ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ )

Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014

Περιεχόµενα 1 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ........................................ 5 1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ 1.1.1 1.1. 1.1.3 ΘΕΩΡΙΑ......................................................... 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ................................ 13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 16 1. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1..1 1.. 1..3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 18 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ................................ 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 4 1.3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 1.3.1 1.3. 1.3.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 5 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 8 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 33 1.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.4.1 1.4. 1.4.3 ΘΕΩΡΙΑ........................................................ 35 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ............................................ 37 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ............................................... 45 Βιβλιογραφία.................................................. 49.1 Βιβλία 49. Ιστοσελίδες 49 5 18 5 35

ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 1.1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Ποιος είναι ο άξονας των πραγµατικών αριθµών ; Οι πραγµατικοί αριθµοί αποτελούνται από τους ϱητούς και τους άρρητους αριθµούς, οι οποίοι παριστάνονται από τα σηµεία ενός άξονα, ο οποίος ονοµάζεται άξονας των πραγµατικών αριθµών. Ερώτηση 1. Ποια µορφή µπορεί να πάρει ένας ϱητός αριθµός ; Κάθε ϱητός αριθµός µπορεί να γραφεί σε κλασµατική µορφή, δηλαδή στη µορφή : α, β όπου α, β ακέραιοι µε β 6= 0. Οπως επίσης κάθε ϱητός γράφεται ως δεκαδικός ή πεϱιοδικός αριθµός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός, µπορεί να πάρει την κλασµατική µορφή. Ερώτηση 1.3 Ποιοι αριθµοί λέγονται άρρητοι ; Οι αριθµοί που δεν γράφονται σε κλασµατική µορφή, δηλαδή, δεν είναι ούτε δεκαδικοί, ούτε περιοδικοί, λέγονται άρρητοι αριθµοί. Ερώτηση 1.4 Ποιες είναι οι ϐασικές ιδιότητες της πρόσθεσης ; i. ii. iii. iv. α + β = β + α αντιµεταθετική ιδιότητα α + (β + γ) = (α + β) + γ προσεταιριστική ιδιότητα α + 0 = 0 + α = α το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. α + ( α) = ( α) + α = 0 αντίθετοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν άθροισµα 0.

Ερώτηση 1.5 Ποιες είναι οι ϐασικές ιδιότητες του πολλαπλασιασµού ; i. α β = β α αντιµεταθετική ιδιότητα ii. α (β γ) = (α β) γ προσεταιριστική ιδιότητα iii. α 1 = 1 α = α το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασµού. iv. α 1 α = 1 α = 1, α 0 αντίστροφοι αριθµοί είναι αυτοί που έχουν γινόµενο 1. α Ερώτηση 1.6 Πως ορίζεται η αφαίρεση µε τη ϐοήθεια της πρόσθεσης ; α + ( β) = α β αφαίρεση Ερώτηση 1.7 Πως ορίζεται η διαίρεση µε τη ϐοήθεια του πολλαπλασιασµού ; α ( 1 β ) = α β διαίρεση Ερώτηση 1.8 Ποιες άλλες ιδιότητες γνωρίζετε για την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό ; i. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ δηλαδή δυο ισότητες µπορούµε να τις προσθέσουµε κατά µέλη. ii. (α = β και γ = δ) α γ = β δ δηλαδή δυο ισότητες µπορούµε να τις πολλαπλασιάσουµε κατά µέλη. iii. α = β α + γ = β + γ δηλαδή σε µια ισότητα µπορούµε να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό και στα δυο µέλη. iv. α = β α γ = β γ δηλαδή σε µια ισότητα µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε ή να διαιρέσουµε τον ίδιο µη µηδενικό αριθµό και τα δυο µέλη. α = 0 v. α β = 0 ή β = 0 α 0 vi. α β 0 και β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

Ερώτηση 1.9 Πως ορίζονται οι δυνάµεις ; Η δύναµη α ν, µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν, είναι το γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α Επίσης ορίζουµε : i. α 1 = α ii. α 0 = 1, µε α 0 iii. α ν = 1 α ν, µε α 0 α ν = α α α }{{} ν, παράγοντες Ερώτηση 1.10 Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων ; Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΥΝΑΜΕΩΝ 1. α µ α ν = α µ+ν 4. α ν β ν = (α β) ν α µ. α ν = α ν αµ ν 5. β ν = ( α) ν β 3. α µ ν = ( ( ) α µ) ν α ν ( ) β ν 6. = β α Πίνακας 1.1: Ιδιότητες των δυνάµεων Ερώτηση 1.11 Να δειχθεί ότι, α = β α ν = β ν ; Ισχύει και το αντίστροφο ; Αν πολλαπλασιάσουµε ν ϕορές κατά µέλη την ισότητα α = β, ϑα έχουµε α ν = β ν. Το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα, αφού για παράδειγµα : ( ) = = 4 αλλά. Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε ταυτότητα στην άλγεβρα ; Είναι ισότητες που περιέχουν µεταβλητές και επαληθεύονται για όλες τις τιµές των µετα- ϐλητών. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

Ερώτηση 1.13 Να γράψετε τις ϐασικές αλγεβρικές ταυτότητες και να τις αποδείξετε. Αποδείξεις : ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i.(α + β) = α + αβ + β ii.(α β) = α αβ + β iii.(α β)(α + β) = α β iv.α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ) v.α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) vi.(α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 vii.(α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Πίνακας 1.: Ταυτότητες i. ii. iii. iv. v. vi. vii. (α + β) = (α + β)(α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β (α β) = (α β)(α β) = α αβ βα + β = α αβ + β (α β)(α + β) = α + αβ βα + β = α β (α + β)(α αβ + β ) = α 3 α β + αβ + βα αβ + β 3 = α 3 + β 3 (α β)(α + αβ + β ) = α 3 + α β + αβ βα αβ β 3 = α 3 β 3 (α + β) 3 = (α + β) (α + β) = (α + αβ + β )(α + β) = α 3 + α β + α β + αβ + β α + β 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 (α β) 3 = (α β) (α β) = (α αβ + β )(α β) = α 3 α β α β + αβ + β α β 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

Ερώτηση 1.14 Να αναφέρετε ποιες άλλες ταυτότητες γνωρίζετε και να τις αποδείξετε. ΑΛΛΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ i.α + β = (α + β) αβ ii.α 3 + β 3 = (α + β) 3 3αβ(α + β) iii.( α β) = (α + β) και γενικά : ( α β) ν = (α + β) ν iv.(α β) = (β α) και γενικά : (α β) ν = (β α) ν v.(α + β + γ) = α + β + γ + αβ + αγ + βγ vi.(α β + γ) = α + β + γ αβ + αγ βγ vii.α ν β ν = (α β)(α ν 1 + α ν β +... + αβ ν + β ν 1 ) viii. Αν α + β + γ = 0 α 3 + β 3 + γ 3 = 3αβγ Πίνακας 1.3: Ταυτότητες Αποδείξεις : i. ii. iii. iv. v. vi. (α + β) αβ = α + αβ + β αβ = α + β (α + β) 3 3αβ(α + β) = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 3α β 3αβ ( α β) = [ (α + β)] = (α + β) (α β) = [ (β α)] = (β α) = α 3 + β 3 (α + β + γ) = (α + β + γ)(α + β + γ) = α + αβ + αγ + βα + β + βγ + γα + γβ + γ = α + β + γ + αβ + αγ + βγ (α β + γ) = (α β + γ)(α β + γ) vii. Χωρίς απόδειξη. viii. α + β + γ = 0 α = β γ = α αβ + αγ βα + β βγ + γα γβ + γ = α + β + γ αβ + αγ βγ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

α 3 + β 3 + γ 3 = ( β γ) 3 + β 3 + γ 3 = [ (β + γ)] 3 + β 3 + γ 3 = (β + γ) 3 + β 3 + γ 3 = (β 3 + 3β γ + 3βγ + γ 3 ) + β 3 + γ 3 = β 3 3β γ 3βγ γ 3 + β 3 + γ 3 = 3β γ 3βγ = 3βγ( β γ) = 3αβγ Ερώτηση 1.15 Ποιες µεθόδους απόδειξης γνωρίζετε ; I. Ευθεία απόδειξη. i. Με ισότητες ii. Με ισοδυναµίες iii. Με αντιπαράδειγµα. II. Απαγωγή σε άτοπο. Ερώτηση 1.16 Να γράψετε τις ιδιότητες των αναλογιών και να τις αποδείξετε. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ i. α β = γ δ αδ = βγ αν βδ 0 ii. α β = γ δ α γ = β αν βδγ 0 δ iii. α β = γ δ α + β = γ + δ αν βδ 0 β δ iv. α β = γ δ α β = γ δ = α + γ αν βδ(β + δ) 0 β + δ Πίνακας 1.4: Αναλογίες Αποδείξεις : i. ii. α β = γ δ α β = γ δ βγ α β = γ δ βγ αδ = βγ αδ = βδ αδ γδ = βγ γδ α γ = β δ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 10

iii. α β = γ δ iv. Θέτω : α β = γ δ α β + 1 = γ δ + 1 α + β β = γ + δ δ = λ, άρα α = λβ και γ = λδ, όποτε : α + γ = λβ + λδ = λ(β + δ) Άρα λ = α + γ β + δ Οπότε : α β = γ δ α β = γ δ = α + γ β + δ Ερώτηση 1.17 Τι είναι η παραγοντοποίηση και ποιους τρόπους χρησιµοποιούµε για να παραγοντοποίησουµε µια αλγεβρική παράσταση ; Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα, µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων. Η παραγοντοποίηση µπορεί να γίνει µε τους εξής τρόπους : i. Κοινός παράγοντας Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ) Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής : (αʹ) Βρίσκουµε τον Μ.Κ.. των συντελεστών κάθε όρου (ϐʹ) Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι κοινές σε κάθε όρο. Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων. ii. Κοινός παράγοντας κατά οµάδες (Οµαδοποίηση) Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε : (αʹ) Κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα (ϐʹ) Οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι οι ίδιες iii. ιαφορά τεραγώνων α β = (α β)(α + β) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) = α + αβ + β, (α β) = α αβ + β εµφανίζω διάφορα τετραγώνων. iv. Αθροισµα ή ιαφορά κύβων α 3 + β 3 = (α + β)(α αβ + β ), α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β ) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων. v. Ταυτότητες Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 11

Χρησιµοποιούµε από το ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες : (α + β) = α + αβ + β, (α β) = α αβ + β (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3, (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 vi. Τριώνυµο της µορφής αx βx + γ Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ. Αν : (αʹ) > 0, τότε αx βx + γ = α(x x 1 )(x x ) όπου x 1, = β + α (ϐʹ) = 0, τότε αx βx + γ = α(x x 1 ) µε x 1 = β α (γʹ) < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται. Ειδική περίπτωση : x (α + β)x + α β = (x α)(x β) x + (α + β)x + α β = (x + α)(x + β) Ερώτηση 1.18 Που χρησιµοποιούµε την παραγοντοποίηση ; i. Για να απλοποιήσουµε µια κλασµατική αλγεβρική παράσταση, κάνοντας χρήση της αγ ιδιότητας : βγ = α β ii. Να λύσουµε µια εξίσωση, κάνοντας χρήση της ιδιότητας : α β = 0 α = 0 ή β = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

1.1. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Θέµα 1.1 Να δειχθεί ότι : (α + β )(x + y ) = (αx + βy) + (αy βx) (1) Λύση 1.1 (1) α x + α y + β x + β y = α x + αxβy + β y + α y αyβx + β x 0 = 0 που ισχύει. Θέµα 1. Αν α β = 5 να υπολογίσετε το : α(α + ) + β(β ) αβ Λύση 1. α(α + ) + β(β ) αβ = α + α + β β αβ = α + β αβ + α β = (α β) + (α β) α β=5 = 5 + 5 = 35 Θέµα 1.3 Να εξετάσετε αν ισχύει : α > α για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Λύση 1.3 Για α = 1 έχω : 1 4 > 1 το οποίο, ΕΝ ισχύει. Άρα το α > α δεν ισχύει για κάθε πραγµατικό αριθµό α. Θέµα 1.4 Αν ο α είναι άρρητος και ο ρ είναι ϱητός, να δείξετε ότι ο α + ρ είναι άρρητος. Λύση 1.4 Αφού το ρ είναι ϱητός, γράφεται ρ = κ λ Εστω ότι και ο α + ρ είναι ϱητός. Τότε κι αυτός γράφεται α + ρ = µ ν Άρα : α + ρ = µ ν α + κ λ = µ ν α = µ ν κ λ µλ κν α = νλ Άρα α ϱητός, το οποίο είναι άτοπο. Άρα το α + ρ είναι άρρητος. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 13

Θέµα 1.5 Το άθροισµα δυο άρρητων είναι πάντα άρρητος ; Λύση 1.5 Θεωρούµε δυο άρρητους αριθµούς, τον 3 + 1 και το 3 + 7. προσθέσω έχω : 3 + 1 3 + 7 = 8 R Άρα το άθροισµα δυο άρρητων ΕΝ είναι πάντα άρρητος. Αν τους Θέµα 1.6 Αν ο α είναι άρτιος, να δείξετε ότι και ο α είναι άρτιος. Λύση 1.6 Εστω ότι ο α είναι περιττός, δηλαδή α = κ + 1, κ Z. Τότε : α = κ + 1 α = (κ + 1) α = 4κ + κ + 1 α = (κ + κ) + 1 το οποίο είναι άτοπο. Άρα ο α είναι άρτιος. α περιττός, Θέµα 1.7 Να δειχθεί ότι ο είναι άρρητος. Λύση 1.7 Εστω ότι ο είναι ϱητός, δηλαδή : = κ λ, κ, λ N και το κλάσµα κ λ είναι ανάγωγο. Τότε είναι : Άρα από : = κ λ = κ λ κ = λ κ άρτιος κ άρτιος κ = µ κ = λ (µ) = λ 4µ = λ λ = µ λ άρτιος λ άρτιος λ = ν οπότε το κλάσµα κ λ = µ ν = µ ν Άρα το είναι άρρητος. δεν είναι ανάγωγο, το οποίο είναι άτοπο. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 14

Θέµα 1.8 Να γίνουν οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις : i. x 5 + 4x 4 y + 6x ii. 3x + αx + 3y + αy iii. x 6x + 9 iv. x 4 v. x 3 8 vi. x 5x + 6 vii. x 6x + 9 Λύση 1.8 i. x 5 + 4x 4 y + 6x = x (x 3 + x y + 3) ii. 3x + αx + 3y + αy 1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α) ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y) iii. x 6x + 9 = x 3 x + 3 = (x 3) iv. x 4 = x = (x )(x + ) v. x 3 8 = x 3 3 = (x )(x + x + ) = (x )(x + x + 4) vi. x 5x + 6 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ = ( 5) 4 1 6 = 5 4 = 1 > 0. Άρα ϐρίσκουµε ότι : x 1 = β + α = ( 5) + 1 1 = 5 + 1 = 6 = 3 οπότε x 1 = β α = ( 5) 1 1 = 5 1 x 5x + 6 = (x 3)(x ). = 4 = vii. x 6x + 9 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 4αγ = ( 6) 4 1 9 = 36 36 = 0, άρα x 1 = β α = ( 6) 1 = 6 = 3. οπότε x 6x + 9 = (x 3). Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 15

1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ίνεται η παράσταση : [ (x A = y 3) ( xy 3 ) ] ( ) 4 x 3 3 : y 1 i. Να δειχθεί ότι : A = x 9 y 9 ii. να ϐρείτε την τιµή της παράστασης για x = 01 και y = 1 01. [ (xy. Να ϐρείτε την τιµή της παράστασης A = 1 ) ( : x 3 y 7) ] 1 για x = 0, 4 και y =, 5 3. i Να δειχθεί ότι (α + β) (α β) = 4αβ ii Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : ( 999 1000 + 1000 ) ( 999 999 1000 1000 ) 999. 4. Να γίνουν οι παρακάτω παραγοντοποιήσεις : i. 8αβ 4α ii. 5α β 10αβγ 0αβ δ iii. 5αβ 5βα iv. (α β)(x y) (α β)(x 3y) v. α(x y) β(y x) vi. α(3α 4) (4 3α) 3 vii. α 3α + αβ 3β viii. xy + x 1 y ix. αβ(x + y ) + xy(α + β ) x. 16x y 4 4κ 4 xi. 3α 3 β 7αβ 3 xii. 9 (α + 3β) xiii. 5x + 10x + 1 xiv. α 4αβ + 4β 4 xv. x 3x + xvi. x 3x + 5. Να ϐρεθεί η αριθµητική τιµή της παράστασης : A = [x(xy + ) x( y )] : xy όταν x = 4, 15 και y = 3, 875 6. Αν α + β = 1 αβ, να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης A = (α + β)3 α 3 β 3. 7. Αν αx(α + x) 0, να δείξετε ότι η παράσταση A = x ( x(α + x) 1 + α α α + x 1 ), είναι ανεξάρτητη των α, x. x 8. i. Να δειχθεί ότι : (α + β )(x + y ) (αx + βy) = (αy βx) ii. Να γράψετε το γινόµενο 5 6 ως άθροισµα τετραγώνων δυο ακεραίων. 9. Αν α 1 = 5, να υπολογίσετε τα γινόµενα : α i. α + 1 α ii. α 3 1 α 3 iii. α + 1 α Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 16

iv. α 3 + 1 α 3 10. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α 3 α + α i. α α (α α) + α ii. ( α 1 iii. α 1 ) α3 + α α (α + 1) 3 α + α + 1 iv. α 1 α + 1 α 3 1 v. (x + y) (x 1 + y 1 ) x + y vi. x y x 1 y 1 x ( y x 3 + y 3 ) ( ) x 11. Να δειχθεί ότι : x y : x y y = 1. 1. Να δείξετε ότι : i. Αν ο α είναι ϱητός και ο ϐ άρρητος, τότε ο α+β είναι άρρητος. ii. Αν ο α είναι ϱητός, µε α 0, και ϐ άρρητος, τότε ο αβ άρρητος. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 17

1. ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1..1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.19 Πως ορίζονται οι έννοιες µεγαλύτερος από ή µικρότερος από ; Ενας αριθµός α είναι µεγαλύτερος από έναν αριθµό β και γράφουµε α > β, όταν το α β > 0. Σ αυτή την περίπτωση λέµε επίσης ότι και α µικρότερο από το β και γράφουµε α < β. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι : Κάθε ϑετικός αριθµός θ είναι µεγαλύτερος από το µηδέν θ > 0 Κάθε αρνητικός αριθµός α είναι µικρότερος από το µηδέν α < 0 Κάθε ϑετικός αριθµός θ είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθµό α, θ > α Άρα ο αρχικός ορισµός γράφεται ισοδύναµα : α > β α β > 0 Γεωµετρικά αυτό σηµαίνει ότι όσο µεγαλύτερος είναι ένας αριθµός, τόσο ποιο δεξιά στον άξονα των πραγµατικών αριθµών ϐρίσκεται. Ερώτηση 1.0 Τι σηµαίνει ότι ο α είναι µεγαλύτερος ή ίσος από τον β ; Οτι α > β ή α = β Ερώτηση 1.1 Τι προκύπτει άµεσα από τον ορισµό της διάταξης και τον τρόπο µε τον οποίο εκτελούνται οι πράξεις ; i. Αν (α > 0 και β > 0) α + β > 0 ii. Αν (α < 0 και β < 0) α + β < 0 iii. α, β οµόσηµοι α β > 0 α β > 0 iv. α, β ετερόσηµοι α β < 0 α β < 0 v. α 0 για κάθε α R Το = ισχύει µόνο για α = 0 vi. α + β = 0 α = β = 0 vii. α + β 0 α 0 ή β 0 Ερώτηση 1. Να αναφέρετε τις ιδιότητες της διάταξης. i. Αν (α > β και β > γ) α > γ ii. α > β α + γ > β + γ iii. α > β γ>0 αγ > βγ iv. α > β γ>0 α γ > β γ v. α > β γ<0 αγ < βγ vi. α > β γ<0 α γ < β γ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 18

vii. Αν (α > β και γ > δ) α + γ > β + δ viii. Αν α, β, γ, δ > 0 µε (α > β και γ > δ) αγ > βδ ix. Αν α, β > 0 και ν ϑετικός ακέραιος τότε για : α > β α ν > β ν Ερώτηση 1.3 Είναι σωστό ή λάθος, ότι : αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ ; Είναι λάθος, γιατί, 15 > 5 και 5 > 1, άλλα δεν ισχύει 15 5 > 5 1. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΕΝ διαιρούµε ανισότητες κατά µέλη. Ερώτηση 1.4 Είναι σωστό ή λάθος, ότι : αν α > β και γ > δ τότε α γ > β δ; Είναι λάθος, γιατί : 10 > 9 και 8 > 1, άλλα δεν ισχύει 10 8 > 9 1. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! ΕΝ αφαιρούµε ανισότητες κατά µέλη. Ερώτηση 1.5 Είναι σωστό ή λάθος, ότι αν :α > β α > β; Είναι λάθος, γιατί : ( 3) >, άλλα δεν ισχύει 3 >. (Απόδειξη µε αντιπαράδειγµα) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 19

1.. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.1 Για να αποδείξω µια ανισότητα, τα πηγαίνω όλα στο 1ο µέλος, κάνω απαλοιφές (αν γνωρίζω το πρόσηµο αυτού που πλλαπλασιάζω), κάνω τις πράξεις, τις παραγοντοποιήσεις αν χρειάζεται και προσπαθώ να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς ισχύει. Θέµα 1.9 Αν α, β, οµόσηµοι, τότε ν.δ.ο. α > β 1 α < 1 β Λύση 1.9 Αφού α, β, οµόσηµοι, αβ > 0, τότε έχουµε : α > β α αβ > β αβ 1 β > 1 α 1 α < 1 β Θέµα 1.10 Ν.δ.ο. α + β αβ Λύση 1.10 α + β αβ α + β αβ 0 (α β) 0 που ισχύει. Θέµα 1.11 Αν α > 0, τότε ν.δ.ο.: α + 1 α Λύση 1.11 α + 1 α αα + α 1 α α α + 1 α α + 1 α 0 (α + 1) 0 που ισχύει. Θέµα 1.1 Αν α < 0, τότε ν.δ.ο.: α + 1 α Λύση 1.1 Οµοίως µε το προηγούµενο. Θέµα 1.13 Ν.δ.ο. α + αβ + β 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 0

Λύση 1.13 α + αβ + β 0 α + αβ + β 0 α + αβ + β + α + β 0 (α + β) + α + β 0 που ισχύει. Θέµα 1.14 Ν.δ.ο. α αβ + β 0 Λύση 1.14 Οµοίως µε το προηγούµενο. Θέµα 1.15 Ν.δ.ο. α + β 0 Λύση 1.15 Είναι : α 0 και α 0, άρα αν τις προσθέσουµε κατά µέλη έχουµε το Ϲητούµενο, α + β 0 Θέµα 1.16 Ν.δ.ο. α 0 α = 0 Λύση 1.16 i. Αν α = 0 τότε και α = 0 όποτε προφανώς, α 0 ii. Αν α 0 τότε α = 0 ή α < 0 το οποίο είναι αδύνατο. Άρα έχω µόνο το α = 0. Οπότε, α 0 α = 0 Θέµα 1.17 Αν x 0 και y > 0 τότε ν.δ.ο. x + y > 0 Λύση 1.17 x 0 x + y y > 0 Θέµα 1.18 Αν x 0 και y < 0 τότε ν.δ.ο. x + y < 0 Λύση 1.18 Οµοίως µε την προηγούµενη. Θέµα 1.19 Αν x y και α > β τότε ν.δ.ο. x + α > y + β Λύση 1.19 x y x y 0 α > β α β > 0 Άρα, (x y) + (α β) > 0 (x + α) (y + β) > 0 x + α > y + β Θέµα 1.0 Αν x y και α < β τότε ν.δ.ο. x + α < y + β Λύση 1.0 Οµοίως µε την προηγούµενη. Θέµα 1.1 Ν.δ.ο. α + β > 0 α 0 ή β 0 Λύση 1.1 Αντίστροφο : i. Αν α = 0 και β 0 τότε, α = 0 και β > 0 οπότε : α + β > 0 ii. Αν β = 0 και α 0 τότε, β = 0 και α > 0 οπότε : α + β > 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 1

iii. Αν α 0 και β 0 τότε, α > 0 και β > 0 οπότε : α + β > 0 Ευθύ : Αν α + β > 0 και α = β = 0 τότε α + β = 0 το οποίο είναι άτοπο. Άρα α 0 ή β 0 Θέµα 1. Εστω : 0 < α < β i. Να διατάξετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς 1, α β, β α ii. Να δείξετε ότι πάνω στον άξονα ο α β είναι ποιο κοντά στο 1, από τον β α. Λύση 1. i. Επειδή, 0 < α < β, το α β < 1 και το β α > 1 Άρα έχουµε α β < 1 < β α. ii. Αρκεί να δείξουµε ότι : 1 α β < β α 1 Το αβ > 0 άρα, µε απαλοιφή έχουµε : 1 α β < β α 1 αβ1 αβ α β < αβ β α αβ1 που ισχύει. αβ α < β αβ α + β αβ > 0 (α β) > 0 Θέµα 1.3 Αν < x < 4 και 1 < y <, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών ϐρίσκονται οι παρακάτω παραστάσεις : i. x + y ii. x 3y x iii. y 1 iv. x + 1 y Λύση 1.3 i. Είναι : < x < 4 και 1 < y < προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : 3 < x + y < 6 ii. Είναι : < x < 4 4 < x < 8 και 1 < y < 6 < 3y < 3 προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : < x 3y < 5 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! εν µπορώ να αφαιρέσω κατά µέλη. iii. Είναι : < x < 4 4 < x < 16 και 1 < y < 1 < 1 y < 1 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός

πολλαπλασιάζοντας κατά µέλη, έχουµε : < x y < 16 Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! εν µπορώ να διαιρέσω κατά µέλη. iv. Είναι : < x < 4 1 4 < 1 x < 1 και 1 < y < 1 < 1 y < 1 προσθέτοντας κατά µέλη, έχουµε : 1 4 + 1 < 1 x + 1 y < 1 + 1 Άρα : 3 4 < 1 x + 1 y < 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

1..3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να αποδείξετε ότι : i. α + 9 6α ii. (α + β ) (α + β) iii. α + α + > 0. Να αποδείξετε ότι α + β α + 1 0. Πότε ισχύει η ισότητα ; 3. Να αποδειχθούν οι ανισότητες : i. α + β + γ γ(α β) ii. (α + β + γ) 4β(α + γ α 4. Αν 0 α < β, να δειχθεί ότι : 1 + α < β 1 + β 5. Αν α > 1 > β, να δειχθεί ότι : α + β ( > 1 + αβ 1 6. Αν α, β > 0, να δειχθεί ότι (α + β) α + 1 ) 4 β 7. ίνεται ένα κλάσµα α µε ϑετικούς όρους και ένας ϑετικός αριθµός γ. Να αποδείξετε β ότι : i. Αν α α + γ < 1, τότε β β + γ > α β ii. Αν α > 1, τότε α + γ β β + γ < α β 8. Αν α < β < 0, να δειχθεί ότι : α < αβ α + β < β 9. Αν α > β > 0, να δειχθεί ότι : α 3 β 3 > (α β) 3. 10. Αν 1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθµούς x 3 και x + x 11. Αν α < β, να συγκρίνετε τους αριθµούς A = α 3 β 3 και B = αβ βα. 1. Αν ν ϕυσικός µε ν 3, να δείξετε ότι : A = 10ν + 8 3ν + 1 < 13. i. Αν x > 0, να δειχθεί ότι :x + 1 ( x ii. Αν x, y > 0, να δειχθεί ότι : 1 + x ) + y ( 1 + y x) 8 14. Αν 4 < x < 5 και < y < 6, να ϐρείτε τα όρια µεταξύ των οποίων είναι η τιµή της κάθε παράστασης παρακάτω : i. x + y ii. x + 3y iii. 3x y iv. xy v. xy + 4 vi. x y 15. Αν 3 < x < και 4 < y < 1, να ϐρείτε µεταξύ ποιων αριθµών είναι το γινόµενο xy. 16. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς x, y σε κάθε µια, από τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Αν (x ) + (y + 1) 0 ii. Αν x + y x + 4y + 5 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

1.3 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 1.3.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.6 Πως ορίζεται η απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού ; Θεωρούµε έναν αριθµό α που παριστάνεται µε το σηµείο A πάνω σε έναν άξονα. Σχήµα 1.1: Απόλυτη τιµή Η απόσταση του σηµείου A από την αρχή O, δηλαδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος OA, ονοµάζεται απόλυτη τιµή του αριθµού α και συµβολίζεται α. Η απόλυτη { τιµή ορίζεται από τον τύπο : α, αν α 0 α = α, αν α < 0 Ερώτηση 1.7 Ποιες είναι οι ιδιότητες των απόλυτων τιµών ; i. α = α 0 ii. α 0, α α, α α iii. α = α iv. α β = α β v. α α = β β vi. α β α + β α + β vii. α ν = α ν Ερώτηση 1.8 Ποιες ιδιότητες των απόλυτων τιµών σχετίζονται µε την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων ; i. Αν θ > 0 τότε : i. x = θ x = θ ή x = θ ii. x = α x = α ή x = α ii. Αν θ > 0 τότε : i. x < θ θ < x < θ ii. x > θ x < θ ή x > θ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 5

Ερώτηση 1.9 Να αποδείξετε ότι : i. α β = α β ii. α α = β β iii. α + β α + β i. ii. που ισχυει. α β = α β α β = ( α β ) α β = α β α β = α β (α β) = α β α ( α β = β ( ) α = α β β ( ) α = α β β ) που ισχύει. iii. επειδή, και τα δυο µέλη της ανίσωσης, α + β α + β, είναι ϑετικά, έχουµε : α + β α + β α + β ( α + β ) (α + β) α + α β + β α + αβ + β α + α β + β αβ αβ που ισχύει. Προφανώς η ισότητα ισχύει µόνο αν αβ > 0, δηλαδή όταν α,β οµόσηµοι. Ερώτηση 1.30 Να δειχθεί ότι το µέσο του διαστήµατος [α,β] είναι : α + β Θεωρούµε το διάστηµα [α, ϐ] και Α,Β το σηµεία που παριστάνουν στον άξονα, τα άκρα α,β. Αν Μ το σηµείο που παριστάνει στον άξονα το µέσο του [α,β] το x 0, τότε ισχύει : ΜΑ = ΜΒ εποµένως : (MA) = (MB) d(x 0, α) = d(x 0, β) ο αριθµός x 0 = α + β x 0 α = x 0 β x 0 α = β x 0, αφου α < x 0 < β x 0 = α + β x 0 = α + β που αντιστοιχεί στο µέσο του ΑΒ, ονοµάζεται και κέντρο του Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 6

διαστήµατος [α,β], ενώ ο αριθµός ρ = β α λέγεται ακτίνα του [α,β]. Ερώτηση 1.31 Να γράψετε τη ανίσωση x x 0 < ρ σε µορφή διαστήµατος και σε µορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο. Για κάθε x 0 R και ρ > 0 ισχύει : x x 0 < ρ x (x 0 ρ, x 0 + ρ) x 0 ρ < x < x 0 + ρ Ερώτηση 1.3 Να γράψετε τη ανίσωση x x 0 > ρ σε µορφή διαστήµατος και σε µορφή ανίσωσης χωρίς απόλυτο. Για κάθε x 0 R και ρ > 0 ισχύει : x x 0 > ρ x (, x 0 ρ) (x 0 + ρ, + ) x < x 0 ρ ή x > x 0 + ρ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 7

1.3. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 1.4 Να αποδείξετε τις ισότητες : i) α β 3 = β α + 3 α ii) α = α α Λύση 1.4 i) Οι αριθµοί α β 3 και β α + 3 είναι αντίθετοι άρα ϑα έχουν και ίσες απόλυτες τιµές, επειδή α = α. α ii) α = α α α = α που ισχύει. Θέµα 1.5 Να ϐρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών : i) α ii) α iii) α + 1 iv) α + { α, α 0 Λύση 1.5 i) Είναι α = α = α, α < 0 ii) Αν α 0 = α, τότε α = α Αν α < 0 = α <, τότε α = α + Τα παραπάνω ϑα µπορούσαµε να τα υπολογίσουµε ϕτιάχνοντας έναν πίνακα προσήµων για το α. Λύνουµε την εξίσωση α = 0 και ϐάζουµε τη λύση της πάνω σ έναν άξονα όπως ϐλέπουµε στο σχήµα πίνακας προσήµων (1). εξιά από τη λύση α = ϐάζουµε το πρόσηµο του συντελεστή του αγνώστου και αριστερά το αντίθετο. { α, α Άρα έχουµε : α = α +, α < iii) Λύνουµε την εξίσωση α + 1 = 0 = α = 1 και µε τη ϐοήθεια του πίνακα προσήµων (), έχουµε : α+1 = iv) παρατηρούµε ότι α + > 0 άρα έχουµε : α + = α + { α + 1, α < 1 α 1, α 1 Σχήµα 1.: Πίνακας προσήµων (1) Σχήµα 1.3: Πίνακας προσήµων () Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 8

Θέµα 1.6 Να απλοποιηθεί η παράσταση A = x 1 + 3 Λύση 1.6 Λύνουµε την εξίσωση x 1 = 0 = x = 1 και ϕτιάχνουµε τον πίνακα προσήµων (3) Άρα έχουµε τις περιπτώσεις : i) Για x < 1 είναι : A = x 1 + 3 = ( x + 1) + 3 = x + + 3 = x + 5 ii) Για { x 1 είναι : A = x 1 + 3 = (x 1) + 3 = x + 3 = x + 1 x + 5, x < 1 Άρα A = x + 1, x 1 Σχήµα 1.4: Πίνακας προσήµων (3) Θέµα 1.7 Να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση A = 3 1 x + x + 5 Λύση 1.7 Εχω δυο απόλυτα και ϑα ϕτιάξω πίνακα προσήµων για το κάθε ένα ξεχωριστά Είναι οι πίνακες (4) και (5). Ενοποιούµε τους δυο πίνακες (4) και (5), σε έναν, τον πίνακα (6) Παρατηρούµε ότι προκύπτουν τρία διαστήµατα x < 1, 1 x και x > όπου ϑα πρέπει να προσδιορίσουµε το Α στο καθένα περίπτωση 1η Για x < 1 είναι : περίπτωση η Για 1 x είναι : περίπτωση 3η Για x > είναι : A = 3(1 x) + ( x + ) + 5 = 3 + 3x x + 4 + 5 = x + 6 A = 3( 1 + x) + ( x + ) + 5 = 3 3x x + 4 + 5 = 5x + 1 A = 3( 1 + x) + (x ) + 5 = 3 3x + x 4 + 5 = x + 4 x + 6, x < 1 Άρα A = 5x + 1, 1 x x + 4, x > Σχήµα 1.5: Πίνακας προσήµων (4) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 9

Σχήµα 1.6: Πίνακας προσήµων (5) Σχήµα 1.7: Πίνακας προσήµων (6) Θέµα 1.8 Τι συµπεράσµατα ϐγάζετε για τους x, y, w R από τη σχέση i) x + y + w = 0; ii) x + y + w > 0; Λύση 1.8 Επειδή είναι για κάθε α R είναι α 0 για να ισχύει η i) ϑα πρέπει x = y = w = 0 ενώ για να ισχύει η ii) ϑα πρέπει κάποιο από τα x, y, w να είναι 0 Θέµα 1.9 Αν x + y 3 + 3x y + 1 = 0, να ϐρείτε τα x, y. Λύση 1.9 Σύµφωνα µε τα συµπεράσµατα της προηγούµενης άσκησης, ϑα πρέπει x + y 3 = 0 3x y + 1 = 0 λύνοντας το σύστηµα ϐρίσκουµε x = 1 y = Θέµα 1.30 Να απαντήσετε στα παρακάτω i) Πότε ισχύει α + β = α + β ; ii) Να αποδειχθεί η σχέση : α β α + β. Πότε ισχύει το =; Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 30

Λύση 1.30 i) α + β = ( α + β ) (α + β) = ( α + β ) α + β + αβ = α + β + α β α + β + αβ = α + β + α β αβ = α β αβ 0 ii) άρα οι α, β είναι οµόσηµοι α β α + β α β α + β ( α β ) (α + β) α + β α β α + β + αβ α β αβ α β αβ αβ αβ το οποίο ισχύει, άρα ισχύει και το αρχικό το = προφανώς ισχύει όταν αβ 0 δηλαδή όταν α, β είναι ετερόσηµοι. Θέµα 1.31 Αν α β 1 και β γ, να αποδείξετε ότι α γ 3 Λύση 1.31 Είναι : α γ = α β + β γ α β + β γ 1 + = 3 Θέµα 1.3 Αν x <, να αποδείξετε ότι 3x 5x + 1 3 Λύση 1.3 Είναι : 3x 5x + 1 = 3x + ( 5x) + 1 3x + 5x + 1 = 3 x + 5 x + 1 3 + 5 + 1 = 1 + 10 + 1 = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 31

Θέµα 1.33 Να δειχθεί ότι : i) Αν α + 4 α + 1 =, τότε α = x y + y x ii) Αν =, τότε x, y οµόσηµοι µε x, y 0. xy Λύση 1.33 i) α + 4 α + 1 = α + 4 α + 1 = ii) α + 4 = α + 1 α + 4 = 4 α + 1 (α + 4) = 4(α + 1) α + 8α + 16 = 4(α + α + 1)... α = 4 α = α = x y + y x xy = x y + y x = xy x y + y x = 4 xy (x y + y x ) = 4(xy) x y + xy xy + x y = 4x y xy xy = x y (x, y 0) xy = xy xy > 0 άρα x, y οµόσηµοι. Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 3

1.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να γράψετε τις παρακάτω παραστάσεις χωρίς απόλυτες τιµές (αʹ) π 3 (ϐʹ) π 4 (γʹ) 3 π + 4 π (δʹ) 3 3. Αν 3 < x < 4 να γράψετε χωρίς απόλυτη τιµή την παράσταση A = x 3 + x 4 3. Να γράψετε χωρίς απόλυτη τιµή την παράσταση A = x 3 4 x αν : (αʹ) x < 3 (ϐʹ) x > 4 4. Αν α < β < γ να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση : Π = α β + 3 γ α β γ 5. Αν 0 < β < α να απλοποιηθεί η παράσταση : Π = 3 α β β α + α + β 5 α + β 6. Αν α β, να ϐρείτε την τιµή της παράστασης α β β α 7. Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις (αʹ) x + (ϐʹ) 3x (γʹ) 4x 3 (δʹ) x + 1 (εʹ) 3x 8. Να γραφούν χωρίς απόλυτα οι παραστάσεις (αʹ) x + x + 1 (ϐʹ) x + 3 x + 1 3 x (γʹ) x 3 (δʹ) x 3 x 1 7 x 5 (εʹ) 7 x + 6 x x + 1 9. Αν x 0 και y 0 να ϐρείτε τις τιµές που µπορεί να πάρει η παράσταση : x x + y y 10. Να αποδείξετε ότι : x y x w + w y. 11. Αν α > β, να αποδείξετε ότι α + β + α β (αʹ) α = α + β α β (ϐʹ) β = 1. Τι σηµαίνει για τους αριθµούς x και y (αʹ) η ισότητα x + y = 0; (ϐʹ) η ανισότητα x + y > 0; 13. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β R, για τους οποίους ισχύει : (αʹ) α + 1 + β + 3 = 0 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 33

(ϐʹ) (α + β ) + 3α 5β + = 0 14. Να ϐρεθεί ο αριθµός α, όταν : (αʹ) α α + 1 + α 1 = 0 (ϐʹ) α 1 + α + 1 = 0 15. ίνονται οι αριθµοί 1, α β, β α, µε 0 < α < β (αʹ) Να τους διατάξετε (ϐʹ) Να δείξετε ότι στον πραγµατικό άξονα ο α β είναι ποιο κοντά στο 1 από ότι, ο β α 16. Αν είναι : x και y 5,, να αποδείξετε ότι : (αʹ) 3x + y 11 (ϐʹ) x 3y + 11 < 3 17. Αν α 1, να αποδείξετε ότι : 3α 3 + α 8 < 13 18. Αν α και β 1, να αποδείξετε ότι : α 4β 3 7 19. Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως δείχνει η πρώτη γραµµή του. Απόλυτη Τιµή Απόσταση Ανίσωση ιάστηµα x 4 d(x, 4) x 6 [, 6] x + 3 < 4 x 4 > x + 3 4 d(x, 5) < 1 d(x, 1) > d(x, 5) 1 d(x, 1) x < 5 ήx > 1 5 x 1 (, ) (, ] [, ) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 34

1.4 ΡΙΖΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 1.4.1 ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.33 Πως ορίζεται η τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ; Η τετραγωνική ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Άρα µπορούµε να πούµε ότι : Αν α 0, η α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x = α. Ερώτηση 1.34 Ποιες είναι οι ιδιότητες της τετραγωνικής ϱίζας; i. α = α, α R ii. α = α, α 0 iii. α β = αβ, α, β 0 iv. α β = α β, α 0, β > 0 Ερώτηση 1.35 Πως ορίζεται η ν-οστή ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού ; Η ν-οστή ϱίζα ενός µη αρνητικού αριθµού α συµβολίζεται µε ν α και είναι ο µη αρνητικός αριθµός, που αν υψωθεί στην ν, δίνει τον α, µε ν N. Άρα µπορούµε να πούµε ότι : Αν α 0, η ν α παριστάνει τη µη αρνητική λύση της εξίσωσης x ν = α. Ρ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Είναι 1 α = α και α = α Ερώτηση 1.36 Ποιες είναι οι ιδιότητες της ν-οστής ϱίζας; i. ν α ν = α αν α R και ν άρτιος ν ii. α ν = ν α ν = α, α 0 ν iii. α ν β = ν αβ, α, β 0 ν α α iv. ν = β ν β, α 0, β > 0 µ v. ν α = µν α, α 0 νρ vi. α µρ = ν α, α 0 vii. ν α κ = ( ν α) κ viii. ν α ν β = α ν β ix. Αν α, β 0 τότε για α < β ν α < ν β Ερώτηση 1.37 Πως ορίζεται η δύναµη µε ϱητό εκθέτη; Αν α > 0, µ Z, ν N, τότε ορίζουµε α µ ν = ν α µ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 35

Αν µ, ν N τότε ορίζουµε 0 µ ν = 0 Ερώτηση 1.38 Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες : ν i. α ν β = ν αβ, α, β 0 ν α α ii. ν = β ν β, α 0, β > 0 µ iii. ν α = µν α, α 0 νρ iv. α µρ = ν α, α 0 i. ii. iii. iv. που ισχύει. που ισχύει. ν α ν β = ν αβ ( ν α ν β) ν = ( ν αβ) ν ( ν α) ν ( ν β)ν = αβ αβ = αβ ν α ν β = ν α β ( ν α ν β ) ν = µ ν α = µν α ( ν α) ν ( ν β ) ν = α β α β = α β ( ν α β ) ν ( ) µν µ ν α = ( µν α ) µν [( ) µ ] ν µ ν α = α ( ν α ) ν = α που ισχύει. νρ α µρ = ν ρ α µρ = ν ρ (α µ ) ρ = ν α µ Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 36

1.4. ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 1. Παραστάσεις, που περιέχουν ϱιζικά ϑα ορίζονται, όταν οι υπόρρι- Ϲες ποσότητες είναι µεγαλύτερες ή ίσες του µηδενός (α 0). (Παράδειγµα 5) Αν η παράσταση του υπόρριζου είναι στο τετράγωνο, τότε ϑα εφαρµόζουµε την ιδιότητα : α = α, α R. (Παράδειγµα 1) Για να ϐρούµε το εξαγόµενο µιας πράξης µε ϱιζικά, αναλύουµε τον κάθε υπόρριζο αριθµό σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. (Παράδειγµα ) Για να µετατρέψουµε παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητό παρονοµαστή, διακρίνουµε τις µορφές και πολλαπλασιάζουµε : Αρχική µορφή Πολλαπλασιασµός αριθµητή και παρονοµαστή µε A α α A ν ν α κ α ν κ A α β α ± β A 3 3 α ± 3 α 3 α 3 β + 3 β β (Παραδείγµατα 8, 9) Ολες οι ιδιότητες των δυνάµεων ισχύουν και στους ϱητούς εκθέτες. Το γεγονός αυτό διευκολύνει τις πράξεις µε ϱιζικά, που µπορούν να γίνουν δυνάµεις µε ϱητό εκθέτη. Αν α > 0, µ Z, ν N, τότε : α µ ν = ν α µ Θέµα 1.34 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις i. A = ( ) ii. B = x 4 x + 1 iii. Γ = α 4 β α β 4 Λύση 1.34 i. ii. A = ( ) = = + Επειδή < 0, αφού <. B = x 4 x + 1 = (x 1) = x 1 Εδώ επειδή δεν γνωρίζουµε το πρόσηµο του x 1 αφήνουµε το αποτέλεσµα όπως είναι, µε το απόλυτο. iii. Γ = α 4 β α β 4 = (α β) (αβ ) = α β αβ = α β α β Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 37

5 5 = 3 5 3 + 3 5 5 Θέµα 1.35 Να ϐρείτε το εξαγόµενο : 3 8 5 18 + 7 5 50 Λύση 1.35 Αναλύουµε τα υπόρριζα σε γινόµενο πρώτων παραγόντων : 8 4 1 Άρα 8 = 3 18 9 3 3 3 1 Άρα 18 = 3 7 36 18 9 3 3 3 1 Άρα 7 = 3 3 50 5 5 5 5 1 Άρα 50 = 5 Εποµένως, αντικαθιστώντας έχουµε : 3 8 5 18 + 7 5 50 = 3 3 5 3 + 3 3 5 5 = 3 5 3 + 3 3 = 6 15 + 1 5 = Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 38

Θέµα 1.36 Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. 3 ii. 8 + 15 Λύση 1.36 Θα γράψουµε το κάθε υπόρριζο ως τέλειο τετράγωνο ενός αριθµού i. Θεωρώ το ως το διπλάσιο γινόµενο ενός αναπτύγµατος της ταυτότητας, διαφορά στο τετράγωνο (α β) = α αβ + β κι έχουµε : 3 = + 1 = = + 1 ( 1) = 1 = 1 γιατί > 1 ii. Θεωρώ το 15 ως το διπλάσιο γινόµενο ενός αναπτύγµατος της ταυτότητας, άθροισµα στο τετράγωνο (α + β) = α + αβ + β κι έχουµε : 8 + 15 = 5 + 3 + 5 3 γιατί 5 + 3 > 0 = = 5 + 3 + 5 3 ( 5 + 3) = 5 + 3 = 5 + 3 Θέµα 1.37 Να γράψετε µε µόνο µια ϱίζα τις παραστάσεις : i. A = 4 3 3 3 ii. B = 3 3 4 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 39

Λύση 1.37 i. A = 4 3 3 3 = 3 1 3 3 = 1 3 ii. 3 = 1 3 = 4 3 3 = 8 3 B = 3 3 4 3 = 3 3 4 = 6 3 3 4 6 = 6 3 4 = 1 6 3 = 1 8 3 Θέµα 1.38 Για ποιες τιµές των µεταβλητών έχουν νόηµα οι παραστάσεις i. 11 x 3 ii. x 1 iii. ν 5x 5 iv. α + 8 Λύση 1.38 Για να έχουν νόηµα οι παραστάσεις µε ϱίζες, ϑα πρέπει οι υπόρριζες ποσότητες να είναι 0. i. 11 x 0 x 11 ii. iii. iv. x [, 11] x 1 0 x 1 x 1, x 1 5x 0 5x x (, 1] [1, + ) x 5 x (, 5 ] α + 8 0 το οποίο ισχύει για κάθε α R Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 40

Θέµα 1.39 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : i. A = 3 3 3 3 + 3 ii. B = 7 4 3 7 + 4 3 Λύση 1.39 i. A = 3 3 3 3 + 3 = 3 (3 3)(3 + 3) = 3 3 3 = 3 9 3 = 3 6 = 3 3 = 3 = 3 ii. B = 7 4 3 7 + 4 3 = (7 4 3)(7 + 4 3) = 7 4 3 = 49 16 3 = 1 = 1 Θέµα 1.40 Να συγκρίνετε τους αριθµούς : 3 3 και Λύση 1.40 Επειδή οι ϱίζες είναι διαφορετικής τάξης, ϑα ϐρούµε το ε.κ.π.(,3)=6 και ϑα εφαρµόσουµε την ιδιότητα : ν α ρ = µ ν α µ ρ Είναι 3 3 = 3 3 = 6 9 και = 3. 3 = 6 8 Επειδή 6 9 > 6 8 είναι 3 3 > Θέµα 1.41 Να συγκριθούν οι αριθµοί α = 5 + 3 και β = 3 + 5 Λύση 1.41 Επειδή, όπως δίνονται οι αριθµοί δεν µπορούν να συγκριθούν, ϑα συγκρίνου- µε τα τετράγωνα τους. Γιατί αν α, β 0 και α β τότε α β Είναι : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 41

α = (5 + 3) = 5 + 3 + 5 3 = 8 + 10 3 β = (3 + 5) = 9 + 5 + 3 5 = 14 + 6 5 Τώρα πρέπει να συγκρίνω τα α, β α β = 8 + 10 3 (14 + 6 5) = 8 + 10 3 14 6 5 = 14 + (5 3 3 5) Επειδή (5 3) = 5 3 = 75 και (3 5) = 9 5 = 45 5 3 > 3 5 5 3 3 5 > 0 οπότε α β > 0 άρα α > β άρα α > β Θέµα 1.4 Να µετατρέψετε τις παρακάτω παραστάσεις σε ισοδύναµες µε ϱητούς παρονοµαστές i. 3 ii. iii. iv. v. 1 3 4 5 3 5 1 4 7 + 3 Λύση 1.4 i. Πολλαπλασιάζω µε το 3 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : = 3 3 3 3 = 3 3 = 3 3 ii. Πολλαπλασιάζω µε το και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 4

1 = 1 = = iii. Πολλαπλασιάζω µε 4 5 4 3 = 4 5 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : 3 4 5 3 = 3 4 5 4 5 4 5 3 = 3 4 5 4 5 4 = 3 4 5 5 iv. Πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή 5 + 1 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : 5 1 = ( 5 + 1) ( 5 1) ( 5 + 1) = ( 5 + 1) 5 1 = ( 5 + 1) 5 1 = ( 5 + 1) 4 v. Πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του παρονοµαστή 7 3 και τον αριθµητή και τον παρονοµαστή κι έχω : 4 7 + 3 = 4 ( 7 3) ( 7 + 3) ( 7 3) = 4 ( 7 3) 7 3 = 4 ( 7 3) 7 3 = 4 ( 7 3) 4 = 7 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 43

Θέµα 1.43 Να µετατρέψετε την παράσταση σε ισοδύναµη µε ϱητό παρονοµαστή. 3 3 3 Λύση 1.43 Θα πολλαπλασιάσουµε και ϑα διαιρέσουµε τον αριθµητή και τον παρονοµαστή µε παράγοντα που ϑα µας δώσει στον παρονοµαστή διαφορά κύβων, ώστε να απλοποιηθούν οι τρίτες ϱίζες µε τους κύβους. Θα προσπαθήσουµε λοιπόν να εµφανίσουµε την ταυτότητα α 3 β 3 = (α β)(α αβ + β ) Για τη συγκεκριµένη άσκηση α = 3 3 και β = 3 άρα, ϑα πολλαπλασιάσουµε και ϑα διαιρέσουµε µε 3 3 3 3 3 + 3 Εχουµε : 3 3 3 = ( 3 3 3 3 3 + 3 ) ( 3 3 3 )( 3 3 3 3 3 + 3 ) = ( 3 3 3 3 3 + 3 ) 3 3 3 3 3 = ( 3 3 3 3 3 + 3 ) 3 = ( 3 3 3 3 3 + 3 ) = ( 3 9 3 6 + 3 4) Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 44

1.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε τις ϱίζες : (αʹ) (π 4) (ϐʹ) ( 0) (γʹ) (x 1) x (δʹ) 4. Να ϐρεθεί η τιµή της παράστασης : A = α + 3αβ 5β για α = 3 + 3 και β = 3 5. 3. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : α i. A = α x (x + 1) ii. B = x x + 1 iii. Γ = x x x x iv. ( 3 1) + ( + 1) 1 1 4. Να δείξετε ότι : ( 3 ) + ( 3 + ) = 4 5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. A = α 4 β + α β 4 ii. B = ( ) + ( 5 1) iii. 1 + 13 + 7 + 4 6. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. A = 3 ii. B = 13 4 3 iii. Γ = 17 1 iv. = 4 + 3 v. E = 5 + 4 + 5 4 vi. Z = 13 + 48 7. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις : i. 13 8 5 3 + 18 7 18 ii. ( 16 3 5 + 0 9) (1 + 5) 1 5 3 iii. 7 48 + 3 9 108 iv. ( 8 18) ( 50 + 7 3) v. 8 4 + 150 3 6 + 54 vi. 7 45 3 15 + 4 5 500 + 5 1 3 + 6 7 8. Να αποδείξετε ότι : i. + = 3 3 ii. 3 + 5 3 3 5 = 9. Να αποδείξετε ότι : 5 1 i. 75 = 10 ii. 16 75 50 = 18 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 45

10. Αν α = + + 3, β = + 3 και γ = + 3 να δείξετε ότι : α β γ = 1 11. Για ποιες τιµές του x ορίζονται οι παραστάσεις i. x 1 ii. 1 3x iii. x + x x + 1 iv. 3 x v. x + 1 x vi. 5 + x vii. x 4 viii. x + 1 1 1. ίνεται η παράσταση A = ( x 5 x + 3) ( x 5 + x + 3) i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να αποδείξετε ότι Α=-8. 13. ίνεται η παράσταση A = x + x 1 + x x 1 i. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x ορίζεται η παράσταση Α. ii. Να απλοποιήσετε την Α. 14. Να συγκριθούν οι αριθµοί : i. 3 και 5 3 ii. + 3 και + 7 iii. 7 και 5 + iv. 1 και 3 v. 3 + και 6 + 1 15. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις 3 i. α 3 3 ii. α 3 α y iii. 9x 3x 3 iv. α 3 β 6 γ 1 3 v. 64x x 3 y vi. y x 4 3 vii. 3 4 3 3 viii. 3 3 4 ix. α 3ν+µ x. 3 3 4 6 xi. α α 3 α 16. Να αποδείξετε ότι : α µ 4ν 3 i. = 3 9 ii. 8 6 5 = 18 13 iii. 5 3 5 6 5 4 = 5 5 5 iv. 3 = 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 46

v. 4 33 3 3 = 3 1 3 17. Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 3 i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. 1 3 5 5 1 7 1 3 3 3 4 7 5 6 α 5 x 4 x 3 3 ix. 9 x 3 x. 7 5 7 xi. 5 3 18. Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 1 i. 3 4 ii. 5 3 iii. 3 1 iv. v. vi. vii. viii. 5 1 7 5 6 + 5 8 7 5 7 + 6 7 6 19. Να αποδείξετε ότι : 3 5 i. + = 4 5 3 5 + 3 ii. 1 ( 3) 1 ( + 3) = 8 3 0. Να αποδείξετε ότι : i 3 3 3 = 5 + 6 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 47

ii Αν α, β > 0 τότε : α α β β α β = (α + β) + αβ 1. i. Να ϐρείτε τα αναπτύγµατα των (3 + 7) και (3 7) ii. Να αποδείξετε ότι : 37 + 1 7 37 1 7 = 6. Να ϐρείτε τους αντίστροφους των αριθµών α = 3 και α = 5 + 1 3. Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή 7 i. + 3 5 8 ii. 1 + 5 4. Να µετατρέψετε τα κλάσµατα σε ισοδύναµα µε ϱητό παρονοµαστή i. 3 4 3 4 ii. 3 5 1 5. Να συγκρίνετε τους αριθµούς i. 5 και 3 10 3 5 3 ii. 6 και 4 4 iii. 4 6 και 1 + 5 6. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης : A = [ ] α 3 β (α β ) 1 (α 1 ) 3 3 για α = και β = 1 3 Αποστόλου Γεώργιος - Μαθηµατικός 48

Βιβλία Ιστοσελίδες. Βιβλιογραφία.1 Βιβλία 1.. 3. 4. 5. 6. 7. 8.. Μπαραλός Αλγεβρα Κυριακόπουλος Αλγεβρα Μαυρογιάννης Αλγεβρα Παπακωνσταντίνου Αλγεβρα Σχολικό ΟΕ Β Αλγεβρα Μπάρλας Αλγεβρα Λουκόπουλος Αλγεβρα Μιχαηλιδης Αλγεβρα Ιστοσελίδες