ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΕΣ «COPULAS» ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΕ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΕΣ «COPULAS» ΜΕ ΕΜΦΑΣΗ ΣΕ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ x.5.5.75 4.5.5 y.75 ΝΤΑΤΣΟΠΟΥΛΟΥ ΔΙΟΝΥΣΙΑ Α.Μ. : 9 Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Ιούνιος 5

Η παρούσα Διπλωματική εκπονήθηκε στα πλαίσια του Διατμηματικού Προγράμματος Μεταπτυχιακών Σπουδών «Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων» με μέλη της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής τους Σ. Κουρούκλη Καθηγητή Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών Χ. Παπαγεωργίου Καθηγητή Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Β. Πιπερίγκου (Επιβλέπουσα) Λέκτορα Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Πατρών τους οποίους ιδιαιτέρως ευχαριστώ.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι συζεύξεις εκφράζουν στην περίπτωση των διδιάστατων κατανομών, τη συναρτησιακή σχέση της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής μιας διδιάστατης κατανομής με τις αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής των μονοδιάστατων περιθώριων κατανομών, όπου οι τελευταίες μας είναι πάντοτε γνωστές. Το πρόβλημα της κατασκευής διδιάστατων κατανομών με δεδομένες περιθώριες ήταν ένα δημοφιλές θέμα στο πρώτο τρίτο του εικοστού αιώνα, όταν οι στατιστικοί αναζητούσαν κατανομές με προσιτό αναλυτικό τύπο, ώστε να περιγράψουν πλήρως μη κανονικά συσχετιζόμενα δεδομένα. Το ενδιαφέρον αυτό παραμερίστηκε, αλλά επέστρεψε κατά τις δεκαετίες του 95 και 96 όταν η ανάπτυξη των υπολογιστών κατέστησε εφικτή την επίλυση προβλημάτων, που στο παρελθόν παρουσίαζαν υπολογιστικές δυσκολίες. Διάφοροι συγγραφείς έχουν συζητήσει το πρόβλημα της κατασκευής σημαντικών και χρήσιμων διδιάστατων εκδοχών από μια δεδομένη μονοδιάστατη κατανομή. Η κύρια δυσκολία είναι η αδυναμία παραγωγής ενός συνόλου κριτηρίων τα οποία θα μπορούν πάντοτε να εφαρμόζονται, έτσι ώστε να παράγεται μια μοναδική κατανομή, η οποία θα μπορεί να καλείται αναμφίβολα ως η διδιάστατη επέκταση. Αναλυτικές αναφορές για αυτό το θέμα βρίσκει κανείς στον Ppgeorgiou (997). Στην περίπτωση της δημιουργίας συνεχών διδιάστατων κατανομών με συγκεκριμένες περιθώριες, από μια δομή εξάρτησης η οποία παρουσιάζεται με τη μορφή ενός συναρτησιακού, το συναρτησιακό αυτό καλείται σύζευξη, οι διαφορετικές δε μορφές του οδηγούν σε μια ποικιλία μοντέλων οικογενειών κατανομών. Σκοπός της δημιουργίας αυτών των οικογενειών, ήταν να βρεθεί ένας απλός τρόπος για να εισαχθεί η συσχέτιση ανάμεσα στις τυχαίες περιθώριες κατανομές. Αναδεικνύεται δε, στη μελέτη και στην εισαγωγή τέτοιων οικογενειών, σε επίμαχο θέμα η εύρεση κλάσεων διδιάστατων κατανομών με το επιθυμητό εύρος του συντελεστή συσχέτισης.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ποικίλες τέτοιες δομές κατασκευής διδιάστατων κατανομών με συγκεκριμένες περιθώριες έχουν ερευνηθεί από τους Plckett (965), Mrdi (97), Genest(987), Mrshll και Olkin (988) και άλλους. Μια από τις πιο εύκολες σε εφαρμογή δομή, εμφανίζεται στην κλάση των διδιάστατων κατανομών που εισήχθη αρχικά από τον Morgenstern (956), χρησιμοποιώντας Cuchy περιθώριες. Το 96 ο Gumbel ερεύνησε την οικογένεια κατανομών με εκθετικές περιθώριες, ενώ ο Frlie σε συνδυασμό με τις έρευνες του για το συντελεστή συσχέτισης, πρότεινε μια γενίκευση της διδιάστατης δομής που είχε μελετηθεί από τους Morgenstern και Gumbel. Οι Jonhson και Kotz (975) (977) μελέτησαν την πολυδιάστατη περίπτωση και εισήγαγαν τον όρο οικογένεια κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern, ενώ περαιτέρω μελέτες διεξήχθησαν από τους Schucny (978), Kotz και Jonhson (977) και Hung και Kotz (984) μεταξύ άλλων. Στην απλούστερη της μορφή, η διδιάστατη οικογένεια Frlie-Gumbel- Morgenstern έχει μόνο μία παράμετρο σε συνδυασμό με τις διαφορετικές περιθώριες. Αυτή όμως η μορφή έχει κάποια μειονεκτήματα, όπως το γεγονός ότι η δομή εξάρτησης δεν είναι εύκαμπτη και το εύρος του συντελεστή συσχέτισης ρ είναι περιορισμένο. Στην παρούσα Διπλωματική Εργασία παρουσιάζονται αναλυτικά διάφορες οικογένειες διδιάστατων κατανομών με τις συζεύξεις από τις οποίες προκύπτουν, οι οποίες μελετώνται ως προς τα κυριότερα μέτρα συσχέτισης, όπως οι συντελεστές του Person, του Spermn και του Kendll. Εξετάζεται κατά περίπτωση εάν επιτυγχάνουν το επιθυμητό εύρος συσχέτισης και παρουσιάζονται συγκριτικά με την οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern. Η εργασία ολοκληρώνεται με μια εφαρμογή στην οποία περιγράφεται η διαδικασία για την επιλογή του τύπου σύζευξης η οποία προσομοιάζει ένα σύνολο δεδομένων από συναλλαγές μετοχικών προϊόντων.

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΈΝΝΟΙΕΣ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αρχικά με τη μορφή ορισμών οι έννοιες που θα συναντήσουμε σε αυτή την εργασία και αφορούν τη συνεχή περίπτωση τόσο των διδιάστατων όσο και των μονοδιάστατων κατανομών, ενώ δίδεται ιδιαίτερη έμφαση στα μέτρα συσχέτισης τα οποία συμβάλουν στη μελέτη των διαφόρων οικογενειών διδιάστατων κατανομών, που θα αναλυθούν στα επόμενα κεφάλαια. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με μια εφαρμογή όλων των προηγούμενων ορισμών σε μια δημοφιλή και απλή ως προς τη δομή της, οικογένεια διδιάστατων κατανομών, την οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern (FGM).. Ορισμοί Έστω (Ω,P, ) όπου, Ω είναι ο δειγματικός Χώρος, P μια συνάρτηση πιθανότητας και μια σ-άλγεβρα στον Ω. Τότε μια συνάρτηση X : Ω R ονομάζεται τυχαία μεταβλητή (τ.μ.), εάν Β={ω Ω : Χ(ω) x}, x R Τότε ορίζεται η συνάρτηση F( x) P( X x) = η οποία ονομάζεται αθροιστική συνάρτηση κατανομής, της τυχαίας μεταβλητής X. Η συνάρτηση κατανομής F (x) έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:. F ( x).. ( x ) F( x) 3. Η F (x) είναι δεξιά συνεχής. 4. lim F( x) = F( ) =. F για κάθε ζεύγος, x x 5. lim F( x) = F( + ) =. x + x <. x τέτοιο ώστε x Συνάρτηση πυκνότητας Έστω X μια τυχαία μεταβλητή, με συνάρτηση κατανομής F (x) καλείται συνεχής, εάν υπάρχει μια συνάρτηση f (x) τέτοια ώστε : x, τότε η τ.μ. X F ( x) = P( X x) = f ( t) dt, < x < (.) Η συνάρτηση f (x) ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας της τ.μ. Χ.

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 Σε αυτή την περίπτωση η F (x) είναι συνεχής και ισχύει f x) = F' ( x) = limδx P( x < X Δx x + Δx) ( (.) για κάθε σημείο συνέχειας της f (x) ( δηλαδή σχεδόν παντού). Η συνάρτηση πυκνότητας f (x) έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:. f ( x). f ( x) dx =. Διδιάστατη αθροιστική συνάρτηση κατανομής Έστω X, Y εξαρτημένες τ.μ., τότε ως απο κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής της διδιάστατης τ.μ. ( X, Y ) ορίζεται η συνάρτηση : F( x, P( X x, Y = (.3) όπου < x < και < y < Κάθε διδιάστατη αθροιστική συνάρτηση κατανομής έχει τις ακόλουθες ιδιότητες :. F(, = lim F( x, = y (, ) x F( x, ) = lim F( x, =. Αν x y F(, ) = lim F( x, = x y x < και y < y, τότε P( x < X x, y < Y = F( x, y ) F( x, y ) F( x, y 3. Η ( x, x ) + F( x, y (, ) F(, ) = lim F( x, = ) F είναι δεξιά συνεχής ως προς x και ως προς y : lim F( x, y) = lim F( x, = F( x, y). x x y y x y Η ιδιότητα () μας λέει ότι η πιθανότητα να βρίσκεται η τυχαία μεταβλητή ( X, Y ) σε ένα ορθογώνιο είναι μη αρνητική.

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 5 Περιθώριες συναρτήσεις κατανομής Οι περιθώριες συναρτήσεις κατανομής της διδιάστατης αθροιστικής κατανομής F ( x, θα είναι οι ακόλουθες: συνάρτησης F ( x) = lim F( x, = F( x, ) X για < < y x και F Y ( = lim F( x, = F(, x για < y <. Διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας Η διδιάστατη τυχαία μεταβλητή ( X, Y ) είναι συνεχής ή η διδιάστατη αθροιστική συνάρτηση κατανομής F ( x, είναι συνεχής, αν υπάρχει συνάρτηση f ( x, τέτοια ώστε : x y F ( x, = f ( t, s) dtds x, y R (.4) Η συνάρτηση f ( x, λέγεται από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των τυχαίων μεταβλητών X, Y και δίνεται από τον ακόλουθο τύπο: f ( x, = F( x, x y (σχεδόν παντού) (.5) f ( x y για όλα τα σημεία συνέχειας της, ) Επειδή η διδιάστατη αθροιστική συνάρτηση κατανομής F ( x, είναι αύξουσα ως προς κάθε μεταβλητή και επειδή F (, ) =, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:. ( x, f x (, ) και y (, ). f ( x, dxdy =

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 6 Περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας Λαμβάνοντας υπόψη την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας, f ( x, των τυχαίων μεταβλητών X, Y, οι περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας θα δίνονται από τους ακόλουθους τύπους: f X f Y ( x) = f ( x, dy για < x < και ( = f ( x, dx για < y <. Δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας Αν η διδιάστατη τυχαία μεταβλητή ( X, Y ) είναι συνεχής με από κοινού συνάρτηση πυκνότητας, f ( x, ), τότε η X, Y y όπου f X, Y ( x, f Y ( x fy ( < x < και ( > X = (.6) f Y λέγεται δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας της τυχαίας μεταβλητής X όταν Αν f Y ( =, τότε η f X Y ( x δεν ορίζεται. Παρόμοια ορίζεται και η ( y ) fy X x. Y = y. Δεσμευμένη αθροιστική συνάρτηση κατανομής Η συνάρτηση F X Y x ( x = f X Y ( s ds = x f ( s, ds f Y ( = F ( x, F (, / y y (.7) λέγεται δεσμευμένη αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής όταν Y = y. X

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 7 Μέση τιμή Εάν η τυχαία μεταβλητή X είναι συνεχής και έστω μια συνάρτηση η μέση τιμή της τυχαίας μεταβλητής g (X ) δίνεται από τη σχέση: g R R :, τότε E g( X )) = g( x) f ( x) dx ( (.8) Στην διδιάστατη περίπτωση ισχύουν τα ακόλουθα. Εάν ( X, Y ) μια διδιάστατη συνεχής τ.μ. με συνάρτηση πυκνότητας f X, Y ( x, και έστω συνάρτηση g : R R R, τότε η μέση τιμή της τ.μ. g ( x, ορίζεται από τη σχέση + + E( g( X, Y )) = g( x, f X, Y ( x, dxdy (.9) Διασπορά ή Διακύμανση Η διασπορά της τυχαίας μεταβλητής X ορίζεται από τη σχέση σ = Vr( X ) = E( X E( X )) (.) Ο υπολογισμός της διασποράς συχνά γίνεται από τον τύπο σ = E( X ) ( E( X )). Όπως φαίνεται από τον ορισμό, η διασπορά εκφράζει τη μέση τετραγωνική απόκλιση της X από τη μέση τιμή της E (X ) και είναι λοιπόν ένα μέτρο συγκεντρωτικότητας των δυνατών τιμών της X γύρω από την E (X ). Ιδιότητες ) E c) = c b) E X + b) = E( X ) + b c) ( ) = (, όπου c σταθερά ( (γραμμική ιδιότητα), όπου b Vr c, όπου c σταθερά d) Vr ( X b) = Vr( X ) +, όπου b, σταθερές, σταθερές

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 8 Συνδιακύμανση ή Συνδιασπορά Συνδιακύμανση των τυχαίων μεταβλητών X, Y λέγεται η μέση τιμή της τ.μ. ( X E( X ))( Y E( Y )) και συμβολίζεται ως εξής: cov( X, Y ) = σ ( X, Y ) = E( X E( X ))( Y E( Y )) (.) όπου E (X ) η μέση τιμή της τ.μ. X και E (Y ) η μέση τιμή της τ.μ. Y. Ιδιότητες ) cov( X, Y ) = EXY ( EX )( EY ) b) cov( α X + β, γy + δ ) = αγ cov( X, Y ) Η cov( X, Y ) είναι ένας δείκτης της γραμμικής συσχέτισης των τυχαίων μεταβλητών X, Y. Αν οι τ.μ. X E(X ) και Y E(Y ) είναι ομόσημες με μεγάλη πιθανότητα cov( X, Y ) >. Με και ετερόσημες με μικρή πιθανότητα, τότε περιμένουμε την άλλα λόγια αν η κοινή κατανομή των X, Y είναι συγκεντρωμένη στο πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο, τότε cov( X, Y ) >, στην αντίθετη περίπτωση θα έχουμε cov( X, Y ) <.

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 9.. Μέτρα Συσχέτισης Εάν X, Y τ.μ. με συναρτήσεις κατανομής F (x) και G ( αντίστοιχα και από κοινού συνάρτηση κατανομής H ( x, τότε ορίζονται τα ακόλουθα μέτρα συσχέτισης. Συντελεστής συσχέτισης του Person Ο Συντελεστής συσχέτισης του Person των τ.μ. ορίζεται ως εξής: X, Y συμβολίζεται με ( X, Y ) ρ και όπου cov(, Y ) cov( X, Y ) ρ( X, Y ) = (..) σ σ X η συνδιασπορά των X, Y x y και Ιδιότητες σ x, σ y : τυπικές αποκλίσεις των X, Y αντίστοιχα. ρ( αx + β, γy + δ) = ρ( X, Y)(αγ αγ ) ρ ( X, Y ) και ρ ( X, Y ) = ± εάν και μόνον αν οι τ.μ. X, Y είναι ) [ ] [ ] b) γραμμικά εξαρτημένες c) Αν οι τυχαίες μεταβλητές Y X, είναι ανεξάρτητες, τότε ρ ( X, Y ) = Συντελεστής συσχέτισης του Kendll Εάν ( X, Y ) και ( X, Y ) είναι ανεξάρτητες παρατηρήσεις από διδιάστατη συνεχή κατανομή, με από κοινού συνάρτηση κατανομής H ( x,. Ο συντελεστής συσχέτισης του Kendll ορίζεται ως η πιθανότητα της συμφωνίας μείον η πιθανότητα της ασυμφωνίας για τα διανύσματα X, ) και X, ). ( Y ( Y τ = P[( X X )( Y Y ) > ] P[( X X )( Y Y ) < ] (..) Παρατηρούμε ότι τ

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Συντελεστής συσχέτισης του Spermn Ο συντελεστής συσχέτισης του Spermn ορίζεται όπως ο συντελεστής συσχέτισης του Person, μόνο που σε αυτή την περίπτωση δεν εφαρμόζεται στις τ.μ. X και Y αλλά στις μεταβλητές U = F (X ) και V = G(Y ). Οπότε ο συντελεστής συσχέτισης Spermn s rho θα έχει την ακόλουθη μορφή : r E[( U E( U ))( V E( V ))] Vr( U ) Vr( V ) = (..3) Ο συντελεστής συσχέτισης του Spermn, όπως και ο συντελεστής συσχέτισης του Person είναι φραγμένος μεταξύ του - και του. Συντελεστής συσχέτισης Διαμέσου Ένα λιγότερο γνωστό μέτρο συσχέτισης, είναι ο συντελεστής συσχέτισης διαμέσου μεταξύ των μεταβλητών X και Y, ο οποίος ορίζεται ως εξής : P[( X x )( Y y ) > ] P[( X x )( Y y ) < ] m = M M M M (..4) y είναι οι πληθυσμιακοί διάμεσοι των X και Y αντίστοιχα. όπου x M και M Παρατηρείται μια ομοιότητα ανάμεσα σε αυτό το μέτρο και το συντελεστή συσχέτισης του Kendll, αφού και στις δύο περιπτώσεις έχουμε διαφορά μεταξύ των πιθανοτήτων συμφωνίας και ασυμφωνίας. Παράλληλα εντοπίζεται ότι ο συντελεστής συσχέτισης διαμέσου μετρά την εξάρτηση στο κέντρο της κατανομής.

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Καθένα από τα παραπάνω μέτρα συσχέτισης μπορεί να εκφραστεί με τη βοήθεια της από κοινού συνάρτησης κατανομής και των περιθωρίων συναρτήσεων κατανομών, [βλέπε Schweizer και Wolff (98)]. Έτσι ο συντελεστής συσχέτισης του Person έχει τη μορφή. ρ ( X, Y ) = [ H ( x, F( x) G( ] dxdy σ σ x y ο συντελεστής συσχέτισης του Kendll θα έχει τη μορφή. τ = 4E[ H ( x, ] = 4 H ( x, dh ( x, Ενώ ο συντελεστής συσχέτισης του Spermn έχει τη μορφή 3. r [ H ( x, F( x) G( ] = df( x) dg( 4. και ο συντελεστής συσχέτισης διαμέσου έχει τη μορφή m = M 4 H ( x M, y )

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ.3. Παράδειγμα- Οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern Στη συνέχεια βασιζόμενοι στο Hung nd Kotz (999) θα μελετήσουμε μια δημοφιλή και απλή ως προς τη δομή της, οικογένεια διδιάστατων κατανομών, την οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern (FGM). Έστω οι μονοδιάστατες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές X, Y με αντίστοιχες συναρτήσεις κατανομής F (x) και G ( όπου x y R,. Μια διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή ( X, Y ) θα λέμε ότι ανήκει στην οικογένεια FGM, εάν η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της δίνεται από τον ακόλουθο τύπο : H ( x, = P( X x, Y = F( x) G( { + [ F( x)][ G( ]} x, y R, (.3.) Το ονομάζεται παράμετρος συνάφειας και πρέπει για να είναι συνάρτηση κατανομής η H ( x,. Η συσχέτιση των μεταβλητών που ακoλουθούν κατανομή Frlie-Gumbel- Morgenstern εξαρτάται από την παράμετρο. Συγκεκριμένα οι μεταβλητές X, Y είναι ανεξάρτητες όταν =, θετικά συσχετισμένες όταν > και αρνητικά συσχετισμένες όταν <. Οι περιθώριες συναρτήσεις της H για κάθε αποδεκτό α είναι οι συνεχείς από δεξιά συναρτήσεις F (x) και G (. Για την απόδειξη, από την (.3.), παίρνοντας το όριο για y + παίρνω τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής X, H x (x): H x ( x) = lim H ( x, = F( x) lim G( { + [ F( x)][ lim G( ]} y Όμως lim G( = y Οπότε H x ( x) = F( x) y y

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 3 Ομοίως από την (.3.), παίρνοντας το όριο για x + παίρνω τη συνάρτηση κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Y, H y ( : H y ( = lim H ( x, = lim F( x) G( { + [ lim F( x)][ G( ]} x Όμως lim F( x) = x Οπότε H y ( = G( x x Eνώ εάν υπάρχουν οι συνεχείς συναρτήσεις πυκνότητας (x) αντίστοιχη από κοινού συνάρτηση πυκνότητας είναι: f και ( g τότε η h ( x, f ( x) g( { + [ F( x)][ G( ]} = f ( x) g( { + [F ( x) ][G( ]} = (.3.) Προκύπτει ότι η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας της τ.μ. X δοθέντος ότι Y = y είναι : h ( x / f ( x){ + [ F( x)][ G( ]} = (.3.3) Η καμπύλη παλινδρόμησης της τ.μ. X δοθέντος ότι Y = y είναι : E( X / Y = = E( X ) + [ G( ] x[ F( x)] f ( x) dx (.3.4) η οποία είναι γραμμική στο G (. Η σχέση (.3.4) όμως μπορεί να γραφεί και ως εξής : E( X / Y = E( X ) + [ G( ][ E( X ) E( X (): )] = (.3.5) Όπου ( ): mx{ X, X } X = με, X κατανομή με συνάρτηση κατανομής F (x) [ F( x) ] X ανεξάρτητες τ.μ. από την ίδια F X ( x) =, f X ( x) = F( x) f ( x) (): ():

Κεφ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 4 Παρατήρηση: Εάν θεωρήσουμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές X, Y ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή [,], δηλαδή F ( x) = x, G ( = y και f ( x) =, g ( = τότε H h ( x, = xy[ + ( x)( ] y ( x, = [ + ( x)( ] y x, (.3.6) x, (.3.7) Ο συντελεστής συσχέτισης του Person ρ( X, Y ) = cov( X, Y ) σ σ x y παίρνει κάθε φορά τιμή που εξαρτάται τόσο από την κατανομή που ακολουθούν οι τυχαίες μεταβλητές X, Y όσο και από την τιμή της παραμέτρου συνάφειας. Στην περίπτωση της ομοιόμορφης κατανομής [,] με περιθώριες ( F ( x) = x και G ( = y ), και υπενθυμίζοντας τον τύπο του Hoeffding όπου cov( X, Y ) = [ F( x, F( x) F( ] dxdy έχουμε ότι ρ cov( X, Y ) [ xy( x)( ] dxdy ( X, Y ) = = = σ Xσ Y 3 όπου - α Οπότε ρ (X,Y)= α /3, με εύρος του συντελεστή συσχέτισης, [-.333,.333].

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται μια εκτενής αναφορά στην έννοια της Σύζευξης, η οποία συνδέει τις μονοδιάστατες περιθώριες κατανομές με την αντίστοιχη διδιάστατη συνάρτηση κατανομής. Παρουσιάζεται τον θεώρημα του Sklr, το οποίο αποτελεί θεμέλιο για πολλές εφαρμογές της θεωρίας των Συζεύξεων. Το γεγονός ότι η οικογένεια κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern περιγράφει μόνο ασθενή εξάρτηση των τυχαίων μεταβλητών X, Y, οδήγησε τους ερευνητές να εισάγουν τροποποιημένες μορφές της οικογένειας κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern, ορισμένες από τις οποίες παρουσιάζονται σε αυτό το κεφάλαιο σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες συζεύξεις τους. Συγκεκριμένα, αναλύεται η Γενικευμένη Frlie-Gumbel- Morgenstern καθώς και οι οικογένειες Frnk και Ali-Mikhil-Hq, η δομή δημιουργίας των οποίων είναι εντελώς διαφορετική από αυτή της Frlie-Gumbel- Morgenstern... Εισαγωγή στις Συζεύξεις Η Σύζευξη συνδέει τις μονοδιάστατες περιθώριες κατανομές με την αντίστοιχη διδιάστατη συνάρτηση κατανομής και ο ολοκληρωμένος ορισμός της είναι ο ακόλουθος... Ορισμός Σύζευξης Ορισμός. Σύζευξη είναι μια απεικόνιση ( u, i) ( t,) = C(, t) = C και C t,) = C(, t) = t C, :[,] [,] [,] C έτσι ώστε ( (..) για κάθε t [,] ii) C ( u, C( u, C( u, v ) + C( u, v ) (..) για όλα τα u, u, v, v για τα οποία ισχύει u u, v v Προκύπτει ότι κάθε σύζευξη είναι: ) αύξουσα για κάθε μεταβλητή ) συνεχής 3) ικανοποιεί την ανισότητα mx[ u + v,] C( u, min[ u, v] (..3) για όλα τα u, v [,]

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 6 Σημειώνουμε ότι τα mx[ + v,] ονομάζονται όρια Fréchet. u και min[ u, v] Συγκεκριμένα Fréchet άνω όριο : min[ u, v] Fréchet κάτω όριο : mx[ u + v,] είναι επίσης συζεύξεις και Ακολουθεί ένα σημαντικό θεώρημα για την θεωρία των Συζεύξεων, το οποίο αποτελεί θεμέλιο για πολλές εφαρμογές αυτής της θεωρίας. Πρόκειται, για το θεώρημα του Sklr μέσω του οποίου, διευκρινίζεται ο ρόλος των Συζεύξεων στη σχέση των πολυδιάστατων συναρτήσεων κατανομών με τις μονοδιάστατες τους περιθώριες συναρτήσεις κατανομών. Στην περίπτωση της διδιάστατης συνάρτησης κατανομής το θεώρημα είναι ως εξής.... Θεώρημα του Sklr(959) Έστω H ( x, είναι διδιάστατη συνάρτηση κατανομής με περιθώριες συναρτήσεις F(x) και G (. Τότε υπάρχει μια σύζευξη C ( u, τέτοια ώστε H ( x, = C ( F( x), G( ) για x y R,. (..4) Αντίστροφα, για κάθε συνάρτηση κατανομής F (x) και G ( και κάθε σύζευξη C ( u,, η συνάρτηση H ( x, που ορίστηκε παραπάνω είναι μια διδιάστατη συνάρτηση κατανομής με περιθώριες F (x) και G (. Παρατηρήσεις Εάν οι F (x) και G ( είναι συνεχείς, τότε η C ( u, είναι μοναδική. Για συνεχείς περιθώριες συναρτήσεις F (x) και G ( η μοναδική σύζευξη C ( u,, για ( u, [,] [,] έχει τη μορφή : ( ) ( ) C( u, = H ( F ( u), G ( ), όπου ( ) F και ( ) G οι αντίστροφες των συναρτήσεων F (x) και ( G αντίστοιχα.

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 7 Η σύζευξη C ( u, είναι μια συνάρτηση που συνδέει την από κοινού συνάρτηση κατανομής με τις περιθώριες της. Όταν F (x) και G ( είναι συνεχείς τότε οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν H ( x, = F ( x) G( για x, y R. Ισοδύναμα, οι τυχαίες μεταβλητές X και Y είναι ανεξάρτητες αν και μόνο αν όπου ( u, [,] [,] C ( u, = uv..3. Μέτρα Συσχέτισης Στη συνέχεια θα αναφερθούμε στη μορφή που παίρνουν τα διάφορα μέτρα συσχέτισης όσον αφορά των περίπτωση των συζεύξεων. Έτσι αντικαθιστώντας όπου F(x) U =, V = G( και H ( x, = C ( F( x), G( ) = C( u, στους τύπους της παραγράφου. προκύπτουν τα ακόλουθα : Ο συντελεστής συσχέτισης του Person έχει τη μορφή. ρ = σ X σ Y [ C( u, uv] df ( u) dg Ο συντελεστής συσχέτισης του Kendll έχει τη μορφή (. τ = 4 C( u, dc( u, Ο συντελεστής συσχέτισης του Spermn έχει τη μορφή 3. r = [ C( u, uv] dudv και ο συντελεστής συσχέτισης διαμέσου έχει τη μορφή m = 4C(, 4. )

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 8. Συζεύξεις που σχετίζονται με τη Frlie-Gumbel-Morgenstern Όπως προκύπτει και από την παράγραφο.3, η οικογένεια κατανομών Frlie- Gumbel-Morgenstern περιορίζεται στο να περιγράφει μόνο ασθενή εξάρτηση των τυχαίων μεταβλητών X, Y, εφόσον το εύρος του συντελεστή συσχέτισης είναι [-/3, /3 ]. Αυτό ανάγκασε τους ερευνητές να εισάγουν τροποποιημένες μορφές της οικογένειας κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern, ορισμένες από τις οποίες παρουσιάζονται στη συνέχεια σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες συζεύξεις τους.... Frlie-Gumbel-Morgenstern Η σύζευξη που ακολουθεί προκύπτει από την μελέτη της αρχικής οικογένειας κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern, η οποία αναλύθηκε στην παράγραφο.3. C( u, = uv[ + ( u)( ], (..) όπου έχουμε βασιστεί στην συνάρτηση κατανομής (.3.) και έχουμε θεωρήσει ότι οι τυχαίες μας μεταβλητές ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή. Ο συντελεστής συσχέτισης του Person για αυτή την οικογένεια έχει την ακόλουθη μορφή: / ρ = = [ C( u, uv] dudv = uv( u)( dudv / Οπότε ρ (X,Y)= α /3, με εύρος του συντελεστή συσχέτισης, [-.333,.333]. Στην περίπτωση της κανονικής κατανομής, έχουμε ότι ρ (X,Y)= α /π, με εύρος του συντελεστή συσχέτισης, [-.38,.38]. Στην περίπτωση της εκθετικής κατανομής, έχουμε ότι ρ (X,Y)= α /4 Όπως φαίνεται από Schucny (978), έχει αποδειχθεί ότι για συνεχείς διδιάστατες FGM κατανομές ισχύει ότι ρ ( X, Y ) ακολουθούν οι τυχαίες μεταβλητές X, Y. 3, ανεξαρτήτως των κατανομών που Μειονέκτημα: Η οικογένεια κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern περιορίζεται, στο να εκφράζει μόνο ασθενή συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών X, Y.

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 9 Ο συντελεστής συσχέτισης του Kendll για αυτή την οικογένεια έχει την ακόλουθη μορφή: τ = C( u, dc( u, = 4E[ C( U, V 4 )] α τ = και εφόσον το εύρος του είναι το εξής: 9 τ 9 9 Ενώ ο συντελεστής συσχέτισης του Spermn έχει την μορφή r δηλαδή = [ C( u, uv] dudv = uvdc( u, 3 όπου = E [ UV ] 3 α r = και επειδή ισχύει ότι 3 r 3 3 τ = r 3 r Σχήμα. Φραγμένη περιοχή των τ και r

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ... Γενικευμένη οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern κατανομών Μια παραλλαγή της οικογένειας Frlie-Gumbel-Morgenstern είναι η γενικευμένη κατανομή FGM, η οποία αναλύεται από τους Hung nd Kotz (999). Αυτή η μορφή της Frlie-Gumbel-Morgenstern έχει αθροιστική συνάρτηση κατανομής την ακόλουθη H p p ( x, = xy[ + ( x )( y )], (..) όπου p >, < x, y < και συνάρτηση πυκνότητας p h ( x, = + [ ( + p) x ][ ( + p) y ], (..3) p >, < x, y < Στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε το εύρος κύμανσης του συντελεστή συνάφειας α. Για ευκολία, χωρίζουμε το μοναδιαίο τετράγωνο σε τέσσερα τεταρτημόρια: Q Q 4 x ; y, Q x ; y, Q 3 ; y x ; y. p x, Για να προσδιορίσουμε το εύρος κύμανσης του συντελεστή α χρησιμοποιούμε για συνάρτηση πυκνότητας h ( x,, δηλαδή ή p + [ ( + p) x ][ ( + p) y ] p [ ( + p) x ][ ( + p) y ] p p Το κάτω όριο του α προκύπτει από τα τεταρτημόρια Q και Q 3 ενώ το πάνω όριο από τα τεταρτημόρια Q και Q 4. / p Q : + p < x, y <

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ Q : < x < Q 3 : < x, y < Q 4 : < y < + p / p + p + p / p < y < / p < x < Σημειώνουμε ότι το α βρίσκεται ανάμεσα σε έναν θετικό και αρνητικό αριθμό. Αυτό φαίνεται στην περίπτωση της απλής FGM που αντιστοιχεί σε p =, ( x, / p / p για όλες τις τιμές του α για x = ( + p) και y ( + p) h = = τα οποία αντιστοιχούν στα όρια των τεταρτημορίων Q, Q, Q 3 και Q 4. Με την τιμή της h ( x, να βρίσκεται σταθερά στο, είναι αδύνατο να μεταβάλλουμε, δραστικά την h ( x, από την ανεξάρτητη περίπτωση h ( x, =, όσο και αν μεταβάλλουμε την τιμή του α. Αυτό εξηγεί γιατί είναι αδύνατο να πετύχουμε μια υψηλή τιμή για τον συντελεστή συσχέτισης ρ ( X, Y ). Στο πρώτο τεταρτημόριο, ισχύει ότι α (( + p) x p )(( + p) y + p p ) / p < x, y < και απαιτούμε όπου το ελάχιστο p επιτυγχάνεται για x= y =. Στο τρίτο τεταρτημόριο, ισχύει ότι < x, y < α ( ( + p p ) x )( ( + p) y p ) + p / p και απαιτούμε όπου το ελάχιστο (- ) επιτυγχάνεται για x = y=. Έτσι από το πρώτο και τρίτο τεταρτημόριο προκύπτει το κάτω όριο του α. α (mx{, p }).

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ Στο δεύτερο τεταρτημόριο, ισχύει ότι < x < όπου το μέγιστο α = p ( ( + p) x p + p )(( + p) y / p p ) < y < και απαιτούμε α επιτυγχάνεται για x = και y =. Εξαιτίας της συμμετρίας στην κατανομή των x και y δεν χρειάζεται να ελέγξουμε το τέταρτο τεταρτημόριο. Άρα α p -. Οπότε το αποδεκτό εύρος του α είναι : (mx{, p}) α p (..4) Για την εύρεση του συντελεστή συσχέτισης εργαζόμαστε ως εξής : p xy{ + [ ( + p) x ][ ( + E( XY ) = p) y ]} dxdy = 4 + p ( p + ) p E ( X ) = E( Y ) =, σ Xσ Y = Οπότε p ρ ( X, Y ) = 3 (..5) p + Το εύρος του συντελεστή συσχέτισης είναι 3p 3( p + ) min{, p } ρ (..6) ( p + ) και απεικονίζεται στη συνέχεια.

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 3 ρ mx.4. 3 4 5 p -. -.4 ρ min Σχήμα. Εύρος Συντελεστή Συσχέτισης στην περίπτωση της Γενικευμένης κατανομής FGM Όπως παρατηρείται και από το σχήμα η μέγιστη θετική συσχέτιση είναι ρ = 3/ 8 και πραγματοποιείται για p =. Η τιμή αυτή είναι μεγαλύτερη από ρ = / 3 για p = όπως παρατηρείται στην περίπτωση της θετικής συσχέτισης της αρχικής οικογένειας κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern. Όταν p = η Γενικευμένη κατανομή Frlie-Gumbel-Morgenstern παρουσιάζει τη μέγιστη αρνητική της συσχέτιση στο ρ = 3 /6 =. 88, το οποίο απέχει κατά πολύ από την τιμή ρ = / 3 =.333 της αρχικής FGM(επιτυγχάνεται για p = ). Ολοκληρώνοντας, αναφέρουμε ότι για τιμές < p < 4 παρατηρείται μέγιστη θετική συσχέτιση μεγαλύτερη από ρ = / 3 =. 333 (συγκεκριμένα για p = έχουμε ότι ρ = 3 / 8 =.375 ), ενώ όσο το p αυξάνεται το εύρος του συντελεστή συσχέτισης μειώνεται. Σημειώνεται, ότι η μέγιστη αρνητική συσχέτιση επιτυγχάνεται όταν p =, δηλαδή στην περίπτωση τη απλής FGM..3. Συζεύξεις άλλων οικογενειών κατανομών Στην παράγραφο αυτή, θα μελετήσουμε τις οικογένειες διδιάστατων κατανομών Frnk και Ali-Mikhil-Hq των οποίων, η δομή δημιουργίας είναι εντελώς διαφορετική από αυτή της Frlie-Gumbel-Morgenstern και δεν περιλαμβάνουν ούτε περιλαμβάνονται στην αρχική οικογένεια κατανομών F.G.M.

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 4.3. Frnk Με βάση τον Genest (987) θα μελετήσουμε την Frnk οικογένεια διδιάστατων κατανομών η οποία εισήχθηκε από τον Frnk(979). Περιλαμβάνει τα όρια Fréchet καθώς και την κατανομή που αντιστοιχεί σε ανεξάρτητες μεταβλητές και μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε κατανομές σαν περιθώριες. Η αντίστοιχη σύζευξη αυτής της οικογένειας είναι η ακόλουθη: u v ( α )( α ) C ( u, = logα +, α, > < u, v < όπου (.3.) Η διδιάστατη συνάρτηση κατανομής που συνδέεται με τη σύζευξη (.3.) είναι F ( x) G( ( α )( α ) H ( x, = logα +,, > α όπου F (x), ( G είναι οι μονοδιάστατες συναρτήσεις κατανομής. (.3.) Αν όμως θεωρηθεί ότι οι τυχαίες μεταβλητές X, Y ακολουθούν ομοιόμορφη κατανομή [,]. Τότε ο τύπος (.3.) γίνεται x y ( α )( α ) H ( x, = logα +,, > α (.3.3) Η συνάρτηση αυτή είναι απόλυτα συνεχής στο μοναδιαίο τετράγωνο [,] [,], καθώς επίσης και συνεχής ως προς την παράμετρο α όπου περιλαμβάνει σαν οριακές καταστάσεις τα όρια Fréchet (Fréchet, 95) και την ανεξάρτητη κατανομή. Δηλαδή : lim H ( x, = min[ x, y] + α άνω όριο Fréchet lim H α ( x, = mx[ x + y,] κάτω όριο Fréchet ενώ όταν lim H ( x, = α xy πρόκειται για την ανεξάρτητη περίπτωση.

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 5 Στην περίπτωση της Frnk οικογένειας κατανομών και σύμφωνα με τον Nelsen (986), τα μέτρα συσχέτισης έχουν την ακόλουθη μορφή. Συντελεστής συσχέτισης του Spermn Όπως φαίνεται στο Schweizer και Wolff (98) r = [ C( u, uv] dudv Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο τύπο στην περίπτωση της Frnk οικογένειας κατανομών και ύστερα από πράξεις προκύπτει ότι r( ) = + [ D ( ln ) D ( ln )] ( ln ) όπου D ( x ), D ( x) είναι συναρτήσεις Debye για τις οποίες ισχύει x k k t Dk ( x) = dt k για ακέραιο k. t x e Επίσης Dk ( x) = Dk ( x) + kx /( k + ) (.3.4α) Σχήμα.3 Συντελεστές συσχέτισης της Frnk σύζευξης Συντελεστής συσχέτισης του Kendll Όπως φαίνεται στο Schweizer και Wolff (98) τ = 4 C( u, dc( u, Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο τύπο στην περίπτωση της Frnk οικογένειας κατανομών και ύστερα από πράξεις προκύπτει ότι 4 ( ) = + [ D ( ln ) ] ( ln ) τ (.3.4β)

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 6 όπου D ( x) είναι συνάρτηση Debye. Συντελεστής συσχέτισης διαμέσου m = 4C(, ) Εφαρμόζοντας τον προηγούμενο τύπο στην περίπτωση της Frnk οικογένειας κατανομών και ύστερα από πράξεις προκύπτει ότι 4 m ( ) + [ln ( + )] ( ln ) = (.3.4γ) Παρατήρηση. Διαπιστώνεται από το Σχήμα 3, εκτιμώντας με αριθμητικές μεθόδους τις D ( x) και D ( x), ότι στις τρεις παραπάνω περιπτώσεις τα μέτρα συσχέτισης,. παίρνουν θετικές τιμές για ( ) Στην περίπτωση της οικογένειας κατανομών Frnk, η διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας δίδεται από τον τύπο : ( ) log( ) ( x, = x {( ) + ( )( x+ y h, (.3.5) όπου ( < x, y < ) y )} x.5.5.75 hhx,yl 4.5.5 y.75 Σχήμα.4 Συνάρτηση Πυκνότητας της Frnk κατανομής H ( x, όταν lnα = Η καμπύλη παλινδρόμησης της τ.μ Y, δοθέντος ότι X = x είναι η ακόλουθη E ( Y X = x) = H ( y X = x dy )

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 7 x x ( ) x + ( ) =, ( < x < ) (.3.6) x x ( )( ) Διαπιστώνεται ότι η καμπύλη παλινδρόμησης είναι αύξουσα ως προς x για ( < < ), ενώ είναι φθίνουσα ως προς x καθώς ( > ).3. Ali-Mikhil-Hq Η οικογένεια συζεύξεων Ali-Mikhil-Hq αποτελεί μια μορφή των Archimeden συζεύξεων, με τις οποίες θα ασχοληθούμε αναλυτικά σε επόμενο κεφάλαιο. Με βάση τους Ali, Mikhi και Hq (978) η σύζευξη της διδιάστατης οικογένειας κατανομών Ali-Mikhil-Hq έχει την ακόλουθη μορφή : C( u, = uv /[ ( u)( ], (.3.7) όπου u και v. Επίσης επαληθεύονται οι ιδιότητες των συζεύξεων (σχέση (..)) όπως φαίνεται από τα ακόλουθα : C ( u,) = u, C (, = v C ( u,) = C(, = (,) = Επίσης για να ικανοποιείται η σχέση C ( u, όπου u και v απαιτείται C( u, ενώ για να ικανοποιείται η σχέση u v C. C ( u, + C( u, = C( u, u v ( u όπου ( ) (.3.8) και u, v απαιτείται Οπότε αποδεικνύεται ότι Όταν η παράμετρος συνάφειας = διαπιστώνεται εύκολα ότι οι τ.μ. U, V είναι ανεξάρτητες. Η από κοινού συνάρτηση κατανομής της διδιάστατης τ.μ. ( X, Y ) που συνδέεται με τη σύζευξη (.3.7) είναι

Κεφ. ΣΥΖΕΥΞΕΙΣ 8 H με συνάρτηση πυκνότητας H ( x, h ( x, = ( x, F ( x) G( /[ ( F( x))( G( ] όπου x, y R = (.3.9) F( x) G( F( x) G( x y + H = ( H ( x, ) (.3.) ( F( x) G( ) ( x, Στην περίπτωση της ομοιόμορφης κατανομής [, ] όπου για xy, [,], η συνάρτηση πυκνότητας γίνεται : F ( x) = x και G ( = y h ( x, = ( H ( x, ) + H ( x ( x, Μέτρα Συσχέτισης Όπως φαίνεται στον Nelsen (999), ο συντελεστής συσχέτισης του Kendll, θα έχει την ακόλουθη μορφή : όπου. τ = 3 ( ) 3 3 (5 8ln ) 3 ln( ) Διαπιστώνεται επίσης ότι, τ [, ] [.87,.3333]. Ενώ ο συντελεστής συσχέτισης του Spermn θα έχει την μορφή : ( + ) 4( ) 3( + ) r = di log( ) ln( ) όπου log(x) x ln t di log( x) = dt t r [33 48ln, 4π 39] [.7,.4784 di είναι η διλογαριθμική συνάρτηση που ορίζεται ακολούθως, Διαπιστώνεται επίσης ότι ] Σημειώνουμε ότι στην περίπτωση της οικογένειας F.G.M. τ [, ] [.,.] και r [, ] [.3333,.3333] 9 9 3 3 3

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ FARLIE-GUMBEL- MORGENSTERN Ενώ στο προηγούμενο κεφάλαιο περιγράφονταν δομές συσχέτισης συναρτήσεων κατανομών, σε αυτό το κεφάλαιο αντικείμενο μελέτης αποτελούν διδιάστατες συναρτήσεις πυκνότητας οι οποίες περιλαμβάνουν σαν ειδική περίπτωση την οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern. 3. Οικογένεια Srmnov Στην παράγραφο αυτή μελετούνται οι ιδιότητες της οικογένειας διδιάστατων συναρτήσεων πυκνότητας, Srmnov η οποία περιγράφηκε αρχικά από τον Srmnov το 966. Αυτή η οικογένεια των διδιάστατων συναρτήσεων πυκνότητας, περιλαμβάνει σαν ειδική περίπτωση την οικογένεια Frlie-Gumbel-Morgenstern. Εφόσον ο μοναδικός σκοπός της δημιουργίας αυτών των οικογενειών, ήταν να βρεθεί ένας απλός τρόπος για να εισαχθεί η συσχέτιση ανάμεσα στις οποιεσδήποτε περιθώριες κατανομές, το σημαντικό ζήτημα είναι η εύρεση του εφικτού εύρους συσχέτισης αυτής της οικογένειας κατανομών και η σύγκριση του με το αντίστοιχο της οικογένειας FGM. Στο Schucny (978) απεδείχθη ότι το εύρος του συντελεστή συσχέτισης για την οικογένεια FGM είναι [-/3, /3], καθώς και το εύρος του συντελεστή Spermn. Ο Lee (996) έδειξε ότι για την οικογένεια Srmnov ο συντελεστής συσχέτισης έχει ευρύτερα όρια σε σχέση με αυτόν της οικογένειας FGM. Συγκεκριμένα, η διδιάστατη κατανομή με Βήτα περιθώριες κατανομές μπορεί να έχει συντελεστή συσχέτισης που να πλησιάζει στη μονάδα. Υποθέτοντας ότι : f ( x ) και f ( x ) είναι μονοδιάστατες συναρτήσεις πυκνότητας ή μονοδιάστατες συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (ισχύει και στην διακριτή περίπτωση, όμως εδώ θα αναφερθούμε κυρίως στη συνεχή περίπτωση), οι φ i (t), i =, είναι φραγμένες, μη σταθερές συναρτήσεις τέτοιες ώστε Τότε η συνάρτηση φ ( t) f ( t) dt = i i h( x, x) = f( x ) f( x)[ + ωφ ( x ) φ( x)] (3..) είναι μια από κοινού διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας με συγκεκριμένες περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας f ( x ) και f ( x ), υπό τον περιορισμό ότι το ω ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη. + ωφ ( x ) φ ( x ) για όλα τα x και x.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 3 Στη συνέχεια θα αναφερθούν κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες της οικογένειας Srmnov για τις οποίες είναι χρήσιμοι οι ακόλουθοι τύποι που αφορούν την μονοδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας f i ( x i ). i = tf t dt i ( ) t i φ t f t i ( ) i ( ) μ, σ i = ( t μ f t dt i ) i ( ), i = tφ t f t dt i ( ) i ( ) η = dt για =, Θεώρημα 3. i. Εάν η διδιάστατη τ.μ. ( ) ν και X, X έχει από κοινού συνάρτηση πυκνότητας την h ( x, x) όπως ορίστηκε στην (3..) τότε : ( μ ων ν ) E X X ) = μ + (3..) b) Η δεσμευμένη συνάρτηση κατανομής της X δοθέντος ότι X = είναι x P ( X = = x X x) F ( x) ( x ) f( t) φ x c) Η παλινδρόμηση της X στη ωφ ( t) dt (3..3) X δίδεται από τον τύπο E( X X = x ) = μ + ων φ ( x ) (3..4) Ο συντελεστής συσχέτισης του Person για την οικογένεια Srmnov έχει τις ακόλουθες ιδιότητες. Εάν η διδιάστατη τ.μ.( X, X ) έχει από κοινού συνάρτηση πυκνότητας την h ( x, x) όπως ορίστηκε στην (3..) τότε : ο συντελεστής συσχέτισης των X και X, εάν υπάρχει, δίδεται από τον ακόλουθο τύπο. ρ E( X X ) E( X ) E( X ) ων ν = (, ) = Corr X X = (3..5) σσ σσ Προκύπτει από τη σχέση (3..) του προηγούμενου θεωρήματος. Εάν οι X και X είναι ανεξάρτητες τότε θα πρέπει ω =. Ο συντελεστής συσχέτισης ρ των X και X είναι φραγμένος ως εξής. ρ ω Ε[ φ ( Χ)] Ε[ φ ( Χ)]

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 3 Απόδειξη Προκύπτει από την προϋπόθεση ότι φ ( t) f ( t) dt = και από την ανισότητα Cuchy-Schwrz. ν i i { tφ ( t) f ( t) dt} = { ( t ) ( t) df ( )} i μi φi i { ( t μ ) df ( t) }{ φ ( t) df ( t) } σ { φ ( t) df ( t } = t i i i i = i i i ) Σημειώνουμε ότι στην περίπτωση όπου το πεδίο ορισμού της i i =, περιέχεται στο διάστημα [,] και χρησιμοποιείται η φi ( xi ) = xi μi για την κατασκευή της διδιάστατης συνάρτησης πυκνότητας, όπου τότε ισχύει ότι, i σ i ν = και ρ = ωσ σ. ωφ i μ = i tf i ( t) dt Προϋποθέτοντας ότι + ( ) ( x), προκύπτει ότι x φ mx, ω min, μ μ ( μ)( μ) μ( μ) μ( μ f, ) Παρατηρούμε ότι το εύρος του συντελεστή συσχέτισης για την οικογένεια κατανομών Srmnov εξαρτάται τόσο από τις κατανομές των περιθώριων όσο και από τον τύπο της συνάρτησης φ. Έτσι, το εύρος του μπορεί να είναι μεγαλύτερο από αυτό των Frlie-Gumbel-Morgenstern κατανομών. (το οποίο εκτείνεται ανάμεσα στο -/3 και /3) Πόρισμα Εάν το F i ( x i ) είναι η συνάρτηση κατανομής της i ( x i ) φ i ( xi ) = F( xi ), για i =,, τότε φ ( t) f ( t) dt = i i και i ( x i ) x i R. Σε αυτή την περίπτωση, η συνάρτηση x, x ) f και αν θεωρήσουμε ότι φ για κάθε h ( που ορίστηκε στη σχέση (..7) αποτελεί την διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας της οικογένειας κατανομών Frlie-Gumbel-Morgenstern. Στη συνέχεια ακολουθούν κάποια παραδείγματα, από κοινού συναρτήσεων πυκνότητας, οι οποίες προκύπτουν, χρησιμοποιώντας συνδυασμούς διαφορετικών συναρτήσεων φ και διαφορετικών περιθώριων κατανομών στον αρχικό τύπο (3..).

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 3 3.. Διδιάστατες κατανομές με Bet περιθώριες κατανομές Σε αυτή την περίπτωση, η μονοδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας είναι : f ( x i i i i i xi ( xi ), bi ) =, < i < B(, b ) i i b x (3..6) Όπου B ( i, bi ) Γ( i ) Γ( bi ) / Γ( i + bi ) = α για =, i και φi ( xi ) = xi μi, όπου i = i /( i + bi ) μ και σ i = ( i + b ) i b i i ( i + b i + ) Τότε η από κοινού διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας ορίζεται ως εξής. h( x, x ) = f ( x, b ) f ( x, b )[ + ω ( x )( x + b + b )] (3..7) όπου ( + b )( + b ) ( + b )( + b ) mx(, b b ) mx( b, b ) ω (3..8) ο συντελεστής συσχέτισης της (3..5) δίδεται από τον τύπο ρ = ωσ σ. α α = α Όταν = και b = b = b αποδεικνύεται ότι ο συντελεστής συσχέτισης έχει το ακόλουθο εύρος. b mx, ( + + b) b( + + b) ( + + b) ρ (3..9) Μελετώντας τον τύπο (3..9), διαπιστώνεται ότι ο συντελεστής συσχέτισης ρ τείνει στο (ή το -), καθώς τα και b τείνουν στο μηδέν και το ω τείνει στο 4 (ή το -4). Για παράδειγμα, εάν = b = / n και 4 ω 4 τότε n n n + n + ρ. Διαπιστώνεται ότι το ρ τείνει στο (ή το -), καθώς το n. Οπότε παρατηρούμε ότι σε αυτή την περίπτωση της οικογένειας Srmnov, το εύρος του συντελεστή συσχέτισης ξεπερνάει το αντίστοιχο εύρος στην οικογένεια Frlie-Gumbel- Morgenstern.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 33 3.. Διδιάστατες κατανομές με Εκθετικές περιθώριες κατανομές Σε αυτή την περίπτωση, η μονοδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας είναι : όπου κάθε i f i i x ( x ) e i (3..) i = λ λ i x και κάθε λ > για i =, xi Ενώ i ( xi ) = e Li () είναι ο μετασχηματισμός Lplce της i ( x i ) φ, όπου i L t) = e f ( x ) dx i f για =, tx i ( i i i i. Για τον υπολογισμό της L i () ακολουθείται η εξής διαδικασία : Χρησιμοποιώντας τη σχέση (3..) txi λi xi Li ( t) = e λie dxi = λi x ( λ + t) e i i λi = λ + t i L i () = λi λ + i Οπότε λi λ + ( ) = xi φ i xi e (3..) i και η από κοινού διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας σύμφωνα με τη σχέση (3..) ορίζεται ως εξής : x λ λ x x λ x λ h ( x, x) = λe λe + ω( e )( e ) (3..) + λ + λ ο συντελεστής συσχέτισης της (3..), σύμφωνα με τη σχέση (3..5) δίδεται από τον τύπο : ρ ω ' ' ( L () L () μ )( L () L () μ ) = Corr( X, X ) = (3..3) σσ

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 34 όπου ' λi Li ( t) = ( λ + t) i οπότε Επίσης ' L i λi () = ( λi + ) μi λ i = και L i () = λi λ + i Οπότε ο συντελεστής συσχέτισης θα είναι : λ ω ( λ ) ρ + = λ λ + ( λ + ) σ σ λ + = ω ( λ + ) ( λ + ) σ σ ω = σ σ ( λ + ) ( λ + ) Παράλληλα ο πραγματικός αριθμός ω έχει το ακόλουθο εύρος : ( + λ )( + λ) ( + λ )( + λ) ω mx( λ λ,) mx( λ, λ ) (3..4) 3. Μια οικογένεια διδιάστατων συναρτήσεων πυκνότητας με συγκεκριμένες και συνεχείς περιθώριες κατανομές Η κατασκευή αυτού του μοντέλου διαφοροποιείται από την πορεία κατασκευής των Morgenstern, Gumbel και Frlie γιατί αντικείμενο κατασκευής αποτελεί μια συνάρτηση πυκνότητας και όχι μια συνάρτηση κατανομής. Μια διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας κατασκευάζεται από συγκεκριμένες περιθώριες πυκνότητες και από μια δομή εξάρτησης η οποία παρουσιάζεται με τη μορφή ενός συναρτησιακού. Οι διαφορετικές μορφές αυτού του συναρτησιακού οδηγούν σε διαφορετικά μοντέλα οικογενειών. Στη συγκεκριμένη οικογένεια οι διδιάστατες συναρτήσεις πυκνότητας προϋποθέτουν την ύπαρξη μιας πολυγωνικής δομής εξάρτησης.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 35 Με βάση τους Long και Krzysztofowicz (995) η νέα αυτή οικογένεια διδιάστατων συναρτήσεων πυκνότητας με τις συγκεκριμένες και συνεχείς περιθώριες κατανομές είναι η ακόλουθη: h( x, = f ( x) g( [ + θ c( F( x), G( )] (3..) X, Y έχουν συνεχείς συναρτήσεις πυκνότητας ( x), g( ( x), G( h ( x, y δίνεται από τον τύπο όπου οι τυχαίες μεταβλητές f αντίστοιχα και συνεχείς και γνησίως αύξουσες συναρτήσεις κατανομής F αντίστοιχα. Η από κοινού διδιάστατη συνάρτηση πυκνότητας ) (3..), όπου η c ονομάζεται χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της συνδιασποράς και πρόκειται για μια συνεχή συνάρτηση ορισμένη στο μοναδιαίο τετράγωνο [,] που ικανοποιεί την ακόλουθη ιδιότητα : για όλα τα u, v ( u, du = c( u, dv = c (3..) Για κάποιο συγκεκριμένο c, η σταθερά θ ονομάζεται συντελεστής κλίμακας της συνδιασποράς και είναι φραγμένη είτε πάνω είτε κάτω, υπό την προϋπόθεση ότι για u, v ισχύει : + c( u, θ (3..3) Από την (3..) προκύπτει εύκολα η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας της οικογένειας Frlie-Gumbel-Morgenstern, αν c( u, = ( u)(. Το βασικό στοιχείο στον τύπο (3..) είναι η συνάρτηση c, η οποία και θα μελετηθεί. Για αυτό το λόγο προηγείται μια εξέταση της συνδιασποράς των τ.μ. X, Y. Αρχικά, ορίζεται μια συνάρτηση ( ) ( ( ), ( )) ( (3..4) και μια σταθερά Οπότε η συνδιασπορά των τ.μ. A x = yc F x G y g dy I = xa x) f ( x) dx X, Y θα δίνεται από τον τύπο : ( (3..5) [ x E( X )][ y E( Y)] h( x, dxdy = X, Y ) = θ I cov( (3..6) γιατί cov( X, Y) = E( XY) E( X ) E( Y) = xyh( x, dxdy E( X ) E( Y) xyf ( x) g( [ + c( F( x), G( )] dxdy E( X ) E( Y) = θ = xyf x) g( dxdy + ( xyf ( x) g( θ c( F( x), G( ) dxdy E( X ) E( Y) = E( X ) E( Y) + θ xa( x) f ( x) dx E( X ) E( Y) = θ I

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 36 Παρατηρείται ότι το θ παίζει το ρόλο μιας παραμέτρου της συνδιασποράς, ενώ η συνάρτηση c δημιουργεί την στοχαστική εξάρτηση μεταξύ των τ.μ. X, Y. Η περίπτωση της στοχαστικής ανεξαρτησίας προκύπτει όταν για τη συνάρτηση c ισχύει c =. Οπότε I =, cov(, Y) = X και h ( x, = f ( x) g(. X = x και για την καμπύλη Για την δεσμευμένη μέση τιμή της Y δοθέντος ότι παλινδρόμησης ακολουθείται η εξής διαδικασία. Αν η δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας είναι ( y x) h( x, / f ( x) δεσμευμένη μέση τιμή έχει την εξής μορφή : k = τότε η E( Y x) = yk( y x) dy = E( Y) + θ A( x) (3..7) Παρατηρείται ότι η καμπύλη παλινδρόμησης είναι γενικά μη γραμμική και το σχήμα της καθορίζεται από την χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της συνδιασποράς c μέσω της συνάρτησης Α. Ένα σημαντικό στοιχείο που αφορά την λειτουργικότητα του μοντέλου (3..) είναι η ανάπτυξη παραμετρικών μορφών της χαρακτηρίζουσας συνάρτησης της συνδιασποράς c, που θα σχετίζονται με ποικίλες δομές εξάρτησης. Έτσι στη συνέχεια θα ακολουθήσει λεπτομερής αναφορά στην πολυγωνική δομή του c. 3.. Πολυγωνική χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της συνδιασποράς Έστω ότι ( U, V ) είναι ένα διάνυσμα ομοιόμορφων μεταβλητών, έτσι ώστε U = F( X ), V = G( Y ) όπου U, V. Το πεδίο ορισμού των ομοιόμορφων μεταβλητών έχει χωριστεί σε τέσσερα πολύγωνα με τη σχεδίαση των ευθειών, l : v = u και l : v = u όπως φαίνεται στο σχήμα 4.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 37 l v d d l u Σχήμα 5.Πολυγωνικό πεδίο ορισμού της χαρακτηρίζουσας συνάρτησης της συνδιασποράς c Έστω κ μια συνεχής και μονότονη συνάρτηση, ορισμένη στο διάστημα, ] οποία ονομάζεται χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης. ω ορίζουμε την εξής σχέση : [, η Για κάθε K ( ω) = ω κ( t) dt (3..8) Στη συνέχεια ορίζουμε δύο διδιάστατες συναρτήσεις, c και c, τέτοιες ώστε για κάθε u, v. c ( u, = κ ( u εάν v u = κ ( v u) εάν v u (3..9α) και έστω c ( u, = κ( u + εάν u v = κ ( u εάν u v (3..9β) c u, = c ( u, + c ( u, () (3..) ( Κ Διαπιστώνεται εύκολα ότι το c που ορίστηκε από τις σχέσεις (3..9)-(3..) ικανοποιεί την ιδιότητα (3..). Η χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της συνδιασποράς που κατασκευάστηκε με τον προηγούμενο τρόπο είναι μια συνεχής συνάρτηση τεσσάρων κομματιών ορισμένη στην πολυγωνική διαμέριση του μοναδιαίου τετραγώνου. Η συνάρτηση c είναι συμμετρική γύρω από την ευθεία l, η συνάρτηση c είναι συμμετρική γύρω από την ευθεία l και η συνάρτηση c είναι συμμετρική γύρω από τις δύο ευθείες l και l.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 38 c είναι σταθερή σε όλα τα σημεία (, Επιπλέον, η u που απέχουν από την ευθεία l απόσταση d = u v /, δηλαδή οι ισοσταθμικές της c είναι παράλληλες στην l. Ομοίως η c είναι σταθερή σε όλα τα σημεία ( u, που απέχουν από την ευθεία l απόσταση d = u v /, δηλαδή οι ισοσταθμικές της c είναι παράλληλες στην l. Επιπροσθέτως για δύο σημεία ( u, και ( u `, v`) παρατηρείται ότι c ( u, = c( u`, v`), όταν d + d`= /, δηλαδή το μισό της διαγωνίου του μοναδιαίου τετραγώνου. Έτσι c = c στα άκρα του μοναδιαίου τετραγώνου. 3.. Συνάρτηση παλινδρόμησης Για να ερμηνευθεί πιο αποτελεσματικά η συνάρτηση κ, θα κατασκευαστεί μια συνάρτηση παλινδρόμησης στο χώρο των ομοιόμορφων μεταβλητών ( U, V ). Οπότε από την (..) η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας η με ομοιόμορφες μεταβλητές θα είναι : η ( u, + θ c( u, Έτσι η δεσμευμένη μέση τιμή της V, δοθέντος ότι = (3..) U = u θα είναι : E( V / u) = + θ vc( u, dv (3..) Στη συνέχεια αντικαθιστώντας την c από τις σχέσεις (3..9)-(3..) και εκτελώντας μακροσκελείς πράξεις προκύπτει ο ακόλουθος τύπος για την συνάρτηση παλινδρόμησης r ( u) = E( V / u). = + u r( u) [ K()] θk () u θ K( ω) dω u όπου το K δίνεται από την (3..8). θ (3..3) Αν παραγοντοποιηθεί η σχέση και από τις δύο πλευρές, ύστερα από πράξεις θα έχουμε : dr( u) = θ [ K( u) + K( u) K()] (3..4) du

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 39 Επιπροσθέτως, αν παραγοντοποιηθεί η σχέση και από τις δύο πλευρές για δεύτερη φορά τότε θα προκύψει d d r( u) u = [ κ ( u) κ ( u)] θ (3..5) Έτσι, παρατηρείται ότι η χαρακτηρίζουσα της συνδιασποράς c, των (3..9)-(3..), οδηγεί σε μια εξίσωση που συνδέει την χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης κ, με την συνάρτηση παλινδρόμησης r. Παράλληλα από τις σχέσεις (3..3)-( 3..5) μπορούν να αντληθούν ιδιότητες για την r, σε σχέση με τον τύπο της κ. Συγκεκριμένα. Συμμετρία. Από την (3..3) αποδεικνύεται ότι r( u) = r( u). Μονοτονία. Η έκφραση (3..4) συνεπάγεται τα ακόλουθα. r ( / ) = και Όταν η κ είναι φθίνουσα, η K είναι κοίλη και για αυτό ο όρος στην παρένθεση θ >, συνεπάγεται ότι η r είναι αύξουσα, δηλαδή θ <, συνεπάγεται ότι η r είναι φθίνουσα, είναι θετικός. Συνεπώς, όταν υπάρχει θετική εξάρτηση. Ενώ όταν δηλαδή υπάρχει αρνητική εξάρτηση. Όταν η κ είναι αύξουσα, η K είναι κυρτή και για αυτό ο όρος στην παρένθεση θ <, συνεπάγεται ότι η r είναι αύξουσα, δηλαδή θ >, συνεπάγεται ότι η r είναι φθίνουσα, είναι αρνητικός. Συνεπώς, όταν υπάρχει θετική εξάρτηση. Ενώ όταν δηλαδή υπάρχει αρνητική εξάρτηση. dr() du 3. Ακρότατα. = dr() du, = 4. Σημεία Καμπής. Το σημείο καμπής της r βρίσκεται στο d r(/ ) = d u. = u επειδή Στην συνέχεια παρουσιάζονται κάποιες μορφές της χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης κ.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 4 3..3 Εκθετικής μορφής χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης. Επειδή είναι πρακτικά δύσκολο να αναφερθούν όλοι οι τύποι του κ, στην συνέχεια θα αναλυθεί μια απλή παραμετρική οικογένεια συναρτήσεων, των οποίων η μορφή ποικίλει από κοίλη σε κυρτή και όπως έχει παρατηρηθεί χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές. Αυτή η χαρακτηρίζουσα της παλινδρόμησης., ονομάζεται Εκθετικής μορφής χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης και έχει την ακόλουθη μορφή : β κ ( ω) = ( ω), ω, > β (3..6) Διαπιστώνεται, ότι η συνάρτηση κ με αυτή τη μορφή είναι φθίνουσα. Παράλληλα είναι κοίλη όταν < β <, γραμμική όταν β = και κυρτή όταν β >. Όταν στη σχέση (3..8) αντικατασταθεί η (3..6), τότε προκύπτει ότι : K( ω) = [ ( ω) β + β + ] (3..7) Οπότε K () = β + ενώ το εύρος της κ (ω ) θα είναι ( ω) κ. Από τις αυτές τις δύο σχέσεις και από τις (3..9)-(3..) συνεπάγεται ότι : /( β + ) c ( u, β /( β + ) Εισάγοντας αυτή τη σχέση στην συνθήκη (3..3), αποδεικνύεται ότι το εύρος του συντελεστή κλίμακας της συνδιασποράς είναι : β + β + θ β (3..8) Στην περίπτωση της Εκθετικής μορφής χαρακτηρίζουσας συνάρτησης της παλινδρόμησης για την εύρεση της Δεσμευμένης Μέσης Τιμής ακολουθείται η εξής διαδικασία. Αντικαθιστώντας την K από την (3..7) στη σχέση (3..3) του r (u) προκύπτει ότι r( u) = θ [( u) β + β + β + u β + ] + u + (3..9)

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 4 Από τη μορφή της Δεσμευμένης Μέσης Τιμής r (u), διαπιστώνονται οι εξής ιδιότητες για την r. Όταν θ = συνεπάγεται r ( u) = Όταν θ, ο βαθμός από τον οποίο η r (u) απέχει από την τιμή είναι ανάλογος του συντελεστή κλίμακας της συνδιασποράς θ. Για αυτό θα εξεταστεί η επίδραση των ακραίων τιμών της θ, όπως ορίζονται στην (3..8), στα ακραία σημεία θβ r ( ) = + και r( ) r() ( β + )( β + ) της r (u) στο σημείο καμπής = u, dr(/ du = και στην κλίση ) θ = β + β Έτσι διακρίνονται δύο περιπτώσεις : ) Όταν η χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης κ είναι κυρτή, β και ο συντελεστής κλίμακας της συνδιασποράς θ παίρνει τότε την ανώτερη τιμή της, δηλαδή θ = ( β +) /. Συνεπώς r ( ) = /( β + ). Καθώς β, παρατηρείται ότι, r ( ), r ( ) και dr ( / ) / du. Επειδή, ισχύει ότι r ( ) < r() οι μεταβλητές U και V είναι θετικά εξαρτημένες, ενώ η συνάρτηση παλινδρόμησης μπορεί να επεκταθεί σε όλο το εύρος του V, εφόσον < r ( u) <. β και ο συντελεστής κλίμακας της συνδιασποράς θ παίρνει τότε την κατώτερη τιμή της, b) Όταν η χαρακτηρίζουσα συνάρτηση της παλινδρόμησης κ είναι κοίλη, δηλαδή θ = ( β +) / β. Συνεπώς r ( ) = /[( β + )] +. Καθώς β, παρατηρείται ότι, r ( ), r ( ) και 4 dr ( / ) / du ln.69. Επειδή, ισχύει ότι r ( ) > r() οι μεταβλητές U και V είναι αρνητικά εξαρτημένες, ενώ η συνάρτηση παλινδρόμησης δεν μπορεί να επεκταθεί σε όλο το εύρος του V, αλλά σε ένα τμήμα του μόνο, εφόσον < ( u) < 4 r.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 4 Στην περίπτωση της Εκθετικής μορφής χαρακτηρίζουσας συνάρτησης της παλινδρόμησης για την εύρεση της Δεσμευμένης Διασποράς ακολουθείται η εξής διαδικασία. Λαμβάνοντας υπόψη ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας για τις ομοιόμορφες μεταβλητές ( U, V ), δίνεται από τον τύπο (3..), η δεσμευμένη μέση τιμή του V, δοθέντος ότι U = u θα είναι η εξής. E( V / u) = + θ v c( u, dv 3 Αν αντικατασταθεί η χαρακτηρίζουσα της συνδιασποράς c από τους τύπους (3..9)- (3..) και η κ βασίζεται στην σχέση (3..6), τότε η E ( V / u) = t( u) θα δίνεται από τον τύπο : t( u) = θ u β + β + β + 3 β + + u + 3 3 (3..) Γνωρίζοντας ότι ( V / u) r( u) E = και ότι E ( V / u) = t( u), μπορεί εύκολα να προσδιοριστεί η Δεσμευμένη Διασπορά ( V / u) s ( u) Συγκεκριμένα επειδή θα ισχύει ότι Vr =. Vr( V / u) = E( V / u) [ E( V / u)] s ( u) = t( u) r ( u) (3..) Στην περίπτωση της Εκθετικής μορφής χαρακτηρίζουσας συνάρτησης της παλινδρόμησης, θα αναλυθεί και η συσχέτιση των δύο τυχαίων μεταβλητών U και V. Αν το ξ δηλώνει τη συνάρτηση πυκνότητας της U, μια γενική έκφραση για την συνδιασπορά δύο οποιονδήποτε τυχαίων μεταβλητών U και V, θα είναι η εξής : γιατί cov( U, V ) = E( V / u) uξ ( u) du E( V ) E( U ) η( u, E ( V / u) uξ ( u) du = v uξ ( u) dudv = vu ( u, dudv = E( UV ) ( u) η ξ η ( u, v δίνεται από τον τύπο (3..). cov( U, V ) E( UV) E( U) E( V όπου η ) οπότε αποδεικνύεται ότι = ) το οποίο ισχύει.

Κεφ. 3 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΕΙΣ ΤΗΣ F.G.M. 43 E ( V ) = E( U ) = και E ( V / u) = r( u), όπου η r (u) δίνεται από τον τύπο (3..9), ο συντελεστής συσχέτισης των ομοιόμορφων μεταβλητών U και V θα είναι ρ = cov( U, V ). Για ομοιόμορφες τώρα μεταβλητές, όπου ξ ( u) =, Έτσι ύστερα από αρκετές πράξεις προκύπτει ότι : = θ ρ ( u) udu 3 = β + ( β + 3)( β + 4 ) r (3..) Παρατήρηση Επειδή όταν β > ο όρος στην αγκύλη είναι πάντοτε θετικός, το πρόσημο του συντελεστή συσχέτισης ρ συμπίπτει με το πρόσημο του συντελεστή κλίμακας της συνδιασποράς θ. Έτσι αναδιατάσσοντας τον τύπο (3..), καταλήγουμε ότι : ( β + )( β + 3)( β + 4) = ρ β ( β + 7) θ (3..3) Στη συνέχεια, εάν αυτό το θ εισαχθεί στη σχέση (3..8), τότε αποδεικνύεται ότι το εύρος τιμών του ρ θα είναι το ακόλουθο β + 7 β ( β + 7) ρ, για β > (3..4) ( β + 3)( β + 4) ( β + 3)( β + 4) Η απεικόνιση του πεδίου ορισμού του συντελεστή συσχέτισης ρ παρατηρείται στο Σχήμα 6. ρ.75.5.5 -.5 5 5 β -.5 Σχήμα 6.Το αποδεκτό πεδίο ορισμού του συντελεστή συσχέτισης ρ και της παραμέτρου β της Εκθετικής μορφής χαρακτηρίζουσας συνάρτησης της παλινδρόμησης, δοθέντος της χαρακτηρίζουσας της συνδιασποράς c