υ(t) = χ (t) = t 2 12t + 9 εύναι η ταχύτητα για κϊθε χρονικό ςτιγμό α(t) = υ (t) = 6t 12 εύναι η επιτϊχυνςη του κινητού ςε κϊθε χρονικό ςτιγμό γ. Αλλϊζει φορϊ τισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ που ταχύτητα εύναι 0και αλλϊζει και το πρόςημο τησ ταχύτητασ. Επομϋνωσ t 2 12t + 9 = 0 t = 1 ό t = Άρα ςτισ χρονικϋσ ςτιγμϋσ t=1 και t= αλλϊζει φορϊ το κινητό δ. t 0 1 5 υ(t) + 0-0 + Προσ τα δεξιϊ κινεύται όταν υ(t)>0 t 0,1)U(,5 και προσ τα αριςτερϊ κινεύται όταν υ(t)<0 t (1,) ε. χ(0)=-4, χ(1)=0, χ(2)=-2, χ()=-4, χ(4)=0 και χ(5)=16 Το ςυνολικό διϊςτημα εύναι ύςο με χ(1) χ(0) + χ() χ(1) + χ(5) χ() = 28 ςτ. υ = Δχ Δt = 28 5 = 5,6 2
Χρόςιμοι τύποι που εύναι απαραύτητοι για την επύλυςη των προβλημϊτων του ρυθμού μεταβολόσ Μόκοσ κύκλου ακτύνασ R L=2πR Εμβαδόν κύκλου ακτύνασ R Ε = πr 2 Μόκοσ κυκλικού τόξου ΑΒ = πr μ 180 αν το τόξο ειναι μο μούρεσ O) O ΑΒ = α R αν το τόξο εύναι α rad A μ 0 B Eμβαδόν κσκλικού ηομέα (ΟΑΒ) ακηίνας R Ε ΟΑΒ = πr2 μ 60 αν το τόξο ειναι μο μούρεσ Ε ΟΑΒ = 1 2 αr2 αν το τόξο εύναι α rad Δμβαδό κσκλικού ημήμαηος Ε κ.τμ. = Ε κ.τ (ΟΑΒ) (ΟΑΒ) Εμβαδόν ςφαύρασ Ε = 4πR 2 Ογκοσ ςφαύρασ V = 4 πr Εμβαδόν κώνου Ε = πrλ + πr 2 Ογκοσ κώνου V = 1 πr2 υ Ογκοσ πυραμύδασ V = 1 Ε βϊσης υ Παρϊδειγμα Ένασ ποντικόσ βρύςκεται ςτην κορυφό μιασ ςκϊλασ ύψουσ 1 μϋτρων που εύναι ςτερεωμϋνη ςε πλϊγια ςε ϋνα τούχο. Αν η βϊςη τησ ςκϊλασ γλυςτρϊει με ρυθμό m/sec, να βρεθεύ ο ρυθμόσ με τον οπούο πϋφτει ο ποντικόσ τη ςτιγμό που η βϊςη βρύςκεται ςε απόςταςη 5 μϋτρα από τον τούχο. Αν ο ποντικόσ βριςκόταν ςτο μϋςο Μ τησ ςκϊλασ, ποιοσ θα όταν ο ρυθμόσ πτώςησ του ποντικού? Α Ο Μ Β
Έςτω ΟΒ=χ m. Η απόςταςη του ποντικού από το ϋδαφοσ εύναι ΟΑ=ψ m και ΑΒ=1m Δύνεται χ (t) = m/sec Και θϋλουμε το ψ (t). Πρϋπει να βρούμε τη ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ που ζητϊμε το ρυθμό μεταβολόσ. Το τρύγωνο ΟΑΒ εύναι ορθογώνιο και επομϋνωσ ψ 2 (t) + χ 2 2χ(t) χ (t) (t) = 169 ψ(t) = 169 χ 2 (t) ψ (t) = 2 169 χ 2 (t) = 5 169 25 = = 5 m/ sec κατα την χρονικό ςτιγμό που το χ = 5m 4 To μϋςο Μ ϋχει ςυντεταγμϋνεσ Μ(χ Μ, ψ Μ ) = χ 2, ψ 2. Επομϋνωσ ψ Μ (t) = ψ (t) 2 = 5 8 m/sec Παρϊδειγμα 4 Σημεύο Μ(χ, ψ)κινεύται πϊνω στην υπερβολό χ 2 ψ 2 = 12 ϋτσι ώστε η ςυντεταγμϋνη του ψ να αυξϊνεται με ρυθμό 6m/sec. Ποιοσ εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςυντεταγμϋνησ χ κατϊ την χρονικό ςτιγμό που το χ=4m Έχουμε χ 2 (t) ψ 2 (t) = 12 6χ(t)χ (t) 2ψ(t)ψ (t) = 0 χ (t) = = 2ψ(t)ψ (t) = (±6) 6 6χ(t) 4 = ± όταν το χ = 4 από τον τύπο χ 2 ψ 2 = 12 προκύπτει ότι ψ=±6 Μ(4,6) Μ(χ,ψ) 4 Μ (4,-6) Παρϊδειγμα 5 Ένασ πεζοπόροσ ξεκινϊει από το ςημεύο Α και βαδύζει γύρω από μύα κυκλικό λύμνη ακτύνασ 2Κm με ςταθερό ταχύτητα Κm/h. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ χορδόσ ΑΒ ωσ προσ το χρόνο t τη χρονικό ςτιγμό που η γωνύα ΑΓ = ημ θ 2 ΟΒ ΑΓ = 2ημ θ 2. Επομϋνωσ ΑΒ (t) = 4ςυν θ(t) 2 θ (t) 2 θ = ΑΟΒ εύναι ύση με π ΑΒ(t) = 2ΑΓ(t) = 4ημ θ(t) θ(t) ΑΒ (t) = 4ςυν 2 2 θ (t) 2 Αλλϊ S = θ R S(t) = θ(t) 2 S (t) = 2θ (t) θ (t) = S (t) 2 = 2 rad/h και κατϊ την χρονικό ςτιγμό όπου η γωνύα θ εύναι π Α S Γ θ/2 Ο Ο Β θα ϋχω: 4
ΑΒ π = 4ςυν π 6 4 = 4 2 4 = 2 Κm/h Παρϊδειγμα 6 Ένα σημεύο Μ κινεύται στη γραφικό παρϊσταση της συνϊρτησης f(χ) = χ + 1. Η τετμημϋνη του Μ εύναι θετικό και απομακρύνεται από την αρχό των αξόνων Ο με ρυθμό μεταβολόσ 2. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνύασ που ςχηματύζει η εφαπτομϋνη τησ C f στο Μ με τον ϊξονα χ χ όταν αυτό εύναι παρϊλληλη με την ευθεύα προς την ευθεύα με εξύσωση χ ψ + 2 = 0 εφθ = f (χ) εφθ = χ 2 η ςυναρτόςει του χρόνου εφθ(t) = χ 2 (t). Εμεύσ ζητϊμε το θ (t). Αρα εφθ(t) = χ 2 (t) 1 + εφ 2 θ(t) θ (t) = 6χ(t) χ (t) θ (t) = 1 ςυν 2 θ (t) = 6χ(t) χ (t) θ(t) 6χ(t) χ (t) 1 + εφ 2 θ(t) 5 και κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 θα ϋχω θ (t 0 ) = 6χ(t 0) χ (t 0 ) 1 + εφ 2 θ(t 0 ). Αλλϊ τότε εφθ(t 0) = χ 2 (t 0 ) = χ(t 0 ) = 1 αφού το χ μασ το δύνει θετικό. Επομϋνωσ θ (t 0 ) = 6 1 2 1 + 9 = 12 9 Παρϊδειγμα 7 Μια ςφαιρικό μπϊλα χιονιού ςυνεχώσ ελαττώνεται. Κϊποια ςτιγμό οι ρυθμού μεταβολόσ του όγκου V τησ ςφαύρασ και του εμβαδού τησ επιφϊνειϊσ τησ εύναι αριθμητικϊ ύςοι Να βρεύτε την ακτύνα R τησ ςφαύρασ, αν τα μόκη εκφρϊζονται ςε μϋτρα Ο όγκοσ τησ ςφαύρασ εύναι V = 4 π R και το εμβαδόν τησ επιφϊνειϊσ τησ εύναι Ε = 4πR 2 Αυτού οι τύποι ςυναρτόςει του χρόνου εύναι V(t) = 4 πr (t) και Ε(t) = 4πR 2 (t) και με αντύςτοιχουσ ρυθμούσ μεταβολόσ V (t) = 4 π R2 (t) R (t) = 4πR 2 (t) R (t) Ε (t) = 8πR (t) R(t) τη χρονικό ςτιγμό t 0 ϋχω V (t 0 ) = Ε (t 0 ) 4πR 2 (t 0 ) R (t 0 ) = 8πR (t 0 ) R(t 0 ) R(t 0 ) = 2m Σημεύωςη Για κϊθε χρονικό ςτιγμό R(t)>0 και R (t)<0 αφού η ςφαύρα λιώνει. Παρϊδειγμα 8 Η ϋνταςη του ηλιακού φωτόσ μϋςα ςε μια λύμνη ελαττώνεται με το βϊθοσ χ ςύμφωνα με τον τύπο Ι(χ) = Ι 0 e χ 2. α. Τι συμβολύζει η σταθερϊ Ι 0 β. Να υπολογιςθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ του Ι ωσ προσ χ γ. Σε ποιο βϊθοσ ο ρυθμόσ μεταβολόσ θα μηδενιςτεύ α. Αν θϋςω όπου χ = 0 θα ϋχω Ι(0) = Ι 0. Αρα το Ι 0 εύναι η ϋνταςη του φωτόσ ςτην επιφϊνεια τησ λύμνησ β.
Ι (χ) = Ι 0 e χ 2 = Ι 0 e χ 2 χ 2 γ. lim Ι (χ) = lim = 1 χ + χ + 2 Ι 1 0 = Ι 0 e χ 2 lim μηδενιςτεύ ςε πολύ μεγϊλο βϊθοσ. Παρϊδειγμα 9 ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ = 1 2 Ι 0e χ 2 = 1 2 Ι 0 χ + 1 1 e χ = 0, δηλαδό ο ρυθμόσ μεταβολόσ θα eχ Ένα περιπολικό Α κινεύται κατϊ μόκος της καμπύλης ψ = χ, χ 0 πληςιϊζοντασ την ακτό και ο προβολϋασ φωτύζει κατευθεύαν εμπρόσ. Αν ο ρυθμόσ μεταβολόσ τηε τετμημϋνησ του του περιπολικού εύναι α (t)=-α(t) να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ τετμημϋνησ του ςημεύου Μ τησ ακτόσ ςτο οπούο πϋφτουν τα φώρα του προβολϋα τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα το περιπολικό ϋχει τετμημϋνη - Α α, α Μ Ακτή Πρϋπει να βρούμε τη ςυνϊρτηςη του μεγϋθουσ του οπούου μα ζητούν το ρυθμό μεταβολόσ. Στην προκειμϋνη περύπτωςη τησ τετμημϋνησ το ςημεύου Μ. Το ςημεύο Μ εύναι το ςημεύο ςτο οπούο η εφαπτομϋνη τησ καμπύλησ τϋμνει τον χ χ. Άρα πρϋπει να βρούμε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο α, α. f (χ) = χ 2 και f (α) = α 2. Αρα η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ εύναι: ψ + α = α2 (χ α) και για ψ = 0 ϋχω: α 2 χ = 2α χ = 2α και ο ρυθμόσ μεταβολόσ εύναι : χ (t) = 2α (t) χ (t) = 2α(t) χ ( t 0 ) = 2 Παρϊδειγμα 10 = 2 μονϊδεσ μόκουσ μονϊδα χρόνου κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 θα ϋχω χ ( t 0 ) = 2α( t 0) η χ(t) = 2α(t) Ένα αερόςτατο που ανϋρχεται από το ϋδαφοσ με ταχύτητα m/sec εντοπύζεται από ϋνα ςημεύο Α το οπούο απϋχει 600 μϋτρα από το ςημεύο απογεύωςησ Β. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνύασ θ = ΒΑΜ και το ρυθμό της απόστασης S = AM κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 κατϊ την οπούα το αερόςτατο βρύςκεται 600 μϋτρα από το ϋδαφοσ. Α θ S 600m M x Β 6
εφθ = χ ΑΒ εφθ = χ χ(t) ό εφθ(t) = 600 600 εφθ(t) = χ(t) 600 1 χ (t) ςυν 2 θ (t) = θ(t) 600 θ (t) = χ (t) ςυν2 θ(t) και για τη χρονικό ςτιγμό t 600 0 ϋχω θ (t 0 ) = χ (t 0) ςυν 2 θ(t 0 ) = 1 2 600 600 = = 1 rad. Διότι όταν το αερόςτατο βρύςκεται από το ϋδαφοσ 600 μϋτρα το τρύγωνο ΑΒΜ εύναι 400 sec ορθογώνιο και ιςοςκελϋσ και επομϋνωσ η γωνύα θ=π/4 και επομϋνωσ ςυν 2 π 4 = 2 2 2 = 1 2 Για τον ρυθμό μεταβολόσ του S = AM ϋχω ΑΜ 2 = 600 2 + χ 2 ΑΜ = 600 2 + χ 2 2χ(t) χ (t) ΑΜ(t) = 600 2 + χ 2 (t) ΑΜ (t) = 2 600 2 + χ 2 (t) κατα την χρονικό ςτιγμό t 0 θα ϋχω ΑΜ (t 0 ) = 2χ(t 0) χ (t 0 ) 2 600 2 + χ 2 (t 0 ) = 600 2 600 2 = 600 600 2 = 2 2 m/sec Παρϊδειγμα 11 Γύο ασηοκίνηηα κινούνηαι καηά μήκος ηων οδών ΑΓ και ΒΓ με ηατύηηηα 100Κm/h και 50Κm/h ανηιζηοίτως. Να βρείηε ηο ρσθμό μεηαβολής ηης απόζηαζης ΑΒ ως προς ηο τρόνο t καηά ηη τρονική ζηιγμή t 0, καηά ηην οποία ηο πρώηο ότημα απέτει από ηη διαζηαύρωζη 400 μέηρα και ηο δεύηερο 00 μέηρα. υ 2 Γ υ 1 Α ΑΒ 2 = ΒΓ 2 + ΑΓ 2 ΑΒ = ΒΓ 2 + ΑΓ 2 η ΑΒ(t) = ΒΓ 2 (t) + ΑΓ 2 (t) και επομϋνωσ 2ΒΓ(t) ΒΓ (t) + 2ΑΓ(t) ΑΓ (t) ΑΒ (t) = = 2 ΒΓ 2 (t) + ΑΓ 2 (t) 00 50 400 100 = 55000 = 110Κm/h 400 2 + 00 2 500 ΑΓ (t)=-100κm/h και ΒΓ (t)=-50κm/h. Τα αρνητικϊ δεύχνουν ότι τα μεγϋθη μειώνονται. Β 7
Παρϊδειγμα 12 Δύο αερόςτατα ξεκινούν ταυτόχρονα να ανϋρχονται από τα ςημεύα Α και Β με ταχύτητεσ ανόδου 2m/sec και m/sec αντύςτοιχα. Να βρεθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ απόςταςόσ των ΜΚ 15 δευτερόλεπτα μετϊ την εκκύνηςό τουσ. 15 δευτερόλεπτα μετϊ την εκκύνηςό τουσ το αερόςτατο που ξεκινϊ από το ςημεύο Β βρύςκεται 15 =45m από το ϋδαφοσ, ενώ το αερόςτατο πο ξεκινϊ από το ςημεύο Α βρύςκεται 20m από το ϋδαφοσ. M A 20 m B K Λ ΜΚ 2 = ΜΛ 2 + ΚΛ 2 ΜΚ 2 = ΑΒ 2 + (ΒΚ ΑΜ) 2 ΜΚ = ΑΒ 2 + (ΒΚ ΑΜ) 2 ΜΚ(t) = ΑΒ 2 + (ΒΚ(t) ΑΜ(t)) 2 και ΜΚ (t) = ΜΚ (t) = (45 0)( 2) 20 2 + 15 2 = 15 25 = 5 m/sec 2 ΒΚ(t) ΑΜ(t) (ΒΚ (t) ΑΜ (t)) 2 ΑΒ 2 + (ΒΚ(t) ΑΜ(t)) 2 8
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δύνεται η ςυνϊρτηςη f(x)=lnx, x>0 και ςημεύο Μ(α,lnα),α>0 1. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτο ςημεύο Μ τησ C f 2. Για ποια τιμό του α η εφαπτομϋνη αυτό διϋρχεται από την αρχό των αξόνων. Αν το ςημεύο Μ απομακρύνεται από τον ϊξονα ψ ψ με ςταθερό ταχύτητα υ=2m/sec, να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ τεταγμϋνησ του Μ ωσ προσ το χρόνο t τη χρονικό ςτιγμό κατϊ την οπούα η εφαπτομϋνη ςτο Μ διϋρχεται από την αρχό των αξόνων ΑΣΚΗΣΗ 2 Ένα ςημεύο Μ(χ,ψ)κινεύται πϊνω ςτην υπερβολό χ 2 ψ 2 = 12 ϋτςι ώςτε η ςυντεταγμϋνη του ψ να αυξϊνεται με ρυθμό 6m/sec. Ποιοσ εύναι ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ ςυντεταγμϋνησ του χ κατϊ τη χρονικό ςτιγμό που εύναι χ=4m ΑΣΚΗΣΗ Σημεύο Α κινεύται πϊνω ςε κύκλο κϋντρου Ο με ακτύνα 2 cm και με ςταθερό ταχύτητα cm/sec. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ χορδόσ ΑΒ ωσ προσ το χρόνο t κατϊ τη χρονικό ςτιγμό t 0 που η γωνύα θ=αοβ εύναι ύςη με π ΑΣΚΗΣΗ 4 Σημεύο Μ κινεύται ςτην παραβολό ψ 2 = χ ϋτςι η προβολό Α ςτον ημιϊξονα ΟΧ απομακρύνεται με ςταθερό ταχύτητα υ=5m/sec. Έςτω Β η προβολό του Μ ςτον ψ ψ και Ε το εμβαδόν του ορθογωνύου (ΟΑΜΒ). Να βρεύτε το ρυθμό με τον οπούο μεταβϊλλεται το εμβαδόν Ε τη ςτιγμό που το χ=(οα)=9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Θεωρούμε την παραβολό με εξύςωςη ψ = 1 χ 2 και το ςημεύο Μ(χ 0, 1 χ 2 0 ) με 0 χ 0 1. Έςτω ότι Α και Β εύναι αντύςτοιχα τα ςημεύα ςτα οπούα η εφαπτομϋνη τησ παραβολόσ ςτο Μ τϋμνει τουσ ημιϊξονεσ ΟΧ,ΟΨ. Δύνεται ότι το Μ κινεύται ςτο τόξο ΓΔ με Γ(1,0), Δ(0,1) από το Γ προσ το Δ ϋτςι ώςτε το Α να απομακρύνεται από το Γ με ταχύτητα m/sec 1. Να βρεθεύ η ταχύτητα με την οπούα κινεύται ςτον ψ ψ το ςημεύο Β χ 0 = 1 2 2. Να βρεθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ με τον οπούο μεταβϊλλεται χρονικϊ το εμβαδόν Ε=Ε(t)=(OAΒ) όταν χ 0 = 1 2. Σε ποια θϋςη του ςημεύου Μ ςτην παραβολό μηδενύζεται ο ρυθμόσ μεταβολόσ του εμβαδού Ε ωσ προσ το χ 0 ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένα κινητό κινεύται ςτη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ f(χ) = (χ 2) Η τετμημϋνη εύναι θετικό κινεύται με ρυθμό 2 πϊνω ςτον θετικό ημιϊξονα χ χ. Να βρεθεύ ο ρυθμόσ μεταβολόσ τησ γωνύασ θ που ςχηματύζει η εφαπτομϋνη ευθεύα τησ γραφικόσ παρϊςταςησ τησ f ςτο Μ με τον ϊξονα χ χ, όταν αυτό εύναι παρϊλληλη με την ευθεύα 9
χ-ψ=0 ΑΣΚΗΣΗ 7 Ένα μπαλόνι βρύςκεται 00 μϋτρα από το ϋδαφοσ και ςτη ςυνϋχεια κατεβαύνει κατακόρυφα με ςταθερό ταχύτητα 20m/sec. Όταν το μπαλόνι βρύςκεται ςε ύψοσ 00 μϋτρων, ϋνα αυτοκύνητο περνϊ από κϊτω του και προχωρϊ κατϊ μόκοσ ενόσ ύςιου δρόμου με ςταθερό ταχύτητα 108Κm/h. Να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ μεταξύ τουσ απόςταςησ ωσ προσ το χρόνο t 5 δευτερόλεπτα αργότερα. ΑΣΚΗΣΗ 8 Ένα αεροπλϊνο κινεύται με ςταθερό ταχύτητα 60 Κm/h και ςε ύψοσ Κm από το ϋδαφοσ. Αν τη χρονικό ςτιγμό t 0 η οριζόντια απόςταςη του αεροπλϊνου από ϋναν παρατηρητό Π εύναι ΠΚ=2Κm, να βρεύτε το ρυθμό μεταβολόσ τησ γωνύασ θ=απκ τη χρονικό ςτιγμό t 0 Π S θ χ Α Κ 10